FITRIANA RICHA HIDAYATI 1107 100 046 Dosen Pembimbing M. ARIEF BUSTOMI, M.Si Surabaya , 21 Juni 2012
JURUSAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER 1
Analisa disesuaikan dengan geometri sistem
Problemnya bila bentuk geometri campuran
Dalam penelitian ini, sistem geometri campuran kartesian – polar dianalisa menggunakan kartesian 1
Untuk menguji apakah pilihan tranformasi syarat batas untuk sistem geometri campuran Kartesian-Polar dapat didekati menggunakan koordinat Kartessian
Untuk menentukan jumlah titik data pada pendekatan Kartesian yang optimum untuk sistem geometri campuran Kartesian-Polar
2
1. Sistem yang dianalisa adalah 2 dimensi 2. Analisa menggunakan pendekatan kartesian 3. Pendekatan suku fourier kartesiannya sampai10 suku 4. Hanya diteliti pengaruh jumlah titik data pada pendekatan kartesiannya
3
Agar dapat diketahui seberapa baik pendekatan Kartesian dapat digunakan untuk sistem geometri campuran Kartesian-Polar
4
2.1 Persamaan Laplace
∇ 2ϕ = 0
Didalam persamaan ini akan dibahas 2 metode separasi : 1. Metode separasi variabel koordinat kartesian 2. Metode separasi variabel koordinat polar
5
Metode Separasi Variabel Koordinat Kartesian y
a
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ + 2 =0 2 ∂x ∂y
∇ 2ϕ = 0 0
nπy nπy nπx V ( x, y ) = ∑ γ n sin − coth (nπ )sinh cosh a a a 1 ∞
0
0
2 nπx γ n = ∫ ϕ (x )sin dx a0 a a
ϕ =V
a
6
Metode Separasi Variabel Koordinat Polar
1 ∂ ∂Φ 1 ∂ 2 Φ + 2 =0 2 ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂φ ∞
Φ (ρ , θ ) = A0 + A0 ' ln ρ + ∑ [An cos nθ + Bn sin nθ ]ρ n n =1
∞
+ ∑ [An ' cos nθ + Bn ' sin nθ ]ρ − n n =1
7
DERET FOURIER
f ( x) = a0 + a1 cos x + a2 cos 2 x + a3 cos 3x + ... b1 sin x + b2 sin 2 x + b3 sin 3x + ... nπx nπx = a0 + ∑ an cos + bn sin ....(2.24) L L n =1 ∞
1 a0 = 2π
π
∫π f ( x)dx
−
1 an = 2π
π
∫π f ( x) cos(nx)dx
−
1 bn = 2π
π
∫π f ( x) sin(nx)dx...(2.25)
−
8
Integrasi Numerik Y
Luas satu trapesium
x
h X X0
h ∫x f ( x)dx = 2 [ f ( x0 ) + f ( x1 )] 0
X1
Gambar 2.2 Kaida Trapesium
9
f(x )
a = x0
xn = b
h
x
Gambar 2.3 Kaidah trapesium gabungan Luas satu trapesium gabungan b
∫
f ( x)dx =
a
b
x1
∫
f ( x)dx +
x0
f ( x)dx =
∫h a
2
x2
∫
x1
f ( x) dx + .... +
xn
∫
b
f ( x n )]
f ( x)dx =
a
x n −1
h [ f ( x 0 ) + f ( x1 )] + h [ f ( x1 ) + f ( x 2 )] + ... + 2 2
[ f ( x n −1 ) +
∫
f ( x) dx
b
∫ a
f ( x) dx =
h f ( x 0 ) + 2 f 1 ( x1 ) + 2 f ( x 2 ) + .... + 2 f ( x n −1 ) + 2 2 f ( x n ) n −1 h f 0 + 2∑ f 1 + f n 2 i =1
10
2.4 Penelitian Sebelumnya 2.4.1 Pengaruh Jumlah Tititk Data Syarat Batas Pada Pendekatan Kartesian Untuk Sistem Potensial Listrik Geometri Polar Sistem potensial listrik lingkaran dianalisa dengan pendekatan kartesian. Jumlah titik data syarat batas yang digunakan adalah 16,32,64,128,256, dan 512.
Nilai potensial pendekatan Kartesian dibandingkan dengan nilai potensial perhitungan langsungnya. Dari kedua perhitungan dihitung selisihnya. Parameter selisih dijadikan sebagai parameter dalam analisa.
10
Kesimpulan dari penelitian ini adalah : 1. Variasi jumlah titik data syarat batas berpengaruh pada hasil analisa menggunakan pendekatan kartesian. 2. Digunakan 6 variasi pengambilan titik data yaitu 16,32,64,128,256, dan 512 titik data. Semakin banyak jumlah titik data yang digunakan maka nilai potensial pendekatan kartesian mendekati nilai potensial koordinat polar. 3. Transformasi syarat batas dari polar ke kartesian untuk sistem geometri polar akan menghasilkan solusi dalam koordinat kartesian yang nilainya mendekati solusi dalam koordinat polar
11
2.4.2 Analisis Menggunakan Koordinat Polar Untuk Sistem Potensial Listrik Geometri Campuran Kartesian - Polar Sistem potensial listrik persegi dianalisa dengan pendekatan po lar. Jumlah titik data syarat batas yang digunakan adalah 360,720,1080,dan 1440
Nilai potensial pendekatan Polar dibandingkan dengan nilai potensial perhitungan langsungnya. Dari kedua perhitungan dihitung selisihnya. Parameter selisih dijadikan sebagai parameter dalam analisa.
12
Kesimpulan dari penelitian ini adalah : 1. Pendekatan polar untuk sistem geometri campuran kartesian – polar yang sangat berbeda dengan nilainya bila dihitung secara langsung. 2. Dari grafik pertama dan kedua didapat bahwa nilai potensialnya berbeda tapi pada grafik pertama pola grafik sama 3. Empat macam variasi jumlah titik data syarat batas yaitu 360,720,1080, dan 1440 ternyata tidak terlalu berpengaruh pada nilai selisih potensial listrik pendekatan polar dan perhitungan langsung
13
1. Pengumpulan teori – teori sebagai acuan 2. Perhitungan langsung untuk sistem geometri campuran 3. Mencari syarat batas untuk koordinat kartesian 4. Perhitungan potensial listrik menggunakan pendekatan kartesian yang akan dicari berdasarkan variasi jumlah titik data syarat batas yang digunakan 5. Membuat perbandingan perhitungan langsung dan pendekatan kartesian untuk masing – masing titik data 6. Membuat analisa pendekatan kartesian terhadap perhitungan langsung 7. Kesimpulan 14
Pada gambar disampingkan akan dibahas tentang geometri campuran yang dianalisis dengan pendekatan kartesian.
Geometri sistem dan syarat batas beda potensial listriknya 15
0,5
0
Gambar 1 sistem potensial listrik sebelum ditranslasi
1
Gambar 2 sistem potensial listrik setelah ditranslasi
Dalam memudahkan menganalisis (gambar 1) maka sistem gemetri campuran tersebut dilakukan translasi ke sumbu koordinat ( gambar 2 ) Dihitung nilai potensial langsung 15
0,5
V1(x)
0,5
V1 =
0
V2
V4
V3
+ 0 1
0
1 0,5
0
0,5
0 +
0
V2(y)
0
1
0
V4(x) 0
1
Fungsi potensial sistem :
Φ total = Φ polar + Φ 2 + Φ 4 16
Φ ( x. y ) =
nπ nπ 4 V x y sin sinh ∑ kn a a n = ganjil nπ sinh nπ ∞
4 nπ nπ Φ( x. y ) = ∑ Vkr sin x sinh y a a n = ganjil nπ sinh nπ ∞
∞
Φ ( r ,θ ) = A0 + ∑ ( An cos nθ + Bn sin nθ )r n n =1
17
Dalam memudahkan menganalisis pendekatan 0,5 kartesian (gambar kanan) maka dilakukan translasi kotak potensial ke tengah sumbu koordinat ( gambar V4 kiri ) Kemudian kotak yang berada ditengah sumbu koordinat ditranslasi sehingga menjadi pada gambar 1
V1
V2
V3
1
Gambar 1 18
Perhitungan secara pendekatan 0,5
V1
+
=
V2
V4
V3
V1(x)
0,5 0
0
0,5
0
V2(y)
1
0
1
0
0,5
1
0
0
0
0,5 +
+ 0
0
V3(x)
1
0
V4(x) 0
1
19
V1(x)
b
nπ (b − y ) cosh ∞ nπx a Φ1 ( x, y ) = ∑ γ n sin nπb nπ (b − y ) a n =1 0 coth sin − a a
0 a
0
b
0
0
V2(y)
0
a
20
0
b
0
0
V3(x)
a
0
0,5
0
V4(x) 0
1
21
Maka potensial total sistem adalah superposisi dari keempat potensial tersebut. Sehingga fungsi potensial sistemnya adalah
b
V1
V2
V4
V3
a
22
Untuk menganalisa data dilakukan pengambilan jumlah titik data yang tepat agar metode analisa kartesian sesuai atau paling tidak mendekati dengan hasil potensial langsung. Jumlah titik data yaitu 15,30,60,120,240, dan 480
Adapun hasil fungsi untuk masing – masing sisi dan untuk masing – masing titik data adalah sebagai berikut :
23
Untuk 15 Titik Data
24
Untuk Sisi kanan
25
Untuk Sisi Bawah
26
Untuk Sisi Kiri
27
Tabel rata-rata selisih potensial untuk masing-masing jumlah titik data N0
Jumlah Titik Data
Rata-rata Selisih (V)
1
15
0,1296
4
120
0,1109
2 3 5 6
30 60
240 480
0,1071 0,1078 0,1107 0,1106
28
Gambar grafik nilai potensial pada titik ( 0,2 , 0,4 )
29
Gambar grafik nilai potensial pada titik ( 0,4 , 0,2 )
30
Gambar grafik nilai potensial pada titik ( 0,2 , 0 )
31
Gambar grafik nilai potensial pada titik ( 0 , 0,2 )
32
1. Semakin banyak jumlah titik data yang digunakan, maka selisih nilai potensial listrik antara pendekatan kartesian dan perhitungan langsung akan mendekati suatu nilai nilai tertentu . 2. Berdasarkan perhitungan pada pendekatan kartesian untuk sistem geometri campuran kartesian – polar akan didapatkan nilai berbeda dari nilai perhitungan langsung.
33
34
