Spektrum Gstar(1;1) Nunung Nurhayati1,4), Udjianna Sekteria Pasaribu1), Dudung Muhally Hakim2), dan Oki Neswan3) 1) Kelompok Keahlian Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Bandung, Bandung 2) Kelompok Keahlian Inderaja dan Sains Informasi Geografis, Fakultas Ilmu dan Teknologi Kebumian, Institut Teknologi Bandung, Bandung 3) Kelompok Keahlian Analisis dan Geometri, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Bandung, Bandung 4) Jurusan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Sains dan Teknik, Universitas Jenderal Soedirman, Purwokerto email:
[email protected], Diterima 29 Mei 2007, disetujui untuk dipublikasikan 3 Desember 2008 Abstrak Pada artikel ini akan dibahas perumusan spektrum (spectral density matrix) GSTAR(1;1) yang stasioner dengan menganggap model tersebut sebagai VMA(∞). Spektrum dapat diperoleh melalui langkah-langkah berikut: nyatakan GSTAR(1;1) sebagai VMA(∞) dan konversikan hasilnya dalam bentuk operator mundur, kemudian substitusikan koefisien model ke spektrum VMA(∞). Contoh penentuan spektrum GSTAR(1;1) akan dibahas untuk model GSTAR(1;1) dua dimensi. Kata Kunci: Spektrum, GSTAR(1;1), VMA(∞), Fungsi pembangkit matriks kovariansi Abstract In this paper we formulate the spectrum (spectral density matrix) of the stationary GSTAR(1;1) model by considering the model as VMA(∞). The spectrum can be obtained by following steps: represent the model as an VMA(∞) and convert the model to the backward operator form, then substitute the coefficient model to the spectrum of VMA(∞) model. The procedure of finding spectrum of GSTAR(1;1) which parameters are given, is illustrated by a two dimensional GSTAR(1;1) model. Keywords: Spectrum, GSTAR(1;1) Model, VMA(∞) Model, Covariance matrix generating function Jika pada STAR(1;1) parameter model dianggap bernilai sama untuk setiap lokasi, maka pada GSTAR(1;1) nilainya dapat bervariasi. Pada artikel ini dibahas perumusan matriks spektrum GSTAR(1;1) yang stasioner dengan memandang GSTAR(1;1) sebagai model Vector Moving Average berorde tak hingga atau VMA(∞). Spektrum teoritis GSTAR(1;1) ini diharapkan dapat digunakan sebagai metode parametrik dalam penentuan spektrum untuk kasus data ruang waktu sebenarnya. Untuk merumuskan matriks spektrum GSTAR(1;1) diperlukan asumsi kestasioneran model. Asumsi ini diperlukan untuk menjamin bahwa model GSTAR(1;1) dapat dinyatakan dalam VMA(∞). Secara detail, perumusan matriks spektrum GSTAR(1;1) akan dibahas pada Bagian 4. Sebelumnya, pada Bagian 2 dan 3, akan diperkenalkan spektrum vektor deret waktu secara umum dan spektrum proses VMA(∞). Selanjutnya, tulisan ini akan diakhiri dengan satu contoh sederhana untuk menentukan matriks spektrum GSTAR(1;1) untuk kasus dua lokasi. Perhitungan dan
1. Pendahuluan Seperti fungsi autokovariansi pada domain waktu, spektrum atau fungsi densitas spektral mempunyai peranan penting dalam analisis deret waktu dengan domain frekuensi. Keduanya sangat berperan dalam proses pembangunan model deret waktu. Meskipun digunakan dalam domain berbeda, spektrum dan fungsi autokovariansi merupakan dua fungsi yang ekivalen (Koopmans, 1974). Spektrum dapat diperoleh melalui transformasi Fourier terhadap fungsi autokovariansi. Sebaliknya, fungsi autokovariansi dapat ditentukan melalui invers transformasi Fourier terhadap fungsi spektrum. Untuk kasus data ruang waktu, spektrum yang dimaksud disebut matriks densitas spektral. GSTAR(1;1) atau Generalisasi Space Time Autoregresi orde pertama adalah model ruang waktu yang mengkombinasikan model deret waktu dan analisis spasial (Ruchjana, 2002). Model ini juga merupakan perumuman model STAR(1;1) yang dikembangkan Pfeifer dan Deutsch (1980a, 1980b). 118
Nurhayati, dkk., Spektrum Gstar(1;1) 119
plot grafik spektrum dilakukan dengan menggunakan program Matlab 7.01.
disebut autospektrum deret waktu ke-i, sedangkan elemen nondiagonalnya
2. Spektrum vektor deret waktu
hij (ω ) =
Misalkan Z(t ) = ( Z1 (t ),., Z N (t )) , t=0,±1,±2, vektor deret waktu stasioner, dengan rataan E[Z(t )] = µ = ( µ1 , K , µ N )t dan matriks autokovariansi t
∞
∑γ
k =−∞
ij
(k )e− iω k
(5)
= E[(Z(t ) − µ)(Z(t + k ) − µ )t ]
disebut spektrum silang (cross spectrum) dari deret waktu ke-i dan j. Dengan menggunakan sifat fungsi autokovariansi, γ ii (k ) = γ ii (−k ) .
= E[(Z(t ) − µ)(Z(t − k ) − µ )t ],
dan sifat fungsi trigonometri,
Γ k = [γ ij (k )]
di mana
sin(−ω k ) = − sin(ω k ) dan sin(0) = 0,
γ ij ( k ) = cov( Z i (t ), Z j (t + k ))
autospektrum pada (4) dapat disederhanakan menjadi
= E[( Z i (t ) − µi )( Z j (t + k ) − µ j )] = E[( Z i (t − k ) − µi )( Z j (t ) − µ j )]
hii (ω ) =
untuk k = 0, ± 1, ± 2, K dan i, j = 1, 2 K , N . Didefinisikan fungsi pembangkit kovariansi dari Z(t) sebagai ∞
Γ( B) =
∑Γ
k =−∞
Jika
1 2π
k
(1)
Bk
{Γ k , k = 0, ± 1, ± 2, K} a 2 + b 2
summable yaitu
∑
matriks
∞ k =−∞
spektral atau spektrum dari deret waktu Z(t) dapat didefinisikan sebagai transformasi Fourier dari matriks autokovariansi Γk (Wei, 1990). h(ω ) =
1 2π
∑Γe k
k =−∞
− iω k
, −π ≤ ω ≤ π .
(2)
Perhatikan bahwa matriks spektrum tersebut juga dapat dianggap sebagai 1/(2π) dari fungsi pembangkit matriks kovariansi Γ( B ) untuk B = e − iω h(ω ) =
1 2π
∞
∑
k =−∞
Γ k e − iω k =
Elemen diagonal dari hii (ω ) =
1 2π
∞
ii
(k )e − iω k
∑γ
k =−∞
ii
(k ) cos(ω k ) .
Elemen-elemen diagonal matriks spektrum pada Gambar 1 merupakan contoh autospektrum hii(ω) untuk kasus N = 2. Sedangkan elemen-elemen nondiagonalnya merupakan spektrum silang antara variabel pertama dan kedua. Dari sifat spektrum deret waktu univariat hii (ω ) selalu bernilai riil, namun hal ini tidak berlaku untuk spektrum silang hij (ω ). Secara umum hij (ω ) akan bernilai kompleks karena γ ij (k ) ≠ γ ij (− k )
untuk i ≠ j . Dengan demikian
hij (ω ) dapat ditulis
menjadi
hij (ω ) = cij (ω ) − iqij (ω ) .
(6)
Komponen riil dari hij (ω ) atau cij (ω ) =
(3)
1 2π
∞
∑γ
k =−∞
ij
(k ) cos(ω k )
(7)
disebut kospektrum (cospectrum) dari deret waktu kei dan j. Sedangkan negatif imajiner dari hij (ω )
h(ω ) atau
∑γ
k =−∞
1 Γ(e − iω ) . 2π
∞
Kospektrum dan kuadratur
absolutely
| γ ij (k ) | < ∞ , matriks densitas
∞
1 2π
(4)
∞ ⎛ γ 11 (k ) cos(ω k ) ∑ ⎜ 1 ⎜ k =−∞ h(ω ) = 2π ⎜ ∞ ⎜ ∑ γ 21 (k )[cos(ω k ) − i sin(ω k )] ⎝ k =−∞
∞
∑γ
k =−∞
⎞ (k )[cos(ω k ) − i sin(ω k )] ⎟ ⎟ ∞ ⎟ γ 22 (k ) cos(ω k ) ⎟ ∑ k =−∞ ⎠
12
Gambar 1. Matriks spektrum vektor deret waktu untuk kasus N = 2.
120 JURNAL MATEMATIKA DAN SAINS, DESEMBER 2008, VOL. 13 NO. 4
∞
1 2π
qij (ω ) =
∞
∑γ
k =−∞
ij
(k ) sin(ω k )
(8)
disebut kuadratur (quadrature spectrum) dari deret waktu ke-i dan j. Koherensi
Koherensi
K ij2 (ω )
didefinisikan
sebagai
standarisasi dari kuadrat spektrum silang hij (ω ) atau | hij (ω ) |
di mana Ψ ( B ) = ∑ Ψ s B s . s =0
Matriks spektrum Untuk menentukan matriks spektrum VMA(∞) diperlukan pengetahuan tentang matriks autokovariansi dan fungsi pembangkit matriks kovariansi. Berikut akan ditunjukkan bahwa (a) Matriks autokovariansi VMA(∞) adalah, ∞
Γ k = ∑ Ψ j + k ΩΨ tj
2
K ij2 (ω ) =
hi (ω )h j (ω )
di mana hi,(ω)≠0 dan hj(ω)≠0. Untuk hi,(ω)=0 dan hj(ω)=0., koherensi didefinisikan sebagai K ij2 (ω ) = 0 Wei (1990) telah menunjukkan bahwa koherensi tidak lain kuadrat koefisien korelasi antara komponen Z i (t ) dan komponen Z j (t ) yang masingmasing berkaitan dengan frekuensi ω. Dengan demikian nilai K ij2 (ω ) selalu berkisar antara 0 dan 1. Nilai K ij2 (ω ) yang dekat ke 1 menunjukkan bahwa untuk frekuensi ω, deret waktu ke i dan j mempunyai hubungan linier yang sangat erat. Sebaliknya, nilai koherensi yang dekat ke 0 menunjukkan hubungan linier antara deret waktu ke-i dan j, sangat renggang.
3. Spektrum Vektor MA(∞) Menurut Wei (1990), vektor deret waktu Z (t ) = ( Z1 (t ), K , Z N (t ))t , t = 0, ±1, ±2, K dengan rataan E[Z(t)] = 0 dikatakan mengikuti proses vektor moving average orde tak hingga atau VMA(∞) jika Z(t) dapat ditulis sebagai
Z(t ) = e(t ) + Ψ1e(t − 1) + Ψ 2 e(t − 2) + L (10)
∞
= ∑ Ψ s e(t − s ), s =0
di mana e(t) vektor random dengan rataan 0 dan matriks kovariansi
⎧Ω, k = 0 . E[e(t )e(t + k )t ] = ⎨ ⎩0, k ≠ 0
Γ( B ) = Ψ ( B)Ω[Ψ ( B −1 )]t
e(t-s) yang bersifat square summable ( ∑ s = 0ψ
2 ij , s
< ∞ ).
Untuk s = 0, Ψ s didefinisikan dengan Ψ 0 = I N . Dalam bentuk operator mundur B yang B s e(t ) = e(t − s ), proses didefinisikan dengan VMA(∞) dapat dinyatakan sebagai (11)
(13)
Bukti Untuk membuktikan (a), subtitusikan Z(t) pada persamaan (10) ke definisi matriks autokovariansi
Γ k = E[(Z(t ) − µ)(Z(t − k ) − µ)t ] t ⎡⎛ ∞ ⎞ ⎤ Misalkan ⎞⎛ ∞ = E ⎢⎜ ∑ Ψ s e(t − s ) ⎟ ⎜ ∑ Ψ j e(t − k − j ) ⎟ ⎥ ⎢⎣⎝ s = 0 ⎠ ⎝ j =0 ⎠ ⎥⎦
i = s – k sehingga Ψ s = Ψ i + k dan e(t − s ) = e(t − i − k ) . Maka t ⎡ ∞ ⎛ ∞ ⎞⎤ ⎢ Γ k = E ∑ Ψ i + k e(t − i − k ) ⎜ ∑ Ψ j e(t − j − k ) ⎟ ⎥ ⎢ i =− k ⎝ j =0 ⎠ ⎥⎦ ⎣ ⎡ ∞ ∞ ⎤ = E ⎢ ∑ ∑ Ψ i + k e(t − i − k ) e(t − j − k )t Ψ tj ⎥ ⎣ i =− k j = 0 ⎦
∞
= ∑ Ψ j + k ΩΨ tj . j =0
Untuk membuktikan bagian (b), subtitusikan Γk pada (12) ke persamaan (1) sehingga diperoleh Γ( B) = =
∞
Z(t ) = Ψ ( B )e(t ) .
(b) Fungsi pembangkit matriks kovariansi VMA(∞) adalah
∞
∑Γ
k =−∞
Sedangkan Ψ s = [ψ ij , s ] adalah matriks koefisien dari
(12)
j =0
(9)
∞
k
Bk
∞
∑ ∑Ψ
k =−∞ j = 0 ∞
j +k
ΩΨ tj B k
∞
= ∑∑ Ψ i ΩΨ tj B i − j i =0 j =0
⎞ ⎛ ∞ ⎞ ⎛ ∞ = ⎜ ∑ Ψ ti B i ⎟ Ω ⎜ ∑ Ψ tj B − j ⎟ ⎝ i =0 ⎠ ⎝ j =0 ⎠
= Ψ ( B )Ω[Ψ ( B −1 )]t
Nurhayati, dkk., Spektrum Gstar(1;1) 121
Matriks spektrum VMA(∞) dapat diperoleh dengan mensubstitusikan fungsi pembangkit Γ( B) pada (13) untuk B = e − iω ke persamaan (3)
h(ω ) =
∞
s =0
|B| ≤ 1 jika
1 Ψ (e − iω )Ω[Ψ (eiω )]t . 2π
(14)
4. Spektrum GSTAR(1;1) Vektor deret waktu Z(t) = (Z1 (t),K, ZN (t))t dengan indeks i = 1, 2,..., N menyatakan lokasi, dan t = 0, ±1, ±2, K menyatakan waktu, seringkali disebut juga proses ruang waktu (space time). Proses Z (t ) = ( Z1 (t ), K , Z N (t ))t , t=0,±1,±2, dengan E[Z(t )] = 0 dikatakan mengikuti model GSTAR(1;1) jika Z(t ) = (Φ0 + Φ1 W )Z(t − 1) + e(t ) ,
det(I − ΦB) ≠ 0 . Atau dengan kata lain, jika modulus akar-akar persamaan det(I − ΦB ) = 0 berada di luar lingkaran satuan. Misalkan z=a+ib akar persamaan det(I-ΦB)=0 dengan modulus di luar lingkaran satuan atau z = a 2 + b2 > 1 Sekarang misalkan
λ = z −1 =
diag( φ11 , K , φ1 N ) masing-masing disebut parameter regresi waktu dan parameter regresi lokasi. Matriks W = [wij] disebut matriks bobot spasial berukuran N x N yang memenuhi wii = 0 dan jumlah setiap barisnya 1 (
∑
j =1
wij = 1 ). Vektor e(t) disebut vektor galat yang
diasumsikan berdistribusi normal dengan rataan 0 dan matriks kovariansi IN Dalam bentuk operator mundur, GSTAR(1;1) juga dapat ditulis sebagai (I − ΦB )Z(t ) = e(t ) ,
=
maka proses
Z(t ) = (I − ΦB ) −1 e(t ) .
konvergen
∞
(17)
dapat didekati oleh deret
Ψ( B) = ∑ Ψ s B s , s =0
λ = z −1 =
a b −i 2 a2 + b2 a + b2 2
⎛ a ⎞ ⎛ b ⎞ = ⎜ 2 +⎜ 2 2 ⎟ 2 ⎟ ⎝ a +b ⎠ ⎝ a +b ⎠ =
2
a2 + b2 a2 + b2 = 2 2 2 2 a + b2 (a + b ) 1 a +b 2
2
=
1 z
sehingga jika |z| > 1 maka |λ| < 1.
Jika (I − ΦB ) nonsingular, GSTAR(1;1) dapat ditulis
(I − ΦB) −1
dan
=
Syarat kestasioneran
Seandainya
1 z
(16)
di mana Φ = Φ 0 + Φ1 W .
λ = z −1 , maka
a − ib 1 = 2 a + ib a + b 2 a b = 2 −i 2 a + b2 a + b2
(15)
di mana matriks Φ 0 = diag( φ01 , K , φ0 N ) dan Φ1 =
N
1 adj (I − ΦB ) det(I − ΦB )
sehingga deret Ψ ( B) = ∑ Ψ s B s akan konvergen untuk
1 Γ(e − iω ) 2π
=
(I − ΦB ) −1 =
dengan
Ψs
square
summable, maka GSTAR(1;1) dapat dipandang sebagai VMA(∞). Karena VMA(∞) pada persamaan (10) selalu stasioner, maka kita dapat mengatakan bahwa GSTAR(1;1) stasioner jika model tersebut dapat dinyatakan sebagai VMA(∞). Perhatikan bahwa
Dengan demikian, jika λ = z −1 maka akarakar persamaan det(I − ΦB ) = 0 yang modulusnya berada di luar lingkaran satuan akan ekivalen dengan akar-akar persamaan det(λ I − Φ) = 0 yang berada di dalam lingkaran satuan. Tetapi akar-akar persamaan det(λ I − Φ) = 0 tidak lain adalah nilai eigen matriks Φ sehingga alternatif untuk mengatakan bahwa model GSTAR(1;1) stasioner adalah jika modulus nilai-nilai eigen matriks Φ berada di dalam lingkaran satuan.
122 JURNAL MATEMATIKA DAN SAINS, DESEMBER 2008, VOL. 13 NO. 4
Matriks spektrum
dengan Ψ s = Φ s .
Sebelum merumuskan spektrum GSTAR(1;1), terlebih dahulu akan ditunjukkan bahwa GSTAR(1;1) pada (15) yang stasioner dapat dinyatakan sebagai VMA(∞) pada (10) dengan Ψ s = Φ s .
Selain itu, lim Λ n = 0 juga mengakibatkan n →∞
∞
∑Φ
∞
j
j =0
Bukti Model GSTAR(1;1) pada persamaan (15) dapat ditulis menjadi Z(t ) = e(t ) + ΦZ(t − 1) ,
j =0
Dengan demikian GSTAR(1;1) yang stasioner selalu dapat dinyatakan sebagai VMA(∞) dengan Ψ s = Φ s Dalam bentuk operator mundur B, persamaan (18) dapat ditulis menjadi
Z(t ) = Ψ ( B )e(t ) .
dengan Φ = Φ 0 + Φ1 W . Secara rekursif, Z(t ) dapat ditulis
Ψ ( B ) = (I − ΦB ) −1 = (I − (Φ0 + Φ1 W ) B ) −1 .
= e(t ) + Φe(t − 1) + Φ 2 e(t − 2) + Φ3 Z(t − 3) = e(t ) + Φe(t − 1) + L
Dengan mensubtitusikan persamaan (19) ke (14) akan diperoleh spektrum GSTAR(1;1)
+ Φ n −1e(t − (n − 1)) + Φ n Z(t − n).
h(ω ) =
Sekarang, akan ditunjukkan bahwa untuk n → ∞ , ∞
∑Φ
n→∞
j
(19)
dengan
Z(t ) = e(t ) + Φe(t − 1) + Φ 2 Z(t − 2)
lim Φ n = 0 dan
= ∑ PΛ j P −1 < ∞ .
<∞.
j =0
Misalkan λ1 , K, λN nilai eigen dari Φ yang berkaitan dengan vektor eigen v1 , K , v N . Maka terdapat matriks P = ( v1 , K , v N ) yang memenuhi P-1 = Pt (ortogonal) sehingga P −1ΦP = Λ = diag (λ1 , K , λN )
atau ekivalen dengan Φ = PΛ P −1 . Akibatnya
Φ n = (PΛ P −1 ) n = PΛ n P −1 . |λi| < 1 untuk setiap i = 1, 2, K , N maka untuk n → ∞ , lim λin = 0 dan lim Λ n = 0 , sehingga
1 [I − (Φ 0 + Φ1 W )e − iω ]−1 Ω 2π × [I − (Φ 0 + Φ1 W )t eiω ]−1
(20)
Bukti 1 Ψ (e − iω )Ω[Ψ (eiω )]t 2π 1 = (I − Φe − iω ) −1 Ω(I − Φt eiω ) −1 2π 1 = (I − (Φ 0 + Φ1 W )e − iω ) −1 Ω 2π × (I − (Φ 0 + Φ1 W )t eiω ) −1
h(ω ) =
Jika
n →∞
n →∞
Sebagai ilustrasi, berikut akan ditentukan matriks spektrum dari model GSTAR(1;1) dengan parameter Φ0 = diag(0,3 ; 0,5), Φ1 = diag(-0,6 ; 0,2 ), ⎛0 1⎞ matriks bobot spasial W = ⎜ ⎟ , dan matriks ⎝1 0⎠
lim Φ n = lim PΛ n P −1 = 0
n →∞
n →∞
dan lim Φ n Z(t − n) = 0 .
n →∞
kovariansi galat Ω = I2. Sebagai langkah pertama, kita hitung matriks
Jadi untuk n → ∞ , GSTAR(1;1) dapat ditulis
⎛ 0,3 -0,6 ⎞ Φ = Φ 0 + Φ1 W = ⎜ ⎟. ⎝ 0, 2 0,5 ⎠
Z(t ) = e(t ) + Φe(t − 1) + Φ 2 e(t − 2) + L ∞
= ∑ Φ s e(t − s ) s =0
atau ∞
Z(t ) = ∑ Ψ s e(t − s ) , s =0
5. Contoh Spektrum GSTAR (1;1)
(18)
Selanjutnya, dilakukan uji kestasioneran model dengan menghitung nilai eigen dari Φ dan masing-masing modulusnya. Hasil perhitungan menunjukkan bahwa nilai eigen dari Φ adalah λ1,2 = 0, 4000 ± 0,3317 i dan modulusnya
Nurhayati, dkk., Spektrum Gstar(1;1) 123
| λ1 | = | λ2 | = 0,5196 < 1 . Karena kedua nilai eigen tersebut berada dalam lingkaran satuan maka dapat disimpulkan bahwa model GSTAR tersebut stasioner. Matriks spektrum dapat ditentukan dengan mensubstitusikan parameter-parameter yang diketahui ke persamaan (20) sehingga diperoleh
=
1 2π
⎛ 1-0.3e − iω 0, 6e− iω ⎞ ⎜ ⎟ − iω 1 − 0,5e− iω ⎠ ⎝ −0, 2e ⎛ ⎛ 1-0.3e − iω × ⎜⎜ ⎜ 0, 6e − iω ⎝⎝
−1
−1
−0, 2e − iω ⎞ ⎞ ⎟⎟ , 1 − 0,5e − iω ⎠ ⎟⎠
Sebagai contoh, untuk ω = π / 2
1 [I − (Φ 0 + Φ1 W )e − iω ]−1 Ω h(ω ) = 2π × [I − (Φ 0 + Φ1 W )' eiω ]−1
0,1071 + 1, 0714 i ⎞ ⎛ 2,1562 h(π / 2) = ⎜ ⎟. 0,1071 1, 0714 i 1,5133 + ⎝ ⎠
Perilaku spektrum, kospektrum, dan kuadratur antara deret waktu di lokasi 1 dan lokasi 2, secara visual dapat diamati pada Gambar 2. Spektrum lokasi 1
Spektrum lokasi 2
6
6
4
Spektrum
Spektrum
Frek = 0.64
2 0
0
1 Frek = 2.3
1
2 3 Frekuensi Kuadratur lokasi 1 dan 2
-1 Spektrum
Spektrum
0
0
0 -1 -2 -3
2 0
1 2 3 Frekuensi Kospektrum lokasi 1 dan 2
Frek = 0.57
4
0
1 2 Frekuensi
3
-2 -3 -4
Frek = 0.73
0
1
2 Frekuensi
3
Gambar 2. Spektrum deret waktu di lokasi 1 dan 2, serta kospektrum dan kuadratur antara deret waktu di lokasi 1 dan deret waktu di lokasi 2. 6. Kesimpulan Telah ditunjukkan bahwa dengan memandang proses GSTAR yang stasioner sebagai model VMA(∞), matriks spektrum dapat dirumuskan seperti pada persamaan (20). Hasil ini diharapkan dapat digunakan sebagai metode parametrik dalam penentuan spektrum untuk kasus data ruang waktu sebenarnya. Ucapan Terima kasih Penelitian ini dibiayai oleh Program Insentif Kementrian Negara Riset dan Teknologi berdasarkan SK Menristek No. 97/M/KP/XI/2007.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr. Sutawanir Darwis, Dr. Dumaria RT, Sumanto WH, M.Com, dan Utriweni Mukhaiyar, M.Si. atas saransaran. Selain itu, ucapan terima kasih disampaikan juga kepada Tim Dewan Redaksi JMS dan para reviewer atas koreksi dan masukannya. Daftar Pustaka Hamilton, J. D., 1994, Time Series Analysis, Princeton University Press, New Jersey Koopmans, L. H., 1974, The Spectral Analysis of Time Series, Academic Press, New York.
124 JURNAL MATEMATIKA DAN SAINS, DESEMBER 2008, VOL. 13 NO. 4
Pfeifer, P. E. and S. J. Deutsch, 1980a, A Three-stage Iterative Procedure for Space Time Modeling, Technometrics, 22, 397-408. Pfeifer, P. E. and S. J. Deutsch, 1980b, Identification and Interpretation of First Order Space-time ARMA Models, Technometrics, 22, 397-408.
Ruchjana, B. N, 2002, Suatu Model Generalisasi Space-Time Autoregresi dan Penerapannya pada Produksi Minyak Bumi, Disertasi Program Doktor, Institut Teknologi Bandung. Wei, W. W. S., 1990, Time Series Analysis, Addison Wesley, 1st edition, California.
