SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN DIMENSI TIGA. Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm. P adalah titik tengah CD. Tentukan panjang EP!

SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN

DIMENSI TIGA Soal 1 Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm. P adalah titik tengah CD. Tentukan panjang EP! Jawab:

Lihat gambar! Panjang EP didapat dengan rumus Pythagoras

EP 

EA2  AP 2

dari EAP yang siku-siku di A. Panjang EA = rusuk = 4 cm sudah diketahui, sedangkan panjang AP perlu dicari dahulu! Dengan memperhatikan ADP yang siku-siku di D, maka

AP 

AD 2  DP2 

Sehingga EP 

42  22  16  4 

EA2  AP 2 

20 cm.

42  ( 20 )2  16  20  36  6 cm.

Sepertinya semangat belajar mulai tumbuh bersemi seiring dengan dikerjakannya soal-soal yang mudah.

SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga

(www.papankecil.wordpress.com)

Hal. 1

Soal 2 Balok ABCD.EFGH mempunyai ukuran AB = 12 cm, BC = 8 cm, dan AE = 6 cm. Titik P adalah titik pusat bidang ABFE dan titik Q terletak pada rusuk HG sedemikian sehingga HQ : QG = 3 : 1. Tentukan panjang PQ! Jawab:

Lihat gambar! Karena HQ = QG = 3 : 1 dan HQ = AB = 12 cm, maka: Panjang HQ 

3 3 1 1 12  12  9 cm dan QG  12  12  3 cm. 3 1 4 3 1 4

Proyeksikan titik P dan Q ke bidang alas ABCD, sehingga memotong bidang alas di titik R dan S. Proyeksikan S ke rusuk AB, namakan titik proyeksinya tersebut dengan titik U. Namakan pula titik tengah QS dengan titik T.

QTP adalah segitiga siku-siku di T.1

SUR adalah segitiga siku-siku di U. Perhatikan QTP , PQ 

PT 2  TQ2 .

1 Panjang TQ  2  6 cm  3 cm. Sedangkan panjang PT perlu dicari dahulu.

Panjang PT = panjang RS. Perhatikan SUR , RS 

RU 2  US 2 .

Panjang US = 8 cm, sedangkan panjang RU  AU  AR

 DS  1 AB

2  HQ  1  12  9  6  3 cm. 2 SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga


Hal. 2

Sehingga RS 

RU 2  US 2  32  82  9  64  73 cm.

Maka PT  RS  Jadi, PQ 

73 cm.

PT 2  TQ2 



73

2  32 

73  9  82 cm.

Soal 3 Kubus PQRS.TUVW mempunyai panjang rusuk 6 cm. Titik X terletak pada perpanjangan garis SR, sedemikian sehingga SX : RX = 5 : 2. Tentukan panjang UX! Jawab: Perhatikan gambar!

Karena SX : RX = 5 : 2, maka SR : RX = 3 : 2. 2 Panjang SR = 6 cm , maka RX  3  6  4 cm.

Perhatikan QRX siku-siku di R.

QX  QR2  RX 2  62  42  36  16  52 cm. Perhatikan UQX siku-siku di Q.

UX  UQ2  QX 2  62  ( 52 ) 2  36  52  88  4  22  2 22 cm.



Hal. 3

Soal 4 Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 5 cm. Tentukan jarak titik E ke rusuk BC! Jawab: Ingat definisi jarak titik ke garis !

Jarak titik P ke garis g adalah ruas garis PP’ yang tegak lurus garis g, dimana titik P’ terletak pada garis g.

   

Oooh…. Intinya harus tegak lurus! Siiiiip deh!



Sekarang lihat gambar di bawah!



Hal. 4

Jarak titik E ke rusuk BC adalah EB, sebab EB tegak lurus BC. Jadi, EB 

EA2  AB 2  52  52  5 2 cm.

Soal 5 Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk a cm. Berapa cm jarak titik G ke garis BD? Jawab: Perhatikan gambar di bawah!

Jarak titik G ke garis BD adalah GP, dengan P titik tengah BD. Sebab GP tegak lurus BD.

GP 

PC 2  CG 2 .

1 1 Panjang CG  a cm, sedangkan PC  2 AC  2

AB 2  BC 2

 1 a 2  a 2  1 2a 2  1 a 2 cm. 2 2 2

Sehingga GP 



PC 2  CG 2  ( 1 a 2 ) 2  a 2 

1 a 2 .2  a 2 4

2 a2 4

 1 a 6 cm. 2

2

 a2 

2 a2 4

 4 a2 


4

6 a2 4


Hal. 5

Soal 6 Balok ABCD.EFGH mempunyai ukuran AB = 10 cm, BC = 8 cm dan CG = 6 cm. Berapa cm jarak titik G ke garis BD? Jawab:

Lihat gambar di atas! Jarak G ke garis BD adalah GP, tapi P bukan titik tengah BD (bangun ruang yang diberikan adalah balok, bukan kubus, jadi P bukan titik tengah BD. Berbeda dengan Soal 5) Pertama, cari dulu GBP (  GBD ) dengan aturan cosinus pada GBD , yaitu:

BG 2  BD 2  DG 2 cos GBD  . 2  BG  BD Hitung dulu panjang BG, BD, dan DG:

BG  BC 2  CG 2  82  62  64  36  100  10 cm. BD 

AB 2  AD 2  102  82  100  64  164  4  41  2 41 cm.

DG  DC 2  CG 2  102  62  100  36  136  4  34  2 34 cm. Sehingga

BG 2  BD 2  DG 2 102  (2 41) 2  (2 34 ) 2  2  BG  BD 2  10  2 41

cos GBD  

100  164  136 128 16   . 40 41 40 41 5 41

Perhatikan GBP,

sin GBP 

GP BG



Hal. 6

 GP  BG  sin GBP  BG  sin GBD Sudah diketahui cos GBD 

(sebab GBP  GBD )

16 . Gunakan segitiga bantu untuk memperoleh nilai 5 41

sin GBD.

5 41

(5 41) 2  16 2  1025  256  769

16

Maka sin GBD 

769 . 5 41

Akibatnya GP  BG  sin GBD

 10 

769 2 769 2 769 41 2     31529 cm. 5 41 41 41 41 41

Soal 7 Kubus KLMN.OPQR mempunyai rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik M ke diagonal ruang KQ! Jawab: Lihat gambar! Misalkan titik S adalah titik proyeksi tegak lurus titik M ke garis KQ. Maka jarak yang diminta adalah MS. Panjang rusuk kubus r = 6.

Perhatikan:

KQ  r 3  6 3 cm (diagonal ruang)

KM  r 2  6 2 cm (diagonal bidang)



Hal. 7

Gunakan metode menghitung luas segitiga sewaktu di bangku SD:

Luas KMQ  Luas KMQ 1  alas  tinggi  1  alas  tinggi 2 2

KM  MQ  KQ  MS 6 2  6  6 3  MS  MS  

6 2 6 6 2  6 3 3 6 2 3 6 6    2 6 cm. 3 3 3

Alangkah senangnya mengingat kembali rumus waktu SD! L = ½ x alas x tinggi

Soal 8 Tentukan besar BEG pada kubus ABCD.EFGH ! Jawab: Panjang rusuk kubus tidak diketahui! Tapi tenang, jangan panik! Kita misalkan saja panjang rusuk kubus = r.

Perhatikan bahwa:

BG  r 2 (diagonal bidang) BE  r 2 (diagonal bidang)

BEG segitiga samasisi

EG  r 2 (diagonal bidang)


 BEG  60 .


Hal. 8

Soal 9 Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk 11 cm. Tentukan jarak titik G ke bidang ABFE! Jawab: Definisi jarak titik ke bidang: Jarak titik P ke bidang  adalah panjang ruas garis yang melalui titik P dan sebuah titik pada bidang  , sedemikian sehingga ruas garis tersebut tegak lurus bidang  . Pada gambar di samping, jarak titik P ke bidang  adalah d.

Intinya: Haruz tegak luruzz!!





 





















Kembali pada soal,

jarak titik G ke bidang ABFE adalah GF, sebab GF tegak lurus bidang ABFE. Jadi, jaraknya adalah GF = 11 cm.



Hal. 9

Soal 10 Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk 6 cm. Tentukan jarak titik F ke bidang ACH! Jawab: Perhatikan gambar!

Misalkan P adalah titik tengah AC. Misalkan pula R adalah titik pada bidang atap EFGH dengan PR sejajar CG. Dengan mempertimbangkan kesimetrisan bentuk, maka jarak titik F ke bidang ACH adalah jarak titik F ke garis HP. Misalkan titik proyeksi tegak lurus F ke garis HP adalah Q. Maka jarak yang diminta adalah jarak FQ. Perhatikan:

AC  6 2 cm

(diagonal bidang)

AP  1 AC  1  6 2  3 2 cm. 2 2 AH  6 2 cm (diagonal bidang)

HPA siku-siku di P, maka HP 

AH 2  AP 2  (6 2 ) 2  (3 2 ) 2

 72  18  54  3 6 cm. Dengan cara yang sama, PF  3 6 cm. (Sadarilah PF = HP)

PR  CG  6 cm.

HF  6 2 cm. Untuk mendapatkan jarak FQ, gunakan:



Hal. 10

Luas HPF  Luas HPF 1  alas  tinggi  1  alas  tinggi 2 2

HP  FQ  HF  PR 3 6  FQ  6 2  6 6 2 6 3 6

FQ 



36 2 12 12   3  4 3 cm. 3 6 3 3

Soal 11 Balok ABCD.EFGH mempunyai ukuran AB = 8 cm, BC = 4 cm dan CG = 4 cm. Tentukan jarak titik B ke bidang ACGE! Jawab: Perhatikan gambar!

Jarak titik B ke bidan ACGE sama dengan jarak titik B ke garis AC. Misalkan proyeksi tegak lurus titik B pada AC adalah M, maka jarak yang diminta adalah BM.

ABC siku-siku di B, maka AC 

AB 2  BC 2  82  42

 64  16  80  4 5 cm. Untuk menghitung garis tinggi BM, gunakan:

Luas ABC  Luas ABC SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga


Hal. 11

1  alas  tinggi  1  alas  tinggi 2 2

AC  BM  AB  BC

4 5  BM  8  4 BM 

8 8  5 cm. 5 5

Soal 12 Limas segiempat beraturan T.ABCD mempunyai panjang rusuk alas AB = BC = CD = DA = 8 cm dan panjang rusuk tegak TA = TB = TC = TD = 12 cm. Titik P adalah pusat bidang alas ABCD. Tentukan jarak titik P ke bidang TBC! Jawab: Perhatikan gambar!

Misalkan E titik tengah BC. Perhatikan bahwa jarak P ke bidang TBC sama dengan jarak P ke garis TE. Misalkan Q adalah titik proyeksi tegak lurus P ke garis TE. Maka jarak yang diminta adalah panjang PQ. Perhatikan:

AP 

1 1 1 2 1 AC  AB 2  BC 2  8  82   8 2  4 2 cm. 2 2 2 2

Karena TPA siku-siku di P, maka:

TP  TA2  AP 2  122  (4 2 ) 2  144  32  112  4 7 cm. SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga


Hal. 12

Sementara itu,

PE 

1 1 AB   8  4 cm. 2 2

Karena TEB siku-siku di E, maka:

TE  TB2  BE 2  122  42  144  16  128  8 2 cm. Untuk mendapatkan garis tinggi PQ, gunakan:

Luas TPE  Luas TPE 1  alas  tinggi  1  alas  tinggi 2 2

PE  TP  TE  PQ

4  4 7  8 2  PQ PQ 

4 4 7 8 2



16 7 8 2



2 7 2



2 7 2   14 cm. 2 2

Soal 13 Bidang empat T.ABC mempunyai ukuran rusuk 12 cm. Tentukan tinggi bidang empat tersebut (yaitu jarak titik T ke bidang alas ABC)! Jawab: Bidang empat (tetrahedron) adalah bangun ruang yang terdiri dari empat bidang, dengan semua rusuknya sama panjang, merupakan limas segitiga beraturan. Garis tinggi bidang empat adalah TP, dengan P adalah titik berat segitiga ABC, yaitu perpotongan garis-garis berat AD, BE, dan CF. Garis berat membagi sisi (rusuk) di hadapannya menjadi dua bagian sama panjang. Jadi, AF = FB = 6 cm, BD = DC = 6 cm, AE = EC = 6 cm. SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga


Hal. 13

Pertama, cari dulu panjang CF. Karena CFB siku-siku di F, maka:

CF  BC 2  BF 2  122  62  144  36  108  36  3  6 3 cm. P adalah titik berat segitiga ABC, maka

CP 

2 2 CF   6 3  4 3 cm. 3 3

Karena TPC siku-siku di P, maka:

TP  TC 2  CP 2  122  (4 3 ) 2  144  48  96  16  6  4 6 cm. Jadi, tinggi bidang empat tersebut adalah 4 6 cm.

Soal 14 Balok KLMN.OPQR memiliki ukuran KL = 6 cm, LM = 5 cm, dan KO = 10 cm. Tentukan sudut yang dibentuk oleh : a) Garis PQ dengan garis KP b) Garis PQ dengan OL Jawab: Lihat gambar!

a) Perhatikan bahwa:

PQ  PL    PQ  bidang POKL PQ  PO  (Inga: Jika garis g tegak lurus terhadap garis a dan garis b, maka garis g tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh garis a dan garis b.) SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Dimensi Tiga


Hal. 14

PQ  bidang POKL

   PQ  KP KP terletak pada bidang POKL (Inga: Jika garis g tegak lurus bidang U, maka garis g tegak lurus semua garis yang terletak pada bidang U tersebut)

o

Karena tegak lurus, maka sudut yang dibentuk oleh PQ dan KP adalah 90

.

b) Perhatikan bahwa garis PQ dan OL bersilangan, dan kedua garis itu tidak akan berpotongan. Kalau begitu, bagaimana cara menentukan sudut antara kedua garis tersebut? Caranya adalah dengan menggeser-sejajar salah satu garis, hingga berpotongan dengan garis yang satunya lagi. Pada soal, kita dapat menggeser sejajar garis PQ menjadi OR, sehingga sudut antara PQ dan OL sama dengan sudut antara OR dan OL, yang besarnya o

adalah 90

.

Soal 15 Kubus ABCD.EFGH mempunyai rusuk 3 cm. Titik I terletak pada HG, sehingga HI = 1 cm. Jika ACI   , tentukan nilai tan  . Jawab: Lihat gambar!

Misalkan proyeksi tegak lurus titik I ke bidang alas adalah titik J. Jelas DJ = HI = 1 cm. Untuk mencari ACI   , kita hitung dulu panjang ketiga sisi dari ACI .



Ini tips lho!

Hal. 15

AC 

AB 2  BC 2  32  32  3 2 cm.

IC  IG 2  GC 2  22  32  4  9  13 cm. AI 

AJ 2  IJ 2

Panjang IJ = 3 cm, sedangkan AJ  Sehingga:

AI 

AD 2  DJ 2  32  12  10 cm.

AJ 2  IJ 2  ( 10 ) 2  32  10  9  19 cm.

Gunakan rumus cosinus:

AC 2  IC 2  AI 2 cos ACI  2  AC  IC

cos  

(3 2 ) 2  ( 13 ) 2  ( 19 ) 2 2  3 2  13



18  13  19 6 26



12 2  . 6 26 26

Gunakan segitiga bantu untuk mendapatkan nilai tan  . Ingatlah cos 

sisi samping sisi depan dan tan  sisi samping sisi miring

( 26 ) 2  2 2

26

 26  4  22

2 Jadi, tan  

sisi depan 22  . sisi samping 2



Hal. 16

Soal 16 Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk r cm, bidang BDG membagi kubus menjadi dua bagian, yang satu kecil dan yang lain besar. Berapakah perbandingan volume dua bagian tersebut? Jawab: Lihat gambar!

Bidang BDG membagi kubus ABCD.EFGH menjadi dua bagian, yaitu:

dan

Volume bagian I adalah:

V1 

1 1 1 1   Luas alas  tinggi     r  r   r  r 3 3 3 2 6 

Volume bagian II adalah:

1 5 V2  Vtotal kubus  V1  r 3  r 3  r 3 6 6 Jadi, perbandingan volumenya:

V1 : V2 

1 3 5 3 r : r  1: 5 6 6



Hal. 17

SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN DIMENSI TIGA. Sebuah kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm. P adalah titik tengah CD. Tentukan panjang EP!

Recommend Documents