SIMULASI PEMODELAN MATEMATIKA SECARA NUMERIK PADA MANAJEMEN PEROLEHAN PENJUALAN TIKET PESAWAT
SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi syarat-syarat guna memperoleh gelar sarjana sains
Oleh: IMA DWITAWATI 0181110030
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SYIAH KUALA DARUSSALAM-BANDA ACEH 2006
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas karunia kasih dan rahmat-Nya, sehingga rampunglah sudah penulis susun skripsi ini, untuk melengkapi syarat-syarat dalam menyelesaikan pendidikan program S1 pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Syiah Kuala. Tulisan ini diberi judul “Simulasi Pemodelan Matematika Secara Numerik pada Manajemen Perolehan Penjualan Tiket Pesawat ”. Dalam
proses penyusunan tugas akhir ini, penulis banyak mendapat
bimbingan dan arahan dari berbagai pihak, oleh karena itu selayaknya penulis mengucapkan terima kasih dan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada: 1. Ayahanda Khalidin dan Ibunda Umi Selamah tercinta yang telah mencurahkan kasih sayang, pengorbanan, doa yang tiada hentinya semenjak penulis dilahirkan hingga hari ini. 2. Saudaraku Banta Ibrahim, Nurjannah, M. Amin,Wiwik Pratiwi, Anwar Syahadat, Dewi Fitriani, Aoma Irama dan Ahmad Efhendy, yang selalu setia memberikan dukungan dan mendoakan penulis, selama penulis menjalani masa perkuliahan. 3. Saudaraku Jasmany William Billi Thomas dan Mas William Billi Thomas yang dengan tulus ikhlas memberikan bantuan materil, sehingga keterbatasan dana selama masa perkuliahan mampu teratasi. 4. Ibu Dra. Siti Rusdiana, M.Eng dan Bapak Nazaruddin, M.Eng.Sc selaku pembimbing yang telah bersedia meluangkan waktu, tenaga, pikiran serta
memberikan arahan dan masukan yang sangat berguna dalam menyelesaikan tugas akhir ini. 5. Bapak Muhd. Iqbal, S.Si dan Bapak Rasudin, M.Eng.Sc selaku dosen wali yang telah memberikan nasehat serta semangat kepada penulis selama menjalani perkuliahan. 6. Bapak Zahnur, M.InfoTech, Ibu Hafnani, M.Si, Bapak Irvanizam S.Si yang telah memberikan masukan yang sangat berguna dalam penyusunan Tugas Akhir ini. 7. Bapak
Dr. Hizir Sofyan selaku Ketua Jurusan, Bapak dan Ibu dosen serta
seluruh staf pengajar Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. 8. Dekan Fakultas MIPA Universitas Syiah Kuala, Bapak Dr. Mustanir, M.Sc. 9. Sahabatku Risma Rita yang selalu setia menemani, memberikan masukan, mendoakan, mengarahkan dan memberikan semangat yang tiada hentinya, dari awal perkuliahan hingga selesainya skripsi ini. 10. Bapak Drs. Syahuddin G, Bapak Salim, Ibu Sanaiyah. S.Pd, Ibu Dra. Rebung Rosna, Ibu Longoh, Syabirin Gayo, SE yang telah memberikan bantuan baik moril maupun materil. 11. Temanku Silviana, Cut Famelia, Dina Nirmala Sari, Rahmaddiansyah, Hendra Darmawan dan seluruh teman-teman angkatan 2001 matematika FMIPA unsyiah, yang telah memberikan masukan dan doanya yang sangat bermanfaat bagi penulis.
12. Akhirnya penulis mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu penulis hingga terselesaikannya skripsi ini, baik secara langsung maupun tidak langsung yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Penulis menyadari sepenuhnya bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, untuk itu penulis menerima
saran dan kritikan yang bersifat
membangun mutu tulisan ini demi perbaikan di masa yang akan datang. Akhir kata semoga penulisan ini dicatat sebagai amal shalih di sisi Allah SWT, yang bermanfaat bagi penulis dan para pembaca sekalian. Amin Ya Rabbal A’lamin.
Banda Aceh, Februari 2006
Penulis
ABSTRAK Model matematis dari manajemen perolehan dengan perlakuan harga digandakan, dan pertukaran harga yang tidak terbatas dipresentasikan dalam laporan tugas akhir ini. Pemodelan yang hanya difokuskan pada model solusi penaikan (markup) harga yang optimal. Sebelum solusi optimal diperoleh, terlebih dahulu harus diketahui kondisi optimalnya. Solusi optimal akan diperoleh dari integrasi fungsi premiumnya. Dengan memberikan batas integral seragam pada integrasi tersebut, akan diperoleh barisan waktu ambang penjualan yang mengakibatkan perolehan optimal. Hasil dari penelitian ini adalah gambaran waktu yang tepat terhadap penjualan dari sejumlah seat pada perusahaan penerbangan. Kata kunci: manajemen perolehan, pemodelan matematika, simulasi numerik.
ABSTRACT In this paper, a mathematical model of yield management with multiple prices and multiple changes are presented. The modelling is only focused on an optimal markup solutions model. Before the optimal solutions is obtained, the optimal conditions should be known. The optimal solutions will be obtained by integrating the premium function. By giving a uniform integration boundary to the integration, a thresholds sequence resulting an optimal yield will be obtained. The result of this research is an exact description of time upon the sale of some seats in an airlines. Key words: yield management, mathematical modelling, numerical simulation.
DAFTAR ISI Halaman KATA PENGANTAR .................................................................................. i ABSTRAK .................................................................................................... iv ABSTRACT ................................................................................................. v DAFTAR ISI ................................................................................................ vi DAFTAR TABEL ........................................................................................ vii DAFTAR NOTASI ...................................................................................... viii BAB I
PENDAHULUAN ......................................................................... 1.1 Latar Belakang ........................................................................ 1.2 Rumusan Masalah ................................................................... 1.3 Tujuan Penelitian ..................................................................... 1.4 Manfaat Penelitian ...................................................................
BAB II TINJAUAN KEPUSTAKAAN .................................................... 2.1 Manajemen Perolehan .............................................................. 2.2 Proses Poisson ......................................................................... 2.3 Asumsi Model ......................................................................... 2.4 Kondisi Optimal ....................................................................... 2.5 Kemonotonan ...........................................................................
1 1 2 3 3 4 4 6 7 8 10
BAB III METODOLOGI PENELITIAN .................................................. 12 3.1 Sifat Penelitian ......................................................................... 12 3.2 Prosedur Penelitian................................................................... 12 BAB IV SOLUSI OPTIMAL ..................................................................... 13 4.1 Solusi Harga Markup yang Optimal.......................................... 13 4.2 Contoh Numerik dan Penyelesaian .......................................... 14 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ...................................................... 20 5.1 Kesimpulan ............................................................................. 20 5.2 Saran ....................................................................................... 21 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................... 22 LAMPIRAN
DAFTAR TABEL Tabel 4.2.1 Nilai V2 (t , n) untuk k = 1 ............................................................ 16 Tabel 4.2.2 Nilai V1 (t , n) dari n = 1 sampai dengan n = 80 ........................... 17 Tabel 4.2.3 Nilai V3 (t , n) untuk k = 2 ........................................................... 18 Tabel 4.2.4 Nilai V 2 (t , n) dari n = 1 sampai n = 81 ....................................... 18 Tabel 4.2.5 Nilai x n2 yang optimal ( x n2 > 0) .................................................... 19
DAFTAR NOTASI
V k (t , n )
: Fungsi utama (Premium)
p
: Harga
t
: Waktu
T
: Lamanya periode penjualan
M
: Jumlah Seat
n
: Nomor Seat/Tiket
c
: Himpunan harga-harga yang ditetapkan
Gk
: Generator tak berhingga
K
: Banyaknya level harga
k
: Level harga (tindakan)
λ
: ramalan permintaan rata-rata setiap level harga (tindakan)
z nk
: Waktu ambang penjualan yang optimal (thresholds)
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Menjalankan bisnis dengan harga produksi yang berbeda-beda secara bersamaan sering dilakukan oleh perusahaan penerbangan, misalnya pemberian harga tiket yang berbeda dalam satu penerbangan yang sama. Hal ini sering dikatakan dengan manajemen perolehan (yield management) pada perusahaan penerbangan. Prinsip dasar yang melatarbelakangi manajemen perolehan ini adalah cara menawarkan produk dan pemilihan harga yang tepat dalam penjualan tiket, sehingga akan diperoleh keuntungan optimal bagi perusahaan penerbangan. Salah
satu
perusahaan
penerbangan
yang
bergerak
dibidang
jasa
pengangkutan udara adalah Garuda Indonesia. Dalam menjalankan usahanya, Garuda Indonesia telah mencoba melakukan serangkaian langkah strategis untuk memaksimumkan perolehan setiap tahunnya, seperti : •
Tahun 1998, melakukan Program Konsolidasi dan dimulai dengan melakukan penundaan pembayaran cicilan hutang tetapi memenuhi kewajiban pembayaran bunga sepenuhnya dengan tepat waktu.
•
Tahun 1999, melakukan Program Rehabilitasi untuk menormalkan kembali kegiatan operasional dan pelayanan Garuda melalui lima program yaitu: peningkatan kegiatan operasional, peningkatan layanan, peningkatan pendapatan, penggunaan biaya yang efektif dan pelaksanaan manajemen yang efektif.
•
Tahun 2000, Garuda menetapkan tahun tersebut sebagai tahun Pelayanan dan Komunikasi untuk memperbaiki persepsi masyarakat terhadap kualitas layanan Garuda.
•
Tahun 2001, Garuda mencanangkan sebagai tahun Efisiensi, yaitu seluruh aspek kegiatan Garuda ditata agar memiliki kriteria efisiensi yang jelas dan terukur. Serangkaian langkah tersebut telah membuat Garuda mampu melakukan
pengembangan bisnis seperti penambahan armada, perluasan rute, maupun pengembangan berbagai bentuk produk dan layanan baru. Namun demikian, hal itu tidak cukup untuk memenangkan pasar dalam menarik pelanggan karena banyaknya perusahaan penerbangan di Indonesia saat ini. Oleh karena itu diperlukan suatu terobosan baru untuk menjadikan Garuda sebagai market leader di pasar domestik, dan siap berkompetisi di pasar internasional dengan tujuan akhir adalah perolehan laba yang optimal. Sehubungan dengan hal di atas, penulis tertarik untuk memperkenalkan manajemen perolehan ini untuk memaksimumkan perolehan bagi perusahaan penerbangan Garuda.
1.2 Rumusan Masalah
Manajemen perolehan di sini disajikan dalam bentuk model manajemen perolehan dengan perlakuan harga digandakan, dan pergantian harga yang tidak terbatas. Dalam penelitian ini akan ditentukan barisan waktu yang optimal untuk pemilihan harga dalam penjualan tiket pesawat di mana penentuan barisan waktu tersebut dilakukan secara numerik.
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk: •
Memahami prinsip manajemen perolehan
•
Melakukan simulasi pada contoh permasalahan penjualan tiket pesawat di mana akan ditunjukkan barisan waktu yang tepat untuk pemilihan harga yang tepat dalam penjualan tiket pesawat.
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan akan bermanfaat bagi perusahaan penerbangan Garuda dalam memperkirakan waktu yang tepat untuk pemilihan harga yang tepat sehingga diperoleh keuntungan yang optimal.
BAB II TINJAUAN KEPUSTAKAAN
2.1 Manajemen Perolehan
Prinsip manajemen perolehan (MP) mulai dicetuskan pada tahun 1976 sebagai akibat dari deregulasi industri penerbangan di Amerika Serikat. Sejak saat itu penggunaan ekstensif dan modifikasinya meluas ke seluruh penjuru dunia di bidang penerbangan komersial. Sebelum diperkenalkan manajemen perolehan, perusahaan penerbangan
lebih
mengarahkan tujuannya
pada
memaksimumkan
jumlah
penumpang yang diangkut untuk mencapai perolehan maksimum. Definisi yang tepat tentang manajemen perolehan (MP) dikemukakan oleh Kimes (1994) yang mengatakan: “Manajemen perolehan adalah suatu metode untuk
memaksimumkan perolehan penumpang dengan menjual persediaan yang tepat, untuk pelanggan yang tepat, pada waktu yang tepat, dan dengan harga yang tepat”. Gallego dan Van Ryzin (1994) menyajikan secara luas model manajemen
perolehan dengan perkalian dan pergantian harga yang tidak terbatas. Mereka mendapatkan solusi yang tepat dari penelitian tersebut adalah pada saat fungsi permintaan eksponensial. Littlewood (1972) dalam penelitiannya melakukan pendekatan ekonomi dan
mengajukan suatu konsep model perolehan marginal. Model ini dibagi atas dua bagian, yaitu:
•
Bagian pertama berkaitan dengan ramalan muatan yang berangkat setiap hari dan sektor yang didasarkan pada pengetahuan pemesanan di masa mendatang.
•
Bagian kedua dikaitkan dengan kendali penerimaan atau perolehan permintaan berdasarkan kesesuaian pesanan tempat dengan harga yang dibayar pelanggan. Feng
dan Xiao (1998) menyajikan suatu manajemen perolehan dengan
perlakuan harga digandakan dan pertukaran harga yang tidak terbatas. Motivasi dari riset ini terdiri dari dua faktor : •
Untuk produk yang tidak tahan lama diberi level harga yang yang berbedabeda. Dalam teori ini perubahan harga dilakukan secara kontinu.
•
Walaupun manajemen perolehan telah dipelajari secara luas, namun hasil yang diperoleh berakhir dengan solusi yang heuristik.
Hasil yang utama dari riset ini adalah: •
Sebuah solusi yang tepat dari model waktu yang kontinu.
•
Perhitungan solusi yang hampir layak.
•
Pada setiap level persediaan awal terdapat barisan waktu ambang yang menuntun pergantian harga, selain itu titik awal bergeser terhadap nol sebagai pertambahan persediaan awal.
2.2 Proses Poisson
Proses Poisson (Pure-Birth Process) merupakan kejadian khusus dari proses hitung (counting process). Misalkan suatu kejadian timbul secara acak seperti pada gambar berikut: X
X
X
X
X
X
Gambar 1: X menunjukkan suatu kejadian
Andaikan λ menunjukkan rata-rata banyak kejadian dalam interval waktu yang sangat kecil (∆t → 0) dan N (∆t ) menunjukkan banyak kejadian dalam interval waktu ∆t , maka suatu proses hitung disebut suatu proses Poisson bila memenuhi syarat-syarat berikut: 1. N (0) = 0 (kondisi awal) 2. -
Mempunyai penambahan (increment) yang independent, artinya apa yang telah terjadi selama ini tidak mempengaruhi terhadap kejadian yang akan timbul dimasa mendatang
-
Mempunyai waktu yang independen, artinya untuk sebarang k , maka
P [N (t , t + ∆ t )] = k hanya bergantung pada ∆t . - Mempunyai penambahan yang tetap (stationary increment) artinya apa yang akan/telah terjadi dalam beberapa interval waktu yang mempunyai kemungkinan sama asalkan interval tersebut panjangnya sama. 3. P[N (∆t ) = 1] = λ ∆t + 0(∆t ) 4. P[N (∆t ) ≥ 2] = 0
Jika asumsi-asumsi tersebut dipenuhi maka
Pn (t ) = P[N (t ) = n] akan
memenuhi sistem persamaan beda-differensial:
dP t,0 dt
= λ P t,0
, P 0,0 = 1 (2.2.1)
dP t,0
dt
= λ P t, n − 1 − λ P t, n
, P 0, n = 0, n = 1, 2, ...........
(Haryono, 1995).
2.3 Asumsi Model
Diasumsikan bahwa : •
Himpunan K = 3 adalah banyaknya level harga yang ditentukan diawal periode, artinya perusahaan penerbangan menentukan banyaknya jenis harga yang akan ditawarkan selama periode yang tertentu, sebelum dibuat kebijakan.
•
Setiap permintaan level
harga
merupakan proses Poisson yang
intensitasnya konstan. Selama proses penawaran dari suatu kebijakan berlangsung, proses kedatangan pelanggan dapat dilihat seperti pada Gambar 1, artinya kedatangan pelanggan berlangsung secara acak. •
Persediaan awal adalah tetap. Selama kebijakan ditawarkan dalam kurun waktu tertentu, tidak akan dilakukan penambahan persediaan walaupun persediaan telah habis dan waktu periode penjualan masih tersisa.
•
Pengembalian tiket tidak diperhitungkan. Dalam hal ini tidak ada pelanggan yang mengembalikan tiket yang telah dibeli, karena akan berpengaruh pada tiket-tiket yang belum terjual.
Dalam hal ini, lamanya waktu penjualan dimasa mendatang dinotasikan dengan T dan persediaan awal adalah M , di mana c = {p1 ,K , p K }
adalah
himpunan harga yang ditentukan diawal periode. Permintaan untuk tiket yang ditawarkan merupakan proses Poisson pada pi ∈ c dan memiliki suatu parameter intensitas yaitu λi = λ ( pi ) . N i (t ) merupakan total permintaan pi pada saat t di mana tindakan i dilakukan ketika harga pi ditawarkan. Dalam penawaran pi , tindakan-tindakan selanjutnya terbatas pada subhimpunan c i = { pi , pi +1 ,K , p K } . Posisi persediaan pada t (0 ≤ t ≤ T ) dinotasikan dengan n(t ) atau n dan λi
merupakan fungsi turun terhadap pi . Jika pi > p j maka λ i < λ j
.
Selanjutnya
perhatikan bahwa λ i p i merupakan hasil yang diharapkan per satuan waktu dan diasumsikan bahwa λ i p i < λ j p j ketika pi > p j (Feng, 1998).
2.4 Kondisi Optimal
Misalkan g (t , n) fungsi yang kontinu mutlak dan terbatas seragam pada [0, T ] untuk setiap n . Didefinisikan suatu generator yang tak berhingga
Gk
yang
mengikuti proses Poisson, yaitu:
Gk g (t, n) = ∂g (t , n) + λ k [ g (t , n − 1) − g (t , n)] ∂t
Jika Vk (t , n) berada dalam domain
Gk
maka dengan pemakaian generator
(2.4.1)
Gk
pada
Vk (t , n) mengakibatkan pengurangan nilai untuk Vk (t , n) yang disebabkan kerugian dari dua bagian, yaitu:
1. Kerugian karena lewatnya waktu penjualan yang dinyatakan dengan ∂Vk (t , n) . ∂t
2. Kerugian
karena
penurunan
persediaan,
dinyatakan
dengan
λ k [Vk (t , n − 1) − Vk (t , n)] . Teorema 2.4.1 Misalkan fungsi Vk (t , n) untuk setiap n kontinu secara mutlak,
terbatas seragam, dan terdifferensial bagian demi bagian pada t∈[0, T ] dengan sisi kanannya adalah turunan parsial yang kontinu. Jika Vk (t , n) memenuhi: (i). Vk (t , n) ≥ 0, ∀0 ≤ t ≤ T , 0 ≤ n ≤ M ; (ii). Vk (T , n) = 0, Vk (t ,0) = 0 ; (iii). Vk (t, n) = 0, mengakibatkan
Gk (Vk + Vk +1 ) (t , n) + λ k p k
≤ 0, 0 ≤ t ≤ T , 1 ≤ n ≤ M
(iv). Vk (T , n) > 0, mengakibatkan
Gk (Vk + Vk +1 ) (t , n) + λ k p k
= 0, 0 ≤ t ≤ T , 1 ≤ n ≤ M ;
maka Vk (t , n) identik dengan V k (t , n) , di mana V k (t , n) adalah fungsi premium (Feng, 1998).
2.5 Kemonotonan
Pada saat harga berganda ditawarkan untuk mengoptimalkan perolehan, manajer akan membuat keputusan secara terus-menerus untuk memelihara harga yang berlaku saat ini, atau mencabut keputusan tersebut dengan segera. Keputusan yang waktunya telah berakhir, harus konsisten dengan aturan bisnis. Kekonsisten ini dipastikan dengan sifat kemonotonan (Feng, 1998). Definisi, Lemma, dan Proposisi berikut dikutip dari (Feng, 1998). Definisi 2.5.1 Suatu tindakan k atau fungsi nilai Vk (t , n) yang berhubungan
dengannya, dikatakan monoton jika terdapat barisan turun dari titik batas waktu k z1k , z 2k ,K,z M
yang membagi periode penjualan menjadi [0, T ] ke dalam dua
subinterval
[0, z nk ) dan ( z nk , T ] , n = 1,2 ,K,M, sedemikian hingga semua fungsi
premium V k (t , n) bernilai positif, dikatakan monoton jenis pertama jika untuk setiap 0 ≤ n ≤ M , V k (t , n) positif pada ( z nk , T ] , dan monoton jenis kedua jika V k (t , n) positif pada [0, z nk ) .
Definisi 2.5.2 Sepasang tindakan k dan k + 1 yang berdekatan dikatakan mengikuti
aturan kemonotonan jika keduanya sejenis. Suatu kebijakan dikatakan monoton jika setiap pasang tindakan yang berdekatan mengikuti aturan kemonotonan.
Lemma 2.5.1 Jika
Gk V k +1 (t , n)
adalah suatu fungsi yang naik bagian demi bagian
pada t dan n ketika p k < p k +1 maka k adalah monoton jenis pertama.
Lemma 2.5.2 Misalkan (i)
Gk +1V k +2 (t , n)
merupakan fungsi naik di t dan n pada
saat p k +1 > p k + 2 ; (ii) V k +1 (t , n) − V k +1 (t , n − 1) keduanya turun di t dan n . Maka
Gk V k +1 (t , n) adalah fungsi naik di t
dan n pada saat p k < p k +1 .
Proposisi 2.5.1 Diasumsikan bahwa λ i p i > λ j p j ketika p i < p j . Maka semua
tindakan mengikuti pola kemonotonan yang sama, jenis pertama (markup) jika p k < p k +1 , ∀k .
BAB III METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Sifat Penelitian
Penelitian ini bersifat studi literatur terhadap referensi-referensi yang berhubungan dengan manajemen perolehan, dan studi kasus perhitungan premi optimal dari manajemen perolehan berdasarkan model yang ada.
3.2 Prosedur Penelitian
Penelitian ini dimulai dengan mempelajari prinsip-prinsip dasar manajemen perolehan. Dilanjutkan dengan mempelajari formulasi rekursif dari model, kemudian dilakukan pemilihan algoritma yang yang sesuai dengan permasalahan yang ada. Setelah pemilihan algoritma, berikutnya dilakukan penerjemahan algoritma ke dalam bentuk program, dan program tersebut dieksekusi menggunakan Borland C++ 5.02. Hasil akhir dari program tersebut adalah suatu simulasi yang menggambarkan barisan waktu ambang yang tepat untuk pemilihan harga dalam penjualan tiket yang mengakibatkan keuntungan optimal. Proses pengambilan data dalam penelitian ini adalah pengambilan data sekunder, yaitu data yang terdapat pada referensi yang dipakai di mana data ini akan disesuaikan dengan kondisi yang ada pada perusahaan penerbangan Garuda Indonesia Airlines.
BAB IV SOLUSI OPTIMAL
4.1 Solusi Harga Markup yang Optimal
Pada model dua-harga (two-price), Feng dan Gallego (1995) menunjukkan bahwa untuk level persediaan awal n yang diberikan, terdapat sebuah titik awal x n sedemikian sehingga preminya positif pada selang ( x n , T ] dan nol pada selang
[0, x n ] . Untuk x n < t < T , fungsi premiumnya diberikan oleh: T
V k (t , n ) =
∫ L(s, n) e
λ k ( s−t )
(4.1.1)
ds ,
t
di mana, L(t , n) = G V2 (t , n) + λ1 p1 + λ 1V1 (t , n − 1) Sedangkan untuk model harga berganda (multiple price), maka: Lk (t , n) = Gk Vk +1 (t , n) + λk Vk (t , n − 1) + λ k p k
(4.1.2)
Teorema 4.1.1 (Teorema Markup). Asumsikan p i < p j dan λ i p i > λ j p j pada
i < j , dan misalkan x1k , x 2k ,........., x Mk adalah barisan waktu ambang. Maka V k (t , n) dapat ditentukan secara rekursif oleh : T −λ k ( s −t ) ds, ∫ Lk ( s , n ) e Vk (t , n) = t 0,
jika t > x nk jika t < x
k n
(4.1.3)
di mana, T x = inf 0 ≤ t ≤ T : ∫ Lk ( s, n) e − λ k ( s −t ) ds > 0 , t k n
L k (t , n) = G k Vk +1 (t , n ) + λk V k (t , n − 1) + λ k p k Karena
Gk V k +1 (t , n) = ∂Vk +1 (t , n) + λ k [Vk +1 (t , n − 1) − Vk +1 (t , n)] ∂t
= − λ k +1 p k +1 − λ k +1 [Vk +1 (t , n − 1) − Vk +1 (t , n)] + λ k [V k +1 (t , n − 1) − Vk +1 (t , n)] = − λ k +1 p k +1 + (λ k − λ k +1 )[Vk +1 (t , n − 1) − Vk +1 (t , n)]
Maka Lk (t , n) dapat ditulis sebagai:
L k (t , n) = − λ k +1 p k +1 + ( λ k − λ k +1 )[Vk +1 (t , n − 1) − V k +1 (t , n )] + λk V k (t , n − 1) + λ k p k Persamaan di atas akan digunakan untuk mendapatkan nilai Vk (t , n) (Feng, 1998).
4.2 Contoh Numerik dan Penyelesaian
Perusahaan penerbangan menawarkan sejumlah seat pada satu pesawat untuk rute penerbangan domestik, yang akan dipasarkan selama 2 bulan sebelum keberangkatan. Pihak perusahaan merencanakan akan menggunakan tiga perbedaan harga yang didasarkan pada tiket yang tidak terjual dan waktu sisa, yaitu harga super diskon, diskon, dan harga reguler dari 100 seat yang ditawarkan. Ongkos untuk super diskon adalah $100, untuk diskon $150, dan untuk reguler $200. Permintaan dari setiap level harga berturut-turut diperkirakan sebesar 80, 40, dan 20. Setiap level harga, permintaannya mengikuti proses Poisson. Tentukan barisan waktu ambang
yang optimal ( x1n dan x n2 ), sebagai panduan kebijakan harga optimal untuk memaksimumkan perolehan dari jumlah penjualan.
Penyelesaian: Contoh ini merupakan suatu kasus penaikan harga (markup), di mana: K = 3 adalah banyaknya level harga yang ditawarkan, terdiri dari ( k1 , k 2 , k 3 ). T = 2 adalah lamanya periode penawaran sebelum keberangkatan. M = 100 yang terdiri dari ( n1 , n 2 ,K, n100 ) merupakan banyaknya seat (tiket) yang
ditawarkan oleh perusahaan sebelum keberangkatan. ( p1 , p 2, p3 ) = ($100,$150,$200) adalah harga yang ditawarkan setiap levelnya.
(λ1 , λ 2 , λ 3 ) = (80, 40 , 20) merupakan ramalan permintaan rata-rata setiap level harga. Dengan menggunakan persamaan-persamaan yang terdapat pada bagian sebelumnya, maka akan dapat ditentukan semua ambang waktu penjualan (thresholds) x 1n dan x n2 . Langkah pertama akan ditentukan semua nilai dari x1n , yaitu waktu optimal
untuk tindakan pertama (k = 1) . T −λ1 ( s −t ) ds, ∫ L1 ( s, n) e V1 (t , n) = t 0,
jika t > x1n jika t < x 1n
di mana, T x = inf 0 ≤ t ≤ T : ∫ L1 ( s, n) e −λ1 ( s −t ) ds > 0 t 1 n
Batas atas integrasi adalah T = 2 dan batas bawah integrasi t merupakan nilai infimum dari 0 ≤ t ≤ T atau nilai yang paling mendekati T , yaitu t = 1.999069875 di mana t adalah seragam untuk semua x nk .
Selanjutnya, L1 (t, n) = −λ .2 p2 + (λ1 − λ 2 )[V2 (t, n − 1) −V2 (t, n)] + λ1V1 (t, n − 1) + λ1 p1
Berdasarkan Teorema 2.4.1, maka V2 (t ,0) = 0 dan V1 (t ,0) = 0 . Untuk mendapatkan nilai L1 (t , n) , maka diperlukan suatu fungsi bayangan V2 (t , n) , yaitu sebagai berikut:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Tabel 4.2.1 Nilai V2 (t , n) untuk k = 1 V2 (t , n) n V2 (t , n) n V2 (t , n) n -5.2929 -5.9599 -6.0104 -5.4475 -4.2683 -2.4756 -0.0665 2.9560 6.5948 10.8471 15.7158 21.1978 27.3298 34.0755 41.4346 49.44361 58.0664 67.30259 77.31169 88.18039
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
99.53179 111.6637 124.4088 137.8903 151.96 166.6514 181.8661 197.9915 214.7456 231.8723 250.0357 268.7769 287.9423 308.0785 328.7759 350.232 372.4004 395.1419 418.2836 442.4495
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
467.2349 492.3996 518.5347 545.2931 572.4415 600.6579 629.4719 658.614 688.7266 719.4253 750.591 782.7361 814.9017 848.7031 882.8483 917.6067 952.7334 988.8608 1025.606 1062.820
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
V2 (t , n) 1100.946 1139.64 1178.797 1218.967 1259.683 1300.94 1343.066 1385.822 1429.079 1473.204 1517.902 1563.029 1609.15 1655.841 1703.057 1751.183 1799.881 1849.027 1899.153 1949.853
Dengan demikian, maka nilai untuk V1 (t , n) dapat diketahui, yaitu seperti pada tabel berikut:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Tabel 4.2.2 Nilai V1 (t , n) dari n = 1 sampai dengan n = 80 x = V1 (t , n) n x n1 = V1 (t , n) n x n1 = V1 (t , n) n x n1 = V1 (t , n) 1 n
1.9825 1.9588 1.9350 1.9113 1.8875 1.8638 1.8400 1.8163 1.7925 1.7688 1.7450 1.7213 1.6963 1.6725 1.6488 1.6238 1.6000 1.5763 1.5513 1.5275
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
1.5038 1.4920 1.4800 1.4555 1.4300 1.4063 1.3813 1.3563 1.3325 1.2825 1.2575 1.2338 1.2088 1.1838 1.1600 1.1350 1.1100 1.0863 1.0613 1.0363
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
1.0126 0.9876 0.9625 0.9389 0.9152 0.8902 0.8652 0.8414 0.8164 0.7914 0.7664 0.7426 0.7176 0.6926 0.6689 0.6439 0.6201 0.5951 0.5701 0.5451
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
0.5175 0.4938 0.4688 0.4438 0.4188 0.3938 0.3688 0.3450 0.3200 0.2950 0.2700 0.2450 0.2200 0.1963 0.1713 0.1463 0.1213 0.0963 0.0024 -0.02
Tabel 4.2.2 di atas memperlihatkan barisan waktu optimal untuk tindakan (k = 1) yaitu penjualan tiket super diskon. Ternyata pada n = 80 , nilai x 1n < 0 artinya pada saat itu perusahaan harus memilih tindakan ketiga yaitu menjual tiket regular.
Selanjutnya, akan ditentukan semua nilai dari x n2 , yaitu waktu optimal untuk tindakan kedua (k = 2) . Seperti langkah sebelumnya, terlebih dahulu akan dipilih fungsi bayangan untuk V3 (t , n) , yaitu:
Tabel 4.2.3 Nilai V3 (t , n) untuk k = 2
n
V3 (t , n)
n
V3 (t , n)
n
V3 (t , n)
n
V3 (t , n)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
-6.5129 -6.0582 -2.8408 3.0809 11.6381 22.8991 36.5768 53.1197 72.2927 94.1038 118.5530 226.0048 336.2191 449.1960 564.9355 683.4377 804.7024 928.7297 1055.5196
20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
1185.0721 1317.3873 1452.4650 1590.3053 1730.9082 1874.2737 2020.4019 2169.2926 2320.9459 2475.3618 2632.5403 2792.4815 2955.1852 3120.6515 3288.8804 3459.8719 3633.6261 3810.1428 3989.4221
39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57
4171.4640 4356.2685 4543.8357 4734.1654 4927.2577 5123.1126 5321.7302 5523.1103 5727.2530 5934.1583 6143.8262 6356.2568 6571.4499 6789.4056 7010.1239 7010.1239 7010.1239 7010.1239 7010.1239
58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75
7010.1239 7010.1239 7010.1239 4869.5541 5035.0204 5203.2493 5374.2408 5547.9950 5724.5117 5903.7910 6085.8329 6270.6374 6458.2046 6648.5343 6841.6266 7037.4815 7236.0991 7437.4792
Maka nilai V2 (t , n) adalah sebagai berikut:
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Tabel 4.2.4 Nilai V 2 (t , n) dari n = 1 sampai n = 81 x n2 = V2 (t , n) n x n2 = V2 (t , n) x n2 = V2 (t , n) x n2 = V2 (t , n) n n 1.9450 1.8888 1.8363 1.7850 1.7350 1.6838 1.6378 1.5838 1.5338 1.4838 1.4338 1.3838 1.3338 1.2838 1.2338 1.1838 1.1338 1.0838 1.0338 0.9838
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
0.9338 0.8838 0.8338 0.7838 0.7338 0.6838 0.6338 0.5838 0.5338 0.4838 0.4338 0.3838 0.3338 0.2838 0.2338 0.1838 0.1338 0.0838 0.0338 -0.0162
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
-0.0662 -0.1162 -0.1662 -0.2162 -0.2662 -0.3162 -0.3662 -0.4162 -0.4662 -0.5162 -0.5662 -0.6162 -0.6662 -0.7162 -0.7662 -0.8162 -0.8662 -0.9162 -0.9662 -1.0162
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75
-1.0662 -1.1162 -1.1662 -1.2162 -1.2662 -1.3162 -1.3662 -1.4162 -1.4662 -1.5162 -1.5662 -1.6162 -1.6662 -1.7162 -1.7662
Selanjutnya tinjau syarat keoptimalan untuk x n2 , di mana x n2 yang memenuhi hanya yang bernilai positif ( x n2 > 0) . Dengan demikian
barisan waktu optimal untuk
tindakan kedua menjadi: Tabel 4.2.5 Nilai x n2 yang optimal ( x n2 > 0) n
x n2 = V2 (t , n)
n
x n2 = V2 (t , n)
n
x n2 = V2 (t , n)
n
x n2 = V2 (t , n)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1.945 1.8888 1.8363 1.7850 1.735 1.6838 1.6378 1.5838 1.5338 1.4838
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1.4338 1.3838 1.3338 1.2838 1.2338 1.1838 1.1338 1.0838 1.0338 0.9838
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
0.9338 0.8838 0.8338 0.7838 0.7338 0.6838 0.6338 0.5838 0.5338 0.4838
31 32 33 34 35 36 37 38 39
0.4338 0.3838 0.3338 0.2838 0.2338 0.1838 0.1338 0.0838 0.0338
Dari Tabel 4.2.5 terlihat bahwa pada n = 40 , x n2 < 0 . Artinya, untuk penjualan sisa tiket berikutnya perusahaan harus beralih pada tindakan ketiga yaitu penjualan tiket dengan harga regular.
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan pada pembahasan sebelumnya, maka dalam penulisan ini dapat ditarik beberapa kesimpulan yaitu: 1.
Kondisi keoptimalan dari barisan waktu ambang penjualan tiket (seat) dipengaruhi oleh lamanya periode penjualan, harga tiket yang ditawarkan dan juga banyaknya permintaan dari setiap tindakan yang ditawarkan.
2.
Barisan x nk , x nk+1 , K, x Mk akan dapat ditentukan secara rekursif apabila diberikan suatu fungsi bayangan yang ekivalen dengan barisan tersebut.
3.
Ketika barisan x nk (k = 1 atau k = 2) telah menunjukkan nilai yang negatif ( x nk < 0 ), maka perusahaan harus beralih pada tindakan selanjutnya yaitu memilih harga regular untuk penjualan tiket berikutnya.
4.
Perusahaan dapat memilih salah satu dari level harga, yaitu harga diskon atau harga super diskon dalam satu periode. Di mana harga tersebut akan selalu diikuti oleh harga regular ketika barisan waktunya ( x nk ) telah menunjukkan nilai nol atau negatif, dan proses permintaan masih berlangsung.
5.2 Saran
Pada penulisan ini dibahas tentang manajemen perolehan untuk menentukan barisan waktu optimal dalam penjualan tiket pesawat. Bagi yang tertarik dapat mengembangkan penelitian dengan menentukan jumlah keuntungan yang diperoleh oleh perusahaan penerbangan dari setiap tindakan yang dilakukan.
DAFTAR PUSTAKA Amrinsyah, N., dan Hasballah, Z., 2001, Metode Numerik dalam Ilmu Rekayasa Sipil., ITB., Bandung. Feng, Y., and Baichun Xiao., 1998, Optimal Policies of Yield with Multiple Predetermined Prices. Operations Research. National University of Singapore., 332-342. Feng, Y., and G. Gallego., 1995. Optimal Stopping Times for End of Season and Optimal Stopping Times for Promotional Fares,. Management Science., 41 1371-1391. Gallego, G., G. J. Van Ryzin, 1994, Optimal Dinamyc Pricing of Inventories with Stochastic Demand Over Finite Horizons. Management Science., 40,__, 9991020. Haryono., 1995, Proses Stokastik Terapan., Jurusan Statistika FMIPA ITS., Surabaya. Kimes S., 1989, The Basics of Yield Management, Cornell H.R.A Quatrerly., 30 1419. Littlewood, K., 1972. Forecasting and Control of Passengers, 12th AGIFORS Symposium Proc., 103-105.
LAMPIRAN
Algoritma Program Integrasi Fungsi Cara 1/3 Simpson
Mencari nilai L k ( t , n ) 1. Tentukan λ k , p k , Vk (t , n ), Vk ( t , n − 1) . 2. Hitung
Lk (t, n) = −λ k +1p k+1 + (λ k − λ k+1 )[Vk+1 (t, n −1) − Vk+1 (t, n)] + λ k Vk (t, n −1) + λ k p k Mencari integrasi Vk (t , n) 1.
Operasikan Lk (t , n) ke dalam fungsi integran.
2.
Tentukan batas pengintegralan t dan T serta jumlah segmen n, jumlah. segmen harus genap.
3.
Hitung h= (T-t)/ n.
4.
Inisialisasi sum = F(t) – t*F(t+h)
5.
Hitung untuk i = 2 sampai i = n-1, dengan indeks pertambahan sama dengan 2. sum = sum + 2*F(t+i*h) + 4*F(t+(i+1)*h).
6.
Hitung nilai integral I= h/3 * (sum +F(T)).
7.
Cetak hasil perhitungan.
Bagan Alir (flow chart)
Mulai
Baca lam(k ), p k , Vk ( t , n ), Vk ( t, n − 1) lam k,
n = 1 to 81
L k (t , n ) = lam(k + 1).p(k + 1) + (lam(k + 1) − lam(k ))[Vk +1 ( t , n − 1) − Vk +1 ( t, n )] + lam(k )Vk ( t , n − 1) + lam(k )p(k ) Lk (t , n)e −lam ( s −t )
Baca T, t, n
h=(T-t)/n sum=F(t)+4F(t+h)
i =2 to n-1 step 2
sum = sum + 2F(t+ih) + 4F(t+(i+1)h).
I = h/3*(sum+F(T)
Cetak hasil
SELESAI
