SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ. Počítačová simulace vzhledu vzdáleného vesmíru pro pozorovatele v blízkosti nabité sféricky symetrické černé díry

SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Filozoficko-přírodověděcká fakulta v Opavě

Počítačová simulace vzhledu vzdáleného vesmíru pro pozorovatele v blízkosti nabité sféricky symetrické černé díry Diplomová práce

Opava 2009

Marek Vindyš

SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Filozoficko-přírodovědecká fakulta v Opavě

Bc. Marek Vindyš Obor: Teoretická fyzika

Počítačová simulace vzhledu vzdáleného vesmíru pro pozorovatele v blízkosti nabité sféricky symetrické černé díry

Computer simulation of distant universe appearance for an observer in the vicinity of a charged spherically symetric black hole

Diplomová práce

Opava 2009

Vedoucí diplomové práce: RNDr. Pavel Bakala

Abstrakt

Diplomová práce se zabývá počítačovou simulací vzhledu vzdáleného vesmíru pro statického pozorovatele nacházejícího se v silném gravitačním poli nabité sféricky symetrické černé díry. S použitím plně relativistických metod je studována geometrie optického zobrazení a diskutována její závislost na hodnotách náboje černé díry a kosmologické konstanty.

Klíčová slova: Černé díry, strong lensing, počítačové simulace, sféricky symetrický prostoročas.

Abstract

The diploma thesis is devoted to a computer simulation of distant universe appearance for a static observer located in the strong gravitational field of a charged spherically symmetric black hole. Using the fully relativistic approach the geometry of the optical projection is investigated and the dependency of the projection on the black hole charge and the cosmological constant is discussed.

Key words: Black holes, strong lensing, computer simulation, spherically symmetric spacetime.

Prohlašuji na svou čest, že jsem předkládanou diplomovou práci Počítačová simulace vzhledu vzdáleného vesmíru pro pozorovatele v blízkosti nabité sféricky symetrické černé díry vypracoval samostatně (resp. pod vedením vedoucího diplomové práce RNDr. Pavla Bakaly). Veškeré literární prameny a informace, které jsem v práci využil, jsou uvedeny v seznamu použité literatury. Souhlasím s prezenčním zpřístupněním své práce v Ústřední knihovně SU.

V Opavě dne

…………………………… podpis

Rád bych poděkoval vedoucímu své diplomové práce RNDr. Pavlu Bakalovi za poskytnutí cenných informací, věcné diskuze, zpřístupnění potřebné literatury, provedení odborné kritiky a veškerou pomoc při vypracování této diplomové práce.

Obsah Úvod ............................................................................................................................ 8 1. Nabitá sféricky symetrická metrika ..................................................................... 11 1.1 Reissner-Nordströmovo–de Sitterovo řešení ...................................................... 14 1.2 Statický poloměr................................................................................................ 17 1.3 Pohyb fotonů ve sféricky symetrických prostoročasech ..................................... 19 1.4 Lokální tetráda statických pozorovatelů ............................................................. 21 1.5 Konstrukce optického zobrazení v zakřiveném prostoročase .............................. 23 1.6 Důsledky podmínky existence pohybu fotonů .................................................... 25 1.7 Tři druhy nulových geodetik .............................................................................. 29 2. Výsledky počítačových simulací ........................................................................... 32 2.1 Simulační kód BHimpaCT ................................................................................. 32 2.2 Výběr černoděrových řešení pro simulace .......................................................... 33 2.3 Simulace pro statického pozorovatele na robs = 7M ............................................ 34 2.4 Simulace pro statického pozorovatele na robs = 2.5M ......................................... 37 2.5 Další aspekty optického zobrazení ..................................................................... 39 2.5.1 Einsteinovy kroužky.................................................................................... 39 2.5.2 Změny intenzity .......................................................................................... 41 2.5.3 Symetrie optického zobrazení ...................................................................... 41 2.6 Vliv náboje a kosmologické konstanty na zdánlivou úhlovou velikost černé díry41 Závěr ......................................................................................................................... 44 Literatura .................................................................................................................. 45

7

Úvod Obecná teorie relativity (OTR) je v současnosti nejúspěšnější a ve fyzikální komunitě takřka všeobecně přijímanou teorií gravitace. Její základní myšlenka, ztotožnění

gravitačního

pole

se

zakřivením

čtyřrozměrného

prostoročasu

popsaného pomocí aparátu diferenciální geometrie, se ukazuje stále dostatečně nosná pro aplikace v astrofyzice i kosmologii. Jedná se však o klasickou nekvantovou teorii, která využívá parciálních diferenciálních rovnic pro popis prostoročasového kontinua a nikterak nezahrnuje kvantové efekty. Jedním z klíčových problémů současné teoretické fyziky tedy stále zůstává sjednocení popisu kvantového mikrosvěta vysoce úspěšným částicovým Standardním modelem s obecně relativistickým popisem gravitace na velkých škálách. Efekty obecné i speciální teorie relativity radikálně mění naše intuitivní chápání prostoru a času jako oddělených entit, tak, jak je známe z běžného života. V našem pozemském prostředí slabých gravitačních polí a malých rychlostí relativistický popis s velkou přesností přechází v dobře známou newtonovskou fyziku, což je nejspíše i důvod, proč vnímáme některé důsledky teorie relativity jako paradoxy. I ve Sluneční soustavě je možno s vysokou přesností pro výpočet pohybu planet používat téměř vždy Newtonův gravitační zákon. Relativistické korekce a efekty v gravitačním poli Slunce však hrály významnou úlohu při prvních experimentálních testech OTR, jmenovitě se jednalo o vysvětlení precese perihélia Merkuru a ohyb světla hvězd pozorovaný při zatmění Slunce. V druhém případě jde o vůbec první aplikaci efektů gravitačního lensingu ve sféricky symetrickém gravitačním poli. Obecně relativistický popis gravitačního lensingu („čočkování“), tj. jevu při kterém dochází k zakřivení dráhy fotonů vlivem gravitačního pole, je v současné době využíván při pozorováních objektů ve velmi hlubokém vesmíru, při hledání exoplanet a v neposlední řadě jako nástroj pro detekci hypotetické temné hmoty.

8

Jev gravitační čočky na rozdíl od čoček klasických známých z geometrické optiky, je založen na šíření světla po nulových geodetikách v zakřiveném prostoročase. Je tedy zřejmé, že výrazný gravitační lensing může být způsoben pouze velmi silným gravitačním polem hvězd či galaxií. Z mechanismu gravitačního lensingu také vyplývají některé zásadní odlišnosti čoček gravitačních od čoček založených na změně indexu lomu prostředí. V případě gravitačních čoček neexistuje disperze a tedy ani achromatické vady, což je přímým důsledkem principu ekvivalence. Také nelze hovořit i v případě limity slabého pole o ohnisku gravitační čočky a tedy o zobrazování, tak jej známe z geometrické optiky. Naopak vznikají nové relativistické efekty, z nichž nejspíše nejvýznamnější jsou existence vícenásobných obrazů a křivek, výrazná amplifikace intenzity a existence vysoce deformovaných obrazů s nekonečným zesílením (např. Einsteinových kroužků) [14]. První výpočet lensingu velmi hmotným hvězdným objektem byl proveden již A. Einsteinem [7]. V případě pozorování gravitačního lensingu pozorovatelem na Zemi lze použít aproximaci tzv. weak lensingu pro konfiguraci, kdy zdroj i pozorovatel se nachází velmi daleko od hmotného objektu vystupujícího v roli gravitační čočky. Pak lze použít linearizované pohybové obecně relativistické rovnice pro popis pohybu fotonů. I při takto aproximativním přístupu získáváme kvantitativní popis základních rysů lensingu, jako jsou vícečetné obrazy zdrojů, kritické křivky a odpovídající kaustiky i magnifikace obrazů a amplifikace jejich intenzity [14]. Tato aproximace může být ještě více precizována použitím strong deflection limit rozšíření, které poskytne popis relativistických obrazů vyšších řádů [16]. V případě pozorovatele na Zemi a zdroje v blízkosti relativisticky kompaktního čočkujícího objektu je třeba

již řešit

nelinearizované pohybové rovnice pro fotony. Tato situace je relevantní při modelování záření vznikajícího v těsné blízkosti neutronových hvězd a černých děr. Jedním z nevyřešených a „hot“ témat současné astrofyziky je analýza časové proměnnosti („timingu“) rentgenového záření binárních systémů s neutronovou hvězdou či černou dírou (LMXBs). Existuje mnoho studií obsahujících efekty gravitačního lensingu v silném poli centrálního kompaktního objektu jako svou klíčovou komponentu pro vysvětlení výrazných kvaziperiodických píků (QPOs) ve fourierovském rozkladu rentgenových světelných křivek LMXBs [3]. V současné době 9

i přes enormní množství studií věnovaných tomuto tématu zůstává kompletní popis těchto efektů stále otevřeným problémem [10]. Efekty gravitačního lensingu jsou přímo určeny geometrií prostoročasu, ve kterém probíhá pohyb fotonů. Proto je v principu možné použít gravitační lensing jako nástroj pro určování geometrie prostoročasu či případných korekcí a deviací ke geometrii doposud předpokládané. Relativně nové, tzv. bránové kosmologické modely, založené na unifikační superstrunové teorii popisují náš vesmír jako 3+1D útvar (tzv. 3+1D bránu) plovoucí v hromadném (bulk) 10+1D superprostoru [9]. Taková formulace unifikační superstrunné teorie pak by měla obsahovat einsteinovskou obecnou relativitu jako svou nízkoenergetickou limitu platnou na velkých škálách. Nicméně metrika bránových relativistických kompaktních objektů je poněkud modifikována novými členy, odpovídajícím projekci Weylova tenzoru na 3+1D bránu našeho vesmíru, což je v určité třídě řešení pro sféricky či axiálně symetrické prostoročasy možno interpretovat jako přítomnost tzv. slapového (tidal) náboje [6, 8]. Taková řešení jsou pak formálně shodná s řešeními pro elektricky nabité prostoročasy, kde ovšem nový parametr slapového náboje může vystupovat i se záporným znaménkem oproti vždy kladnému parametru odpovídajícímu kvadrátu náboje elektrického. Zdá se však, že se jedná o řešení popisující transientní stádia gravitačního kolapsu, jehož finální výsledek nelze předpovědět bez znalosti geometrie hypotetického bulk prostoru. Velice zajímavým výsledkem je však teoretická možnost existence bizardních objektů odpovídajícím pouze přítomnosti slapového náboje (tenze 3+1D brány) bez hmotnosti. Taková řešení lze interpretovat jako ovlivnění geometrie našeho prostoročasu přítomnosti hmoty v blízkém jiném vesmíru (jiné 3+1D bráně) [4]. V této práci řešený problém, konstrukce optického zobrazení vzdáleného vesmíru pro pozorovatele v blízkosti nabité sféricky symetrické černé díry jistě nepatří mezi nejaktuálnější astrofyzikální témata, avšak poskytuje zajímavý intuitivní vhled do geodetické struktury takového silně zakřiveného prostoročasu. Pro Schwarzschildovu metriku byla odpovídající úloha analyticky řešena v již klasické studii [5], avšak výkon běžně dostupné výpočetní techniky umožnil numerickou počítačovou simulaci až v roce 1992 [12]. 10

Numerický simulační kód BHimpaCt, vyvinutý na ÚF FPF SLU umožnil rozšířit simulaci o vliv kosmologické konstanty [2]. Diplomová práce je věnována rozšíření teoretické analýzy i numerické simulace vzhledu vzdáleného vesmíru o vliv elektrického či přílivového náboje spojeného s centrální hmotností, tedy optickým efektům pro statického pozorovatele v blízkosti Reissner-Nordströmovy-de Sitterovy černé díry.

1. Nabitá sféricky symetrická metrika Einsteinovy

rovnice

gravitačního

pole

spojují

metriku

prostoročasu

reprezentovanou Einsteinovým tenzorem jakožto funkcí druhých derivací metrického tenzoru na levé straně s distribucí hmoty a energie reprezentovanou tenzorem energiehybnosti na straně pravé. Specifické postavení má pak kosmologická konstanta, kterou lze interpretovat jako další geometrický člen levé strany, či příspěvek vakua k tenzoru energie-hybnosti, tedy tzv. vakuovou energii. Současná pozorování ukazují, že kosmologická expanze je urychlována právě tzv. temnou energií spojenou s vakuem, ať již se jedná o reliktní kosmologickou konstantu, kvintesenci, či energii falešného vakua. Z tohoto důvodu kosmologická konstanta, ač Einsteinem původně označovaná za největší omyl jeho života, má v rovnicích gravitačního pole své neoddiskutovatelné místo. Einsteinovy rovnice obsahující kosmologickou konstantu lze zapsat ve tvaru

1 8G R  Rg  g  T , 2 c4

(1)

kde R  R  

je Ricciův tenzor vzniklý úžením Reimannova tenzoru křivosti, který je definovaný Christoffelovými symboly a jejich derivacemi        R    ,    ,           ,

(2) 11

R  R   označuje skalární křivost, dvakrát úžený Riemannův tenzor, g  je metrický

tenzor. Jelikož Christoffelovy symboly jsou dány pouze metrickým tenzorem a jeho derivacemi jako

1     g  (g,  g,  g, ) , 2

(3)

je celá levá strana rovnice až na kosmologickou konstantu určena jednoznačně tvarem metriky. Na pravé straně vystupuje tenzor energie-hybnosti, jeho určení je obecně komplikované a závisí na lokální distribuci hmoty - energie. Pro jednoduché příklady nekoherentního hmotného prachu, resp. dokonalé tekutiny nabývá pak tenzor energiehybnosti tvaru

T   U U  , resp.

(4)

 p T     U U   pg  ,  c2 

(5)

kde  je hustota a p tlak. Velmi důležitá, obzvláště v kontextu této diplomové práce, je také reprezentace elektromagnetického pole tenzorem energie-hybnosti ve tvaru

T  

1 0

   1   F F  g (F F  ) ,     4  

(6)

kde F  je Maxwellův tenzor elektromagnetického pole. Třída sféricky symetrických řešení, popisující prostoročas v okolí nerotujících kompaktních objektů má v relativistické astrofyzice specifický význam. Vzhledem k nelinearitě Einsteinových rovnic je nalezení jejich řešení, tedy určení deseti nezávislých komponent symetrického metrického tenzoru popisujícího geometrii prostoročasu, obecně netriviální záležitostí. Počet nezávislých komponent a tedy i obtížnost problému se ovšem podstatně redukuje v případě předpokladu existující symetrie prostoročasu.

Není tedy náhoda, že historicky prvním exaktním řešením

Einsteinových rovnic bylo dobře známé vakuové Schwarzschildovo řešení s elementem časoprostorového intervalu ve tvaru 12

 2M  2  dt  d s 2  1   r 

dr 2  r 2 (d2  sin2 d2 ) , 2M 1 r

(7)

popisující metriku prostoročasu v okolí sféricky symetrické nerotující hmoty. Toto řešení se dá velmi dobře použít pro popis prostoročasu v okolí relativně pomalu rotujících hvězd, kdy lze zanedbat efekty tzv. frame dragingu způsobené rotací centrálního objektu. Schwarschildovo řešení lze ovšem také interpretovat jakožto popis prostoročasu v okolí bodové singularity ukryté pod horizontem událostí, jak bylo ukázáno později. Obecně známý Birkhoffův teorém pak vyslovuje tvrzení o jednoznačnosti vakuového Schwarzschildova řešení, jehož jediným volným parametrem je hmotnost centrálního objektu [11]. Toto řešení je tedy univerzální pro všechny hvězdné objekty, kde lze zanedbat vliv rotace i případného elektrického náboje. Nepříliš komplikovaná struktura a vlastnosti Schwarzschildova řešení, dovolují relativně snadný intuitivní vhled do základních vlastností silně zakřiveného prostoročasu v okolí relativisticky kompaktního objektu – černé díry, neutronové, kvarkové či podivné hvězdy. Schwarschildovo řešení může být dále rozšířeno o členy odpovídající vlivu elektrického náboje doprovázejícího centrální hmotnost. V takovém případě se jedná o tzv.

Reissner-Nordströmovo

řešení,

popisující

prostoročas

v okolí

sféricky

symetrického nabitého objektu, jehož parametry jsou hmotnost a elektrický náboj. V tomto případě již nejde o vakuové řešení, protože přítomnost elektromagnetického pole bodového náboje je reprezentována nenulovým tenzorem energie-hybnosti ve tvaru (6). Astrofyzikální relevance takového řešení, tj. nabitá černá díra, je poněkud diskutabilní vzhledem k celkové elektrické neutralitě hmoty v našem vesmíru. Vzniklá elektricky nabitá černá díra by byla nejspíše velmi rychle neutralizována atrakcí částic s opačným nábojem ze svého okolí. Nicméně časoprostorová struktura ReissnerNordströmovy metriky je překvapivě bohatá [11]. Z tvaru Reissner-Nordströmovy metriky 1  2M Q 2  2  2M Q 2   d s   1   dt  1   dr 2  r 2 (d  2  sin2  d2 )      r r r 2  r 2   2

(8) 13

plyne existence vnějšího horizontu událostí

r  M  M 2  Q 2

(9)

r  M  M 2  Q 2 .

(10)

a vnitřního Cauchyho horizontu

Prostoročas mezi horizonty má dynamický charakter, naopak oblasti pod Cauchyho horizontem a nad horizontem černoděrovým jsou statické. Oba horizonty existují pouze pro Q ≤ M. V extrémním případě Q = M pak oba horizonty splývají a hovoříme o extrémní Reissner-Nordströmově černé díře. Pro Q > M neexistuje horizont žádný a prostoročas pak popisuje nahou singularitu obklopenou pouze jednou statickou oblastí časoprostoru. Reissner-Nordströmovo řešení nicméně zažívá určitou renesanci v souvislosti s novými bránovými kosmologickými modely [8], kde existuje třída řešení popisující sféricky symetrické prostoročasy formálně Reissner-Nordströmovou metrikou. V tomto případě je však kvadrát elektrického náboje nahrazen novým parametrem  , tzv. nábojem slapovým. Parametr  může nabývat kladných i záporných hodnot, zdá se však, že jeho záporná hodnota je fyzikálně přirozenější [8]. Přepsaná Reissner-Nordströmova metrika s   0 má tvar 1  2M   2  2M    d s  1    dt  1    dr 2  r 2 (d 2  sin2 d2 ) . (11) 2 r r   r  r 2  2

Existuje zde pouze jeden horizont událostí daný vztahem r  M  M2   .

(12)

1.1 Reissner-Nordströmovo–de Sitterovo řešení Pokud uvažujeme řešení Einsteinových rovnic s kosmologickou konstantou, sféricky symetrická řešení budou obohacena o další člen kosmologické konstantě 14

úměrný a

kvadratický

vzhledem

k radiální

souřadnici.

V případě

repulzivní

kosmologické konstanty hovoříme o řešeních de Sitterova typu, v případě atraktivní kosmologické konstanty pak o řešeních anti- de Sitterova typu. Vzhledem k tomu, že současná observační data implikují existenci akcelerované kosmologické repulze odpovídající kosmologickým modelům s kladnou hodnotou kosmologické konstanty, budou nadále uvažována pouze řešení převážně de Sitterova typu. V případě centrálního objektu charakterizovaného pouze hmotností hovoříme pak o Schwarzschildově-de Sitterově řešení s elementem prostoročasového intervalu daným jako 1  2M  2  2  2M  2   ds  1   r  dt  1   r  dr 2  r 2d2 . r 3  r 3    2

(13)

Pokud uvažujeme centrální objekt charakterizovaný hmotností i nábojem, jde o Reissner-Nordströmovo – de Sitterovo (dále jen RNdS) řešení, kde element prostoročasového intervalu je dán vztahem

   1 2 2 2 M Q   2 M Q     ds 2  1    r 2  dt 2  1    r 2  dr 2  r 2d2 . (14) 2 2   r 3 r 3   r r  Nabitá sféricky symetrická metrika získává přítomností kosmologického členu nové vlastnosti. Pokud je hodnota kosmologické konstanty Λ nastavena tak, aby si prostoročas uchovával nadále černoděrový charakter, objevuje se nový – kosmologický horizont událostí, který shora omezuje velikost radiální souřadnice statické oblasti nad horizontem černoděrovým. Pro radiální souřadnice větší než je poloha kosmologického horizontu je prostoročas opět dynamický a všechny časupodobné geodetiky směřují směrem od kosmologického horizontu k nekonečnu, jinými slovy všichni fyzikální pozorovatelé

musí

být

nutně

unášeni

kosmologickou

repulzí.

Přítomnost

kosmologického členu však také umožňuje existenci řešení popisujících prostoročas v okolí nahé singularity. Poznamenejme zde, že existence nahých singularit je diskutabilní vzhledem k požadavku globální kauzální souvislosti prostoročasu a zakazuje ji (dosud však nedokázaná) hypotéza kosmické cenzury [13].

15

Podrobný

rozbor

chování

a

struktury

sféricky

symetrické

metriky

charakterizované hmotností, nábojem a kosmologickou konstantou byl proveden v [15]. Obecně lze říci, že prostoročasy s Λ = 0 si zachovávají černoděrový charakter pro Q2 < M2. V případě nenulové repulzivní kosmologické konstanty existují černoděrová řešení pro Q 2 

9 2 M . Pro každou hodnotu kosmologické konstanty pak existuje 8

2 () , pro kterou černoděrový a vnitřní maximální hodnota kvadrátu náboje Qmax

Cauchyho horizont splynou a lze hovořit o maximální extrémní RNdS černé díře. V případě

0

je

maximální

hodnota

kvadrátu

náboje

samozřejmě

2 Qmax (  0)  M 2 . Maximální možné hodnotě kosmologické konstanty ještě

umožňující černoděrové řešení pak odpovídá právě hodnota kvadrátu náboje

2 9 Qext 2(ext  M 2 )  M 2 . V tomto případě pak lze hovořit o superextrémní RNdS 9 8 černé díře. Hodnoty   ext 

9 2 2 nebo Q 2  Qext 2  M 2 pak odpovídají M 8 9

pouze prostoročasům v okolí nahých singularit. V případě repulzivní kosmologické konstanty je možná velikost kvadrátu náboje odpovídající černoděrovému řešení 2 () , pro kterou černoděrový a kosmologický omezena také zdola hodnotou Qmin

horizont splynou. Pro menší hodnoty kvadrátu náboje pak má časoprostor globálně dynamický charakter. Poloha horizontů v rovině r – Q2 je dána funkcí

1 Q 2(, r )  r (6M  3r  r 3) . 3

(15)

2 2 ,Qmax ) Extremální body funkce Q2(  const, r ) pak vymezují interval (Qmin

odpovídající černoděrovým prostoročasům pro danou hodnotu kosmologické konstanty (viz obr 1.1). Současným řešením podmínky extremality dQ2(  const, r) / d r  0 a rovnice (15) s vyloučením Λ získáme podmínky pro polohu minim a maxim funkce (15) ve tvaru 16

1 2 2   , r (Q 2 )  r (Qmin )  3M  9M 2  8Qmin max  2

1  2 2 3M  9M  8Qmax 2

 . 

(16)

2 Odpovídající implicitní vztahy svazující hodnotu kosmologické konstanty s Qmin a 2 Qmax pak nabývají tvaru





 2   3 27M 4  M 2 (9M 2  8Qmin )3  36M 2Qmin  8Qmin   3 32Qmin

  2  3 27M 4  M 2 (9M 2  8Qmax )3  36M 2Qmax  8Qmax    3 32Qmax

,

(17)

.

(18)

2 Poznamenejme konečně, že pro   0 dolní hranice Qmin intervalu černoděrových

řešení neexistuje. Naopak pro

2   ext  M 2 9

oba extrémy splývají ve

stacionárním bodě odpovídajícím superextrémní RNdS černé díře. Pro vyšší hodnoty kosmologické konstanty pak funkce (15) již extrémy nevykazuje.

1.2 Statický poloměr Statickým poloměrem je nazývána taková hodnota radiální souřadnice, na které může existovat volná částice v klidu, labilní či stabilní rovnováze. Uvážíme-li, že pro geodetickou testovací částici v klidu je nenulová pouze časová komponenta čtyřrychlosti a zároveň je čtyřzrychlení nulové, lze hodnotu statického poloměru rS pro danou metriku získat přímým výpočtem z rovnice geodetiky. Vzhledem k charakteru metrických koeficientů je možno s výhodou použít radiální komponentu rovnice geodetiky

17

d2x  d 2

   

dx  dx  0, d d

(19)

redukující se pro geodetického statického pozorovatele na tvar

ttr

dx t dx t 0. d d

(20)

Hodnotu statického poloměru rs lze pak získat přímým výpočtem z podmínky ttr (rs )  0 .

(21)

Hodnota rs získaná z rovnice (21) je ovšem fyzikálně relevantní pouze při současné existenci reálné hodnoty U t (rs ) pro testovací částici v klidu, tedy pouze v oblastech časoprostoru umožňujících existenci statických pozorovatelů. Ze vztahu (21) lze přímým výpočtem snadno získat implicitní podmínku pro lokaci statického poloměru ve tvaru Q 2  Mrs 

rs4  3

.

(22)

Pro danou hodnotu kosmologické konstanty existují tedy fyzikálně smysluplné 2 2 hodnoty rs pouze ve statické oblasti, tj. pro Q 2  Qmin . Pro hodnotu Qmin lokace

statického poloměru splývá s inflexním bodem funkce (15) odpovídající lokaci horizontu. Z průběhu funkce (22) vykazující maximum je zřejmé, že pro nahé singularity s Q2  0 existují dva statické poloměry. První, rs  , umístěný blíže singularitě souvisí s repulzivními účinky elektrického náboje singularity. Testovací částice je zde ve stabilní rovnováze, kde atrakce hmotnosti je kompenzována nábojovou repulzí. Druhý horizont rs  , existující i pro černoděrová řešení, odpovídá takové hodnotě radiální souřadnice, na které je atrakce centrální hmotnosti kompenzována kosmologickou repulzí a testovací volná částice se nachází v labilní rovnováze. Pro danou hodnotu kosmologické konstanty pak existuje kritická, maximální možná 2 hodnota kvadrátu náboje Qcrit ještě umožňující existenci statického poloměru, pro

18

kterou oba statické poloměry splývají. Pro vyšší hodnoty náboje již převládají pouze repulzivní účinky náboje a kosmologické repulze. Kritickou hodnotu kvadrátu náboje 2 Qcrit snadno získáme jako extrém průběhu funkce (22), a je dána formulí

2 Qcrit

3 31/3 M 4/3 .  4 22/3 1/3

(23)

2 Jak funkce (22) klesá ze svého maxima, v hodnotě Qmax opět lokace statického

poloměru splývá s inflexním bodem funkce Q2(  const, r ) odpovídající extrémní RNdS černé díře pro danou hodnotu  . Další průběh funkce (22) nacházející se pod černoděrovým

horizontem

již

poznamenejme, že pro   ext 

opět

postrádá

fyzikální

relevanci.

Konečně

2 2 již křivka (15) postrádá extremální body a M 9

statické horizonty v takových prostoročasech neexistují.

1.3 Pohyb fotonů ve sféricky symetrických prostoročasech Obecně lze tedy prostoročas v okolí nerotující sféricky symetrické nabité centrální hmotnosti popsat metrikou ve tvaru

ds 2  Adt 2  A1dr 2  r 2(d2  sin2 d2 ) ,

(24)

kde funkce A(r, M ,Q 2, ) závisí na základních veličinách sféricky symetrický prostoročas charakterizujících, tj. hmotnosti M , nábojovém parametru Q 2   a kosmologické konstantě  . Funkci A(r, M ,Q 2, ) pak lze zapsat ve tvaru

A(r, M ,Q, )  1 

2M Q 2  2   r . r 3 r2

(25)

19

Obr. 1.1. Chování horizontů a statických poloměrů v RNdS prostoročase pro různé hodnoty kosmologické konstanty. Křivky pro odlišné hodnoty kosmologické konstanty jsou odlišeny barevně. Plné barevné čáry značí horizonty, přerušovaně je pak znázorněna poloha statických poloměrů. Z obrázku je intuitivně zřejmé, že statické horizonty spojující inflexní body křivky horizontů oddělují region s repulzivním chováním od regionu s chováním atraktivním. Černá křivka odpovídá poloze fotonových orbit, která je diskutována níže.

Ze sférické symetrie prostoročasu vyplývá zachování úhlové komponenty momentu hybnosti i roviny pohybu fotonů a testovacích částic. Existence Killingových vektorů (t ) a ( ) implikuje existenci dvou pohybových konstant pt  gt  p   E , p  g p    ,

(26)

avšak k popisu pohybu fotonů postačuje impaktní parametr definovaný jako

b

 . E

(27)

20

Předpokládáme-li že pohyb fotonů probíhá v ekvatoriální rovině, jejich kovariantní komponenty čtyřhybnosti lze zapsat ve tvaru Pt  E ,

(28)

Pr  sA.E 1  b2r 2A(r, M ,Q 2, ) ,

(29)

P  0 ,

(30)

P  bE   ,

(31)

kde symbol sA nabývá hodnoty +1 pro fotony vzdalující se od černé díry, -1 pak pro fotony k černé díře se přibližující.

1.4 Lokální tetráda statických pozorovatelů Pro výpočet veličin přímo měřených různými pozorovateli je nutno transformovat čtyřhybnost fotonu do lokálního souřadného systému příslušného pozorovatele. Lokální komponenty čtyřhybnosti fotonu pro pozorovatele na dané hodnotě radiální souřadnice r mohou být získány pomocí příslušných tetrád bázových čtyřvektorů e( ) a 1-forem () použitím transformačních vztahů ()  e()dx  ,

(32)

P ()  e()P  .

(33)

Čtyřhybnost fotonu je nulový čtyřvektor, což implikuje obecnou relaci pro směrový úhel α

cos   

(r ) Pobs (t ) Pobs

,

(34)

21

pod kterým vzhledem k odchozímu radiálnímu směru vidí pozorovatel fotony  přicházející s čtyřhybností Pobs . Frekvenční posuv g fotonů (poměr pozorované a

emitované energie) je pak dán vztahem

g

(t ) Pobs (t ) Psource

.

(35)

Zde a dále indexy „obs“ a „source“ označují komponenty lokálně měřené v soustavě pozorovatele či zdroje na příslušných hodnotách radiální souřadnice robs či rsource . Uvažujme

nyní

třídu

statických

pozorovatelů

stojících

v klidu

na

r  const,   const,   const . Ortonormální tetrádu 1-forem lokálního referenčního systému těchto pozorovatelů lze zapsat jako

(t )  A(r, M,Q2, )1/2 dt ,

(36)

(r )  A(r, M,Q2, )1/2 dr ,

(37)

()  rd ,

(38)

()  r sin d .

(39)

Jestliže budeme díky sférické symetrii problému uvažovat pouze pohyb fotonů v ekvatoriální rovině, pak lokální komponenty čtyřhybnosti fotonu měřené statickým pozorovatelem na daném robs budou dány relacemi P (t )  E A(r , M ,Q 2, )1/2 ,

P

(r )

2

2

 sA E A(r , M ,Q , ) P ( )  0 ,

P () 

bE   . r r



(40) b2 r2

,

(41)

(42) (43)

22

Přímým výpočtem snadno získáme vztahy pro směrový úhel a frekvenční posuv fotonů pro statického pozorovatele:

stat

   A(r , M ,Q 2, )b 2    ,  arccos  1  2   r   gstat 

gtt (rsource ) gtt (robs )

.

(44)

(45)

1.5 Konstrukce optického zobrazení v zakřiveném prostoročase Pro konstrukci optického zobrazení vzdáleného vesmíru pro hypotetického pozorovatele nacházejícího se v blízkosti RNdS černé díry byla aplikována metoda včetně upraveného programového balíku BHimpaCt, použitá již pro řešení obdobného problému v Schwarzschild – de Sitterově prostoročase [2]. Konstrukce optického zobrazení v zakřiveném prostoročase spočívá v nalezení všech nulových geodetik spojujících zdroje záření s pozorovatelem a v určení směrových úhlů, pod kterými vidí pozorovatel fotony po nulových geodetikách přicházející. Pro zjednodušení výpočtu můžeme bez újmy na obecnosti vzhledem k sférické symetrii Reissner-Nordström-de Sitterova prostoročasu uvažovat pohyb fotonů pouze v ekvatoriální rovině a s úhlovou souřadnicí zdroje source probíhající od 0 do π. Prostorové souřadnice zdroje pak budou (rsource , source ,  / 2) a pozorovatelovy (robs , 0,  / 2) . Situaci znázorňuje obr. 1.2.

Směrový úhel  , daný obecným vztahem (34), pod kterým pozorovatel vidí obraz generovaný příslušnou geodetikou, je na daném robs funkcí pouze impaktního parametru b a sA jako funkcí prostorových souřadnic zdroje i pozorovatele a parametru k . Z obrázku 1.2 je zřejmé, že pro geodetiky s k  0 bude ovšem výsledný směrový

úhel dán jako 2   vzhledem k opačné orientaci oběhu kolem gravitačního centra.

23

Obr. 1.2. Schematická geometrie simulované situace, převzato z [1].

Změnu úhlové souřadnice podél nulové geodetiky je možno vyjádřit „Binetovým vztahem“ pro fotony v Reissner-Nordströmově-de Sitterově prostoročasu nabývajícím tvaru

d  du

1  b2  u 2  2Mu 3  Q 2u 4  3

,

(46)

kde

u

1 . r

(47)

Výraz pod odmocninou ve jmenovateli musí přirozeně nabývat kladných hodnot, což implikuje podmínku přípustnosti pohybu fotonů zapsanou relací

24

  C (b, u, M ,Q 2, )  b2  u 2  2Mu 3  Q 2u 4    0 . 3  

(48)

1.6 Důsledky podmínky existence pohybu fotonů

Principielně existují, vzhledem k vlastnostem podmínky existence pohybu fotonů C (b, u, M ,Q2, ) , tři druhy chování nulových geodetik. Pro geodetiku s chováním prvního druhu, charakterizovanou konkrétní hodnotou impaktního parametru b je C (b, u, M,Q 2, )  0 pro všechna u  0 a u  u , a fotony s takovou hodnotou impaktního parametru přicházející z blízkosti kosmologického horizontu, dopadají na černoděrový horizont a nutně pokračují dynamickou oblastí směrem ke vnitřnímu Cauchyho horizontu na u . Naopak pro geodetiky s chováním druhého druhu

je

charakteristická

existence

intervalu

u,

kde

pro

dané

b

je

C (b, u, M,Q2, )  0 , a pohyb fotonů s touto hodnotou impaktního parametru je na tomto intervalu zakázán. Dolní mez takového intervalu tedy přirozeně definuje bod obratu pro fotony přicházející z blízkosti kosmologického horizontu, horní pak pro fotony přicházející z blízkosti horizontu černoděrového nebo nahé singularity. Fotony přicházející po těchto geodetikách po dosažení bodu obratu unikají zpět ke kosmologickému horizontu, případně do nekonečna. Je zřejmé, že v případě černoděrových prostoročasů pro pozorovatele na daném robs nejvyšší možná hodnota impaktního parametru bmax (robs ) odpovídá geodetice s bodem obratu přímo na pozici pozorovatele. Geodetiky s b  bmax (robs ) nikdy pozice pozorovatele nedosáhnou. Radiální souřadnici obratu pro daný impaktní parametr b získáme jako kořen rovnice

C (b, u, M,Q2, )  0 ,

(49)

jehož hodnota v případě černoděrových prostoročasů leží mezi statickým poloměrem a radiální souřadnicí nestabilní kruhové orbity.

Maximální

impaktní parametr

pozorovatele na robs pak můžeme v případě černoděrových prostoročasů zapsat jako 25

1

bmax

  2   2 3 2 4   u  2Mu  Q u   .  3 

(50)

Mezním případem je geodetika s takovou hodnotou impaktního parametru, pro kterou podmínka C (b, u, M ,Q2, ) dosahuje 0 právě ve svém minimu. Takový případ odpovídá záchytu fotonu na nestabilní kruhové fotonové orbitě, a příslušný impaktní parametr bude dále označován jako kritický impaktní parametr bcrit [2]. Konečně, posledním možným druhem chování je případ existence hodnoty impaktního parametru, pro kterou maximum podmínky C (b, u, M ,Q2, ) má právě nulovou hodnotu. V takovém případě se jedná o stabilní kruhovou fotonovou orbitu umístěnou právě na takovém u, kde podmínka nabývá svého maxima, C (b, u, M,Q 2, )  0 . Poloha stabilních i nestabilních kruhových fotonových orbit tedy odpovídá současnému splnění

dC (b, u, M ,Q 2, )  0 a C (b, u, M,Q 2, )  0 . Znaménko druhé derivace du

podmínek

d2C (b, u, M ,Q 2, ) d2u

pak určuje, zda se jedná o stabilní či nestabilní kruhovou

fotonovou orbitu. Protože impaktní parametr b vystupuje ve funkci C pro RNdS prostoročas pouze v absolutním členu, je k určení polohy kruhových fotonových orbit dostatečná již podmínka extremality

dC (b, u, M ,Q 2, )  0 . Přímým výpočtem du

unstable získáme polohu nestabilní kruhové fotonové orbity rph danou formulí

unstable rph 

1 unstable u ph

 3M  9M 2  8Q 2

(51)

a k ní příslušnou hodnotu impaktního parametru bcrit jako

bcrit 

3 2

9M 2  8Q 2 (24MQ 2  27M 3 )  81M 4  108M 2Q 2  8Q 4 (3  4Q 2) 81M 4   Q 2 (3  4Q 2)2  9M 2(1  12Q 2)

.

(52) 26

stable Poloha stabilní fotonové orbity rph je pak dána formulí

stable rph 

1 ustable ph

 3M  9M 2  8Q 2 ,

(53)

a odpovídající impaktní parametr bstable jako

bstable 

3 2

9M 2  8Q 2 (27M 3  24MQ 2 )  81M 4  108M 2Q 2  8Q 4 (3  4Q 2) 81M 4   Q 2 (3  4Q 2)2  9M 2(1  12Q 2) (54)

Analyzujeme-li dále tvar podmínky C (b, u, M ,Q2, ) pro RNdS prostoročas, je zřejmé, že kosmologická konstanta vystupuje obdobně jako impaktní parametr také pouze v absolutním členu a tedy vliv impaktního parametru pouze modifikuje (kompenzuje). Také z formulí pro polohu kruhových fotonových orbit je zřejmé, že jejich umístění nezávisí na hodnotě kosmologické konstanty, obdobně jako v SdS prostoročase [2]. Příslušné hodnoty impaktního parametru již ovšem na kosmologické konstantě závisí. unstable V RNdS prostoročasu pro Q2  0 nabývají u ph i u stable hodnoty větší ph

než nula, což implikuje principielně možnost existence stabilní i nestabilní kruhové fotonové orbity. Bližší analýza však odhalí, že pro takové černoděrové prostoročasy s Q 2  Q 2max () leží u stable v dynamické oblasti mezi černoděrovým a Cauchyho ph horizontem a i příslušná hodnota impaktního parametru bstable je imaginární. V černoděrových RN prostoročasech tedy zřejmě výrazy u stable i bs t a b l epostrádají ph fyzikální smysl. Chování podmínky C (b, u, M ,Q2, ) ilustruje Obr. 1.3. unstable Z výrazů pro u ph i u stable ph

je však zřejmé, že podmínka existence

kruhových fotonových orbit lze zapsat jako

9 Q2  M 2 , 8

(55)

27

a je totožná s podmínkou pro hodnotu Q umožňující černoděrový charakter RNdS prostoročasu pro odpovídajícím způsobem nastavenou hodnotu kosmologické konstanty. Existence fotonových kruhových orbit je však možná i v RN prostoročasech popisující nahé singularity s M  Q 2 

9 2 M . Pro takové prostoročasy nabývají bcrit i 8

bstable reálných hodnot a obě kruhové fotonové orbity, stabilní i nestabilní, v tomto

případě existují. V mezním případě prostoročasu s Q2  (9 / 8)M 2 poloha obou orbit splývá na hodnotě souřadnice

u  (2 / 3)M 1 ,

(r  1.5M ) , kde podmínka

C (b, u, M ,Q2, ) vykazuje inflexní bod. V prostoročasech s Q2  (9 / 8)M 2 již existence kruhových fotonových orbit není možná. Velikost náboje pro prostoročasy umožňující existenci kruhových fotonových orbit je omezena také zdola. Vzhledem k nutnosti existence reálných hodnot příslušné čtyřhybnosti orbitujících fotonů se pro 2 () nerealizuje žádná kruhová fotonová globálně dynamické prostoročasy s Q 2  Qmin

orbita. Lokace fotonových orbit je dále totožná s polohy extrémů funkce (15) definující polohu horizontů a pro danou hodnotu kosmologické konstanty v těchto bodech (Qmin a Qmax ) splývá s polohou horizontu i statickým poloměrem. Chování polohy fotonových

orbit ilustruje obr. 1.3. V případě Q = 0 RNdS prostoročas degeneruje do Schwarzschildova-de Sitterova prostoročasu analyzovaného podrobně v [2]. Konečně v případě prostoročasů s bránovým nábojem Q2    0 podmínka C (b, u, M ,Q2, ) pro u  0 vykazuje pouze minimum umožňující existenci pouze nestabilní kruhové fotonové orbity a vlastnosti pohybu fotonů jsou kvalitativně podobné případu SdS prostoročasu.

28

Obr. 1.3. Chování funkce C (b, u, M ,Q2, ) pro prostoročas s Q = 0.99 M a Λ = 0 pro význačné hodnoty impaktního parametru b.

1.7 Tři druhy nulových geodetik V konečném důsledku je třeba vzhledem k charakteru podmínky pohybu uvažovat tři druhy nulových geodetik procházejících pozicí pozorovatele. První druh je charakterizován impaktním parametrem

b  bcrit

a

jejich vlastnosti shrnuje

předcházející kapitola. Druhý druh zahrnuje geodetiky s impaktním parametrem b  bcrit avšak procházející pozicí pozorovatele na své sestupné části, ještě před

průchodem bodem obratu. Pro oba druhy lze proto zapsat integrální formu Binetova vztahu jako uobs

(usource , uobs ,b)  



usource

du  b2  u 2  2Mu 3  Q 2u 4  3

,

(56)

29

kde znaménko – odpovídá fotonům orbitující pravotočivě, znaménko + fotonům orbitujícím levotočivě. Zavedeme-li změnu úhlové souřadnice podél geodetiky od zdroje až po bod obratu turn vztahem uturn

turn (usource ,b) 



usource

du  b2  u 2  2Mu 3  Q 2u 4  3

,

(57)

pak druhý druh geodetik splňuje relaci (uobs )  turn . V limitním případě bod obratu splývá s pozicí pozorovatele a b = bmax. Předpokládáme-li pro první i druhý druh geodetik monotónně rostoucí závislost (b) pro dané usource a uobs , pak pro ně zřejmě platí i vztah

(b)  (bmax ) .

(58)

Pro první i druhý druh geodetik má sA hodnotu -1, fotony procházející pozicí pozorovatele na těchto geodetikách se přibližují k černé díře. Posledním případem jsou geodetiky s b  bcrit a procházející pozicí pozorovatele až za bodem obratu, tedy na své vzestupné části. Integrální forma Binetova vzorce pak nabývá tvaru uobs

(uobs )   

uturn

du  b2  u 2  2Mu 3  Q 2u 4  3

 (uturn ) .

(59)

V tomto případě znaménko + odpovídá fotonům orbitujícím pravotočivě, znaménko – pak fotonům orbitujícím levotočivě. Fotony se na těchto geodetikách od černé díry vzdalují, hodnota sA bude +1. Je zřejmé, že v případě RNdS černoděrových prostoročasů pro pozorovatele pod nestabilní kruhovou fotonovou orbitou má smysl uvažovat pouze první druh geodetik,

30

tj. s b  bcrit , protože všechny body obratu pro fotony přicházející z oblasti u kosmologického horizontu leží nad nestabilní kruhovou fotonovou orbitou. Vztahy (56), (57) a (59) vyjadřují  podél dráhy fotonu jako funkci F (b, uobs , usource , M ,Q 2, )

a dovolují přepsat rovnici (46) pro pohyb fotonů

v ekvatoriální rovině a pro pozorovatele s prostorovými souřadnicemi (robs , 0,  / 2) do tvaru F (b, uobs , usource , M ,Q 2, )  source  2k   0 .

(60)

Výsledná rovnice vyjadřuje b(k, uobs , usource , ) jako implicitní funkci parametru k, prostorových souřadnic zdroje i pozorovatele, a parametrů RNdS prostoročasu M, Q a Λ. Pro analytické řešení je možno funkci F (b, uobs , usource , M ,Q 2, ) vyjádřit pomocí eliptických integrálů. Další, zde použitou možností je řešení rovnice (60) přímými numerickými metodami.

31

2. Výsledky počítačových simulací 2.1 Simulační kód BHimpaCT K simulaci optického zobrazování byl použit softwarový simulátor relativistické optiky BHimpaCt

vyvinutý na Ústavu fyziky FPF SU v Opavě [1,2]. Výpočet

směrového úhlu pro obraz k-tého řádu daného zdroje je v použitém kódu implementován podle následujícího schématu: Celková změna úhlové souřadnice  vyjádřená rovnicí (60) spolu s relací (58) determinuje, zda se jedná o geodetiku vcházející nebo odchozí a tím i znaménko sA. V případě vcházející geodetiky je pak metodou bisekce hledán impaktní parametr b v intervalu (0,bmax). V opačném případě odchozí geodetiky je nutno použít integrály pro  před a za bodem obratu a metoda bisekce je použita na intervalu možných řešení (bcrit,bmax). Takto získaná hodnota impaktního parametru b a znaménka sA spolu s řádem obrazu k plně definují směrový úhel αstat, pod kterým je obraz projektován na nebeskou sféru příslušného pozorovatele. Nebeskou sférou v tomto kontextu rozumíme nekonečně vzdálenou sférickou plochu, na kterou jsou zdánlivě projektovány pozorovatelem viděné objekty. Jejich polohu na nebeské sféře je možno popsat úhlovými souřadnicemi lokálního souřadného systému pozorovatele. Hemisféra nebeské sféry vymezená hodnotami souřadnice

  ( / 2, 3 / 2) , tedy orientovaná směrem k černé díře, bude dále nazývána přivrácenou hemisférou, opačná pak hemisférou odvrácenou. Simulace předpokládá umístění objektů vzdáleného vesmíru na nestabilním statickém poloměru, případně v nekonečnu pro černoděrová řešení bez kosmologické konstanty. Vstupem kódu je bitmapový obrázek, reprezentující výřez pozorovatelovy přivrácené hemisféry prozatím nezkreslené gravitačním polem černé díry, tedy odpovídající optickému zobrazení v plochém prostoročase. Protože obrazy objektů mohou být silným gravitačním polem přesouvány po celé nebeské sféře, výstupem softwarové simulace jsou bitmapové obrázky obou hemisfér pozorovatelova nebe.

32

Vzhledem k omezeným možnostem počítačových monitorů kód zcela rezignuje na realistické zobrazení intenzity virtuálních obrazů vyšších řádů, která s výjimkou Einsteinových kroužků a jejich těsného okolí exponenciálně klesá [14].

2.2 Výběr černoděrových řešení pro simulace K ilustraci vlivu hodnoty kvadrátu náboje černé díry na optické zobrazení byly simulace provedeny pro černou díru se slapovým nábojem Q2  0.9M 2 , pro černou díru bez náboje a konečně pro elektricky nabitou černou díru s Q2  0.9M 2 . Pro každou hodnotu byl dále studován případ bez kosmologické konstanty i případ s repulzivní kosmologickou konstantou   0.005M 2 . Vlastnosti studovaných prostoročasů přehledně shrnuje tabulka 1. Vzhled vzdáleného vesmíru za černou dírou je v simulacích reprezentován snímkem galaxie M104 „Sombrero“ pozorované VLT (Very Large Telescope Interferometry Array) ESO Cerro Paranal (obrázek 2.1).

Obr. 2.1.

Galaxie M104 „Sombrero“ pozorovaná VLT (Very Large Telescope

Interferometry Array) ESO Cerro Paranal. 33

Elektricky nabitá Černá díra černá díra, náboje

bez Černá díra se slapovým nábojem,

Q2 = 0.9 M2 Λ=0

Λ=0.005 [M-2]

Q2 = -0.9 M2 Λ=0

Λ=0.005 [M-2]

Λ=0

Λ=0.005 [M-2]

Černoděrový horizont

1.316M 1.324M

2.000M 2.014M

2.378M 2.328M

Cauchy horizont

0.684M 0.683M

X

X

X

X

Kosmologický horizont

∞

∞

23.426M

∞

23.404M

23.447M

2.171M 2.171M Kruhová fotonová orbita Statický poloměr

∞

8.110M

3.000M 3.000M

3.512M 3.512M

∞

∞

8.434M

8.715M

Tabulka 1. Vlastnosti studovaných černoděrových prostoročasů.

2.3 Simulace pro statického pozorovatele na robs = 7M Pro všechna studovaná černoděrová řešení je pozice pozorovatele na robs  7M umístěna nad nestabilní kruhovou fotonovou orbitou. Pro takové pozorovatele třeba uvažovat všechny tři druhy nulových geodetik. Obrázek 2.2 ukazuje impaktní parametr b jako funkci  podél příslušné nulové geodetiky. Geodetiky   (bmax ) procházejí pozicí pozorovatele na své sestupné části, některé z nich s b  bcrit skončí v centrální singularitě, ostatní dosahují bodu obratu až po průchodu pozicí pozorovatele. Všechny geodetiky s   (bmax ) dosahují bodu obratu ještě před pozicí pozorovatele a unikají zpět do nekonečna. Pro geodetiky s   (bmax ) , pak bod 34

obratu splývá s pozicí pozorovatele. Impaktní parametr b roste s  až k bmax , a poté klesá a asymptoticky se blíží shora k bcrit .

Obr. 2.2. Impaktní parametr b jako funkce  podél nulové geodetiky pro statického pozorovatele na robs  7M . Obrázek 2.3 ukazuje směrový úhel stat jako funkci  podél příslušné nulové geodetiky. Směrový úhel stat monotónně stoupá s  až ke své maximální hodnotě, která vymezuje černý region na pozorovatelově nebeské sféře, do kterého není projektován žádný obraz zdroje ve vzdáleném vesmíru. Velikost tohoto černého regionu roste s klesající radiální souřadnicí pozorovatelů. Výstupy simulací na obrázcích 2.4 a 2.5 ilustrují vizuální manifestaci těchto efektů pro rozdílné hodnoty kvadrátu náboje a kosmologické konstanty.

35

Obr. 2.3. Směrový úhel stat jako funkce  podél nulové geodetiky pro statického pozorovatele na robs  7M .

Obr. 2.4. Simulace vzhledu vzdáleného vesmíru za černou dírou reprezentovaného snímkem galaxie M104 generované pro černoděrová řešení bez kosmologické konstanty pro (zleva) Q2  0.9M 2 ,Q2  0 a Q2  0.9M 2 . Statický pozorovatel je umístěn na robs  7M . Výstupy simulací ilustrují změnu geometrie zobrazení i změnu frekvenčního

posuvu spolu se změnou hodnoty kvadrátu náboje černé díry. 36

Obr. 2.5. Simulace vzhledu vzdáleného vesmíru za černou dírou reprezentovaného snímkem galaxie generované pro černoděrová řešení s kosmologickou konstantou   0.005M 2

pro (zleva) Q2  0.9M 2 ,Q2  0 a Q2  0.9M 2 . Statický

pozorovatel je umístěn na

robs  7M . Výstupy simulací ilustrují změnu geometrie

zobrazení i změnu frekvenčního posuvu v porovnání se situací bez kosmologické konstanty ilustrovanou na obrázku 2.4.

2.4 Simulace pro statického pozorovatele na robs = 2.5M Pozorovatel

na

robs  2.5M

je

v prostoročasech

s

Q2  0.9M 2 ,

Q2  0 umístěn již pod nestabilní kruhovou fotonovou orbitou. Tomu také odpovídá kvalitativní změna chování impaktního parametru b. Pro takové pozorovatele jsou relevantní pouze geodetiky bez bodu obratu končící v centrální singularitě, tedy s b  bcrit . Obrázek 2.6 ukazuje impaktní parametr b jako funkci  podél příslušné

nulové geodetiky. Je zřetelný rozdílný charakter chování impaktního parametru v prostoročase s Q2  0.9M 2 , kde se jedná o pozorovatele umístěného nad kruhovou fotonovou orbitou. Pro pozorovatele umístěného pod nestabilní kruhovou fotonovou orbitou impaktní parametr b monotónně roste s  a asymtoticky se blíží zdola k bcrit .

37

Směrový úhel stat monotónně stoupá s  až ke své maximální hodnotě, která opět definuje černý region, který v tomto případě zabírá vždy více než polovinu pozorovatelovy nebeské sféry (viz obrázek 2.7). Díky silnému gravitačnímu poli je frekvenční posuv obrazů velmi zřetelný, barvy jsou výrazně posunuty do modré a částečně UV oblasti spektra. V případě pozorovatele velmi blízko horizontu událostí je celý vzdálený vesmír zobrazen jako malá zářící ploška kolem průsečíku optické osy a hemisféry pozorovatelova nebe orientované směrem od černé díry. Výstupy simulací na obrázcích 2.8 a 2.9 ilustrují tyto efekty pouze pro Q2  0.9M 2 , v ostatních studovaných

případech

jsou

projekce

již

posunuty

do

neviditelné

oblasti

elektromagnetického spektra.

Obr. 2.6. Impaktní parametr b jako funkce  podél nulové geodetiky pro statického pozorovatele na robs  2.5M .

38

Obr. 2.7. Směrový úhel stat jako funkce  podél nulové geodetiky pro statického pozorovatele na robs  2.5M .

2.5 Další aspekty optického zobrazení 2.5.1 Einsteinovy kroužky Bodový zdroj na optické ose, přímce spojující pozici pozorovatele s centrální singularitou, nemá definovanou rovinu pohybu fotonů a díky nekonečnému množství fyzikálně ekvivalentních nulových geodetik daného řádu spojujících pozorovatele se zdrojem bude zobrazen jako infinitesimálně tenký prstenec. Obdobně jako v případě standardních obrazů vzniká nekonečná řada Einsteinových kroužků jako hranice mezi virtuálními obrazy oblohy různých řádů, avšak obrazy a kroužky vyšších řádů velmi rychle splývají v jasný prstenec ohraničující černý region na pozorovatelově nebi [12].

39

Obr. 2.8. Simulace vzhledu vzdáleného vesmíru za černou dírou reprezentovaného snímkem galaxie M104 pro pozorovatele na robs  2.5M pro černoděrové řešení bez kosmologické konstanty a Q2  0.9M 2 . Výstupy simulací zobrazují přivrácenou hemisféru (panel vlevo) i hemisféru odvrácenou (panel vpravo). Obraz vzdálené galaxie je téměř celý přesunut na hemisféru odvrácenou s výjimkou sekundárního Einsteinova kroužku.

Obr. 2.9.

Stejná situace jako na obrázku 2.8, avšak pro řešení s kosmologickou

konstantou   0.005M 2 . 40

2.5.2 Změny intenzity Silné gravitační pole způsobuje časovou, frekvenční a prostorovou redistribuci toku záření z celého vzdáleného vesmíru na nebeskou sféru pozorovatele. Intenzita obrazů vyšších řádů klesá velmi rychle s výjimkou Einsteinových kroužků, kde se naopak teoreticky (v geometrickém přiblížení) blíží k nekonečnu [14]. Einsteinovy kroužky budou tedy velmi dobře detekovatelné a pozorovatelné. Efekty změny intenzity však vzhledem k omezeným možnostem jejich reprodukce na počítačových monitorech, které nedisponují dostatečnou bitovou hloubkou pro jas, nebyly studovány.

2.5.3 Symetrie optického zobrazení Optické zobrazení zachovává sférickou symetrii, kružnice na imaginárním nebi v plochém prostoročasu se středem na optické ose je transformována do kružnice s odlišným poloměrem, avšak se středem opět na optické ose problému. Zajímavou vlastností je totální radiální i úhlová inverze virtuálních obrazů záporného řádu generovaných levotočivě orbitujícími nulovými geodetikami. Tento efekt je dobře ilustrovaný obrazovými výstupy simulací, na kterých jsou zřetelně viditelné obrazy mínus prvého řádu mezi prvním a druhým Einsteinovým kroužkem.

2.6 Vliv náboje a kosmologické konstanty na zdánlivou úhlovou velikost černé díry Úhlovou velikost černého regionu na nebeské sféře pozorovatele lze chápat jako zdánlivou úhlovou velikost černé díry. Její velikost na daném robs závisí na velikosti kvadrátu náboje Q 2 i na hodnotě kosmologické konstanty a může být zajímavou a užitečnou ilustrací vlivu těchto parametrů na geometrii optického zobrazování. Pro statického pozorovatele nad fotonovou orbitou je černý region vymezen vycházejícími  geodetikami s impaktním parametrem b  bcrit a se směrovým úhlem

41

max

   2 b 2   2 M Q  2    lim stat (b, M ,Q 2, , robs )  arccos  1   crit  1    robs   2 b bcrit robs r 3    robs   obs   (61)

Pro statického pozorovatele pod fotonovou orbitou je pak analogicky černý region  vymezen vcházejícími geodetikami s impaktním parametrem b  bcrit a se směrovým

úhlem

max

   2 b 2  2 M Q  2    lim stat (b, M ,Q 2, , robs )  arccos  1   crit  1    robs  2   b bcrit robs 3   robs   robs   (62)

Je zřejmé, že pokud je směrový úhel  definován dle obr. 1.2, pak je úhlová velikost černého regionu a tedy i zdánlivá úhlová velikost černé díry dána vztahem

Asize  2(  max ) .

(63)

V tomto černém regionu může být pozorováno pouze případné záření emitované z těsné blízkosti horizontu, na nebeskou sféru mimo černý region jsou pak projektovány všechny obrazy objektů vzdáleného vesmíru. Obr 2.10 ilustruje závislost zdánlivé úhlové velikosti Asize na velikosti kvadrátu náboje Q 2 a hodnotě kosmologické konstanty  . Na libovolném daném robs zdánlivá úhlová velikost Asize klesá spolu s

Q 2 , zatímco závislost na hodnotě kosmologické konstanty  je rozdílná pro statické pozorovatele nad a pod nestabilní kruhovou fotonovou orbitou. Nad nestabilní kruhovou fotonovou orbitou je velikost černého regionu antikorelována ke kosmologické konstantě, avšak pro pozorovatele pod nestabilní kruhovou fotonovou orbitou Asize spolu s kosmologickou konstantou roste. Zajímavá situace nastává pro pozorovatele právě na radiální souřadnici nestabilní kruhové fotonové orbity. Zde pro arbitrární 42

hodnoty Q 2 i  je zdánlivá úhlová velikost černé díry vždy invariantně π, a tedy černý region zahrnuje vždy právě celou polovinu nebeské sféry pozorovatele orientovanou směrem ke gravitačnímu centru. Tento efekt již byl analyzován, ovšem pouze pro Schwarzschild – de Sitterův prostoročas bez slapového či elektrického náboje [2]. Pro pozorovatele na černoděrovém horizontu je obdobně Asize vždy rovno 2π, celý vzdálený vesmír je projektován (s nekonečně velkým blueshiftem) do jednoho bodu. Kromě právě popsaného vlivu na geometrii optického zobrazeni má velikost kvadrátu náboje i kosmologické konstanty samozřejmě vliv také na frekvenční posun a tedy i barvu obrazů objektů vzdáleného vesmíru, jak je zřejmé ze vztahu (45).

Obr. 2.10. Závislost zdánlivé úhlové velikosti černé díry Asize na radiální souřadnici pozorovatele pro černoděrová řešení s Q2  0.8M 2 , Q2  0 a Q2  0.9M 2 . Plné křivky odpovídají řešením bez kosmologické konstanty, přerušované pak řešením s kosmologickou konstantou   0.005M 2 . Obrázek zřetelně ilustruje invarianci Asize pro pozorovatele umístěného na kruhové fotonové orbitě a černoděrovém

horizontu. 43

Závěr Relativistické optické zkreslení v silném gravitačním bylo poprvé predikováno samotným tvůrcem obecné teorie relativity [7] a jeho teorie pak dále rozpracována dalšími autory [1,2,5,12]. Má diplomová práce je věnována analýze relativistických optických efektů v blízkosti nabitých sféricky symetrických černých děr za přítomnosti repulzivní kosmologické konstanty. Počítačově jsou modelovány a simulovány efekty strong lensingu, konkrétně optická projekce vzdáleného vesmíru pro statické pozorovatele umístěné v blízkosti černoděrového horizontu či kruhové fotonové orbity Reissner-Nordströmovy–de Sitterovy černé díry. Obdobná analýza již provedená pro Schwarzshild-de Sitterův prostoročas [1,2] je zde rozšířena o vliv náboje černé díry. Diskutován je jak případ záporného kvadrátu náboje odpovídajícího případu hypotetického slapového náboje predikovaného některými bránovými kosmologickými modely, tak i poněkud standardnější případ elektricky nabité černé díry. Pro generování simulací byl použit program BHimpaCt, vyvinutý na ÚF FPF SU v Opavě [1,2]. Získané výsledky ukazují, že směrový úhel obrazu zdroje ve vzdáleném vesmíru pro statické pozorovatele spolu s velikostí kvadrátu náboje černé díry klesá. Lze tedy závěrem konstatovat, že pro statické pozorovatele umístěné nad kruhovou fotonovou orbitou je vliv velikosti kvadrátu náboje černé díry na vlastnosti optické projekce kvalitativně obdobný vlivu kosmologické konstanty, pro pozorovatele, zatímco pro pozorovatele umístěné pod kruhovou fotonovou orbitou může být vliv kosmologické konstanty přítomností náboje černé díry kompenzován. Detailnější rozbor výsledků simulací optické projekce v Reissner-Nordströmových–de Sitterových černoděrových prostoročasech může být předmětem budoucích studií.

44

Literatura [1] P.Bakala, P.Čermák, S.Hledik, Z.Stuchlík, K.Truparová : A virtual trip to the Schwarzschild-de Sitter black hole. Proceedings of RAGtime 6/7: Workshop on blackholes and neutron stars, Opava, September 2004/2005. [2] P. Bakala, P. Čermák, S. Hledík, Z. Stuchlík, K. Truparová: Extreme gravitational lensing in vicinity of Schwarzschild-de Sitter black holes, Central European Journal of Physics vol 5, pages 599-610, http://arxiv.org/abs/0709.4274, 2007. [3] G. Bao and Z. Stuchlík : Accretion disk self-elclipse: X-ray light curve a emission Line,The Astrohysics Journal, 400:163-169,1992, November 20. [4] M. Bruni, C. Germani, R. Maartens: Gravitational Collapse on the Brane: A No-Go Theorem, PhysRevLett.87.231302, http://arxiv.org/abs/gr-qc/0108013, 2001 . [5] C. T. Cunningham: Optical Appearance of Distant Observers near and inside a Schwarzschild Black Hole, Phys.Rev.D.12, 323–328, 1975. [6] N.Dadhich, R. Maartens, P. Papadopoulos, V. Rezania: Black holes on the brane, Physics Letters B, August 2000, 487 (pages 1-6), http://arxiv.org/abs/hep-th/0003061. [7] A. Einstein: Lens-like action of a star by the deviation of light in the gravitational Field, Science 84, 506, 1936. [8]C. Germani, R. Maartens: Stars in the braneworld, PhysRevD.64.124010, http://arxiv.org/abs/hep-th/0003061, 2001. [9] P.Horava, E. Witten, Nucl. Phys. B460, 506 (1996), L. Randall, R. Sundrum, Phys. Rev. Lett. 83, 4690 (1999). [10] M. Van der Klis, W.H.G. Lewin: Compact Stellar X-Ray Sources, 39-112, Cambridge University Press, 2006, nebo také http://arxiv.org/abs/astro-ph/0410551. [11] C.W. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler: Gravitation. Freeman, New York, 1973. [12] R. J. Nemiroff: Visual distortion near a neutron star a and black hole, http://arxiv.org/abs/astro-ph/9312003, 1993. [13] R. Penrose: Gravitational collapse and space-time singularities. Phys.Rev.Lett. 14, 57 (1965). 45

[14] P. Schneider, J. Ehlers, E. E. Falco: Gravitational Lenses, Springer, Berlin, 1999. [15] Z. Stuchlík, S. Hledík: Properties of the Reissner-Nordstrom spacetimes with a nonzero cosmological constant, http://arxiv.org/abs/0803.2685, 2002. [16] K. S. Virbhadra and G. F. R. Ellis, Phys. Rev. D 62, 084003 2000.

46