Simulační schemata, stavový popis. Petr Hušek

Simulační schemata, stavový popis Petr Hušek

Simulační schemata, stavový popis Petr Hušek [email protected] katedra řídicí techniky Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze

MAS 2007/08

ČVUT v Praze

6,7 - Simulační schemata, stavový popis 2/37

Co se dnes dozvíme?

Jak vytvořit z diferenciální rovnice simulační schema spojitého systému Jak vytvořit z diferenční rovnice simulační schema diskrétního systému Co je stavový popis diskrétního systému, stavová veličina

MAS 2007/08

ČVUT v Praze


Simulační schema spojitého systému

zakreslení diferenciální rovnice v grafické podobě pomocí malého počtu různých bloků možnost využití simulačních programů jednodušší reprezentace nelineárních systémů

Simulační schema lineárního spojitého systému

lineární diferenciální rovnice 1.řádu B

m

dv(t ) + Bv(t ) = F (t ) dt

v(0) = v0 v F MAS 2007/08

ČVUT v Praze


nakresleme schema pomocí 3 bloků:

integrátor z(0) z(t)

∫

z(0) z(t)

w(t)

1 s

w(t)

t

w(t ) = z (0) + ∫ z (τ)d τ 0

z(0) z(t)

∫

w(t)

z(0) z(t)

1 s

w(t)

w(t ) = z (0) + z (t ) MAS 2007/08

ČVUT v Praze


zesilovač z(t)

K

w(t)

z(t)

K

w(t)

w(t ) = Kz (t )

sčítačka z1 (t ) z2 (t )

z1 (t )

+

w(t )

+(-)

+ z2 (t ) +(-)

w(t )

w(t ) = z1 (t ) + z2 (t )

MAS 2007/08

ČVUT v Praze


dv(t ) B 1 = − v(t ) + F (t ) dt m m

dv(t ) m + Bv(t ) = F (t ) dt F(t) Vstup

v(0) 1/m*F(t)

K1 1/m

dv(t)/dt Add

B/m*v(t)

1 s

v(t)

Integrator

Scope

B/m K2

dx1 (t ) B 1 = − x1 (t ) + u (t ) dt m m y (t ) = x1 (t )

MAS 2007/08

ČVUT v Praze

x1 (0) = x10 = v0


lineární diferenciální rovnice 2.řádu x B

k

d 2 x (t ) dx (t ) m +B + kx (t ) = F (t ) 2 dt dt

F m

x (0) = x0 ,

dx (0) = v0 dt

d 2 x(t ) B dx(t ) k 1 =− − x (t ) + F (t ) 2 dt m dt m m F(t) Vstup

v0 K1 1/m

1/m*F(t)

d2x(t)/dt2 Add B/m B/m*x(t) K2

k/m*x(t)

1 s Integrator

x0 dx(t)/dt

1 s Integrator1

x(t) Scope

k/m K3

MAS 2007/08

ČVUT v Praze


d 2 x (t ) dx (t ) m +B + kx (t ) = F (t ) 2 dt dt

x1 (t ) = x(t ) x2 (t ) =

dx(t ) dt

dx2 (t ) m + Bx2 (t ) + kx1 (t ) = F (t ) dt

dx1 (t ) = x2 (t ) dt x1 (0) = x(0) = x0

dx2 (t ) 1 k B = − x1 (t ) − x2 (t ) + F (t ) dt m m m dx x2 (0) = (0) = v0 dt

diferenciální rovnici 2.řádu jsme převedli na 2 diferenciální rovnice 1.řádu MAS 2007/08

ČVUT v Praze


lineární diferenciální rovnice n-tého řádu s jednoduchou pravou stranou

y ( n ) (t ) + an −1 y ( n −1) (t ) +

+ a0 y (t ) = b0u (t )

y ( n −1) (0), y ( n −2 ) (0),… , y′(0), y (0) y’(0)

y(n-1)(0) u(t)

Vstup

b0

1/m*F(t)

dny(t)/dtn

b0

1 s

Add

y(t)

1 s

1 s

Integrator2

Integrator1

.....

Integratorn

y(0)

dy(t)/dt

Scope

an-1

n

an-1

a1 a1

a0 a0

MAS 2007/08

ČVUT v Praze


lineární diferenciální rovnice n-tého řádu y ( n ) (t ) + an −1 y ( n −1) (t ) +

+ a0 y (t ) = bmu ( m ) (t ) + bm −1u ( m −1) (t ) +

+ b0u (t )

y ( n −1) (0), y ( n −2 ) (0),… , y′(0), y (0) bn y(t)

bn

b1 b1

u(t)

1 s

1 ..... s xn x2 Integratorn Integrator2

Vstup

Add

1 s

Scope

b0 b0

Add1

x1

Integrator1

an-1

n

an-1

a1 a1

a0 a0

MAS 2007/08

ČVUT v Praze


počáteční podmínky diferenciální rovnice nesouhlasí s počátečními podmínkami schematu !!! y ( n −1) (0), y ( n −2 ) (0),… , y′(0), y (0)

≠

xn (0), xn −1 (0),… , x2 (0), x1 (0)

simulační schema lineárního spojitého systému lze sestavit z integrátorů, zesilovačů a sumátorů

jednoduché nelineární diferenciální rovnice x(t ) =

g 2⎛ R⎞ 1+ ⎜ ⎟ 5⎝ r ⎠

2

sin ϕ(t ) = K sin ϕ(t )

x(0) = x0 , x(0) = v0

MAS 2007/08

ČVUT v Praze


x(t ) = K sin ϕ(t )

x(0) = x0 , x(0) = v0 x(0)

x’(0) d2x(t)/dt2

phi(t) Vstup

MAS 2007/08

sin

-K-

Sin

K

ČVUT v Praze

1 s

dx(t)/dt

Integrator

1 s

x(t)

Integrator1

Scope


Operátorový zápis lineární diferenční rovnice

Jv(t ) − ( J − BT )v(t − T ) = rRTF (t − T )

zavedeme operátor zpoždění d (delay) ~ zpoždění funkce (posloupnosti) o jeden krok za nulových počátečních podmínek (v(0) = 0): zpozdeni o 1 krok, T=1s

5

v(t − T ) ≈ v(t − 1) ≈ d ⋅ v(t ) D { F (t )}

v[m/s]

4

( J − ( J − BT ) ⋅ d )v(t ) = (rRT ⋅ d ) F (t )

D {v(t )}

v(t) v(t-T)

3 2 1 0

0

2

4

6

8

10

t[s]

MAS 2007/08

ČVUT v Praze


zavedeme přenos systému v operátoru d:

D {výstup} D { y (t )} G (d ) = = D {vstup} D {u (t )}

za nulových počátečních podmínek

D {v(t )} rRT ⋅ d G (d ) = = D { F (t )} J − ( J − BT ) ⋅ d

zavádíme operátor z za nulových počátečních podmínek (v(0)=0): −1 −1

d=z

→ v(t − T ) ≈ v(t − 1) ≈ z ⋅ v(t )

( J − ( J − BT ) ⋅ z −1)v(t ) = rRT ⋅ z −1 ⋅ F (t ) Z {v(t )} MAS 2007/08

ČVUT v Praze

Z { F (t )} 6,7 - Simulační schemata, stavový popis 15/37

přenos systému v operátoru z:

Z {výstup} Z { y (t )} = G( z ) = Z {vstup} Z {u (t )} −1


Z {v(t )} rRT ⋅ z −1 rRT G( z ) = = = −1 Z { F (t )} J − ( J − BT ) ⋅ z J ⋅ z − ( J − BT )

operátor z představuje posunutí posloupnosti o jeden krok vpřed, tj. vlevo po časové ose posun o 1 krok vpred, T=1s

1

v(t+T) v(t)

v[m/s]

0.8

z ⋅ v(t ) ≈ v(t + T ) ≈ v(t +1)

0.6 0.4 0.2 0

0

2

4

6

8

10

t[s]

MAS 2007/08

ČVUT v Praze


Jv(t ) − ( J − BT )v(t − T ) = rRTF (t − T ) t → t +T

Jv(t + T ) − ( J − BT )v(t ) = rRTF (t )

diferenční rovnice musí platit pro jakýkoli čas (t, t+T, t-2T, t+4T, t-4T, ...) ↔ posun okénka

Jv(t ) − ( J − BT )v(t − T ) = rRTF (t − T )

rRT ⋅ d G (d ) = J − ( J − BT ) ⋅ d

Jv(t + T ) − ( J − BT )v(t ) = rRTF (t ) rRT G( z ) = J ⋅ z − ( J − BT ) MAS 2007/08

ČVUT v Praze


v s tu p n i s ila

100

F(t-5T)

F(t) [N]

80

F(t+3T)

F(t-T)

60 40 20 0

0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

t[s ] ry c h lo s t s e trv a c n ik u

5

v[m/s]

4

v(t+4T) v(t+3T)

3

v(t) v(t-T)

2

n

1 v(t-4T)

v(t-5T) 0 0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

t[s ]

MAS 2007/08

ČVUT v Praze


zpoždění o dva kroky:

x(t) a x(t-2T

5

x(t − nT ) ≈ d n ⋅ x(t )

x(t) x(t-2T)

4

zpoždění o n kroků:

x(t + nT ) ≈ z n ⋅ x(t )

x[m]

3 2


1 0

0

2

4

6

8

10

t[s]

x(t − 2T ) ≈ d ⋅ x(t − 1) ≈ d ⋅ d ⋅ x(t ) = d ⋅ x(t ) 2

x(t + 2T ) ≈ z ⋅ x(t + 1) ≈ z ⋅ z ⋅ x(t ) = z 2 ⋅ x(t ) MAS 2007/08

ČVUT v Praze


2 m ⎛ 1 ⎞ − x ( t ) − x ( t T ) + + k ⎜ 2 ⎟ x(t − 2T ) = F (t − 2T ) 2 2 T T ⎝T ⎠

k x m F

mx(t ) − 2 x(t − T ) + (1+ kT 2 ) x(t − 2T ) = T 2 F (t − 2T )

D {v(t )} T2 ⋅d2 = G (d ) = D { F (t )} m − 2 ⋅ d + (1+ kT 2 ) d 2 Z {v(t )} T2 G( z ) = = 2 Z { F (t )} mz − 2 ⋅ z + 1+ kT 2

MAS 2007/08

ČVUT v Praze


Simulační schema lineárního diskrétního systému

lineární diferenční rovnice 1.řádu mv(t ) − ( m − BT ) v(t − T ) = TF (t − T )

B

v(0) = v0 v F

zpoždění o 1 krok sčítačka

zesilovač q(t)

K

q1 (t )

w(t)

MAS 2007/08

w(t )

q(t)

w(t)

+(-)

1 z

w(t ) = q1 (t ) + q2 (t )

w(t ) = q (t − T )

q2 (t )

w(t ) = Kq (t )

+

q(0)

ČVUT v Praze


mv(t ) − ( m − BT ) v(t − T ) = TF (t − T ) m − BT T v(t ) = v(t − T ) + F (t − T ) m m

t → t +T

v(t + T ) =

m − BT T v(t ) + F (t ) m m v(0)

F(t)

v(t+T )

T /m Vstup

T /m

x1(t+T )

Add

1

v(t)

z

x1(t)

Unit Delay

Scope

-K(m-BT )/m

MAS 2007/08

ČVUT v Praze


m − BT T x1 (t + T ) = x1 (t ) + u (t ) m m y (t ) = x1 (t )

x1 (0) = x10 = v0

lineární diferenční rovnice 2.řádu x k

B

F m

x(0) = x0 , x (T ) = xT

mx(t ) − ( 2m − BT ) x(t − T ) + ( m − BT + kT 2 ) x (t − 2T ) = T 2 F (t − 2T ) 2m − BT m − BT + kT 2 T2 x(t ) − F (t − 2T ) x (t − T ) + x(t − 2T ) = m m m

t → t + 2T MAS 2007/08

ČVUT v Praze


2m − BT m − BT + kT 2 T2 x (t + 2T ) = x(t + T ) − x(t ) + F (t ) m m m x (t + 2T ) = K 2 x(t + T ) − K1x(t ) + K 3 F (t )

xT=x2(0) F(t)

Vstup

x(t+2T )

-K-

x2(t+T )

K3

1 z

Unit Delay1

Add

x(t+T)

x2(t)

x0=x1(0) 1 z

Unit Delay2

x(t)

x1(t)

Scope

-KK2

-KK1

MAS 2007/08

ČVUT v Praze


x1 (t ) = x(t )

x(t + 2T ) = − K1x(t ) + K 2 x(t + T ) + K 3 F (t )

x1 (t + T ) = x2 (t )

x2 (t + T ) = − K1x1 (t ) + K 2 x2 (t ) + K 3u (t )

x1 (t + T ) = x2 (t ) x2 (t + T ) = K1x1 (t ) − K 2 x2 (t ) + K 3u (t ) y (t ) = x1 (t ) x1 (0) = x0 , x2 (0) = xT

diferenční rovnici 2.řádu jsme převedli na 2 diferenční rovnice 1.řádu MAS 2007/08

ČVUT v Praze


lineární diferenční rovnice n-tého řádu s jednoduchou pravou stranou y (t ) + an −1 y (t − T ) +

+ a0 y (t − nT ) = b0u (t − nT )

y (0), y (T ),… , y ((n − 1)T ) y((n-1)T)=xn(0) u(t) Vstup

y(t+nT )

y(T)=x2(0)

y(0)=x1(0)

y(t+2T ) y(t+T) y(t) 1 1 ..... z z z xn(t+T) x2(t) x1(t) xn(t) x3(t) Unit Delay3 Unit Delay1 Unit Delayn

b0 b0

1

Scope

Add

an-1

n

an-1 a1 a1

a0 a0

MAS 2007/08

ČVUT v Praze


y (t ) + an −1 y (t − T ) +

+ a0 y (t − nT ) = b0u (t − nT )

y (t + nT ) + an −1 y (t + (n − 1)T ) + x1 (t ) = y (t ) x2 (t ) = y (t + T ) = x1 (t + T ) x3 (t ) = y (t + 2T ) = x2 (t + T )

+ a0 y (t ) = b0u (t )

x1 (t + T ) = x2 (t ) x2 (t + T ) = x3 (t ) x3 (t + T ) = x4 (t )

stavový popis

xn (t ) = y (t + (n − 1)T ) = xn −1 (t + T ) xn −1 (t + T ) = xn (t ) xn (t + T ) = − a0 x1 (t ) − a1x2 (t ) −

xn (t + 1) = y (t + nT )

− an −1xn (t ) + b0u (t )

y (t ) = x1 (t )

xi(t) – stavové veličiny

x1 (0) = y (0) x2 (0) = y (T ) x3 (0) = y (2T ) xn (0) = y ((n − 1)T )

MAS 2007/08

ČVUT v Praze


maticový zápis stavových rovnic lineárního systému

systém 1.řádu

x1 (t + T ) = − B

m − BT T x1 (t ) + u (t ) m m

y (t ) = x1 (t )

x1 (0) = x10 = v0

v F

x (t + T ) = Ax (t ) + Bu(t ) y(t ) = Cx (t ) + Du(t )

⎡ m − BT ⎤ ⎡T ⎤ A = ⎢− ,B = ⎢ ⎥ ⎥ m ⎦ ⎣ ⎣m⎦ C = [1] , D = [0]

x (t ) = x1 (t ) = v(t ), u (t ) = u(t ) = F (t ) y(t ) = y (t ) = v(t ) MAS 2007/08

ČVUT v Praze


systém 2.řádu

x1 (t + T ) = x2 (t )

x k

B

F m

x2 (t + T ) = − K1x1 (t ) + K 2 x2 (t ) + K 3u (t ) y (t ) = x1 (t ) x1 (0) = x0 , x2 (0) = xT

x (t + T ) = Ax (t ) + Bu(t ) y(t ) = Cx (t ) + Du(t )

1⎤ ⎡0⎤ ⎡ 0 A=⎢ ,B = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ − K 2 K1 ⎦ ⎣ K3 ⎦ C = [1 0 ] , D = [0 ]

⎡ x1 (t ) ⎤ ⎡ − ⎤ , u(t ) = u (t ) = F (t ) x (t ) = ⎢ =⎢ ⎥ ⎥ ⎣ x2 (t ) ⎦ ⎣ x(t ) ⎦ y(t ) = y (t ) = x(t ) MAS 2007/08

ČVUT v Praze


systém n-tého řádu x1 (t + T ) = x2 (t ) x2 (t + T ) = x3 (t ) x3 (t + T ) = x4 (t )

x1 (0) = y (0) x2 (0) = y (T ) x3 (0) = y (2T )

xn −1 (t + T ) = xn (t ) xn (t + T ) = − a0 x1 (t ) − a1x2 (t ) −

− an −1xn (t ) + b0u (t )

xn (0) = y ((n − 1)T )

y (t ) = x1 (t )

x (t + T ) = Ax (t ) + Bu(t ) y(t ) = Cx (t ) + Du(t ) ⎡ x1 (t ) ⎤ ⎥ , u(t ) = u (t ) x (t ) = ⎢⎢ ⎥ ⎢⎣ xn (t ) ⎥⎦ y(t ) = y (t ) MAS 2007/08

ČVUT v Praze

1 0 0 ⎤ ⎡ 0 ⎡0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 1 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎥ ,B = ⎢ ⎥ A=⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 0 0 1 ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢⎣ − a0 − a1 − a2 ⎢⎣b0 ⎥⎦ − an ⎥⎦ 0] , D = [0] C = [1 0 6,7 - Simulační schemata, stavový popis 30/37

lineární diferenční rovnice n-tého řádu y (t ) + an −1 y (t − T ) +

+ a0 y (t − nT ) = bmu (t ) + bm −1u (t − T ) +

+ b0u (t − mT )

y (0), y (T ),… , y ((n − 1)T ) bn

y(t)

bn b1 b1

u(t) 1

z

Vstup

Unit Delayn

1

..... xn

z

b0

1

x2

z

Scope

b0 Add1

x1

Unit Delayn1 Unit Delayn2

Add

n

an-1 an-1 a1 a1

a0 a0

MAS 2007/08

ČVUT v Praze


počáteční podmínky obecné diferenciální rovnice nesouhlasí s počátečními podmínkami schematu !!! y ((n − 1)T ), y ((n − 2)T ),… , y (0)

≠

xn (0), xn −1 (0),… , x2 (0), x1 (0)

simulační schema lineárního diskrétního systému lze sestavit z bloků zpoždění o 1 krok, zesilovačů a sumátorů

jednoduché nelineární diferenciální rovnice x(t ) − 2 x(t − T ) + x(t − 2T ) = KT 2 sin ϕ(t − 2T ) K=

x(0) = x0 , v(0) MAS 2007/08

g 2⎛ R⎞ 1+ ⎜ ⎟ 5⎝ r ⎠

2

x(0) = x0 , x(0) = v0

∆x(0) x(T ) − x(0) = ⇒ x(T ) = v(0)T + x(0) T T

ČVUT v Praze


x(t ) − 2 x(t − T ) + x(t − 2T ) = KT 2 sin ϕ(t − 2T ) x(t + 2T ) = 2 x(t + T ) − x(t ) + KT 2 sin ϕ(t ) x(T)=x2(0)

phi(t) Vstup

sin Sin

-K-

x(t+2T )

K Add

1

x(t+T)

z x2(t+T ) x2(t) Unit Delay1

x(0)=x1(0) 1

x(t)

z

x1(t)

Unit Delay2

Scope

2 2

x1 (t + T ) = f1 ( x1 (t ), x2 (t ), u (t ))

x1 (t + T ) = x2 (t ) x2 (t + T ) = 2 x2 (t ) − x1 (t ) + KT 2 sin u (t ) y (t ) = x1 (t )

x2 (t + T ) = f 2 ( x1 (t ), x2 (t ), u (t )) y (t ) = g ( x1 (t ), x2 (t ), u (t ))

x (t + T ) = f (x (t ), u (t )) y (t ) = g(x (t ), u (t )) MAS 2007/08

ČVUT v Praze


Kontrolní otázky

Pomocí kterých bloků jsme schopni sestavit simulační schema jakéhokoli lineárního spojitého systému? Kam zapisujeme počáteční podmínky? Čím se liší stavový popis lineárního spojitého a diskrétního systému? Nakreslete spojité simulační schema pro volný pád, jestliže jako výstupní veličinu budeme uvažovat polohu závaží x(t). m

x Fg

Nakreslete simulační schema následujícího spojitého systému, jestliže jako vstupní veličinu uvažujeme sílu F(t) a výstupní polohu závaží x(t). Nakreslete též simulační schema odpovídajícího diskrétního systému a napište stavové rovnice obou popisů. x k

MAS 2007/08

ČVUT v Praze

F m 6,7 - Simulační schemata, stavový popis 34/37

Nakreslete diskrétní simulační schema kyvadla, jehož výstupem je úhlová poloha φ(t). Jaké jsou jeho počáteční podmínky?

φ m

m

Kolik stavových veličin má lineární systém? U příkladu systému 2. řádu se závažím, pružinou a tlumičem je výstupem poloha závaží x(t). Pokuste se co nejjednodušeji doplnit simulační schema, aby výstupní veličinou byla rychlost závaží v(t). Nakreslete simulační schema cyklistického trenažeru a diskutujte vliv velikosti počáteční podmínky (rychlosti) v(t) na velikost ustálené rychlosti při jednotkovém skoku vstupní síly F(t).

MAS 2007/08

ČVUT v Praze


Vytvořte simulační schema modelu systému seskoku padákem, který je popsán diferenční rovnicí

m

∆v(t − T ) m − BT + Bv(t − T ) = mg ⇔ v(t ) − v(t − T ) = gT ∆t m

B

v mg Nasimulujte situaci, kdy parašutista letí volným pádem rychlostí 60m/s a právě se mu otevře padák. Uvažujte m = 80kg, B = 270Ns/m, T = 0.01s.

MAS 2007/08

ČVUT v Praze


Pokuste se nakreslit simulační schema cyklistického trenažeru s uvažováním zatěžovacího momentu Mz(t) jako druhého vstupu a zamyslete se nad jeho vlivem na průběh výstupní rychlosti v(t).

Jv(t ) − ( J − BT )v(t − T ) = rRTF (t − T ) − RTM z (t − T )

MAS 2007/08

ČVUT v Praze


Simulační schemata, stavový popis. Petr Hušek

Recommend Documents