Sophus Lie ( )

335

Symetrie 1) Lieova algebra

Sophus Lie (1842 – 1899)

Místo složitých objekt , jakými jsou grupy SU(n) a další, je možné zkoumat objekty jednodušší, totiž lineární, nezajímáme-li se práv o rozdíly mezi O(n,R) a SO(n,R). Druhá z nich je souvislá - lze se plynule dostat od jednoho jejího prvku ke kterémukoli jinému, první z nich je nesouvislá - skládá se ze dvou odd lených komponent (zrcadlící a nezrcadlící transformace). Definice: Lineární prostor , na n mž je definována další bilineární operace [A,B], zvaná komutátor, spl ující vztahy

[ A , B ] = − [ B, A ] ,

A, [ B, C] + B, [C, A ] + C, [ A, B ] = 0 ( 1215 )

(druhému se íká Jacobiho identita) nazveme Lieovou algebrou. Nap . v Lieov algeb e matic s komutátorem definovaným jako [A,B] = AB – BA je spln na (krom triviálního vztahu [A,B] = -[B,A]) také Jacobiho identita. Zkoumejme Lieovu algebru, které íkejme , jejíž prvky píšeme jako antisymetrické matice s obvyklým komutátorem

335

336

0 −c b A= c 0 −a −b a 0

,

0 −f B= f 0 −e d

e −d . 0

( 1216 )

Ov me podrobn ji, že

bd − ae cd − af 0 ce − bf bf − ce 0

0 [ A, B ] = AB − BA = ae − bd af − cd

( 1217 )

Vzpomeneme-li si nyní na definici vektorového sou inu A × B, najdeme zajímavý izomorfismus

( a , b, c )

0 −c b c 0 −a −b a 0

:(

3

, +, × ) → (

,+,[,]) .

( 1218 )

Je vid t role dimenze ( 1217 ) na hladký pr b h. Lze samoz ejm mluvit i kup . o šestirozm rném prostoru antisymetrických matic 4 × 4, ale p eci jen již nebude izomorfní R4 (4 ≠ 6). V e i funkcionální analýzy je možné dát doslovný smysl komutátoru dvou matic i vektorovému ∂ ∂ ∂ sou inu vektoru nabla , , s vektorem v = ( v x , v y , v z ) , emuž ∂x ∂y ∂z íkáme rotace vektoru , pouze však s použitím nekone n dimenzionálních prostor . Podívejme se na pár daších p íklad Lieových algeber a za n me p emýšlet o jejich vazbách na stejnojmenné Lieovy grupy. •

(n,R/C) = reálné/komplexní matice n × n

•

(n,R/C) = {A ∈

Tr A = 0}

•

(n,R/C) =

(n,R/C) = {A ∈

•

(n) = {A ∈

(C) A = -A*}

•

(n) =

(n,C) ∩ (n) 336

A = -AT}

337 •

(n) = {A ∈ (n) Ak = (Ak)T} v p ípad sudého n; k je zde

•

n jaká antisymetrická regulární matice n × n (m,n) = {A ∈ (m + n,R) AG = -(AG)T}, G je diagonální matice obsahující m jednotek a n minus jednotek

V ta: Uvedené lineární prostory jsou uzav ené na operaci komutování. D kaz: p esv d me se, že platí nap . implikace

A = − A T , B = −B T

[ A, B ] = AB − BA = − [ A, B ]

T

.

( 1219 )

Pojem: Nech G je grupa matic. Infinitesimálním generátorem grupy G nazveme množinu (G) matic A, pro n ž

{exp tA t ∈ } ⊂ G .

( 1220 )

Poznámka: V pokro ilejších kursech geometrie se obvykle definuje abstraktn ji jako te ný prostor ke G v 1 v prostoru všech matic: prvky grupy, které mají infinitesimáln blízko k jednotkové matici, se dají napsat jako (gi je báze generátoru)

gi ⋅ d λ i .

1+

( 1221 )

i

Infinitesimální generátor grupy matic G je Lieova algebra (a v uvád ných p ípadech práv ta stejnojmenná, psaná švabachem) a že lze navíc dob e vyložit roli komutátoru. D kaz pro obecnou grupu: Je t eba ukázat dv zásadní v ci: uzav enost na s ítání a komutování. •

A,B ∈

A+B∈

•

A,B ∈

[A,B] = AB – BA ∈

(není triviální!)

1. Zkoumejme výrazy typu (N → ∞)

337

338

tA tB exp ⋅ exp N N

N

N

A+B 1 = 1+ t +o N N

{

a uv domme si, že exp t ( A + B ) t ∈

}

→ exp t ( A + B )

( 1222 ) tedy je podgrupa G,

pon vadž pro každé t jde exponenciála aproximovat s libovolnou p esností (pomocí dostate n velkého N) sou inem prvk typu tA exp , které leží (p esn ) v G a p edpokládáme cosi jako N uzav enost grupy v obvyklé topologii dané nap . metrikou d(A,B) = supi,j aij – bij . 2. Podívejme se na výrazy typu (N → ∞)

exp = 1+

tA tB − tA − tB ⋅ exp ⋅ exp ⋅ exp N N N N t [ A, B ] + N2

1 N2

N2

N2

= ( 1223 )

→ exp ( t [ A, B ]) .

Lze tedy op t exp ( t [ A, B ]) vyjád it s jakoukoliv p esností pomocí sou inu prvk z G; pokud je t < 0, sta í vym nit písmena A a B nalevo. Ilustrujme si to na p íklad algebry

: oto íme-li systém o malý

úhel α kolem osy x, poté o malý úhel β kolem osy y a pak zp t, ovšem v tomtéž po adí (nejprve o -α kolem x a pak o -β kolem y), systém se nám oto í o malinký úhel αβ (až na konven ní znaménko) kolem osy z. Souvislost algeber se stejnojmennými grupami: Abychom ukázali, v jakém smyslu Lieovy algebry odpovídají grupám stejného jména, p edefinujme infinitesimální generátor grupy matic G jako množinu všech možných A(0) , kde pro t ∈ R je A(t) ∈ G, tj. A(t) je

338

339

diferencovatelná k ivka po grup , a A(0) = 1. Ekvivalence plyne z toho, že za tuto k ivku lze vždy zvolit A ( t ) = exp tA ( 0 ) .

(

)

Tak nap íklad, k ivka A(t) po grup SO(n) matic spl ujících T A ( t ) A ( t ) = 1 po zderivování a dosazení t = 0 dá

A ( 0) AT ( 0) + A ( 0) AT ( 0) = A ( 0) + AT ( 0) = 0

( 1224 )

tj. nutnou podmínku antisymetrie A(0) , která je zárove posta ující.

B = −B T

exp B = exp ( −B T ) = exp ( B T ) = −1

( exp B )

T

−1

. ( 1225 )

Zderivováním kritérií pro lenství v dalších Lieových grupách získáme rovnice stejnojmenných Lieových algeber. P ipome me si kup . též následující vzorec, s nímž jsme se v pozm n ných tvarech již setkali.

d det A t =0 = Tr A ( 0 ) . dt M jme lineární prostor

( 1226 ) (n) všech matic n × n. P irozený izomorfismus

2

do En dává následující p edpisy pro skalární sou in dvou matic:

b ( A, B ) =

a i j bi j ,

( 1227 )

b ( A, B ) = Tr AB . T

Z tohoto druhého vyjád ení pro b(A,B) vidíme n které význa né vlastnosti takto zavedeného skalárního sou inu, nap . vztahy

b ( A, B ) = b ( OA, OB ) = b ( AO, BO ) ,

( 1228 )

pro libovolnou ortogonální matici O plynoucí z cykli nosti stopy. Tento vztah íká, že metrika

ρ ( A, B ) = A − B ,

( 1229 )

339

340

kde A = b ( A, A ) je invariantní v i grup O(n). Chápeme-li ji jako 2

metriku na grup O(n) ⊆ (n), nazývá se Killingovou metrikou. A co je Killingova forma na Lieov algeb e? Ta je op t, v konkrétním p íklad

(n), dána vztahem

b ( A, B ) = −Tr AB .

( 1230 )

Nezapome me, že A = − A platí pro všechny A ∈ (n). Ukazuje se, že nejde o jen tak ledajaký skalární sou in na (n) (máme ho koneckonc stále na celém (n)), nebo tento skalární sou in na (n) ''respektuje navíc strukturu Lieovy algebry'' ve smyslu následujících tvrzení (které jsou ekvivalentní): Tvrzení 1: Pro všechna X ∈ (n) a všechna A,B ∈ (n) platí

b ([ X, A ] , B ) + b ( A, [ X, B ]) = 0 .

( 1231 )

íkáme, že Killingova forma je antisymetrická v i operaci komutování s X; uvedená rovnost se ostatn bere za základ definice Killingovy formy i v p ípad obecné Lieovy algebry. Tvrzení 2: Zobrazení

A

exp ( − X ) A exp X :

( )→ ( )

( 1232 )

je izometrie pro každé X ∈ (n). Tvrzení 1 se dokáže prostým dosazením za b využitím toho, že A = − A apod.).

340

(

,

) i za komutátor a

341

Pojmy analogické grup : Lieovu algebru pokud ∀ x, y ∈ : grup .

nazýváme komutativní,

[ x, y ] = 0 a taková algebra odpovídá komutativní

Centrum algebry Lieovy je (analogicky centru grupy) množina Z( ) t ch prvk s ∈ , že ∀ t ∈ : algebry.

[ s, t ] = 0 , tj. komutují se všemi prvky

Lieovou podalgebrou nazýváme (analogicky podgrup ) podprostor uzav ený na komutování. Máme dokonce analogii normální podgrupy íká se mu ideál Lieovy algebry a je to podprostor I takový, že ∀ i ∈ I ∀ j ∈ : [i, j ] = I . Elementárním p íkladem ideálu je centrum algebry; jiným d ležitým p íkladem je komutant dané Lieovy algebry, což je množina všech prvk tvaru [x, y], x, y ∈ . Ideál je to proto, že [[x, y], j] op t leží v komutantu, nebo je tvaru komutátoru dvou prvk . Zavedené pojmy mimo jiné implikují, že pokud je H normální podgrupou grupy G, pak je (H) ideálem v (G). Jestliže je G souvislá, pak

( (G ) ) = ( (G ) ) .

( 1233 )

Pro dv grupy G1, G2 je infinitesimálním generátorem jejich direktního sou inu direktní sou et jejich infinitesimálních generátor , kde prvky (G1) komutují s prvky z (G2), a tak jsou (Gi) ideály v (G1 × G2)

(G1 × G2 ) = (G1 ) ⊕ (G2 ) .

( 1234 )

Nech A ozna uje jedno z klasických t les R, C nebo H (kvaterniony) a G je n jaká grupa. Pak lineární reprezentací grupy G nazýváme kone n rozm rný lineární prostor V nad t lesem A, na n mž je pro každý prvek ∈ G definována (stejn zna ená) funkce, spl ující • •

1Gv = v a g(g′v) = (gg′)v gv je A-lineární funkce v 341

342 •

gv je spojitá funkce g a v

Jinými slovy, je zadán morfismus grup

θ = θ V : G → Aut V

( 1235 )

.

Vybereme-li bázi ve V, lze si p edstavit, že θ nabývá hodnot v GL(n,A). V tomto p ípad mluvíme o maticové reprezentaci. Píšeme-li v p ípad kvaternion matice vlevo od v, je rozumné mít ve V násobení skalárem zprava (V je pak pravý modul nad H). Našt stí lze ale definovat i násobení skalárem zleva (pruh musíme p idat na to, aby platilo q ( q′v ) = ( qq′ ) v )

qv = vq

( 1236 )

a tak lze levý modul p evrátit na pravý a naopak. Využijeme toho, že qq′ = q′q , kde q je obvyklé sdružení kvaternionu

α + βi + γ j + δ k = α − βi − γ j − δ k .

( 1237 )

Máme-li reprezentace Vi , lze generovat složit jší reprezentace ve tvaru direktního sou tu dvou ( i více) prostor , na nichž grupa ú inkuje podle

g ( v1 , v 2 ) = ( gv1 , gv 2 )

( 1238 )

a podobn lze získat reprezentaci ve form tenzorového (resp. symetrizovaného resp. antisymetrizovaného) sou inu dvou prostor , na který grupa ú inkuje dle pravidla

g ( v1 ⊗ v 2 ) = ( gv1 ⊗ gv 2 ) .

( 1239 )

Zde nejde o nic jiného, než jak se transformují spinory - resp. tenzory s více indexy. Ale také lze získat reprezentaci na duálním prostoru V′ podle vzorce (zde zase jde o transformaci tenzor /spinor s indexy dole/naho e)

g ( v′ ) w = v′ g −1w .

( 1240 ) 342

343

Strukturní zobrazení: Nyní se podíváme, pro sta í pracovat s komplexními reprezentacemi. Reálnou representaci Rn lze p evést na komplexní Cn, p i emž p sobení grupy je podle p irozené formule (v, w ∈ Rn)

g ( v + iw ) = g ( v ) + ig ( w ) .

( 1241 )

Zdá se, že se ale o cosi okrádáme. Již ''malý'' prostor Rn byl uzav en na p sobení grupy a my jsme ho zbyte n zv tšili. Naú tujeme si to tak, že p edpokládáme existenci strukturního zobrazení j : Cn → Cn (v následujícím vzorci jsou v, w reálné vektory)

j : ( v + iw )

( v − iw ) ,

( 1242 )

které komutuje s p sobením grupy (g( jv) = j(gv)), je antilineární ( j(zv) = z ⋅ j(v), j(v + w) = j(v) = + j(w)) a jeho druhá mocnina je plus minus identický operátor (v tomto p ípad plus) ( j( jv) = ± v, zkrácen j2 = ±1), což jsou t i vlastnosti, definující strukturní zobrazení. Naopak, máme-li komplexní reprezentaci se strukturním zobrazením j, rekonstruujeme reálnou reprezentaci rozkladem komplexního prostoru Cn považovaného za R2n na dva podprostory, odpovídající vlastním ísl m 1 resp. -1 (operátor, spl ující j2 = 1, jiná vlastní ísla nemá). Obdobn lze p evést kvaternionickou reprezentaci Hm na komplexní C2m; kvaternionický vektor budeme psát jako v + jw, kde v a w jsou komplexní vektory. I nyní se o cosi okrádáme: prostor jsme sice zbyte n nezv tšili, ale p vodní reprezentace byla H-lineární, zatímco nová je jenom C-lineární. H-linearitu si zrekonstruujeme tak, že p edpokládáme existenci strukturního zobrazení (v, w jsou zde komplexní vektory)

j ( v + jw ) = − w + j v .

( 1243 )

Lehce ov íte antilinearitu, komutování s p sobením grupy (zobrazení j je vlastn násobení j - shoda písmen ist náhodná - zprava, což komutovalo s G díky H-linearit ) a rovnost j2 = -1. 343

344

Naopak lze zp tn zrekonstruovat reprezentaci Hn z dané C2n, která p ipouští strukturní zobrazení s j2 = -1. Reprezentace, která je direktním sou tem dvou prostor (reprezentací) V, W, disponujících strukturními zobrazeními se stejnými jV2 = jW2 , p ipouští strukturní zobrazení jV ⊕ jW se stejným j2. Tenzorový sou in dvou reprezentací V ⊗ W (m že jít i o (anti)symetrisovaný) se strukturními zobrazeními jV jW toleruje strukturní zobrazení j = jV ⊕ jW se znakem j 2 = jV2 jW2 . Ukážeme si jednoduchý p íklad. Grupa SU(2) = Sp(2) má fundamentální reprezentaci kvaternionickou (jde nakonec o grupu ''jednotkových'' kvaternion (s jednotkovou normou)), kterou si p edstavíme jako dvousložkové komplexní spinvektory sA , A = 0,1, mající strukturní zobrazení s j2 = -1. Symetrizovaný tenzorový sou in, obsahující dvouindexové spinory sAB = sBA, bude tedy disponovat strukturním zobrazením s j2 = +1, tedy budeme moci požadovat podmínky reálnosti (invariantní v i p sobení grupy)

s 00 = − s11 , s 01 , s10 ∈

.

( 1244 )

Není se emu divit, spinor sAB , který svážeme maximálními podmínkami (symetrie a uvedená samodružnost), je informa n totožný s (trojrozm rným) vektorem. Proto se ásticím se spinem rovným jedné íká vektorové. s 01 = z = s 10 , s11 = x + iy , s 00 = − ( x − iy ) .

( 1245 )

Co možná nejstru n ji vážené tená e p esv d íme (dále s tímto budeme pracovat v sekci o spinorech), že algebry (3,R) a (2) jsou izomorfní, a to tak, že napíšeme prvky jejich bází a tiše vás vyzveme k verifikaci níže napsaných komuta ních relací pro ob sady matic. V p ípad struktury ''algebra Lieova'' požadujeme po izomorfismu ϕ zajisté i zachování komutátoru, tj.

344

345

ϕ ( [ A, B ] ) = ϕ ( A ) , ϕ ( B ) .

( 1246 )

Posta í zkontrolovat komutátory matic tvo ících bázi, jako kombinace kterých lze prvek dané Lieovy algebry zapsat.

SO ( 3 )

S1

0 0

= 0 0 −1

SO ( 3 )

S

SO ( 3 ) 3

,

SU ( 2 )

S1

=

0

0

0 1

= 0

0

0 0

,

SU ( 2 )

S2

=

−1 0 0

1 2

0 −1 0

−

= 1

0

0

0

0

0

,

S

SU ( 2 ) 3

=

−

0 i 2

0 1

S2

0

i 2

,

0 −

1 2

,

0 i 2

0

0 i 2

,

[S1 , S 2 ] = S3 , [S 2 , S3 ] = S1 , [S3 , S1 ] = S 2 . Z podobných d vod jsou izomorfní i algebry (2,R) a (4) a

(1,1), ale také t eba (2) ⊕

(2) nebo

(6) a

(5) a

( 1247 )

( 1248 ) (1,3) a

(2,C),

(4). Dalšími p íklady jsou

(2 ⋅ 2).

Fundamentální reprezentace grupy Spin(n) je • • •

jedna samodružná o dimenzi 2k pro n = 2k+1 (liché n); je reálná, je-li [(k+1)/2] sudé, jinak je kvaternionická dv komplexní vzájemn sdružené s dimenzí 2k-1 pro n = 2k, k liché dv samodružné navzájem neekvivalentní, každá o dimenzi 2k-1 pro n = 2k, k sudé; je-li k násobkem ty , jsou reálné, jinak jsou kvaternionické

345

346

Tab. 2 SO(n): n 2 Spinorové reprezentace 2c Dimenze každé 1

3 4 5 6 1q 2q 1q 2c 2 2 4 4

7 1r 8

8 2r 8

9 10 1r 2c 16 16

Na tyto skute nosti m žeme sami p ijít, z definice grupy Spin(n). (n), jejíž

Spinorová grupa: Chceme získat Lieovu algebru izomorfní

grupa ale obsahuje (vzájemn rozlišitelné) prvky ''rotace o 0'' a ''rotace o 2π''. Algebra (n) je lineárním obalem antisymetrických matic

eij = −e ji , které mají jednotku na míst (i, j) a minus jednotku na ( j, i), a tak spl ují komuta ní relace eij , e kl = δ jk eil − δ jl eik + δ il e jk − δ ik e jl .

( 1249 )

Není t žké nahlédnout, že tytéž komuta ní relace budou mít i matice Eij , které získáme jako

Eij =

1 ( Ei E j − E j Ei ) , 4

( 1250 )

pokud matice Ei budou navzájem antikomutovat a tvercem každé z nich bude jednotková matice (budou tedy Diracovými γ-maticemi pro eukleidovský prostor)

Ei E j + E j Ei = 2δ ij 1 .

( 1251 )

Takové matice opravdu umíme najít; budou nap . tenzorovými sou iny [n/2] Pauliho matic rozm ru 2 × 2, tedy maticemi rozm ru 2 x

=

0 1 1 0

,

y

=

0 −i i

0

,

346

z

=

1

0

0 −1

.

n 2

×2

n 2

( 1252 )

347

Spole n s Pauliho maticemi budou i tyto jejich tenzorové sou iny hermitovské (ve všech ortonormálních bázích), z ehož je z ejmá i antihermitovost Eij . Explicitn lze psát

E2i −1

( i −1) = (σ z )⊗ ⊗ σ x ⊗ (12 )⊗

n −i 2

,

E2i

( i −1) = (σ z )⊗ ⊗ σ y ⊗ (12 )⊗

n −i 2

,

( 1253 )

E2 m+1 = (σ z )⊗ , n = 2m + 1 , m

kde zna í [x] celou ást x, 12 jednotkovou matici 2 × 2. Zárove vidíme, že jsme získali, co jsme cht li, protože pro generátory eij grupy SO(n) bylo nejmenší kladné íslo t, pro které

exp ( teij ) = 1

( 1254 )

rovno 2π; u matic Eij je to 4π (tedy až rotací o 4π dostaneme jednotkový prvek grupy). Pro lepší názornost si lze operátory Ek p edstavit jako kombinace krea ních b*k a anihila ních bk operátor (k = 1, … , l pro Spin(2l – 1) pak p ehlédn me E2k pro k = l - a Spin(2l))

E2 k −1 = ( bk + bk* ) ,

( 1255 )

E2 k = i ( bk − b ) . * k

Lehce zkontrolujeme rovnost

{E , E } = 2δ j

k

jk

.

( 1256 )

Operátory Eij pak p evád jí bosonové stavy na bosonové a fermionové na fermionové (bosonovým míníme stav, vzniklý p sobením sudého po tu operátor na vakuum). U Spin(2l – 1) jsou pak bosonové a fermionové prostory ekvivalentní, protože je lze na sebe p evád t práv tím ''p ehlédnutým'' operátorem E2l , který komutuje se všemi Eij pro

347

348

{i, j} ⊆ {1, 2,

, 2l − 1} a tak má grupa Spin(2l – 1) jen jednu fundamentální reprezentaci o dimenzi 2l–1. Jist sami najdete detaily o strukturních zobrazeních, pomocí nichž ur ujeme reálnost, komplexnost nebo kvaternionovost reprezentace grupy Spin(n). Jde o antilineární zobrazení, které nap íklad prvku báze b1*b*3 0 p i adí stav b*2b*4b*5b*6 0 (nap . pro n = 12), ve kterém jsou obsazeny práv ty hladiny, které nebyly obsazeny ve vzoru. Vidíme, že v p ípad lichého po tu hladin - pro Spin(2l) s lichým l, tímto vyrobíme fermionový stav z bosonového i naopak, ili nedostaneme strukturní zobrazení uvnit nap . bosonového prostoru, ale jen d kaz, že bosonový a fermionový prostor tvo í vzájemn komplexn sdružené reprezentace (musíte si ur it konzistentn znaménko). Operátor chirality je sou inem všech E matic (u lichého n, kde nehraje chiralita takovou roli, nebo je jen jedna spinorová reprezentace, je konvencí, zda vše ješt vynásobíme En+1); = i[

n 2]

E1E 2

En .

( 1257 )

Mocninu imaginární jednotky jsme napsali proto, aby bylo hermitovské a jeho tvercem byl jednotkový operátor; aby tedy m l vlastní ísla ±1. V Lieov algeb e, p íslušné dané kompaktní Lieov grup G nyní zavedeme skalární sou in, invariantní v i transformacím grupy. Chceme, aby skalární sou in dvou matic algebry byl invariantní v i transformacím grupy v tzv. p idružené reprezentaci, což je reprezentace, která jakožto prostor splývá s algebrou Lieovou (její dimenze je tedy rovna dimenzi grupy; matice z ní zna íme A, B, ...) a prvek grupy G na ní ú inkuje podle

G:A

G [ A ] = GAG −1 .

( 1258 )

Zkontrolujme, že ( GH ) [ A ] = G H [ A ] . Invariance znamená požadavek, aby

348

349

∀ A , B, ∀ H : b ( A , B ) = b ( H [ A ] , H [ B ] ) .

( 1259 )

Pomocí invariantní integrace lze takový skalární sou in získat z libovolného (neinvariantního) skalárního sou inu s ''ust edn ním p es grupu''

b ( A, B ) =

G∈G

s ( G [ A ] , G [ B ]) .

( 1260 )

Pak zjevn platí (první ''rovná-se'' je oprávn né díky invarianci integrace v i substituci GH → G)

b ( H [ A ] , H [ B ]) ≡ =

G∈G

s ( GHAH −1G −1 , GHBH −1G −1 ) = s ( GAG , GBG −1

G∈G

−1

) = b ( A, B ) .

( 1261 )

Abychom ekli n co konkrétního o zp sobu invariantní integrace: zapíšeme-li matici R ∈ SU(2) ve tvaru

R=

cos γ ⋅ exp ( iα ) sin γ ⋅ exp ( i β ) , − sin γ ⋅ exp ( −i β ) cos γ ⋅ exp ( −iα )

( 1262 )

kde meze α, β, γ jsou z ejmé z integrálu níže, lze invariantní integraci napsat jako

∈SU ( 2 )

=

1 4π 2

π 2

2π

2π

d γ ⋅ sin ( 2γ ) dα d β . 0

0

( 1263 )

0

Co se tý e jednozna nosti invariantního skalárního sou inu: lze ho vždy násobit n jakou konstantou, ale pro prosté grupy je jinak ur en jednozna n . Opravdu, kdybychom m li dva skalární sou iny b1, b2 , mohli bychom vzít (také invariantní) kombinaci b = b1 – λ b2

( 1264 )

349

350

s nejmenším možným kladným λ, p i n mž všechny b(A, A) jsou ješt nezáporné, ale už pro n které nenulové A jsou nulové. Pak by množina takových matic (s nulovou normou) tvo ila ideál. Dále zvolíme torus T ⊆ G, to jest maximální podgrupu izomorfní (Abelov ) U(1)l (n kdy zna enou jako Tl, kde T =

je grupa intervalu

0,1) se s ítáním ''modulo jedna''). Mnohé v ty nás ujiš ují o tom, že p íliš nezáleží na tom, který maximální torus vybereme. Jeho l nazývejme rankem dané grupy. P íklad: V grup SO(2l) a SO(2l + 1) lze vybrat maximální torus Tl všech matic t s l bloky na diagonále (i = 1, … , l)

cos 2π xi sin 2π xi

− sin 2π xi cos 2π xi

( 1265 )

(v p ípad SO(2l + 1) doplníme do pravého dolního rohu jednotku). Podobn v grup SU(l + 1) umístíme na diagonálu ísla

exp ( 2π xi ) , kde

( 1266 )

xi = 0 (aby byl jednotkový determinant, neprostou grupou U(l)

se zde nazabýváme). Infinitesimálním generátorem maximálního toru je prostor Rl . V našich p íkladech obsahuje matice, které mají na diagonále bloky

0 xi

− xi 0

( 1267 )

pro p ípad SO (u SO(2l + 1) umístíme do pravého dolního rohu nulu) a nebo ísla

ixi

( 1268 )

350

351

v p ípad SU(l + 1). T je podgrupou G a invariantní skalární sou in z lze zúžit na . Stiefelovy diagramy kreslíme do l-rozm rného prostoru, kde jsou sou adnice x1, … , xl zavedeny v souladu s tímto skalárním sou inem a kole ky (resp. tvere ky) jsou vyzna eny prvky Lieovy algebry, jimž odpovídá jednotkový prvek T ili i G, to jest tzv. celo íselná m ížka. V našich p íkladech jsou to body, kde jsou všechna xi celá. Na obrázku je celo íselnou m ížkou dané grupy množina všech kole ek resp. tvere k t ch typ , které jsou u ní uvedeny. Rank vyzna ených grup je 1 nebo 2.

Ko eny: Zbývá vysv tlit, co znamenají ony p ímky na diagramech. Vtip je v tom, že prvky T (zna íme je zde t, u, …) p sobí v p idružené

351

352

reprezentaci sou et

(algebry celé grupy) tak, že se

rozpadá na direktní

r

⊕V ⊕V i

( 1269 )

0

i =1

p i emž na prostoru V0 (který splývá s , je-li T opravdu maximální torus) ú inkují prvky t triviáln

∀ v 0 ∈ V0 : tv 0 t −1 = v 0

( 1270 )

a Vi jsou dvojrozm rné prostory (je jich r, což je - z d vod rovnosti dimenzí - polovina rozdílu dimenze grupy a jejího ranku, ili bude dokázáno, že tento rozdíl je sudý) generované maticemi M i , N i , na nichž p sobí t podle

tM i t −1 = M i cos ( 2πθi ) − N i sin ( 2πθi ) , tN i t = M i sin ( 2πθi ) + N i cos ( 2πθi ) , −1

( 1271 )

kde θi jsou n jaké kombinace xi (nap . x1 – x2), to jest n jaké lineární formy na , a nazýváme je ko eny dané grupy. Vidíme, že pokud nap . vym níme Mi a Ni (nebo t eba zm níme znaménko u jedné z nich), bude poslední vysazená formule dále platná, zm níme-li znaménko u θi . Tedy spolu s +θi íkáme ko en i form -θi. Ješt výhodn jší m že být komplexifikovat Lieovu algebru (dosud jsme ji vždy považovali za prostor nad R, prvky byly jen reálnými kombinacemi prvk báze, kterými - samoz ejm - mohly být i komplexní matice) a docílit tak, že se nám bude transformovat do sebe jen jedna matice Qi = M i + iN i resp. Q′i = M i − iN i místo dvou M i , N i :

tQi t −1 = exp ( 2πθi ) Qi ,

( 1272 )

tQ′i t = exp ( −2πθi ) Q′i . −1

Matice Qi pak prost odpovídá ko enu θi a matice Q′′i ko enu -θI . 352

353

P íklady: Grupa SU(2l + 1) (stejn jako U(l + 1)) má ko eny θ rs = xr − xs , kde r ≠ s ∈ {1, 2, , l} a jako odpovídající matici Qrs si lze p edstavit matici, která má všude nuly krom pozice (r, s), kde má cokoli nenulového. Každý m že ov it, že tQrst-1 dá to, co má. Podobn grupa SO(2l) má ko eny xr – xs, ale navíc má ko eny ±(xr + xs), r ≠ s a grupa SO(2l + 1) má proti SO(2l) další ko eny ± xr . Do Stiefelových diagram tedy zakreslíme navíc množiny bod i (dimenze o jednu menší, než je rank), v nichž ko eny nabývají celých hodnot. Ko eny nabývají celých hodnot na celo íselné m ížce, kde t = 1. Obecn ji, pr nikem soustav rovnob žných hyperrovin i jsou body, odpovídající centru grupy. P enechme specialist m d kazy toho, že tzv. Weylova grupa, to jest grupa všech vnit ních automorfism G fixujících zvolený maximální torus, obsahuje pro každé i prvek, který ponechává systém hyperrovin i na míst . Je-li tomu tak, musí jít o zrcadlení podle roviny kolmé na daný ko en (pomocí invariantního skalárního sou inu jsme ztotožnili infinitesimální generátor toru s jeho duálem) v oby ejném geometrickém smyslu (podle invariantního skalárního sou inu). Takové zrcadlení musí množin všech ko en p i adit tutéž množinu. Vyslovme tedy definici. Systémem ko en v eukleidovském prostoru E nazýváme kone nou podmnožinu Σ ⊆ E takovou, že • • •

•

neobsahuje nulový vektor pro α ∈ Σ je cα ∈ Σ práv když c = ±1 zrcadlení podle hyperroviny (nadroviny) kolmé na kterýkoli z ko en p evádí Σ na Σ pro všechny dvojice ko en α, β je

{α , β } =

2b (α , β )

( 1273 )

b(β ,β )

celé íslo.

353

354

Poslední bod je d sledkem toho, že zrcadlení ko enu α podle roviny kolmé na β má samoz ejm tvar

ϕ β (α ) = α −

2b (α , β ) b(β ,β )

β,

( 1274 )

lze vybrat vektor v, na n mž forma β nabývá jednotky, zjistíme, že ϕβ(v) – v náleží celo íselné m ížce (protože ϕβ fixuje β ). Z toho dále plyne, že

α ( v − ϕ β ( v ) ) = α v − ϕ β (α ) ( v )

( 1275 )

je celé (úprava vychází z toho, že p i skalárním sou inu je jedno, který initel zrcadlíme), což po dosazení (β(v) = 1) dává uvedený výsledek. Bu jak bu , poslední bod má silný d sledek. V ta: Dva ko eny α ≠ ±β jsou • • • •

(0) bu kolmé (1) nebo svírají úhel 60° nebo 120° a mají stejnou normu (2) nebo svírají úhel 45° nebo 135° a pom r norem je 2 (3) nebo svírají úhel 30° nebo 150° a pom r norem je 3

D kaz: ty násobek kvadrátu kosinu úhlu ko eny sev ený

4 cos 2 ω =

2b (α , β ) ⋅ 2b ( β ,α )

( 1276 )

b (α , α ) ⋅ b ( β , β )

je menší (díky nezávislosti α, β ost e) než ty i. Je to ale sou in dvou celých ísel, a tak je jedno nulové (p ípad 0) nebo jedno rovné ±1. Možnosti pak lehce proberete. Všechny ko eny daného systému lze získat jako celo íselné kombinace (lineárn nezávislých) prostých ko en . Potom tento systém prostých ko en lze bu rozd lit na sjednocení disjunktních a neprázdných množin ko en , kde dvojice z r zných podmnožin jsou vždy kolmé, a 354

355

takové nerozložitelné systémy prostých ko en lze znázornit pomocí Dynkinova diagramu. Prosté ko eny v n m spojíme tolika arami, jaké je íslo varianty jejich vzájemné polohy podle poslední v ty. V p ípadech (2) a (3) je ješt slušné p ikreslit na spojnici šipku, namí enou ke kratšímu ko enu (jako p i oby ejném porovnávání <). Pokud se (2) a (3) v Dynkinov diagramu nevyskytuje, mají všechny ko eny stejnou délku a dané algeb e íkáme jednoduše šn rovaná (simply laced). Jiné systémy prostých ko en , než ty s následujícími Dynkinovými diagramy, neexistují a spolu s tím neexistují další prosté kompaktní grupy.

Všimn te si, že na obrázku mají n které Dynkinovy diagramy ur ité symetrie: permutací r zných ko en dostaneme týž obrázek. Nebudeme to rozebírat, ale je to spojeno s existencí vn jších automorfism dané algebry (vn jší je takový, který nelze zapsat jako sdružení n jakým prvkem grupy g: A → gAg-1). S vn jšími automorfismy lze o ekávat symetrie mezi reprezentacemi; u grup s Dynkinovými diagramy, které mají symetrie, lze o ekávat v tší po et fundamentálních reprezentací (E6 nap íklad nebo SU(l + 1) pro l > 1 má dv vzájemn komplexn sdružené, symetrie parity, vym ující pravé dva ko eny Dynkinova diagramu, u Spin(2l) garantuje existenci dvou ''vzájemn zrcadlov sdružených'' spinorových reprezentací). Grupa Spin(8) má dokonce symetrii triality : lze u ní permutovat t i ko eny a je s tím spojena skute nost, že dv reálné spinorové reprezentace (s dv ma r znými chiralitami) a reprezentace vektorová mají stejnou dimenzi 8.

355

356

Naopak, pro každý z uvedených diagram lze sestrojit Lieovu algebru a z ní také kompaktní grupu. N kolikrát jsme již diskutovali (a budeme) o tom, že SO(3) má stejnou algebru jako SU(2), která má centrum Z 2 (plus minus jednotková matice), zatímco SO(3) má triviální jednoprvkové centrum. Nyní m žeme izomorfnost t chto algeber ukázat na shodnosti Dynkinových diagram . Maximální centrum (poloprosté, neobsahující U(2) × …) grupy s danou algebrou, která lze vytvo it, vystihuje následující tabulka. Tab. 3 Al

Bl , Cl , E7

D2s

Zl + 1

Z2

Z2 × Z2

D2s + 1 E6 E8 , F4 , G2 Z4

Z3

{1}

Tak nap íklad, grupa Al = SU(l + 1) má centrum Zl +1 . Jako jednoduché cvi ení ponecháváme tená i d kaz, že není možné získat grupy E9 atd., pro mají vy até grupy dimenzi, kterou jsme uvád li atd. Poradíme vám, aby jste si zapsali v n jakých sou adnicích prosté ko eny. Nap . o o o o o

Al má prosté ko eny x1 – x2 , x2 – x3, ... , kde pracujeme jen s hyperrovinou, kde xi = 0 Bl má prosté ko eny x1 – x2 , ... , xl – 1 – xl , xl Cl má prosté ko eny x1 – x2 , ... , xl – 1 – xl , 2xl Dl má prosté ko eny x1 – x2 , ... , xl – 1 – xl , xl – 1 + xl

Váhy: Ko eny byly speciálními p ípady vah. Obecn vahou máme na mysli lineární formu na Cartanov podalgeb e, nabývající celých hodnot na celo íselné m ížce. Zajímav jší jsou ale váhy reprezentace V dané algebry. Prvky Cartanovy podalgebry navzájem komutují, a tudíž m žeme hledat jejich spole né vlastní vektory ve V a ísla. Váha dané (mluvíme o komplexní) reprezentace je tedy taková forma, která p i adí prvku Cartanovy podalgebry jeho vlastní íslo p íslušející n jakému vlastnímu vektoru celé podalgebry. Jestliže tedy po ítáme každou váhu 356

357

tolikrát, kolikarozm rný prostor jejích vlastních vektor jí p ísluší, bude vah práv tolik, jaká je dimenze V. Ko eny lze tedy chápat jako váhy p idružené reprezentace; t chto vah je tedy tolik, kolik je dimenze dané algebry, ovšem jen proto, že po ítáme i l (rank) nulových vah (vlastními vektory jsou prvky Cartanovy podalgebry), které obvykle za ko eny nepovažujeme. Tak nap íklad grupa SO(2l) (l je rank) má v základní 2l-rozm rné vektorové reprezentaci 2l vah ±ei , i = 1,2, … , l. Samoduální m ížky: Když už jsme došli tak daleko, m žeme si n co íci o vlastnostech m ížek (soustava diskrétních bod v prostoru Rn, zpravidla celo íselné kombinace základních m ížkových vektor ), a to z fyzikálního pohledu v sou asnosti nejnad jn jšího kandidáta na teorii všeho – heterotické struny. Kvantová teorie bosonové struny funguje pouze v dimenzi asoprostoru 26, kvantová teorie superstruny jen v dimenzi 10. Navíc vlevojdoucí a vpravojdoucí módy uzav ené struny spolu navzájem komutují a generátory grupy Poincaré jsou sou ty vlevojdoucí a vpravojdoucí ásti. Lze pak tedy vzít levý sektor z bosonové struny a pravý ze superstruny. P ebyte ných 16 vlevojdoucích bosonových dimenzí lze svinout na torus; aby z bosonových rozm r zbyla jen vlevojdoucí ást, je t eba, aby celková hybnost struny byla rovna celkovému obtá ení (ztotožnímeli body, které se liší o celo íselné kombinace m ížkových vektor , je možné, aby p i objížd ní uzav ené struny jsme popojeli o n jakou takovou kombinaci - to nazýváme obtá ením). Aby v bec existovaly n jaké stavy s nenulovou celkovou hybností ve sm ru svinutých sou adnic (což je nutné k dobrému chování interakcí), je t eba, aby duální m ížka (všech forem, nabývajících celých hodnot na p vodní m ížce) m la s p vodní spole né body (p i ztotožn ní p vodního prostoru s duálem). Dokonce je dobré p edpokládat, aby splývaly, to jest aby byla m ížka samoduální. Navíc se budeme zabývat jen sudými samoduálními m ížkami, kde tverec délky každého jejího vektoru je sudý. Je matematickou pravdou, že sudé samoduální m ížky existují jen v prostorech o dimenzi, která je násobkem osmi. Tak t eba v osmi 357

358

rozm rech máme samoduální m ížku Γ8 všech celo íselných kombinací ko en vy até grupy E8 . T mi jsou (i, j = 1,2, … , 8)

±ei ± e j , i ≠ j ,

1 ( ±e1 ± e2 2

± e8 ) ,

( 1277 )

kde v druhém tvaru ko en bereme jen ty se sudým po tem plus . Lehce napo ítáte, že je jich celkem 112 + 128 = 240 práv 248 – 8, ili dimenze minus rank. Formy v nabývající celých hodnot na všech t chto ko enech jsou pak kombinacemi t chto ko en (ortonormální bázi ei ztotož ujeme s bází k ní duální): Lehce totiž ukážete, že sou adnice v jsou bu všechny celé nebo 1 1 1 všechny polocelé. Celo íselnost formy v na r0 = , , , pak íká, 2 2 2 že suma sou adnic v musí být sudá, a tak je v celo íselnou lineární kombinací ei ± ej (v p ípad , že sou adnice v jsou celé), a nebo toto platí pro v – r0, ímž jsme ukázali, že i v leží v Γ8 , neboli samodualitu Γ8 . Samoz ejm , lze vybrat osm základních m ížkových vektor , jejichž celo íselnými kombinacemi jsou všechny ostatní, nap .

e1 − e 2 , e 2 − e3 , e3 − e 4 , e 4 − e5 , e5 − e6 , e6 − e7 , 1 ( e1 + e2 + e3 + e4 + e5 + e6 − e7 − e8 ) , 2 1 ( e1 + e2 + e3 + e4 − e5 − e6 − e7 − e8 ) . 2

( 1278 )

V šestnácti rozm rech najdeme kartézský sou in Γ8 × Γ8 dvou kopií Γ8 a m ížku Γ16 , která obsahuje jako podm ížku ko enovou m ížku SO(32). Jde o všechny celo íselné kombinace vektor ( i, j = 1, 2, … ,16 )

±ei ± e j , i ≠ j ,

1 ( ±e1 ± e2 2

± e16 ) ,

( 1279 )

kde v druhé sad je sudý po et plus . D kaz samoduality probíhá stejn jako u Γ8 a i zde je možné vybrat 16 základních m ížkových vektor . 358

359

To jsou d vody, pro promýšlíme teorii heterotické struny jen Spin ( 32 ) s kalibra ní grupou (odpovídající m ížce Γ16) nebo 2

(zajímav jší) grupou E8 × E8 (s m ížkou Γ8 × Γ8). 2) Globální a lokální symetrie; Kalibra ní pole Ve fyzice se uplat ují symetrie dvojího druhu : a) Globální symetrie - a již se jedná o symetrie prostoro asu (invariace vzhledem k posun m v prostoru a ase, prostorovým rotacím, Lorentzovým transformacím a pod.), nebo o vnit ní symetrie (invariance v i jiným než prostoro asovým stup m volnosti - nap . transformace izospinu). Z požadavku invariance v i globálním symetriím plynou (podle v ty Noetherové) r zné zákony zachování, nap . energie a hybnosti. b) Lokální symetrie - invariance v i transformacím, které jsou prostoro asov prom nné (závisí na sv tobodu, v n mž kalibra ní transformaci provádíme). P i lokálních (kalibra ních) transformacích se v rovnicích pole objevují ur ité p ídavné leny obsahující derivace parametr transformace. Požadujeme-li zachování invariance v i takové transformaci, je t eba pro odstran ní t chto len zavést odpovídající kompensující leny, které je možno interpretovat jako n jaké pole. Požadavek invariance vzhledem ke kalibra ním (lokálním) transformacím tak vede k p ítomnosti "kompenzujících polí" nových interakcí. Základním východiskem kalibra ních teorií je theze, že všechny ty i základní interakce v p írod jsou d sledkem požadavku invariance teorie v i p íslušným kalibra ním transformacím. V rámci kalibra ní teorie lze formulovat kvantovou elektrodynamiku (kde elektromagnetické pole se obdrží jako kalibra ní pole p i požadavku invariance lagrangiánu volného spinorového pole v i lokálním transformacím fáze z grupy U(1)) i Einsteinovu gravita ní teorii

359

360

(gravita ní pole zde vzniká z požadavku invariance v i lokálním kalibra ním transformacím prostoro asu - Poincaréova grupa). Kalibra ní pole v kalibra ních teoriích jsou primárn "nehmotná" (jejich kvanta mají nulovou klidovou hmotnost), což je adekvátní pro pole elektromagnetické a gravita ní. P i budování teorie nap . slabých interakcí v rámci kalibra ních teorií to však zp sobuje ur ité potíže pramenící z toho, že tyto interakce jsou zprost edkovány intermediálními bosony (W+,W−,Z°), které mají díky krátkému dosahu interakce zna n velkou hmotnost (desítky GeV/c2). Tuto potíž se poda ilo p eklenout mechanismem tzv. spontánního narušení symetrie, což je modifikace lagrangiánu, p i níž sice lagrangián i pohybové rovnice mají nadále p vodní danou symetrii, ale vlastní fyzikální stavy tuto symetrii již nemají (není v tom žádný rozpornap . pohyb v centráln symetrickém poli nemusí být p i nesymetrických po áte ních podmínkách v bec symetrický). Toto spontánní narušení symetrie pak zp sobuje, že p íslušné kalibra ní pole bude efektivn vystupovat jako pole s nenulovou hmotností, aniž by se porušila kalibra ní invariantnost.

Obr.37. Znázorn ní mechanismu spontánního narušení symetrie v kalibra ních teoriích. a) Pro efektivní potenciál tvaru jednoduché symetrické jámy s jediným minimem je i základní stav symetrický. b) Pro takový tvar symetrického efektivního potenciálu základní stav pole ϕ již symetrii nemá. c) Pohyb kuli ky pušt né p esn po ose do sklenice s promá knutým dnem ilustruje p ípad, kdy navzdory tomu, že rovnice pohybu kuli ky, po áte ní podmínky i tvar sklenice jsou symetrické, kone ný stav tuto symetrii nemá: kuli ka se po dopadu do metastabilní polohy ve vyvýšeném st edu dna vždy skutálí do prohlubn u st ny - p edchozí symetrie se spontánn naruší.

360

361

Podstata mechanismu spontánního narušení symetrie je zhruba znázorn na na obr. 37. Na obr. 37a je znázorn na potenciální energie (efektivní potenciál) skalárního pole ϕ o hmotnosti µ a vazbové konstant λ s jednoduchým (modelovým) lagrangiánem 2 1 µ2 2 λ 4 L = (ϕ , i ) − ϕ − ϕ . 2 2 4

( 1280 )

Efektivní potenciál

V (ϕ ) =

µ2 2

λ ϕ2 − ϕ4

( 1281 )

4

má (pro µ2 > 0) tvar symetrické potenciálové jámy, v níž nejvýhodn jší energetický stav odpovídá poli ϕ = 0. V p ípad , že efektivní potenciál by m l tvar

V (ϕ ) = −

µ2 2

λ ϕ2 − ϕ4

( 1282 )

4

(odpovídající p ípadu µ2 < 0), bude mít potenciálová jáma tvar podle obr. 37b, takže minimu V(ϕ) již nebude odpovídat stav ϕ = 0, ale pole

ϕ = ϕ0 = ±

µ . λ

( 1283 )

I když potenciál V(ϕ) je nadále symetrický v i zm n znaménka ϕ → -ϕ, základní stav pole ϕ tuto symetrii již nerespektuje (kuli ka symbolicky p edstavující stav pole se vždy skutálí do jednoho z minim - obr. 37c). Po narušení symetrie se spektrum ástic (hmotnosti excitací) m ní. V uvedeném jednoduchém p ípad by se p i ϕ = 0, µ2 < 0 jednalo o teorii tachyon s imaginární hmotností

d 2V m (ϕ = 0 ) = dϕ 2

= −µ < 0

2

( 1284 )

ϕ =ϕ0

361

362

zatímco po narušení symetrie se tverec hmotnosti excitací skalárního pole stává kladný:

d 2V m (ϕ = ϕ 0 ) = dϕ 2

= 2µ 2 .

2

( 1285 )

ϕ =ϕ0

Základní myšlenka Higgsova-Kibbleova mechanismu tedy spo ívá v tom, že do lagrangiánu kalibra ní teorie se zavede pomocné skalární pole (Higgsovo pole) s takovým interak ním potenciálem, aby došlo ke spontánnímu narušení symetrie, p i emž však lagrangián jako celek by z stal kalibra n invariantní. Potom se kalibra ní pole budou efektivn chovat jako pole s nenulovou hmotností. Krom toho se v teorii objeví navíc tzv. Higgsovy bosony - skalární ástice s nenulovou klidovou hmotností, pocházející z pomocných skalárních polí. Ukazuje se tedy, že teorie všech fundamentálních interakcí lze jednotn vytvá et v rámci kalibra ních teorií lišících se p edevším kalibra ní grupou. Kalibra ní teorie tak tvo í zárove vhodnou základnu pro sjednocování interakcí: dva typy interakcí s kalibra ními grupami G1 a G2 lze sjednotit tak, že vytvo íme kalibra ní teorii s kalibra ní grupou G, obsahující grupu G1 × G2 jako svoji podgrupu. P i konstrukci jednotných teorií slabých, silných a elektromagnetických interakcí je tato základní idea dopln na p edpokladem, že p ed narušením symetrie všechny vektorové bosony zprost edkovávající interakce byly nehmotné. Po spontánním narušení symetrie (vlivem vzniku konstantních skalárních polí v celém prostoru) však ást vektorových boson získá hmotnost a p íslušné interakce se stanou krátkodosahovými - symetrie mezi r znými typy interakcí se poruší. a) Globální symetrie S každou symetrií v p írod se pojí n který zákon zachování, a tento zákon zachování je touto symetrií definován. Energie je veli ina, která se zachovává vzhledem k asovému posunutí, tj posunutí v ose t. 362

363

Protože obecn platí

∂ 2r m 2 = −grad W p ( t , r ) ∂t

( 1286 )

kde Wp je potenciální energie, a p i symetrii vzhledem k toku asu

W p = W p ( x) ,

( 1287 )

ili

∂W p ∂t

= 0,

( 1288 )

m žeme okamžit psát

dW p ∂ 2r m 2 =− , ∂t dr

( 1289 )

neboli

m

dW p ∂v . =− ∂t dr

( 1290 )

Metodou separace prom nných postupn dostaneme

m

∂r ∂v = −dW p , ∂t

( 1291 )

a tedy

mv ∂v = −dW p .

( 1292 )

Integrací pak získáme zákon zachování celkové energie hmotného bodu:

363

364

mv 2 + W p = konst. 2

( 1293 )

Zákon zachování hybnosti platí pouze tehdy, platí-li symetrie vzhledem k posunutí v prostoru, tj. posunutí v osách x, y, z. Nyní nám bude potenciální energie v pohybové rovnici ( 1286 ) záviset pouze na ase, nebo

∂W p ∂r

= 0.

( 1294 )

Pak ovšem

∂ 2r m 2 = 0, ∂t

( 1295 )

což po integraci dá vskutku zákon zachování hybnosti:

mv = konst.

( 1296 )

V kvantové mechanice platí p evodní vztah mezi zachovávajícími se ty vektory popisujícími stav ástice a stav vlny, ve tvaru:

E px = py pz

ω kx . ky kz

( 1297 )

Zákon zachování impulsmomentu je ur en symetriemi vzhledem ke trojrozm rným rotacím, tj. rotacím SU(3) v rovinách xy, xz, yz. Spin ástice je veli ina ur ená Lorenzovou symetrií, tj. rotací SO(3,1) v rovinách xt, yt, zt. Máme tak v p írod celkem 10 globálních symetrií.

364

365

b) Lokální symetrie K tomu, aby n jaká diferenciální rovnice mohla hrát roli pohybové rovnice v rámci kvantové teorie je nezbytné, aby se jednalo o rovnici prvního ádu v asové prom nné. ˆ} Tedy jestliže ψ (r, t) má být vlnovou rovnicí popisující v { Q reprezentaci stav jedno ásticového systému v okamžiku t, potom musí vyhovovat rovnici typu

i

∂ψ ( r, t ) ∂t

ˆ ψ ( r, t ) . =H

( 1298 )

Kde hamiltonián již neobsahuje žádnou asovou derivaci. Protože impuls volné ástice je integrálem pohybu, musí hamiltonián spl ovat komuta ní relaci

ˆ , Pˆ = 0 . H

( 1299 )

Energie volné ástice je jejím impulsem jednozna n ur ena. Tedy vlnová funkce ψp(r) stacionárního stavu uvažované ástice s impulsem p musí vyhovovat rovnicím

Pˆ ψ p ( r ) = pψ p ( r ) ,

( 1300 )

ˆ ψ ( r ) = Eψ ( r ) , H p p kde

E = c p 2 + m2c 2 .

( 1301 )

První z nich vyžaduje, aby

365

366

ψ p ( r ) = ψ p exp

i

p ⋅r ,

( 1302 )

jestliže jsme vlnovou funkcí ψp(r) popsali stav uvažované ástice v ase t = 0, potom

i

ψ p ( r, t ) ≡ ψ p ( r ) exp − Et = ψ p exp −

i

( p ⋅ r − Et )

,

( 1303 )

je ešením rovnice ( 1298 ) které jsme interpretovali jako vlnovou funkci stavu ástice v ase t. Snadno se p esv d íme, že tato vlnová funkce vyhovuje Klein – Gordonov rovnici. Na základ principu superpozice tak dospíváme k záv ru, že ešení pohybové rovnice odpovídající jakémukoli stavu volné ástice musí vyhovovat K-G rovnici ( 813 ). Na druhé stran , derivujeme-li podle asu ob strany rovnice ( 1298 ), zjistíme, že libovolné její ešení vyhovuje rovnici 2

∂2 ˆ 2 + H ψ ( r, t ) = 0 . 2 ∂t

( 1304 )

Tedy libovolné ešení pohybové rovnice ( 1298 ) bude vyhovovat K-G rovnici, pokud pro Hamilton v operátor platí

ˆ 2 = − 2c 2 ∆ + m2c 4 , H

( 1305 )

tj. pokud uvažovaný hamiltonián p edstavuje druhou odmocninu z operátoru vystupujícího na pravé stran . Pokud by poloha ástice p edstavovala úplnou množinu pozorovatelných, tj. pokud by ψ (r, t) byla jednokomponentovou vlnovou funkcí, potom by tato odmocnina p edstavovala nelokální operátor. Pokud se tedy nechceme smí it s nelokálními operátory, musíme p ijmout, že pro uvažovanou ástici její poloha úplnou množinu pozorovatelných netvo í. 366

367

V této situaci se ukazuje nesmírn výhodným použít formalismus vícekomponentových vlnových funkcí. Pod ψ (r, t) budeme tedy v dalším rozum t jednosloupcovou n- ádkovou matici

ψ ( r, t ) =

ψ 1 ( r, t ) ψ 1 ( r, t )

.

( 1306 )

ψ 1 ( r, t ) Ve formuli ( 1305 ) je pak ml ky rozum no, že na pravé stran stojí direktní sou in operátoru explicitn uvedeného s jednotkovou maticí. ˆ 2 je tedy tvercová n- ádková diagonální matice, jejíž všechny H diagonální leny obsahují diferenciální operátor stojící na pravé stran ( 1305 ). Pokud nebude hrozit nedorozum ní, budeme podobné zjednodušené ozna ení používat i na další operátory. Z veli in, které p ipadají v úvahu, mají rozm r energie pouze mc2 a cPˆ = −i c∇ . Možná závislost na Pˆ je požadavkem lokality omezena na polynomiální. Výraz na pravé stran ( 1305 ) p edstavuje polynom druhého ádu, takže jeho omocnina je alespo polynomem ádu prvního. Snadno nahlédneme, že polynom prvního ádu v Pˆ , který by mohl ˆ , musí mít nutn tvar reprezentovat operátor H

ˆ = c H

⋅ Pˆ

+

mc

3

≡ −i c

j j =1

∂ + mc 2 , j ∂q

( 1307 )

kde elementy tvercových matic αj, β jsou bezrozm rné konstanty nezávislé na q, což zaru uje, že j

, Pˆ k =

, Pˆ k = 0 .

( 1308 )

367

368

Samosdruženost hamiltoniánu tedy vyžaduje, aby také matice αj, β byly samosdružené: † j

=

†

= .

j

,

( 1309 )

z vyjád ení ( 1307 ) dostáváme 3

ˆ 2 = − 2c 2 H

j j ,k =1

k

∂2 + j k ∂q ∂q

2 2

mc 4 − i c k =1

(

k

+

k

)

∂ , k ∂q

( 1310 ) odkud vidíme, že požadavek ( 1305 ) je spln n práv tehdy, když matice αk, β vyhovují relacím

{ { 2

j

,

j

,

k

} = 2δ

jk

,

}=0,

( 1311 )

= 1.

Pokusme se nyní zkonstruovat tvercové n- ádkové matice vyhovující všem výše uvedeným požadavk m. Jaká je minimální hodnota n, pro kterou lze tyto požadavky splnit? Z formule ( 1311 )vidíme, že 2

=

2 j

=1,

j = 1, 2, 3 ,

( 1312 )

a tedy vlastní hodnoty každé z hermitovských matic αj, β mohou být pouze ±1. Navíc, s využitím invariance stopy v i cyklickým permutacím faktor z t chto relací dostáváme

Tr = Tr

2 1

= Tr

1

1

= −Tr

2 1

= −Tr ,

a tedy musí platit 368

( 1313 )

369

Tr = 0 .

( 1314 )

Zcela analogicky zjistíme, že rovn ž

Tr

=0,

j

j = 1, 2, 3 .

( 1315 )

Tedy po et vlastních hodnot +1 každé z matic αj, β musí být stejný jako po et jejích vlastních hodnot –1. To je však možno splnit pouze pro sudé n. Snadno se též p esv d íme o lineární nezávislosti matic αj, β. V opa ném p ípad bychom mohli nap . matici β vyjád it jako lineární kombinaci 3

=

aj

j

.

( 1316 )

j =1

Díky ní by však musela platit relace 3 2

=

3

aj

j

=

j =1

aj j =1

j

1 = 2

3

j =1

aj { ,

j

},

( 1317 )

což ovšem není možné,nebo by nebyly spln ny poslední 2 rovnice ( 1311 ). Libovolnou tvercovou dvou ádkovou matici lze vyjád it jako lineární kombinaci ty lineárn nezávislých matic, za které m žeme nap . zvolit jednotkovou matici 1 a Pauliho matice 1 ≡

0 1 , 1 0

2

≡

0 −i , i 0

3

≡

1 0 , 0 −1

( 1318 )

pro které platí (srov. UTU) j

k

= δ ik + iε jkl

l

,

( 1319 )

369

370

a tedy vyhovují komuta ním relacím j

,

k

= 2iε jkl

( 1320 )

l

a antikomuta ním relacím

{

j

,

k

} = 2δ

jk

.

( 1321 )

Pauliho matice tak p edstavují trojici lineárn nezávislých matic, které všechny vzájemn antikomutují, ale každá z nich komutuje s jednotkovou maticí. Pro n = 2 tak neexistuje tve ice lineárn nezávislých a vzájemn antikomutujících matic, tj. nelze splnit požadavek ( 1311 ). Libovolnou tvercovou ty ádkovou matici lze vyjád it jako lineární kombinaci šestnácti lineárn nezávislých matic, za které lze zvolit nap . direktní sou iny výše uvedených matic dvou ádkových.

1⊗1 ,

j

⊗1 , 1⊗

j

,

j

⊗

k

.

( 1322 )

První z nich p edstavuje matici jednotkovou. Snadno nahlédneme (sta í si uv domit, že Pauliho matice mají nulovou stopu a kvadrát každé z nich je jednotkovou maticí), že každá ze zbývajících patnácti je hermitovská, má nulovou stopu a kvadrát roven jednotkové matici. Kteroukoli z matic αj, β m žeme tedy bez újmy na obecnosti identifikovat s maticí

≡

3 ⊗1 =

1 0 , 0 −1

( 1323 )

kde každý element v posledním výrazu p edstavuje submatici 2 × 2. Z anikomuta ních relací ( 1321 ) vidíme, že s touto maticí antikomutuje trojice matic σ1⊗ σj .

370

371

Protože tyto matice také všechny navzájem antikomutují, m žeme identifikovat

j

≡

1⊗

j

=

0

j

j

0

,

j = 1, 2, 3 ,

( 1324 )

což asto zapisujeme jako

≡

= 1⊗

0 0

.

( 1325 )

Matice definované formulemi ( 1323 ), ( 1324 ) p edstavují tzv. Pauliho reprezentaci Diracovy algebry ( 1311 ). Explicitní konstrukcí jsme ukázali, že pro n = 4 existují matice, vyhovující relacím ( 1309 ), ( 1311 ). Samoz ejm , že také všechny matice, které s nimi souvisejí libovolnou unitární transformací, budou vyhovovat t mže relacím, nebo jde o vztahy invariantní v i t mto transformacím. D ležitou skute ností je, že v p ípad n = 4 platí i tvrzení opa né: libovolná tve ice matic αj, β vyhovujících relacím ( 1309 ), ( 1311 ), souvisí se tve icí matic definovaných formulemi ( 1323 ), ( 1324 ) unitární transformací. tve ice matic αj, β vyhovujících relacím ( 1309 ), ( 1311 ) existuje práv tehdy, když n je celo íselným násobkem 4. Každou takovouto tve ici lze unitární transformací p evést na kvazidiagonální tvar, v n mž každá ze submatic na diagonále je dána pravou stranou formule ( 1323 ), resp. ( 1324 ). V p ípad n = 4 p edstavují vztahy ( 1298 ), ( 1307 ) slavnou Diracovu rovnici volné ástice

i

∂ψ ( r, t ) ∂t

= ( −i

⋅ ∇ + mc 2 )ψ ( r, t ) .

( 1326 )

Má-li Diracova rovnice p edstavovat relativistickou pohybovou rovnici, musí mít stejný tvar ve všech ekvivalentních sou adných soustavách.

371

372

Paul Adrien Maurice Dirac (1902 – 1984)

Pro tuto vlastnost se užívá termín kovariance rovnice. Pro vyšet ení splnitelnosti této podmínky je výhodné rovnici ( 1326 ) nejprve násobit nesingulární maticí β. M žeme ji pak napsat jako µ

i

∂ mc − ψ (q) = 0 , µ ∂q

( 1327 )

kde Diracovy gama-matice 0

≡ , ≡

k

( 1328 )

.

k

V termínech Diracových matic nabývají požadavky ( 1311 ) tvaru antikomuta ních relací

{

µ

,

ν

} = 2g

µν

.

( 1329 )

A hermicita ( 1309 ) je ekvivalentní vztah m 0†

=

k†

=−

0

, k

( 1330 )

,

které, díky ( 1329 ) m žeme zapsat též jako 372

373

0

µ† 0

=

µ

.

( 1331 )

Uvažujme dv inerciální vztažné soustavy, které spolu souvisejí Lorenzovou transformací Λ, tj. sou adnice, kterými v t chto soustavách popisujeme tentýž sv tobod, spolu souvisejí vztahem

q′µ = Λ µν qν ⇔ q µ = Λν µ q′ν .

( 1332 )

Jestliže n jaká fyzikální skute nost je v ne árkované soustav popsána funkcí ψ(q), potom tutéž skute nost popíše pozorovatel v soustav árkované funkcí

ψ ′ ( q′ ) = S ( Λ )ψ ( q ) ,

( 1333 )

kde S(Λ) je matice p i azená transformaci Λ v n jaké reprezentaci Lorentzovy grupy. Ekvivalence uvažovaných sou adných soustav pak vyžaduje, aby funkce ψ a ψ′ vyhovovaly stejné pohybové rovnici. Tedy Diracova rovnice m že hrát úlohu relativistické pohybové rovnice, pokud existuje ty rozm rná reprezentace Lorentzovy grupy, v níž je elementu Λ p i azena matice S(Λ) taková, že funkce ( 1333 ) vyhovuje rovnici

i

µ

∂ mc − ψ ′ ( q′ ) = 0 , µ ∂q

( 1334 )

práv tehdy, když funkce ψ(q) je ešením rovnice ( 1327 ). V takovém p ípad totiž m žeme postulovat takové transforma ní vlastnosti ty komponentové vlnové funkce, které ponechají tvar Diracovy rovnice nezm n n:

iS ( Λ )

µ

S −1 ( Λ )

∂ mc − ψ ′ ( q′ ) = 0 , ∂q µ

373

( 1335 )

374

je shodný s ( 1334 ), pokud

S(Λ)

µ

S −1 ( Λ )

∂ = ∂q µ

∂ . ∂q′ν

ν

( 1336 )

Z formule ( 1332 ) však víme, že

∂ µ ∂ = Λ , ν ν µ ′ ∂q ∂q

( 1337 )

a tedy p edcházející požadavek je spln n práv tehdy, když platí S(Λ)

µ

S −1 ( Λ ) =

ν

Λν µ ,

( 1338 )

což je ekvivalentní se vztahem S −1 ( Λ )

µ

S ( Λ ) = Λ µν

ν

.

( 1339 )

Každý element vlastní Lorentzovy grupy m žeme jednozna n zadat ve tvaru ( 1199 ) pomocí šesti nezávislých parametr ωαβ . Ozna íme-li, v souhlase se vžitou konvencí, matice odpovídající dvojnásobku generátor Iαβ v hledané reprezentaci jako Σαβ, potom Lorentzov transformaci Λ(ω) je v této reprezentaci p i azena matice

S (ω ) ≡ exp

i ωαβ 4

αβ

.

( 1340 )

Vzhledem k tomu, že všechny kone né transformace m žeme obdržet iterací transformací infinitesimálních, sta í se p i vyšet ování splnitelnosti podmínky ( 1339 ) omezit na veli iny prvního ádu v ω . Z formulí ( 1339 ), ( 1340 ), ( 1199 ) pak vidíme, že tím se úloha vyšet ení invariance Diracova rovnice v i Lorenzovým transformacím redukuje na úlohu zjistit, zda existují matice Σαβ, které by (do veli in prvního ádu v ω) vyhovovaly vztah m

374

375

i 1 + ωαβ 4

αβ

µ

i 1 − ωαβ 4

αβ

µ

=

i − ωαβ 2

( I )( αβ

ν

ν µ ,ν )

.

( 1341 ) S využitím formule ( 1335 ) snadno zjistíme, že tento požadavek m žeme vyjád it ve tvaru αβ

,

µ

= 2i ( g βµ

α

− g αµ

β

).

( 1342 )

Na základ antikomuta ních relací ( 1329 ) a algebraické identity

[ AB,C] = A {B,C} − {A,C} B

( 1343 )

pak zjistíme, že matice µν

≡

i 2

µ

,

ν

( 1344 )

tomuto požadavku vyhovují. Zbývá ovšem dokázat, že odpovídající matice ( 1340 ) skute n p edstavují reprezentaci vlastní Lorenzovy grupy. ˆ ,N ˆ , které by v uvažované reprezentaci m ly Zavedeme proto matice M odpovídat generátor m M, N vlastní Lorentzovy grupy:

i ˆ ≡ 1 ε lj ≡ 1 M = − ε klm k klj k 4 2 4 ˆ ≡ 1 0k = i . N k k 2 2

j

m

, ( 1345 )

Z formulí ( 1323 ), ( 1325 ), ( 1328 ) víme, že Pauliho reprezentace matice γµ má tvar

375

376

0

=

=i

1

3 ⊗1 =

0

0 −1 0

= 2 ⊗

−

0

, ( 1346 )

.

V této reprezentaci je tedy

0 ˆ = 11⊗ = 1 M , 2 2 0

( 1347 )

ˆ =i ⊗ =i 0 N . 1 0 2 2 S využitím relací ( 1319 ) pak dostáváme

i ˆ ,M ˆ = 11⊗ ˆ , M ε jkl 1 ⊗ l = iε jkl M j k j, k = l 4 2 i ˆ ,N ˆ = −1 2 ⊗ ˆ , , = − N ε jkl 1 ⊗ l = −iε jkl M j k 1 j k l 4 2 i ˆ ,N ˆ = N ˆ ,M ˆ =i ⊗ M , = − ε jkl 1 ⊗ l = iε jkl Nˆ l , j k j k 1 j k 4 2 ( 1348 ) a tedy matice ( 1345 ) skute n reprezentují generátory vlastní Lorentzovy grupy. Z t chž relací rovn ž vidíme, že pokud n je libovolný jednotkový vektor, potom

(

ˆ 2nM

) ( 2

ˆ = 2inN

)

2

= 1.

( 1349 )

Tedy pooto ení kolem osy n, resp. speciální Lorentzov transformaci podél této osy je v uvažované reprezentaci p i azena matice

ˆ = exp i ϕ n S ( n,ϕ ) = exp iϕ nM 2

(

)

= cos

376

ϕ 2

+ in sin

ϕ 2

,

( 1350 )

377

resp.

(

)

ˆ = exp i u n S ( n, v ) = exp iunN 2

u u = cosh − n sinh , 2 2

( 1351 )

tj.

1+ ξ 1 v 1− n 2ξ 1+ ξ c

S ( n, v ) =

,

( 1352 )

kde

1 v2 ξ≡ = 1− 2 . cosh u c

( 1353 )

Povšimn me si, že pro matice ( 1347 ) platí

ˆ † =M ˆ , M ˆ† =N ˆ , N

( 1354 )

a

ˆ, M

0

{

ˆ, = N

0

} = 0.

( 1355 )

Tedy nalezená reprezentace vlastní Lorentzovy grupy sice není unitární, ale zato matice S(Λ), odpovídající libovolnému elementu této grupy vyhovují relaci 0

S† ( Λ )

0

= S −1 ( Λ ) .

( 1356 )

Ze vztah ( 1355 ), je vskutku evidentní, že této relaci vyhovují matice ( 1350 ), ( 1351 ).

377

378

Na druhé stran víme, že libovolnou Lorentzovu transformaci lze obdržet komposicí dvou nato ení a jedné speciální Lorentzovy transformace, tj. libovolnou z matic ( 1199 ) m žeme vyjád it ve tvaru

Λ (ω ) = Λ ( n1 ,ϕ1 ) Λ ( n3 , u ) Λ ( n 2 ,ϕ 2 ) .

( 1357 )

To ovšem znamená, že také matice odpovídající této transformaci v libovolné reprezentaci musí být vyjád itelná v analogickém tvaru, tj.

S ( Λ ) = S ( n1 ,ϕ1 ) S ( n3 , u ) S ( n 2 ,ϕ2 ) .

( 1358 )

A tedy ve zkonstruované reprezentaci vyhovuje relaci ( 1356 ), nebo

( )

0 2

= 1.

( 1359 )

Podívejme se tedy, o jakou že reprezentaci vlastní Lorentzovy grupy se jedná. K tomu sta í, když si uv domíme, že matice

J (1) ≡

( Mˆ + iNˆ ) ,

J ( 2)

( Mˆ − iNˆ )

1 2 1 ≡ 2

( 1360 )

mají v Pauliho reprezentaci tvar

J (1) =

1 4 −

−

,

J ( 2) =

1 4

.

( 1361 )

Odtud je ihned vid t, že matice

J (21) =

3 1 −1 , 8 −1 1

J ( 2) =

3 1 1 8 1 1

378

( 1362 )

379

nejsou násobkem matice jednotkové a nalezená reprezentace tedy není ireducibilní. Snadno se však p esv d íme, že je lze ob sou asn diagonalizovat pomocí matice

T≡

1 1 1 = T−1 , 2 1 −1

( 1363 )

a p itom

TJ (21) T−1 =

3 0 0 , 4 0 1

TJ (22) T−1 =

3 1 0 . 4 0 0

( 1364 )

Tedy maticemi S(ω) je realizována reprezentace

D

( 0, 12 )

⊕D

( 12 , 0)

.

( 1365 )

Veli iny, které se transformují podle této reprezentace, se nazývají bispinory. Na základ relace ( 1331 ) snadno zjistíme, že pokud bispinor ψ(q) je ešením Diracovy rovnice ( 1327 ), potom diracovsky sdružený bispinor

ψ (q) ≈ψ † (q)

0

( 1366 )

vyhovuje rovnici

−i

∂ ψ (q) µ ∂q

µ

−ψ ( q )

mc

= 0,

( 1367 )

kterou m žeme ekvivalentn zapsat ve tvaru

i(−

µ

)

∂ mc − ψ ∂q µ

(q) = 0.

( 1368 )

379

380

Transponováním obou stran rovnosti ( 1329 ) dostaneme antikomuta ní relace

{( −

µ

) ,( − ) } = 2g ν

µν

.

( 1369 )

Musí tedy existovat unitární matice C (zvaná Schwingerova matice), pro kterou platí:

C(

)

µ

C† = −

µ

.

( 1370 )

Z formule ( 1367 ) pak okamžit vidíme, že

ψ C ( q ) ≡ Cψ

(q)

( 1371 )

vyhovuje Diracov rovnici

( i ) ∂q∂ µ

µ

−

mc

ψ C (q) = 0 .

( 1372 )

íkáme, že ešení ψC (q) je nábojov sdružené k ešení ψ(q). K tomu, abychom nalezli konkrétní vyjád ení matice C, si nejprve povšimn me toho, že již sama možnost p episu antikomuta ních relací ( 1329 ) do tvaru

{( − ) , ( − )} = 2 g µ

ν

µν

( 1373 )

zaru uje existenci unitární matice γ5 , takové, že platí µ

5

−1 5

=−

µ

,

( 1374 )

což je totéž, jako

{

5

,

µ

} = 0.

( 1375 )

380

381

Z antikomuta ních relací ( 1329 ), je z ejmé, že sou in všech ty γ-matic (nezávisle na po adí faktor ) antikomutuje s každou z matic γµ, a tedy požadavku ( 1374 ) jist vyhovuje matice 5

≡i

0 1 2

3

=−

i ε µνρσ 4!

µ ν

ρ

σ

= −i

1

2

3

=−

i ε jkl 3!

j

k

l

.

( 1376 ) Každá unitární matice antikomutující se všemi ty mi γ-maticemi se od ní m že lišit jen fázovým faktorem. V dalším budeme pod γ5 rozum t matici definovanou formulí ( 1376 ). Takto definovaná matice je nejen unitární, ale také hermitovská, tj. platí nejen † 5

−1 5

=

,

( 1377 )

ale rovn ž † 5

=

,

( 1378 )

= 1.

( 1379 )

5

a tedy

( 5)

2

V Diracov reprezentaci je

5

=

0 1 1 0

.

( 1380 )

Porovnáním s formulí ( 1374 ) vidíme, že matice nábojového sdružení je požadavkem ( 1370 ) ur ena, až na libovolný fázový faktor. V diracov reprezentaci dostáváme pro tuto matici vyjád ení

C=i

0

2

=i

2

,

( 1381 )

381

382

neboli

1 C=i

0

2

2

0

−1

=

1

.

( 1382 )

−1 Z Pauliho teorému víme, že pokud matice γ′µ p edstavují jakoukoli reprezentaci Diracovy algebry a p itom vyhovují podmínkám hermicity vyjád eným relacemi ( 1330 ). Potom existuje unitární matice A taková, že

′µ = A µ A † ,

( 1383 )

kde γµ jsou výše uvažované matice v Diracova reprezentaci. Z definice matice γ5 je z ejmé, že p i p echodu od Diracovy reprezentace k jiné reprezentaci definované unitární transformací µ

→ ′µ ,

( 1384 )

p echází 5

→ ′5 = A 5 A .

( 1385 )

Matice nábojového sdružení má v této nové reprezentaci tvar

C′ = ACA ,

( 1386 )

tj.

C′ = i ′0 ′2 AA .

( 1387 )

Matice ( 1382 ) je antisymetrická, kterážto vlastnost je invariantní vzhledem k transformaci ( 1386 ), a tedy v libovolné reprezentaci platí:

382

383

C = −C .

( 1388 )

Na základ této relace se pak snadno p esv d íme, že Cψ C ( q ) ≡ ψ ( q ) ,

( 1389 )

a tedy výrok „první bispinor je nábojov sdružený ke druhému“ je ekvivalentní s výrokem „druhý bispinor je nábojov sdružený k prvnímu“. Elektrický náboj se nám tak objevuje v teorii z ni ehož nic, jakožto d sledek invariance kvantové vlnové funkce vzhledem k Lorenzov transformaci. Analogicky tomu, nás Diracova rovnice informuje o existenci ástic s polo íselným spinem. To však ješt není zdaleka všechno. Zapišme si Diracovu rovnici ve tvaru

i

∂ +i ∂t

ψ1 (q) ψ 2 (q) =0 . ψ 3 (q) ψ 4 (q)

⋅ ∇ − mc 2

( 1390 )

Každé ešení rovnice

Pˆ ψ p ( r ) = pψ p ( r )

( 1391 )

lze vyjád it jako lineární kombinaci ty funkcí:

ψ p; j ( r ) = U ( p; j ) exp

i

p ⋅r ,

j = 1, 2, 3, 4 ,

( 1392 )

kde U(p; j) je libovolná tve ice lineárn nezávislých jednosloupcových matic. P itom skalární sou in

383

384

ψ p†; j ( r ) ψ p′;k ( r ) d 3r = ( 2π

)

3

U ( p; j ) U ( p; k ) δ ( p − p′ ) .

( 1393 )

Každé nenulové ešení rovnice ( 1391 ) je tedy také vlastní funkcí kvadrátu hamiltoniánu, p íslušnou k vlastní hodnot E2. Vlastní vektor hamiltoniánu, který je zárove vlastním vektorem operátoru hybnosti, p íslušným k vlastní hodnot p, musí spl ovat rovnici

ˆ ( p; p ) exp i p ⋅ r = cp U ( p; p ) exp i p ⋅ r , HU 0 0 0

( 1394 )

a tedy U(p; p0) musí být ešením algebraické rovnice

H ( p ) U ( p; p0 ) = cp0 U ( p; p0 ) ,

( 1395 )

kde H ( p ) ≡ c ⋅ p + mc 2 .

( 1396 )

Je hermitovská matice, jejíž vlastní hodnoty jsou shodné s hledanými vlastními hodnotami hamiltoniánu. Díky antikomuta ním relacím, kterým vyhovují matice α, β, dostáváme

H 2 ( p ) = c 2p 2 + m 2 c 4 = E 2 ,

( 1387 )

srov. ( 1300 ). Nulovost stopy matic α, β zaru uje, že

Tr H ( p ) = 0 .

( 1398 )

Z posledních dvou rovností již vidíme, že vlastními hodnotami matice H(p) jsou ±E, a p itom každá z nich je dvakrát degenerovaná. Dospíváme tak k záv ru, že každý stav diracovské ástice se zadaným impulsem p je popsán ty komponentovou vlnovou funkcí, kterou je možno vyjád it jako superpozici dvou funkcí 384

385

ψ p; j ( r ) =

u ( p; j )

( 2π )

3

N ( p; j )

exp

i

p ⋅r ,

j = 1, 2 ,

( 1399 )

kde jednosloupcové matice u(p; j) vyhovují rovnici

H ( p ) u ( p; j ) = Eu ( p; j )

( 1400 )

a podmínce ortogonality

u

( p; j ) u ( p; j ) = N ( p; j ) δ jk

,

( 1401 )

díky níž je

ψ p†; j ( r )ψ p′;k ( r ) d 3r = δ jk δ ( p − p′ ) .

( 1402 )

Ze vztahu ( 1326 ) víme, že pokud je ψE (r) je jakýkoliv vlastní vektor hamiltoniánu p íslušný k vlastní hodnot E, potom nábojovým sdružením z n ho obdržíme vektor téhož operátoru p íslušný k vlastní hodnot –E. Specieln to musí platit o bispinorech ( 1399 ), jež mají popisovat stav diracovské ástice s impulsem p. ty komponentová funkce

(ψ ( r ) ) p; j

C

=

v ( p; j )

( 2π )

3

2E

i exp − p ⋅ r ,

j = 1, 2

( 1403 )

kde v ( p; j ) ≡ uC ( p; j ) ≡ C u∗ ( p; j )

( 1404 )

je vlastním vektorem hamiltoniánu p íslušejícím k vlastní hodnot –E. Jako takový je nutn ortogonální ke všem vlastním vektor m tohoto operátoru pat ícím ke kladným vlastním hodnotám. 385

386

Musí tedy platit

ψ p′;k ( r ) (ψ p; j ( r ) )C d 3r = 0 ,

( 1405 )

a tedy u

( p′; k ) v ( p; j ) δ ( p + p′ ) = 0 ,

( 1406 )

neboli

u

( p′; k ) v ( −p; j ) = 0 .

( 1407 )

Z formulí ( 1394 ), ( 1395 ), vidíme, že jednosloupcová matice v(p; j) vyhovuje algebraické rovnici

H ( −p ) v ( p; j ) = − Ev ( p; j ) .

( 1408 )

u(p; j), resp. v(p; j) jsou tedy vlastními vektory hermitovské matice H(p), p íslušející k vlastní hodnot E, resp. –E. Relativistická kvantová mechanika tak p edpovídá existenci jakéhosi zrcadlového prot jšku ástic, vyzna ujícího se zápornými frekvencemi (pohybem v inverzním ase) a opa ným nábojem. V p edcházejícím jsme vid li, že bispinor p i azený volné nehmotné diracovské ástici s danou helicitou je vlastním vektorem matice γ5 . Práv proto se o matici γ5 hovo í jako o operátoru chirality. Vyjd me z triviálního post ehu, že každý bispinor lze zapsat ve tvaru

ψ = ψ R +ψ L ,

( 1409 )

kde jednosloupcové matice

1 (1 + 2 1 ψ L = (1 − 2

ψR =

5

)ψ ,

5

)ψ ,

( 1410 )

386

387

pokud jsou nenulové, p edstavují vlastní vektory chirality p íslušné k vlastním hodnotám +1, resp. –1:

ψ R =ψ R , 5ψ L = −ψ L . 5

( 1411 )

Rozklad ( 1410 ) je invariantní v i libovolné vlastní Lorentzov transformaci, tj. platí:

(ψ R )Λ = (ψ Λ ) R

∀Λ ∈ VLG ,

( 1412 )

kde

(ψ R )Λ ≡ S ( Λ )ψ R , 1 2 ψ Λ ≡ S ( Λ )ψ .

(ψ Λ ) R ≡ (1 + 5 )ψ Λ ,

( 1413 )

Obdobné vztahy platí mezi levoto ivými ástmi bispinor . K d kazu tvrzení si sta í uv domit, že

[

5

,

]=[

5

,

]=0 ,

( 1414 )

tj. že matice γ5 komutují jak s operátory rotací, tak s operátory boost . Na druhé stran však matice γ5 a γ0 navzájem antikomutují, takže p i prostorové inverzi si pravoto ivá a levoto ivá složka navzájem vym ní roli, tj.

(ψ R ) P = (ψ P ) L , (ψ L ) P = (ψ P ) R ,

( 1415 )

kde

387

388

ψ P ≡ 0ψ .

( 1416 )

Hermitovská matice γ5 má nulovou stopu a její kvadrát je roven matici jednotkové. Díky tomu existuje reprezentace Diracovy algebry realizovaná maticemi µ

≡T

µ

D

T† ,

( 1417 )

kde T je taková unitární matice, že

5

=

1 0 . 0 −1

( 1418 )

v takové reprezentaci mají matice ψR , resp. ψL nenulové pouze horní, resp. dolní dv komponenty, takže mají tvar

ψR =

0

ψL =

,

0

,

( 1419 )

kde ϕ a χ jsou dvou ádkové matice. Tomuto požadavku vyhovuje nap . matice ( 1363 ), kterou m žeme napsat též jako T=

1 ( 2

0 D

+

5 D

)=

1 ( 2

0

+

5

).

( 1420 )

Odpovídající reprezentace Diracovy algebry se nazývá chirální, neboli Weylova. Matice ( 1417 ) v ní mají tvar 0

=

=

0 1 1 0

, ( 1421 )

0 − . 0 388

389

Generátory rotací, resp. boostu ( 1345 ) pak mají v této reprezentaci tvar

ˆ =1 M 2

=

0 1 , 2 0

( 1422 )

0 ˆ =i =i N . 2 2 0 −

Ve Weylov reprezentaci se tedy horní, resp. dolní komponenty ( 0, 1 )

( 1 , 0)

bispinoru transformují jako D 2 , resp. D 2 . Tato skute nost je p itom nezávislá na tom, jakou realizaci Diracovy algebry využíváme. Proto je výhodné v termínech Weylovy reprezentace vyjád it Diracovu rovnici ( 1327 ):

( i∂

µ

µ

− κ )ψ ( q ) = 0 ,

( 1423 )

kde κ je reciproká hodnota Comptonovy vlnové délky. Vynásobíme-li ji maticí γ5 , vidíme, že je ekvivalentní s rovnicí

( i∂

µ

µ

− κ ) 5ψ ( q ) = 0 .

( 1424 )

Se tením a ode tením posledních dvou rovnic dostáváme vztahy

i∂ µ µψ R ( q ) = κψ L ( q ) ,

( 1425 )

i∂ µ ψ L ( q ) = κψ R ( q ) , µ

které v chorální reprezentaci p edstavují soustavu rovnic i ( ∂0 + ∇ i ( ∂0 + ∇

) (q) = κ (q) , ) (q) = κ (q)

( 1426 )

pro dvoukomponentové spinory ϕ, χ. 389

390

Nep ehlédn me, že vazbu mezi t mito dv ma rovnicemi zprost edkovává pouze parametr κ, takže v p ípad nehmotné ástice se tato soustava rozpadá na dv nezávislé Weylovy rovnice

( ∂0 + ∇ ) ( q ) = 0 , ( ∂0 + ∇ ) ( q ) = 0 .

( 1427 )

Každá z nich je invariantní v i vlastní Lorentzov grup . P i prostorové inverzi si však navzájem vym ují úlohu. Pokud tedy od pohybové rovnice požadujeme invarianci pouze v i vlastní Lorentzov grup , potom každá z rovnic ( 1427 ) m že být sama o sob kandidátem na pohybovou rovnici pro ástici s nulovou hmotou a spinem 1/2. O odpovídající ástici se pak hovo í jako o Weylovské ástici. Zd razn me, že zatímco k popisu stav diracovské ástice pot ebujeme ty komponentové vlnové funkce, v p ípad weylovské ástice vysta íme s dvoukomponentovými. Snadno totiž nahlédneme, že polovina ze všech stav , ve kterých se m že nalézat ástice diracovská, je pro weylovskou ástici zakázaných. Zatímco helicita diracovské ástice m že nabývat hodnot ±1/2, v p ípad ástice weylovské je to bu pouze +1/2, nebo –1/2 . Není bez zajímavosti, že sám H. Weyl, který svoji rovnici publikoval roku 1929 ji jako kandidáta na pohybovou rovnici zavrhl, práv z d vodu, že nevyhovovala požadavku pravo-levé symetrie. Její fyzikální význam tak mohl být docen n až tehdy, když v polovin padesátých let experimentální data jasn prokázala, že pravo-levá symetrie je v p írod obecn narušena. Že n které p írodní zákony nejsou symetrické v i prostorové inverzi. Ukažme si nyní invarianci Diracova rovnice vzhledem k unitárním transformacím, konkrétn ji vzhledem ke grup U(1). T mto transformacím odpovídá p eto ení vlnové funkce

ψ → ψ eiα .

( 1428 )

P i této transformaci tedy nahrazujeme p vodní vlnovou funkci ψ, p eto enou vlnovou funkcí ψ′ pro kterou platí: 390

391

ψ ′ = ψ eiα .

( 1429 )

Snadno se p esv d íme, že pro kvadrát normy pak platí

ψ ψ → ψ ∗e − iαψ eiα = ψ ψ .

( 1430 )

V i této transformaci je Diracova rovnice samoz ejm invariantní (násobíme konstantou), stejn , jako kterákoli jiná pohybová rovnice kvantové mechaniky. Podívejme se ale jak se situace zm ní, jestliže bude parametr α obecn funkcí místa a asu, tj.

α = α ( r, t ) .

( 1431 )

V tomto p ípad hovo íme o lokální symetrii U(1), ozna ované jako U(1)loc . Snadno op t nahlédneme, že a hustota pravd podobnosti se p i této transformaci

ψ ′ = ψ eiα ( r ,t )

( 1432 )

op t zachovává:

ψ ψ → ψ ∗e −iα ( r ,t )ψ eiα (r ,t ) = ψ ψ .

( 1433 )

Vlnová funkce ψ′ již není ešením p vodní Diracova rovnice, nebo kalibra ní transformace U(1)loc závisí na prostoro asových sou adnicích. Na základ našich d ív jších poznatk o kalibra ní invarianci snadno uhodneme, že abychom zachovali kalibra ní invarianci Diracovy rovnice vzhledem k symetrii U(1)loc, budeme do ní muset p idat další 4 kompenzující pole. Provedeme-li zám nu parciálních derivací za derivace kovariantní, p edpisem

391

392

∂ µ → Dµ ≡ ∂ µ +

ie Aµ , c

( 1434 )

dá se ukázat, že Diracova rovnice z stane kalibra n invariantní vzhledem k transformacím U(1)loc práv tehdy, pokud Aµ jsou komponenty ty potenciálu. Oním hledaným kompenzujícím polem je pole elektromagnetické. Symetrie U (1)loc podle v ty Noetherové bude souviset s n jakým dalším zákonem zachování. V tomto p ípad se jedná o zákon zachování elektrického náboje.

Emmy Noetherová (1882 – 1935)

Pro diracovskou ástici v elektromagnetickém poli tak dospíváme k rovnici

(i

µ

Dµ − κ )ψ ( q ) = 0 .

( 1435 )

Snadno se lze p esv d it, že pro každé ešení ψ (q) této rovnice vyhovuje ty proud j µ ( q ) ≡ cψ ( q ) µψ ( q )

( 1436 )

vyhovuje rovnici kontinuity

∂µ jµ (q) = 0 .

( 1437 )

Rovnici 392

393

i

∂ ψ (q) = ∂t

( cPˆ − eA ( q ) ) ⋅

+ mc 2 + eϕ ( q ) ψ ( q ) ,

( 1438 )

kde

ϕ = A0 ,

( 1439 )

což p i Pauliho reprezentaci Diracovy algebry p edstavuje soustavu rovnic

∂ Φ ( q ) = cPˆ − eA ( q ) ⋅ χ ( q ) + ( mc 2 + eϕ ( q ) ) Φ ( q ) , ∂t ( 1440 ) ∂ i χ ( q ) = cPˆ − eA ( q ) ⋅ Φ ( q ) + ( −mc 2 + eϕ ( q ) ) χ ( q ) ∂t

i

(

)

(

)

pro dvoukomponentové funkce Φ, χ, tvo ící horní, resp. dolní komponenty bispinoru ψ. V obecném p ípad p edstavuje ψ n jakou superpozici stacionárních stav diracovské ástice. V nerelativistickém p ípad budou k této superpozici p ispívat výrazn ji pouze ty stavy, jejichž energie má hodnotu blízkou k energii klidové, a tedy bude

i

∂ χ (q) ∂t

mc 2 χ ( q ) .

( 1441 )

Pro nep íliš silná pole bude

( −mc

2

+ eϕ ( q ) ) χ ( q )

− mc 2 χ ( q ) .

( 1442 )

z druhé rovnice ( 1440 ) v tomto p ípad dostáváme

χ (q)

(

1 cPˆ − eA ( q ) 2 2mc

)

Φ(q) .

393

( 1443 )

394

V této aproximaci se pak formule ( 1440 ) redukuje na rovnici

∂ 1 i Φ(q) = ∂t 2m

2

e Pˆ − A ( q ) ⋅ c

+ eϕ ( q ) + mc 2 Φ ( q ) . ( 1444 )

Na základ relací ( 1319 ) dostáváme e Pˆ − A ( q ) c

2

e = Pˆ − A ( q ) c

2

−

e B(q) ⋅ c

,

( 1445 )

a tedy rovnici ( 1445 ) m žeme p epsat do tvaru

∂ 1 ˆ e i Φ(q) = P − A(q) 2m ∂t c

2

− µ B ( q ) ⋅ + eϕ ( q ) + mc 2 Φ ( q ) , ( 1446 )

kde

µ=

e 2mc

( 1447 )

je magnetický moment diracovské ástice. Vidíme, že je orientován ve, resp. proti sm ru jejího spinu v závislosti na tom, zda je nabita kladn , i záporn . Elektromagnetická interakce P sobení

výb rové (na Qe

Dosah

nekone ný

Symetrie

U(1)loc

IM ástice

- foton

394

0)

395 •

•

•

•

P sobení interakce: Elektromagnetická interakce je výb rová interakce. P sobí jen na ástice s nenulovým elektrickým nábojem. Dosah interakce: Nekone ný, existují radia ní leny s intenzitou pole 1/r, tj. s intenzitou energie 1/r2, které neubývají ani v nekone nu. Tyto leny odpovídají elektromagnetickým vlnám. Symetrie interakce: Každá ze základních interakcí podléhá ur ité symetrii, která je pro ni typická. Pro elektromagnetickou interakci jde o symetrii, p i které se rovnice kvantové teorie pole nezm ní, nahradímeli vlnovou funkci jinou vlnovou funkcí,vynásobenou komplexní jednotkou. Jde tedy o transformaci: ψ → ψ exp i α ( t , x, y, z ) . Z matematického hlediska se jedná o pooto ení vlnové funkce, neboli o unitární transformaci, s jedním parametrem (úhlem ), který m že být v každém bod asoprostoru r zný (závisí na t, x, y, z - takovéto transformace nazýváme lokální). Matematici proto tuto transformaci ozna ují U(1)loc. Jejím p ímým d sledkem je existence a zachování elektrického náboje. N kdy se proto zkrácen hovo í o kvantové teorii elektromagnetického pole jako o U(1)loc teorii. Intermediální ástice: Symetrie je popsána jedním volným parametrem (úhlem oto ení ), kterému odpovídá jediná intermediální ástice - foton. Foton má nulovou klidovou hmotnost. Plyne to z relací neur itosti mezi energií vyslané intermediální ástice mc2 a dobou, po kterou m že být mimo objekt. Má-li mít interakce nekone ný dosah, musí mít intermediální ástice nulovou hmotnost.

Trocha historie To, že jevy elektrické a magnetické mají spole nou podstatu (prom nná elektrická pole vytvá ejí pole magnetická a prom nná magnetická pole vytvá ejí pole elektrická), objevili ve svých experimentech a teoretických pracích Michael Faraday, Andre Marie Amper, Hans Christian Orsted, Heinrich Hertz, Guglielmo Marconi (bezdrátová telegrafie). Završením t chto prací byla teorie 395

396

elektromagnetického pole formulovaná Jamesem Clercem Maxwellem a Heinrichem Hertzem (1873). Dnešní podoba Maxwellových rovnic pochází od Olivera Heavisidea. Maxwell správn rozpoznal, že sv tlo je p í né elektromagnetické vln ní. Mezi r znými sou adnicovými systémy se Maxwellovy rovnice transformují pomocí Lorentzovy transformace. Práv odlišnost transforma ních vlastností Maxwellových rovnic od rovnic klasické mechaniky vedla ve svých d sledcích ke vzniku speciální teorie relativity. Tv rci klasické elektrodynamiky

J.C. Maxwell (1831-1879)

O. Heaviside (1850-1925)

H. Hertz (1857-1894)

Na po átku 20. století bylo stále z ejm jší, že matematické prost edky, které využíváme k popisu makroskopických jev , selhávají p i popisu mikrosv ta (zá ení erného t lesa, spektrum atomu, Heisenbergovy relace neur itosti, dualita vlna- ástice, fotefekt, ...). Byl t eba nový, kvantový p ístup k popisu jev , který využívá nekomutujících objekt . To je nutné, uv domímeli si, že nap íklad sám akt m ení není komutativní (r zné výsledky dosáhneme, zm ímeli v mikrosv t nejprve rychlost a poté polohu ástice, nebo provedemeli m ení v obráceném po adí. U zrodu kvantové teorie stáli Max Planck, Albert Einstein, Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Louis de Broglie, Wolfgang Pauli, Max Born a mnozí další. První verze kvantových teorií (Schrödingerova rovnice, Heisenbergova maticová mechanika) byly nerelativistické. K relativistické kvantové teorii p isp li zejména Klein, Gordon (Klein-Gordonova rovnice pro ástice s nulovým 396

397

spinem) a Paul Adrien Maurice Dirac (Diracova rovnice pro ástice s polo íselným spinem). Práv Diracova rovnice, jako rovnice vhodná pro popis elektronu, znamenala další zvrat v elektromagnetické teorii. Na jejím základ p edpov d l Dirac existenci pozitronu, první anti ástice. Na základ Diracovy rovnice byla vybudována kvantová elektrodynamika. Za její tvorbu získali Richard Philips Feynman, Julian Schwinger a Sin-Itiro Tomonaga Nobelovu cenu v roce 1965. Tv rci kvantové elektrodynamiky

R.P. Feynman (1918-1988)

J. Schwinger (1918-1994)

S. Tomonaga (1906-1979)

Doplníme-li do Diracovy rovnice symetrii U(1)loc objeví se p irozenou cestou v rovnici pro elektron další pole - elektromagnetické pole. Práv dopl ování symetrií do rovnic se dnes stalo základním zp sobem tvorby nových fyzikálních zákon (hovo íme o tzv. kalibra ních teoriích, teoriích postavených na transforma ních symetriích fyzikálních zákon ). První takto vytvo enou teorií byla kvantová teorie elektromagnetického pole (P.A.M. Dirac, Richard Phillips Feynman). Komplikovaný aparát kvantové teorie byl zjednodušen do grafických zkratek, které dnes známe pod názvem Feynmanovy diagramy. Podle kvantové teorie pole je elektromagnetické pole kvantováno, základním kvantem je foton, který sou asn tvo í vým nnou ástici zprost edkující elektromagnetickou interakci. Elektrický náboj je stín n p ítomností pár elektron-pozitron ve vakuu. Dostaneme-li se k elektronu na velmi malé vzdálenosti, jeho náboj roste. Pozorovaný elektrický náboj je stín ný náboj, skute ný náboj nazýváme holý náboj elektronu. 397

398

Základní konstanta interakce (elektrický náboj) tak není ve skute nosti konstantní, ale m ní se v závislosti na energii ástic ( ím energeti t jší ástice, tím blíže elektronu se mohou p iblížit). Feynmanovy diagramy Feynmanovy diagramy jsou zástupné grafické zkratky pro jednotlivé leny rozvoje rovnic kvantové teorie elektromagnetického pole do ady. Každému diagramu odpovídá konkrétní matematický výraz a pro sestavování diagram platí jednoduchá pravidla. Základním diagramem elektromagnetické interakce je diagram s jednou elektronovou linií (libovolné generace), jednou fotonovou linií a jedním vrcholem. Tento diagram m žeme libovoln spojit deformovat a skládáme z n ho elektromagnetické d je. Veškeré ástice se ve Feynmanových diagramech pohybují doprava. Šipky na liniích neznamenají pohyb, ale rozlišují mezi ásticemi a anti ásticemi. Šipka doprava znamená ástici (zde elektron) a šipka doleva anti ástici (zde pozitron). Do interak ní oblasti mohou vcházet libovolné ástice. Napravo vylétávají ástice po interakci. Najdeme-li jakýkoli zp sob pospojování ástic Feynmanovými diagramy, nalezli jsme jeden možný kanál reakce.

398

399

Základní diagram elektromagnetické interakce lze interpretovat šesti zp soby:

emise fotonu elektronem

absorpce fotonu elektronem

anihilace páru elektron pozitron

emise fotonu pozitronem

absorpce fotonu pozitronem

kreace páru elektron pozitron

Typické elektromagnetické procesy Po et vrchol diagramu odpovídá po adí v odpovídající ad a amplituda pravd podobnosti d j s každým dalším vrcholem klesá v pom ru, který nazýváme konstanta jemné struktury:

α=

e2

4πε 0 c

1 . 137

( 1448 )

Jedin linie s volnými konci jsou skute né ástice, které lze registrovat v našich p ístrojích. Linie, které za ínají a kon í ve vrcholu odpovídají tzv. virtuálním ásticím, které nespl ují Heisenbergovy relace neur itosti. Tyto ástice nikdy nem žeme registrovat v p ístrojích (nemají volné konce linií), jde nap íklad o intermediální ástice. Uve me n které jednoduché Feynmanovy diagramy:

399

400

e + e+ e + e+ (elektron pozitronový rozptyl) Dva základní kanály reakce v druhém ádu Feynmanových diagram . Odpovídající p ísp vek k ú innému pr ezu reakce spo ítal v roce 1936 Bhabha bez pomoci FD. e+ e + (elektronfoton) Compton v rozptyl Dva základní kanály reakce v druhém ádu Feynmanových diagram .

Anomální magnetický moment elektronu.

Vakuový diagram. Diagram polarizace vakua. Diagram vlastní hmotnosti elektronu.

400

401

e+e e+e (Coulomb v zákon) Dva základní kanály reakce, jde o diagramy druhého ádu se dv ma vrcholy. Modrá oblast je " erná sk í ka" - oblast interakce. B žn se v diagramech neozna uje. Pozd ji uvidíme kvantové opravy ke Coulombovu zákonu od slabé interakce. e+ e+ (elektron-mion) Existuje jediný diagram 2. ádu. Odpovídající p ísp vek k ú innému pr ezu reakce spo ítal v roce 1932 Möller bez FD. P edpov di nerelativistické kvantové teorie jsou v neoby ejn dobrém souladu s experimentem ve všech p ípadech, kdy se jedná o stavy, v nichž klidové energie ástic dominují nad všemi ostatními p ísp vky k celkové hodnot energie.

401

402

Navíc, v t chto p ípadech bylo možno malé odchylky p edpov di teorie od velice p esných experimentálních dat p ipsat na vrub zanedbávaných relativistických korekcí. Tento názor byl nejen dob e fyzikáln motivován, ale významn podpo en zejména skute ností, že již zapo tení odpovídajících oprav v nejnižším ádu vedlo vesm s k podstatnému zlepšení souhlasu p edpov dí s experimentálními daty. Bylo proto p irozené o ekávat, že dalšího zlepšení bude dosaženo, když se poda í problém adekvátn formulovat v rámci relativistické kvantové mechaniky. Na ad konkrétních problém zejména z oblasti spektroskopie se ukázalo, že toto o ekávání bylo pln oprávn né pokud jde o jevy dominované klidovou energií p íslušných ástic. Je tak ka nemyslitelné, že by šlo o pouhou náhodu. Máme proto d vody p edpokládat, že relativistická kvantová mechanika adekvátn popisuje velké množství stránek fyzikálního sv ta. Na druhé stran je z ejmé, že kvantová mechanika nem že poskytnout rámec pro adekvátní popis úpln všech stránek fyzikální reality, a to zcela nezávisle na tom, zda se jedná o teorii, která je, i není pln vnit n konzistentní z hlediska ist matematického. V tomto p ípad totiž není podstatné to, že jde o teorii kvantovou, alebrž že jde o mechaniku, tj. o teorii, v níž je systém p edem ur en zadáním po tu a druh ástic, které tento systém tvo í. Jinými slovy e eno, mechanika je p edstavuje teorii, která nep ipouští žádné procesy, p i nichž by docházelo ke zm nám po tu a druh ástic, a to ani vlivem vn jších polí, ani v d sledku interakce mezi jednotlivými ásticemi systému samotného. Ve skute nosti však v p írod nep eberné množství práv takovýchto proces probíhá. Vždy p i tom jde o procesy, v nichž dochází ke zm nám energie jednotlivých ástic tak velkým, že jsou srovnatelné s klidovou energií n které ástice, tj. procesy probíhají daleko od nerelativistického režimu. Je dob e si p ipomenout, že relativistické kvantová mechanika naráží na zásadní problémy práv tehdy, když se ji pokusíme aplikovat na výše nazna ené oblasti. Z výše popsaných d vod , je však fakt, že relativistická kvantová mechanika p estává být vnit n konzistentní práv v t chto oblastech, možno považovat za její klad. 402

403

Signalizuje totiž, že p edstavuje aproximaci n jaké bohatší teorie. Teorie fyzikálního systému, jehož stavy budou obsahovat r zné po ty ástic a p itom v procesech dominovaných nerelativistickým režimem bude dynamika stavu se zadanými po ty jednotlivých druh ástic jen málo ovliv ována faktem, že se systém m že nacházet ve stavech s jinými po ty i a druhy ástic. Jestliže výše zmín ná bohatší teorie má být teorií kvantovou, potom nazna ená situace m že nastat , když stavy s pevn zadaným po tem jednotlivých druh ástic jsou zobrazovány elementy n jakého podprostoru H P Hilbertova prostoru H p i azeného zmín nému systému. ˆ, Pokud je dynamika celého systému determinována hamiltoniánem H potom kvantov mechanická aproximace popisu dynamiky soustavy výše zmín ných ástic bude z ejm determinována n jakým efektivním ˆ , pro který platí hamiltoniánem H P

ˆ = PH ˆ ˆ Pˆ , H P P

( 1449 )

ˆ . kde Pˆ je projek ní operátor na podprostor H P Úsp ch kvantové mechaniky pak signalizuje, že pro ty vektory ˆ , které odpovídají stav m dominovaným nerelativistickým ψ ∈H P režimem, ešení pohybové rovnice

d ˆ ψ (t ) , ψ (t ) = H dt ψ ( t0 ) = ψ

i

( 1450 )

je prakticky ekvivalentní s ešením rovnice

d ˆ ψ (t ) , ψ (t ) = H P dt ψ ( t0 ) = ψ .

i

( 1451 )

403

404

Zatímco v p ípad mechaniky je otázka, zda umož uje formulovat výroky v termínech opírajících se o pojem „ ástice“ tém triviální (je ex definitione konstruována tak, aby popisovala chování ástic), v obecném p ípad tomu tak ani z daleka není. K tomu, abychom mohli v rámci n jaké teorie adekvátn popsat situaci, kdy v b žném jazyce mluvíme o individuální ástici, je z ejm nezbytné, aby fyzikální systém popisovaný takovouto teorií mohl být ve stavech, které takovéto ástici odpovídají. To m.j. znamená, že spektrum celkového impulsu a energie systému musí obsahovat takové hodnoty Pµ, že Pµ P µ = m 2 ,

( 1452 )

kde m je hmota zmín né ástice. Z p edchozího víme, že v kvantové teorii operátor celkového impulsu a energie libovolného systému je t eba identifikovat s operátory reprezentujícími generátory prostoro asových translací. V kvantové teorii tedy otázka existence jedno ásticových stav n jakého systému intimn souvisí s otázkou reprezentace grupy Poincaré na Hilbertov prostoru tohoto systému. Ve skute nosti jde jen o jeden z aspekt klí ové role, kterou tato grupa hraje v relativistické kvantové teorii. Práv z tohoto hlediska se nyní v nujme grup Poincaré pon kud podrobn ji.

404

405

Poincaréova grupa

Jules Henri Poincaré (1854 – 1912)

ekneme, že nová sou adná soustava vznikla z výchozí translací T(a) pokud je v i ní v klidu, její sou adné osy jsou paralelní s výchozími, pouze po átek je posunut do místy (-a) a její asová škála je posunuta dop edu o hodnotu (-a0). Jestliže sou adnice sv tobodu mají ve výchozí soustav hodnotu xµ, potom z hlediska nové sou adné soustavy mají sou adnice téhož sv tobodu hodnotu

x′ µ = x µ + a µ .

( 1453 )

Je z ejmé, že dv po sob provedené translace p edstavují op t translaci a p itom výsledek je nezávislý na po adí, v jakém byly zmín né dv translace provedeny. Všechny možné takovéto translace tvo í ty parametrickou abelovskou grupu (grupu translací v Minkowského prostoru), jejíž elementy jsou jednozna n ur eny hodnotami parametr aµ tak, že

T ( a )T ( b ) = T ( a + b ) .

( 1454 )

ˆ ( a ) p i azený V každé reprezentaci této grupy lze tedy operátor U elementu T(a) zapsat ve tvaru

(

)

ˆ ( a ) = exp ia Pˆ µ , U µ

( 1455 )

405

406

kde operátory Pˆ µ reprezentující generátory této grupy všechny navzájem komutují

Pˆ µ , Pˆ ν = 0 .

( 1456 )

Translace m žeme ovšem skládat také s Lorentzovými transformacemi. Jestliže nová soustava vznikne transformací G(Λ(ω(1)), a(1)) z výchozí tak, že nejprve provedeme vlastní Lorentzovu transformaci Λ(ω(1) a po ní translaci T(a(1)), potom hodnoty sou adnic téhož sv tobodu v nové a výchozí soustav spolu souvisí vztahem

( )

x′µ = Λ µν ω(1) xν + a(µ1) .

( 1457 )

P ejdeme-li z této soustavy op t do další, transformací G(Λ(ω(2)), a(2)), potom v takto vzniklé soustav bude mít uvažovaný sv tobod sou adnice

= Λ µν

( ) (ω( ) ) Λ (ω( ) ) x (ω( ) ) x + a( ) .

(

)

x′′µ = Λ µν ω( 2) x′ν + a(µ2) = = Λµ ρ

ρ

2

ν

1,2

ν

ν

1

+ a(ρ1) + a(µ2) =

( 1458 )

µ

1,2

kde

( ) ( )

Λ µν ω(1,2) ≡ Λ µ ρ ω( 2) Λ ρν ω(1)

( 1459 )

p edstavuje op t vlastní Lorentzovu transformaci a

( )

a(µ1,2) ≡ Λ µ ρ ω( 2 ) a(ρ1) + a(µ2) .

( 1460 )

Jinými slovy e eno, do poslední soustavy jsme mohli p ejít také p ímo ze soustavy výchozí provedením nejprve vlastní Lorentzovy transformace Λ(ω(1,2)), následované translací T(a(1,2)). 406

407

Tedy všechny takovéto transformace tvo í grupu a násobení mezi jejími elementy G(Λ(ω), a) je determinováno relací

( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) ( )

)

G Λ ω( 2) , a( 2) G Λ ω(1) , a(1) = G Λ ω( 2) Λ ω(1) , Λ ω( 2) a(1) + a( 2) . ( 1461 ) Tato desetiparametrická Lieova grupa se nazývá Poincaréovu grupou P. Vzhledem k tomu, že libovolný element Poincaréovy grupy m žeme vyjád it ve tvaru

G ( Λ (ω ) , a ) = G (1, a ) G ( Λ (ω ) ,0 ) ,

( 1462 )

bude také v každé reprezentaci platit analogický vztah mezi odpovídajícími operátory

ˆ (ω , a ) = U ˆ (a)U ˆ (ω ) . U

( 1463 )

P itom víme, že operátory p i azené translacím T(a), resp. vlastním Lorentzovým transformacím Λ(ω) musí mít tvar ( 1455 ), resp.

ˆ (ω ) = exp i ω M ˆ µν , U µν 2

( 1464 )

ˆ µν odpovídají generátor m t chto transformací, a kde operátory Pˆ µ , M tedy musí vyhovovat komuta ním relacím ( 1456 ), resp.

(

ˆ µν , M ˆ ρσ = i g µσ M ˆ νρ − g µρ M ˆ νσ + gνρ M ˆ µσ − gνσ M ˆ µρ M

)

( 1465 )

definované pravou stranou formule ( 1463 ) vyhovující relacím (viz. ( 1458 ) – ( 1461 ))

(

) (

) (

ˆ ω ,a ˆ ˆ U (1,2 ) (1,2 ) = U ω( 2 ) , a( 2 ) U ω(1) , a(1)

)

( 1466 )

i tehdy, když se nejedná o pouhé skládání dvou translací, nebo skládání dvou vlastních Lorentzových transformací. 407

408

K tomu, aby tomu tak bylo, musí být evidentn spln ny ješt relace mezi ˆ µν , odpovídající zákon m skládání translací operátory Pˆ µ a M s vlastními Lorentzovými transformacemi, tj. musí nap . platit

ˆ (ω ,0 ) U ˆ (1, a ) U ˆ ( −ω ,0 ) = U ˆ (1, Λ (ω ) a ) . U

( 1467 )

Zderivováním této relace pro a = 0 dostaneme

ˆ (ω ) Pˆ µ U ˆ −1 (ω ) = Λ µ (ω ) Pˆ ν = Λ µ ( −ω ) Pˆ ν , U ν ν

( 1468 )

a tedy do veli in prvního ádu v ω

i ˆ αβ Pˆ µ 1 − i ω M ˆ αβ = Pˆ µ + ω µ Pˆ µ , 1 + ωαβ M αβ ν 2 2

( 1469 )

tj.

i ˆ αβ , Pˆ µ = ω g µα Pˆ ν . ωαβ M αν 2

( 1470 )

ˆ µν = −M ˆ νµ a S využitím toho, že M ∂ωαβ ∂ωρσ

= δαρ δ βσ − δασ δ βρ ,

( 1471 )

odtud dostáváme

(

)

ˆ µν , Pˆ ρ = i gνρ Pˆ µ − g µρ Pˆ ν . M

( 1472 )

Snadno se lze p esv d it, že tyto komuta ní relace, spolu s d íve nalezenými ( 1456 ), ( 1465 ):

Pˆ µ , Pˆ ν = 0 ,

( 1473 )

408

409

(

)

ˆ µν , M ˆ ρσ = i g µσ M ˆ νρ − g µρ M ˆ νσ + gνρ M ˆ µσ − gνσ M ˆ µρ , M

( 1474 )

již zajiš ují, že operátory ( 1463 ) vyhovují relacím ( 1466 ) pro všechny elementy Poincaréovy grupy. ˆ µν vyhovující komuta ním relacím ( 1472 ) Libovolné operátory Pˆ ρ a M – ( 1474 ) realizují reprezentaci Poincaréovy algebry. Zavedeme-li (srov. definice ( 1196 )) operátory

ˆ ≡ Pˆ 0 , H 1 ˆ lm , Jˆ k ≡ ε klm M 2 ˆ ≡M ˆ oj , K j

( 1475 ) ( 1476 ) ( 1477 )

m žeme výše uvedené komuta ní relace definující Poincaréovu algebru ekvivalentn vyjád it ve tvaru

ˆ = Jˆ , H ˆ =0 , Pˆ j , Pˆ k = Pˆ , H

( 1478 )

ˆ ,K ˆ = iε Jˆ , Jˆ j , Jˆ k = − K j k jkl l

( 1479 )

Jˆ j , Pˆ k = iε jkl Pˆ l ,

( 1480 )

ˆ = iε K ˆ Jˆ j , K k jkl k

( 1481 )

ˆ , Pˆ k = −iδ H ˆ , K j jk

( 1482 )

ˆ ,H ˆ = −iPˆ . K

( 1483 )

Libovolný výraz utvo ený z generátor grupy, který se všemi generátory komutuje, musí být v každé ireducibilní reprezentaci realizován n jakým násobkem operátoru identity. Takové výrazy se nazývají Casimirovými operátory. Prostor libovolné ireducibilní reprezentace grupy tak p edstavuje charakteristický podprostor každého Casimirova operátoru p íslušný k n jaké jeho vlastní hodnot .

409

410

Díky tomu lze ireducibilní reprezentace jednozna n (až na ekvivalenci) ur it zadáním odpovídajících vlastních hodnot všech nezávislých Casimirových operátor . V p ípad Poincaréovy grupy jsme již nalezli, že generátory translací se v i vlastním Lorentzovým transformacím chovají jako ty vektor, tj. že pro n platí relace ( 1468 ). Zcela analogicky zjistíme, že generátory vlastní Lorentzovy grupy se transformují jako komponenty antisymetrického tenzoru druhého ádu, tj. platí

ˆ −1 (ω ) M ˆ µν U ˆ (ω ) = Λ µ (ω ) Λν (ω ) M ˆ ρσ . U ρ σ

( 1484 )

Pomocí nich m žeme b žným zp sobem (násobením, kontrakcí) konstruovat další tenzorové veli iny. Tak nap . okamžit vidíme, že pro operátor

Pˆ 2 ≡ Pˆ µ Pˆ µ

( 1485 )

platí

ˆ (ω ) , Pˆ 2 = 0 U

( 1486 )

a díky komuta ním relacím ( 1473 ) také

ˆ ( a ) , Pˆ 2 = 0 . U

( 1487 )

Tedy Pˆ 2 p edstavuje Casimir v operátor Poincaréovy grupy. Definujme Pauli-Lubanského vektor

ˆ µ ≡ − 1 ε µνρσ M ˆ Pˆ . W νρ σ 2

( 1488 )

Takto definované operátory spl ují relaci

ˆ −1 (ω ) W ˆ µU ˆ (ω ) = Λ µ (ω ) W ˆν , U ν

( 1489 ) 410

411

tj. chovají se v i vlastním Lorentzovým transformacím jako komponenty ty vektoru, ale také komutují se všemi generátory translací:

ˆ µ , Pˆ ν = 0 . W

( 1490 )

Odtud pak okamžit vidíme, že také operátor

ˆ 2 ≡W ˆ W ˆ µ W µ

( 1491 )

je Casimirovým operátorem Poincaréovy grupy. Pro další je užite né si všimnout, že komponenty Pauli-Lubanského vektoru lze též zapsat ve tvaru

ˆ 0 = Pˆ ⋅ Jˆ , W

( 1492 )

ˆ = HJ ˆ ˆ − Pˆ × K ˆ . W

Podle teorie relativity jsou všechny sou adné soustavy, které spolu souvisejí n jakou transformací pat ící do Poincaréovy grupy P, navzájem ekvivalentní. Tedy jestliže n jakému fyzikálnímu systému p i adíme ve vybrané soustav Hilbert v prostor , potom tentýž Hilbert v prostor lze p i adit tomuto systému v každé soustav , kterou z ní obdržíme jakoukoliv transformací G(Λ(ω), a) ∈ P. Jestliže z hlediska výchozí soustavy je systém ve tvaru popsaném vektorem ψ ∈ , potom z hlediska transformované soustavy je ve stavu, který lze popsat vektorem

ψ ′ ≡ Uˆ (ω , a ) ψ ∈

.

( 1493 )

P itom bez újmy na obecnosti m žeme požadovat, aby

ψ′ = ψ .

( 1494 ) 411

412

ˆ (ω , a ) musí být unitární lineární, anebo antilineární. Operátor U

Protože spojitou zm nou hodnot parametr lze transformaci G(Λ(ω), a) p evést v transformaci identickou, tj. transformaci G(1, a), nem že ˆ (ω , a ) být antilineárním. operátor U ˆ (ω , a ) musí respektovat zákon skládání uvažovaných Operátory U transformací. Pokud by stav m byly p i azeny vektory, plynula by odtud podmínka

( ) ( )

(

)

ˆ g U ˆ g =U ˆ g U ( 2) (1) (1,2 ) ,

( 1495 )

kde jsme pro zjednodušení ozna ili

( )

(

)

ˆ g =U ˆ ω ,a U ( j) ( j) ( j) .

( 1496 )

ˆ ( g ) musely Jinými slovy e eno, v takovémto p ípad by operátory U realizovat unitární reprezentaci Poincaréovy grupy na Hilbertov prostoru . Skute nost, že stav m nejsou p i azeny vektory, ale paprsky, vede k tomu, že d sledky zákona skládání transformací jsou slabší. Musí platit pouze relace

( ) ( )

(

ˆ g U ˆ g = exp iϕ g , g U ( 2) (1) ( 2 ) (1)

(

) Uˆ ( g( ) ) , 1,2

)

( 1497 )

kde ϕ g( 2 ) , g(1) je reálná funkce nazna ených parametr , tj. operátory

ˆ ( g ) musí tvo it projektivní reprezentaci grupy. U Ukazuje se, že v p ípad Poincaréovy grupy se ve skute nosti sta í omezit na vyšet ování jejích reprezentací, pokud pod pojmem „reprezentace“ zahrneme i reprezentace dvojzna né. Uvedené výsledky p edstavují speciální p ípad mnohem obecn ji platných záv r , které hrají d ležitou roli i v mnoha dalších oblastech.

412

413

ˆ ( g ), Zde je pouze stru n shrneme: Jestliže unitární operátory U definované na Hilbertov prostoru tvo í projektivní reprezentaci Nparametrické Lieovy grupy G, potom tyto operátory lze zapsat jako ˆ ( g (α ) ) = exp i U

N

ˆ αaX , a

( 1498 )

a =1

ˆ jsou samosdružené operátory. kde αa jsou reálné parametry a X a Z požadavku, aby vztah ( 1497 ) platil pro αa → 0 (tj. v blízkosti jednotkového elementu grupy G), nalezneme, že tyto operátory musí vyhovovat komuta ním relacím ˆ ,X ˆ =i X a b

N

c ˆ Cab Xc + iCab ,

( 1499 )

c =1

kde Cabc jsou strukturní konstanty grupy G a Cab = −Cba

( 1500 )

jsou reálná ísla, která musí vyhovovat relacím N

c =1

(C

c ab

c Ccd + Cbdc Cca + Cda Ccb ) = 0 ,

a, b, d = 1,

,N.

( 1501 )

Pro poslední leny na pravé stran komuta ních relací ( 1499 ) (které je samoz ejm t eba chápat jako p íslušné násobky operátoru identity) se užívá názvu centrální náboje. Jsou to tedy pouze centrální náboje, které v okolí jednotkového elementu grupy G determinují odlišnost operátor realizujících projektivní reprezentaci téže grupy. N kdy ovšem m že jít o odlišnost zcela nepodstatnou: P edpokládejme, existuje i unitární reprezentace grupy G, tj. existují že na prostoru unitární operátory U ( g ) , pro které platí

413

414

( ) ( )

(

)

U g( 2 ) U g(1) = U g(1,2 ) .

( 1502 )

P itom víme, že je lze vyjád it ve tvaru

U ( g (α ) ) = exp i

N

α a Xa ,

( 1503 )

a =1

kde operátory X a vyhovují komuta ním relacím N

X a , Xb = i

Cabc Xc .

( 1504 )

c =1

definujeme-li ˆ ≡ X +ξ , X a a a

( 1505 )

kde ξa jsou libovolná pevn zvolená reálná ísla, potom, snadno zjistíme, že tyto operátory vyhovují komuta ním relacím ( 1499 ), v nichž N c Cab ξc ,

Cab = −

( 1506 )

c =1

a operátory ( 1498 ) vyhovují relacím ( 1497 ), v nichž

(

)

N

ϕ g( 2) , g(1) =

α 0 ( 2 ) + α 0 (1) − α 0 (1, 2 ) ξ a .

( 1507 )

a =1

Konstanty ( 1506 ) pochopiteln vyhovují rovnicím ( 1501 ). D ležit jší však je, že pro mnohé grupy žádná jiná ešení t chto rovnic neexistují, tj. neexistují pro n žádné pravé projektivní reprezentace (tj. takové, které nelze pouhou transformací ( 1505 ) generátor zm nit

414

415

v reprezentaci).Lze dokázat, že tak tomu je nejen pro všechny poloprosté grupy, ale také nap . pro grupu Poincaré. Z uvedeného je z ejmé, že pokud se nejedná o pravou projektivní reprezentaci, potom v okolí jednotkového elementu je odlišnost projektivní reprezentace od reprezentace naprosto triviální. To však v bec neznamená, že by to muselo platit i tehdy, vzdálíme-li se z okolí jednotkového elementu. Tak tomu obecn je jedin u grup jednoduše souvislých. Na druhé stran však víme, že ke každé m-násobn souvislé grup G existuje práv jedna univerzální pokrývací grupa G , tj. grupa, která je jednoduše souvislá a p itom m že být homomorfn zobrazena na G. Každá z reprezentací grupy G je bu reprezentací grupy G, nebo její vícezna nou (až m-zna nou) reprezentací. Odtud vidíme, že výše uvedený výrok o tom, že projektivní reprezentace, pokud nejsou pravými projektivními se jen triviáln liší od reprezentací, je obecn platným, pokud pod termín reprezentace zahrneme v p ípad vícenásobn souvislých grup i reprezentace vícezna né. P ipome me, že jak grupa rotací v t írozm rném Eukleidov prostoru SO(3), tak vlastní Lorentzova grupa ve ty rozm rném Minkowského prostoru SO(3,1), jsou grupami dvojnásobn souvislými. Odpovídající univerzální pokrývací grupu v t chto p ípadech tvo í grupa SU(2), resp. SL(2,C). Na bázi Hilbertova prostoru libovolné unitární ireducibilní reprezentace Poincaréovy grupy m žeme utvo it z vektor p, ξ , pro které platí

Pˆ µ p, ξ = p µ p, ξ ,

( 1508 )

pµ p µ = p 2 ,

kde ξ je parametr, který ísluje n jakou ortogonální bázi v každém charakteristickém podprostoru spole ných vlastních vektor operátoru Pˆ µ . Z formule ( 1455 ) pak vidíme, že pokud jde o operátory reprezentující translace, je jejich p sobení na uvedenou bázi tém triviální:

415

416

ˆ ( a ) p, ξ = exp ( ip µ a ) p, ξ . U µ

( 1509 )

Na druhé stran v p ípad vlastních Lorentzových transformací z formule ( 1468 ) víme, že

ˆ (ω ) Pˆ µ p, ξ = Λ µ ( −ω ) Pˆ ν U ˆ ( ω ) p, ξ , U ν

( 1510 )

tj.

ˆ (ω ) p, ξ = Λ µ ( −ω ) Pˆ ν U ˆ ( ω ) p, ξ , pµ U ν

( 1511 )

což je totéž jako

ˆ (ω ) p, ξ = Λ µ (ω ) pν U ˆ ( ω ) p, ξ . Pˆ µ U ν

( 1512 )

ˆ (ω ) p, ξ pat í do charakteristického podprostoru Jinými slovy, vektor U operátoru Pˆ µ p íslušného k vlastním hodnotám p′µ = Λ µν (ω ) pν ,

( 1513 )

a tedy ho musí být možno vyjád it jako lineární kombinaci ˆ ( ω ) p, ξ = U

Aξ ′,ξ (ω , p ) Λ (ω ) p, ξ .

( 1514 )

ξ′

Odtud vidíme, že do Hilbertova prostoru kterékoliv pevn zvolené ireducibilní reprezentace mohou náležet vektory p, ξ , p′, ξ ′ jedin tehdy, existuje-li vlastní Lorentzova transformace Λ(ω) taková, že platí relace ( 1513 ). Díky tomu m žeme všechny unitární ireducibilní reprezentace Poincaréovy grupy rozd lit podle šesti t íd ty vektor invariantních v i vlastním Lorentzovým transformacím, tak jak jsou uvedeny v následující tabulce.

416

417

Tab. 4 Vlastnosti ty vektor

4-vektor kµ

Malá grupa

1

pµ pµ = 0, p0 = 0 ⇔ pµ = 0

{0,0}

SO(3,1)

2

p µ p µ = M 2, M > 0 ⇔ p 0 > 0

{M,0}

SO(3)

{1,0,0,1}

SO(2) ⊗ T(2)

{-M,0}

SO(3)

íslo t ídy

pµ pµ = 0, p0 > 0

3 4

p µ p µ = M 2, M > 0 ⇔ p 0 > 0

5

pµ pµ = 0, p0 > 0

{-1,0,0,1}

SO(2) ⊗ T(2)

6

p µ p µ = M2 < 0

{0,0,0,M}

SO(2,1)

kde T(2) je grupou translacív rovin . P itom každý vektor pµ ze zadané t ídy lze získat vhodnou vlastní Lorentzovou transformací z libovolného jiného vektoru téže t ídy. Specieln ho tedy m žeme obdržet transformací „standardního vektoru“ kµ, specifikovaného pro každou t ídu v p edposledním sloupci tabulky. Tato Lorentzova transformace ovšem není zadáním vektoru pµ ur ena jednozna n . Okamžit nap . vidíme, že pokud je

p µ = Λ µν (ω ) kν ,

( 1515 )

potom ur it také platí

p µ = Λ µν (ω ) kν ,

( 1516 )

kde

Λ (ω ) ≡ Λ (ω ′′; p ) Λ (ω ) Λ (ω ′; k )

( 1517 )

417

418

a Λ (ω ′; k ) , resp. Λ (ω ′′; p ) je libovolná transformace, v i níž je ty vektor k, resp. p invariantní, tj. platí

Λ µν (ω ′; k ) kν = k µ ,

( 1518 )

Λ µν (ω ′′; p ) pν = p µ .

Snadno nahlédneme, že množina všech vlastních Lorentzových transformací, v i nimž je invariantní jakýkoliv pevn vybraný ty vektor p, tvo í podgrupu. Wigner ji nazval malou grupou W(p). Není snad nutno zd raz ovat, že do malé podgrupy dvou r zných ty vektor pat í r zné transformace. Podstatné však je, že pro všechny ty vektory pat ící do téže t ídy jsou odpovídající malé grupy navzájem izomorfní, tj. p edstavují pouze r zné realizace téže grupy. O kterou grupu se jedná, je uvedeno v posledním sloupci tabulky ( 4 ). P i pevn zvoleném standardním vektoru dané t ídy m žeme z množiny všech transformací Λ(ω), které spl ují relaci ( 1515 ), evidentn n jakým p edpisem vybrat transformaci jedinou. Pro tuto transformaci, která je již zadáním ty vektoru p ur ena jednozna n , budeme užívat symbolu L(p). Zd razn me ješt jednou, že to, kterou konkrétní Lorentzovu transformaci symbol L(p) p edstavuje záleží nejen na p, ale také na výše zmín ném p edpisu. Nezávisle na jeho volb ovšem vždy platí

Lµν ( p ) kν = p µ . D íve zmín né vektory báze

( 1519 ) budeme nyní identifikovat s

ˆ ( L ( p ) ) k ,ξ , p, ξ ≡ N ( p ) U

( 1520 )

kde N (p) je normaliza ní konstanta, kterou budeme specifikovat ˆ ( L ( p ) ) je operátor, který v uvažované reprezentaci pozd ji, a U odpovídá výše uvedené transformaci L(p). 418

419

Relaci ( 1514 ) pak m žeme pro libovolnou vlastní Lorentzovu transformaci zapsat ve tvaru

ˆ( U

) p, ξ

) Uˆ ( L ( p ) ) k ,ξ = ˆ (L ( p )) U ˆ † (L ( p )) U ˆ ( )U ˆ ( L ( p ) ) k ,ξ = N ( p)U ˆ ( p)U ˆ ( W ( p ) ) k ,ξ , = N ( p)U ˆ( = N ( p)U

=

( 1521 )

kde W ( , p ) ≡ L−1 ( p ) L ( p ) .

( 1522 )

Ale

W( , p)

µ ν

µ

kν = L−1 ( p ) = L−1 ( p )

ρ µ

L( p) ρ

ρ

ρ ν

kν =

ν −1 ν p = L ( p)

µ

( ρ

p) = k µ , ρ

( 1523 ) odkud vidíme, že transformace W(Λ Λ, p) je elementem malé grupy ty vektoru k, a tedy

ˆ ( W ( , p ) ) k ,ξ = U

Dξ ′ξ ( W ( , p ) ) k , ξ ′ ,

( 1524 )

ξ′

kde Dξ ′ξ ( W ) jsou elementy unitární matice D(W) p i azené transformaci W v n jaké ireducibilní reprezentaci malé grupy W(k). Dosazením do pravé strany formule ( 1521 ) dostáváme

ˆ( U

) p, ξ

ˆ ( L ( p ) ) p, ξ ′ = Dξ ′ξ ( W ( , p ) )U

= N ( p) ξ′

=

N ( p)

N ( p)

Dξ ′ξ ( W ( , p ) ) p, ξ ′ . ξ′

419

( 1525 )

420

k tomu, abychom nalezli všechny unitární ireducibilní reprezentace Poincaréovy grupy sta í, abychom nalezli tyto reprezentace pro malou grupu odpovídající každé ze šesti t íd ty vektor specifikovaných v tabulce ( 4 ). Pro nás jsou ovšem d ležité pouze reprezentace realizovatelné v prostorech, které lze identifikovat s Hilbertovými prostory fyzikálních systém , tj. operátory Pˆ µ , reprezentující generátory translací, musí sou asn hrát i úlohu operátor celkového ty impulsu této soustavy. ty impuls pµ = 0 je evidentn invariantní v i všem vlastním Lorentzovým transformací, tj. jeho malou grupou je grupa SO(3,1). Vzhledem k tomu, že jde o grupu nekompaktní, její jedinou kone n rozm rnou unitární ireducibilní reprezentací je triviální jednorozm rná reprezentace p i azující každému elementu jednotku. Již tento prostinký fakt má závažný d sledek: Stav s nulovým ty impulsem p edstavuje vakuum. Z uvedeného vyplívá, že žádná relativisticky invariantní kvantová teorie nem že p ipustit kone ný stupe degenerace vakua. Vakuum tak musí být bu nedegenerované, nebo je stupe jeho degenerace nekone ný. ty vektor asového charakteru s kladnou nulovou komponentou, tj. ty vektor p, pro který platí

pµ p µ = m 2 ,

p0 ≡ E > 0 ,

( 1526 )

m žeme identifikovat se ty impulsem ástice s klidovou hmotou m > 0. Standardní ty vektor

k µ ≡ {m,0}

( 1527 )

je evidentn invariantní v i všem prostorovým rotacím, kdežto v i boostu invariantní není. Odpovídající malou grupou tedy je grupa SO(3), tj. transformace ( 1522 ) v tomto p ípad p edstavuje rotaci. Budeme ji nazývat Wignerovou rotací. Je z ejmé, že pro operátor ( 1485 ) platí

420

421

Pˆ 2 k , ξ = m 2 k , ξ .

( 1528 )

Z formulí ( 1492 ), ( 1527 ) vidíme, že v našem p ípad je

ˆ 0 k ,ξ = 0 , W W k , ξ = mJˆ k , ξ ,

( 1529 ) ( 1530 )

a tedy

ˆ 2 k , ξ = − m 2 j ( j + 1) k , ξ , W

( 1531 )

kde j je celé nebo polocelé nezáporné íslo,odpovídající spinu uvažované ástice. ˆ 2 jsou Casimirovy operátory, z stanou Vzhledem k tomu, že Pˆ 2 , W formule ( 1528 ), ( 1531 ) v platnosti i tehdy, když v nich provedeme zám nu

k , ξ → p, ξ .

( 1532 )

V p ípad uvažované t ídy ty impuls m žeme tedy každou ireducibilní reprezentaci charakterizovat zadáním dvojice reálných parametr m, j, z nichž první je kladný a druhý p edstavuje n jaké celé nebo polocelé nezáporné íslo. Z relace ( 1530 ) vidíme, že kety k , ξ lze zvolit tak, aby p edstavovaly vlastní vektor operátoru Jˆ ⋅ s , kde s je libovolný pevn zvolený jednotkový vektor. Parametr ξ v uvažované reprezentaci tedy probíhá 2j + 1 hodnot, za které m žeme zvolit ξ = –j, … , j. Nebude-li e eno jinak, budeme volit konvenci, kdy s = e3 . Potom

J 3 k ,ξ = ξ k ,ξ , Jˆ ± k , ξ = α ± ( j , ξ ) k , ξ ± 1 ,

( 1533 ) ( 1534 )

kde 421

422

α ( ± ) ( j,ξ ) ≡

( j ξ )( j ± ξ + 1)

.

( 1535 )

Povšimn me si také toho, že rovnost ( 1533 ) lze s využitím definice ( 1520 ) ekvivalentn vyjád it ve tvaru

ˆ (L ( p )) W ˆ 3U ˆ † ( L ( p ) ) p, ξ = mξ p, ξ . U

( 1536 )

ˆ 3 (L ( p )) Tedy ket p, ξ p edstavuje vlastní vektor operátoru W p íslušný k vlastní hodnot mξ, kde

ˆ µ (L ( p )) ≡ U ˆ (L ( p )) W ˆ µU ˆ † (L ( p )) = L ( p ) W

µ

ˆν . W

ν

( 1537 )

pokud R ≡ Λ(n, ϕ) p edstavuje libovolné nato ení, potom

(

ˆ ( R ) = exp iϕ n ⋅ Jˆ U

)

( 1538 )

a z formulí ( 1533 ) až ( 1535 ) dostáváme

ˆ ( R ) k ,ξ = U

(

)

k , ξ ′ k , ξ ′ exp iϕ n ⋅ Jˆ k , ξ = ξ′

j

Dξ( ′ξj ) ( R ) k , ξ ′ ,

ξ ′=− j

( 1539 ) kde Dξ ′ξ ( R ) jsou elementy ortogonální matice D (R) p i azené rotaci R v 2j + 1 rozm rné reprezentaci grupy SO(3). K tomu, abychom skute n poznali pravou stranu formule ( 1525 ), tj. abychom dokon ili konstrukci diskutované ireducibilní reprezentace, musíme ješt specifikovat normaliza ní konstantu N(p) a transformaci L(p), vystupující v definici ( 1522 ) Wignerovy rotace W(Λ Λ, p). V obou p ípadech to do zna né míry p edstavuje p ijetí ur ité konvence. V nujme se nejprve otázce volby normaliza ní konstanty. P i ní musíme respektovat skute nost, že konstruovaná reprezentace má být unitární, a tedy operátory p i azené jejím generátor m musí být samosdružené. ( j)

(j)

422

423

O vlastních vektorech samosdružených operátor Pˆ pak víme, že vedle rovnice

Pˆ p, ξ = p p, ξ

( 1540 )

musí vyhovovat i podmínce

p, ξ p′, ξ ′ = f ( p ) δ ξξ ′ 2 Eδ ( p − p′ ) ,

( 1541 )

kde f(p) je n jaká, zatím blíže nespecifikovaná nenulová funkce. P ipome me, že odpovídající relace uzav enosti v prostoru uvažované reprezentace má potom tvar j

d 3p p, ξ 2 Ef ( p ) ξ =− j

p, ξ = 1 .

( 1542 )

Z formule ( 1525 ) p itom dostáváme

ˆ †( p′, ξ U =

N ( p)

) Uˆ ( ) 2

N ( p)

(D

( j)

ξ ′′ξ

ξ ′′ξ ′

p′, ξ =

( W ) ) Dξ ′ξ ( W ) ∗

( j)

ˆ( a tedy díky unitarit operátor U 1

N ( p)

2

p′, ξ p, ξ =

1

N ( p)

2

p′, ξ ′′

p, ξ ′ ,

( 1543 )

) a matic D(j)(W) musí platit p′, ξ

p, ξ ,

( 1544 )

kde jsme využili toho, že díky relaci ( 1541 ) poslední faktor na pravé stran formule ( 1543 ) vymizí pro všechna ξ″ ≠ ξ′ . Porovnáním s formulí ( 1541 ) vidíme, že výraz

423

424

f ( p) N ( p)

( 1545 )

2

musí být invariantní v i vlastním Lorentzovým transformacím, nebo veli ina 2Eδ (p - p′) v i t mto transformacím invariantní je. To je jediná podmínka, kterou je nutno splnit. Mezi nej ast ji užívané volby pat í

N ( p) = f ( p) = 1 ,

( 1546 )

nebo

N ( p) =

f ( p) f (k )

,

f ( p) =

1 . 2E

( 1547 )

Ob mají své výhody a nevýhody, proto se ani jedné z nich nebudeme vyhýbat. Abychom jasn odlišili, kdy máme kterou na mysli, budeme kety definované pravou stranou formule ( 1520 ) ozna ovat nadále symbolem p, ξ p i volb ( 1546 ), kdežto v p ípad volby ( 1547 ) budeme pro tyto veli iny užívat symbolu p, ξ . Pokud jde o transformaci L(p), op t se nej ast ji setkáváme se dv ma zp soby její volby:

L( p) ≡

( − v, v ) ,

( 1548 )

kde

v≡

p , E

( 1549 )

tj. L(p) je istý boost. V tomto p ípad se veli ina odpovídající oerátoru

424

425

ˆ µ (L ( p )) W

( 1550 )

m

nazývá kovariantní spin. Druhým zp sobem volby je boost ve sm ru –e3 následovaný pooto ením o úhel ϕ kolem téže osy a takovým nato ením kolem osy p × e3 , které p evede sm r e3 do sm ru impulsu p , tj.

L ( p ) ≡ R (p ) B (u ) ,

( 1551 )

kde

R ( p ) ≡ exp {iϑ [ M1 sin ϕ − M 2 sin ϕ ]} exp ( −iϕ M 3 ) =

= exp ( −iϕ M 3 ) exp ( −iϑ M 2 ) ,

( 1552 )

kde ϕ, ϑ jsou sférické úhly vektoru p a

B ( u ) ≡ exp {−iuN 3 } ,

( 1553 )

kde u je rapidita odpovídající velikosti rychlosti ( 1549 ), tj.

cosh u =

1 1− v

2

,

sinh u =

v 1− v

2

.

( 1554 )

P itom platí

Jˆ ⋅ Pˆ p, ξ = ξ p, ξ , ˆP

( 1555 )

tj. v uvažovaném p ípad p edstavují kety p, ξ vlastní vektory helicita. Pokud v dalším budeme chtít zd raznit, že se nám jedná práv o tuto volbu L(p), budeme k ozna ení parametru ξ užívat symbolu λ .

425

426

Vzhledem k tomu, že p ipouštíme i dvojzna né reprezentace, nemusí být ket p, ξ ve skute nosti ur en jednozna n ani po zadání L(p). Odstranit tuto zbývající nejednozna nost však ne iní žádné potíže. Nap . ve zde uvažovaném p ípad budeme pod operátorem vystupujícím ve formuli ( 1520 ) vždy rozum t

ˆ (L ( p )) ≡ R ˆ ( p ) Bˆ ( u ) , U

( 1556 )

kde

(

) (

)

ˆ ( p ) ≡ exp −iϕ Jˆ exp −iϑ Jˆ = R 3 2

{

= exp iϑ Jˆ 1 sin ϕ − Jˆ 2 cos ϕ

{

ˆ Bˆ ( u ) ≡ exp −iuK 3

}

} exp ( −iϕ Jˆ ) , 3

a p itom ϑ ∈ 0, π), ϕ ∈ 0, 2π).

( 1557 )

( 1558 )

ty vektor sv telného charakteru s kladnou nultou komponentou, tj. ty vektor p, pro který platí

pµ p µ = 0 ,

p0 ≡ E > 0 ,

( 1559 )

m žeme identifikovat se ty impulsem ástice s nulovou klidovou hmotou. Standardní ty vektor k:

k µ ≡ {1,0,0,1}

( 1560 )

je evidentn invariantní v i libovolnému pooto ení kolem osy e3 , tj. odpovídající malá grupa SO(2) tvo enou všemi možnými rotacemi R(e3 , ϕ). V i žádným jiným istým pooto ením ty impuls ( 1560 ) invariantní není. V sou asné soustav , která se v i výchozí posouvá rychlostí w, má ty vektor k komponenty 426

427

k ′0 = γ (1 − w cosϑ ) , k ′ = γ ( cosϑ − w ) ,

( 1561 )

k ′⊥ = k ⊥ , kde jsme užili standardní zkratku

γ≡

1 1− w

2

,

( 1562 )

ϑ je úhel svíraný rychlostí w s osou e3 a k ′ ≡ k′ ⋅ w , k ′⊥ ≡ k ′ − k ′w ,

( 1563 )

k ⊥ ≡ k − w cosϑ . Z požadavku

k ′0 = 1

( 1564 )

dostáváme

1 − 1 − w2 cosϑ = . w

( 1565 )

Následným pooto ením kolem osy

e3 × w sin ϑ

( 1566 )

o úhel

δ = π + 2ϑ mod 2π ,

( 1567 )

427

428

p ípadn dopln ním dalším pooto ením o libovolný úhel ϕ ∈ 0, 2π) kolem osy e3 p ejdou

k ′µ → k µ .

( 1568 )

Snadno nahlédneme, že žádná jiná než práv popsaná kombinace boostu a nato ení nem že nechat standardní ty vektor ( 1560 ) nezm n n. Odtud je již z ejmé, že malá grupa je v uvažovaném p ípad grupou t íparametrickou. Každý její element bychom mohli jednozna n ur it nap . zadáním velikosti a polárního úhlu rychlosti w, dopln ným zadáním výše uvedeného úhlu ϕ . Ve skute nosti je však výhodn jší provést tuto parametrizaci pon kud jinak. Libovolný element malé grupy lze jednozna n ur it zadáním parametr α, β, ϕ tak, že

(α , β , ϕ ) ≡ S (α , β ) R ( e 3 , ϕ ) ,

( 1569 )

kde

R ( e3 ,ϕ ) ≡ exp ( iϕ M 3 ) ,

( 1570 )

S (α , β ) ≡ exp i (α A + β B ) , a A ≡ N1 − M 2 ,

( 1571 )

B ≡ N 2 + M1 .

V libovolné unitární reprezentaci Poincaréovy grupy tedy odpovídající operátor m žeme vyjád it ve tvaru

ˆ( U

(α , β ,ϕ ) ) = exp i (α Aˆ + β Bˆ )

(

)

exp iϕ Jˆ 3 ,

kde samosdružené operátory 428

( 1572 )

429

ˆ ≡K ˆ − Jˆ , A 1 2 ˆ + Jˆ Bˆ ≡ K 2

( 1573 )

1

vyhovují komuta ním relacím

ˆ , Bˆ = 0 , A ˆ = iBˆ , Jˆ 3 , A

( 1574 )

ˆ. J 3 , Bˆ = −iA Z první z nich okamžit vidíme, že v uvažovaném p ípad lze kety k , ξ vystupující ve formuli ( 1520 ) zvolit tak, aby p edstavovaly spole né ˆ , Bˆ . vlastní vektory operátor A Na druhé stran však z posledních dvou komuta ních relací plyne

( ) ( ) ˆ sin ϕ + Bˆ cos ϕ , exp ( iϕ Jˆ ) Bˆ exp ( −iϕ Jˆ ) = A

ˆ exp −iϕ Jˆ = A ˆ cos ϕ − Bˆ sin ϕ , exp iϕ Jˆ 3 A 3 3

( 1575 )

3

a tedy jestliže ket k , ξ ≡ k , a, b, λ je spole ným vlastním vektorem ˆ , Bˆ p íslušným k vlastním hodnotám a, resp. b, tj. vyhovuje operátor A rovnicím

Pˆ µ k , a, b, λ = k µ k , a, b, λ , ˆ k , a , b, λ = a k , a , b, λ , A

( 1576 )

Bˆ k , a, b, λ = b k , a, b, λ , potom pro ket

(

)

k , a′, b′, λ ≡ exp −iϕ Jˆ 3 k , a, b, λ

( 1577 )

429

430

platí

Pˆ µ k , a′, b′, λ = k µ k , a′, b′, λ , ˆ k , a′, b′, λ = a′ k , a′, b′, λ , A

( 1578 )

Bˆ k , a′, b′, λ = b′ k , a′, b′, λ , kde

a′ ≡ a cos ϕ − b sin ϕ , b′ ≡ a sin ϕ + b cos ϕ .

( 1579 )

Odtud vidíme, že pokud v prostoru uvažované reprezentace Poincaréovy grupy existuje vlastní vektor ty impulsu p íslušný k vlastní hodnot kµ, který je sou asn spole ným vlastním vektorem samosdružených ˆ , Bˆ p íslušným k vlastním hodnotám, a resp. b, potom operátor A v n m existuje také vektor, který je vlastním vektorem ty impulsu pat ícím k téže vlastní hodnot kµ, a p itom je spole ným vlastním ˆ , Bˆ p íslušným k vlastním hodnotám a′, b′, definovaným vektorem A formulí ( 1579 ), v níž ϕ m že mít libovolnou hodnotu z intervalu 0, 2π). V dalším se omezíme pouze na p ípad a = b = 0 a nazveme

k , λ ≡ k ,0,0, λ .

( 1580 )

Odpovídající reprezentace malé grupy ISO(2) je jednorozm rná a parametr λ m žeme identifikovat s vlastní hodnotou operátoru Jˆ 3 , tj. ket k , λ vyhovuje rovnici

Jˆ 3 k , λ = λ k , λ .

( 1581 )

Z formule ( 1573 ) navíc vidíme, že pro n j platí relace

430

431

ˆ k , λ = Jˆ k , λ , K 1 2

( 1582 )

ˆ k , λ = −Jˆ k , λ . K 2 1

Odtud, s využitím ( 1492 ), již snadno zjistíme, že tento ket vyhovuje také rovnicím

ˆ 0 k,λ = W ˆ 3 k,λ = λ k,λ , W

( 1583 )

ˆ 1 k,λ = W ˆ 2 k,λ = 0 . W

Tedy ket k , λ je také spole ným vlastním vektorem všech ty komponent Pauli-Lubanského vektoru, a to takovým, že

ˆ µ k, λ = λk µ k, λ , W

( 1584 )

a tedy také ˆ W ˆ µ k,λ = W µ

( ) ( ) ˆ0 W

2

ˆ3 − W

2

k,λ = 0 .

( 1585 )

Uvažovaná t ída ireducibilních reprezentací je tak charakterizována ˆ 2. nulovými vlastními hodnotami obou Casimirových operátor Pˆ 2 , W Vlastní hodnoty operátoru Jˆ 3 mohou v prostoru libovolné unitární reprezentace Poincaréovy grupy nabývat pouze celých nebo poloelých hodnot, a tedy parametr λ, vystupující v ketu k , λ m že být roven kterémukoliv z celých nebo polocelých ísel. Z formule ( 1569 ) vidíme, že v diskutovaném p ípad lze matici W ( , p ) , definovanou formulí ( 1522 ), vyjád it jako

W ( , p ) = S (α ( , p ) , β ( , p ) ) R ( e 3 , ϕ ( , p ) ) ,

( 1586 )

a tedy odpovídající operátor vystupující na levé stran rovnosti ( 1524 ) má tvar

431

432

{

}

ˆ + β ( , p ) Bˆ exp iϕ ( , p ) Jˆ ˆ ( W ( , p ) ) = exp i α ( , p ) A U 3 ( 1587 ) a díky relacím ( 1581 ), ( 1582 ) je v uvažovaných reprezentacích

{

ˆ + β ( , p ) Bˆ ˆ ( W ( , p ) ) k , λ = exp i α ( , p ) A U

}⋅

⋅ exp iϕ ( , p ) Jˆ 3 k , λ = exp ( iλϕ ( , p ) ) k , λ = Dλ′λ ( W ( , p ) ) k , λ ′ ,

= λ′

( 1588 )

tj.

Dλ′λ ( W ( , p ) ) = δ λλ′ exp ( iλϕ ( , p ) ) .

( 1589 )

ted y v diskutovaném p ípad transforma ní zákon ( 1525 ) nabývá tvaru

ˆ U

p, λ =

N ( p)

N ( p)

exp ( iλϕ ( , p ) ) p, λ .

( 1590 )

Pokud jde o normaliza ní konstantu N (p), je situace naprosto stejná jako ve d íve uvažovaném p ípad ástice s nenulovou hmotou. Pokud jde o transformaci L(p), zvolíme ji tak, aby co nejvíce odpovídala výše popsané volb B v p ípad ástice s nenulovou hmotou: nejprve provedeme takový boost rychlostí –we3 , aby ty vektor ur ený ve výchozí soustav komponentami kµ ≡ {1, 0, 0, 1}, m l v nové soustav komponenty {p0, 0, 0, p0}, následovaný pooto ením o úhel ϕ kolem téže osy a potom provedeme takové nato ení kolem osy p × e3 ,aby odpovídající výsledný t ívektor m l požadovaný p m l požadovaný sm r ˆ ( L ( p ) ) budeme rozum t p . P esn ji e eno, v dalším pod operátorem U

ˆ (L ( p )) ≡ R ˆ ( p ) Bˆ ( u ) , U

( 1591 )

kde

432

433

(

) (

ˆ ( p ) ≡ exp −iϕ Jˆ exp −iϕ Jˆ R 3 2

)

( 1592 )

a

(

)

ˆ , Bˆ ≡ exp −iuK 3

( 1593 )

kde ϑ ∈ 0. π), ϕ ∈ 0, 2π) jsou sférické úhly vektoru p a u je rapidita odpovídající výše zmín né rychlosti: 2

tanh u = w =

p −1 2

p +1

,

( 1594 )

tj.

cosh u = sinh u =

2

1 1− w

2

2p

, ( 1595 )

2

w 1− w

=

p +1

2

=

p −1 2p

.

Ponecháváme tená i jako jednoduché cvi ení, aby na základ relace ( 1537 ) dokázal, že pro kety

(

) (

) (

)

ˆ k,λ p, λ ≡ N ( p ) exp −iϕ Jˆ 3 exp −iϕ Jˆ 2 exp −iuK 3

( 1596 )

platí

ˆ0 W Jˆ ⋅ Pˆ p, λ = p, λ = λ p, λ , ˆP ˆP

( 1597 )

a tedy kety vystupující ve formuli ( 1590 ) p edstavují vlastní stavy helicity. Zavedeme nyní operátory 433

434

ˆ (P) , Pˆ ≡ U

( 1598 )

ˆ (T) Tˆ ≡ U

p i azené inverzím. Tyto operátory musí v libovolné unitární reprezentaci Lorentzovy grupy spl ovat relace ˆ( Pˆ U

( n,ϕ ) ) Pˆ −1 = Uˆ ( ( n,ϕ ) ) , ˆ ( ( n, v ) ) Pˆ −1 = U ˆ ( ( −n, v ) ) , Pˆ U

( 1599 )

ˆ( Tˆ U

( n,ϕ ) ) Tˆ −1 = Uˆ ( ( n,ϕ ) ) , ˆ ( ( n, v ) ) Tˆ −1 = U ˆ ( ( −n, v ) ) . Tˆ U

( 1600 )

Snadno nahlédneme, že také skládáním asové a prostorové inverze transformacemi Poincaréovy grupy obdržíme op t grupu. Uvážíme-li, že posunutí sou adné soustavy o a následované asovou (prostorovou) inverzí je ekvivalentní s asovou (prostorovou) inverzí následovanou posunutím o a (o –a) a že asové o a0 následované prostorovou ( asovou) inverzí je ekvivalentní prostorové ( asové) inverzi následované asovým posunutím o a0 (o –a0), vidíme, že v libovolné unitární reprezentaci této grupy musí navíc platit

( ) Pˆ exp ( −iPˆ a ) Pˆ

( ) = exp ( iPˆ a ) ,

( 1601 )

( ) = exp ( −iPˆ a ) .

( 1602 )

Pˆ exp iPˆ 0 a0 Pˆ −1 = exp iPˆ 0 a0 , −1

( ) Tˆ exp ( −iPˆ a ) Tˆ

Tˆ exp iPˆ 0 a0 Tˆ −1 = exp −iPˆ 0 a0 , −1

434

435

V p ípad infinitesimálních vlastních lorentzových transformací a translací m žeme požadavky ( 1599 ) až ( 1602 ) vyjád it v termínech generátor Poincaréovy grupy jako

Pˆ iJˆ Pˆ −1 = iJˆ , ˆ Pˆ −1 = −iK ˆ , Pˆ iK

( 1603 )

Pˆ iPˆ Pˆ −1 = −iPˆ , ˆ Pˆ −1 = iH ˆ , Pˆ iH Tˆ iJˆ Tˆ −1 = iJˆ , ˆ Tˆ −1 = −iK ˆ , Tˆ iK

( 1604 )

Tˆ iPˆ Tˆ −1 = −iPˆ , ˆ Tˆ −1 = iH ˆ . Tˆ iH

Z posledních z relací ( 1603 ), ( 1604 ) je zejmé, že operátor prostorové inverze Pˆ musí být lineárním, kdežto operátor asové inverze Tˆ musí být antilineárním. Tedy relace ( 1603 ), ( 1604 ) mezi operátory reprezentujícími inverze a operátory reprezentujícími generátory Poincaréovy grupy lze ekvivalentn zapsat ve tvaru komuta ních a antikomuta ních relací

{ } { }

( 1605 )

{ } { }

( 1606 )

ˆ Jˆ = P, ˆ Pˆ = P, ˆK ˆ = P, ˆH ˆ =0, P, ˆ Jˆ = T, ˆ Pˆ = T, ˆK ˆ = T, ˆH ˆ = 0. T,

Kety k , ξ vyhovující rovnici ( 1533 ) p edstavují spole né vlastní ˆ , Jˆ , Pˆ p íslušné k vlastním hodnotám {M, ξ, 0}. vektory operátor H

{

3

}

Z komuta ních relací ( 1605 ) okamžit vidíme, že totéž je pravdou o ketu Pˆ k , ξ , a tedy musí platit P Pˆ k , ξ = η ( ) k , ξ ,

( 1607 ) 435

436

kde vnit ní parita uvažované ástice musí spl ovat podmínku

η ( P) = 1

( 1608 )

plynoucí z unitarity operátou Pˆ . K tomu, abychom mohli nalézt vyjád ení pro ket Pˆ p, ξ , musíme nejprve specifikovat transformaci L(p), nebo p esn ji operátor ˆ ( L ( p ) ) , vystupující v definici ( 1520 ). U V p ípad báze p, ξ , tvo ené vlastními vektory t etí složky kovariantního spinu, tj. když je

(

)

ˆ k ,ξ , p, ξ ≡ N ( p ) exp −iuv ⋅ K

( 1609 )

kde u je rapidita odpovídající velikosti rychlosti ( 1549 ), tj. definovaná vztahy ( 1554 ), dostáváme z antikomuta ních relací ( 1605 )

ˆ Pˆ k , ξ = N ( p ) η ( P ) Pp, ξ . Pˆ p, ξ ≡ N ( p ) exp iuv ⋅ K N ( Pp )

(

)

( 1610 )

P i volb ( 1546 ), stejn jako p i volb ( 1547 ) je spln na podmínka

N ( p ) = N ( Pp ) ,

( 1611 )

ímž se relace ( 1610 ) zjednoduší na P Pˆ p, ξ = η ( ) Pp, ξ .

( 1612 )

V p ípad báze tvo ené vlastními vektory helicity, tj. když

(

)

ˆ ( p ) exp −iuK ˆ k,λ , p, ξ ≡ p, λ = N ( p ) R 3 kde 436

( 1613 )

437

(

) (

)

ˆ ( p ) = exp −iϕ Jˆ exp −iϑ Jˆ , R 3 2

( 1614 )

p i emž sférické úhly vektoru p leží v intervalech ϑ ∈ 0, π) ϕ∈ 0, 2π), z relací ( 1605 ) dostáváme

(

)

ˆ ( p ) exp iuK ˆ Pˆ k , λ = Pˆ p, λ = N ( p ) R 3 =η

( P)

(

( 1615 )

)

ˆ ( p ) exp iuK ˆ k,λ . N ( p)R 3

Vzpomeneme-li si, že

(

)

j −λ k , λ ′ exp −iπ Jˆ 2 k , −λ = δ λλ′ ( −1) ,

( 1616 )

kde j je velikost spinu uvažované ástice, vidíme, že

k , λ = ( −1)

j −λ

(

)

exp iπ Jˆ 2 k , −λ .

( 1617 )

Na druhé stran z komuta ních relací

ˆ = iε K ˆ Jˆ j , K k jkl l

( 1618 )

víme, že

(

)

(

)

ˆ exp −iα Jˆ = K ˆ cos α + K ˆ sin α , exp −iα Jˆ 2 K 3 2 3 1

( 1619 )

a tedy

(

) (

)

(

) (

)

ˆ exp iπ Jˆ = exp iπ Jˆ exp −iuK ˆ , exp iuK 3 2 2 3 což nám umož uje relaci ( 1615 ) p epsat do tvaru

437

( 1620 )

438

(

) (

)

j −λ ˆ ( p ) exp iπ Jˆ exp −iuK ˆ k , −λ . Pˆ p, λ = η ( P ) ( −1) N ( p ) R 2 3

( 1621 ) Uvážíme-li, že sférickými úhly sm ru −p jsou ϑ′ = π –ϑ, ϕ′ = ϕ ±π , kde horní znaménko platí pro ϕ <π a dolní pro ϕ ≥π , vidíme, že

(

) (

)

ˆ ( −p ) ≡ exp −i (ϕ ± π ) Jˆ exp −i (π − ϑ ) Jˆ , R 3 2

( 1622 )

a tedy

(

)

( ) ( ) × exp ( −iϕ Jˆ ) exp ( −i (ϑ − π ) Jˆ ) = = exp ( −i (ϑ − π ) Jˆ ) exp ( ±iπ Jˆ ) × × exp ( −i (ϑ − π ) Jˆ ) = exp ( ±iπ Jˆ ) ,

ˆ −1 ( −p ) R ˆ ( p ) exp iπ Jˆ = exp −i (ϑ − π ) Jˆ exp −i (ϕ ± π ) Jˆ × R 2 2 3 3

2

2

3

2

3

( 1623 )

kde jsme využili toho, že díky komuta ní relaci

Jˆ 2 , Jˆ 3 = iJˆ 1

( 1624 )

je

(

) (

)

(

) (

)

exp ±iπ Jˆ 3 exp iα Jˆ 2 = exp −iα Jˆ 2 exp ±iπ Jˆ 3 .

( 1625 )

Díky vztahu ( 1623 ) lze relaci ( 1621 ) ekvivalentn vyjád it ve tvaru

(

)

j −λ P ˆ ( −p ) exp −iuK ˆ exp ( iπλ ) k , −λ = Pˆ p, λ = η ( ) ( −1) N ( p ) R 3

= η ( P ) ( −1)

j −λ

N ( p)

N ( Pp )

exp ( iπλ ) Pp, −λ ,

který se p i spln ní rovnosti ( 1611 ) zjednoduší na

438

( 1626 )

439 j −λ Pˆ p, λ = η ( P ) ( −1) exp ( iπλ ) Pp, −λ .

( 1627 )

Práv nalezené výsledky dokazují, že unitární ireducibilní reprezentaci Poincaréovy grupy realizovanou v Hilbertov prostoru stav jakékoliv ástice s nenulovou hmotou lze vždy doplnit operátorem Pˆ , spl ujícím všechny podmínky kladené na operátor reprezentující prostorovou inverzi. Pro nehmotné ástice to však již obecn možné není. Sta í si uv domit, že z relací ( 1605 ) plane

Jˆ ⋅ Pˆ Jˆ ⋅ Pˆ ˆ Pˆ =− P, ˆP ˆP

( 1628 )

a proto p sobením operátoru prostorové inverze na libovolný vlastní vektor helicity obdržíme op t vlastní vektor helicity, který však p ísluší k opa né vlastní hodnot . Z p edchozího však víme, že v p ípad libovolné ireducibilní reprezentace Poincaréovy grupy realizované na Hilbertov prostoru nehmotné ástice nabývá helicita jedinou hodnotu λ . K tomu, aby bylo možno na Hilbertov prostoru nehmotné ástice definovat operátor prostorové inverze, musí na n m reprezentace Poincaréovy grupy p edstavovat direktní sou et alespo dvou ireducibilních reprezentací, z nichž jedna odpovídá helicit λ a ta druhá helicit –λ . Je zžejmé, že pro jeden pevn vybraný impuls p m žeme vždy požadovat, aby platilo

Pˆ p, λ = ζ Pp, −λ ,

( 1629 )

kde ζ je íslo s jednotkovou absolutní hodnotou. Konkrétní volba je op t otázkou pouhé konvence. Provedeme ji tak, aby byla co nejpodobn jší volb , p ijaté u ástice s nenulovou hmotou. Povšimn me si proto, že pro M ≠ 0 z formulí ( 1607 ), ( 1617 ) plyne relace 439

440

ˆ k , λ = η ( P ) ( −1) j −λ k , −λ , Y

( 1630 )

kde j je spin uvažované ástice a operátor

(

)

ˆ ≡ exp −iπ Jˆ Pˆ Y 2

( 1631 )

reprezentuje zrcadlení v rovin {e1,e3}. Pod spinem nehmotné ástice definitoricky rozumíme absolutní hodnotu její helicity. Proto v p ípad M = 0 budeme požadovat

ˆ k , λ = η ( P ) k , −λ Y

pro λ ≥ 0 .

( 1632 )

Zopakováním postupu, jenž nás p ivedl k formuli ( 1627 ), pak již snadno zjistíme, že pro libovolný impuls p je p i λ ≥ 0

Pˆ p, λ = η ( P ) exp ( iπλ ) Pp, −λ ,

( 1633 )

kde horní, resp. dolní znaménko platí, když úhel ϕ sm ru p je menší, resp. v tší nebo roven π . Z relací ( 1606 ) vidíme, že ket Tˆ k , ξ je spole ným vlastním vektorem t chže operátor p íslušným k vlastním hodnotám {M, –ξ, 0}, a tedy musí být

Tˆ k , ξ = ζ ξ k , −ξ ,

( 1634 )

kde |ζξ | = 1. V d sledku antilinearity operátoru Tˆ však toto íslo závisí na ξ . Aplikací operátoru Tˆ na ob strany rovnosti ( 1534 ) dostáváme

(

)

− Jˆ 1 iJˆ 2 Tˆ k,ξ = α ( ± ) ( j , ξ ) Tˆ k,ξ ± 1 ,

440

( 1635 )

441

tj.

−α (

)

( j, −ξ ) ζ ξ

k , −ξ 1 = −α (

±)

( j,ξ ) ζ ξ ±1

k , −ξ 1 ,

( 1636 )

a tedy

ζ ξ ±1 = −ζ ξ ,

( 1637 )

nebo

α(

)

( j, −ξ ) = α ( ± ) ( j,ξ ) .

( 1638 )

Obecné ešení relací ( 1637 ) m žeme vyjád it ve tvaru

ζ ξ = η (T ) ( −1)

j −ξ

,

( 1639 )

tj. rovnost ( 1634 ) up esnit jako j −ξ Tˆ k,ξ = η (T ) ( −1) k , −ξ ,

( 1640 )

kde

η (T ) = 1 .

( 1641 )

K tomu, abychom mohli vyjád it ket p, ξ , musíme nejprve ˆ ( L ( p ) ) , vystupující v definici ( 1520 ). specifikovat operátor U

V p ípad báze p, ξ , tvo ené vlastními vektory t etí složky kovariantního spinu z relace ( 1600 ) víme, že

(

)

(

)

ˆ Tˆ −1 = exp −iuv ⋅ K ˆ , Tˆ exp −iuv ⋅ K

( 1642 )

díky emuž po aplikaci operátoru Tˆ na ob strany rovnosti ( 1609 ) dostáváme 441

442

(

)

ˆ Tˆ k , ξ = Tˆ p, ξ = N ∗ ( p ) exp iuv ⋅ K =η

(T )

( −1)

j −ξ

Tˆ p, ξ = η

(T )

( −1)

j −ξ

(

)

ˆ k , −ξ , N ( p ) exp iuv ⋅ K ∗

( 1643 )

a tedy

N ∗ ( p)

N ( Pp )

Pp, −ξ .

( 1644 )

P i volb normaliza ních konstant reálných a vyhovujících požadavku ( 1611 ) se relace ( 1644 ) zjednoduší na j −ξ Tˆ p, ξ = η (T ) ( −1) Pp, −ξ .

( 1645 )

V p ípad báze tvo ené vlastními vektory helicity, tj. když

(

)

ˆ ( p ) exp −iuK ˆ k,λ , p, λ = N ( p ) R 3

( 1646 )

využijeme toho, že na základ formulí ( 1617 ), ( 1640 ) víme, že

(

)

j −λ exp −iπ Jˆ 2 k , λ = ( −1) k , −λ ,

Tˆ k,λ = η

(T )

( −1)

j −λ

k , −λ ,

( 1647 )

a tedy

(

)

2j Tˆ k , λ = η (T ) ( −1) exp iπ Jˆ 2 k , λ

( 1648 )

a že díky relacím ( 1600 ) platí nejen vztah ( 1642 ), ale také

ˆ (p ) = R ˆ ( p ) Tˆ . Tˆ R

( 1649 )

Aplikací operátoru Tˆ na ob strany rovnosti ( 1646 ) tak dostáváme 442

443

(

)

ˆ ( p ) exp iuK ˆ Tˆ k , λ = Tˆ p, λ = N ∗ ( p ) R 3

( ) ( ) ( p ) Rˆ ( p ) exp ( iπ Jˆ ) exp ( −iuKˆ ) k , λ

=η(

T)

( −1)

2j

ˆ ( p ) exp iuK ˆ exp iπ Jˆ k , λ = N ∗ ( p)R 3 2

=η(

T)

( −1)

2j

N∗

(T )

( −1)

2j

=η

N ∗ ( p)

N ( Pp )

2

3

=

Pp, λ ,

( 1650 ) kde jsme k obdržení poslední rovnosti využili výsledku ( 1623 ). P i obvyklých normalizacích, kdy je N ∗ ( p ) = N ( Pp ) , se nalezený transforma ní zákon zjednoduší na 2j Tˆ p, λ = η (T ) ( −1) exp ( ±iπλ ) Pp, λ .

( 1651 )

V p ípad ástice s nulovou hmotou z relací ( 1479 ), ( 1480 ), ( 1606 ) snadno zjistíme, že ket Tˆ p, λ , kde p, λ je spole enským vlastním vektorem operátor Pˆ µ a helicity p íslušným k vlastním hodnotám pµ a λ, p edstavuje op t vlastní vektor zmín ných operátor p íslušný k t mže vlastním hodnotám. Tedy jist m žeme pro vybraný impuls p požadovat, aby platilo

(

)

exp −iπ Jˆ 2 Tˆ p, λ = ζ λ p, λ .

( 1652 )

V zájmu co nejužší analogie s d íve diskutovaným p ípadem ástice s nenulovou hmotou použijeme konvenci

(

)

2λ exp −iπ Jˆ 2 Tˆ p, λ = η (T ) ( −1) p, λ .

( 1653 )

Zopakováním krok , jež nás p ivedli k formuli ( 1651 ), pak obdržíme hledaný transforma ní zákon ve tvaru 2λ Tˆ p, λ = η (T ) ( −1) exp ( ±iπλ ) Pp, λ .

443

( 1654 )

444

Všimn me si, že operátor asové inverze je možno, na rozdíl od operátoru inverze prostorové, definovat na Hilbertov prostoru nehmotné ástice s nulovou helicitou i tehdy, jedná-li se o prostor p íslušný ireducibilní reprezentaci Poincaréovy grupy, tj. asová inverze nevyžaduje, aby pro nehmotnou ástici, která m že být ve stavu s helicitou λ, nutn existovaly také stavy s helicitou –λ . Ze vztahu ( 1645 ) dostáváme

( ) ( −1)

T Tˆ 2 p, ξ = η ( )

∗

j −ξ

Pp, −ξ = ( −1)

2j

p, ξ .

( 1655 )

Podobn ze vztahu ( 1654 ) s p ihlédnutím k antilinearit operátoru Tˆ obdržíme

( ) ( −1)

T Tˆ 2 p, λ = η ( )

∗

2λ

exp ( iπλ ) Tˆ Pp, λ =

= exp ( 2iπλ ) p, λ = ( −1)

2λ

p, λ ,

( 1656 )

kde jsme k obdržení prost ední rovnosti využili faktu, že pokud druhá komponenta impulsu p je kladná, tj. odpovídající úhel ϕ < π , potom druhá komponenta impulsu –p je záporná, tj. odpovídající úhel ϕ > π a naopak. Kvadrát operátoru asové inverze je pro ástice s celým spinem roven operátory identity, kdežto pro ástice se spinem polocelým se od n j liší znaménkem. Již v rámci kvantové elektrodynamiky jsme poznali, jak užite ným nástrojem pro popis soustav nerozlišitelných ástic p edstavují krea ní a anihila ní operátory. Definujme proto nyní anihila ní operátory aˆ − ( p, ξ ) tak, že aˆ − ( p, ξ ) 0 = 0 .

( 1657 )

Operátory jim sdružené p edstavují operátory krea ní:

444

445

aˆ + ( p, ξ ) 0 = p, ξ .

( 1658 )

P itom jsou spln ny bu komuta ní, nebo antikomuta ní relace

aˆ − ( p, ξ ) , aˆ − ( p′, ξ ′ ) aˆ

−

( p,ξ ) , aˆ ( p′,ξ ′ ) +

= aˆ + ( p, ξ ) , aˆ + ( p′, ξ ′ )

=0,

( 1659 )

= 2 Ef ( p ) δ ξξ ′δ ( p − p′ ) ,

z nichž poslední zaru uje, že kety p, ξ dané vztahem ( 1658 ) spl ují normaliza ní podmínku

p, ξ p′, ξ ′ = 2 Ef ( p ) δ ξξ ′δ ( p − p′ ) .

( 1660 )

Dále budeme požadovat, aby platila rovnost

ˆ 0 = Jˆ 0 = K ˆ 0 =0, Pˆ 0 = H Pˆ 0 = Tˆ 0 = 0 ,

,

( 1661 )

a též relace

ˆ ( , a ) aˆ + ( p, ξ ) U ˆ † ( , a ) = N ( p ) exp ( ia p ) ⋅ U N ( p) j

⋅

Dξ( ′ξj ) ( W ( , p ) ) aˆ + ( p, ξ ′ ) ,

( 1662 )

ξ ′=− j

díky nimž kety p, ξ ur ené vztahem ( 1658 ) budou vyhovovat transforma nímu zákonu

ˆ ( , a ) p, ξ = U

N ( p)

N ( p)

j

exp ( ia p )

Dξ( ′ξj ) ( W ( , p ) )

p, ξ ′ .

ξ ′=− j

( 1663 )

Dále budou spln ny relace

445

446

N ( p ) ( P) Pˆ p, ξ = η Pp, ξ , N ( Pp ) j −ξ Tˆ p, ξ = ( −1)

N ∗ ( p)

N ( Pp )

( 1664 )

η (T ) Pp, −ξ ,

pokud

N ( p ) ( P) + Pˆ aˆ + ( p, ξ ) Pˆ −1 = η aˆ ( Pp, ξ ) , N ( Pp ) T Tˆ aˆ + ( p, ξ ) Tˆ −1 = η ( ) ( −1)

j −ξ

N∗ ( p)

N ( Pp )

( 1665 )

aˆ + ( Pp, −ξ ) .

Porovnáním veli in prvního ádu v aµ ve formuli ( 1662 ) pro Λ = 1 dostáváme

Pˆ µ , aˆ + ( p, ξ ) = p µ aˆ + ( p, ξ ) ,

( 1666 )

tj. operátor a + ( p, ξ ) hraje úlohu posunovacího operátoru, zvedajícího ˆ o p 2 + m 2 a posunujícího vlastní hodnotu vlastní hodnotu operátoru H operátoru Pˆ o p. tento operátor lze tedy vskutku interpretovat jako operátor rodící ástici, která má hmotu m a impuls p. Po ínaje formulí ( 1540 ) jsme všechny vztahy uvád li ve tvaru platném p i libovolné volb funkcí N (p), f (p), omezené pouze požadavkem invariance pom ru f (p)/ |N (p)|2 v i Lorentzovým transformacím. V dalším již budeme pracovat v duchu d íve zavedené konvence: budeme rezervovat k ozna ení t chto Symboly p, ξ , aˆ − ( p, ξ ) , veli in p i volb N (p) = f(p) = 1, kdežto tytéž veli iny p i volb 1 E budeme ozna ovat p, ξ , aˆ − ( p, ξ ) , , tj. f ( p) = , N ( p) = 0 2E k místo relací ( 1659 ) – ( 1665 ) bude nyní platit

446

447

p, ξ p′, ξ ′ = 2 Eδ ξξ ′δ ( p − p′ )

( 1667 )

aˆ − ( p, ξ ) , aˆ − ( p′, ξ ′ )

= aˆ + ( p, ξ ) , aˆ + ( p′, ξ ′ )

aˆ − ( p, ξ ) , aˆ + ( p′, ξ ′ )

= 2 Eδ ξξ ′δ ( p − p′ ) ,

ˆ ( , a ) aˆ + ( p, ξ ) U ˆ † ( , a ) = exp ( ia p ) U

j

=0,

( 1668 )

Dξ( ′ξj ) ( W ( , p ) ) aˆ + ( p, ξ ′ ) ,

ξ ′=− j

( 1669 )

Pˆ aˆ + ( p, ξ ) Pˆ −1 =η aˆ + ( Pp, ξ ) , ( P)

( 1670 )

j −ξ T Tˆ aˆ + ( p, ξ ) Tˆ −1 = η ( ) ( −1) aˆ + ( Pp, −ξ ) .

respektive

p, ξ p′, ξ ′ = δ ξξ ′δ ( p − p′ )

( 1671 )

aˆ − ( p, ξ ) , aˆ − ( p′, ξ ′ )

= aˆ + ( p, ξ ) , aˆ + ( p′, ξ ′ )

aˆ ( p, ξ ) , aˆ ( p′, ξ ′ )

= δ ξξ ′δ ( p − p′ ) ,

−

+

=0,

P Pˆ aˆ + ( p, ξ ) Pˆ −1 =η ( )aˆ + ( −p, ξ ) , j −ξ Tˆ aˆ + ( p, ξ ) Tˆ −1 = η (T ) ( −1) aˆ + ( −p, −ξ ) ,

(

ˆ ( , a ) aˆ + ( p, ξ ) U ˆ † ( ,a) = U

p)

0

E j

⋅

( 1672 )

( 1673 )

exp ( ia p ) ⋅

Dξ( ′ξj ) ( W ( , p ) ) aˆ + ( p, ξ ′ ) ,

( 1674 )

ξ ′=− j

p jsme ozna ili t ívektor s komponentami

kde

(

p ) ≡ Λk µ pµ = Λk j p j + Λk 0 E . k

( 1675 ) 447

448

Definujme nyní ket ⋅ a+ ( p N ,ξ N ) 0 . ( 1676 ) Díky formulím ( 1666 ) a ( 1661 ) víme, že se jedná o spole ný vlastní ˆ p íslušný k vlastním hodnotám odpovídajícím vektor operátor Pˆ a H celkovému impulsu a energii soustavy N ástic, z nichž každá má hmotu m, a p itom jedna z nich má impuls p1, jiná p2, jiná pN . Navíc, z formulí ( 1674 ), ( 1661 ) vidíme, že pokud je systém z hlediska naší soustavy ve stavu popsaném ketem ( 1676 ), potom z hlediska soustavy, která z ní vznikne Poincaréovu transformací, je ve stavu popsaném ketem p1 , ξ1 ; p 2 , ξ 2 ;

; p N , ξ N ≡ a + ( p1 , ξ1 ) a + ( p 2 , ξ 2 ) ⋅

ˆ ( , a ) p ,ξ ; p ,ξ ; U 1 1 2 2

N

; p N ,ξ N =

∏ k =1

j

⋅

Dξ( ′ξ) ( W ( , p ) ) j

p1 , ξ1′; p2 , ξ 2′ ;

(

p) E

0

(

)

exp ia p( k ) ⋅

; pN , ξ N′ ,

ξ ′=− j

( 1677 ) tj. vektor ( 1676 ) se transformuje jako direktní sou in vektor odpovídajících p íslušným jedno ásticovým stav m. Podobn z formulí ( 1673 ) díky platnosti relací ( 1661 ) obdržíme

Pˆ p1 , ξ1 ; p 2 , ξ 2 ;

( )

; p N ,ξ N = η

( P)

N

−p1 , ξ1 ; −p 2 , ξ 2 ;

; −p N , ξ N , ( 1678 )

resp.

Tˆ p1 , ξ1 ; p 2 , ξ 2 ;

( )

; p N , ξ N = η (T ) N

⋅

N

⋅

∏ ( −1)

j −ξ

−p1 , −ξ1 ; −p 2 , −ξ 2 ;

; −p N , −ξ N .

k =1

( 1679 )

448

449

Nalezené výsledky ukazují, že kety p1 , ξ1 ; p 2 , ξ 2 ; ; p N , ξ N lze bezesporn interpretovat jako vektory popisující N nerozlišitelných ástic, z nichž jedna má impuls p1 a t etí složku kovariantního spinu ξ1, jiná impuls p2 a t etí složku kovariantního spinu ξ2 , … , a p itom se jedná o bosony nebo fermiony, v závislosti na tom, zda ve formulích ( 1672 ) platí komuta ní i antikomuta ní relace. Jestliže p íslušná ástice nemá žádné další stupn volnosti, potom Hilbert v prostor diskutovaného fyzikálního systému m žeme ztotožnit s prostorem, jehož báze je tvo ena kety ( 1676 ) pro N = 0, … , ∞. Takto zkonstruovaný Hilbert v prostor budeme nazývat Fockovým prostorem. Libovolný element Φ ∈ rozvoje

m žeme vyjád it ve tvaru

c1 ( p1 , ξ1 ) p1 , ξ1 +

Φ = c0 0 + d 3p1 ξ1

+

1 d 3p1d 3p 2 c2 ( p1 , ξ1 , p 2 , ξ 2 ) p1 , ξ1 , p 2 , ξ 2 + 2! ξ1 ,ξ 2 ∞

= N =0

1 d 3p1 N!

cN ( p1 , ξ1 ,

d 3p N

, p N , ξ N ) p1 , ξ1 ,

, p N ,ξ N

ξ1 , ,ξ 2

kde komplexní funkce cN ( p1 , ξ1 , znaménko p i zám n

=

( p ,ξ ) j

j

, p N ,ξ N )

( 1680 ) jsou invariantní, resp. m ní

( p k ,ξ k ) pro libovolnou dvojici j ≠ k,

kde j, k = 1, … , N, v závislosti na tom, zda ve formuli ( 1672 ) platí komuta ní, i antikomuta ní relace. Z komuta ních relací ( 1672 ) snadno plyne vztah

0 aˆ − ( p N , ξ N )

aˆ − ( p1 , ξ1 ) aˆ + ( p1′ , ξ1′)

aˆ + ( p′N , ξ N′ ) 0 =

δ ξ ξ ′ δ ( p1 − p′i )

= δ NN ′ P

1 i1

1

kde suma probíhá p es všechny permutace

449

δξ

N ξi′N

δ ( p N − p′i ) , N

( 1681 )

450

N iN

1

i1

.

( 1682 )

Díky n mu pro koeficienty rozvoje ( 1680 ) obdržíme výraz

cN ( p1 , ξ1 ,

, p N ,ξ N ) =

1 p1 , ξ1 , N!

, p N ,ξ N Φ ,

( 1683 )

po jehož dosazení do tohoto rozvoje obdržíme relaci uzav enosti ∞

1= N =0

1 d 3p1 N!

p1 , ξ1 ,

d 3p N

, p N , ξ N p1 , ξ1 ,

, p N ,ξ N ,

ξ1 , ,ξ 2

( 1684 ) v níž N – tý len na pravé stran není ni ím jiným, než projek ním operátorem do N – ásticového podprostoru, tj. do prostoru N – ásticových stav studovaného systému. Pomocí této relace m.j. ihned dostaneme vyjád ení kvadrátu normy vektoru ( 1680 ) ve tvaru 2

∞

Φ ≡ ΦΦ =

d 3p1

cN ( p1 , ξ1 ,

d 3p N

, p N ,ξ N ) . 2

ξ1 , ,ξ 2

N =0

( 1685 ) V p ípad antikomuta ních relací ( 1672 ) obdržíme místo ( 1681 ) vztah 0 aˆ − ( p N , ξ N )

aˆ − ( p1 , ξ1 ) aˆ + ( p1′ , ξ1′)

aˆ + ( p′N , ξ N′ ) 0 =

ε Pδ ξ ξ ′ δ ( p1 − p′i )

= δ NN ′ P

1 i1

1

δξ

N ξi′N

δ ( p N − p′i ) , N

( 1686 )

kde εP je parita permutace. Formule ( 1683 ) – ( 1685 ) však z stanou v platnosti bez jakékoli zm ny. Práv nalezené výsledky nám dovolují interpretovat komplexní funkci cN ( p1 , ξ1 , , p N , ξ N ) jako amplitudu hustoty pravd podobnosti nalezení práv N ástic ve stavu uvažovaného systému popsaném vektorem Φ , 450

451

z nichž jedna bude mít t etí komponentu kovariantního spinu rovnu ξ1 a impuls p1 , N-tá t etí komponentu kovariantního spinu ξN impuls pN . Definujeme-li

ˆ (ξ ) ≡ d 3paˆ + ( p, ξ ) aˆ − ( p, ξ ) , N

( 1687 )

potom na základ formule ( 1672 ), nezávisle na tom, zda v ní vystupují komuta ní i antikomuta ní relace, snadno zjistíme, že tento operátor vyhovuje komuta ním relacím

ˆ (ξ ) , aˆ + ( p, ξ ) = δ ′aˆ + ( p, ξ ) , N ξξ

( 1688 )

díky nimž ho m žeme interpretovat jako operátor po tu ástic s t etí složkou kovariantního spinu rovnou ξ . Z formule ( 1687 ) pak vidíme, že operátor

ˆ ( p, ξ ) ≡ aˆ + ( p, ξ ) aˆ − ( p, ξ ) N

( 1689 )

hraje v impulsovém prostoru úlohu operátoru hustoty po tu ástic s t etí složkou kovariantního spinu rovnou ξ . Ze samotné konstrukce Fockova prostoru plyne, že libovolný operátor Fˆ na tomto prostoru definovaný, lze vyjád it pomocí krea ních a anihila ních operátor ve tvaru

Fˆ =

∞

∞

d 3p1

d 3p N d 3p1′

d 3p′N ′

N = 0 N ′= 0

FN , N ′ ( p1 , ξ1 ;

; p N , ξ N ; p′N , ξ N′ ;

; p′N , ξ N′ ′ ) ⋅

( 1690 )

ξ1 ξ 2 ξ1′ ξ 2′

⋅ aˆ + ( p1 , ξ1 )

aˆ + ( p N , ξ N ) aˆ − ( p′N , ξ N′ )

aˆ − ( p1′ , ξ1′) ,

kde FN,N′ jsou komplexní funkce p íslušných prom nných. V tomto tvaru vyjád ené operátory celkové energie a impulsu neinteragujících ástic m žeme zapsat jako 451

452

E aˆ + ( p, ξ ) aˆ − ( p, ξ ) = d 3p

ˆ = d 3p H

ˆ ( p, ξ ) , EN

ξ

ξ

paˆ ( p, ξ ) aˆ ( p, ξ ) = d p

Pˆ = d p

+

3

−

ξ

( 1691 )

ˆ ( p, ξ ) . pN

3

ξ

Díky (anti)komuta ním relacím ( 1672 ) operátory vystupující na pravých stranách posledních dvou formulí vyhovují komuta ním relacím ( 1666 ). Pro zobecn ní nazna ené konstrukce pro popis systému, jenž se m že vyskytovat ve stavech odpovídajících libovolnému po tu nejr zn jších druh ástic, z nichž n které mohou být bosony a jiné fermiony sta í, když každému druhu ástic p i adíme vlastní krea ní aanihila ní operátory tak, že pokud aˆ ( p, ξ , n ) je anihila ní operátor odpovídající n-tému druhu ástic, potom platí

aˆ ( p, ξ ; n ) 0 = 0

( 1692 )

a relace

aˆ ( p, ξ ; n ) , aˆ ( p′, ξ ′; n′ )

= aˆ + ( p, ξ ; n ) , aˆ + ( p′, ξ ′; n′ )

aˆ ( p, ξ ; n ) , aˆ ( p′, ξ ′; n′ )

= δ nn′δ ξξ ′δ ( p − p′ ) ,

=0,

( 1693 )

v nicž se jedná o atikomutátory pouze tehdy, když jak ástice n, tak ástice n′ je fermionem. ∞

∞

1= n1 =0

nN =0

1 nn1 !

p1( ) , ξ1( ) ; 1

N N ξ1( ) ξ n( )

1

d 3p1( ) 1

nnN !

d 3p(n1)

d 3p1(

1

N)

1 1 ξ1( ) ξ n( )

d 3p(nN ) N

1

; p(nN ) , ξ n(N ) p1( ) , ξ1( ) ; N

N

1

1

; p(nN ) , ξ n(N ) . N

N

N

kde N udává po et druh

( 1694 )

ástic a 452

453

p1( ) , ξ1( ) ; 1

1

(

; p(n1) , ξ n(1 ) ; p1( ) , ξ1( ) ;

1

1

2

N

N

1

)

1 1 2 2 aˆ + p(n1) , ξ n(1 ) ;1 aˆ + p1( ) , ξ1( ) ;2

≡ aˆ + p1( ) , ξ1( ) ;1

2

; p(nN ) , ξ n(N ) ≡

1

(

) (

)

(

)

N N aˆ + p(nN ) , ξ n(N ) ; N 0 .

( 1695 )

Povšimn me si, že operátor

ˆ (ξ , n ) ≡ d 3paˆ + ( p, ξ , n ) aˆ − ( p, ξ , n ) N

( 1696 )

vyhovuje komuta ním relacím

ˆ (ξ , n ) , aˆ + ( p, ξ ′, n′ ) = δ ′δ ′ a + ( p, ξ , n ) , N nn ξξ

( 1697 )

díky nimž ho m žeme interpretovat jako operátor po tu ástic druhu n s t etí složkou kovariantního spinu rovnou ξ . Operátory celkové energie a impulsu neinteragujících ástic pak m žeme vyjád it jako

ˆ = d p H

N

E ( p, n ) aˆ + ( p, ξ n , n ) aˆ − ( p, ξ n , n ) ,

3

n =1

Pˆ = d 3p

ξ

N

n =1

( 1698 )

paˆ + ( p, ξ n , n ) aˆ − ( p, ξ n , n ) , ξ

kde

E ( p, n ) ≡ p 2 + mn2

( 1699 )

a mn je hmota ástice druhu n . Výše zavedený Fock v prostor jsme konstruovali tak, že na n m existuje ˆ ( ,a), unitární reprezentace Poincaréovy grupy realizovaná operátory U které vedle požadavku

ˆ ( ,a) 0 = 0 U

( 1700 ) 453

454

vyhovují relacím

ˆ ( , a ) aˆ + ( p, ξ , n ) U ˆ † ( ,a) = U

(

p)

0

E n j( )

exp ( ia p ) ⋅

j( ) ) ( Dξ ′ξ ( W ( , p ) ) aˆ + ( p, ξ ′, n ) , n

⋅ ξ ′=− j ( n )

( 1701 )

kde

p 0 = E ≡ p 2 + mn2 .

( 1702 )

Povšimn me si, že na obou stranách t chto relací vystupují krea ní operátory odpovídající téže ástici, ale pro r zné hodnoty kinematických prom nných. Fyzikáln to odráží skute nost, že pozorovatelé užívající r zné sou adné soustavy vidí tytéž ástice, ale hodnoty jejich impuls a spinových charakteristik závisí na tom, v jaké soustav jsou ur ovány. Podobn je tomu i u operátor reprezentujících prostorovou, resp. asovou inverzi, které vedle požadavku

Pˆ 0 = Tˆ 0 = 0

( 1703 )

vyhovují relacím P Pˆ aˆ + ( p, ξ , n ) Pˆ −1 =η ( )aˆ + ( −p, ξ , n ) , j Tˆ aˆ + ( p, ξ , n ) Tˆ −1 = η (T ) ( −1)

( n ) −ξ

aˆ ( −p, −ξ , n ) . +

( 1704 )

Na diskutovaném prostoru však mohou existovat i reprezentace dalších ˆ ( g ) , jejichž vlastnosti grup (≡ )realizované unitárními operátory U jsou v jistém smyslu opa né: nem ní kinematické charakteristiky ástic, ale mohou mezi sebou míchat r zné druhy ástic. V dalším se zam íme na ty z t chto operátor , pro které platí 454

455

ˆ (g) 0 = 0 U

( 1705 )

a p itom

ˆ ( g ) aˆ + ( p, ξ , n ) U ˆ † (g) = U

U n′n ( g ) aˆ + ( p, ξ , n′ ) ,

( 1706 )

n′

kde U n′n ( g ) p edstavují elementy unitárních matic U(g), kterými je realizována n jaká reprezentace uvažované grupy

.

Z hlediska t chto transformací hrají kinematické prom nné naprosto pasivní roli, tj. tyto transformace neodrážejí žádné vlastnosti prostoro asu. Proto se o nich obvykle mluví jako o transformacích vnit ních symetrií. Formáln se to odráží v tom, že všechny operátory vnit ních symetrií komutují s operátory reprezentujícími Poincaréovu grupu, tj.

ˆ ( g ), U ˆ ( ,a) = 0 , U

( 1707 )

což m.j. vyžaduje, aby platilo

ˆ ( g ), H ˆ = U ˆ ( g ) , Jˆ = 0 . U Pokud

( 1708 )

je η - parametrickou Lieovou grupou, potom každý její

element g je jednozna n ur en hodnotou η reálných parametr (α1 , , αη ≡ α ) a operátory Uˆ ( g ) , resp. matice U ( g ) možno vyjád it ve tvaru

ˆ ( g (α ) ) ≡ U ˆ (α ) = exp i U

η

ˆ αaX , a

α =1

resp.

455

( 1709 )

456

U ( g (α ) ) ≡ U (α ) = exp i

η

αata ,

( 1710 )

α =1

ˆ i hermitovské matice t realizují kde samosdružené operátory X a a reprezentaci generátor grupy , tj. reprezentaci odpovídající Lieovy algebry, a tedy vyhovují komuta ním relacím N

ˆ ,X ˆ =i X a b

ˆ , C c ab X c

c =1

( 1711 )

N

[t a , tb ] = i

C c ab t c , c =1

kde C c ab jsou strukturní konstanty grupy

.

Porovnáním veli in prvního ádu v α na obou stranách formulí ( 1706 ), resp. ( 1705 ) nalezneme, že platí komuta ní relace

ˆ , aˆ + ( p, ξ , n ) = X a n′

( ta )n′n aˆ + ( p,ξ , n ) ,

α = 1,

,η ( 1712 )

a p itom

ˆ 0 =0, X a

α = 1,

,η .

( 1713 )

Z komuta ní relace ( 1708 ) navíc vidíme, že musí platit

ˆ ,H ˆ =0 . X a

( 1714 )

ˆ p edstavují integrály pohybu ástic. tj. operátory X a Ve speciálním p ípad , když matice t a , odpovídající n kterému z generátor je diagonální, tj. když (pro ur itou hodnotu a) je

( ta )n′n = qnδ n′n ,

( 1715 ) 456

457

operátor ˆ ≡X Q a

( 1716 )

spl uje komuta ní relace

ˆ , aˆ + ( p, ξ , n ) = q aˆ + ( p, ξ , n ) , Q n

( 1717 )

z nichž okamžit vidíme, že ket ( 1695 ) je jeho vlastním vektorem takovým, že

ˆ p(1) , ξ (1) ; Q 1 1 N

=

; p(n1) , ξ n(1 ) ; p1( ) , ξ1( ) ; 1

(1)

1

(1)

n j q j p1 , ξ1 ;

2

2

(1)

(1)

; p(nN ) , ξ n(N ) = N

( 2)

( 2)

; p n1 , ξ n1 ; p1 , ξ1 ;

N

(N)

(N)

; p nN , ξ n N

.

( 1718 )

j =1

ˆ interpretovat jako operátor odpovídající Díky tomu m žeme Q n jakému kvantovému náboji, jako je elektrický náboj, leptonové íslo, baryonové íslo, projekce izospinu, i jakékoliv jiné aditivní kvantové íslo. íslo qn pak udává hodnotu náboje pro ástici druhu n. Povšimn me si, že tento operátor lze vyjád it pomocí krea ních a anihila ních operátor jako ˆ (n) , qn N

ˆ = Q

( 1719 )

n

kde

ˆ (n) ≡ N

ˆ (ξ , n ) = N ξ

d 3p aˆ + ( p, ξ , n ) aˆ − ( p, ξ , n ) ξ

je operátor po tu ástic druhu n. Vra me se však ješt zpátky k formuli ( 1706 ). 457

( 1720 )

458

Je z ejmé, že ástic je možno vždy o íslovat tak, aby postupn vytvá ely skupiny takové, že žádná z uvažovaných transformací navzájem nemíchá ástice náležející do r zných skupin. Matice U(g) pak mají kvazidiagonální tvar, v n mž každé z t chto skupin odpovídá jedna submatice na diagonále. Uvážíme-li, že relaci ( 1708 ) lze splnit jedin tehdy, když se mezi sebou mohou míchat pouze ty ástice, které mají stejné hmoty a stejné spiny (aby maticový element U n′n ( g ) mohl být nenulový, je nezbytné, aby hmota i spin ástice n´ m ly stejné hodnoty, jako u ástice n), vyvstává p irozen otázka, zda výše zmín né submatice v bec mohou být více než jednorozm rné. Demonstrujme na nejprve na jednom konkrétním p ípadu, že to skute n možné je. V rámci relativistické kvantové teorie docházíme k záv ru, že ke každé ástici n musí existovat její anti ástice n , která má stejnou hmotu a spin jako ástice n, ale opa nou hodnotu všech kvantových náboj . Proto hraje d ležitou roli diskrétní symetrie nazývaná nábojovým sdružením, která je na Fockov prostoru realizována unitárním ˆ , takovým, že operátorem C

ˆ 0 = 0 C

( 1721 )

a

ˆ ˆ + ( p, ξ , n ) C ˆ −1 = η ( C )aˆ + ( p, ξ , n ) , Ca n kde ηn(

C)

( 1722 )

je nábojová parita ástice n, pro kterou platí

ηn(C ) = ηn( C ) = ±1 .

( 1723 )

ˆ pat í mezi uvažované Odtud vidíme, že operátor nábojového sdružení C ˆ ( g ) , nebo pro n j platí operátory vnit ních symetrií U ˆ 2 =1 , C

( 1724 )

458

459

a tedy p edstavuje spolu s operátorem identity reprezentaci grupy S2 . O íslujeme-li druhy ástic tak, že mezi ásticí a jí odpovídající anti ásticí nefiguruje žádný jiný druh ástic, potom odpovídající matice U(g) má kvazidiagonální tvar, v n mž každé ástici a její anti ástici odpovídá jedna submatice. Každá z t chto submatic spole n s odpovídající jednotkovou maticí p edstavuje op t reprezentaci grupy S2 . Tato reprezentace je jednorozm rná (a tedy ireducibilní), resp. dvourozm rná (a tedy ireducibilní) v závislosti na tom, zda p íslušná ástice je, i není identická se svojí anti ásticí. Nábojové sdružení tak p edstavuje diskrétní transformaci vnit ních symetrií uvažovaného typu, která hraje v relativistické kvantové teorii a jejích aplikacích velmi významnou roli. Nazna ená konstrukce však dovoluje bez problém nalézt i celou adu dalších operátor vnit ních symetrií, tvo ících reprezentace také Lieových grup. Nap . jestliže ve formuli ( 1706 ) vezmeme U(g) ≡ U(α;n), kde matice napravo je diagonální a všechny její diagonální elementy jsou jednotkové, až na n-tý, který je dán výrazem exp(iα). ˆ (α ;n ) , v nichž n je pevn zvolené íslo Potom odpovídající operátory U

a parametr α nabývá všech možných reálných hodnot, tvo í reprezentaci grupy U(1). Totéž je evidentn pravdou i o operátorech obdržených coby sou in více ˆ (α ;n ) , z nichž všechny odpovídají téže hodnot α, ale operátor U r zným hodnotám n. Podobn , jestliže ve formuli ( 1706 ) je U ( g ) ≡ U ( ; n ≠ n ) , kde

U ( ;n ≠ n ) je kvazidiagonální matice, se submaticemi na diagonále odpovídajícími vždy jednomu druhu ástice a její anti ástici, které jsou všechny rovny jednotkové matici, s výjimkou jediné. Ta odpovídá n kterému (pevn zvolenému) druhu ástic (≡ n), které nejsou identické se svými anti ásticemi. Tuto submatici definujeme výrazem exp ( i ⋅

).

( 1725 )

459

460

ˆ ( ;n ≠ n ) , u nichž Snadno se p esv d íme, že odpovídající operátory U druh ástice n ≠ n je pevn zvolený a každý z trojice parametr α1, α2, α3 probíhá všechny možné reálné hodnoty, tvo í reprezentaci grupy SU(2). ˆ ( ;n ≠ n ) , z nichž všechny odpovídají Také sou iny více operátor U

témuž α, ale r zným n ≠ n op t tvo í reprezentaci SU(2). Lze o ekávat, že pouze ty z výše uvedených reprezentací grupy U(1), resp. SU(2), u nichž jsou n které generátory shodné s operátory odpovídajícími dynamickým prom nným, které se bu zachovávají (nap . elektrický náboj), nebo je jejich zachování jen slab narušeno (baryonové íslo, leptonové íslo, projekce izospinu, podivnost, p vab, krása, pravda, …), mohou být fyzikáln zajímavé. Formáln pak lze dokonce na všechny druhy ástic pat ící do téže skupiny pohlížet jako na ástici jedinou, která se m že nalézat v r zných stavech z hlediska n jakých vnit ních stup volnosti. Transformace vnit ních symetrií pak odpovídají transformacím v prostoru t chto vnit ních stup volnosti. To nám umož uje prakticky beze zbytku zopakovat úvahy, které jsme d íve provedli p i konstrukci reprezentací grup U(1) a SU(2), vycházeje z rovnosti hmot ástice a anti ástice. Pouze rozm r submatic nacházejících se na diagonále U(g) bude nyní dán po tem druh ástic pat ících do jednotlivých skupin (po tem nezávislých vnit ních stav odpovídající zobecn né ástice). Protože do n kterých skupin mohou pat it i více než 2 druhy ástic, m žeme tak dosp t k nejr zn jším reprezentacím, a to i dalších než d íve zmín ných grup (nap . SU(3)). ˆ ( g ) bude op t fyzikáln málo V tšina z takto získaných operátor U zajímavá. Zato ty z nich, které odpovídají vnit ním symetriím interagujících ástic, ˆ nebo alespo s jeho podstatnou ástí tj. komutují s operátorem H (I ) ˆ , která popisuje (nap . v p ípad SU(3) symetrie s práv tou ástí H (I )

ˆ , která odpovídá silné interakce, ale nekomutuje s tou ástí H (I ) interakcím slabím a elektromagnetickým), poskytují velice ú inný nástroj pro fyzikální analýzu.

460

461

V dalším budeme požadovat, aby p íslušná vnit ní symetrie, kterou dosud formulujeme v termínech transforma ních vlastností krea ních a anihila ních operátor , byla rovn ž vnit ní symetrií odpovídajících polí. Nastává to tehdy, když se krea ní operátory anti ástic transformují stejn , jako krea ní operátory ástic. Ozna íme-li aˆ + ( h, H ) krea ní operátor ástice h pat ící do multipletu H, potom relace ( 1706 ) znamená, že pro každý multiplet H platí

ˆ ( g ) aˆ + ( h, H ) U ˆ † (g) = U

U h′h ( g , H ) aˆ + ( h′, H ) ,

( 1726 )

h′

kde U(g,H) jsou zadané matice realizující unitární reprezentaci D( ;H) grupy . Sdružením obou stran této rovnosti dostaneme odpovídající transforma ní zákon pro anihila ní operátory:

ˆ ( g ) aˆ − ( h, H ) U ˆ † (g) = U

U ∗h′h ( g , H ) aˆ − ( h′, H ) .

( 1727 )

h′

Odtud vidíme, že anti ástice h k ásticím h z multipletu H tvo í multiplet H a pro jejich krea ní operátory platí

(

)

ˆ ( g ) aˆ + h , H U ˆ † (g) = U h′

(

)

U h′h ( g , H ) aˆ + h′, H ,

( 1728 )

kde

U ( g ; H ) ≡ U∗ ( g ; H ) =

{

U ( g; H )

−1

}.

( 1729 )

Tento poznatek se obvykle formuluje jako teorém „anti ástice se transformují kontragradientn “.

461

462

P ipome me, že pokud matice U(g) tvo í reprezentaci D( ) grupy potom také matice U*(g), resp.

{

U( g )

D*( ), resp. D ( ) téže grupy.

−1

} realizují reprezentaci

,

P itom se o D*( ), resp. D ( ) hovo í jako o reprezentaci sdružené, resp. kontragradientní. 3) Slabá jaderná interakce Trocha historie Slabá interakce byla poprvé poznána u rozpadu neutronu. Od té doby bylo pozorováno mnoho rozpad ástic ovládaných slabou interakcí. Jde o rozpady s relativn velmi dlouhými polo asy (odtud název slabá interakce) od 10-15 s do n kolika týdn . Interakce p sobí na zna né množství ástic (na všechny leptony a kvarky a samoz ejm ástice z kvark složené). Nep sobí na intermediální ástice.

V roce 1956 byly pozorovány slabé rozpady K+ mezon , které nezachovávaly pravolevou symetrii. Tento závažný fakt byl ov en laboratorním experimentem s rozpadem kobaltu 60Co v roce 1957 (experiment navrhli T. D. Lee a C. N. Yang a provedla ho ChienShiung Wu z Kolumbijské university). Tak bylo poprvé p ímo detekováno narušení P symetrie (pravolevé symetrie prostoru). V roce 1964 (James W. Cronin, Val L. Fitch, NC 1980) byly pozorovány rozpady levoto ivého K0L mezonu na piony + a -, které sice málo, ale p ece jen narušují i CP symetrii (kombinovanou symetrii parity P a nábojového sdružení C). Veškeré tyto experimenty znamenaly první poznávání zákon slabé interakce.

462

463

První poznání slabé interakce

C.S. Wu (1912-1997)

J.W. Cronin (1931)

V.L. Fitch (1923)

V šedesátých letech byly navrženy první teorie slabé interakce, které postupn vedly k vybudování teorie založené na SU(2) symetrii. Teorie slabé interakce se nazývá kvantová flavourdynamika, zkratku má QFD (Quantum Flavour Dynamics). Jde tedy o teorii postavenou na symetrii v n p i slabé interakci, symetrii SU(2). Kvantová flavourdynamika

P i slabé interakci dochází k vým n intermediálních vektorových boson W+, W-, Z 0. Tyto ástice teoreticky p edpov d li S. Weinberg, A. Salam a S. L. Glashow, kte í jsou autory jednotné teorie elektromagnetické a slabé interakce (elektroslabé interakce). Za tuto práci obdrželi Nobelovu cenu v roce 1979. ástice objevil v Cernu C. Rubbia na p elomu roku 1983 a 1984. Za jejich objev obdržel Nobelovu cenu spolu s konstruktérem za ízení S. van der Meerem v roce 1984. Symetrie interakce: Interakce slabá nerozpozná od sebe ástice stejného barevného náboje. Nap íklad elektron a elektronové neutrino se p i slabé interakci jeví jako jediná ástice. Stejn tak kvark d a kvark u a i ostatní dvojice. Samoz ejm p i jiných interakcích (nap íklad elektromagnetické) lze tyto dvojice snadno odlišit. Symetrii nazýváme SU(2), což je anglická zkratka pro Special Unitary - v 463

464

matematice je popsána komplexními maticemi 2×2 (p ehazují mezi sebou dv ástice nerozlišitelné p i slabé interakci). Tyto matice jsou unitární (Unitary) s determinantem rovným jedné (Special). Unitární matice jsou matice, které se nezm ní, p eklopíme-li je kolem diagonály a komplexn sdružíme. V matematice reprezentují unitární matice dv t ídy operací: rotace (det = +1) a zrcadlení (det = -1). Slabá jaderná interakce od sebe nerozlišuje následující dvojice v ní ástic:

νe

µ νµ

τ ντ

( 1730 )

d u

s c

b t

( 1731 )

e

které tak tvo í SU(2) izodublety z hlediska nového kvantového ísla (náboje) zvaného v n . Transformace SU(2) se realizují s pomocí komplexních unitárních unimodulárních matic p sobících na vlnové funkce ástic izodubletu (ozna me si je pro názornost a, b):

σ 11 σ 12 ψ a . σ 21 σ 22 ψ b

( 1732 )

Tím dostáváme v teorii celkem 8 volných parametr . Z požadavku unitarity †

=1

( 1733 )

dostáváme celkem 4 vazby a z požadavku unimodularity

det = 1

( 1734 )

další jednu vazbu.

464

465

V teorii tak zbývají pouhé 3 volné parametry, které odpovídají t em vektorovým polím a jim odpovídajícím boson m. Tyto vektorové bosony ozna ujeme W+, W-, Z0. Základní informace

P sobení

výb rové, na Qw

Dosah

kone ný, 10-18 m

Symetrie

SU(2)

0 (leptony a kvarky)

IM ástice IM vektorové bosony W+, W-, Z0

•

•

P sobení interakce: Slabá interakce je výb rová interakce. P sobí jen na ástice s nenulovým nábojem slabé interakce Qw , který souvisí s v ní (flavour). V ni mají leptony a kvarky. Vždy jedna generace ástic tvo ící jeden izodublet z hlediska v n (nap íklad elektron se svým neutrinem) má stejný barevný náboj. Rozeznáváme tedy barevný náboj elektronový, mionový, tauonový, a barevný náboj kvark d a u, kvark s a c a kvark t a b (celkem 6 barevných náboj ). Dosah interakce: Kone ný, interakce slabá má krátký dosah, cca 10-18 m. S tím je spojená nenulová hmotnost intermediálních ástic interakce (W± mají hmotnost 80 GeV a Z0 má hmotnost 91 GeV).

Feynmanovy diagramy Základní diagramy se skládají z leptonové i kvarkové linie, vrcholu a linie intermediální ástice W+, W- nebo Z 0. Na rozdíl od elektromagnetické interakce máme diagramy dvou typ . První je podobný jako v elektromagnetické interakci. ástice Z0 neodnáší žádný elektrický náboj (hovo íme o tzv. neutrálních tocích). ástice kvarkové i leptonové linie pokra uje za vrcholem.

465

466

Jiná situace ale nastane, je-li intermediální ásticí W+ nebo W-. Tyto ástice p ináší do i odnáší z vrcholu elektrický náboj. Z hlediska slabé interakce jde sice po ád o jednu ástici (SU(2) symetrie), ale z hlediska elektromagnetické interakce se horní ástice izodubletu (dvojice ástic se stejným slabým nábojem) stává dolní i naopak

Vhodnou deformací t chto t í základních diagram již v prvním ádu dostáváme zna né množství možností. Povšimn te si, že z hlediska slabé interakce se elektron a jeho neutrino (nebo kvark d a u) chovají v nabitých tocích jako jediná ástice. V následujících diagramech je jen ást z mnoha možností diagram prvního ádu:

466

467

Typické slabé procesy

Coulomb v zákon. Druhý kanál reakce je oprava k elektrodynamice zp sobená slabou interakcí. Elektron s elektronem interagují také slab pomocí ástice Z0. Rozpad mionu. − e− + +

Beta rozpad neutronu. n p+ + e − +

Slabý rozpad hyperonu. p+ + e − +

Rozpad + a − mezon : Pozorován v produktech interakce kosmického zá ení s horními vrstvami atmosféry. Vede na e+, e−, +, − a elektronová a mionová neutrina. 467

468

Objev ástic W+/−. CERN (1983). Proton antiprotonový svazek. Každý svazek m l energii 270 GeV. Nabité proudy. Objev ástice Z0. CERN (1984). Za ízení LEP, neutrální toky. Oba objevy: Carlo Rubbia, Simon van der Meer. 4) Silné interakce

Mladý americký fyzik Murray Gell-Mann si po átkem 60. let minulého století všiml, že úpln všechny fermiony, kterých již v té dob bylo známo p es 200 druh , by šlo popsat s pomocí pouhých dvou kvantových ísel (náboj ), které nazval v n (flavour) a barva (color). Gell-Mann zjistil, že kdyby krom 6 leptonových v ní existovalo ješt dalších 6 v ní hadronových, daly by se všechny hadrony poskládat z pouhých 6 elementárních ástic, které nazval kvarky (tento název byl s notnou dávkou recese p evzat z literárního díla Jamese Joyce).

Murray Gell-Mann (1929)

468

469

Aby mohlo uvnit jediného hadronu existovat i vícero kvark téže v n , musel Gell-Mann postulovat existenci nového kvantového náboje zvaného barva. K poskládání všech mezon z kvark mu sta ila teoreticky jediná barva a její antibarva (color), avšak k sestavení všech baryon pot eboval 3 r zné barvy, jejichž vzájemným se tením vznikaly bezbarvé baryony. Tyto barvy byly tudíž nazvány klasicky R,G,B (red, green, blue). V n kvark získaly exotická jména: d – down, u – up, s – strange, c – charm, b – beauty, t – truth. Následn se objevily úvahy zda dokonce i leptony a kvarky by nemohly být složeny z pouhých 8 druh ješt elementárn jších ástic nazvaných preony (viz UTU). Na základ obsáhlého experimentálního materiálu, získaného p evážn v 50. a 60. letech p i hledání nových elementárních ástic, byly vypozorovány výrazné symetrie ve vlastnostech elementáních ástic, které v r.1964 vyústily zformulováním kvarkového modelu hadron . Hlavní obtíž kvarkové hypothézy však tkv la v tom, že žádné volné ástice s vlastnostmi kvark nebyly dlouho nikdy pozorovány. Kvarky by tedy musely být v nukleonech velmi siln vázány. Koncem 60. let byl kvarkový model dopodpo en výsledky experiment s rozptylem vysokoenergetických elektron na nukleonech (hluboce nepružný rozptyl) ukazujících na to, že p i takovém "tvrdém ost elování" se nukleon nechová jako kompaktní ástice, ale jako shluk n kolika (t í) vícemén volných rozptylových center - tzv. parton . P itom kvantová ísla parton (náboj, spin, izospin) odpovídala hodnotám o ekávaným u kvark . P ímému ztotožn ní kvark a parton však bránil rozpor: na jedné stran se p i experimentech partony v nukleonech chovaly jako volné, na druhé stran kvarky jsou tak siln vázány, že je nelze z nukleon uvolnit. Kvantová chromodynamika

Výrazného pokroku v chápání vlastností silné interakce bylo dosaženo v 70. letech, kdy byla zformulována a rozvinuta tzv. kvantová chromodynamika (QCD, ecky chromos = barva) jako teorie silné 469

470

interakce. Tato teorie je vybudována podobným zp sobem jako kvantová elektrodynamika (QED), avšak je založena na neabelovských kalibra ních symetriích fyzikáln souvisejících s barvou kvark . Význa nou vlastností QCD je asymptotická volnost: efektivní vazbová konstanta vzájemného p sobení mezi kvarky se blíží nule p i zmenšování vzdáleností, ale prudce roste se zv tšováním vzdálenosti. Asymptotická volnost umož uje p irozen pochopit zdánliv neslu itelné vlastnosti kvark jakožto parton : kvarky na malých vzdálenostech uvnit nukleon tém neinteragují, zatímco z hlediska v tších vzdáleností jsou vázány velmi siln . S asymptotickou volností tak t sn souvisí hypotéza dokonalého "uv zn ní" kvark , podle níž kvarky nemohou existovat jako volné ástice (nekone n velká energie pot ebná na uvoln ní), ale pouze vázané v hadronech. Silná jaderná interakce není schopna vzájemn rozlišit kvarky téže barvy. Symetrie interakce: Kvarky jsou fermiony, proto by se nem ly nacházet podle Pauliho vylu ovacího principu ve stejném kvantovém stavu. Tomu zdánliv odporuje již existence neutronu (ddu), kde jsou dva kvarky d v témže stavu. V ástici - (sss) jsou dokonce t i kvarky s ve stejném stavu. Tento problém se eší zavedením další kvantové vlastnosti, která odlišuje jednotlivé kvarky v ástici - barvy. Každý kvark se v p írod musí vyskytovat ve t ech navzájem r zných provedeních (barvách), na které je citlivá silná interakce. V matematice tuto symetrii ozna ujeme SU(3) symetrie (barevná symetrie) a je na ní postavena teorie silné interakce. SU(3) je anglická zkratka pro Special Unitary - symetrie je popsána komplexními maticemi, které p evádí mezi sebou t i barevné náboje silné interakce. Tyto matice jsou unitární (Unitary) s determinantem rovným jedné (Special). Unitární matice jsou matice, které se nezm ní, p eklopímeli je kolem diagonály a komplexn sdružíme. V matematice reprezentují unitární matice dv t ídy operací: rotace (det = +1) a zrcadlení (det = -1).

Máme-li tedy nap . matici, kde jednotlivé prvky ozna ují v n a jejich indexy ozna ují barvy, pak zatímco slabá interakce permutuje ástice v každém jednom sloupci, silná interakce naopak permutuje ástice v ádcích a elektromagnetická zas ástice na diagonálách. 470

471

dR uR

sG cG

bB . tB

( 1735 )

(Libovolnou zám nou jednotlivých prvk v ádcích ( 151 ) dojdeme k obecn jinému uspo ádání, které je však z hlediska silné interakce nerozeznatelné od p vodního – dává stále celkov bezbarvou permutaci). Vzájemn permutovatelné kvarky pro silnou interakci tedy tvo í SU(3) izotriplety z hlediska nového kvantového ísla (náboje) zvaného barva. Transformace SU(3) se realizují s pomocí komplexních unitárních unimodulárních matic p sobících na vlnové funkce ástic izotripletu (ozna me si je pro názornost a, b, c):

λ11 λ12 λ13 ψ a λ21 λ22 λ23 ψ b . λ31 λ32 λ33 ψ c

( 1736 )

ímž dostáváme v teorii celkem 18 volných parametr . Z požadavku unitarity †

=1

( 1737 )

dostáváme celkem 9 vazebních podmínek a z požadavku unimodularity

det = 1

( 1738 )

další jednu vazbu. V teorii tak zbývá 8 volných parametr , které odpovídají osmi skalárním polím a jim p íslušejícím boson m. Tyto skalární bosony se nazývají gluony a ozna ují g s p íslušným barevným indexem.

471

472

Silná interakce mezi kvarky je tedy v QCD zprost edkována vektorovým kalibra ním polem, jehož kvanta s nulovou klidovou hmotností – gluony, zde hrají podobnou úlohu jako fotony v QED. Na rozdíl od kvantové elektrodynamiky mají gluony "barevný" náboj a interagují samy se sebou (mohou se navzájem "emitovat"); v d sledku této nelinearity má vakuum v QCD složitou strukturu, zvlášt v oblasti "infra ervených" (nízkoenergetických) vakuových fluktuací. Základní informace

P sobení

výb rové, na Qc

Dosah

kone ný, 10-15 m

Symetrie

SU(3)

0 (kvarky, gluony)

IM ástice 8 gluon •

•

P sobení interakce: Silná interakce je výb rová interakce. P sobí jen na ástice s nenulovým nábojem silné interakce Qc , tzv. barevným nábojem (chromos). Barvu mají kvarky a gluony. Rozeznáváme t i barvy. Výsledný sv t je bezbarvý. Dosah interakce: Kone ný, interakce silná má krátký dosah, cca 10-15 m.

Trocha historie

Hideki Yukawa (1907-1981)

472

473

Silná interakce je v po adí t etí interakcí popisovanou kvantovou teorií pole. Jde o interakci, kteá drží pohromad nukleony v atomovém jád e a sou asn i kvarky tvo ící jednotlivé nukleony. První jednoduchou teorii silné interakce vytvo il Hideki Yukawa v roce 1934. Z dosahu interakce vypo ítal hmotnost intermediálních ástic a usoudil, že p i silné interakci si neutrony a protony v jád e mezi sebou vym ují mezony. Dnes víme, že jde o podobnou situaci, jako v elektromagnetické interakci. Interagují-li mezi sebou dva bodové náboje, vym ují si fotony a síla ubývá jako 1/r2. Elektromagnetická interakce m že ovliv ovat ale i složit jší komplexy, by jsou navenek neutrální - jde o dipól-dipólovou interakci, dipól-kvadrupólovou interakci, atd., ve kterých silové p sobení ubývá s vyšší mocninou r (tzv. Van der Waalsovy síly). U silné interakce p edstavuje základní úrove vým na gluon mezi kvarky tvo ícími ástici (nap íklad neutron nebo proton). Vzájemná interakce neutronu s protonem je potom na úrovni vzájemné interakce v tších komplex . Kvarky se skládají do ástic tak, aby výsledek byl bezbarvý. První možností je kombinace kvark-antikvark (nap íklad ervenáanti ervená). To jsou pro nás již známé mezony. Druhou možností je složení t í kvark r zných základních barev, které dohromady dají bílou - jde o baryony. Jde o výb rovou interakci, která p sobí jen na ástice složené z kvark , tj. na hadrony (mezony a baryony). V okolí kvark vytvá ejí gluony t žké „gluonové kožichy", které jsou hmotn jší než samotné kvarky. Nap íklad d kvark má hmotnost 4 MeV a jeho gluonový kožich cca 300 MeV. Na rozdíl od ostatních interakcí jsou v silné interakci samy intermediální ástice nositeli barevného náboje (barvy). To neznáme u elektromagnetické interakce: foton jako intermediální ástice elektromagnetické interakce sám o sob nenese elektrický náboj. D sledkem tohoto faktu je tzv. antistín ní barevného náboje. ím blíže kvarku se nacházíme, tím je jeho barevný náboj menší. Proto kvarky na velmi malých vzdálenostech neinteragují a síla interakce roste se zv tšující se vzdáleností kvark (tzv. asymptotická svoboda kvark na malých vzdálenostech). Proto se kvarky nevyskytují nikdy o samot . V po áte ních fázích vývoje Vesmíru byla pr m rná vzdálenost mezi ásticemi menší než 10-15 m a kvarky 473

474

netvo ily mezony a baryony a vypl ovaly Vesmír jako volné ástice – kvark-gluonové plazma. Teprve když Vesmír expanzí získal v tší rozm ry, za aly vznikat hadrony. Feynmanovy diagramy Stejn jako u elektromagnetické interakce je základním diagramem linie interagující ástice (kvarku) s intermediální ásticí (gluonem) vycházející z vrcholu. U silné interakce je ale možná i silná interakce gluon samotných (mají barevný náboj), je tedy možná gluon gluonová interakce z druhého diagramu.

Podobn jako v elektromagnetické interakci je možné, aby letící kvark vyslal a chytil intermediální ástici (zde gluon), nebo aby se letící ástice (zde gluon) rozšt pila na pár ástice - anti ástice (zde kvark antikvark). Navíc je u silné interakce možné, aby se letící kvark nebo gluon zm nily na pár gluon .

U diagram silné interakce nebývá zvykem zakreslovat všechny vyslané a chycené gluony. Jako p íklad uve me diagram rozpadu mezonu na dva mezony a silný rozpad ástice ++.

474

475

Rozpad mezonu na dva mezony. Podobn jako se dva kousky rozd leného magnetu chovají zase jako magnety, tak se rozd lený mezon chová jako dva mezony. Samotný kvark nelze z mezonu vytrhnout. ++

p+ + + Silný rozpad baryonu na proton a pion. Doba života baryonu je mén jak 10-23 s. Takové ástice nazýváme rezonance. Silné rozpady jsou velmi rychlé. D lení mezonu je podobné d lení magnetu na dv ásti. Nikdy nezískáme samotný kvark, ale po rozd lení získáme op t dvojici mezon . áry mezi kvarky p edstavují silok ivky gluonového pole. Prostor mezi kvarky se nazývá gluonová nit.

475

476

A na záv r ješt jeden trochu složit jší diagram. Jde o silnou srážku 0 dvou urychlených proton p+ + p+ + K+ + p+:

Porovnání s elektromagnetickou interakcí

Základní odlišností je to, že intermediální ástice silné interakce mají barevný náboj (u elektromagnetické interakce nenesou fotony elektrický náboj). Odsud plynou základní rozdíly.

Voln letící elektron vysílá fotony, které se d lí na elektron pozitronové páry. D sledkem je, že kolem letícího elektronu je oblak virtuálních elektron pozitronových pár , které efektivn stíní náboj elektronu. P i vysokých energiích se ástice dostávají blíže elektronu a 476

477

poci ují vyšší elektrický náboj než z v tší vzdálenosti. U letícího kvarku je situace jiná. Vytvá í kolem sebe krom oblaku kvark antikvarkových pár mohutný gluonový kožich. Tyto gluony jsou nositeli barevného náboje, proto dochází k antistín ní kvarku. ím blíže se ke kvarku dostaneme, tím menší barevný náboj budeme poci ovat. Vzdálené kvarky velmi siln interagují a nelze je proto od sebe odtrhnout. Základní rozdíly mezi elektromagnetickou a silnou interakcí:

Foton nenese elektrický náboj.

Gluon nese barevný náboj.

Elektricky nabité ástice jsou stín né elektron pozitronovými páry.

Kvarky jsou antistín né svými gluonovými kožichy.

Potenciál interakce je v celém pr b hu Coulombický.

Potenciál interakce je na malých vzdálenostech Coulombický, na velkých se chová jako potenciál homogenního pole.

Nejjednodušší elektrické pole (bodový náboj):

Nejjednodušší silné pole (dvojice kvark antikvark - mezon):

T sn u kvark je pole podobné Coulombickému. Ve v tších vzdálenostech je homogenní a vytvá í tzv. gluonovou strunu.

477

478

Tenzor pole: F = A - A

Tenzor pole: F = (A A - A A )

A -

A +g

Navíc je zde nekomutující nelineární len p edstavující interakci gluonu s gluonem. Abelova (komutující) U(1)loc teorie.

Neabelova (nekomutující) SU(3) teorie.

Obr. 38

478

479

Jety - stopy po hadronizovaných kvarcích

Za velmi vysokých energií p i tvrdých a hluboce nepružných srážkách elektron s protony vzniká ada sekundárních ástic, které vylétají neizotropn v jakýchsi sm rovaných "výtryscích" - jetech. Detailní analýza úhlového rozd lení a energie ástic v jetech ukázala následující mechanismus interakce, který lze rozd lit do dvou etap: B hem 1.etapy vysokoenergetický elektron p i interakci s protonem p edá ást své kinetické energie jednomu z kvark , který se po tomto rozptylu po ur itou krati kou dobu pohybuje prakticky voln (asymptotická volnost) uvnit protonu; podobn i zbytek protonu tvo ený dv ma zbývajícími kvarky. Nedojde však k uvoln ní kvark z protonu. Jakmile vzdálenost mezi vyzá eným kvarkem a zbytkem protonu p esáhne zhruba 1fm (=10-15 m), nastává 2. etapa: síly mezi nimi za nou prudce nar stat a v kvark-gluonovém poli dojde k produkci kvark a antikvark , které se zformují do meson a baryon - dojde k tzv. „hadronizaci kvark-gluonového plasmatu“. Výsledkem je vyzá ení dvou úhlov kolimovaných spršek ástic jet , které vylétají p ibližn ve sm rech letu kvarku a zbytku protonu v první etap . Tyto jety jsou vlastn stopami po kvarcích. Tento mechanismus je zjednodušen znázorn n na obrázku 39 a 40. Obr. 39

479

480

Obr. 40

480

481

V kvantové chromodynamice se vyskytuje problém narušení kombinace nábojové symetrie a parity v teorii kvark , který se eší zavedením ástic zvaných axiony. Axiony úzce souvisí s narušením CP symetrie v p írod . Jde o narušení symetrie fyzikálních d j , pokud zam níme fyzikální za ízení za jeho zrcadlový obraz (P symetrie) a všechny ástice za anti ástice (C symetrie). Narušení CP symetrie bylo pozorováno p i rozpadu kaon již v roce 1964 J. Croninem a V. Fitchem. Šlo o narušení CP symetrie p i slabé interakci a od té doby bylo pozorováno mnohokrát. Standardní model ovšem p edpovídá, že by narušení CP symetrie m lo být pozorovatelné i p i silné interakci. V tomto sektoru však nikdy potvrzeno nebylo. V roce 1977 navrhli Roberto Peccei a Helen Quinn ze Stanfordské univerzity nový druh fyzikální symetrie, která vysv tluje negativní výsledek pokus s narušením CP symetrie v silné interakci. S touto symetrií je spojena existence ástice, kterou dnes nazýváme axion. Axion by m l mít nulový spin a interagovat krom gravita ní interakce jen slabou interakcí. Jeho hmotnost se odhaduje na p ibližn 10−5 eV. Velké množství axion (tzv. reliktních axion ) m lo vznikat t sn po Velkém t esku. Jejich zachycení by znamenalo otev ení nového okna do minulosti našeho vesmíru. Axiony by ale m ly vznikat i v nitru hv zd p i rozptylu vysoce energetických foton na nabitých ásticích (tzv. Primakov v jev). Axiony jsou žhavými kandidáty na záhadné ástice temné hmoty, která tvo í 23% hmoty a energie ve vesmíru. Axiony jsou v silném magnetickém poli B0 schopny dvoufotonové interakce, která m že být popsána dv ma typy hustoty Lagrangeovy funkce (v jednotkách c = 1)

L1 = g

(E2−B2),

( 1739 )

L2 = g

(E·B) ,

( 1740 )

481

482

V obou p ípadech vystupuje axionové pole lineárn (jde o jeden axion) a elektromagnetické pole kvadraticky (jde o dva fotony). Vazebná konstanta interakce je ozna ena symbolem g. V prvním p ípad je elektromagnetická ást (E2−B2) skalární a pole proto musí být také skalární (výsledná Lagrangeova funkce musí být skalární, jinak by chování polí záviselo na volb sou adnicového systému). Takový axion interaguje s fotony, jejichž polarizace je kolmá k externímu magnetickému poli B0. V druhém typu interakce je elektromagnetická ást interakce E·B pseudoskalární a proto musí být axionové pole také pseudoskalární. Axion v tomto p ípad interaguje s fotony, jejichž polarizace je rovnob žná s externím magnetickém polem B0. Možný je samoz ejm i inverzní proces, ve kterém se foton v p ítomnosti silného magnetického pole p em ní pomocí virtuálního fotonu na axion:

Axiony pravd podobn vznikaly v období krátce po Velkém t esku (tzv. reliktní axiony). Dnes by jejich nejbližším zdrojem m lo být nitro Slunce, kde se ást vysoce energetických foton p i rozptylu na elektrických nábojích (Primakov v jev) p em uje na axiony. Jejich po et by m l být roven po tu slune ních neutrin. Axiony by také mohly vznikat z foton v extrémních magnetických polích v okolí neutronových hv zd. Existuje ada experiment , hledajících reliktní, slune ní i další axiony. První ze slune ních experiment BFRT byl provád n v Brookhavenské národní laborato i, axiony hledají dále experimenty NOMAD, SOLAR, COSME. K nejvýznamn jším experiment m sou asné doby pat í CAST, PVLAS, FLASH. Další experiment se od roku 1999 p ipravuje v LLNL. Experiment CAST (Cern Axion Solar Telescope)

Velmi zajímavý projekt na sledování slune ních axion je umíst n od roku 2003 v CERNu. Jde o dalekohled, který by m l v silném magnetickém poli konvertovat axiony z nitra Slunce na fotony RTG 482

483

zá ení. V tšina dalekohledu vznikla z nepot ebných díl jiných experiment . Jako magnet byl využit již nepot ebný prototyp magnetu pro LHC. Je dlouhý 10 metr a dosahuje magnetické indukce 9 T. Pro detekci vznikajících RTG foton slouží t i detektory, ást detek ní soustavy byla p vodn postavena pro vesmírný RTG dalekohled ABRIXAS. Dalekohled je umíst n na kolejnici, která umož uje pohyb ve vodorovném sm ru ± 40°, naklán ní ve výšce je možné jen v rozsahu ± 8°. Z toho d vodu m že dalekohled pozorovat Slunce jen p i východu a poté až p i západu Slunce. Celková pozorovací doba je t i hodiny denn . Po zbytek asu se m í RTG pozadí. Dosud nebyl detekován žádný p ebytek RTG zá ení oproti pozadí (v dob , kdy je dalekohled namí en na Slunce). Detektor doposud hledal axiony do hmotnosti 0,02 eV. V sou asné dob byla citlivost dalekohledu výrazn zvýšena, magnet byl vypln n héliem o nízké teplot (1,8 K) a dalekohled by m l detekovat axiony až do hmotnosti 0,8 eV. M ení v nové konfiguraci budou probíhat po celý rok 2007. Je možné, že axiony nejsou detekovány proto, že ve slune ním nitru je k jejich vytvo ení pot ebná vyšší energie foton , než je k dispozici, anebo proto, že jsou v nitru Slunce n jakými procesy op t pohlcovány.

Obr. 41: CAST – CERN Axion Solar Telescope.

Experiment PVLAS (Polarization of Vacuum with LASer)

PVLAS je zatím bezkonkuren n nejznám jším experimentem díky pozitivní detekci sto ení roviny polarizovaného sv tla ve vakuu. Jde o italský experiment umíst ný v Národní laborato i v Legnaru, která je sou ástí INFN (Istituto Nazionale di Fisica Nucleare). V experimentu bylo použito lineárn polarizované sv tlo o vlnové délce 1 064 nm generované laserem. Sv telný puls procházel metrovým magnetem 483

484

o indukci 5 T, celý prostor byl chlazen kapalným héliem na 2,6 K. Za pomoci rezonátoru byla dráha sv tla um le prodloužena. E. Zavattini se spolupracovníky z 44 000 pr chod sv tla zjistili, že sv tlo získalo slab eliptickou polarizaci a vektor polarizace se sto il za jeden pr chod (tedy na metrové vzdálenosti) o úhel (3,9 ± 0,5)×10−12 rad. Nejp irozen jším vysv tlením je, že se ást foton s polarizací rovnob žnou s externím polem B0 v silném magnetickém poli p em nila na axiony nebo jim podobné ástice a tím došlo ke sto ení polariza ní roviny. Situace odpovídá interakci s Lagrangeovou funkcí L2 a ástice zodpov dné za sto ení roviny polarizace by m ly být pseudoskaláry odnášející nadbyte ný moment hybnosti. Zda jde skute n o axiony nebo jiné ástice musí ukázat až další experimenty. P edpovídaná hmotnost m pseudoskalár je v rozmezí 1÷1,5 meV a vazební konstanta g vychází v rozmezí (1,7÷5)×10−6 GeV−1.

Obr. 42: PVLAS: Nalevo celkový pohled na experiment, napravo je žulová v ž o výšce 7 metr , ve které je umíst n kryostat (chladící za ízení) a v horní ásti optická lavice.

Experiment FLASH (Free-electron LASer in Hamburg)

Experiment FLASH p ipravují v DESY v n meckém Hamburgu. Myšlenka experimentu je velmi prostá a m la by ov it nezávisle anomálii m enou v experimentu PVLAS. ást foton z výkonného laditelného laseru na volných elektronech bude konvertována v silném magnetickém poli na axiony. Tyto axiony snadno projdou nepr hlednou p ekážkou (interagují jen slab ). Za st nou budou (op t v silném magnetickém poli) n které axiony p em n ny zp t na fotony 484

485

a svazek laseru áste n obnoven. Zdánliv by tak m la ást sv tla projít nepr hlednou deskou.

V experimentu se po ítá s laserem na volných elektronech laborato e DESY, který je laditelný od 10 eV (EUV obor) po 200 eV (m kké RTG). Za magnety bude použito 12 elektrických dipólových magnet , každý má indukci 2,24 T a délku 1,029 m. Šest magnet bude umíst no p ed p ekážkou (zajistí konverzi sv tla na axiony) a šest za p ekážkou (zajistí zp tnou konverzi axion na fotony). Laser spolu s magnety se ovšem nevejde do laborato í DESY a proto je experiment stav n p ed budovou. Se zprovozn ním se po ítá do konce roku 2006 a pokud bude axion objeven, jeho detailní pr zkum by m l probíhat na podzim 2007. Auto i považují experiment za natolik d ležitý, že p vodní název VUV-FEL (Vacuum Ultraviolet FreeElectron Laser) byl 16. 4. 2006 zm n n na FLASH (Free-electron LASer in Hamburg). Pokud bude existence axion potvrzena, bude to znamenat veliký krok kup edu v chápání vakua.

Obr. 43: Experiment FLASH bude postaven p ed vchodem do budovy DESY.

485

486

Projekt ADMX

Axionový experiment v LLNL zapo al v roce 1995 a nyní se dostává do své vrcholné fáze. Obdobn jako ostatní experimenty využívá faktu, že v silném magnetickém poli by se axiony m ly konvertovat na fotony, v p ípad za ízení ADMX (Axion Dark Matter eXperiment) na mikrovlnné fotony. Experimentální za ízení se skládá ze supravodivého magnetu o indukci 8 T, který má hmotnost 6 tun. Magnet je navinutý na vn jšku m dí potaženého ocelového válce. V nitru tohoto válce je rezonan ní dutina s dv ma ladicími ty emi, kterými lze pohybovat krokovými motory a m nit sledovanou frekvenci. Slabý signál axion konvertovaných na fotony poté prochází zesilova em.

Obr. 44: Schéma axionového detektoru.

Magnet

Magnet je supravodivá cívka skládající se z 37 700 niobo-titanových závit . Pr m r jádra je 60 cm a délka magnetu 100 cm. Vlastní induk nost magnetu je 534 H. Pole v ose magnetu dosahuje hodnoty 7,92 T, celková energie magnetického pole iní 15 MJ. Zatím nejv tší

486

487

uložené magnetické energie bylo dosaženo v Oxford Instruments p ed p ti lety (27 MJ). Rezonan ní dutina

Rezonan ní dutinu tvo í metr dlouhý válec kruhového pr ezu o pr m ru 50 cm. Je vyroben z oceli a oplátován m dí. Uvnit jsou dv pohyblivé ladicí ty e. Elektrické pole v dutin je sledováno sondou spojenou s ultranízkošumovou elektronikou. Axiony se hledají pomalým skenováním dutiny nap í frekven ním rozsahem m n ným ladicími ty emi. Kovové ladicí ty e zvýší rezonan ní frekvenci dutiny, pokud jsou posunuty sm rem k centru dutiny. Naopak dielektrické ty e posunuté do centra dutiny frekvenci sníží.

Obr. 45: Vlevo: pohled shora na rezonan ní dutinu, jejíž pr m r je 50 cm a výška 1 m. Vnit ek dutiny je potažen m dí a obsahuje dv ladicí ty e. Vpravo: osazování horní ásti detektoru.

P ijíma

Ultranízkošumový p ijíma je jádrem celého experimentu. Nap ový signál z mikrovlnné dutiny je p iveden do rezonátoru, který ho p evede na magnetický tok detekovatelný SQUID elektronikou. Extrémn tiché zesilova e byly vyrobeny v NRAO v polovin 90. let. P ijíma konvertuje mikrovlnný signál v ší ce pásma 50 kHz kolem rezonan ní frekvence dutiny nejprve na signál s centrální frekvencí 35 kHz. Elektronika poté nalezne spektrum signálu. Sledované 50 kHz pásmo v okolí rezonan ní frekvence je rozd leno na 400 kanál o ší ce 125 Hz na každé stran . Po ízeno je 10 000 takových spekter pro každou rezonan ní frekvenci, zpr m rováno a uloženo na 487

488

harddisk spolu s dalšími experimentálními daty. O ekává se, že vlastní axionový signál by m l vytvo it pík ve spektru široký p es 6 kanál . Dominantním signálem je samoz ejm tepelný šum rezonan ní dutiny a p ijímací elektroniky.

Obr. 46: SQUID (Superconducting QUantum Interference Device)

Za ízení konstruované v LLNL je v tuto chvíli nejcitliv jším za ízením na sv t pro detekci axion . Nejoptimisti t jší p edpov di hovo í o možnosti detekovat až stovku axion za sekundu. Pozitivní detekce axion by znamenala velký pokrok v pochopení temné hmoty a p isp la významnou m rou k porozum ní stavby vesmíru jako celku. Projekt ALPS

Dalším práv probíhajícím experimentem je projekt ALPS realizovaný v n meckém DESY u Hamburgu. Zdrojem sv tla je zde laser na volných elektronech, který se p vodn jmenoval FEL (Free Electron Laser) a pozd ji FLASH (Free electron LASer in Hamburg). Sv tlo je vedeno p es šest silných magnet , kde by malá ást m la 488

489

konvertovat na axiony. V cest sv tla bude nepr hledná st na a za ní další šestice magnet . Pokud skute n sv tlo zkonvertuje na axiony, projdou axiony st nou a za ní bude v magnetickém poli jejich malá ást op t konvertována na sv tlo. Samo sv tlo st nou neprojde a tak by pozitivní detekce sv tla za st nou byla nezávislým nep ímým potvrzením existence axion . Experiment by m l být po mnoha pr tazích a p ejmenovávání zprovozn n pod názvem ALPS (Axion Like Particle Search).

Obr. 47: Jeden z dipólových magnet , použitých v experimentu ALPS.

489