SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN STATISTIKA. 6 cm, 7 cm, 6 cm, 4 cm, 6 cm, 3 cm, 7 cm, 6 cm, 5 cm, 8 cm

SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN

STATISTIKA Soal 1 Diberikan data pengukuran sebagai berikut: 6 cm, 7 cm, 6 cm, 4 cm, 6 cm, 3 cm, 7 cm, 6 cm, 5 cm, 8 cm. Tentukanlah:

a) Modus b) Median c) Kuartil bawah

Jawab: Urutkan data terlebih dahulu, dari kecil ke besar: 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm, 6 cm, 6 cm, 6 cm, 7 cm, 7 cm, 8 cm. a) Modus = nilai yang paling sering muncul = 6 cm.

b) Median = nilai tengah

Karena mediannya berada di antara dua data (6 cm dan 6 cm), maka mediannya adalah rata-rata dari keduanya. Jadi, median =

6 cm  6 cm  6 cm . 2

c) Kuartil bawah = Q1 = nilai yang berada pada posisi 25% data keseluruhan. Perhatikan skema berikut ini!

SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Statistika

(www.papankecil.wordpress.com)

Hal. 1

Kembali pada soal, perhatikan bagan berikut ini!

Median (Q2) membagi data (yang sudah diurutkan) menjadi dua kelompok, yaitu kelompok data kiri dan kelompok data kanan. Nah, kuartil bawah (Q1) adalah nilai tengah dari kelompok data kiri. Pada bagan, jelas Q1 = 5 cm.

Soal 2 Diberikan data pengukuran sebagai berikut: 9, 10, 8, 7, 9, 11, 11, 13, 12. Tentukanlah:

a) b) c) d)

Modus Jangkauan Rata-rata Simpangan kuartil

Jawab: Pertama, urutin dulu yuk datanya dari kecil ke besar…! Ayuuuuuukk…..!!

a) Modus = nilai yang paling sering muncul = 9 dan 11. (Si 9 dan si 11 kali ini menjadi juara bersama nilai paling populer) b) Jangkauan = data terbesar – data terkecil = 13 – 7 = 6.

Aku data terbesar

Aku data terkecil



Hal. 2

c) Rata-rata =

jumlah semua data 7  8  9  9  10  11  11  12  13  banyaknyadata 9



90  10. 9

d) Simpangan kuartil (Qd) rumusnya adalah:

Qd 

Q3  Q1 . 2

Maka kita perlu mencari Q1 dan Q3. Pertama, kita tentukan nilai tengah (Q2) dulu.

Q2 = 10 ini membagi data menjadi dua kelompok, yaitu kelompok bagian kiri dan kanan.

Nah, Q1 adalah nilai tengah kelompok data kiri, sedangkan Q3 adalah nilai tengah kelompok data kanan.

Dari bagan di atas, terlihat Q1 terletak di antara angka 8 dan 9. Kita ambil rata-

89  8,5. Sedangkan Q3 terletak di antara angka 11 dan12. 2 11  12  11,5. Sehingga simpangan kuartilnya Kita ambil juga rata-ratanya: Q3  2 Q3  Q1 11,5  8,5 3    1,5. adalah Qd  2 2 2 ratanya. Jadi Q1 



Hal. 3

Soal 3 Diberikan data pengukuran nomor sepatu bayi imut sebagai berikut: 1, 2, 3, 4, 5 Tentukanlah:

a) Simpangan rata-rata b) Ragam (variance) c) Simpangan baku (standard deviation)

Jawab: Pertama, kita hitung dulu rata-rata (dilambangkan x ) nomor sepatu bayi imut tersebut:

x

1  2  3  4  5 15   3. 5 5

a) Simpangan rata-rata rumusnye:

SR 

 xx n

di sini x menunjukkan data-data yang ada (pada soal x nya adalah biangan 1, 2, 3, 4, 5),

x adalah nilai rata-rata (pada soal x  3 ), sedangkan n adalah banyaknya data (pada soal, n = 5). Tanda sigma (  ) menunjukkan penjumlahan, sedangkan tanda mutlak menjadikan bilangan yang ada di dalamnya positif. Kabuur….! HEY, JANGAN LARI KAU, BILANGAN NEGATIF !!

Hiks..! KETANGKEP JUGA KAU..! MASUKLAH DALAM TANDA MUTLAK SEMENTARA WAKTU! KAU AKAN DIPAKSA MENJADI POSITIF!!



Hal. 4

SELAMAT!! KAU KELUAR SEBAGAI BILANGAN POSITIF!

Jadi positif ternyata enak juga!!

Kembali pada soal, simpangan rata-ratanya adalah:

SR 

 x  x  1 3  2  3  3  3  4  3  5  3 n

5



 2  1  0  1  2 5



2 1 0 1 2 6  . 5 5

b) Ragam (variance) dilambangkan dengan s2. Rumusnya adalah: 2 ( x  x )  s2 

n

Kita hitung,

(1  3) 2  (2  3) 2  (3  3) 2  (4  3) 2  (5  3) 2 s  5 2

(2) 2  (1) 2  (0) 2  (1) 2  (2) 2  5



4  1  1  4 10   2. 5 5

Jadi, ragamnya = 2. (Catatan: Lambang ragam memang s2. Jangan diakarin! Kalau diakarin menjadi simpangan baku)



Hal. 5

c) Simpangan baku atau standard deviation (s) adalah akar dari ragam (variance)

s2 

Jadi, s 

2.

Soal 4 Rata-rata nilai ulangan matematika suatu kelas yang terdiri dari 20 siswa adalah 77. Datang murid baru bernama Ahmad, nilai rata-rata ulangan matematika menjadi 78. Berapakah nilai ulangan Ahmad? Jawab:

Rata - rata awal 

77 

Jumlah semua nilai 20 siswa Banyak siswa

Jumlah semua nilai 20 siswa 20

 Jumlah semua nilai 20 siswa  77  20  1540 . Sementara itu,

Rata - rata baru 

Jumlah semua nilai 21 siswa Banyak siswa

78 

Jumlah semua nilai 20 siswa  Nilai Ahmad 21

78  21  Jumlah semua nilai 20 siswa  Nilai Ahmad 1638  1540  Nilai Ahmad  Nilai Ahmad  1638 1540  98 .

Soal 5 Suatu sekolah terdiri dari murid laki-laki dan perempuan. Rata-rata berat badan murid lakilaki adalah 60 kg, sedangkan rata-rata berat badan perempuan adalah 50 kg. Sedangkan ratarata berat badan semua murid adalah 58 kg. Berapakah perbandingan banyak murid laki-laki dengan perempuan? Jawab: Misalkan banyak murid laki-laki adalah n1 , sedangkan banyak murid perempuan adalah n2 . Maka,



Hal. 6

 Jumlah berat badan semua murid lakilaki     jumlah berat badan semua murid perempaun  Rata - rata berat badan semua murid   Banyak siswa semuanya 58 

60n1  50n2  n1  n2

58n1  58n2  60n1  50n2 58n2  50n2  60n1  58n1 8n2  2n1

8 n1  2 n2 4 n1  1 n2 Jadi, perbandingan banyak murid laki-laki dengan perempuan adalah n1 : n2  4 : 1 .

CARA LAIN: Lihat bagan berikut ini! Angka di atas adalah selisihnya.

Perbandingan banyak murid laki-laki dan perempuan = 8 : 2 (diambil secara menyilang) = 4 : 1. Soal 6 Diketahui bahwa jika Zaid mendapatkan nilai 75 pada ulangan yang akan datang, maka rata-rata nilai ulangannya 82. Jika Zaid mendapatkan nilai 93, maka rata-rata nilai ulangannya adalah 85. Banyaknya ulangan yang sudah diikuti Zaid adalah…. Jawab: Misalkan Zaid sudah mengikuti n ulangan, dan rata-rata ulangan yang sudah diikuti adalah x . Maka jumlah semua nilai ulangan yang sudah diikuti = n  x . SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Statistika


Hal. 7

Dari pengandaian pertama diperoleh persamaan:

Jumlah semua nilai ulangan n 1 nx  75 82   82n  82  nx  75 n 1 82  75  nx  82n 7  nx  82n ………… (1)

82 

Dari pengandaian yang kedua, diperoleh persamaan:

Jumlah semua nilai ulangan n 1 nx  93 85   85n  85  nx  93 n 1 85  93  nx  85n  8  nx  85n ……………. (2)

85 

Kurangi persamaan (1) dengan (2),

7  nx  82n  8  nx  85n



15  0  3n 15  5.  n 3 Soal 7 Jika rata-rata 20 bilangan bulat non negatif berbeda adalah 20, maka bilangan terbesar yang mungkin adalah…. Jawab: Misalkan bilangan bulat terbesar P. Untuk mendapatkan nilai P terbesar, maka pilih bilangan lainnya sekecil mungkin. Karena harus bilangan bulat non negatif berbeda, maka bilangan lainnya yang dipilih adalah 0, 1, 2, 3, … , 18 (ada 19 bilangan). Karena nilai rata-ratanya 20, maka berlaku:

20 

0  1  2  3  ...  18  P 20

400  0  1  2  3  ....  18  P

Ingat rumus deret aritmatika:

S n  1 n(a  U n ) 2

400  0  1  18  (1  18)  P 2

400  9  19  P 400  171  P  P  400  171  229 .



Hal. 8

Soal 8 Nilai ulangan fisika suatu kelas yang terdiri dari sejumlah murid mempunyai rata-rata 73 dan simpangan baku 10. Karena banyak siswa yang nilainya rendah, maka guru menaikkan nilai setiap siswa 2 poin. (Wahai para guru, jangan ditiru!! Ini perbuatan yang tidak baik, karena membiaskan nilai sebenarnya!!). Tentukan rata-rata dan simpangan baku sekarang! Jawab:

Misalkan di kelas tersebut terdapat n siswa, dan nilai ulangan para siswa adalah

x1, x2 ,..., xn . Dari rata-rata awal didapatkan:

x  x  ...  xn x 1 2 n

x  x2  ...  xn 73  1 n  x1  x2  ...  xn  73n Maka rata-rata yang baru setelah nilai setiap siswa dinaikkan 2 poin adalah:

x 

( x1  2)  ( x2  2)  ...  ( xn  2) n

x  x2  ...  xn  2  n  1 n



73n  2n 75n   75. n n

Dari simpangan baku awal, didapatkan:

s

( x1  x ) 2  ( x2  x ) 2  ...  ( xn  x ) 2  10 . n

Untuk simpangan baku yang baru:

s 

( x1  2  x ) 2  ( x2  2  x ) 2  ...  ( xn  2  x ) 2 n

dimana x  adalah rata-rata yang baru dan memenuhi x   x  2 , sebab 75 = 73 +2. Sehingga,

s 

( x1  2  ( x  2)) 2  ( x2  2  ( x  2)) 2  ...  ( xn  2  ( x  2)) 2 n



Hal. 9



( x1  x ) 2  ( x2  x ) 2  ...  ( xn  x ) 2 n

Bentuk terakhir ini sama dengan simpangan baku awal s. Jadi, s  s  12 .

TERNYATA…!! Jika setiap data ditambah 2, maka rata-ratanya juga bertambah 2, namun simpangan bakunya tetap! Soal 9 Rata-rata sejumlah data adalah 8 sedangkan ragamnya 3 (simpangan baku 3 ). Jika setiap data dikali 2, maka rata-rata, ragam dan simpangan baku menjadi berapa? Jawab: Misalkan data mula-mula adalah x1, x2 ,..., xn . Data baru setelah dikali 2 menjadi 2 x1,2 x2 ,...,2 xn . Dari rata-rata mula-mula kita dapatkan:

xmula 

8

xi n

xi  xi  8n n

Maka rata-rata barunya:

xbaru 

(2 xi ) 2xi 2  8n    16. n n n

Dari ragam mula-mula, kita dapatkan:

( xi  xmula ) 2 s mula  n 2

( xi  8) 2 2 3  ( xi  8)  3n n Maka ragam barunya (setelah tiap data dikali 2) menjadi:

(2 xi  xbaru ) 2 s baru  n 2

(2 xi  16) 2 2( xi  8) 2 4( xi  8) 2    n n n 

4( xi  8) 2 4  3n   12 . n n



Hal. 10

Sedangkan simpangan baku barunya menjadi:

sbaru  s 2baru  12  2 3 .

CARA LAIN: Gunakan aturan berikut. Jika setiap data dikali a maka:



rata-ratanya menjadi a kali semula



ragamnya menjadi a2 kali semula



simpangan bakunya menjadi a kali semula

Pada soal, a = 2 (setiap data dikali 2), maka xbaru  2 xmula  2  8  16 .

s 2baru  22  s 2 mula  4  3  12 .

sbaru  2 smula = 2 3 .

Soal 10 Jika diagram batang di bawah ini memperlihatkan frekuensi kumulatif hasil tes matematika siswa kelas XII-Jayyid, maka persentase siswa yang memperoleh nilai 8 adalah….

Jawab:



Hal. 11

Diagram tersebut sepertinya mengasumsikan bahwa nilai siswa adalah bilangan bulat! Ingatlah pengertian frekuensi kumulatif: “Frekuensi kumulatif dari nilai x adalah jumlah semua siswa yang mendapat nilai  x ”. Pada diagram terlihat bahwa frekuensi kumulatif nilai 8 adalah 22, artinya ada 22 siswa yang mendapat nilai  8 (yaitu yang mendapat nilai 0 sampai 8). Sedangkan frekuensi kumulatif nilai 7 adalah 19 (lihat diagram!), artinya ada 19 siswa yang mendapat nilai  7 (yaitu yang mendapat nilai 0 sampai 7). Sehingga yang mendapat nilai 8 adalah selisihnya, yaitu (22 – 19) siswa = 3 siswa. Sekarang, untuk mengetahui jumlah siswa seluruhnya lihat saja frekuensi kumulatif nilai 10, yaitu 25. Jadi, total siswa ada 25 orang. Dengan demikian, persentase siswa yang memperoleh nilai 8 adalah

banyak siswa yang memperoleh nilai 8  100% total siswa seluruhnya 3   100% 25  12%. 

Soal 11 Perhatikan data kelompok berikut ini!

Berat badan (kg) 21 – 25 26 – 30 31 – 35 36 – 40 41 – 45 46 – 50 51 – 55 56 – 60

Frekuensi 1 3 4 8 12 7 3 2

Tentukan nilai rata-rata! Jawab: Gunakan rumus x 

 ( f  x) f

dengan f adalah frekuensi kelas dan x adalah nilai

tengah kelas. Supaya lebih mudah, kita buat kolom nilai tengah (x).



Hal. 12

Berat badan (kg) 21 – 25 26 – 30 31 – 35 36 – 40 41 – 45 46 – 50 51 – 55 56 – 60

Frekuensi ( f ) 1 3 4 8 12 7 3 2

Nilai tengah (x) 23 28 33 38 43 48 53 55

Kemudian buat kolom f  x seperti di bawah ini!

Berat badan (kg) 21 – 25 26 – 30 31 – 35 36 – 40 41 – 45 46 – 50 51 – 55 56 – 60

Frekuensi ( f ) 1 3 4 8 12 7 3 2  f  40

Nilai tengah (x) 23 28 33 38 43 48 53 55

(f . x) 23 84 132 304 516 336 159 110  ( f  x)  1664

Sehingga nilai rata-ratanya adalah

x

 ( f  x)  1664  41,6 . 40 f

   

Nilai rata-rata dari data kelompok, rumusnye

x

 ( f  x) f

ye….

Jangan lupe, x nye nilai tengah kelas ye…..

iyyeee ....!



          SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Statistika


Hal. 13


Berat badan (kg) 21 – 25 26 – 30 31 – 35 36 – 40 41 – 45 46 – 50 51 – 55 56 – 60

Frekuensi 1 3 4 8 12 7 3 2

Tentukan kuartil bawah! Jawab: Kuartil bawah adalah data yang terletak pada urutan 25% dari bawah. Rumuznya:

 1 n  (f ) seb  p Q1  Tb   4   f Q1   Dimana Q1 = kuartil bawah Tb = tepi bawah kelas kuartil = batas bawah kelas kuartil – 0,5 n = banyak data seluruhnya  f

(f ) seb = jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil f Q1  frekuensi kelas kuartil bawah p = panjang kelas = batas atas – batas bawah + 1

Pada soal, n  f  1  3  4  8  12  7  3  2  40 . Kuartil bawah adalah data pada urutan 4 n  4 .40  10 . 1

1

Data pada urutan ke-10 berada pada kelas 36 – 40 (kg) . Jadi, kelas 36 – 40 (kg) adalah kelas kuartil bawahnya! Tb = tepi bawah = batas bawah – 0,5 = 36 – 0,5 = 35,5.

(f ) seb  1  3  4  8 .

f Q1  8. p = 40 – 36 + 1 = 4 + 1 = 5. SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Statistika


Hal. 14

Berat badan (kg) 21 – 25 26 – 30 31 – 35 36 – 40 Kelas Q1 41 – 45 46 – 50 Tb  35,5 51 – 55 56 – 60 p  4 1  5

Frekuensi 1 3 4 8 12 7 3 2

(f ) seb  8 fQ1  8.



n  f  40

Jadi, kuartil bawahnya

 1 n  (f ) seb   1 .40  8    5 4 Q1  Tb  p  35,5   4     f Q1 8     2 10  35,5  .5  35,5   35,5  1,25  36,75. 8 8 Soal 13 Jelasin dong kenapa kuartil bawah pada data kelompok rumusnya

 1 n  (f ) seb  p Q1  Tb   4   ? …..Dari mana sih dapatnya? f Q1   Jawab: Untuk data tunggal, mudah dipahami bahwa kuartil bawah (Q1) adalah data yang berada pada urutan 25% dari kecil ke besar. Untuk data kelompok, pengertian itu juga dipakai, Q1 adalah data pada urutan 25%. Kita ambil contoh pada Soal 8,

Berat badan (kg) 21 – 25 26 – 30 31 – 35 36 – 40 Kelas Q1 41 – 45 46 – 50 Tb  35,5 51 – 55 56 – 60 p  4 1  5 SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Statistika

Frekuensi 1 3 4 8 12 7 3 2

(f ) seb  8 fQ1  8.



n  f  40


Hal. 15

Urutan 25% adalah urutan

1 n  1  40  10 . 4 4

Jadi, Q1 adalah data pada urutan ke-10. Dari tabel jelas Q1 berada di dalam kelas 36 – 40 (kg). Tapi berapa nilai Q1 seharusnya, apakah 36, 37, 38, 39, atau 40? …… atau berapa tepatnya? Keputusan yang cukup logis diambil dari asumsi bahwa data terdistribusi merata (sehingga data berurut secara linier). Karena (f ) seb  1  3  4  8 , maka untuk Q1 yang merupakan data ke-10 dapat dicari sebagai data ke-2 pada kelas 36 – 40 kg. Perhatikan bahwa kelas-kelas yang ada tidak kontinu, tetapi ada lompatan pada batas-batas kelas. Sebagai contoh dari kelas 31 – 35 (kg) ke kelas 36 – 40 (kg) ada lompatan dari 35 ke 36. Agar tidak ada lompatan, kita buat datanya kontinu seperti pada gambar di bawah!

Jadi, kelas 36 – 40 (kg) memiliki tepi bawah 35,5 dan tepi atas 40,5. Nah, dari tepi bawah (Tb) = 35,5 kita cari data ke-2 dari f Q1  8 data yang ada pada kelas 36 – 40 (kg) tersebut. Panjang kelas (p) di sini adalah p = 40,5 – 35,5 = 5. Misalkan jarak dari Tb ke Q1 adalah w (lihat gambar!) Maka Q1  Tb  w . Penalaran yang cukup logis jika kita anggap ada kesebandingan antara w dan p dengan urutan datanya. Jadi,

w 2  p 8 w 10  8  p 8



Hal. 16

w 4 n  (f ) seb  p f Q1 1

 1 n  (f ) seb  w4  f Q1 

Akhirnya... Usai juga rumus itu dibangun…!!

 p  

Sehingga kuartil bawahnya:

 1 n  (f ) seb  p Q1  Tb  w  Tb   4   . f Q1  


Tinggi badan (cm) 121 – 130 131 – 140 141 – 150 151 – 160 161 – 170 171 – 180

Frekuensi 1 5 8 12 7 3

Tentukan mediannya! Jawab: Median, atau disebut juga kuartil tengah (Q2) memiliki rumus:

 1 n  (f ) seb  p Median  Tb   2   . f med   dimana

Tb = tepi bawah kelas median = batas bawah kelas median – 0,5 n = banyak data seluruhnya  f

(f ) seb = jumlah frekuensi sebelum kelas median f med  frekuensi kelas median p = panjang kelas = batas atas – batas bawah + 1



Hal. 17

Pada soal, n  f  1  5  8  12  7  3  36 . Median adalah data pada urutan 2 n  2  36  18 . 1

1

Data pada urutan ke-18 berada pada kelas 151 – 160 (cm) . Jadi, kelas 151 – 160 (cm) adalah kelas mediannya! Tb = tepi bawah = batas bawah – 0,5 = 151 – 0,5 = 150,5.

(f ) seb  1  5  8  14 .

f med  12 p = 160 – 151 + 1 = 9 + 1 = 10.

Perhatikan tabel berikut !

Tinggi badan (cm) 121 – 130 131 – 140 141 – 150 151 – 160 Kelas Median 161 – 170 171 – 180 Tb  150,5

Frekuensi 1 (f ) seb  14 5 8 f med  12 12 7 3  n  f  36

p  9  1  10

Jadi, mediannya:

 1 n  (f ) seb Median  Tb   2  f med 

 p  

 1  36  14  10  150,5   18  14 10  150,5   2     12  12   

4 1  150,5   10  150,5   10  12   3  150,5  3,33  153,83 cm.



Hal. 18


Tinggi badan (cm) 121 – 130 131 – 140 141 – 150 151 – 160 161 – 170 171 – 180


Tentukan modusnya! Jawab: Data pada soal ini sama dengan data pada soal sebelumnya, hanya saja yang ditanya kali ini adalah modusnya. Modus adalah nilai yang paling sering muncul, yaitu nilai yang frekuensinya paling besar. Pada soal, kelas yang frekuensinya paling besar adalah kelas dengan frekuensi = 12, yaitu kelas 151 – 160 cm. Inilah kelas modusnya! Rumus untuk modus adalah: Jika Anda bertanya, kenapa ya rumusnya begini…, lihat Soal 16!

 d1   p Modus  Tb   d  d 2  1

dimana

Tb = tepi bawah kelas modus d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas setelahnya p = panjang kelas modus

Pada soal, Tb = Batas bawah – 0,5 = 151 – 0,5 = 150,5. d1 = 12 – 8 = 4. d2 = 12 – 7 = 5. p = batas atas – batas bawah + 1 = 160 – 151 + 1 = 9 + 1 = 10. Untuk lebih jelasnya, lihatlah bagan berikut ini!



Hal. 19

Tinggi badan (cm) 121 – 130 131 – 140 141 – 150 151 – 160 Kelas Modus 161 – 170 171 – 180 Tb  150,5

Frekuensi 1 5 8 d1  4 12 d2  5 7 3

p  9  1  10 Dengan memasukkan nilai-nilainya, kita peroleh:

 d1   4   p  150,5   Modus  Tb   10  150,5  4,44  154,94 cm. d  d 4  5   2  1

Soal 16



d1   p ?  d1  d 2 

Kenapa sih rumus modus untuk data kelompok adalah Modus  Tb   Jelasin doongg…!! Jawab: Untuk data tunggal, modus adalah data yang paling sering muncul.

Untuk data kelompok, modus juga merupakan data yang paling sering muncul. Akan tetapi karena datanya berbentuk kelas (interval), modusnya itu data yang mana ???? Kita ambil sebagai contoh, data pada soal sebelumnya, yaitu Soal 15.

Tinggi badan (cm) 121 – 130 131 – 140 141 – 150 151 – 160 161 – 170 171 – 180


Jelas terlihat kelas data yang paling sering muncul adalah kelas 151 – 160 (cm), karena frekuensinya paling besar, yaitu 12. Namun modusnya (data yang paling sering muncul) tepatnya berapa, apakah 151, 152, 155, 157, 160, atau berapa…?



Hal. 20

Perhatikan diagram batang berikut ini:

Karena kelas modus 151 – 160 (cm) dengan kelas sebelumnya 141 – 150 (cm) maupun dengan kelas setelahnya 161 – 170 (cm) tidak bersambung (tidak kontinu), maka kita perlebar sehingga kelas-kelas tersebut menjadi rapat. Tepi kelas modus menjadi 150,5 (tepi bawah=Tb) dan 160,5 (tepi atas). Kalau kita lihat-lihat diagram tersebut, kelas 141 – 150 (cm) frekuensinya lebih tinggi sedikit dari pada kelas 161 – 170 (cm), yaitu masing-masing berfrekuensi 8 dan 7. Tentunya logis apabila modus (nilai yang paling sering muncul) lebih dekat ke kelas 141 – 150 (cm) daripada ke kelas 161 – 170 (cm), karena lebih banyak data pada kelas 141 – 150 (cm) daripada ke kelas 161 – 170 (cm).

Seandainya frekuensi kelas 141 – 150 (cm) dan kelas 161 – 170 (cm) adalah sama (misalkan sama-sama 8), maka logisnya modus adalah nilai tengah kelas modus 151 – 160 (cm) , yaitu 155,5 cm. (Lihat diagram di bawah, perhatikan perpotongan dua garis menyilang)



Hal. 21

Bagaimana jika frekuensi kelas sebelum dan setelah kelas modus berbeda, seperti pada soal ? Dengan penalaran yang logis, secara geometri modus berada pada posisi titik perpotongan garis menyilang AB dan CD, yaitu titik E (lihat bagan di bawah!)

p  10

Karena segitiga ADE sebagun dengan segitiga BCE, maka berlaku perbandingan:

FE EG FE EG    ………(*) d1 d2 AD BC Sementara itu, FE  EG  FG  p .  EG  p  FE …….. (**) Substitusi (**) ke (*), kita peroleh:

FE p  FE  d1 d2 d 2 FE  d1 p  d1FE

(kali silang)

d1FE  d 2 FE  d1 p (d1  d 2 ) FE  d1 p

FE 

d1 p d1  d 2

Sementara itu dari bagan jelas FE adalah jarak antara Tb dan Modus.



Hal. 22

Jadi, FE = Modus – Tb sehingga Modus  Tb  FE

Modus  Tb 

d1 p d1  d 2

(terbukti)

Kalau rumus sudah dibuktikan begini, rasanya ada kepuasan batin…!

Soal 17 Perhatikan diagram batang berikut ini!

Tentukan modusnya! Jawab:



d1   p .  d1  d 2 

Gunakan rumus Modus  Tb  

Kelas modus adalah kelas 34,5 – 40,5 karena frekuensinya paling tinggi. Di sini Tb = 34,5 (tidak perlu dikurangi 0,5 karena diagram batangnya sudah rapat)

d1  12  10  2 .

d1  12  6  6 . p  40,5  34,5  6 . (tidak perlu ditambah 1, karena tepi-tepi batang sudah rapat) SMAN 3 Jakarta/XII-IPA/Matematika U./Statistika


Hal. 23



d1   p d  d 2  1

Sehingga Modus  Tb  

 2   34,5   6 2 6  12   34,5     34,5  1,5  36,0. 8

Soal 18 Sebuah himpunan terdiri atas 10 anggota yang semuanya bilangan bulat mempunyai rata-rata, median, modus, serta jangkauan yang sama, yaitu 9. Hasil kali maksimum antara bilangan terkecil dan terbesar yang masuk dalam himpunan tersebut adalah…. Jawab: Misalkan anggota himpunan tersebut, setelah diurutkan dari terkecil ke terbesar adalah

x1, x2 , x3 ,..., x10 dengan x1 adalah anggota terkecil dan x10 anggota terbesar. Dari rata-rata = 9 

x1  x2  x3  ...  x10 9 10

 x1  x2  x3  ...  x10  90 . Dari median = 9 

x5  x6  9  x5  x6  18  x5  9 dan x6  9 2

(sebab modus = 9, jika x5 dan x6 bukan 9 maka tidak ada nilai 9, kontradiksi dengan modus = 9) Jangkauan = 9  x10  x1  9

 x10  x1  9 .

Agar hasil kali x1  x10 menjadi maksimum, maka cukup kita cari nilai x1 yang maksimum dan x10 yang maksimum.

Kita cari x1 yang maksimum dan x10 yang maksimum dengan x1, x2 , x3 ,..., x10 yang memenuhi: Syarat 1:

Median = 9, modus = 9 dan jangkauan = 9

Syarat 2:

Rata-rata = 9 (atau jumlah semua bilangannya = 90)



Hal. 24

Pertama, kita cari x1 yang maksimum dan x10 yang maksimum dengan x1, x2 , x3 ,..., x10 yang memenuhi syarat 1. Kemungkinan maksimum pertama tercapai ketika x1  9 (dari syarat median) sehingga

x10  18 (dari syarat jangkauan), yaitu misalnya ketika ( x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 , x10 )  (9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 18) . Namun jumlah semua bilangan ini > 90 , tidak memenuhi syarat 2. Kemungkinan maksimum berikutnya tercapai ketika x1  8 (turun dari kemungkinan sebelumnya) sehingga x10  17 , yaitu misalnya ketika

( x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 , x10 )  (8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 17) . Namun jumlah semua bilangan ini masih > 90, tidak memenuhi syarat 2. Kemungkinan maksimum berikutnya tercapai ketika x1  7 (turun dari kemungkinan sebelumnya) sehingga x10  16 . Jika ada suatu nilai x1, x2 , x3 ,..., x10 yang memenuhi, maka ini sudah mencukupi. Dengan coba-coba, susunan:

( x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 , x10 )  (7, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 16) selain memenuhi syarat 1, ternyata juga memenuhi syarat 2, yakni mempunyai jumlah semua bilangannya = 90. Susunan inilah yang kita cari! Jadi, maksimum dari ( x1  x10 )  7  16  112 .

4



Hal. 25

SOAL-JAWAB MATEMATIKA PEMINATAN STATISTIKA. 6 cm, 7 cm, 6 cm, 4 cm, 6 cm, 3 cm, 7 cm, 6 cm, 5 cm, 8 cm

Recommend Documents