Souhrnná prezentace. 14. října Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze

Souhrnná prezentace Ondˇrej Pártl Fakulta jaderná a fyzikálnˇe inženýrská ˇ Ceské vysoké uˇcení technické v Praze

14. ˇríjna 2015

ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)

Souhrnná prezentace

14. ˇríjna 2015

1 / 70

Obsah 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

ˇ Císla 0–20, desítky, sˇcítání, porovnávání cˇ ísel Substantiva, odˇcítání, násobení ˇ Císla 21–99 ˇ Císla 100–109 Dˇelení Zlomky Desetinná cˇ ísla Mocniny Odmocniny Logaritmy, absolutní hodnota Závorky Množiny Úpravy zlomk˚u ˇ Ctení index˚u Úpravy rovnic a nerovnic Popis ˇrešení rovnic a nerovnic ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

2 / 70

Prezentace si m˚užete stáhnout na adrese http://kmlinux.fjfi.cvut.cz/~partlond/



14. ˇríjna 2015

3 / 70

Pˇrirozená cˇ ísla a nula N = {1, 2, 3, . . .} . . . pˇrirozená cˇ ísla N0 = {0, 1, 2, 3, . . .} . . . pˇrirozená cˇ ísla a nula 0 . . . nula 1 . . . jedna

11 . . . jedenáct

2 . . . dvˇe

12 . . . dvanáct

3 . . . tˇri 4 . . . cˇ tyˇri

13 . . . tˇrináct 14 . . . cˇ trnáct

5 . . . pˇet

15 . . . patnáct

6 . . . šest

16 . . . šestnáct

7 . . . sedm

17 . . . sedmnáct

8 . . . osm

18 . . . osmnáct

9 . . . devˇet

19 . . . devatenáct

10 . . . deset ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)

20 . . . dvacet Souhrnná prezentace

14. ˇríjna 2015

4 / 70

Pˇrirozená cˇ ísla a nula

N = {1, 2, 3, . . .} . . . pˇrirozená cˇ ísla N0 = {0, 1, 2, 3, . . .} . . . pˇrirozená cˇ ísla a nula Pˇríklady: 8, 1, 5, 3, 11, 14, 15, 2, 7, 17, 0, 1, 19, 4, 20, 13, 9, 6, 6, 18, 3, 16, 4, 5, 17, 12, 8, 10, 20, 0, 1, 2, 14, 15, 6, 0, 14, 12, 13, 19, 6, 13, 11, 12, 18, 9, 17, 2, 5, 19, 14, 8, 15, 3, 10, 9, 5, 1, 18, 20, 19, 14, 4, 0, 19, 7, 6, 3, 16, 9, 8, 15.



14. ˇríjna 2015

5 / 70

Rovná se, nerovná se

= . . . rovná se 6= . . . nerovná se • 1 = 1 . . . jedna se rovná jedna • 1 6= 2 . . . jedna se nerovná dvˇe • x 6= y . . . x se nerovná y • a = b . . . a se rovná b

Pˇríklady: 5 = 5, 4 6= 7, 11 = 11, 13 6= 9, 8 6= 2, a 6= b, x = z, 0 6= 20, 16 = 16.



14. ˇríjna 2015

6 / 70

Vˇetší než, menší než

> . . . vˇetší než

≥ . . . vˇetší nebo rovno

< . . . menší než

≤ . . . menší nebo rovno

• 3 > 2 . . . tˇri je vˇetší než dvˇe • 12 < 17 . . . dvanáct je menší než sedmnáct • 14 ≥ 11 . . . cˇ trnáct je vˇetší nebo rovno jedenáct • 5 ≤ 5 . . . pˇet je menší nebo rovno pˇet

Pˇríklady: 0 ≥ 0, 6 < 11, 19 > 13, 6 ≤ 20, 4 < 16, x ≤ z, w ≥ u.



14. ˇríjna 2015

7 / 70

Pˇríklady

> . . . vˇetší než

≥ . . . vˇetší nebo rovno

= . . . rovná se

< . . . menší než

≤ . . . menší nebo rovno

6= . . . nerovná se

Pˇríklady: 15 = 15, 7 < 12, 20 6= 10, 9 ≤ 19, 16 > 3, 17 ≤ 17, 11 ≥ 1, 18 ≥ 4, 6 ≤ 6, 2 6= 20, x < y, 10 = 10, 5 > 0, 13 6= 1, 0 < 1, 11 ≤ 11, 6 6= 18, 12 ≥ 10, 8 < 15, 20 6= 3, 4 ≤ 5, 17 > a, 8 = 8, 5 ≥ 0, 13 6= 19, 7 ≤ 10, 2 < 14, c 6= b.



14. ˇríjna 2015

8 / 70

Sˇcítání (1 + 1 = 2) + . . . plus • 3 + 5 = 8 . . . tˇri plus pˇet se rovná osm • 0 + 7 6= 2 . . . nula plus sedm se nerovná dvˇe • x + y = z . . . x plus y se rovná z

a první sˇcítanec

+ plus

b druhý sˇcítanec

= rovná se

c souˇcet, výsledek

6 + 3 = 9 . . . šest plus tˇri se rovná devˇet • První sˇcítanec je šest. • Druhý sˇcítanec je tˇri. • Souˇcet je devˇet. Výsledek je devˇet.



14. ˇríjna 2015

9 / 70

Sˇcítání (1 + 1 = 2)

a první sˇcítanec

+ plus

b druhý sˇcítanec

= rovná se

c souˇcet, výsledek

Pˇríklady: 1 + 9 = 10,

4 + 13 = 17,

14 + 6 = 20,

3 + 15 = 18,

7 + 1 = 8,

9 + 2 = 11,


18 + 2 = 20,

11 + 5 = 16,

0 + 12 = 12,

9 + 8 = 17,

4 + 1 = 5,

16 + 3 = 19,

6 + 10 = 16,

12 + 3 = 15,

u + v = s.


14. ˇríjna 2015

10 / 70

Desítky N = {1, 2, 3, . . .} . . . pˇrirozená cˇ ísla N0 = {0, 1, 2, 3, . . .} . . . pˇrirozená cˇ ísla a nula 10 . . . deset

60 . . . šedesát

20 . . . dvacet

70 . . . sedmdesát

30 . . . tˇricet 40 . . . cˇ tyˇricet

80 . . . osmdesát

50 . . . padesát

90 . . . devadesát 100 . . . sto

Pˇríklady: 30, 90, 70, 10, 60, 40, 20, 50, 80, 100, 60, 40, 70, 20, 50, 100, 80, 90, 30, 60, 90, 40, 100, 50, 80, 40, 90, 60, 13 < 50, 40 6= 100, 70 ≥ 17, 10 + 20 = 30, 50 + 40 = 90, 11 6= 80, 60 > 18, 0 + 100 ≤ 100, 17 + 13 = 30, a + 5 6= 40.



14. ˇríjna 2015

11 / 70

Pˇrirozená cˇ ísla a nula ( 1...

jedna, 1 je cˇ íslo (number), jedniˇcka, 1 je substantivum (noun).

0 . . . nula 2 . . . dvˇe, dva, dvojka

11 . . . jedenáct, jedenáctka 12 . . . dvanáct, dvanáctka

3 . . . tˇri, trojka 4 . . . cˇ tyˇri, cˇ tyˇrka

13 . . . tˇrináct, tˇrináctka 14 . . . cˇ trnáct, cˇ trnáctka

5 . . . pˇet, pˇetka

15 . . . patnáct, patnáctka

6 . . . šest, šestka

16 . . . šestnáct, šestnáctka

7 . . . sedm, sedmiˇcka

17 . . . sedmnáct, sedmnáctka

8 . . . osm, osmiˇcka 9 . . . devˇet, devítka

18 . . . osmnáct, osmnáctka

1 . . . jedna, jedniˇcka, jednotka

10 . . . deset, desítka ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)

19 . . . devatenáct, devatenáctka 20 . . . dvacet, dvacítka Souhrnná prezentace

14. ˇríjna 2015

12 / 70

Pˇrirozená cˇ ísla a nula ( jedna, 1... jedniˇcka,

1 je cˇ íslo, 1 je substantivum.

6 + 4 = 10 • • • • • •

První sˇcítanec je šestka. Druhý sˇcítanec je cˇ tyˇrka. Výsledek je deset. Co je tohle? Tohle je cˇ tyˇrka. Na Karlovo námˇestí jede (tramvaj) osmnáctka. V hospodˇe mají (pivo) jedenáctku a dvanáctku.

Pˇríklady: 8, 1, 5, 3, 11, 14, 15, 2, 7, 17, 0, 1, 19, 4, 20, 13, 9, 6, 6, 18, 3, 16, 4, 5, 17, 12, 8, 10, 20, 0, 1, 2, 14, 15, 6, 0, 14, 12, 13, 19, 6, 13, 11, 12, 18, 9, 17, 2, 5, 19, 14, 8, 15, 10, 9, 5, 1, 18, 20, 19, 14, 4, 0, 19, 7, 6, 3, 16, 9, 8, 11 ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

13 / 70

Je rovno, není rovno   jedna plus dvˇe se rovná tˇri, 1 + 2 = 3 . . . jedna plus dvˇe je rovno tˇri,   jedna plus dvˇe je tˇri.

  tˇri plus cˇ tyˇri se nerovná pˇet, 3 + 4 6= 5 . . . tˇri plus cˇ tyˇri není rovno pˇet,   tˇri plus cˇ tyˇri není pˇet. Pˇríklady: 5 + 7 = 12, 4 + 11 6= 16, 17 + 13 = 30, 30 + 60 = 90, 8 + 10 6= 20, c + 100 = g, k + s 6= h, 5 + 14 = 19, 3 + 8 = 11, 14 + w ≥ 80



14. ˇríjna 2015

14 / 70

Celá cˇ ísla

Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .} . . . celá cˇ ísla − . . . mínus • −100 . . . mínus sto • −x . . . mínus x

Pˇríklady: − 8, −1, −5, −x, −11, −40, −15, −2, −70, −17, 0, −1, −19, − 4, −20, −13, −9, −60, −100, −80, −7, −o, −r



14. ˇríjna 2015

15 / 70

Odˇcítání (3 − 2 = 1) − . . . mínus • 5 − 3 = 2 . . . pˇet mínus tˇri se rovná dvˇe • 0 − 7 6= 2 . . . nula mínus sedm se nerovná dvˇe • x − y = z . . . x mínus y se rovná z • −1 − 9 = −10 . . . mínus jedna mínus devˇet se rovná mínus deset

a menšenec (not used)

− mínus

b menšitel (not used)

= rovná se

c rozdíl, výsledek

Pˇríklady: 1 − 9 = −8,

4 − 15 = −11,

18 − 2 = 16,

11 − 5 = 6,

0 − 12 = −12, 4 − 1 = 3,

10 − 30 = −20, h − r = 80,

40 + 50 = 90, −20 − 80 = −100,

19 − 13 = 6, 9 − e = −i,

−70 + 60 = −10,

90 − h > 20

7 − 14 6= 0, ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)

o − w ≤ j,


14. ˇríjna 2015

16 / 70

Násobení (2 · 3 = 6) · . . . krát • 2 · 3 = 6 . . . dva krát tˇri se rovná šest • x · y = z . . . x krát y se rovná z • xy = z . . . x krát y se rovná z • 3x = 9 . . . tˇri x se rovná devˇet

a první cˇ initel

· krát

b druhý cˇ initel

= rovná se

c souˇcin, výsledek

2 · 3 = 6 . . . dva krát tˇri se rovná šest • První cˇ initel je dvojka. • Druhý cˇ initel je trojka. • Souˇcin je šest. Výsledek je šest. ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

17 / 70

Násobení (2 · 3 = 6)

a první cˇ initel

· krát

b druhý cˇ initel

= rovná se

c souˇcin, výsledek

Pˇríklady: 2 · 9 = 18, 0 · 100 = 0,

4 · 5 = 20,

7 · 10 = 70,

−10 · 10 = −100,

11q = 3,

30 · 14 6= 0,

40 · h < 1,

o · (−e) ≥ j,

3 · 4 6= 50,


x · y = 90,

p · 13 = −40,

5 · 3 = 15,

3 · (−6) = −18,

17 + 13 = 3 · 10,

5 · (−8) 6= 12 − 9,

−12 · 5 = −60,

−1 · 0 ≥ 2 − 10,


16 · k ≤ 19 − 8 4 · 10 < 90 − 20

14. ˇríjna 2015

18 / 70

Desítky ( 100 . . .

sto, 100 je cˇ íslo, stovka, 100 je substantivum.

10 . . . deset, desítka

60 . . . šedesát, šedesátka

20 . . . dvacet, dvacítka

70 . . . sedmdesát, sedmdesátka

30 . . . tˇricet, tˇricítka 40 . . . cˇ tyˇricet, cˇ tyˇricítka

80 . . . osmdesát, osmdesátka 90 . . . devadesát, devadesátka

50 . . . padesát, padesátka

100 . . . sto, stovka

Pˇríklady: 30, 90, 70, 10, 60, 40, 20, 50, 80, 100, 60, 40, 70, 20, 50, 100, 80, 90, 30, 60, 90, 40, 100, 50, 80, 40, 90, 60, 13 < 50, 40 < 100, 70 > 17, 10 < 20, 90 > 50, h > 30, 10 < 100 11 6= 80, 60 > 18, 16 < 70, 17 > 13, 4 < 40, 18 > 5, 20 < 30 ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

19 / 70

21, 22, 23, . . . , 99 ( dvacet jedna, 21 je cˇ íslo, 21 . . . dvacítka jedniˇcka, 21 je substantivum. 21 (20 + 1) . . . dvacet jedna, dvacítka jedniˇcka 62 (60 + 2) . . . šedesát dva (dvˇe), šedesátka dvojka 34 (30 + 4) . . . tˇricet cˇ tyˇri, tˇricítka cˇ tyˇrka 97 (90 + 7) . . . devadesát sedm, devadesátka sedmiˇcka Pˇríklady: 85, 49, 52, 31, 63, 77, 26, 94, 38, 82, 34, 43, 27, 69, 71, − 56, −99, −13, 25, 15, 50, −55, −33, 44, 66, 11, −87, −22, 100, 74, 0, 29, −h, e, 48 < 93, 61 ≥ 50, k + m 6= 42, 9 · 7 = 63, 2 · 36 = 72, 3 · 13 = 39, 89 − 64 = 25, 1 · 0 6= 54, 6 · (−14) = −84 ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

20 / 70

Stovky 100 . . . sto

600 . . . šest set

200 . . . dvˇe stˇe

700 . . . sedm set

300 . . . tˇri sta

800 . . . osm set

400 . . . cˇ tyˇri sta 500 . . . pˇet set

900 . . . devˇet set 1000 . . . tisíc

Pˇríklady: 400, 100, 600, 900, 200, 1000, 300, 800, 500, 700, −600, − 200, 1000, −800, 400, −500, −900, 700, −100, 600, 300, 700, 500, −300, 900, −1000, 100, 200, 20, 39, 75, −400, 10 · 60 = 600, 25 · 20 = 500, 15 · 20 6= 900, 2 · 200 6= 800



14. ˇríjna 2015

21 / 70

101, 102, 103, . . . , 999 101 (100 + 1) . . . sto jedna 112 (100 + 12) . . . sto dvanáct 632 (600 + 32) . . . šest set tˇricet dva (dvˇe) 350 (300 + 50) . . . tˇri sta padesát 999 (900 + 99) . . . devˇet set devadesát devˇet Pˇríklady: 852, 497, 521, 318, 643, 777, 265, 942, 382, 824, 111, − 569, 333, −157, −290, 444, 600, −55, 708, 810, 1000, 906, 741, −13, 25, 555, −280, 317 < 692, 415 + 174 = 589, 222, 555, −18 · 16 = −288, 364 − 801 = −437, 973h = 1000 · g



14. ˇríjna 2015

22 / 70

Opakování

Pˇríklady: 123, 456, 789, 0, 1000, 98, 76, 543, 21, 12, −875, −x, h + p ≥ 358, 313 + 414 6= −777, q · 905 = 261, −666 − 290 = −956, 182 + (−529) = −347, 405, −130 < 7, 224 ≥ y · z, −1000, 881, − 766 ≤ −r, 444 6= 333, 917 − 578 = 339, s · 611 = −l, 15w = i, 45 · 6 = 270, 31 · 22 = 682, 918 − 379 = 539, 16 · 7 · 5 = 560, 674 − 78 · 13 + 135 − (−330) = 125, x · y − f · j + c · g − 71 = u



14. ˇríjna 2015

23 / 70

Tisíce (1 000, 2 000, 3 000, ..., 999 000)

1 000 . . . tisíc 2 000 . . . dva tisíce 3 000 . . . tˇri tisíce 4 000 . . . cˇ tyˇri tisíce 5 000 . . . pˇet tisíc .. . 32 000 . . . tˇ |ricet {zdva} tisíc 32

.. . 999 000 . . . devˇ devˇe}t tisíc | et set devadesát {z 999



14. ˇríjna 2015

24 / 70

Tisíce (1 000, 2 000, 3 000, ..., 999 000)

Pˇríklady: 123 000, 3 000, 789 000, 10 000, 1 000, 980 000, 2 000, 543 000, − 400 000, −4 000, 261 000, −666 000, 7 000, 327 000, 511 000, − 3 000, −33 000, 303 000, 330 000, 300, 33, 333 000, 444 000



14. ˇríjna 2015

25 / 70

1 001, 1 002, . . . , 999 999

• 123 456 (123 000 + 456) . . . sto dvacet tˇri tisíc cˇ tyˇri sta padesát šest • 789 302 (789 000 + 302) . . . sedm set osmdesát devˇet tisíc tˇri sta dva

Pˇríklady: 444 444, 333 333, 111 111, 809 002, 651 780, 571 621, 666 666



14. ˇríjna 2015

26 / 70

1 000 000, 1 000 001, . . . , 1 000 000 000 1 000 000 . . . milion 2 000 000 . . . dva (dvˇe) miliony 3 000 000 . . . tˇri miliony 4 000 000 . . . cˇ tyˇri miliony 5 000 000 . . . pˇet milion˚u .. . 999 000 000 . . . devˇet set devadesát devˇet milion˚u 1 000 000 000 . . . miliarda

• 123 456 789 (123 000 000 + 456 789) . . . sto dvacet tˇri milion˚u cˇ tyˇri sta padesát

šest tisíc sedm set osmdesát devˇet Pˇríklady: 4 051 672, 902 503 112, 1 009 795, 549 009 806, 3 980 011, 1 234 567 890 ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

27 / 70

1 000 000 000, 1 000 000 001, . . . , 1 000 000 000 000 1 000 000 000 . . . miliarda 2 000 000 000 . . . dvˇe (dva) miliardy 3 000 000 000 . . . tˇri miliardy 4 000 000 000 . . . cˇ tyˇri miliardy 5 000 000 000 . . . pˇet miliard .. . 999 000 000 000 . . . devˇet set devadesát devˇet miliard 1 000 000 000 000 . . . bilion • 123 456 789 000 (123 000 000 000 + 456 789 000) . . . sto dvacet tˇri miliard cˇ tyˇri

sta padesát šest milion˚u sedm set osmdesát devˇet tisíc Pˇríklady: 3 490 051 672, 121 853 105 040, 4 003 019 751, 549 801 100 913, 11 476 059 000, 2 030 000 123, 817 439 000 006, 1 000 000 000 000 ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

28 / 70

Dˇelení (6 ÷ 3 = 2, 6/3 = 2) ÷ . . . dˇeleno

/ . . . dˇeleno, lomeno

x ÷ 0 . . . x dˇeleno nulou

x ÷ 9 . . . x dˇeleno devíti

x ÷ 1 . . . x dˇeleno jednou

x ÷ 10 . . . x dˇeleno deseti .. .

x ÷ 2 . . . x dˇeleno dvˇema x ÷ 3 . . . x dˇeleno tˇremi x ÷ 4 . . . x dˇeleno cˇ tyˇrmi

x ÷ 20 . . . x dˇeleno dvaceti

x ÷ 5 . . . x dˇeleno pˇeti .. .

x ÷ 21 . . . x dˇeleno dvaceti jednou .. .

x ÷ 8 . . . x dˇeleno osmi

x ÷ 99 . . . x dˇeleno devadesáti devíti

⇒ Pˇri dˇelení cˇ ísly 0, 1, . . . , 99 všechna slova deklinujeme. Pˇríklady: ÷ 10, ÷15, ÷2, ÷6, ÷1, ÷12, ÷3, ÷78, ÷4, ÷50, ÷95, ÷31, ÷ 23, ÷49, ÷84, ÷11, ÷66, ÷8, ÷52, ÷0, ÷80, ÷77, ÷11, ÷23 ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

29 / 70

Dˇelení (6 ÷ 3 = 2, 6/3 = 2) x ÷ 100 . . . x dˇeleno (jedním) stem x ÷ 200 . . . x dˇeleno dvˇema sty x ÷ 1 000 . . . x dˇeleno (jedním) tisícem x ÷ 2 000 . . . x dˇeleno dvˇema tisíci Ale: x ÷ 21 000 . . . x dˇeleno dvaceti jedním tisícem (jednou tisíci) x ÷ 1 000 000 . . . x dˇeleno (jedním) milionem x ÷ 2 000 000 . . . x dˇeleno dvˇema miliony Ale: x ÷ 21 000 000 . . . x dˇeleno dvaceti jedním milionem (jednou miliony) x ÷ 1 000 000 000 . . . x dˇeleno miliardou x ÷ 2 000 000 000 . . . x dˇeleno dvˇema miliardami Ale: x ÷ 21 000 000 000 . . . x dˇeleno dvaceti jednou miliardou ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

30 / 70

Dˇelení (6 ÷ 3 = 2, 6/3 = 2)

Pˇríklady: ÷ 800, ÷1 000, ÷11 000 000, ÷100, ÷17 000, ÷9 000 000 000, /71 000, ÷66 000 000, ÷(−11 000 000), ÷81 000 000, ÷300, ÷ (−41 000 000 000), /45, /900, /6 000 000 000, ÷10 000, ÷1 500, ÷ 51 000, ÷12 000 000, ÷91 000, ÷91 000 000, /91 000 000 000



14. ˇríjna 2015

31 / 70

Dˇelení (6 ÷ 3 = 2, 6/3 = 2) Pˇri dˇelení cˇ ísly 100, 101, 102, . . . máme dvˇe možnosti. 1

Deklinujeme všechna slova. ÷987 654 321 . . . dˇeleno devíti sty osmdesáti sedmi miliony šesti sty padesáti cˇ tyˇrmi tisíci tˇremi sty dvaceti jednou ÷123 401 000 . . . dˇeleno (jedním) stem dvaceti tˇremi miliony cˇ tyˇrmi sty jedním tisícem

2

Nedeklinujeme nebo deklinujeme pouze cˇ ást. Nejˇcastˇeji poslední dvˇe cˇ íslice. ÷987 654 321 . . . dˇeleno devˇet set osmdesát sedm milion˚u šest set padesát cˇ tyˇri tisíc tˇri sta dvaceti jednou ÷202 . . . dˇeleno dvˇe stˇe dvˇema ÷123 405 000 . . . dˇeleno sto dvacet tˇri milion˚u cˇ tyˇri sta pˇet tisíc ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

32 / 70

Dˇelení (6 ÷ 3 = 2, 6/3 = 2) • 6 ÷ 3 = 2 . . . šest dˇeleno tˇremi se rovná dvˇe • 6/3 = 2 . . . šest dˇeleno tˇremi se rovná dvˇe • 7 ÷ x = a . . . sedm dˇeleno x se rovná a • 7÷(x − 5)= a . . . sedm dˇeleno x mínus pˇet se rovná a

a dˇelenec

÷ dˇeleno

b dˇelitel

= rovná se

c podíl, výsledek

6 ÷ 3 = 2 . . . šest dˇeleno tˇremi se rovná dvˇe • Dˇelenec je šestka. • Dˇelitel je trojka. • Podíl je dvˇe. Výsledek je dvˇe.



14. ˇríjna 2015

33 / 70

Dˇelení (6 ÷ 3 = 2, 6/3 = 2)

Pˇríklady: 276 890 ÷ 951 108 493, − 385 113 ÷ 142 662 007, 56 111 ÷ (−1 000), 11 209 000 002 ÷ 17 420 500, 97 122 370 ÷ 343 434 343 434, q ÷ 37, 305 996 723 512 ÷ 8 317 141, k · l ÷ m = o, w/800 610 103 = g − 276/5, 23 159 220 ÷ 9 876 = 2 345, 700 010 009 ÷ 101 000 202, b ÷ 5 913 251, 402 146 030 ÷ 1 009 620 010, 197 382 151/72 011 = 2 741, u · j − s/t = r



14. ˇríjna 2015

34 / 70

Zlomky

1 1 2 , 17 , . . .

x . . . zlomek y

1 2 1 3 1 4 1 5

. . . (jedna) polovina

•

1 10 , 1 30 ,

•

. . . (jedna) tˇretina . . . (jedna) cˇ tvrtina . . . (jedna) pˇetina 1 11 , . . . , 1 40 , . . . ,

1 20 1 90

1 6 1 7 1 8 1 9

. . . (jedna) šestina . . . (jedna) sedmina . . . (jedna) osmina . . . (jedna) devítina

. . . (jedna) desetina, jedenáctina, . . . , dvacetina . . . (jedna) tˇricetina, cˇ tyˇricetina, . . . , devadesátina

Pˇríklady: 1 1 1 1 1 1 , , , , , , 8 2 14 5 3 10 1 1 1 1 −1 , , − , , , 17 1 3 14 4 ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , , , 4 7 17 9 6 13 15 12 19 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , − , , , 12 10 2 5 13 6 9 18 2 20 Souhrnná prezentace

14. ˇríjna 2015

35 / 70

Zlomky

1 1 21 , 57 , . . .

1 . . . (21 = 1 a 20) (jedna) jedenadvacetina 21 1 . . . (22 = 2 a 20) (jedna) dvaadvacetina 22 .. . 1 . . . (99 = 9 a 90) (jedna) devˇetadevadesátina 99 Pˇríklady: 1 , 81 1 , 17 1 , 88

1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , , 25 14 53 39 42 48 27 80 95 1 1 1 −1 1 1 1 1 1 , − , , , , , , , , 55 3 14 43 12 10 2 56 48 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , , , , , , , , 2 24 50 3 10 4 71 70 90 6



1 , 76 1 , 60 1 , 13

1 1 1 1 , , , , 83 15 12 19 1 1 1 1 − , , , , 96 59 2 22 1 1 1 1 , , , 5 93 55 11 14. ˇríjna 2015

36 / 70

Zlomky

1 1 100 , 1 000 , . . .

1 . . . (jedna) setina 100 1 . . . (jedna) tisícina 1 000 1 . . . (jedna) desetitisícina 10 000

1 . . . (jedna) stotisícina 100 000 1 . . . (jedna) miliontina 1 000 000 1 . . . (jedna) miliardtina 1 000 000 000

Pˇríklady: 1 1 1 1 1 1 1 , , , , − , , − , 100 000 100 1 000 000 1 000 1 000 000 000 10 000 10 1 1 1 1 1 1 100 · = , − · = , (−1)/11 = − 100 000 1 000 10 000 100 1 000 000 11 −



14. ˇríjna 2015

37 / 70

Zlomky 0 5 1 5 2 5 3 5

2 5 5, 8, . . .

4 . . . cˇ tyˇri pˇetiny 5 5 . . . pˇet pˇetin 5 6 . . . šest pˇetin 5 .. .

. . . nula pˇetin . . . (jedna) pˇetina . . . dvˇe pˇetiny . . . tˇri pˇetiny Zlomky

42 5 154 5

. . . cˇ tyˇricet dva pˇetin . . . sto padesát cˇ tyˇri pˇetin


x 5

pro x > 6 cˇ teme

x 5 1 000 000 5

. . . x pˇetin . . . milion pˇetin


14. ˇríjna 2015

38 / 70

Zlomky

2 5 5, 8, . . .

Pˇríklady: w 11 3 14 9 2 13 3 5 , , − , , , − , , , , 2 7 4 46 12 18 55 5 2 2 11 31 1 376 84 14 51 219 , , , , , , − , 73 2 100 19 15 3 37 99 101 −j 35 017 849 1 002 812 , , , , − , , 16 10 4 1 000 000 3 19 33 73 9 6 20 3 , , − , , , − , 96 11 100 1 000 000 000 6 18



1 000 000 a 123 10 , − , , , 100 000 85 2 13 60 391 37 5 901 427 , , − , , 44 1 000 74 2 91 386 2 31 5 3 , , , − , , − , 8 35 17 29 52 4 14 2 21 298 520 1 , − , − , 1 000 9 1 000 000 3

−

14. ˇríjna 2015

39 / 70

Zlomky

2 835 103 , 12 345 , . . .

Ostatní zlomky m˚užeme cˇ íst jako podíl. • • • •

21 ema 102 . . . dvacet jedna lomeno sto dvˇ 73 99 870 . . . sedmdesát tˇri lomeno devadesát x y . . . x lomeno y 3 et x−5 . . . tˇri lomeno x mínus pˇ

devˇet tisíc osm set sedmdesáti

cˇ itatel 1 zlomková cˇ ára 2 jmenovatel ˇ • V cˇ itateli zlomku je jedniˇcka. Citatel zlomku je jedna. • Ve jmenovateli zlomku je dvojka. Jmenovatel zlomku je dvˇe. ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

40 / 70

Zlomky

123 s 876 , t·18 , . . .

Velmi složité zlomky cˇ teme takto: • •

x+y−z s+r 2x−37 11·q

. . . Zlomek. V cˇ itateli x plus y mínus z, ve jmenovateli s plus r.

. . . Zlomek. V cˇ itateli dvˇe x mínus tˇricet sedm, ve jmenovateli jedenáct krát q.

Pˇríklady: 17x 45 a · b 53 1 2 q 4/72 4 5x + 7 14 , , , − , , − , , , , − , , 167 21 x + 1 100 2 3 100 000 c 72/c 199 9 1 1 k · l 12 51 0 83 g 13 12 + 8 , − , , , , , , − , , , 7 963 1 000 000 2 000 000 67 98 52 1 000 39 f 2 22s + 4r − w 54 − 3 123 3 049 1 82 82 41 , − , , , · − =− =− 23r 55 456 193 871 4 4 16 8



14. ˇríjna 2015

41 / 70

Desetinná cˇ ísla (0,1, 6,037, . . .)

1,3 1 . . . celá cˇ ást

, . . . desetinná cˇ árka

3 . . . desetinná cˇ ást

0,123456 1 . . . desetiny

4 . . . desetitisíciny

2 . . . setiny

5 . . . stotisíciny

3 . . . tisíciny

6 . . . miliontiny

1,2 . . . jedna celá dvˇe (desetiny)

5,2 . . . pˇet celých dvˇe (desetiny)

2,2 . . . dvˇe celé dvˇe (desetiny)

6,2 . . . šest celých dvˇe (desetiny)

3,2 . . . tˇri celé dvˇe (desetiny) 4,2 . . . cˇ tyˇri celé dvˇe (desetiny)

7,2 . . . sedm celých dvˇe (desetiny) .. .



14. ˇríjna 2015

42 / 70

Desetinná cˇ ísla (0,1, 6,037, . . .) Pˇri cˇ tení desetinné cˇ ásti (1,23) máme následující dvˇe možnosti: 1

Desetinnou cˇ ást cˇ teme jako zlomek. 23 1,23 = 1 + 100 . . . jedna celá dvacet tˇri (setin) . . . jedna celá dvacet tˇri tisícin 1,023 = 1 + 1 23 000 705 1,0705 = 1 + 10 000 . . . jedna celá sedm set pˇet desetitisícin

2

Desetinnou cˇ ást cˇ teme jako posloupnost cˇ íslic. 1,23456 . . . jedna celá dvˇe, tˇri, cˇ tyˇri, pˇet, šest 1,0705 . . . jedna celá nula, sedm, nula, pˇet

• 0,09 . . . žádná/nula celá devˇet setin, žádná/nula celá nula, devˇet • 93,00201 . . . devadesát tˇri celých dvˇe stˇe jedna stotisícin, devadesát tˇri celých

nula, nula, dva, nula, jedna • 105,0 . . . sto pˇet celých nula (desetin) ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

43 / 70

Desetinná cˇ ísla (0,1, 6,037, . . .)

Pˇríklady: 0,68, 3,907, 1 003,01, −0,4321, 2,090807, 13,630, 0,4443, 2,052, 4,27 + 1,0001 = 5,2701, −4 782,50039, 23,057, 15,926741, 0,5, 0,125, 1 22,64 3 733,31517/3809 = 0,98013, + 0,761 = 0,801, −123,456789, , 25 6 98246,1092 − 8472,1249 = 89773,9843, −4 782,50039, 2,7, 0,0909, 8,07, 6,3001, 0,125, 0,00003, 1 002,056, 0,123 · 0,987 = 0,121401, −7,040013, 0,721, 0,06002, −2 098 004,015, 18,56, −64,90710, 3,981/15 = 0,2654



14. ˇríjna 2015

44 / 70

1 Mocniny x2 , 23 , 5 2 , . . . x0 . . . x na nultou 1

x . . . x na prvou x2 . . . x na druhou x3 . . . x na tˇretí x4 . . . x na cˇ tvrtou x5 . . . x na pátou x6 . . . x na šestou x7 . . . x na sedmou

x8 . . . x na osmou x9 . . . x na devátou x10 . . . x na desátou x11 . . . x na jedenáctou .. . x19 . . . x na devatenáctou x20 . . . x na dvacátou

Pˇríklady: j11 , x19 , c4 , p7 , f 17 , x0 , o14 , k6 , x13 , x2 , a15 , r3 , x−12 , e9 , x1 , w20 , m8 , z−18 , q5 , v16 , h−14 , s0 , u2 , f −20 , n10 , w−9 , d−13 , g7 , t−11 , i0 , b4 , y−2 , x9 , g−3 , p−10 , n4 , u0 , e1 , c12 , j5 , k2 , l3 , a−9 x−19 , s14 , z−17



14. ˇríjna 2015

45 / 70

1 Mocniny x2 , 23 , 5 2 , . . . x2

exponent základ (mocniny)

• 32 . . . Základ mocniny je trojka. Exponent je dvojka. • 32 . . . Základ mocniny je cˇ íslo tˇri. Exponent je cˇ íslo dvˇe.

Pˇri cˇ tení mocnin s r˚uznými základy základ nedeklinujeme. • • • • •

22 . . . dvˇe na druhou 1715 . . . sedmnáct na patnáctou 1 6 . . . jedna cˇ tvrtina na šestou 4 0,0474 . . . žádná celá cˇ tyˇricet sedm tisícin na cˇ tvrtou (−1)0 . . . mínus jedna na nultou

Pˇríklady: 15

0,257 ,

4 17

3

,

129 − 2

−9

, 5 4322 , 123 456 789,987 6547 , w15 , 410 , 0,1−12 ,

5 13 17 14 1 7 121 2 43 , , 4 4444 , 333 333−8 , d20 , 10 , , , s−1 , 36 4 3 5 34 ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

46 / 70

1 Mocniny x2 , 23 , 5 2 , . . . Pˇri cˇ tení mocnin s písmenem latinské abecedy v exponentu cˇ teme: • 2x . . . dvˇe na x-tou

• 2n . . . dvˇe na n-tou

Pokud je exponent mocniny složitˇejší, deklinovat nemusíte. • 42,57 . . . cˇ tyˇri na dvˇe celé padesát sedm 2 • 7x +2x+4 . . . sedm na x na druhou plus dvˇe x plus cˇ tyˇri 2 • x 3 . . . x na dvˇe tˇretiny

Pˇríklady: 278 · 1361 +1 456 √ s a2 − b2 5 11c+23r = a − b, 25 , x, , r− 3 , (−0,123) 789 , 00 , a+b 4 n 11 32 3 3 2 2 3,14 x −4 a − b = (a − b) · a + ab + b , 7,0509 , e , 2 , , 4 12 , 6 10x3 −5x2 y+y4 1n 29 201 1 9,20001x (8 423/209 730) 4 , (−2,7183) , , , ab n 2 ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

47 / 70

Odmocniny √ (1x √ x √ 3 x √ 4 x √ 5 x √ 6 x √ 7 x √ 8 x

√ √ √ x, 3 8, n n . . .

. . . první odmocnina z x)

√ 9

. . . (druhá) odmocnina z x

√ 10

. . . tˇretí odmocnina z x . . . cˇ tvrtá odmocnina z x

√ 11 √ 12

. . . pátá odmocnina z x . . . šestá odmocnina z x

√ 19

. . . sedmá odmocnina z x

√ 20

. . . osmá odmocnina z x

Pˇríklady: p √ √ 11 j, 19 x, 4 c, √ √ √ 9 e, 1 y, 8 m, √ √ √ 4 17 11 t, i, b, √ √ √ 9 a 19 y, 14 t, ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)

x . . . devátá odmocnina z x x . . . desátá odmocnina z x x . . . jedenáctá odmocnina z x x . . . dvanáctá odmocnina z x .. . x . . . devatenáctá odmocnina z x x . . . dvacátá odmocnina z x

p √ √ √ √ √ √ √ √ 20 p, 17 f , x, 14 o, k, 13 z, 3 r, 15 a, 10 w, 12 q, √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 13 18 p, 5 q, 16 v, 14 a, 9 s, 2 u, 10 n, 3 w, d, 7 g, √ √ √ √ √ p √ √ √ √ √ 17 3 2 y, 9 x, 3 g, 10 p, 6 n, 1 c, 15 e, 12 s, 5 j, k, l, √ √ √ 6 16 z, 20 y, k √ 7


14. ˇríjna 2015

48 / 70

Odmocniny √ 0 √ 1 √ 2 √ 3 √ 4 √ 5 √

√ √ √ x, 3 8, n n . . .

. . . odmocnina z nuly . . . odmocnina z jedné . . . odmocnina ze dvou . . . odmocnina ze tˇrí . . . odmocnina ze cˇ tyˇr . . . odmocnina z pˇeti .. .

8 . . . odmocnina z osmi

√ 9 . . . odmocnina z devíti √ 10 . . . odmocnina z deseti .. . √ 20 . . . odmocnina z dvaceti √ 21 . . . odmocnina z dvaceti jedné √ 22 . . . odmocnina z dvaceti dvou .. . √ 99 . . . odmocnina z devadesáti devíti

⇒ Pˇri odmocˇnování √ deklinujeme (= skloˇnujeme) stejnˇe jako pˇri dˇelení. S výjimkou cˇ ísel 0, 1, 2, 3, 4. ( 10 . . . odmocnina z deseti, ÷10 . . . dˇeleno deseti) Pˇríklady: √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 6 0, 15, 2, 6, 1, 12, 3, 8, 4, 50, 95, 31, 16, √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 3 10 17 23, 49, 84, 11, 66, 8, 52, 0, 80, 77, 11, 92, √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ 9 13 4 10 31, 64, 29, 53, 42, 17, 0, 1, 12, 76, 2, 3 ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

49 / 70

Odmocniny

√ √ √ x, 3 8, n n . . .

√ 3

• • •

√ 3 √ 3 √ 3

x

odmocnitel základ (odmocniny), cˇ íslo pod odmocninou

2 . . . Pod odmocninou je dvojka. Pod odmocninou je cˇ íslo dvˇe. 2 . . . Základ odmocniny je dvojka. Odmocnitel je trojka. 2 . . . Základ odmocniny je cˇ íslo dvˇe. Odmocnitel je cˇ íslo tˇri. Pokud je odmocnitel písmeno latinské abecedy, cˇ teme ho následovnˇe:

• •

√ n √ x

5 . . . n-tá odmocnina z pˇeti

3 . . . x-tá odmocnina ze tˇrí



14. ˇríjna 2015

50 / 70

Odmocniny

√ √ √ x, 3 8, n n . . .

Pokud je výraz pod odmocninou složitˇejší, deklinovat ho nemusíme. √ • 21,5 . . . odmocnina z cˇ ísla dvacet jedna celých pˇet desetin q • 10 − 11 císla) deset mínus jedenáct cˇ tvrtin 4 . . . odmocnina z (výrazu/ˇ √ 2 • n + 2n + 4 . . . odmocnina z (výrazu/ˇcísla) n na druhou plus dvˇe n plus cˇ tyˇri Pokud je odmocnitel složitejší, cˇ tˇete odmocninu následujícím zp˚usobem: √ 2n • 2 . . . Odmocnina. Odmocnitel je 2n, pod odmocninou je cˇ íslo dvˇe/dvojka. 2 √ • x +1 3w + 4 . . . Odmocnina. Odmocnitel je x2 + 1, pod odmocninou je cˇ íslo/výraz tˇri w plus cˇ tyˇri. √ • 127 000 5 . . . Odmocnina. Odmocnitel je sto dvacet sedm tisíc, pod odmocninou je cˇ íslo pˇet/pˇetka. Pˇríklady: r q p √ √ 2 9 13 2 + x10 , n nn , 1 + 2, t x8 − 3y2 , 3 ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


p 123/456,

q+s

√

k/2

2g+h ,

√j

0,

√y

14. ˇríjna 2015

ex 51 / 70

Logaritmy (log10 2, ln x, . . .) • • • •

loga x . . . logaritmus x pˇri/o základu a, logaritmus x log x ( = log10 x) . . . logaritmus x ln x ( = loge x) . . . pˇrirozený logaritmus x, logaritmus x e . . . Eulerovo cˇ íslo, e = 2,718 . . . loga b

argument logaritmu základ logaritmu

Argument logaritmu cˇ teme stejnˇe jako cˇ íslo pod odmocninou (2. pád). • ln 257 . . . pˇrirozený logaritmus dvˇe stˇe padesáti sedmi • log4 3 001 . . . logaritmus tˇri tisíce jedné pˇri základu cˇ tyˇri √ • log2 2 . . . logaritmus odmocniny ze dvou pˇri základu dvˇe

Pˇríklady: loga x + loga y = loga (xy), loga x − loga y = loga

x , c · loga x = loga xc , y

ln 123, log√815 987 654 321, loga x = loga b · logb x, log22 32 =? ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

52 / 70

Absolutní hodnota (|x|, |−10|, . . .) • |·| . . . absolutní hodnota

|x|

cˇ íslo v absolutní hodnotˇe absolutní hodnota

ˇ Císlo v absolutní hodnotˇe cˇ teme stejnˇe jako cˇ íslo pod odmocninou (2. pád). |x| . . . absolutní hodnota x |−1| 2 . . . absolutní hodnota mínus jedné x + 2 . . . absolutní hodnota výrazu/ˇcísla x na druhou plus dvˇe √ • 3 −2 . . . absolutní hodnota tˇretí odmocniny z mínus dvou • |ln 4| . . . absolutní hodnota pˇrirozeného logaritmu cˇ tyˇr • ln |−4| . . . pˇrirozený logaritmus absolutní hodnoty mínus cˇ tyˇr • • •

Pˇríklady: √ 74 12x √ , x2 = |x|, |es | = es , 17 −3 872 , |200|, |−35|, |q|, − , − 91 11 p 1 x2 + 4x + 4 =?, log3 =?, |x + y| ≤ |x| + |y|, |x| · |y| = |xy| 81 ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

53 / 70

Závorky ((), [], {}, hi) ( . . . kulatá závorka

() . . . kulaté závorky

[ . . . hranatá závorka

[] . . . hranaté závorky

{ . . . složená závorka

{} . . . složené závorky

h . . . špiˇcatá/ostrá závorka

hi . . . špiˇcaté/ostré závorky

( . . . levá závorka

) . . . pravá závorka

• (x), [x] , {x}, hxi . . . x v závorce • (x + 1), [x + 1] , {x + 1}, hx + 1i . . . x plus jedna (to celé) v závorce • (x + 1) · 3 . . . x plus jedna to celé/v závorce krát tˇri • ln(4x + 3) . . . logaritmus výrazu/ˇcísla cˇ tyˇri x plus tˇri • (1 + x)n . . . jedna plus x to celé na n-tou • 6/(2 + 4) . . . šest dˇeleno závorka dvˇe plus cˇ tyˇri konec závorky • (4/(x + y) + 1) · 5 . . . cˇ tyˇri dˇeleno závorka x plus y konec závorky plus jedna to

celé (v závorce) krát pˇet ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

54 / 70

Závorky ((), [], {}, hi)

Pˇríklady: (a + b) · (a − b) = a2 − b2 , (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 , 5(4r + 3h), √ 42 1 3 2 27 5 − − ln 3 =?, (m + n) · l + m + n = (m + n) · (l + 1) , 21 e √ 24 r 90 145 2(3s−g) , +e · − , p/2 345 − log 4 254 786 · 1 + 15 q 67 13 (x + a)w−1 (logy 37 − 6u) h20 171 720 − 5i ÷ 6 723 905 = 3, 1 000



√

8

14. ˇríjna 2015

55 / 70

Množiny (R, x ∈ h0,1i , A ⊂ B) • {1, a, +} . . . množina, která obsahuje prvky jedna, a, plus • A = {1, a, +} . . . Množina A obsahuje prvky jedna, a, plus. • x∈ A . . . x patˇrí/náleží do množiny A, x je v A • 1,5 ∈ / A . . . (ˇcíslo) jedna celá pˇet desetin nepatˇrí/nenáleží do množiny A, (ˇcíslo)

jedna celá pˇet desetin není v A • A ⊂B . . . Množina A je podmnožinou množiny B. A je v B. • A ⊂B . . . Množina B je nadmnožinou množiny A. • A 6⊂B . . . Množina A není podmnožinou množiny B. A není v B. • A ∩B . . . pr˚unik množin A a B, A pr˚unik B • A ∪B . . . sjednocení množin A a B, A sjednoceno s B • A \B . . . rozdíl množin A a B, A mínus B • x ∈ A ∩ B . . . x patˇrí do pr˚uniku množin A a B,

x je v pr˚uniku množin A a B, x je v A a i v B ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

56 / 70

Množiny (R, x ∈ h0,1i , A ⊂ B)

Intervaly • (0, 1) . . . otevˇrený interval od nuly do jedné • h0, 1i, [0, 1] . . . uzavˇrený interval od nuly do jedné • (a, b) . . . otevˇrený interval od a do b

ˇ • Císlo 0 je dolní mez intervalu a cˇ íslo 1 je horní mez intervalu. • Meze intervalu cˇ teme jako cˇ íslo pod odmocninou (2. pád). • ( 0, 1 i . . . zleva otevˇrený zprava uzavˇrený interval od nuly do jedné • h 0, 1 ) . . . zleva uzavˇrený zprava otevˇrený interval od nuly do jedné • x ∈ (3,4) . . . x patˇrí/náleží do otevˇreného intervalu od tˇrí do cˇ tyˇr,

x není v otevˇreném intervalu od tˇrí do cˇ tyˇr



14. ˇríjna 2015

57 / 70

Množiny (R, x ∈ h0,1i , A ⊂ B)

Pˇríklady: x ∈ (2,3), q ∈ / [−7, 11] , (−3, 7) ⊂ (−12, 19), (c,d) ∪ {c, d} = hc,di , {8, 15, 7} 6⊂ h−4, 0) , h0, 6i ∩ h3, 5i =?, (8, 17i ∪ (17, 18) =?, (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C) , (A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C)



14. ˇríjna 2015

58 / 70

Množiny (R, x ∈ h0,1i , A ⊂ B) D˚uležité množiny • N . . . množina všech pˇrirozených cˇ ísel (x ∈ N . . . x je pˇrirozené) • Z . . . množina všech celých cˇ ísel (x ∈ Z . . . x je celé) • Q . . . množina všech racionálních cˇ ísel (x ∈ Q . . . x je racionální) • R . . . množina všech reálných cˇ ísel (x ∈ R . . . x je reálné) • R+ . . . množina všech kladných reálných cˇ ísel (x ∈ R+ . . . x je kladné) • R− . . . množina všech záporných reálných cˇ ísel (x ∈ R− . . . x je záporné) • R+ ˇ ísel a nuly 0 . . . množina všech kladných reálných c • R . . . rozšíˇrení množiny všech reálných cˇ ísel (R = R ∪ {+∞, −∞})

+∞ . . . plus nekoneˇcno, −∞ . . . mínus nekoneˇcno • C . . . množina všech komplexních cˇ ísel (x ∈ C . . . x je komplexní) • C . . . rozšíˇrení množiny všech komplexních cˇ ísel (C = C ∪ {∞})

∞ . . . nekoneˇcno • ∅ . . . prázdná množina ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

59 / 70

Úpravy zlomk˚u

21 42

= 12 ,

3 7

+

2 5

=

29 35 ,

...

Krácení a rozšiˇrování zlomk˚u (krátit zlomek, rozšíˇrit zlomek) ˇ • Císlo, kterým krátíme/rozšiˇrujeme, cˇ teme jako pˇri dˇelení (7. pád). 1

• 2 2 . . . Zlomek dvˇe cˇ tvrtiny zkrátíme dvˇema (na tvar jedna polovina). 4

3x

x • . . . Zlomek x na tˇretí lomeno x na druhou zkrátíme x na druhou. 21

•

x 3 3 7·3

. . . Zlomek tˇri sedminy rozšíˇríme tˇremi.

• Jak m˚užeme zkrátit zlomek 3 6.

30 60 ?

Napˇríklad dvˇema na tvar

15 30

nebo deseti na tvar

Pˇrevod zlomk˚u na spoleˇcného jmenovatele (pˇrevést zlomky na spoleˇcného jmenovatele) •

3 7

29 + 25 = 35 . . . Zlomky tˇri sedminy a dvˇe pˇetiny pˇrevedeme na spoleˇcného jmenovatele (tˇricet pˇet) ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

60 / 70

ˇ Ctení index˚u a1 , xn , x3 , . . . ˇ Ctení index˚u • x1 . . . x jedna, x s dolním indexem jedna

. . . dolní index

1

• x , x(2) . . . x dvˇe, x s horním indexem dvˇe 2

2 (2)

,

. . . horní index

• x1,2 . . . x jedna dvˇe • xn . . . x n

Další zp˚usob cˇ tení výrazu x 6= y • x 6= 0 . . . x je r˚uzné od nuly (ˇcteme v 2. pádˇe, jako cˇ íslo pod odmocninou) • x 6= y . . . x je r˚uzné od y



14. ˇríjna 2015

61 / 70

Rovnice, nerovnice x2 + 2x − 3 = 0,

1 1+x

<

x 1−x , . . .

x2 + 2x − 3 = 0 . . . rovnice (s neznámou x), x2 − 1 = −2x + p . . . rovnice (s neznámou x a parametrem p), x2 − 1 ≤ −2x + p . . . nerovnice (s neznámou x a parametrem p) x2 − 1 levá strana rovnice

= rovnítko, znak rovnosti

−2x + p pravá strana rovnice

• x je neznámá. • p je parametr. • Na levé stranˇe rovnice je (výraz/ˇcíslo) x2 − 1. • Na pravé stranˇe rovnice je (výraz/ˇcíslo) −2x + p.



14. ˇríjna 2015

62 / 70


1 1+x

<

x 1−x , . . .

Úpravy výraz˚u a rovnic • x2 = −2x ⇒ 0 = −x2 − 2x

Pˇrevedeme (výraz/ˇcíslo) x2 z levé strany (rovnice) na pravou (pˇrevést). • x2 = −2x ⇒ x2 + 2x = 0

Pˇrevedeme (výraz/ˇcíslo) 2x z pravé strany (rovnice) na levou (pˇrevést). • 2x2 = −2x ⇒ x = −1

Vydˇelíme rovnici cˇ íslem/výrazem 2x (vydˇelit). •

1 2x

= 1 ⇒ 1 = 2x Vynásobíme rovnici cˇ íslem/výrazem 2x (vynásobit).

• x2 + 4x = −4 ⇒ x2 + 4x+y = −4+y

K levé i pravé stranˇe rovnice pˇriˇcteme cˇ íslo y (pˇriˇcíst). • x2 + 4x + 4 = 0 ⇒ x2 + 4x + 4−y = 0−y

Od levé i pravé strany rovnice odeˇcteme cˇ íslo y (odeˇcíst). ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

63 / 70


1 1+x

<

x 1−x , . . .

Úpravy výraz˚u a rovnic •

√

x+1=0⇒x+1=0 Rovnici umocníme na druhou (umocnit).

• (x + 1)2 = 0 ⇒ |x + 1| = 0

Rovnici odmocníme (odmocnit). • 2x = 1 ⇒ log2 2x = log2 1

Rovnici logaritmujeme (logaritmovat). • log2 2x = log2 1 ⇒ 2x = 1

Rovnici odlogaritmujeme (odlogaritmovat). • x2 + 2x + 1 = 0 ⇒ (x + 1) · (x + 1) = 0

Levou stranu rovnice pˇrevedeme na souˇcin (pˇrevést). Levou stranu rovnice vyjádˇríme jako souˇcin (vyjádˇrit). Levou stranu rovnice pˇrevedeme na tvar (x + 1) · (x + 1). ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

64 / 70


1 1+x

<

x 1−x , . . .

Úpravy výraz˚u a rovnic √

x2

= 1 ⇒ |x| = 1 . . . Levou stranu rovnice zjednodušíme (na (tvar) |x|). Výraz na levé stranˇe (rovnice) zjednodušíme (zjednodušit).

• log2 2

ln x=a

• ln2x + 3ln x + 2 = 0 =⇒ a2 + 3a + 2 = 0

Provedeme substituci ln x = a (provést). Substituujeme ln x za a (substituovat). Oznaˇcíme ln x jako a (oznaˇcit). a=1

• a2 + 3a + 2 =⇒ 12 + 3 · 1 + 2

Za a dosadíme cˇ íslo jedna. (dosadit). • x3 + 3x2 + 2x =⇒ x x2 + 3x + 2 Z výrazu vytkneme cˇ íslo x. (vytknout). ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

65 / 70


1 1+x

<

x 1−x , . . .

Popis postupu ˇrešení rovnice 3x2 = 6 − 3x (s neznámou x ∈ R) 1

Máme ˇrešit rovnici 3x2 = 6 − 3x.

2

1 2 2 31 x . . . Rovnici vydˇelíme tˇremi. 3 x = 6 −

3

4

5

x2 = 2 − x ⇒ x2 +x − 2 = 0 . . . Výraz dvˇe mínus x pˇrevedeme z pravé strany na levou. Pˇrevedeme všechno/vše na levou stranu. x2 + x − 2 = 0 ⇒ (x + 2) · (x − 1) = 0 . . . Levou stranu pˇrevedeme na souˇcin x plus dva krát x mínus jedna. ˇ • x = −2 nebo x = 1 . . . Rešením rovnice jsou cˇ ísla mínus dvˇe a jedna. Rovnici ˇreší cˇ ísla mínus dvˇe a jedna. Rovnice má dvˇe ˇrešení, cˇ ísla mínus dvˇe a jedna. ˇ • x1 = −2, x2 = 1 . . . Rešením rovnice jsou cˇ ísla x jedna a x dvˇe, kde x jedna se rovná mínus dvˇe a x dvˇe se rovná jedna. ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

66 / 70


1 1+x

<

x 1−x , . . .

2

Popis postupu ˇrešení nerovnice 2(x−2) < 16 (s neznámou x ∈ R). 1

2 ˇ Rešíme nerovnici 2(x−2) < 16. 2

2

2

2(x−2) < 16 ⇒ log2 2(x−2) < log2 16 . . . Rovnici logaritmujeme (logaritmem pˇri základu dvˇe). 2

3

4 5

log2 2(x−2) < log2 16 ⇒ (x − 2)2 < 4 . . . Levou i pravou stranu rovnice zjednodušíme. Obˇe strany rovnice zjednodušíme. (x − 2)2 < 4 ⇒ |x − 2| < 2 . . . Rovnici odmocníme. ˇ x > 0 a zároveˇn x < 4 . . . Rešením rovnice jsou všechna cˇ ísla x (, která jsou) vˇetší než nula a zároveˇn menší než cˇ tyˇri. ˇ Rešením rovnice jsou všechna x z otevˇreného intervalu od nuly do cˇ tyˇr (všechna x ∈ (0, 4)). ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

67 / 70

Rovnice, nerovnice x2 + 2x − 3 = 0, 4x−3 7+x

Popis postupu ˇrešení nerovnice 1

Máme ˇrešit nerovnici

2

4x−3 7+x

4x−3 7+x

1 1+x

<

x 1−x , . . .

> 0 (s neznámou x ∈ R).

> 0.

> 0 ⇒ 7 + x 6= 0 ⇒ x 6= −7

• Urˇcíme, pro která x má zlomek smysl. • Urˇcíme, za jakých podmínek má zlomek smysl.

⇒ Zlomek má smysl pro (všechna) x r˚uzná od mínus sedmi. 3

4x − 3 = 0 nebo 7 + x = 0 ⇒ x = nulové body cˇ itatele a jmenovatele. x = 43 . . . nulový bod

4

x < −7 ⇒

4x−3 7+x

> 0, x ∈ (−7, 34 ) ⇒

3 4

nebo x = −7 . . . Urˇcíme/nalezneme

4x−3 7+x

< 0, x >

• Urˇcíme, znaménka zlomku v intervalech (−∞, −7), • Urˇcíme, kdy je zlomek kladý a kdy (je) záporný. 5

3 4

⇒

4x−3 7+x

(−7, 43 )

>0

a ( 43 , +∞).

ˇ x ∈ (−∞, −7)∪( 34 , +∞) . . . Rešením rovnice jsou všechna cˇ ísla x ze sjednocení otevˇreného intervalu od mínus nekoneˇcna do mínus sedmi s otevˇreným intervalem od tˇrí cˇ tvrtin do plus nekoneˇcna. ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

68 / 70


1 1+x

<

x 1−x , . . .

Popis postupu ˇrešení rovnice |x − 2| = 2 − x (s neznámou x ∈ R) 1

ˇ Rešíme rovnici |x − 2| = 2 − x.

2

a). . . x − 2 ≤ 0, b). . . x − 2 > 0 . . . Rozdˇelíme ˇrešení na dva pˇrípady.

3

a) x − 2 ≤ 0 ⇒ |x − 2|= − (x − 2) = 2 − x . . . Za a. Pokud je výraz x mínus dvˇe menší nebo roven nula, zjednoduší se absolutní hodnota cˇ ísla x mínus dvˇe na tvar dvˇe mínus x.

4

b) x − 2 > 0 ⇒ |x − 2|=x − 2 • Za b. Pokud je výraz x mínus dvˇe vˇetší než nula, zjednoduší se absolutní hodnota

cˇ ísla x mínus dvˇe na tvar x mínus dvˇe. • Za b. Pro x mínus dva vˇetší než nula se absolutní hodnota z x − 2 rovná x mínus dvˇe. 5

ˇ x ≤ 2 . . . Rešením rovnice jsou všechna cˇ ísla x menší nebo rovna dvˇe.



14. ˇríjna 2015

69 / 70


1 1+x

<

x 1−x , . . .

Popis postupu ˇrešení rovnice xp = 0 s neznámou x ∈ R a parametrem p ∈ R 1

ˇ Rešíme rovnici xp = 0 s parametrem p ∈ R.

2

a). . . p = 0, b). . . p 6= 0 • V závislosti na hodnotˇe parametru p rozdˇelíme ˇrešení na pˇrípady a a b (rozdˇelit). • Rozlišíme následující dva pˇrípady: p je nula a p není nula. • Rozdˇelíme ˇrešení na pˇrípad, kdy p je nula, a pˇrípad, kdy p je r˚uzné od nuly.

3

4

5

a) p = 0 ⇒ 0 · x = 0 ⇒ x ∈ R Za a. Pokud je p nula, dostáváme rovnici nula x se rovná nula, takže ˇrešením jsou všechna reálná x. 1 b) p 6= 0 ⇒ xp =0⇒x=0 Za b. Pro p r˚uzné od nuly vydˇelíme rovnici (ˇcíslem) p, takže dostáváme, že x je nula.

Pro p 6= 0 (r˚uzné od nuly) má rovnice ˇrešení x = 0 (x se rovná nula) a pro p = 0 (p se rovná nula) rovnici ˇreší všechna x ∈ R (reálná x). ˇ Ondˇrej Pártl (FJFI CVUT)


14. ˇríjna 2015

70 / 70

Souhrnná prezentace. 14. října Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze

Recommend Documents