2.9 Analisis Fourier Alasan penting untuk pusat osilasi harmonik adalah bahwa virtually apapun osilasi atau getaran dapat dipecah menjadi harmonis, yaitu getaran sinusoidal. Hal ini berlaku tidak hanya untuk osilasi periodik tapi untuk hampir semua jenis sinyal, misalnya, untuk osilasi teredam .dipertimbangkan dalam Bagian 2.6, atau untuk impuls tunggal, yang tidak terkandung sebagai osilasi pada pandangan pertama. Alat untuk melakukannya adalah analisis Fourier yang memainkan peranan penting dalam seluruh getaran dan akustik tetapi juga dalam bidang yang berbeda seperti, misalnya, sinyal atau sistem teori. 2.9.1 Sinyal periodik Di sini kita mempertimbangkan s fungsi waktu (t) yang menunjukkan tidak harus menggantikankeseimbangan partikel beberapa tapi mungkin menjadi kekuatan atau tekanan, tegangan listrik, dll.Pada awalnya dianggap bahwa s (t) adalah fungsi periodik dengan periode T: ( + ) = ( ) Hal ini dapat diwakili oleh seri yang disebut seri Fourier, yang pada umumnya berisi jumlah tak terbatas istilah ini Masing-masing mewakili osilasi harmonik (atau hanya 'harmonik'): s(t) =
∞ ∞
/
C
(2.39)
n adalah bilangan bulat positif atau negatif. Oleh karena itu frekuensi sudut merupakan bagian integral kelipatan dari frekuensi dasar ω₀ = 2π / T. Jika s (t) adalah fungsi yang diberikan koefisien Fourier maka, Cn yang kompleks pada umumnya dapat dihitung dari itu : Jika s (t) adalah bilangan riil, formula ini segera menunjukkan bahwa − = ∗ (2.41) Kadang-kadang representasi nyata dari deret Fourier adalah lebih baik. Dari persamaan (2.40) ,kita dapat peroleh tanpa kesulitan yaitu dengan :
∗
( )= +∑ + atau, dengan menempatkan =Ĉ (2.43) ( )=
∑ +2
Ĉ
cos(
+
=
()2.44)
∑ +2
{
} (2.42)
Sekarang setiap getaran parsial diwakili oleh fungsi kosinus menunjukkan sudut fase tertentu dalam argumen, dan amplitudo adalah Cn. Parsial dengan frekuensi sudut 2π / T disebut getaran fundamental . C₀ merupakan nilai rata-rata s (t).Bentuk koefisien fourier Cn ,atau yang disebut spektrum '' dari fungsi waktu (t); itu adalah alternatif deskripsi proses yang benar-benar setara
dengan deskripsi oleh fungsi waktu (t). Sebagai contoh, kita menganggap gigi gergaji getaran yang ditunjukkan sebagai garis tebal. Secara matematis, itu diberikan oleh: ( ) = 2ŝ
−<
< (2.45)
di luar selang fungsi ini secara berkala lanjutan. Jelas, bahwa nol pada sumbu waktu bertepatan dengan salah satu bagian dari nol fungsi s (t). Evaluasi integral di persamaan (2.40) menghasilkan : =
ŝ
(−1) =
ŝ
(
)
(2.46)
untuk n = 0; yang koefisien C₀ adalah nol. Sejak cos(
₀
+
2
)+= − sin(
( ) = sin( ₀ ) cos
) (−1)
dari serangkaian persamaan fourier (2.42)yang isinya: ( )=
(sin
−
+ sin
+ ⋯ (2.47)
nilai-nilai koefisien Fourier dari Persamaan (2.46) ditampilkan sebagai garis vertikal. Selain itu,pendekatan yang diberikan oleh tiga hal pertama dari deret Fourier digambarkan sebagai kurva yang tips. Hal ini jelas bahwa kurva ini mendekati fungsi (t) lebih atau kurang, dan setiap jangka waktu tambahan akan memperbaiki perjanjian. Khususnya penyimpangan besar terjadi di sekitar dari diskontinuitas; perkiraan yang memuaskan juga di daerah-daerah akan memerlukan lebih banyak istilah seri. 2.9.2 Sinyal Non periodik Jika T adalah periode panjang yang meningkat terus-menerus, selisih frekuensi ω₀= 2π / T akan cenderung ke arah nol dan di masukkan dalam persamaan (2.39) dapat dipisahkan dengan integral. Setelah menggantikan nω₀ dalam eksponen dengan ω ini Fourier terpisahkan membaca dengan ∆ω = ω₀ : (− ) = ∗ ( )(2.48)
Proses membatasi dalam mengubah urutan koefisien Fourier diskrit Cn menjadi fungsi yang kompleks dari frekuensi, yang disebut spektrum .Spektrum fungsi atau kepadatan spektral, ungkapan sederhana yang sering digunakan: C (ω) = lim
→∞
Proses transformasi yang sama membatasi persamaan (2.40) ke:
( )=
( )
∫
(2.49)
Untuk nyata fungsi s (t) yang kita miliki, sama dengan Persamaan (2.41): (− ) = ∗ ( (2.50) ) Sekali lagi, fungsi waktu s (t) dan kompleks spektrum C (ω) adalah benar-benar dua penyetaraan representasi dari proses yang sama. Untuk menggambarkan integral Fourier oleh contoh, kita mempertimbangkan eksponensial impuls ditunjukkan pada dengan konstanta peluruhan δ.secara matematis digambarkan oleh s (t) = δe-δt untuk t ≥ 0 (2.51) untuk waktunya negatif (t) hilang. Integral di persamaan (2.49) menghasilkan: ( )=
∙
=
√
( )
∅(
)
( )∅= −
tan(2.52)
nilai absolut dari kerapatan spektral C (ω) sebagai fungsi ω / δ. Sekarang anggaplah δ konstanta peluruhan tumbuh melampaui semua batas, maka nilai dari fungsi (t) tumbuh infinitum iklan pada t = 0 sementara itu hilang sama sekali . Fungsi dengan ini disebut sifat fungsi delta Dirac dan disingkat sebagai δ (t): ( ) = lim (2.53) Menurut Persamaan. (2.52) dengan (
) (2.54)
→ ∞, spektrum yang diberikan oleh
Beberapa fakta pada getaran mekanis .Memasukkan ke persamaan (2.48) membawa kita ke representasi alternatif dari fungsi dirac: ( ) = lim
→
∫
(2.55)
2.9.3 Alat Tulis sinyal Penerapan persamaan(2.49) ke fungsi waktu (t) gagal, jika yang terakhir tidak menghilang dengan kecepatan yang cukup untuk t → ± ∞ maka sejak tidak terpisahkan ,tidak memiliki nilai yang terbatas. Ini berlaku untuk semua stasioner, proses periode getaran. Seringkali proses-proses tersebut secara acak Bahwa ini, mereka tidak dapat digambarkan oleh fungsi matematika. Mereka disebut acak kebisingan atau hanya kebisingan. Contoh sinyal tersebut adalah segala macam aliran kebisingan, misalnya, diproduksi oleh sungai atau pipa air, atau gangguan listrik yang dihasilkan dalam rangkaian elektronik, di amplifier, dll .Untuk menganalisis getaran seperti ditentukan, misalnya, dengan pengukuran, kami mempertimbangkan bagian terbatas dari fungsi waktu (t) dari durasi t₀ dan menghitung integral: ( )=
₀
∫₀ ( )
(2.56)
Jelas, fungsi spektral tergantung pada interval waktu t₀. Jika yang terakhir tersisa cukup lama, Ct₀ (ω)mendekati 'spektrum kekuasaan' atau 'spektral rapat daya 'dari proses dianggap didefinisikan oleh
( ) = lim
→
( )
∗
(
)(2.57)
Proses Stasionari yang memiliki spectrum daya konstan mempunyai rentang frekuensi tertentu, misalnya rentang pendengaran manusia, disebut putih kebisingan. Tentu saja, harus ada beberapa frekuensi yang membatasi atas spektrum daya tetes nol, jika total kekuatan suara menjadi tak terbatas. 2.9.4 Pelaksanaan analisis Fourier Jika fungsi waktu untuk dianalisis diberikan dalam bentuk matematis , maka analisis Fourier mudah dilakukan adalah dengan menghitung Integral pada Persamaan.(2.40) dan (2.49). Jika ini tidak terjadi, konten spektral sinyal suara dapat ditentukan eksperimentanya. Ini digunakan satu set resonator rongga (Lihat Bagian 7.3.3) disetel ke frekuensi yang berbeda. Dengan memegang salah satu dari mereka ,dua dekat telinga eksperimen adalah kekuatan relatif dari bukaan masing-masing komponen spektral itu dinilai subjektif. Modern frekuensi analisa menggunakan listrik berarti. Mereka membutuhkan, tentu saja, bahwa suara sinyal yang akan dianalisis adalah sebelumnya dikonversi dengan mikrofon menjadi sinyal listrik.
Untuk analisa spektral kasar sering Filter bank digunakan, yaitu, satu set bandpass filter , untuk sinyal yang sedang diuji diterapkan. Di akustik, itu bandwidth biasanya dipilih untuk sesuai dengan satu oktaf atau oktaf satu-ketiga (lihat Bagian 11.2). Untuk pemeriksaan lebih tepat analisa Fourier elektrik dapat digunakan. komponen penting mereka adalah otomatis disetel filter narrowband yang memindai spektrum sinyal. Sebuah versi yang sangat elegan dan efisien analisis Fourier adalah Fast Fourier Transform (FFT), sebuah algoritma yang pintar berdasarkan simetri fungsi trigonometri dan yang dilakukan dengan sebuah alat digital komputer. 2.10 Transfer fungsi dan respon impuls Meskipun subjek bagian ini tidak benar-benar milik getaran tetapi untuk teori sistem, beberapa ide yang akan dijelaskan di sini yang adalah sebagai bagian penting dalam akustik seperti dalam disiplin teknis lainnya. Rincian lebih lanjut dapat ditemukan dalam literatur yang relevan. Dasar pembahasan berikut ini adalah sistem transmisi linier, sebuah konsep yang agak abstrak umum tinggi dan fleksibilitas. Mungkin dibayangkan sebagai sebuah kotak dengan dua pelabuhan seperti yang ditunjukkan pada, masukan dan output port. Setiap sinyal s (t) diberikan pada port input menghasilkan output sinyal ( ),baik sinyal yang jelas berkaitan satu sama lain. Linieritas berarti bahwa sinyal input meningkat merupakan faktor sembarang mengarah ke sinyal output meningkat dengan faktor yang sama. Untuk sistem seperti prinsip superposisi linier berlaku: Misalkan 1dan 2adalah sinyal output diproduksi oleh input sinyal 1dan s2, kemudian sinyal 1 2diumpankan ke input dari sistem akan menimbulkan sinyal output 1 s dan s2. Contoh sistem tersebut akustik dan listrik jalur transmisi, filter listrik, amplifier, pengeras suara dan mikrofon. Linieritas adalah kondisi ideal untuk sistem nyata yang sering kali datang dekat tetapi yang tidak pernah benar-benar dipenuhi. Sifat-sifat sistem linear benarbenar ditandai oleh perusahaa transfer frekuensi didefinisikan sebagai berikut: kira kira sinyal input adalah getaran harmonik ( ) = ( ), maka sinyal output juga akan getaran harmonik dengan frekuensi yang sama sudut ω. Its amplitudo, Namun, akan berbeda dari sinyal input dengan faktor tertentu
yang tergantung pada frekuensi, dan fase dari sinyal akan diubah oleh melewati sistem. Kedua perubahan ini dapat dikombinasikan dalam keadaan rumit, tergantung pada faktor frekuensi, yang disebut faktor transfer atau transfer fungsi ( ): ( ) ( ) = | ( |) (2.58 )
Secara umum, fungsi transfer memiliki dimensi tertentu. Jadi input signalmay menjadi kuantitas listrik aswith sebuah loudspeakerwhereas output sinyal mekanik atau akustik. Untuk menentukan fungsi transfer dengan eksperimen berbagai amplitudo dan tahap pengukuran pada frekuensi yang berbeda dibutuhkan meliputi seluruh rentang frekuensi kepentingan. Prosedur ini dapat dilakukan secara otomatis hari ini. Sebuah alternatif menghemat waktu akan berlaku, jadi-untuk-berbicara, semua jen is frekuensi secara bersamaan ke input sistem. Menurut Persamaan (2.55) ini prosedur yang sama untuk merangsang sistem pada beberapa waktu t = 0 dengan vanishingly pendek sinyal, secara resmi diwakili oleh fungsi delta δ (t). Itu sinyal output yang sesuai disebut respon impuls g (t) dari sistem. Hal ini secara intuitif jelas bahwa g (t) = 0 untuk t <0 karena sistem menanggapi sinyal yang belum diterapkan maka akan bertentangan dengan prinsip kausalitas. ekspresi matematika untuk respon impulse dari systemis diperoleh dengan (): mengalikan setiap parsial getaran di persamaan (2.55) dengan faktor 2 ( )] [ ( )= ŝ ( ) = ŝ| ( |) ( )=∫
(
)
(2.59)
(Di sini batas-batas telah ± ∞ ± tergantikan karena untuk semua sistem nyata transfer G (ω) cukup cepat hilang ketika ω mendekati tak terhingga.) terus menerus, respon impuls adalah Transformasi Fourier dari fungsi transfer. Sebaliknya, persamaan (2.49) menghasilkan: ( )=
∫
( )
(2.60)
Karena respon impuls adalah fungsi Persamaan nyata (2.50) berlaku untuk G: (− ) = ∗ ( )(2.61) Ini berarti bahwa | ( ) | adalah fungsi bahkan frekuensi sedangkan fase fungsi φ (ω) di persamaan (2.58) adalah tidak masuk akal. Untuk menghitung reaksi s (T) dari sistem untuk sinyal masukan yang diberikan s (t) kita perhatikan bahwa setiap sinyal dapat dipahami sebagai sebuah suksesi yang sangat singkat padat impuls dengan ketinggian yang tepat. Disajikan dengan bantuan ( ) = ( )=∫
( ) ( −)
(2.62)
Ekspresi yang sesuai dari sinyal output diciptakan dengan mengganti Delta berfungsi dalam respon ini tidak terpisahkan dengan sistem untuk itu: ( )=∫ ( ) ( −) ( ) ( − ) (2.63) =∫ Operasi ini disebut konvolusi dari dua fungsi dan sering disingkat oleh ( ) = ( ) ∗ ( )(2.64)
Ditransformasikan ke dalam domain frekuensi, persamaan ini berbunyi: ( ) = ( ) − ( )(2.65) ( ) ( )
ℎ
2.11 Catatan pada sistem non-linear Banyak sistem atau elemen-elemen dari mereka menunjukkan perilaku linier sepanjang amplitudo getaran tidak melebihi batas tertentu. Oleh karena itu salah satu berbicara kadang-kadang dari jangkauan sistem tentang linearitas. Untuk menunjukkan efek dari non-linieritas kita anggap sebagai sebuah contoh Sistem yang menghubungkan input dan sinyal output dengan relasi ( )=
( )
−1=
+
!
!
+ ⋯(2.66)
Pada saat yang sama, angka ini menunjukkan sebagai input sinyal dua osilasi harmonik dengan amplitudo 0,25 dan 1 (bawah) dan juga, di sebelah kanan, sinyal keluaran yang sesuai. Untuk amplitudo yang lebih kecil yang kedua tampaknya merupakan replika dari sinyal input; jelas sinyal ditransmisikan tanpadistorsi apa pun. Untuk besar input amplitude. Namun, osilasi keluaran telah menjadi asimetris; yang lembah yang datar tetapi puncak telah menjadi 'tajam'. Distorsi gelombang juga dapat digambarkan sebagai generasi komponen spektral yang tidak terkandung dalam sinyal input. Jika kita menetapkan ( ) = pada persamaan (2.66) istilah kedua dari hasil deret kuasa yaitu komponen konstan dan componentwith lain dua kali asli frekuensi. Dari masa jabatan ketiga kita mendapatkan :
ŝ 6
ŝ
ŝ = (1 + cos 2 4
ŝ = (3 cos 24
)
+ cos 3
)
yaitu sistem memproduksi komponen antara lain dengan tiga kali frekuensi masukan. Jika sinyal input terdiri dari superposisi dua getaran dengan frekuensi ω1 dan ω2, maka sinyal output akan berisi tidak hanya komponen dengan kelipatan dari frekuensi tetapi juga komponen parsial dengan jumlah dan perbedaan frekuensi ω1 ω2, ω1 - ω2 2ω1 ω2, 2ω1 - ω2, 2ω2 ω1, 2ω2 - ω1, dll Jika sinyal suara yang dapat didengar adalah nada perbedaan dengan sudut-Frekuensi. Maka frekuensi ω1-ω2 sering kelihatan, misalnya, jika dua tali dari dawai membungkuk instrumen secara simultan, atau, stillmore jelas, jika bermain seruling dengan interval satu-ketiga. Ini adalah bukti jelas bahwa kami mendengar melakukan beberapa pemrosesan sinyal non-linear.
( )
