SISTEM DINAMIK DISKRET Anggota Kelompok: 1. Inggrid Riana C. 2. Kharisma Madu B. 3. Solehan
SISTEM DINAMIK
Kontinu
Sistem Dinamik Diskret
POKOK BAHASAN SDD
OTONOMUS
1-D
LINEAR
NON-LINEAR
NON-OTONOMUS
MULTI-D
LINEAR
NON-LINEAR
SISTEM OTONOMUS 1-D SDD Otonomus Linear 1-D
SDD Otonomus Non-Linear 1-D
Titik Tetap
Titik Tetap
Solusi
Solusi Jika Ada
Kestabilan
Linearisasi
Kestabilan
SDD OTONOMUS LINEAR 1-D
Bentuk Umum
𝑥𝑛+1 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏, dengan 𝑛 = 0,1,2, …,
𝑥𝑛 ∈ ℝ, 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ .
SDD OTONOMUS LINEAR 1-D Solusi Sistem Diberikan SDD 𝑥𝑛+1 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏, dengan nilai awal 𝑥0 . Solusinya adalah 𝑏 𝑏 𝑛 𝑥0 − 𝑎 + 𝑥𝑛 = 1−𝑎 1−𝑎 𝑥0 + 𝑏𝑛
, jika 𝑎 ≠ 1 , jika 𝑎 = 1
SDD OTONOMUS LINEAR 1-D Titik Tetap
Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏, adalah 𝑥 ∗ ∈ ℝ sedemikian sehingga 𝑥 ∗ = 𝑎𝑥 ∗ + 𝑏,
diperoleh 𝑏 , jika 𝑎 ≠ 1 ∗ 𝑥 = 1−𝑎 𝑥0 , jika 𝑎 = 1 dan 𝑏 = 0. Untuk 𝑎 = 1 dan 𝑏 ≠ 0 titik tetap tidak ada.
SDD OTONOMUS LINEAR 1-D Proposisi 1. Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏 ada jika dan hanya jika 𝑎 ≠ 1 atau 𝑎 = 1 dan 𝑏 = 0 .
Proposisi 2. Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏 tunggal jika dan hanya jika 𝑎 ≠ 1.
SDD OTONOMUS LINEAR 1-D Kestabilan Titik Tetap Titik tetap 𝑥 ∗ dari 𝑥𝑛+1 = 𝑓(𝑥𝑛 ) adalah: • Stabil global (asimtotik) jika lim 𝑥𝑛 = 𝑥 ∗ , ∀𝑥0 ∈ ℝ 𝑛→∞
• Stabil lokal (asimtotik) jika 𝑥 ∗ stabil lokal dan lim 𝑥𝑛 = 𝑥 ∗ . 𝑛→∞
Proposisi 3. Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏, stabil global jika dan hanya jika 𝑎 <1
SDD OTONOMUS LINEAR 1-D Contoh 3 4
1. 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 2 Titik Tetap: 𝑥 ∗ = 8 Solusi: 𝑥𝑛 =
3 𝑛 4
Kestabilan: 𝑎 =
𝑥0 − 8 + 8 3 4
< 1 → stabil
SDD OTONOMUS LINEAR 1-D Contoh 2. 𝑥𝑛+1 = −2𝑥𝑛 + 2 Titik Tetap:
𝑥∗
=
2 3
Solusi: 𝑥𝑛 = −2
𝑛
𝑥0 −
2 3
+
2 3
Kestabilan: 𝑎 = −2 > 1 → tak stabil
SDD OTONOMUS NON-LINEAR 1-D Bentuk Umum 𝑥𝑛+1 = 𝑓 𝑥𝑛 , dengan 𝑛 = 0,1,2, … . Solusi Sistem Diberikan SDD 𝑥𝑛+1 = 𝑓 𝑥𝑛 dengan nilai awal 𝑥0 .
Solusinya adalah 𝑥1 = 𝑓 𝑥0 𝑥2 = 𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝑓 (𝑥0 ) = 𝑓 2 𝑥0 ⋮ 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑛 𝑥0
SDD OTONOMUS NON-LINEAR 1-D Titik Tetap Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝑓 𝑥𝑛 , adalah 𝑥 ∗ ∈ ℝ sedemikian sehingga 𝑥∗ = 𝑓 𝑥∗ . Linearisasi Hasil linearisasi: 𝑥𝑛+1 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏, dengan 𝑎 = 𝑓′ 𝑥 ∗ dan 𝑏 = 𝑓 𝑥 ∗ − 𝑓′ 𝑥 ∗ 𝑥 ∗
SDD OTONOMUS NON-LINEAR 1-D Kestabilan Titik Tetap
Proposisi 4. Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝑓 𝑥𝑛 , stabil lokal di sekitar titik tetap 𝑥 ∗ jika dan hanya jika 𝑓′(𝑥 ∗ ) < 1.
SDD OTONOMUS NON-LINEAR 1-D Contoh 𝑥𝑛+1 = 3𝑥𝑛 + 𝑥𝑛 2 − 𝑥𝑛 3 Titik Tetap: 𝑥1 ∗ = 0 ∨ 𝑥2 ∗ = −1 ∨ 𝑥3 ∗ = 2
Kestabilan: 𝑓′(𝑥1 ∗ ) = 𝑓′(0) = 3 > 1 → tidak stabil 𝑓′(𝑥2 ∗ ) = 𝑓 ′ −1 = −2 > 1 → tidak stabil 𝑓′(𝑥1 ∗ ) = 𝑓′(2) = −3 > 1 → tidak stabil
SISTEM OTONOMUS MULTI-D SDD Otonomus Linear Multi-D
SDD Otonomus Non-Linear Multi-D
Titik Tetap
Titik Tetap
Solusi
Solusi
Kestabilan
Linearisasi
Kestabilan
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D Bentuk Umum
𝑥𝑛+1 = 𝐴𝑥𝑛 + 𝐵, 𝑥𝑛 ∈ ℝk dengan 𝑛 = 0,1,2, …. Titik Tetap Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝐴𝑥𝑛 + 𝐵, adalah 𝑥 ∗ ∈ ℝ𝑘 sedemikian sehingga 𝑥 ∗ = 𝐴𝑥 ∗ + 𝐵, diperoleh 𝑥∗ = 𝐼 − 𝐴
−1 𝐵,
jika 𝐼 − 𝐴 ≠ 0.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D Proposisi 5. Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝐴𝑥𝑛 + 𝐵, tunggal jika dan hanya jika 𝐼 − 𝐴 ≠ 0.
Solusi Sistem Diberikan SDD 𝑥𝑛+1 = 𝐴𝑥𝑛 + 𝐵, dengan nilai awal 𝑥0 . Solusinya adalah 𝑥𝑛 = 𝐴𝑛 𝑥0 − 𝐼 − 𝐴 −1 𝐵 + 𝐼 − 𝐴 −1 𝐵, jika 𝐼 − 𝐴 ≠ 0. atau 𝑥𝑛 = 𝐴𝑛 𝑥0 − 𝑥 ∗ + 𝑥 ∗ .
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D Lemma 1. Jika matriks 𝐴𝑛×𝑛 mempunyai 𝑛 nilai eigen real berbeda 𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 maka ada matriks non singular 𝑄𝑛×𝑛 sedemikian sehingga 𝐴 = 𝑄𝐷𝑄 −1 , di mana 𝐷 matriks diagonal 𝜆1 0 ⋯ 0 0 𝜆2 ⋯ 0 𝐷= , ⋱ 0 ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 𝜆𝑛 𝑄 = 𝑣1 𝑣2 ⋯ 𝑣𝑛 dan 𝐴𝑣𝑖 = 𝜆𝑖 𝑣𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D Proposisi 6. Sistem persamaan beda linear orde pertama nonhomogen 𝑥𝑛+1 = 𝐴𝑥𝑛 + 𝐵, dapat ditransformasi ke sistem persamaan beda linear
orde pertama homogen 𝑧𝑛+1 = 𝐴𝑧𝑛 , di mana 𝑧𝑛 ≡ 𝑥𝑛 − 𝑥 ∗ dan 𝑥 ∗ = 𝐼 − 𝐴
−1 𝐵.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D Proposisi 6. Sistem persamaan beda linear orde pertama nonhomogen 𝑥𝑛+1 = 𝐴𝑥𝑛 + 𝐵, dapat ditransformasi ke sistem persamaan beda
linear orde pertama homogen 𝑧𝑛+1 = 𝐴𝑧𝑛 , di mana 𝑧𝑛 = 𝑥𝑛 − 𝑥 ∗ dan 𝑥 ∗ = 𝐼 − 𝐴
−1 𝐵.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D Proposisi 7. Solusi dari sistem persamaan beda linear orde pertama non-homogen 𝑥𝑛+1 = 𝐴𝑥𝑛 + 𝐵, adalah
𝑥𝑛 = 𝑄𝐷𝑛 𝑄 −1 𝑥0 − 𝑥 ∗ + 𝑥 ∗ , di mana 𝐷 adalah Jordan Matriks yang bersesuaian dengan 𝐴.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D Kasus 2 (Nilai Eigen Real Kembar)
Contoh 1. Uncoupled System
𝑥𝑛+1 = 2𝑥𝑛 , 𝑦𝑛+1 = 2𝑦𝑛 , di mana 𝑥0 = 𝑥0 , 𝑦0 .
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D 2. Coupled System 𝑥𝑛+1 = 2𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 , 𝑦𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 4𝑦𝑛 , di mana 𝑥0 = 𝑥0 , 𝑦0 .
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D Kasus 3 (Nilai Eigen Kompleks Berbeda) Bentuk Umum
𝑥𝑛+1 = 𝐴𝑥𝑛 + 𝐵 dengan 𝑛 = 0,1,2, …. Titik Tetap Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝐴𝑥𝑛 + 𝐵, adalah 𝑥 ∗ ∈ ℝ sedemikian sehingga 𝑥 ∗ = 𝐴𝑥 ∗ + 𝐵, diperoleh 𝑥∗ = 𝐼 − 𝐴
−1 𝐵,
jika 𝐼 − 𝐴 ≠ 0.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D Lemma 3. Jika matriks 𝐴𝑘×𝑘 mempunyai 𝑘 2 nilai eigen
kompleks berbeda 𝜇1 , 𝜇1 , 𝜇2 , 𝜇2 , ⋯ , 𝜇𝑘 2 , 𝜇𝑘
2
dimana 𝜇𝑗 ≡ 𝛼𝑗 + 𝑖𝛽𝑗 dan 𝜇𝑗 ≡ 𝛼𝑗 − 𝑖𝛽𝑗 , maka ada matriks non singular 𝑄𝑘×𝑘 sedemikian sehingga 𝐴 = 𝑄𝐷𝑄 −1 , di mana 𝐷 matriks blok
𝐷=
𝛼1 𝛽1 0 0
−𝛽1 𝛼1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 𝛼2 −𝛽2 𝛽2 𝛼2 0 0 0 0
… … ⋯ … ⋯ … … … ⋱ ⋱ … …
⋱ ⋱ … …
𝛼𝑛 𝛽𝑛
0 0 0 0 0 0 2 2
0 0 0 0 , 0 0 −𝛽𝑛 2 𝛼𝑛 2
𝑄 = 𝑣1 𝑤1 ⋯ 𝑣𝑖 𝑤𝑖 dan 𝐴𝑄 = 𝑄𝐷, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑘.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D Kemudian jika blok pertama pada matriks blok D diubah
dalam bentuk koordinat polar dimana 𝛼𝑗 = 𝑟𝑗 cos 𝜃𝑗 dan 𝛽𝑗 = 𝑟𝑗 sin 𝜃𝑗 , maka : 𝛼𝑗 𝛽𝑗
−𝛽𝑗 cos 𝜃𝑗 = 𝑟𝑗 sin 𝜃𝑗 𝛼𝑗
− sin 𝜃𝑗 cos 𝜃𝑗
Lemma 6 cos 𝜃𝑗 𝑟𝑗 sin 𝜃𝑗
− sin 𝜃𝑗 cos 𝜃𝑗
𝑛
=
𝑟𝑗𝑛
cos 𝑛𝜃𝑗 sin 𝑛𝜃𝑗
− sin 𝑛𝜃𝑗 cos 𝑛𝜃𝑗
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D Teorema 3 Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝐴𝑥𝑛 + 𝐵 dengan 𝐴 mempunyai 𝑘 2 pasang 𝜇1 , 𝜇1 , 𝜇2 , 𝜇2 , ⋯ , 𝜇𝑘 2 , 𝜇𝑘
2
nilai eigen imajiner yang
berbeda, dimana 𝜇𝑗 ≡ 𝛼𝑗 + 𝑖𝛽𝑗 dan 𝜇𝑗 ≡ 𝛼𝑗 − 𝑖𝛽𝑗 stabil global (asimtotik) jika dan hanya jika 𝑟𝑗 ≡
𝛼𝑗2
+
2 1 2 𝛽𝑗
< 1, ∀𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑘 2
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D Diagram Phase Sistem
𝑥𝑛+1 = 𝛼𝑥𝑛 − 𝛽𝑦𝑛 𝑦𝑛+1 = 𝛽𝑥𝑛 + 𝛼𝑦𝑛 mempunyai variasi perilaku bergantung pada nilai 𝑟.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D Orbit Periodik : 𝒓 = 𝟏 Searah Jarum Jam
Berlawanan Arah Jarum Jam
Spiral Masuk : 𝒓 < 𝟏
Searah Jarum Jam
Berlawanan Arah Jarum Jam
Spiral Keluar : 𝒓 > 𝟏
Searah Jarum Jam
Berlawanan Arah Jarum Jam
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D Orbit Periodik : 𝒓 = 𝟏
𝑥𝑛+1 = 𝛼𝑥𝑛 − 𝛽𝑦𝑛 𝑦𝑛+1 = 𝛽𝑥𝑛 + 𝛼𝑦𝑛
Orbit periodik berlawanan arah jarum jam Misalkan 𝑟 = 1, 𝛽 = 1 dan nilai awal 𝑥0 , 𝑦0 = 1,0 . Berdasarkan persamaan di atas, diperoleh 𝑥1 , 𝑦1 = 0,1 , 𝑥2 , 𝑦2 = −1,0 , 𝑥3 , 𝑦3 = 0, −1 , dan 𝑥4 , 𝑦4 = 1,0 . Terlihat bahwa sistem berbentuk orbit periodik dan
berlawanan arah jarum jam.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D Orbit Periodik : 𝒓 = 𝟏
𝑥𝑛+1 = 𝛼𝑥𝑛 − 𝛽𝑦𝑛 𝑦𝑛+1 = 𝛽𝑥𝑛 + 𝛼𝑦𝑛
Orbit periodik searah arah jarum jam Misalkan 𝑟 = 1, 𝛽 = −1 dan nilai awal 𝑥0 , 𝑦0 = 1,0 . Berdasarkan persamaan di atas, diperoleh 𝑥1 , 𝑦1 = 0, −1 , 𝑥2 , 𝑦2 = −1,0 , 𝑥3 , 𝑦3 = 0, 1 , dan 𝑥4 , 𝑦4 = 1,0 . Terlihat bahwa sistem berbentuk orbit
periodik dan searah jarum jam. Sebagai catatan, 𝛼 menentukan arah pergerakan.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D Kasus 1 (Nilai Eigen Real Berbeda)
Contoh 1. Uncoupled System
𝑥𝑛+1 = 2𝑥𝑛 , 𝑦𝑛+1 = 0.5𝑦𝑛 , di mana 𝑥0 = 𝑥0 , 𝑦0 .
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D 2. Coupled System 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 0.5𝑦𝑛 , 𝑦𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 1.5𝑦𝑛 , di mana 𝑥0 = 𝑥0 , 𝑦0 .
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D Contoh
1. 𝒓 = 𝟏, 𝜷 > 𝟎 𝑥𝑛+1 = 𝑦𝑛 , 𝑦𝑛+1 = −𝑥𝑛 , di mana 𝑥0 = 𝑥0 , 𝑦0 .
𝑥𝑛+1 = 𝑦𝑛 , SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
𝜆=𝑖
Contoh 1 0 𝐴= −1
𝑦𝑛+1 = −𝑥𝑛 ,
1 0
𝑖 1
𝑥0 = 𝑥0 , 𝑦0
−1 1 𝑏1 ↔ 𝑏2 𝑖 𝑖
𝜆𝐼 − 𝐴 = 0 𝜆 1
−1 =0 𝜆
𝜆2 + 1 = 0 𝜆2
= −1
𝜆1,2 = ±𝑖
𝜇1 = 𝑖 𝜇1 = −𝑖
𝑤= 𝑄=
0 −1
𝑖 1 𝑖𝑏1 + 𝑏2 −1 0
𝑖 1 0 = +𝑖 −1 0 −1
1 −1 0 𝑄 = 0 1
−1 0
𝜇1 = 𝑖 𝜇1 = −𝑖 maka 𝛼 = 0, 𝛽 = 1 𝜃= 𝑟=
tan−1
𝛽 = tan−1 ∞ = 90 𝛼
𝛼 2 + 𝛽2 = 0 + 1 = 1
𝑖 0
𝑥𝑛+1 = 𝑦𝑛 , SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D 𝑦𝑛+1 = −𝑥𝑛 , 𝐷𝑛 = 1𝑛
cos 90𝑛 sin 90𝑛
− sin 90𝑛 cos 90𝑛 = cos 90𝑛 sin 90𝑛
𝑥0 = 𝑥0 , 𝑦0 − sin 90𝑛 cos 90𝑛
𝑥𝑛 = 𝑄𝐷𝑛 𝑄 −1 𝑥0 0 = −1
1 cos 90𝑛 1 0 sin 90𝑛
cos 90𝑛 = sin 90𝑛
− sin 90𝑛 cos 90𝑛
− sin 90𝑛 cos 90𝑛
0 1
𝑥0 𝑦0
𝑥𝑛 = 𝑥0 cos 90𝑛 − 𝑦0 sin 90𝑛 𝑦𝑛 = 𝑥0 sin 90𝑛 + 𝑥0 cos 90𝑛
−1 𝑥0 0 𝑦0
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D 2. 𝒓 > 𝟏, 𝜷 > 𝟎 𝑥𝑛+1 = −𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 , 𝑦𝑛+1 = −𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 , di mana 𝑥0 = 𝑥0 , 𝑦0 .
𝑥𝑛+1 = −𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 , SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D 𝑦𝑛+1 = −𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 ,
Contoh 2 𝐴=
−1 −1
1 −1
𝑖 −1 1 𝑖 1 𝑏1 ↔ 𝑏2 𝑖𝑏1 + 𝑏2 1 𝑖 𝑖 −1 0
𝜆𝐼 − 𝐴 = 0 𝜆+1 1
−1 =0 𝜆+1
(𝜆 + 1)2 +1 = 0 𝜆2 + 2𝜆 + 2 = 0 𝜆1,2 = −1 ± 𝑖 𝜇1 = −1 + 𝑖 𝜇1 = −1 − 𝑖
𝑥0 = 𝑥0 , 𝑦0
𝜆=𝑖
𝑤= 𝑄=
𝑖 1 0 = +𝑖 −1 −1 0
0 1 −1 0 −1 𝑄 = −1 0 1 0 𝜇1 = −1 + 𝑖, 𝜇1 = −1 − 𝑖
maka 𝛼 = −1, 𝛽 = 1 𝜃= 𝑟=
tan−1
𝛽 = tan−1 −1 = 135 𝛼
𝛼 2 + 𝛽2 = 1 + 1 = 2
𝑖 0
𝑥𝑛+1 = −𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 , SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D 𝑦𝑛+1 = −𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 , 𝐷𝑛
= 2
𝑛
𝑥0 = 𝑥0 , 𝑦0 cos 135𝑛 − sin 135𝑛 cos 135𝑛 − sin 135𝑛 = sin 135𝑛 cos 135𝑛 sin 135𝑛 cos 135𝑛
𝑥𝑛 = 𝑄𝐷𝑛 𝑄 −1 𝑥0 0 = −1
1 0
2
= 2
𝑛
cos 135𝑛 sin 135𝑛
− sin 135𝑛 cos 135𝑛
0 1
𝑛
cos 135𝑛 sin 135𝑛
− sin 135𝑛 cos 135𝑛
𝑥0 𝑦0
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
−1 𝑥0 0 𝑦0
𝑥𝑛 = 2 𝑥0 cos 135𝑛 − 2 𝑦0 sin 135𝑛
𝑦𝑛 = 2 𝑥0 sin 135𝑛 + 2 𝑥0 cos 135𝑛
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D Kasus 4 (Nilai Eigen Kompleks Kembar) Bentuk Umum
𝑥𝑛+1 = 𝐴𝑥𝑛 + 𝐵 dengan 𝑛 = 0,1,2, …. Titik Tetap Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝐴𝑥𝑛 + 𝐵, adalah 𝑥 ∗ ∈ ℝ sedemikian sehingga 𝑥 ∗ = 𝐴𝑥 ∗ + 𝐵, diperoleh 𝑥∗ = 𝐼 − 𝐴
−1 𝐵,
jika 𝐼 − 𝐴 ≠ 0.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D Lemma 4. Jika matriks 𝐴𝑘×𝑘 mempunyai 𝑘 2 nilai eigen
kompleks kembar, 𝜇, 𝜇, 𝜇, 𝜇, ⋯ , 𝜇, 𝜇 dimana 𝜇 ≡ 𝛼 + 𝑖𝛽 dan 𝜇 ≡ 𝛼 − 𝑖𝛽, maka ada matriks non singular 𝑄𝑘×𝑘 sedemikian sehingga
𝐴 = 𝑄𝐷𝑄 −1 , di mana 𝐷 matriks diagonal 𝛼 −𝛽 𝛽 𝛼 1 0 𝐷= 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 𝛼 𝛽 1 0 0 0
0 0 −𝛽 𝛼 0 1 0 0
… … ⋯ … ⋯ … … … ⋱ ⋱ … …
⋱ ⋱ … …
0 0 0 0 0 0 𝛼 𝛽
0 0 0 0 , 0 0 −𝛽 𝛼
𝑄 = 𝑣𝑤 ⋯ 𝑣 𝑤 dan 𝐴𝑄 = 𝑄𝐷, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D 0 0 𝑟 𝑛 cos 𝑛𝜃 −𝑟 𝑛 sin 𝑛𝜃 0 0 𝑟 𝑛 sin 𝑛𝜃 𝑟 𝑛 cos 𝑛𝜃 𝑛𝑟 𝑛−1 cos 𝑛 − 1 𝜃 −𝑛𝑟 𝑛−1 sin 𝑛 − 1 𝜃 𝑟 𝑛 cos 𝑛𝜃 −𝑟 𝑛 sin 𝑛𝜃 𝑛𝑟 𝑛−1 sin 𝑛 − 1 𝜃 𝑛𝑟 𝑛−1 cos 𝑛 − 1 𝜃 𝑟 𝑛 sin 𝑛𝜃 𝑟 𝑛 cos 𝑛𝜃 𝑛−2 𝑛 𝑛−1 𝑟 cos 𝑛 − 2 𝜃 𝑛 𝑛 − 1 𝑟 𝑛−2 sin 𝑛 − 2 𝜃 𝐷𝑛 = − 𝑛𝑟 𝑛−1 cos 𝑛 − 1 𝜃 −𝑛𝑟 𝑛−1 sin 𝑛 − 1 𝜃 2! 2! 𝑛 𝑛 − 1 𝑟 𝑛−2 sin 𝑛 − 2 𝜃 𝑛 𝑛 − 1 𝑟 𝑛−2 cos 𝑛 − 2 𝜃 𝑛𝑟 𝑛−1 sin 𝑛 − 1 𝜃 𝑛𝑟 𝑛−1 cos 𝑛 − 1 𝜃 2! 2! ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑥𝑛+1 = 𝑦𝑛+1 =
𝑛−1 𝑘=0 𝑛−1 𝑘=0
… ⋯ … …
… ⋯ … …
⋱ ⋱ ⋱ ⋱ … …
… …
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 𝑟 𝑛 cos 𝑛𝜃 𝑟 𝑛 sin 𝑛𝜃
−𝑟 𝑛 sin 𝑛𝜃 𝑟 𝑛 cos 𝑛𝜃
𝑟 𝑛−𝑘
𝑛 𝑘
cos 𝑛 − 𝑘 𝜃𝑥0 − sin 𝑛 − 𝑘 𝜃𝑦0
𝑛−𝑘
𝑛 𝑘
sin 𝑛 − 𝑘 𝜃𝑥0 − cos 𝑛 − 𝑘 𝜃𝑦0
𝑟
,
SISTEM OTONOMUS LINEAR MULTI-D
Teorema 4 Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝐴𝑥𝑛 + 𝐵 dengan 𝐴 mempunyai 𝑘 2 pasang 𝜇, 𝜇, 𝜇, 𝜇, ⋯ , 𝜇, 𝜇 nilai eigen imajiner kembar, dimana 𝜇 ≡ 𝛼 + 𝑖𝛽 dan𝜇 ≡ 𝛼 − 𝑖𝛽 stabil global jika dan hanya jika 𝑟𝑗 ≡
𝛼𝑗2
+
2 1 2 𝛽𝑗
< 1, ∀𝑗 = 1,2, ⋯ , 𝑘 2
SDD OTONOMUS NON-LINEAR MULTI-D Bentuk Umum 𝑥𝑛+1 = 𝑓 𝑥𝑛 , dengan 𝑛 = 0,1,2, … . Solusi Sistem Diberikan SDD 𝑥𝑛+1 =, 𝑓 𝑥𝑛 dengan nilai awal 𝑥0 .
Solusinya adalah 𝑥1 = 𝑓 𝑥0 𝑥2 = 𝑓 𝑥1 = 𝑓 𝑓 (𝑥0 ) = 𝑓 2 𝑥0 ⋮ 𝑥𝑛 = 𝑓 𝑛 𝑥0
SDD OTONOMUS NON-LINEAR MULTI-D Titik Tetap Titik tetap dari 𝑥𝑛+1 = 𝑓 𝑥𝑛 , adalah 𝑥 ∗ ∈ ℝ
sedemikian sehingga 𝑥∗ = 𝑓 𝑥∗ . Linearisasi Hasil linearisasi: 𝑥𝑛+1 = 𝑈𝑥𝑛 + 𝑉, dengan 𝑈 = 𝑓 ′ 𝑥 ∗ dan 𝑉 = 𝑓 𝑥 ∗ − 𝑓 ′ 𝑥 ∗ 𝑥 ∗ Kestabilan Sama seperti SDD Linear Multi-D
KESIMPULAN SDD Linear 1D Bentuk: 𝑥𝑛+1 = 𝑎𝑥𝑛 + 𝑏 𝑏 Titik Tetap: 𝑥 ∗ = 1−𝑎
Titik tetap 𝑥 ∗ stabil global ⟺ 𝑎 < 1 SDD Non-Linear 1D Bentuk: 𝑥𝑛+1 = 𝑓 𝑥𝑛 Titik Tetap: 𝑥 ∗ = 𝑓 𝑥 ∗ Titik tetap 𝑥 ∗ stabil lokal ⟺ 𝑓′ 𝑥 ∗
<1
KESIMPULAN SDD Linear Multi-D Bentuk: 𝑥𝑛+1 = 𝐴𝑥𝑛 + 𝐵 Titik Tetap: 𝑥 ∗ = 𝐼 − 𝐴 −1 𝐵 Kestabilan untuk kasus 2-D:
1. Nilai Eigen Berbeda
Nilai Eigen Positif Nilai Eigen Negatif • Konvergen) Stabil: 0 < 𝜆:1−1 < 𝜆<2 𝜆<1 1. • Stabil (Osilasi < 𝜆2 < 0. • Saddle: 0 < 𝜆1 < 1 < 𝜆:2 .𝜆1 < −1 < 𝜆2 < 0. • Saddle (Osilasi Konvergen/Divergen) • Source: 1 <: 𝜆1 < 𝜆2 < −1 • Source (Osilasi Divergen)
KESIMPULAN 2. Nilai Eigen Kembar
• • • • •
Fokus (Stabil): 0 < 𝜆1 = 𝜆2 < 1. Fokus (Osilasi Konvergen): −1 < 𝜆1 = 𝜆2 < 0. Improper (Stabil): 0 < 𝜆 < 1. Improper (Source): 𝜆 > 1. Continuum Unstable: 𝜆 = 1.
KESIMPULAN 3. Nilai Eigen Kompleks • Periodik Tertutup: 𝑟 = 1. 1. 𝛽 > 0 Berlawanan Arah Jarum Jam 2. 𝛽 < 0 Searah Jarum Jam • Spiral Masuk (Stabil Asimtotik) : 𝑟 < 1. 1. 𝛽 > 0 Berlawanan Arah Jarum Jam 2. 𝛽 < 0 Searah Jarum Jam • Spiral Keluar (Tak Stabil) : 1 < 𝑟. 1. 𝛽 > 0 Berlawanan Arah Jarum Jam 2. 𝛽 < 0 Searah Jarum Jam
KESIMPULAN SDD Non-Linear Multi-D Bentuk: 𝑥𝑛+1 = 𝑓 𝑥𝑛 Titik Tetap: 𝑥 ∗ = 𝑓 𝑥 ∗ Kestabilan titik tetap 𝑥 ∗ sama seperti SDD Linear Multi-D
