SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ & TEORIE SPOLEHLIVOSTI část 2: Statistika a pravděpodobnost

Unit 1

ATS

SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ & TEORIE SPOLEHLIVOSTI část 2: Statistika a pravděpodobnost

Drahomír Novák Jan Eliáš 2012

Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš

1

Unit 1

ATS

část 2 Statistika a pravděpodobnost

2012


2

Rozdělovací funkce (pdf)

Unit 1

ATS

 označení

f X ( x)  vlastnosti

nezáporná f X ( x)  0 jednotková plocha 



f X ( x)dx  1



Obrázek 1. pdf 2012


3

Distribuční funkce (cdf)

Unit 1

ATS

 označení

FX ( x)  definice

FX ( x)  P( X  x)  vlastnosti

lim FX ( x)  1 x 

lim FX ( x)  0

x 

FX ( x)  0 neklesající x 2012


Obrázek 3. cdf 4

Unit 1

Charakteristiky rozdělení

ATS

 střední hodnota = těžiště rozdělovací funkce

X   rozptyl



xf

X

( x)dx



- směrodatná odchylka



Var( X ) 

2 ( x   ) f X ( x)dx X 

 X = Var( X )



 100p% kvantil

Qp  FX1 ( p)  medián

X X

Obrázek 2. charakteristiky

X

Q0.5  FX1 (0.5) 2012


5

Co je a co není platná cdf nebo pdf

Unit 1

ATS

Obrázek 4. Testování kritérií cdf a pdf 2012


6

Sdružená hustota pravděpodobnosti

Unit 1

ATS

 Rozdělení pravděpodobnost dvou či více veličin

fX,Y,Z,…(x,y,z,…)

Obrázek 5. Sdružená hustota pravděpodobnosti 2012


7

Statistická závislost

Unit 1

ATS

 veličiny X a Y jsou nezávislé právě když

f XY ( x, y)  f X ( x) fY ( y)

Obrázek 6. Nezávislé a závislé veličiny 2012


8

Unit 1

Pearsonův korelační koeficient    

ATS

míra lineární závislosti r = 0 mohou či nemusí být závislé r ≠ 0 závislé r > 0 pozitivní korelace, r < 0 negativní korelace

Cov  X i , X j 

 limity

Ai , j 

 ( X ,Y )  2012

  xy f

var  X i   var  X j  XY

,

1, 1

( x, y )dxdy   X  y

X Y

 XY Spolehlivost konstrukcí, Drahomír Novák & Jan Eliáš

9

Unit 1

Korelační matice

ATS

• Diagonální • Symetrická • Pozitivně definitní náhodná veličina

1

A1,2

…

A1,NVar

1

…

A2,NVar

1

…

Symetrie korelační matice

1

… 1

náhodná veličina 2012


10

2D reprezentace závislosti

Unit 1

ATS

2012


11

Příklady ne/závislých veličin

Unit 1

ATS

 poslední řádek = nulová Pearsonova korelace, jinak ale závislé náhodné veličiny

Obrázek 7. Příklady Personovy korelační míry 2012


12

Neparametrické pořadové míry korelace

Unit 1

ATS

• Spearman, nezávislá na typu rozdělení, robustní, místo samotných hodnot používá jejich pořadí Ai , j  1 

6  Rki  Rkj  k

N Sim  N Sim 3

2

,

1, 1

Rki – pořadí vzorku Xi v seřazeném výběru

• Kendallovo tau τi  τ q ji ,p j  , j  1, 2,, N • Odolné k defektům v datech, používají jen pořadí

2012


13

Srovnání korelačních měr

Unit 1

ATS

 pro praktické spolehlivostní výpočty je rozdíl nepodstatný, protože je beztak často minimální znalost skutečné závislosti vstupních veličin  Pearson – klasická  Neparametrická - robustní

Obrázek 8. Spearmanova versus Pearsonova korelace 2012


14

Rovnoměrné (obdelníkové) rozdělení

Unit 1

ATS

 dva parametry  a – spodní mez  b – horní mez

 lze ho jednoduše simulovat na počítači

Obrázek 9. Rovnoměrné rozdělení 2012


15

Normální (Gaussovo) rozdělení

Unit 1

ATS

 dva parametry  m – střední hodnota  s – směrodatná odchylka

 výsledek centrálního limitního teorému (součet mnoha veličin vždy vede na Normální rozdělení)  například geometrické veličiny, IQ, … 2012

Obrázek 10. Normalní rozdělení


16

Standardizované normální rozdělení

Unit 1

ATS

 střední hodnota 0  směrodatná odchylka 1  symbol F

Obrázek 11. Standardizované normální rozdělení 2012


17

Unit 1

Lognormální rozdělení

ATS

 dva parametry  m – střední hodnota v logprostoru  s – směrodatná odchylka v log-prostoru

 omezeno zdola nulou  např. pevnost, hustota, nejistoty, Youngův modul, … Obrázek 12. Lognormální rozdělení 2012


18

Weibullovo rozdělení (2-parametrické)

Unit 1

ATS

 dva parametry  m – parametr tvaru  l – parametr měřítka

 výsledek teorie extrémních hodnot (minimum z mnoha veličin může vést na Weibullovo rozdělení)  např. pevnost, …  omezeno zdola nulou 2012

Obrázek 13. Weibullovo rozdělení


19

Unit 1

Beta rozdělení

ATS

 dva parametry  a, b – parametry tvaru

 oboustranně omezené  meze mohou být jednoduše upraveny z intervalu [0,1] na libovolný reálný interval => další dva parametry Obrázek 14. Beta rozdělení 2012


20

Určení vhodného rozdělení

Unit 1

ATS

 střední část může být určena z histogramů, ale pro spolehlivostní výpočty jsou nejdůležitější okrajové části !!!  nutnost určení rozdělení teoreticky (z fyzikálních principů)  Statistické testy:  Kolmogorov-Smirnov  Chi-square test

Obrázek 15. Hledání optimálního rozdělení 2012


21

Stochastický proces v čase

Unit 1

ATS

 ne pouze jednotlivé hodnoty ale také jejich časová posloupnost  např. meteorol. data, výška hladiny, rychlost větru  stacionární proces – charakteristiky procesu (střední hodnota, rozptyl, vyšší statistické momenty + korelace) se s časem nemění  A – klasický histogram  E – histogram extrémních hodnot  auto-korelační funkce, spektrální hustota  stochastická metoda konečných prvků  nestacionární proces

Obrázek 16. Stochastický proces

2012


22

Unit 1

Náhodné pole – prostorová závislost

ATS

 Pevnost materiálu, Youngův modul, … veličiny se mění v prostoru spíše spojitě  spojitost lze zajistit požadováním kladné korelační závislosti jejíž velikost je dána vzdáleností   || x  x || 2 

ij  exp   

d is correlation length

Obrázek 17. Náhodné pole ve 2D 2012

 

i

j

d

   

 více veličin lze reprezentovat více náhodnými poli s vzájemnou korelací

Obrázek 18. Náhodné pole ve 3D


23

SPOLEHLIVOST KONSTRUKCÍ & TEORIE SPOLEHLIVOSTI část 2: Statistika a pravděpodobnost

Recommend Documents