INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
P R O GR A M S TU D I F I SI K A FI-5002 Mekanika Statistik SEMESTER/ Sem. 2- 2016/2017 QUIZ 2 Waktu : 120 menit (TUTUP BUKU)
SOLUTION
1. Misalkan sebuah kotak memiliki 3 status berbeda yang diperoleh sebagai solusi Pers. Schrodinger untuk partikel tunggal. Adapun status keadaan dan energi terkait adalah sbb Status 0 1 2 Energi 0 a 2a Tuliskan fungsi partisi kanonik sistem ini jikalau kotak tsb berisi partikel-partikel yg tak saling berinteraksi (klasik), jikalau: a. hanya 1 partikel. (bobot:5) b. Berisi2 partikel yg terbedakan. (bobot:5) c. Berisi 2 boson identik (bobot:10) d. Berisi 2 fermion identik (bobot:10) Jawab: a. Untuk 1 partikel tunggal, Hamiltonian sistem ini
Telah dipakai jumlah deret geometri. b. dengan adalah status keadaan partikel ke-j, ; energi partikel dengan status . Karena kedua partikel terbedakan maka berarti : -partikel pertama bisa menempati 3 status keadaan berbeda, dan untuk setiap status partikel-1 ini, - partikel kedua bisa menempati 3 status keadaan berbeda juga. Sehingga total ada 3*3 kombinasi status keadaan sistem 2 partikel ini , masing-masing tetap memiliki energi total = Status partikel (1,2) 0 1 2
0 0 1a 2a
1 a 2a 3a
2 2a 3a 4a
Fungsi partisi kanonik sistem ini :
c. Jika berisi 2 boson identik, maka : - ada 5 cara berbeda untuk menempatkan kedua boson tsb di status yang sama , - untuk yg boson berada di status berbeda ada sebanyak : boson pertama : 5 status berbeda, untuk tiap boson ini, maka boson kedua bisa menempati (5-1=4) status yg beda dari yang pertama. Jadi total ada sebanyak 5x4 = 20 kombinasi. Akan tetapi karena boson tidak terbedakan, maka pertukaran status antara dua boson (misal boson 1 di status-1 boson 2 di status 2, lalu ditukar menjadi boson 2 di status 1 dan boson 1 di status 2) tidak akan bisa dibedakan. Akibatnya secara keseluruhan ada sebanyak: (5x4)/2 = 10 status keadaan sistem 2 boson yg masing-masing bosonnya beda statusnya. Total berarti ada sebanyak 5 + 10 = 15 status sistem 2 boson ini.
Status boson (1,2) 0 1 2
0 0
1 a 2a
2 2a 3a 4a
Catatan: i. berbeda dengan soal (b), maka misalnya status jadi hanya dihitung 1 kali. ii. tidak ada faktor Sebab faktor tak terbedakan sudah diperhitungkan dalam penjumlahan di atas! d. Jika berisi 2 fermion identik, maka : - kedua fermion harus menempati status keadaan berbeda (aturan Pauli!), sehingga fermion pertama : 5 status berbeda, untuk tiap fermion ini, maka fermion kedua bisa menempati (5-1=4) status yg beda dari yang pertama. Jadi total ada sebanyak 5x4 = 20 kombinasi. Akan tetapi karena fermion tidak terbedakan, maka pertukaran status antara dua fermion tidak akan bisa dibedakan. Akibatnya secara keseluruhan ada sebanyak: (5x4)/2 = 10 status keadaan sistem 2 fermion yg masing-masing fermionnya beda statusnya. Total berarti ada sebanyak 10 = 10 status sistem 2 fermion ini. Status fermion (1,2) 0 1 2 0 a 2a 1 3a 2
2. Banyaknya status keadaan elektron dalam volume V dengan energi < E diberikan oleh:
a. Turunkanlah fungsi rapat keadaan yg menyatakan banyaknya keadaan pada energi E. (bobot:5) b. Jika menyatakan fungsi distribusi Fermi Dirac, tuliskanlah ungkapan bagi N yaitu banyaknya total elektron, dinyatakan dalam dan . Selanjutnya hitunglah N tsb untuk keadaan T=0. (bobot:5) Selanjutnya pergunakanlah dan dalam menjawab soal berikut ini: c. Selanjutnya gunakan hasil (b) tsb untuk mendapatkan tingat Fermi EF sebagai fungsi n=N/V. (bobot:10) d. Hitung juga energi rata-rata pada keadaan ground state U0 dinyatakan dengan EF.. (bobot:10) e. Nyatakan PV dalam U0 untuk kondisi ground state. (bobot:5) JAWAB: a. Rapat keadaan dengan energi E :
Jikalau untuk setiap keadaan, terdapat degenerasi
, untuk elektron maka :
b. Fungsi distribusi FD menyatakan okupansi rata-rata energi level E, sedangkan banyaknya keadaan tersedia di level E tsb, maka total partikelnya adalah:
menyatakan
Bentuk fungsi distribusi FD adalah :
Dengan
. Untuk T=0, maka
Dengan dikenal sebagai tingkat Fermi, yaitu tingkat energi tertinggi yang masih berisi Fermion pada ground state. Sehingga untuk T=0, untuk elektron S=1/2 maka :
c. Dari (c ) maka dengan n=N/V : d. Energi rata-rata pada ground state U0:
Selanjutnya ratio :
e. Untuk Fermion berlaku : Dengan
Pada kondisi ground state (T=0), untuk
Memakai ungkapan bagi U0 sebelumnya :
:
3. Hamiltonian model Ising 1D dengan interaksi antara tetangga terdekat saja dengan medan magnet luar
h diberikan oleh:
Dengan J>0, Si =+1 atau -1. Jumlah total spin +N dan berlaku syarat batas periodik. a. Jika h=0, apakah keadaan ground state-nya? Berapakah energi rata-rata ground state per spin? (bobot:5) b. Untuk kasus umum h≠0, Pergunakan metoda transfer matrix untuk mendapatkan fungsi partisi kanoniknya dalam limit thermodinamika. Tuliskan langkah Anda secara lengkap dan detail. (bobot:15) c. Pakailah (b) untuk mendapatkan magnetisasi per spin. Berapakah temperatur kritisnya untuk kasus h=0? (bobot:15) JAWAB: a. Ferromagnetik seluruh spin sama nilainya (++++++ atau --------) sebab total energinya akan terendah : Jadi energi per spin E= H0/N= -J b. Fungsi partisi kanonik sistem diberikan oleh:
Definisikan matrix transfer P2x2 sbb:
Sehingga fungsi partisi dapat dituliskan sebagai
Dengan syarat batas periodik SN+1=S1, maka :
(sampai sini dapat point=5) Menurut aljabar linear trace suatu matrix sama dengan jumlah nilai eigennya:
Dengan adalah nilai eigen matrix P, maka nilai eigen matrix Pecahkan persamaan eigen :
(sampai sini dapat point=+5 lagi) Ini pers kuadrat bagi solusinya adalah:
Pilih
, yg terbesar (
) maka dalam limit thermo
, (sampai sini dapat point=+5 lagi) c. Magnetisasinya diberikan oleh:
Dengan energi bebas (sampai sini dapat point=5)
Setelah melakukan derivative akan diperoleh:
Magnetisasi per spin :
(sampai sini dapat point=+8 lagi) Jika h0 maka pada suhu berapapun juga m=0, jadi tidak ada transisi ke ordering state atau ground state. Sehingga temperature kritis tidak ada. Jadi model Ising 1D tidak meramalkan adanya temperatur kritis. (sampai sini dapat point=+3 lagi) &&&&&&&&APRIL2017&&&&&&&&&&
