INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
P R O GR A M S TU D I F I SI K A
SOLUTION
FI-5002 Mekanika Statistik SEMESTER/ Sem. 2- 2016/2017 PR#4 : Distribusi bose Einstein dan interaksi kuat Kumpulkan di Selasa 19 April 2017 di P Daryat. Catatan: Bilamana diperlukan berbagai berbagai konstanta elementer silakan dilengkapi sendiri.
1. Hamiltonian model Ising 1D dengan syarat batas periodic dengan medan magnet luar B diberikan oleh:
Dengan konstanta kopling J>0, dan spin . a. Memakai metoda Transfer Matrix tunjukkanlah (langkah detail) fungsi partisi kanonik dinyatakan oleh : (bobot:10)
b. Pakailah (a) tsb untuk turunkan dengan detail magnetisasi pada suhu konstan, dan tunjukkanlah bahwa pada suhu berapapun juga magnetisasinya selalu NOL jika medan luar NOL. (bobot:5) c. Turunkanlah ungkapan bagi susceptibilitas magnetik isothermalnya. (bobot:5) d. Berapakah energi rata-rata dan kapasitas kalornya ? (bobot:5) JAWAB: a. Fungsi partisi kanonik dapat dituliskan sbb:
QN e 1
J
N
h
N
i 1
i i1 2 i i1 i 1
N
QN e 1
h
h
J 1 2 1 2 J 2 3 2 3 2 2
e
e
h 2
J N 1 N 1
N
Definisikan matrix P:
QN P 1 2 P 2 3 P N 1 1
N
1 P N 1 1
Atau dengan
: nilai eigen dari matrix P, yang dapat diperoleh melalui pers. auxiliary:
Ambil
jadi
:
Pada limit thermodinamika N , maka
b. Magnetisasi pada suhu konstan:
dengan sehingga
dimana : sehingga:
Jika medan luar NOL, maka : Jadi tak pernah terjadi order state. Atau tak ada temperatur transisi ke order state. c. Susceptibilitas magnetik:
d. Energi rata-ratanya:
dengan
Kapasitas kalor :
Karena bentuk U sudah complicated. Cukup sampai di definisi ini saja sudah OK. 2. a. Tuliskanlah hamiltonian model Ising 3D pada kisi kubik dngan interaksi antara tetangga terdekat saja dengan medan magnet luar B. (bobot:5) b. Untuk kasus (a) di atas, carilah solusi mean field-nya untuk magnetisasi rata=rata per spin, m(T) jika B=0. Berapakah critical exponentnya ? (bobot:10) b. Buat sketsa grafik m(T) (bobot:5) c. Berapakah energi rata-ratanya U(T)? (bobot:5) d. Berapakah kapasitas kalornya ? (bobot:5) JAWAB: a. Hamiltonian pada kisi kubik dengan interaksi tetangga terdekat:
dengan {i,j} artinya penjumlahan hanya untuk spin yg saling berdekatan (tetangga terdekat). b. Mean field solution Ambil hamiltonian untuk 1 spin central 0:
dengan h=0, maka jika rata-rata spin
dapat dituliskan bahwa:
Dalam pendekatan Mean Field, penjumlahan suku fluktuasi Sehingga hamiltonian mean field untuk 1 spin central :
diabaikan (kecil atau menuju NOL).
Terjadi de coupling antar spin! Jadi dapat diterapkan seperti pada kasus non interacting spin. Dalam aproksimasi mean field nilai rata-rata spinnya :
Secara umum persamaan terakhir ini diselesaikan secara numerik atau grafis untuk mendapatkan nilai m, untuk nilai temperatur tertentu. Temperatur kritis terjadi jika slope di m=0 bernilai =1: Dekat daerah kritis, order parameter m dapat kita ekspansikan dalam parameter kecil t yg didefinisikan sbb: sehingga pers. mean fieldnya menjadi:
•
Uraikan
•
Karena t kecil, untuk
, untuk x kecil maka
Dengan mengabaikan suku-suku
untuk n>1. Maka:
c. Sketsa bentuk m(T)
n0 1.5
m
1 0.5 0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
T/Tc
d. Energi dalam aproksimasi mean fieldnya: Hamiltonian mean field: Fungsi partisi kanonik dalam aproksimasi mean field:
Nilai energi rata-ratanya:
Hasil yang sama juga bisa diperoleh dengan pendekatan (MF) sebagai berikut: - tiap lokasi berisi spin rata-rata (MF) = m. - Spin ini berinteraksi dengan “medan luar MF” hMF = -6Jm - Jadi energi tiap spin = m hMF = -6Jm2 - Total energi sistem N spin U = -N6Jm2 (Sampai disini sudah OK) dengan solusi aproksimasi :
maka :
e. Kapasitas kalor
3. Bagi sistem gas Boson ideal berlaku persamaan berikut ini:
Buktikan untuk kasus z kecil dapat dituliskan sbg:
(bobot:10)
(bobot:10) Dengan
Jawab: Kita olah bagian integral :
definisikan: sehingga :
Selanjutnya gunakan uraian Taylor bagi ln:
sehingga:
Substitusikan kembali ke P/kT:
dengan definisi thermal wavelength:
maka :
dimana:
Persamaan bagian kedua dapat dibuktikan melalui cara serupa, tetapi ada cara lain yg lebih singkat sbb: Dari hasil di atas, tinjau persamaan:
Ambil derivative thd z di kedua ruas:
atau :
Padahal
Sehingga :
Derivative g5/2 (z) mudah dihitung:
4.a Jika adalah jumlah boson (spin=0) yg memiliki momentum NOL dan N adalah total boson dalam sistem, turunkan secara detail fraksi boson yang terkondensasi sebagai fungsi temperatur. Buatlah sketsa grafiknya. (bobot:10) 4b. Untuk gas Boson ideal misalkan diketahui , carilah secara numerik nilai z yang bersesuaian (teliti 3 desimal). (bobot:5) 4c. Pakailah (4b) tsb untuk menuliskan persamaan keadaan dalam kasus ini. (bobot:5) 4d. Ulangi (4b,c) untuk kasus
. (bobot:5)
Jawab: a. Untuk gas boson ideal berlaku bahwa: atau dapat dituliskan juga sebagai (dengan n=1/v=N/V), ketika terjadi kondensasi maka z mencapai nilai maksimumnya yaitu z=1, sehingga , dan sebagian dari boson harus memiliki momentum NOL (terkondensasi), n0:
atau:
tetapi nilai kritis
, sehingga :
Tetapi by definition:
sehingga :
n0/N
n0/N 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
T/Tc
4b. Untuk gas Boson ideal misalkan diketahui (teliti 3 desimal).
, carilah secara numerik nilai z yang bersesuaian
Karena
, belom ada kondensasi, ini berarti kita harus memecahkan secara
numerik (mencari z):
dengan
deret ini sangat lambat konvergen, membutuhkan banyak sekali suku agar teliti hingga misalnya 4 desimal. Cobalah periksa berapa suku diperlukan agar hasilnya teliti hingga 4 desimal.
Solusi numerik (misalnya dengan bisection method), memberikan hasil z= 0.999 (hingga 3 desimal). 4c. Persamaan keadaan terkait, diberikan untuk z=0.999 tsb:
dengan
maka:
4d. Ulangi (4b,c) untuk kasus Karena
.
maka , z=1. Sehingga
Persamaan keadaannya menjadi:
dengan
maka
&&&&&&&&&&&APR2017&&&&&&&&&&&
