II. Disperzní zákony Disperzní zákony v podobě, jak je uvedeme dále, vyjadřují závislost kruhové frekvence povrchových vln na hladinách kapalin v závislosti na jejich vlnovém čísle. Pomocí disperzních zákonů můžeme rozhodnout, zda je hladina kapaliny stabilní, ω 2 >> 0 , nebo nestabilní ω 2 << 0 . Disperzní zákony odvodíme pro gravitační a kapilární vlny. Dále se budeme zabývat disperzním zákonem pro kapilární vlny pod vlivem vnějšího elektrického pole. Poslední případ úzce souvisí s technologiemi elektrického zvlákňování.
II.1 Disperzní zákon pro gravitační vlnu Gravitační vlny, chápané jako hydrodynamický jev. Jsou to vlny vytvářené v tekutém médiu, nebo na rozhraní mezi dvěma tekutinami. Tyto vlny vznikají v důsledku snahy gravitační síly nebo hydrostatického vztlaku obnovit rovnováhu na zvlněném rozhraní tekutin. Je-li element tekutiny přemístěn na rozhraní do oblasti s jinou hustotou, bude se snažit pohybovat směrem jeho k rovnovážnému stavu v důsledku působících gravitačních sil. Tato snaha vede ke kmitání hladiny kolem rovnovážného stavu. Příkladem rozhraní mezi tekutinami je povrch mezi atmosférou a oceánem, což vede ke vzniku tak zvaných větrných vln. Gravitační vlny na rozhraní tekutin se nazývají povrchové gravitačních vln, zatímco gravitační vlny, které jsou uvnitř tekutin, jsou označovány jako gravitační vlny vnitřní. Gravitační vlny budeme vyšetřovat za podmínky, že jejich vlnová délka l je mnohem větší než jejich amplituda A, λ >> A . V tomto případě můžeme zavést rychlostní potenciál j a řešit následující soustavu hydrodynamických rovnic.
ρ = konst . ,
∂ 1 ϕ + p = 0. ∂t ρ
∆ϕ = 0 ,
(II.1.1)
V případě gravitační vlny uvažujeme pouze vliv gravitace, a proto má tlak v modifikované Eulerově rovnici podobu hydrostatického tlaku p = ρgh , kde r je hustota kapaliny, g značí gravitační zrychlení a h je výška místa v kapalině, ve kterém tlak vyšetřujeme. Na systém tří hydrodynamických rovnic (II.1.1), z nichž pouze dvě jsou netriviální, pohlížíme tak, že Eulerova modifikovaná rovnice bude použita pro formulování okrajové podmínky pro obecné řešení rovnice Laplaceovy. Abychom situaci zjednodušili, budeme uvažovat jednorozměrnou vlnu na hladině kapaliny. Je to taková vlna, pro kterou je její výchylka z pouze funkcí souřadnic x a z, ζ = ζ ( x, z ) . Souřadnice x kartézského systému leží na neporušené rovné hladině a souřadnice z je k hladině kolmá a její kladné hodnoty směřují vzhůru. Řešení Laplaceovy rovnice pro dvourozměrný případ jsme našli v dodatku D2,
ϕ (x, z ) = C x, z e ± kz exp(± ikx ) . Nyní provedeme výběr znamének exponentů tak, aby řešení bylo v souladu s fyzikální zkušeností. Je známo, že vlnění v kapalině (tj. vnitřní vlnění) vyvolané rozruchy na její hladině je v kapalině tlumeno s rostoucí vzdáleností od hladiny. V exponentu amplitudy tedy vybereme kladné znaménko, protože funkce C x, z e + kz klesá podél záporného směru osy z. 1
Dále si přejeme, aby povrchová vlna nebyla stacionární, ale aby měnila svoji výchylku ζ v čase s kruhovou frekvencí w. Za tímto účelem rozšíříme argument harmonické funkce o časovou závislost exp[i(kx − ωt )] . Toto rozšíření nezmění tu skutečnost, že funkce
ϕ ( x, z, t ) = C x, z e + kz exp[i(kx − ωt )]
(II.1.2)
je řešením Laplaceovy rovnice ∆ϕ ( x, y , t ) = 0 . Se zvoleným výběrem znamének časově proměnná vlna postupuje zleva doprava. Pohyb vlny můžeme odvodit z pohybu lokálního maxima reálné části exponenciály v (II.1.2), Re[exp[i(kx − ωt )]] = cos(kx − ωt ) . Toto lokální maximum mělo na počátku odečtu času, t = 0 , souřadnici x = 0 . Změna jeho pozice x je dána konstantností argumentu, tj. kx − ωt = cont. Derivací pozice x lokálního maxima podle času r du ω získáme rychlost horizontálního pohybu vlny, ur = = . Pokud ω a k jsou kladné dt k hodnoty, pak se vlna pohybuje ve směru kladných hodnost osy x. Okrajovou podmínku získáme z Eulerovy modifikované rovnice tím, že budeme uvažovat podmínky na rozhraní kapalina – vzduch. Na povrchu gravitační vlny má tlak p charakter hydrostatického tlaku, p = ρgζ . Po dosazení do modifikované Eulerovy rovnice v (II.1.1) obdržíme ∂ ϕ + gζ = 0 . ∂t I když tušíme, že výchylka ζ má podobu harmonické vlny, podobně jako rychlostní potenciál j, je tento vztah rovnicí pro dvě funkce j a ζ . Abychom výchylku z této rovnice eliminovali, zapíšeme ji pomocí rychlostního potenciálu. Toho docílíme tím, že derivujeme výše uvedenou relaci znovu podle času a získáme
∂2 ∂t 2
ϕ+g
∂ ζ =0. ∂t
(II.1.3)
Protože na povrchu vlny převládá vertikální složka rychlosti kapaliny, v z , můžeme psát ∂ ∂ϕ ∂ ∂ϕ , takže platí . ζ ≅ v z . Podle definice rychlostního potenciálu je v z = ζ ≅ ∂t ∂z ∂t ∂z Dosazením do (II.1.3) dostaneme
∂2 ∂t 2
ϕ+g
∂ ϕ = 0. ∂z
(II.1.4)
Do této okrajové podmínky dosadíme druhou časovou derivaci rychlostního potenciálu
ϕ ( x, z, t )
z relace (II.1.2),
okrajové
podmínky
∂ 2ϕ ( x, z, t ) 2
∂ t (II.1.4)
= −ω 2 C x, z e + kz exp[i(kx − ωt )] = −ω 2ϕ ( x, z , t ) . Dále do
dosadíme
první 2
derivaci
ϕ ( x, z, t )
podle
z,
∂ϕ (x, z, t ) = kC x, z e + kz exp[i(kx − ωt )] = kϕ ( x, z, t ) . Po dosazení získáme disperzní zákon pro ∂z gravitační vlnu v podobě
ω 2 = gk .
(II.1.5)
Hodnoty gravitačního zrychlení g a vlnového čísla k jsou kladné, proto pro gravitační vlnu platí ω 2 > 0 . Odtud plyne, že gravitační vlna je vždy stabilní a kvadrát její kruhové frekvence roste lineárně s vlnovým číslem.
Obr. II.1.1: Graf závislosti kvadrátu kruhové frekvence ω 2 [s -2] na vlnovém čísle k [m -1] gravitační vlny. Gravitační zrychlení mělo pro výpočet hodnotu g=10 m/s.
II.2 Disperzní zákon pro kapilární vlnu Kapilární vlny se vyskytují na fázovém rozhraní tekutiny a jejich dynamika je řízena účinky povrchového napětí kapaliny. Kapilární vlny jsou v přírodě běžné. Mohou být vyvolány slabým vánkem nebo termálními fluktuacemi. Vlnová délka kapilárních vln na vodě nebývá delší než několik centimetrů. Vlny na rozhraní kapaliny, které jsou ovlivněny účinky povrchového napětí, gravitací a setrvačností kapaliny se označují jako gravitačně – kapilární. Kapilární vlny budeme vyšetřovat opět za podmínky, že jejich vlnová délka l je mnohem větší než jejich amplituda A, λ >> A . Za těchto podmínek, jak jsme ukázali výše, můžeme zavést rychlostní potenciál a řešit nám známou soustavu hydrodynamických rovnic (II.1.1). Řešení Laplaceovy rovnice převezmeme z výše uvedeného rozboru pro kapilární vlnu, viz (II.1.2). Tlak v modifikované Eulerově rovnici v případě kapilární vlny bude reprezentován tlakem kapilárním, pc . Pro kapilární tlak platí Laplaceova – Youngova rovnice pc =
γ R1 + R2
,
(II.2.2)
3
kde g značí povrchové napětí a R1 a R2 jsou poloměry oskulačních kružnic příslušející k rovinám hlavních křivostí. Hlavní křivosti K1 a K2 jsou pak rovny obráceným hodnotám poloměrů oskulačních kružnic v hlavních řezech, K1 = 1 / R1 a K 2 = 1 / R2 . Jednodimenzionální kapilární vlna má jednu z hlavních křivostí rovnou nule. V druhé hlavní rovině určíme křivost ze vztahů mezi úhlem, příslušným obloukem a poloměrem oskulační kružnice. Dále ukážeme jak za podmínky A << λ určit zjistit křivost z funkce výchylek hladiny ζ = ζ ( x ) . Oskulační kružnice je termín z diferenciální geometrie křivek. Uvažujeme dostatečně hladkou křivku a bod P na ní. V blízkosti tohoto bodu chceme křivost křivky zjistit. Oskulační kružnice prochází bodem P a dvojici dalších bodů, A a B, na křivce, které jsou v nekonečné blízkosti k bodu P. Tyto tři body jednoznačně určují oskulační kružnici. Díky limitnímu kroku, A → P a zároveň B → P , se oskulační kružnice ze všech možných kružnic procházejících bodem P nejvíce blíží k dané křivce.
Obr.II.2.1: Oskulační kružnice O prochází bodem P a dvojici dalších bodů, A a B, na křivce C. Díky limitnímu kroku, A → P a zároveň B → P , se oskulační kružnice ze všech možných kružnic procházejících bodem P nejvíce blíží k dané křivce. Pro délku L kruhového oblouku na kružnici s poloměrem R a středovým úhlem a platí L = R α . Odtud můžeme křivost oskulační kružnice vyjádřit jako 1 / R = α / L . Tento vztah je lineární, a proto platí i pro malou změnu středového úhlu dα a k němu příslušnému malému oblouku dL . Odtud plyne 1 dα . = R dL Do tohoto vztahu dosadíme veličiny odvozené z průběhu funkce výchylky ζ = ζ ( x ) . Za tímto účelem uděláme dvě úpravy. Nejprve si všimneme toho, že výchylka ζ (x ) přísluší vlně
4
s podmínkou λ >> A . Z tohoto důvodu jsou délky oblouků na této křivce téměř rovny 1 dα dα . příslušným délkám úseků na ose x, dL ≅ dx . Proto můžeme psát = ≅ R dL dx
Obr.II.2.2: Úhel mezi normálami a je roven úhlu mezi příslušnými tečnami. Za druhé, úhel mezi normálami je stejný jako úhel mezi příslušnými tečnami, viz Obr.II.2.1. Změna středového úhlu dα na oskulační kružnici je tedy i změnou úhlu mezi tečnami, při změně argumentu funkce ζ (x ) o dx. Za podmínky λ >> A jsou úhly α sevřené tečnou k funkci výchylek ζ (x ) a osou x malé, α → 0 , pro všechny hodnoty x. Hodnota úhlu α dζ ( x ) pro derivaci funkce ζ (x ) . Pro sevřeného tečnou a osou x vystupuje ve vztahu tg α = dx sin α dζ ( x ) malé hodnoty α navíc platí, tg α = ≅ α . Proto můžeme psát α ≅ dx cos α
Z výše uvedených odhadů pro křivost
1 1 dα dζ ( x ) a pro úhel α , tj. a α≅ , snadno ≅ R R dx dx
odvodíme 1 d 2ζ ( x ) . ≅ R dx 2
(II.2.3)
V oblasti minim vlny ζ (x ) , tam kde je tato funkce konvexní, působí kapilární tlak pc směrem vzhůru ve směru kladných hodnot osy z, a proto musí být uvažován, jako kladný. V oblasti minima funkce je její první derivace rostoucí. Druhá derivace je tudíž zde záporná. Opačná situace nastává v oblasti maxim, kde je funkce výchylky kapaliny konkávní. Z těchto důvodů musíme obrátit znaménko u druhé derivace
d 2ζ ( x )
, abychom z geometrických úvah dx 2 o křivosti funkce odvodili správnou hodnotu kapilárního tlaku. Pro pc tedy platí p c = −γ
∂ζ ( x, t ) . ∂x
(II.2.4)
5
Nyní můžeme přistoupit k řešení systému hydrodynamických rovnic pro rychlostní potenciál ∂ 1 ϕ + p = 0 , které popisují kapilární vlnu. Rovnice ρ = cont . , ∆ϕ (x, y , t ) = 0 a ρ ∂t kontinuity, která je označována jako Laplaceova rovnice, má stejné znění i řešení jako pro gravitační vlnu, ϕ ( x, z, t ) = C x, z e + kz exp[i(kx − ωt )] .
Z Eulerovy modifikovaná rovnice odvodíme okrajovou podmínku pro toto řešení na rozhraní kapalina – vzduch. Na povrchu gravitační vlny má tlak p charakter součtu hydrostatického tlaku, p h = ρgζ , a tlaku kapilárního, pc = −γ
∂ 2ζ ( x, t ) ∂x 2
. Po dosazení do modifikované
Eulerovy rovnice obdržíme ∂ ∂ 2ζ ϕ + gζ + −γ = 0. ∂t ∂x 2
Dále budeme postupovat obdobně, jako při odvozování disperzního zákona pro gravitační vlnu. Nejprve eliminujeme funkci výchylky ζ (x ) ve výše uvedené rovnici tím, že tento vztah derivujeme podle času. Tak získáme
∂2 ∂t 2
ϕ+g
∂ ∂2 ∂ ζ −γ ζ = 0. ∂t ∂x 2 ∂t
(II.2.5)
Dále využijeme vztahu mezi časovou derivací výchylky a prostorovou derivací rychlostního ∂ ∂ϕ potenciálu, , odvozeného pro případ gravitační vlny. Dosazením do (II.2.5) ζ ≅ ∂z ∂t dostaneme
∂2 ∂t 2
ϕ+g
∂ ∂2 ∂ ϕ −γ ϕ = 0. ∂z ∂x 2 ∂z
(II.2.6)
Do okrajové podmínky (II.1.6) dosadíme druhou časovou derivaci rychlostního potenciálu, ∂ 2ϕ / ∂ 2 t = −ω 2ϕ , a první derivaci rychlostního potenciálu podle z, ∂ϕ / ∂z = kϕ . Tyto dvě derivace jsme podrobněji provedli v případě gravitační vlny. V posledním členu v relaci (II.2.6) musíme ještě rychlostní potenciál dvakrát derivovat podle souřadnice x a jednou podle
∂2 ∂ ϕ = −k 3C x, z e + kz exp[i(kx − ωt )] = −k 3ϕ . Dosazením 2 ∂z ∂x právě provedených derivací do (II.2.6) získáme disperzní zákon pro kapilární vlnu
souřadnice z. Obdržíme tak
ω 2 = gk +
γk 3 . ρ
(II.2.7)
Hodnoty gravitačního zrychlení g, povrchového napětí g, hustoty kapaliny r a vlnového čísla k jsou kladné. Z tohoto důvodu je kvadrát úhlové frekvence vždy větší než nula. Odtud plyne, 6
že kapilární vlna je stabilní, protože kvadrát její kruhové frekvence je větší než nula, ω 2 > 0 . Graf závislosti kvadrátu kruhové frekvence ω 2 na vlnovém čísle k kapilární vlny je vynesen na Obr.II.2.3.
Obr. II.2.3: Graf závislosti kvadrátu kruhové frekvence ω 2 [s -2] na vlnovém čísle k [m -1] kapilární vlny. Gravitační zrychlení mělo pro výpočet hodnotu g=10 m/s a povrchové napětí bylo zvoleno 72 mN/m, což odpovídá destilované vodě při teplotě 20oC. Rovinný povrch kapaliny lze experimentálně destabilizovat pomocí gravitačního pole jednoduchým trikem. Toho lze dosáhnou otočením rovinného povrchu pevné látky potřeného vrstvou kapaliny „vzhůru nohama“. V tomto případě musíme v rovnici (II.2.7) obrátit znaménko u gravitačního členu.
ω 2 = − gk +
γk 3 . ρ
(II.2.7a)
Graf této závislosti je vynesen na Obr. 2.2.4.
7
Obr. II.2.4: Graf závislosti kvadrátu kruhové frekvence ω 2 [s -2] na vlnovém čísle k [m -1] kapilární vlny s obráceným znaménkem gravitačního členu. Gravitační zrychlení mělo pro výpočet hodnotu g=10 m/s a povrchové napětí bylo zvoleno 72 mN/m. Pro disperzní zákon se záporným gravitačním členem najdeme vlnové číslo kmax pro nejrychleji rostoucí vlnu. Nejrychleji rostoucí vlna je ta, jejíž kladný růstový parametr q, definovaný vztahem q 2 = −ω 2 , je maximální. Extrém disperzního zákona (II.2.7a) zjistíme z jeho první derivace podle k, kterou položíme rovnu nule, − g + plyne k max =
2 3γ k max
ρ
= 0 . Odtud ihned
ρg . Veličina, která je rovna obrácené hodnotě pravé strany právě uvedeného γ
vztahu se nazývá kapilární délka a, a =
γ . Nyní použijeme vztah mezi vlnovým číslem a ρg
vlnovou délkou l, k = 2πλ . Pomocí něj můžeme vlnovou délku kapilární vlny na kapalinové vrstvě přisedlé zespoda k rovnému pevnému povrchu vyjádřit následovně
λ = 2π a .
(II.2.8)
Experimentální měření vlnové délky pro nezadržitelně rostoucí kapilární vlnu na vrstvě kapaliny destabilizované účinkem gravitačního pole je navrženo a zdokumentováno ve cvičení Cv.II.1.
II.3 Disperzní zákon pro kapilární vlnu ve vnějším elektrickém poli Při elektrickém zvlákňování je povrch kapaliny destabilizován vnějším elektrickým polem. Podmínky pro vznik nestability jsou závislé na tvaru (symetrii) zvlákňovací elektrody. Disperzní zákon pro kapilární vlnu ve vnějším elektrickém poli se nejsnadněji formuluje pro rovinný povrch kapaliny, na které předpokládáme existenci jednorozměrných kapilárních vln. Kapilární vlnu ve vnějším elektrickém poli budeme vyšetřovat opět za podmínky, že jejich vlnová délka l je mnohem větší než jejich amplituda A, λ >> A . V tomto případě můžeme zavést rychlostní potenciál j. Podobně jako u gravitační a kapilární vlny řešíme soustavu hydrodynamických rovnic (II.2.1), přičemž řešení Laplaceovy rovnice převezmeme z (II.1.2). Tlak p v modifikované Eulerově rovnici v případě kapilární vlny na vodivé kapalině ve vnějším elektrickém poli bude reprezentován tlakem hydrostatickým, p h = ρgζ , kapilárním
pc = −γ
∂ 2ζ ( x, t )
a tlakem elektrickým pe . Elektrický tlak působící na hladinu vodivých ∂x 2 kapalin je úměrný druhé mocnině intenzity elektrického pole. pe =
1 ε0E2 , 2
(II.3.1)
kde ε 0 je permitivita vakua. 8
Disperzní zákon získáme, podobně jako tomu bylo v předchozích případech, řešením systému hydrodynamických rovnic pro rychlostní potenciál, ρ = cont . , ∆ϕ ( x, y , t ) = 0 a ∂ 1 ϕ + p = 0 . Rovnice kontinuity má stejné znění i řešení jako pro gravitační i kapilární ∂t ρ vlnu, ϕ ( x, z, t ) = C x, z e + kz exp[i(kx − ωt )] . Okrajovou podmínku na rozhraní kapalina – vzduch pro řešení Laplaceovy rovnice pro rychlostní potenciál získáme z Eulerovy modifikované rovnice. Otázkou je, jak vyjádřit r intenzitu pole E nad mírně zvlněným povrchem kapaliny. Intenzita pole těsně nad hladinou kapaliny musí splňovat první Maxwellovu rovnici pro elektrostatiku
rr ∇E = −∆φ ( x, z ) = 0 .
(II.3.2)
V této Laplaceově rovnici φ značí elektrostatický potenciál. Řešením Laplaceovy rovnice je také konstantní funkce, φ ( x, z ) = const. , a funkce lineární v souřadnici z, φ ( x, z ) = E0 ⋅ z . Konstantu v posledním vztahu jsme označili E0 , protože má význam intenzity elektrostatického pole. Kromě těchto řešení existují ještě ty, které jsou obdobou výše uvedených řešení pro rychlostní potenciál.
φ (x, z ) = φ x, z e −kz exp[i kx] .
(II.3.3)
Složíme-li všechna tři řešení rovnice (II.3.2) dohromady, obdržíme
φ (x, z ) = φ x, z e −kz exp(i kx ) + E0 z + const. Na toto řešení nyní můžeme naložit podmínku konstantnosti elektrostatického potenciálu na povrchu zvlněné kapaliny. Protože jsou potenciály určeny jednoznačně až na konstantu, lze požadovat, aby potenciál na hladině byl právě roven const. Potom platí φ x, z e −kζ exp(i kx) + E0ζ = 0 . Povrch hladiny je popsán malou výchylkou ζ (x ) = A ⋅ exp(i kx) tak, jak je uvedeno v relaci (I.1.1). Protože
ζ (x ) << 1 , platí e −kζ ≅ 1. Když malá lokální posunutí povrchu hladiny ζ (x ) dosadíme místo hodnoty souřadnice z do poslední rovnice, dostaneme φ x, z exp(i kx ) + E0 A ⋅ exp(i kx ) = 0 . Odtud plyne φ x, z = − E0 A . Pro potenciál nad hladinou zvlněné kapaliny tedy platí
φ (x, z ) = − E0 Ae −kz exp(i kx) + E0 z + const. Intenzitu elektrického pole těsně nad hladinou zvlněné kapaliny získáme jako záporně vzatý r r gradient potenciálu elektrostatického pole, E = −∇φ . Předpokládáme, že intenzita pole nad hladinou kapaliny má směr osy z. Proto budeme potenciál φ ( x, z ) derivovat pouze podle této souřadnice. Tak obdržíme E ( z ) = − E0 kAe− kz exp(i kx) + E0 . Na zvlněné hladině můžeme opět považovat hodnotu z = ζ (x ) za malou, z << 1 , a proto Ae − kζ exp(i kx ) ≅ A exp(i kx ) = ζ ( x ) .
9
Po substituci do posledního uvedeného vztahu pro intenzitu elektrostatického pole E ( z ) získáme E (ζ ) = E0 − E0 kζ .
(II.3.4)
Intenzita pole je tak, podobně jako tomu bylo u vztahu pro elektrostatický potenciál, rozdělena do dvou členů. První člen má význam intenzity homogenního elektrostatického pole generovaného rovinnou elektrodou, E0 . Druhý z nich, − E0 kζ , vyjadřuje poruchu intenzity způsobenou vlněním hladiny. O poruše můžeme předpokládat, že je mnohem menší než základní pole generované elektricky nabitou rovinnou hladinou, E0 kζ << E0 . Čtverec elektrického pole tak můžeme přibližně vyjádřit následujícím způsobem,
E 2 ( z ) = E02 k 2ζ 2 − 2 E02 kζ + E02 ≅ E02 − 2E02 kζ . Odtud dosadíme do vztahu pro elektrický 1 1 1 potenciál, pe = ε 0 E 2 , a získáme pe = ε 0 E 2 = ε 0 E 02 − ε 0 E 02 kζ . 2 2 2 Vztah pro elektrický tlak dosadíme do modifikované Eulerovy rovnice spolu s výrazy pro hydrostatický a kapilární tlak. ∂ γ ∂ 2ζ 1 ε 0 E 02 ε 0 E 02 kζ + − = 0. ϕ + gζ − ∂t ρ ρ ∂x 2 2 ρ
Dále budeme postupovat obdobně, jako při odvozování dříve uvedených disperzních zákonů. To znamená, že eliminujeme výchylku ve výše uvedené rovnici tím, že ji budeme derivovat podle času. ∂2 ∂t 2
ϕ+g
∂ζ γ ∂ 2 ∂ζ ε 0 E 02 k ∂ζ − − = 0. ∂t ρ ∂x 2 ∂t ∂t ρ
(II.3.5)
Dříve jsme také ukázali, že vztah mezi časovou derivací výchylky a prostorovou derivací ∂ ∂ϕ rychlostního potenciálu zní . Dosazením do (II.3.5) dostaneme ζ ≅ ∂t ∂z ∂ 2ϕ ∂t 2
+g
∂ϕ γ ∂ 2 ∂ϕ ε 0 E 02 k ∂ϕ − − =0. ∂z ρ ∂x 2 ∂z ρ ∂z
(II.3.6)
Do této okrajové podmínky dosadíme druhou časovou derivaci rychlostního potenciálu,
∂ 2ϕ ∂ 2t
= −ω 2ϕ , první derivaci rychlostního potenciálu podle z,
∂ϕ = kϕ a dále trojnásobnou ∂z
∂ 2 ∂ϕ = −k 3ϕ . Tyto derivace jsme 2 ∂z ∂x podrobněji uvedli v případě kapilární vlny. V posledním členu v relaci (II.3.6) musíme rychlostní potenciál derivovat podle souřadnice z. Výsledek této derivaci je již jednou výše uveden. Dosazením příslušných derivací do (II.3.6) získáme disperzní zákon pro kapilární vlnu ovlivňovanou vnějším elektrickým polem. derivaci j provedenou dvakrát podle x a jednou podle z,
10
2
γk 3 ε 0 E02 k ω = gk + − . ρ ρ 2
(II.3.7)
Kvadrát úhlové frekvence kapilární vlny ovlivňované vnějším elektrickým polem může být menší než nula. Tato situace nastává za podmínky ε 0 E02 k > ρg + γk 2 , která plyne ihned z (II.3.7).
Obr. II.3.1: Křivky 1, 2, a 3 představují vztahy mezi druhou mocninou úhlové frekvence ω 2 a vlnového čísla k pro destilovanou vodu a pro tři hodnoty intenzity elektrostatického pole, křivka (1) E = Ec = 2,461 945 094 x 106 V/m, křivka (2) E = 2,4 x 106 V/m, a křivka (3) E = 2,5 x 106 V/ m. Kritická hodnota vlnového čísla je kc = 3,726 77 x 102 m-1, jak je zřejmé z křivky (1). Výpočet byl proveden pro následující hodnoty fyzikálně chemických parametrů: Povrchové napětí destilované vody při 20o C, g=72 x 10-3 N/m, hustota vody r=103 kg/m3, gravitační zrychlení g = 10 m/s2 a elektrická permitivita okolního vzduchu ε 0 = 8,854? 10-12 m-3kg-1s4A2.
Cvičení Cv.II.1: Experimentální měření vlnové délky „obrácené kapilární vlny“ Experimentální měření vlnové délky „obrácené kapilární vlny“ prováděla Hana Šourková v rámci semestrální práce z předmětu Fyzikální principy tvorby nanovláken v akademickém roce 2014/2015 na Fakultě textilní Technické univerzity v Liberci. Vlnovou délku měřila pomocí skleněné misky s plochým dnem, do níž se nalilo 100 ml destilované vody. Miska s vodou byla otočena dnem vzhůru a umístěna na vodorovnou desku stolu. Kapalina se tak přivedla do nestabilního. Nestabilita se projevila přetvořením původně rovinné kapalinové vrstvy na dobře lokalizované kapky. Vrstva vody s vytvořenými kapkami se nechala ustálit po 11
dobu 2 min. Poté se obvody vzniklých kapiček na dně misky obkreslily fixem na vnější stranu dna skleněné misky. Na dno nádoby se následně přiložil papír, na který se překreslila vyznačená místa výskytů kapek pro další pohodlné vyhodnocení experimentu, viz Obr. Cv.II.1.1.
Obr. Cv.II.1.1: Vlevo obkreslené obvody kapiček na vnějším dně obrácené skleněné misky, vpravo jsou obvody kapek překreslené na papír. Velké množství naměřených dat umožnilo podrobné statistické zpracování experimentu. Měřeny byly u každé kapky tři kategorie vzdáleností nejblíže sousedních kapek: nebližší kapka vzdálená o λ1 , druhá nebližší kapka vzdálená o λ2 a konečně třetí nebližší kapka vzdálená o λ3 , přičemž pro tyto vzdálenosti platí λ1 < λ 2 < λ3 . Porovnáním teoretické hodnoty λ = 29,71 mm pro destilovanou vodu, viz vztah (II.2.8), s naměřenými hodnotami λ1 = 28 ± 2 mm ukázalo, že teoretická hodnota spadá do intervalu daného standardní odchylkou. Zajímavé je také porovnání první, λ1 , a třetí, λ3 , nejkratší vzdáleností od dané kapky. Třetí nejkratší vzdálenost λ3 odpovídá téměř přesně dvojnásobku vzdálenosti nejkratší, λ1 . Porovnáním λ1 a druhé nejkratší vzdálenosti, λ2 , byl zjištěn vztah λ2 = 1,5 ⋅ λ1 .
12
a
b
Obr. Cv.II.1.2: Obrázek znázorňuje pozice obvodů kapiček na dně obrácené skleněné misky jako příklad dat získaných z experimentu. Tři kategorie vzdáleností λ1 , λ2 a λ3 naměřených pro destilovanou vodu (a) a etylalkohol (b) jsou znázorněny spojnicemi mezi kapkami. Výsledky provedené pomocí etanolu nebyly v dobré shodě s teorií. Teoretická hodnota vlnové délky nejrychleji rostoucí kapilární vlny pro etanol je λ =18,57 mm, zatímco naměřená průměrná hodnota vzdálenosti první nejbližší kapky byla λ1 = 21±1 mm. Odchylka teoretických a experimentálních hodnot může být v tomto případě způsobena tím, že pro měření nebyl použit čistý etanol, ale technický líh, který obsahuje mnoho denaturačních příměsí (například isopropanol, aceton, methylethylketon, methylisobutylketon, pyridin nebo denatonium).
13
