Rasio Rasio adalah perbandingan ukuran. Rasio digunakan untuk membandingkan besaran dengan pembagian. Misal dua segitiga memiliki bentuk yang sama tetapi ukurannya berbeda. Salah satu sisinya yang seletak memiliki panjang 20 cm dan 10 cm, kita dapat 20 membandingkan panjangnya dalam pengertian rasio, yaitu 10 atau 20 : 10.
Contoh: Tiga sudut memiliki rasio 4 : 3 : 2. tentukan sudut-sudutnya jika: (a) Sudut pertama dan ketiga adalah sudut pelurus (b) Sudut-sudut dari ketiga sudut dalam segitiga Jawab: Misal, sudut dijadikan 4x, 3x, dan 2x a) 4x + 2x = 180, sehingga 6x = 180, dan didapat x = 30. Sehingga ukuran setiap sudutnya berturut-turut adalah 120, 90, dan 60. b) 4x + 3x + 2x = 180, sehingga 9x = 180, kemudian x = 20. Sehingga setiap ukuran sudutnya adalah 80, 60, dan 40.
Perbandingan
Perbandingan adalah kesamaan yang menyatakan bahwa dua rasio sama. Contoh: 12
3
Rasio 12 : 16 adalah sama dengan rasio 3 : 4, kita dapat menuliskan 16 = 4, nah, itu yang disebut perbandingan (proporsi), dapat juga kita tuliskan 12 : 16 = 3 : 4. Prinsip-prinsip Proporsi Prinsip 1: Dalam sebuah proporsi, hasil kali dari mean sama dengan hasil kali dari ekstrem. Maka, a : b = c : d, b οΉ 0 dan d οΉ 0, sehingga, ad = bc Pembuktian: Misal 12 : 16 = 3 : 4 12.4 = 16. 3 48 = 48 >>> terbukti Prinsip 2: Jika hasil kali dua bilangan sama dengan hasil kali dua bilangan lainnya, maka yang satu berasal dari pasangan suku tengah dan yang lainnya dari pasangan ujung-ujungnya.
(misal, 3x : 5y, maka dapat berasal dari x : y = 5 : 3 atau y : x = 3 : 5 atau 3 : y = 5 : x atau 5 : x = 3 : y) Metode atau cara mengubah suatu proporsi menjadi suatu proporsi baru Prinsip 3: metode inversi (membalik), suatu proporsi dapat diubah menjadi 1 4 proporsi baru dengan membalik masing-masing rasio. (misal, jika π₯ = 5, maka π₯ 1
5
= 4)
Prinsip 4: metode alternasi (mengganti silang), suatu proporsi dapat diubah menjadi proporsi baru dengan cara mengganti bersilangan unsur tengahnya atau unsur ujung-ujungnya. π₯
π¦
π₯
3
2
π¦
(misal, jika 3 = 2 , maka π¦ = 2 atau 3 = π₯ ) Prinsip 5: metode adisi (penambahan), suatu proporsi dapat diubah menjadi proporsi baru dengan cara menambahkan suku masing-masing rasio pada suku π π π:π π:π π₯;2 9 pertama dan suku ketiga. (misal, π = π , kemudian π = π , jika 2 = 1 , kemudian
π₯ 2
=
10 ) 1
Prinsip 6: metode substraksi (pengurangan), suatu proporsi dapat diubah menjadi proporsi baru dengan cara mengurangi suku pertama dan suku ketiga dengan π π π;π π;π π₯:3 9 π₯ 8 masing-masing rasionya. (misal, jika, π = π, π = π jika 3 = 1, kemudian 3 = 1) Prinsip 7: jika sembarang tiga suku dari suatu proporsi sama dengan tiga suku proporsi lainnya, maka suku sisanya juga sama. π₯
3
π₯
3
(misal, jika π¦ = 2 dan 5 = 2, maka y = 5) Prinsip 8: dalam suatu deretan rasio yang sama, rasio jumlah pembilangnya terhadap jumlah penyebutnya yang bersesuaian sama dengan rasio salah satu pembilang dan penyebutnya. (misal, jika π₯
3
atau 11 = 2)
π π
π
π
= π = π, maka =
π:π:π π:π:π
π
= π. Jika
π₯;π¦ 4
=
π¦;3 5
3
= 2, maka
π₯;π¦:π¦;3:3 4:5:2
3
=2
Contoh: Ubahlah proporsi berikut menjadi proporsi yang baru! 15 3 = π₯ 4 π₯;6 5 (b) = 6 3 π₯:8 4 (c) = 8 3 5 15 (d) = 2 π₯
(a)
Jawab: π₯
4
Prinsip 3: 15 = 3 π₯
8
π₯
1
π₯
15 , 5
Prinsip 5: 6 = 3
Prinsip 6: 8 = 3 Prinsip 4: 2 =
π₯
3
maka 2 = 1
Mean dan Ekstrem Mean dalam proporsi adalah suku-suku tengah, yaitu suku kedua dan ketiga Sedangkan ekstrem dari sebuah proporsi adalah suku yang terletak di luar. Contohnya a : b = c : d, mean dari proporsi tersebut adalah b dan c, sedangkan ekstremnya yaitu a dan d. Ekstrem
πβΆπ=πβΆπ Mean
Jika dua mean dalam sebuah proporsi sama, salah satu dari mean adalah mean proporsional antara suku pertama dan keempat. Jadi, 9 : 3 = 3 : 1, 3 adalah mean proporsional antara 9 dan 1.
Contoh 1: 1 2
Carilah mean proporsional dari (a) 5 dan 20; (b) =
8 9
Jawab: 5 : x = x : 20, π₯ 2 = 100, jadi x = 10 1 .π₯ 2
8
4
2
= π₯. 9, sehingga π₯ 2 = 9, π₯ = 3
Contoh 2: 1
Temukan suku ke empat dari proporsi untuk (a) 2, 4, 6; (b) 4, 2, 6; (c) 2, 3, 4; (d) b, d, c Jawab: (a) 2 : 4 = 6 : x 2x = 24 x = 12 (b) 4 : 2 = 6 : x 4x = 12 x=3 1
1
(c) 2 . 3 = 4 βΆ π₯, sehingga 2 π₯ = 12, dan x = 24 (d) π βΆ π = π βΆ π₯ maka bx = cd, dan x =
ππ π
Sifat-Sifat Perbandingan ο±
Sifat 1 Jika a : b = c : d, maka ad = bc
ο±
Sifat 2 Jika ad = bc, maka a : b = c : d Dari sifat 1 yaitu bahwa a : b = c : d maka ad = bc, bentuk a : b = c : d dapat π π dinyatakan sebagai bentuk pecahan, yaitu π = π, sehingga bentuk umumnya seperti berikut ini. π
π
Jika π = π, maka ad = bc
Contoh: Hitunglah nilai x berikut. a. 2 : x = 8 : 20 b. (3x + 1) : 3 = (4x + 2) : 5 c. 3/x = 6/24 Penyelesaian: a. 2 : x = 8 : 20 Dengan menggunakan sifat: a : b = c : d, maka a Γ d = b Γ c, kita peroleh 2 Γ 20 = 8x 40 = 8x 40/8 = x 5=x
b. (3x + 1) : 3 = (4x + 2) : 5 Dengan menggunakan sifat a : b = c : d, maka a Γ d = b Γ c kita peroleh: 5(3x + 1) = 3(4x + 2) 15x + 5 = 12x + 6 15x β 12x = 6 β 5 3x = 1 x = 1/3 c. 3/x = 6/24 6x = 3 Γ 24 6x = 72 x = 72/6 x = 12
Segi Banyak Sebangun Dua segibanyak (polygon) dikatakan sebangun jika ada korespondensi satu-satu antar titik-titik sudut kedua segibanyak tersebut sedemikian hingga berlaku: 1. Sudut-sudut yang bersesuaian (berkorespondensi) sama besar, dan 2. Semua perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian (berkorespondensi) sebanding/senilai. Kesebangunan dilambangkan dengan simbol β~β. Contoh 1: P A
B
4
3
3
Q
8 6
6
4 8 D C S R Dua obyek persegi-empat, yaitu persegi-empat ABCD dan PQRS, perhatikan bahwa kedua obyek tersebut sebangun, sebab: 1. Sudut yang bersesuaian mempunyai besar yang sama, yaitu masing-masing bersudut 90ο°
2.
Sisi yang bersesuaian mempunyai panjang yang sebanding, yaitu: AB : PQ = 4 : 8 = 1 : 2 BC : QR = 3 : 6 = 1: 2 CD : RS = 4 : 8 = 1: 2 DA : SP = 3 : 6 = 1: 2 Karena memenuhi kedua syarat di atas, maka kedua obyek tersebut sebangun.
Contoh 2: Jika layang-layang KLMN dan layang-layang PQRS pada gambar di bawah sebangun, tentukan besar R dan S!
Penyelesaian : Salah satu syarat dua bangun dikatakan sebangun adalah sudut-sudut yang bersesuaian sama besar sehingga P = 125Β° dan Q = 80Β° 1. Amati layang-layang PQRS Menurut sifat layang-layang, sepasang sudut yang berhadapan sama besar sehingga R = P = 125Β° 2. Oleh karena sudut-sudut dalam layang-layang berjumlah 360Β° maka: P + Q + R + S = 360Β° 125Β° + 80Β° + 125Β° + S = 360Β° S = 360Β° β 330Β° = 30Β°
Segitiga sebangun Dua segitiga dikatakan sebangun jika sudut-sudut yang bersesuaian sama besar dan semua perbandingan panjang sisi-sisi yang bersesuaian sebanding/senilai. Teorema: 1. Dua segitiga sebangun jika dua sudut yang berkorespondensi ukurannya sama (sudut-sudut) 2. Dua segitiga sebangun jika diketahui ukuran-ukuran sisi-sisi yang berkorespondensi sebanding (sisi-sisi-sisi) 3. Dua segitiga sebangun jika diketahui dua pasang sisi yang berkorespondensi sebanding dan pasangan sudut yang diapit kedua sisi yang berkorespondensi tersebut kongruen (sisi-sudut-sisi) Contoh 1: Perhatikan gambar berikut, dua segitiga sebangun , yaitu β ABC ~ β PQR, carilah panjang sisi BC pada segitiga ABC dan panjang sisi RP pada segitiga PQR!
Jawab: Karena kedua segitiga sebangun, maka ketiga sisinya sebanding, yaitu: π΄π΅ ππ
π΅πΆ
πΆπ΄
1
π΅πΆ 10
= π
π = 2
4
1
= ππ
= π
π = 2
Atau 6 12
=
Jadi panjang sisi BC = 5 dan panjang sisi RP = 8.
1. Garis sejajar pada segitiga Jika sebuah segitiga dilukis garis yang sejajar pada salah satu sisinya maka terjadi dua segitiga yang sebangun. 2. Garis tinggi pada segitiga Jika sebuah segitiga siku-siku dilukis garis tinggi pada sisi miringnya maka terjadi tiga segitiga yang sebangun.
Contoh 2: Dalam sebuah segitiga PQR, S adalah titik tengah dari π
π dan T adalah titik tengah dari ππ. RP = 7x + 5, ST = 4x β 2, SR = 2x + 1, PQ = 9x + 1 Carilah panjang ST, RP, SR, RQ, PQ, dan TQ. Jawab: Solusi: ruas garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua sisi segitiga sejajar dengan sisi yang ketiga dan panjangnya adalah setengah dari panjang sisi yang ketiga. (teorema titik tengah) 1
4x β 2 = 2 (7x + 5) 2 (4x - 2) = 7x + 5 8x β 4 = 7x + 5 x=9
ππ = 4 9 β 2 = 36 β 2 = 34 π
π = 7 9 + 5 = 63 + 5 = 68 ππ
= 2 9 + 1 = 18 + 1 = 19 π
π = 2ππ
= 2 19 = 38 ππ = 9 9 + 1 = 81 + 1 = 82 1 1 ππ = ππ = 82 = 41 2 2
Bagian-Bagian Sebanding Segitiga Teorema kesebandingan: Jika sebuah garis sejajar dengan salah satu sisi segitiga memotong kedua sisi yang lain pada dua titik berbeda, maka garis itu membagi sisi-sisi terpotong itu menjadi bagian-bagian yang panjangnya sebanding.
Bagian-Bagian Sebanding Segitiga Sebangun Contoh 1: Apakah pasangan segitiga dibawah ini sebangun? Mengapa demikian?
Jawab: Akan diselidiki apakah sisi-sisi yang bersesuaian dari segitiga ABC dan segitiga DEF sebanding. π΄π΅ 12 = =3 π·πΈ 4 π΅πΆ 5 π΄πΆ 13 = β = πΈπΉ 3 π·πΉ 5 Ternyata sisi-sisi yang bersesuaian tidak sebanding, jadi gambar tersebut merupakan pasangan bangun datar yang tidak sebangun.
Contoh 2: Di antara gambar-gambar berikut manakah yang sebangun?
Jawab: Oleh karena pada setiap segitiga diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang diapitnya, gunakan syarat kesebangunan yaitu sisi-sudut-sisi. ο± Besar sudut yang diapit oleh kedua sisi sama besar yaitu 50Β° . ο± Perbandingan dua sisi yang bersesuaian sebagai berikut. Untuk segitiga (a) dan (b) :
Untuk segitiga (a) dan (c) : Untuk segitiga (b) dan (c) :
3 6 = 0,3 πππ = 0,46 10 13 3 6 = = 0,6 5 10 10 13 = 2 πππ = 1,3 5 10
Jadi, segitiga yang sebangun adalah segitiga (a) dan (c)
Keliling dan Luas Segitiga Sebangun ο±
Teorema 1: Luas segitiga yang sama alasnya berbanding seperti tingginya dan sebaliknya bila tingginya sama, luasnya berbanding seperti alasnya.
ο±
Teorema 2: Luas dua segitiga yang mempunyai sepasang sudut yang sama, berbanding seperti perkalian sisi-sisi yang mengapitnya.
ο±
Teorema 3: Perbandingan luas dua segitiga yang sebangun adalah sama dengan kuadrat dari perbandingan sepasang sisi seletak.
ο±
Teorema 4: i. Perbandingan keliling dari dua segi banyak yang serupa adalah sama dengan perbandingan panjang dari sisi yang sepasang. ii. Perbandingan luas dari dua segi banyak yang serupa adalah sama dengan kuadrat perbandingan panjang dari yang sepasang.
Contoh: Diketahui β ABC sebangun dengan β DEF, sisi-sisi yang bersesuaian memiliki rasio 3 : 2. Carilah luas dan keliling dari β DEF (dalam cm)!
Jawab: a.
πΎ βπ·πΈπΉ πΎ βπ΄π΅πΆ πΎ βπ·πΈπΉ πΎ βπ΄π΅πΆ
3
=2 =
πΎ βπ·πΈπΉ 32
3
=2
2πΎ βπ·πΈπΉ = 96 πΎ βπ·πΈπΉ = 48 ππ Atau dengan cara mencari panjang masing-masing sisi yang belum diketahui dari βDEF menggunakan perbandingan. 3
π πβ²
3
π 4
πΈπΉ π΅πΆ
=2
3
π·πΉ π΄πΆ
=2
πΈπΉ 12
=2
3
π·πΉ 14
=2
πΈπΉ =
3.12 2
πΈπΉ = 18 ππ
π·πΉ =
14.3 2
π·πΉ = 21 ππ
3
=2 3
=2
π=
4.3 2
π = 6 ππ
K βDEF = DE + EF + DF = 9 cm + 18 cm + 21 cm = 48 cm
1
b. πΏπ’ππ βπ·πΈπΉ = 2 ππ‘ 1
= 2 . 21 ππ. 6 ππ =
126 2
= 63 ππ2
E:\GEOMETRI nw\geometri\SimilarRightTriangles.cdf
ο Gracias
