Sistem Bilangan
Bab
I
SISTEM BILANGAN 1.1 PengantarlogikadanHimpunan Matematika mempunyai bahasa dan aturan yang terdefinisi dengan baik, penalaran yang jelas dan sistematik, dan struktur yang sangat kuat. Dengan berbagai keunggulan ini matematika digunakan sebagai suatu cara pendekatan dalam mempelajari ilmu pengetahuan dan teknologi dan dalam menyelesaikan masalah yang rumit. Matematika juga merupakan alat bantu dalam menyelesaikan masalah dalam berbagai disiplin ilmu. Dengan Matematika, suatu masalah nyata dapat dilihat dalam suatu model yang strukturnya jelas, tepat dan bentuknya kompak (singkat dan padat). Unsur utama dalam pekerjaan matematika adalah penalaran deduktif dan induktif.Penalaran deduktifbekerja dengan berbagai asumsi, tidak dengan pengamatan. Sedangkan penalaran induktif bekerja berdasarkan
fakta dan
fenomena yang muncul untuk sampai kepada suatu perkiraan tertentu. Tetapi perkiraan yang diperoleh tidak dapat diterima begitu saja, harus diyakinkan kebenarannya atau dibuktikan secara deduktif.Proses induktif-deduktif dapat digunakan sebagai salah satu cara dalam mempelajari suatu konsep matematika.
1.1.1. Sistem Aksioma Matematika dibangun berdasarkan suatu sistem yang memuat beberapa istilah dasar dan sifat yang kebenarannya diterima tanpa pembuktian. Suatu sistem matematika merupakan penerapan berbagai metode secara aksiomatik dari logika atas sekelompok unsur, relasi dan operasi. Pemilihan beberapa sifat dasar yang dibuat konsisten akan menentukan suatu sistem secara utuh. Dalam proses 1
Sistem Bilangan
penalaran matematika, suatu rumus (Teorema) matematika terdiri dari beberapa hipotesis dan kesimpulan. Penalaran dibalik sistem logika dapat dipahami berdasarkan sifat sistem dan operasi yang dirancang didalamnya. Sistem Aksioma terdiri dari empat bagian penting yaitu istilah tak terdefinisi, terdefinisi, aksioma dan Teorema. Istilah tak terdefinisi Istilah dasar (primitif) yang digunakan untuk membangun istilah lain, arti istilahnya sendiri tidak didefinisikan, tetapi deskripsinya ada. Pada suatu sistem matematika tertentu, kita mengenal istilah tak terdefinisi, seperti titik, garis, bidang, himpunan dan sebagainya. Istilah terdefinisi Istilah yang digunakan dalam sistem, bukan istilah dasar, dan dirumuskan dari istilah dasar sehingga mempunyai arti tertentu dan perumusannya menjadi suatu pernyataan yang benar. Dalam suatu definisi, istilah jika - maka berarti jika dan hanya jika. Suatu definisi yang baik mempunyai ciri berikut : jelas, tepat dan mempunyai suatu makna; hanya menggunakan istilah dasar atau yang telah ada sebelumnya konsisten, dalam setiap kasus mempunyai arti yang sama jangkauannya cukup luas untuk dapat memuat sebanyak mungkin objek dari sistem. Aksioma atau Postulat Aksioma adalah suatu pernyataan yang diandaikan benar pada suatu sistem dan diterima tanpa pembuktian. Aksioma hanya memuat istilah dasar dan istilah terdefinisi, tidak berdiri sendiri dan tidak diuji kebenarannya. Sekelompok aksioma dalam suatu sistem harus konsisten, dapat membangun sistem tersebut dan tidak saling bertentangan. Teorema Teorema adalah suatu pernyataan matematika yang dirumuskan secara logika dan dibuktikan dengan memanfaatkan istilah dasar, istilah terdefinisi, aksioma dan pernyataan benar lainnya. PernyataanSuatu pernyataan matematika (disingkat pernyataan) adalah rangkaian kata yang dapat ditentukan nilai kebenarannya, yaitu benar atau salah.Diantara
2
Sistem Bilangan
benar dan salah hanya berlaku salah satu: benar saja atau salah saja dan tidak mungkin keduanya sekaligus. Ukuran benar atau salahnya suatu pernyataan tidak didasarkan atas opini atau pendapat. Contoh 1.1 (a)
Setiap segitiga sama sisi adalah segitiga sama kaki (B)
(b)
Setiap persegi panjang adalah jajaran genjang (B)
(c)
Jika x 2 9, maka x 3 (S)
(d)
2 Pada sistem bilangan riil, persamaan x 3x 4 0 tidak mempunyai
jawab (B) (e)
Mereka mahasiswa Unhas (kalimat terbuka, bukan pernyataan)
(f)
x 3 8 (kalimat terbuka,bukan pernyataan)
Kalimat yang tidak dapatditentukannilai kebenarannya disebut bukan pernyataan (kalimat nondeklaratif). Misalnya kalimat tanya, kalimat perintah, kalimat harapan, kalimat terbuka (kalimat yang mempunyai besaran yang tidak diketahui) semuanya bukan pernyataan karena tidak dapat ditentukan nilai benar atau salahnya. HasilpentingdalamMatematikadisebutteorema, dankitaakanmenemukanbanyakteoremadalamdiktatini. Teoremadapatdinyatakandalambentuk“ jikaPmakaQ” . Seringkalidisingkatdengan P Q
.
Kita
namakanPsebagaihipotesisdanQsebagaikesimpulanteorematersebut.Perhatikanked uapernyataan Sebagaicontoh
P Q
dan
Q P
:“JikaWahyuadalah
Indonesia”,
, orang
merupakanpernyataan
keduapernyataantersebuttidaksetara. Pinrang,
makaIaadalah yang
orang benar,
akantetapikebalikannya,“JikaWahyuadalah orang Indonesia, makaiaadalah orang Pinrang”,merupakanpernyataan yang salah. 1.1.2 Himpunan
3
Sistem Bilangan
Kemudian
Salah
satudasardalamMatematika
yang
harusdipahamiadalahkonsepsebuahhimpunan.Himpunandidefinisikansebagaikum pulanobjek-objekyang
berbeda.Mahasiswa-mahasiswa
yang
mengambilmatakuliahMatematikadasar, buku-buku yang dijualdalamsuatutoko, hewan-hewan
yang
ada
di
kebunbinatang,
dan
lain-lain
adalahcontohsuatuhimpunan.Biasanyahimpunandinotasikandenganhurufbesarsepe rti A, B, danseterusnya.Objekdalamhimpunandisebutelemen/anggotahimpunan, yang
disimbolkandenganhurufkecil,
a,
b,
danlainnya.Untukmenyatakankeanggotaansuatuhimpunandigunakansimbol ∈ yang dibaca „anggota dari‟. Contoh 1.2 𝐴 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}menyatakan sebuah himpunan yang kita sebut 𝐴 dan mempunyai empat anggota yaitu 𝑎, 𝑏, 𝑐 dan 𝑑.
𝑏 ∈ 𝐴, ini berarti 𝑏 merupakan anggota dari 𝐴. 1.2 SistemBilanganRiil Kita sudah cukup mengenal jenis-jenis bilangan berikut :
1. Bilangan Asli, yakni 1, 2, 3, 4, 5, ... Dengan bilangan ini kita dapat menghitung: buku-buku kita, uang kita.Himpunan bilangan asli dinyatakan dengan
notasi
baku
yakni
N
=
1, 2, 3,
.Penjumlahanduabuahbilanganaslidanperkalianduabuahbilanganaslisembar angjugasebuahbilanganasli.
Hal
iniseringkalidinyatakandenganmengatakanbahwahimpunanbilanganaslitert utup di bawahoperasipenjumlahandanoperasiperkalian. 2. Bilangan nol dan negatif, yakni 0 dan -1, -2, -3, ... , bilangan ini muncul untuk mencari penyelesaian persamaan seperti x b a , dimanaa, bsembarangbilanganasli. Denganpersamaaninidimungkinkanadanyaoperasipengurangan
yang
4
Sistem Bilangan
merupakankebalikandarioperasipenjumlahan, dimanakitadapatmenuliskan𝑥 = 𝑏 − 𝑎 = 𝑏 + (−𝑎). Himpunan yang anggotanya bilangan asli, bilangan negatif dan nol dinamakan himpunan
Bilangan
Bulat. Himpunan bilangan bulat
dinyatakan dengan notasi baku yakni𝒁 = {⋯ , −3, −2, −1,0,1,2,3, ⋯ }. 3. Bilangan rasional yakni hasil bagi (rasio) dari bilangan-bilangan bulat yaitu bilangan-bilangan seperti 3 −7 22 17 , , , − , ⋯. 4 9 6 3 Bilangan ini muncul untuk memecahkan persamaan seperti 𝑏𝑥 = 𝑎 , dimana 𝑎 dan 𝑏 adalah bilangan bulat dan 𝑏 ≠ 0 . Denganpersamaaninidimungkinkanadanyaoperasipembagian yang merupakankebalikandarioperasiperkalian, kitadapatmenuliskan 𝑎 1 𝑥= =𝑎 , 𝑏 𝑏 𝑎disebut pembilang dan 𝑏 disebut penyebut. Himpunan bilangan rasional dinyatakan dengan notasi baku, yaitu 𝑚 𝑸= ∶ 𝑚, 𝑛 ∈ 𝒁, 𝑛 ≠ 0 . 𝑛 4. Apakah bilangan-bilangan rasional berfungsi mengukur semua panjang? Tidak. Fakta yang mengejutkan ini ditemukan oleh orang Yunani Kuno beberapa abad sebelum masehi. Mereka memperlihatkan bahwa meskipun 2 merupakan panjang sisi miring sebuah segi tiga siku-siku dengan sisisisi tegak 1 , bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi dari dua bilangan bulat. jadi 2adalah suatu bilangan tak rasional. Demikian juga 3, 5, 𝜋 dan sekelompok bilangan lain. Gabungan antara bilangan rasional dan bilangan tak rasional disebut Bilangan
Riil.Himpunan
bilangan
riil
dinyatakan
dengan
notasi
𝑹 .Bilangan-bilangan ini dapat dipandang sebagai label untuk titik-titik sepanjang sebuah garis mendatar ataupun tegak (garis riil). Dari pengenalan beberapa bilangan, maka diperoleh bahwa bilangan asli termuat pada bilangan Bulat, kemudian bilangan bulat termuat dalam bilangan rasional,
5
Sistem Bilangan
dan bilangan riil memuat ketiga himpunan tersebut. Hal ini cukup dinyatakan sebagai 𝑵 ⊂ 𝒁 ⊂ 𝑸 ⊂ 𝑹, disini ⊂ adalah lambang himpunan bagian, dibaca adalah himpunan bagian dari. Operasi Aritmetika Diberikan dua bilangan real𝑥 dan 𝑦, kita dapat menambahkan atau mengalikan keduanya untuk memperoleh dua bilangan real baru, yakni 𝑥 + 𝑦 dan 𝑥𝑦 . Penambahan dan perkalian mempunyai sifat-sifat berikut (yang kita kenal dengan sifat-sifat medan). Sifat-sifat Medan 1. Sifat komutatif, 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 dan 𝑥𝑦 = 𝑦𝑥. 2. Sifatasosiatif, 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 dan 𝑥 𝑦𝑧 = 𝑥𝑦 𝑧. 3. Sifatdistributif, 𝑥 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧. 4. Unsuridentitas, hanyabilanganriil 0 dan 1 yang memenuhi𝑥 + 0 = 𝑥 dan 𝑥 1 = 𝑥. 5. Balikan (invers), setiap bilangan 𝑥 mempunyai balikan penambahan, yaitu −𝑥. Juga untuk setiap bilangan . Setiap bilangan x mempunyai balikan penambahan, yakni x , yang memenuhi x ( x) 0. Juga , setiap bilangan 𝑥 ≠ 0 mempunyai balikan perkalian, 𝑥 −1 yang memenuhi 𝑥 𝑥 −1 = 1. Pengurangan dan Pembagian didefinisikan dari operasi tambah dan kali yang dijabarkan dari sifat medan. Jadi yang dimaksud dengan 𝑥 − 𝑦 adalah 𝑥 + (−𝑦) 𝑥
dan 𝑦 = 𝑥𝑦 −1 . Urutan Bilangan-bilangan real tak nol dapat dipisah menjadi dua himpunan terpisah, yakni bilangan real positif dan bilangan real negatif. Fakta ini memungkinkan kita
6
Sistem Bilangan
memperkenalkan relasi urutan (dibaca ‟kecil dari‟atau ‟kurang dari‟). Bilangan 𝑥 kecil dari 𝑦 menyatakan bahwa 𝑦 − 𝑥 adalah sebuah bilangan positif. Tafsiran geometri bahwa x y berarti bahwa x berada di sebelah kiri y pada garis riil mendatar. Sifat-sifat urutan dua buah bilangan dapat disebutkan antara lain: 1. Trikotomi, jika x dan y adalah bilangan riil, maka pasti satu diantara berikut berlaku: 𝑥 < 𝑦 atau 𝑥 = 𝑦 atau 𝑦 < 𝑥. 2. Transitif,jika 𝑥 < 𝑦 dan 𝑦 < 𝑧, maka 𝑥 < 𝑧. 3. Mempertahankan urutan untuk operasi tambah.Jika 𝑥 < 𝑦 , maka untuk sembarang 𝑧 bilangan riil berlaku 𝑥 + 𝑧 < 𝑦 + 𝑧. 4. Mempertahankan urutan untuk operasi kali dengan sebuah bilangan positif. Misalkan 𝑧 positif, jika 𝑥 < 𝑦, maka𝑥𝑧 < 𝑦𝑧. Mengubah urutan untuk perkalian dengan sebuah bilangan negatif. Jika 𝑥 < 𝑦, maka untuk 𝑧 negatif berlaku 𝑦𝑧 < 𝑥𝑧. Relasi urutan yang lain mengadopsi sifat urutan di atas. Misalkan relasi ≤ dibaca ‟kurang dari atau sama dengan‟ didefinisikan 𝑥 ≤ 𝑦 jika dan hanya jika 𝑦 − 𝑥 positif atau nol. Cara lain untuk menyatakan bilangan riil adalah dengan menggambarkan sebuah garis bilangan. Himpunan bagian dari bilangan riil akan ditandai sebagai segmen garis atau selang/interval.Ketidaksamaan a x b mendeskripsikan selang buka yang terdiri dari semua bilangan antara𝑎 dan 𝑏, tidak termasuk titik-titik ujung 𝑎 dan 𝑏. Selang ini dilambangkan dengan notasi (𝑎, 𝑏). Sebaliknya, ketaksamaan 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 mendeskripsikan sebuah selang tutup yang nilai-nilai 𝑥 yang mungkin adalah semua bilangan di antara 𝑎 dan 𝑏, termasuk titik ujung 𝑎 dan 𝑏. Selang tutup ini dilambangkan oleh [𝑎, 𝑏]. Contoh 1.3 𝐴 = {𝑥 ∶ 1 < 𝑥 < 5}menyatakan sebuah himpunan semua bilangan riil yang lebih besar dari 1 tapi lebih kecil dari 5, hal ini sama saja dinyatakan dengan selang
7
Sistem Bilangan
buka(1,5). Pada garis bilangan, maka selang itu adalah segmen garis yang berada di antara titik 1 dan titik 5.
0 1 5 1 1 Himpunan semua nilai 𝑥yang lebih besar atau sama dengan 1 dinyatakan oleh
{𝑥 ∶ 1 ≤ 𝑥} atau dalam bentuk selang [1, ∞) (notasi ∞ bukanlah merujuk ke sebuah bilangan tertentu). Bentuk selangnya di garis riil dapat dilihat sebagai berikut:
0 1
1
Jika selangnya adalah selang buka, maka ditandai dengan bulatan putih pada ujungnya. Sebaliknya jika selangnya adalah selang tutup, maka ujungnya diberi bulatan hitam. Untuk beberapa referensi lain, yang dipakai adalah tanda kurung biasa untuk selang buka dan tanda kurung siku untuk selang tutup. Tabel 1.1 memperlihatkan sejumlah besar kemungkinan selang dalam notasi himpunan, interval ataupun grafiknya pada garis riil. Tabel 1.1. Selang Berhingga Notasi Himpunan
Notasi Selang
Grafik
{𝑥: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}
𝑎, 𝑏
a
b 1
{𝑥 ∶ 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}
[𝑎, 𝑏)
a
b 1
{𝑥 ∶ 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}
(𝑎, 𝑏]
a
b 1
{𝑥 ∶ 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
[a,b]
a
b 1
8
Sistem Bilangan
Untuk menggambarkan selang dengan salah satu ujungnya mempunyai titik batas dapat dilihat pada contoh 1.3 dan tabel 1.2memberikan dua bentuk selang dengan salah satu ujungnya tidak mempunyai batas.
Tabel 1.2. Selang Berhingga Notasi Himpunan
Notasi Selang
Grafik
{𝑥: 𝑎 < 𝑥}
𝑎, ∞
a
{𝑥 ∶ 𝑎 ≤ 𝑥}
[𝑎, ∞)
a
Nilai Mutlak Konsep nilai mutlak sangat berguna dalam kalkulus, oleh karenanya perlu terampil dalam bekerja dengannya. Nilai mutlak suatu bilangan real𝑥, dinyatakan dengan 𝑥 dan didefinisikan sebagai 𝑥 =
𝑥, jika 𝑥 ≥ 0 −𝑥, jika 𝑥 < 0
Misalnya, 5 5, 0 0, 5 (5) 5 .Dari definisi terlihat bahwa, untuk setiap bilangan real x , berlaku x 0. Salah satu cara terbaik untuk membayangkan nilai mutlak adalah jarak (tak berarah). Khususnya, x adalah jarak antara x dengan titik asal, 0. Demikian juga, x a adalah jarak antara x dengan a . Sifat-sifat nilai mutlak
9
Sistem Bilangan
i.
Nilai mutlak dari perkalian dua bilangan sama dengan perkalian nilai mutlak masing-masing bilangan, 𝑎 𝑏 = 𝑎 |𝑏|.
ii.
Nilai mutlak dari pembagian dua bilangan sama dengan pembagian nilai mutlak kedua bilangan, 𝑎 𝑎 = . 𝑏 𝑏
iii.
Penjumlahan dua bilangan yang dimutlakkan selalu kurang dari atau sama dengan penjumlahan nilai mutlak kedua bilangan (dikenal dengan nama ketaksamaan segitiga), 𝑎+𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏 .
iv.
Nilai mutlak dari selisih dua bilangan sama dengan nilai mutlak dari selisih nilai mutlak kedua bilangan, 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 − |𝑏| .
Hal yang penting untuk diingat mengenai nilai mutlak adalah 𝑥 < 𝑎 berarti sebuah selang buka dari nilai-nilai 𝑥 yang titik-titik ujungnya adalah −𝑎 dan 𝑎, −𝑎 < 𝑥 < 𝑎 . Sebaliknya, bentuk 𝑎 < |𝑥| mengandung makna bahwa 𝑥 < −𝑎 atau 𝑎 < 𝑥 . Kita dapat menggunakan fakta tersebut untuk menyelesaikan ketaksamaan yang menyangkut nilai mutlak. Contoh 1.4 Selesaikan ketaksamaan 𝑥 − 4 < 2. Penyelesaian: 𝑥 − 4 < 2 berarti bahwa −2 < 𝑥 − 4 < 2 . Kemudian masingmasing ruas ditambahkan 4 maka ketidaksamaan menjadi 2 < 𝑥 < 6 . Hal ini berarti nilai-nilai 𝑥 yang memenuhi ketaksamaan adalah semua bilangan yang terletak di selang buka (2,6). Himpunan penyelesaiannya adalah 𝑥 ∶ 2 < 𝑥 < 6 . Contoh 1.5 Selesaikan ketaksamaan 3x 5 1
10
Sistem Bilangan
Peyelesaian: Ketaksamaan ini dapat ditulis secara berurutan sebagai 3𝑥 − 5 ≤ −1 atau 3𝑥 − 5 ≥ 1 3𝑥 ≤ 4 atau 3𝑥 ≥ 6 4
𝑥 ≤ 3 atau 𝑥 ≥ 2 . Jadi
Himpunan penyelesaiannya adalah 4
yaitu −∞, 3
berupa gabungan dua buah selang
2, ∞ .
Contoh 1.6 Misalkan suatu bilangan positif. Carilah bilangan positif sehingga 𝑥 − 3 < 𝛿 ⇒ 6𝑥 − 18 < 𝜀. Penyelesaian: Kita akan mencari bilangan 𝛿 yang bergantung pada 𝜀. Perhatikan bahwa 6𝑥 − 18 dapat dibuat sebagai perkalian dua bentuk bilangan dalam nilai mutlak, yaitu 6 𝑥 − 3 atau 6 𝑥 − 3 . Karena untuk 𝜀 positif berlaku 6𝑥 − 18 < 𝜀 maka 6 𝑥 − 3 < 𝜀 . Sehingga dengan memilih 𝛿 adalah semua bilangan yang lebih kecil dari 𝜀 dan positif berarti pernyataan 𝑥 − 3 < 𝛿 ⇒ 6𝑥 − 18 < 𝜀 menjadi kalimat yang benar.
Akar kuadrat Misalkan 𝑎 adalah bilangan riil tak negatif. Akar dari 𝑎 (ditulis:
𝑎 ) adalah
bilangan tak negatif yang kuadratnya sama dengan 𝑎 . Karena hanya ada satu bilangan tak negatif yang memenuhi ini, definisi ini dikatakan well-defined. Jangan mendefinisikan 𝑎 dengan 𝑎 ≥ 0 sebagai penyelesaian dari 𝑥 2 − 𝑎 = 0 . Karena penyelesaian persamaan ini bisa bernilai negatif, yaitu 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = − 𝑎. Tetapi kita bisa mendefinisikannya sebagai penyelesaian tak negatif
11
Sistem Bilangan
dari persamaan tersebut. Perhatikan pula bahwa setiap bilangan non negatif𝑎, berlaku 𝑎 ≥ 0 dan 𝑎2 = 𝑎. Sifat-sifat Akar kudrat i. Perkalian dua bilangan riil tak negatif dalam akar sama saja dengan mengalikan akar-akar dari kedua bilangan, 𝑎𝑏 = 𝑎 𝑏. ii. 𝑎 < 𝑏 jika dan hanya jika 𝑎 < 𝑏. Contoh 1.7 Manakah bilangan yang terbesar dan terkecil dari ketiga bilangan real berikut? 2 1 1 , 2, 3 3 2 3 Penyelesaian: Untuk menjawab pertanyaan ini, Perhatikan bentuk ketiga bilangan di bawah 4 1 1 , , . 9 2 3 Urutan ketiga bilangan itu adalah 1 4 1 < < , 3 9 2 Setelah kita akarkan ketiga bilangan tersebut, mka urutan dari akar ketiga bilangan tidak berubah (lihat sifat ii dari akar kuadrat), 1 2 1 3< < 2. 3 3 2 Berikut kenyataan penting yang bermanfaat untuk diingat 𝑥 2 = |𝑥|. Kuadrat
12
Sistem Bilangan
Beralih ke kuadrat, kita perhatikan bahwa 𝑥
2
= 𝑥 2 , hal ini berdasarkan sifat
bahwa 𝑥 2 senantiasa tak negatif dan 𝑥 . 𝑥 = 𝑥 |𝑥|. Apakah operasi pengkuadratan mempertahankan ketaksamaan? Secara umum jawabannya adalah tidak. Misalnya−3 < 2 tetapi −3
2
> 22 . Sebaliknya 2 < 3
dan22 < 32 . Jadi untuk𝑎 dan 𝑏 bilangan-bilangan tak negatif,berlaku 𝑎 < 𝑏 ⇔ 𝑎2 < 𝑏2 . Salah satu varian dari bentuk ini adalah 𝑥 < 𝑦 ⇔ 𝑥 2 < 𝑦 2 .
LATIHAN 1
7
1. Bilangan 2dan 4yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi bilangan bulat disebut bilangan? 2. Apa yang disebut bilangan riil? 3. Sederhanakan bentuk berikut: a. 4 − 2 8 − 11 + 6 b.
5 7
1
− 13 2
c.
14 2 21 5 − 1 3
4. Sederhanakan bentuk berikut: 1
a.
1 2
b. c.
3
7
3
7
4
8
7 1 + 4 2
2
−4+8 2 + −
1 2
−
5
2
2 2
5. Cari nilai dari 0/0, 0/15, dan 2/0, jika tidak ada katakan demikian. 6. Misalkan 𝑎 ≠ 0, perlihatkan bahwa 𝑎/0tidak mempunyai arti (tak terdefinisi) dan 0/0 tidak tentu. 7. Tentukan nilai kebenaran dari kalimat matematika berikut: a. −3 < −7
13
Sistem Bilangan
b. −3 < −22/7 c. −5 > − 26 8. Tunjukkan masing-masing selang berikut pada garis riil. a. [−1,1] b.
−4,1 ∪ (1,3]
c.
−4, −1 ∪ 1,3
d. (−∞, 0] 9. Tuliskan dalam notasi selang, himpunan-himpunan berikut: a. {𝑥 ∶ −1 ≤ 𝑥 ≤ 5} b. {𝑥 ∶ 𝑥 ≤ 2} c.
𝑥 ∶2<𝑥 <5∪6≤𝑥 ≤8
10. Carilah himpunan penyelesaian a.
𝑥−1 <4
b.
3𝑥 + 4 < 8
c. d.
𝑥 3
−2 ≤6
3𝑥 5
+ 12 ≥ 4
14
