seperti yang akan kita lihat, ada banyak cara untuk membangun ruang-ruang vektor baru dari ruang vektor ruang vektor yang lama

DIRECT SUMS seperti yang akan kita lihat, ada banyak cara untuk membangun ruang-ruang vektor baru dari ruang vektor –ruang vektor yang lama EXTERNAL DIRECT SUMS Definisi: Misalkan 𝑉1 , … , 𝑉𝑛 adalah ruang vektor -ruang vektor atas lapangan 𝐹. External direct Sum dari 𝑉1 , … , 𝑉𝑛 difinisikan sebagai 𝑉 = 𝑉1 ⊞ … ⊞ 𝑉𝑛 Adalah ruang vektor 𝑉 yang elemen-elemennya adalah pasangan terurut sebanyak n – tuples 𝑉 = 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 𝑣𝑖 ∈ 𝑉𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 Dengan operasi – operasi 𝑢1 , … , 𝑢 𝑛 + 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 = 𝑢 1 + 𝑣1 , … , 𝑢 𝑛 + 𝑣𝑛 Dan 𝑟 𝑣1 , … , 𝑣𝑛

= 𝑟𝑣1 , … , 𝑟𝑣𝑛

Untuk semua 𝑟 ∈ 𝐹 Contoh 1.4 Ruang Vektor 𝐹 𝑛 adalah external direct sum dari F sebanyak n yaitu: 𝐹𝑛 = F ⊞ … ⊞ 𝐹 Dimana ada n penjumlahan pada sebelah kanan. Bentuk itu dapat di perumum untuk sebarang koleksi dari ruang vektor – ruang vektor dengan memperumum ide n – tuples 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 adalah sebuah fungsi 𝑓: 1, … , 𝑛 → 𝑉𝑖 , dari himpunan index 1, … , 𝑛 ke gabungan dari ruang ruang dengan sifat 𝑓 𝑖 ∈ 𝑉𝑖 . Definisi : Misalkan ℱ = 𝑉𝑖 𝑖 ∈ 𝐾 sebagai sebarang family ( keluarga) dari ruang vektor – ruang vektor atas 𝐹. Direct product dari ℱ adalah ruang vektor Vi = f: K → i∈K

Vi f i ∈ Vi i∈K

Dipikirkan sebagai subruang vektor dari semua fungsi, dari 𝐾 ke Ini terbukti akan lebih berguna support berhingga.

𝑉𝑖 .

untuk memisahkan himpunan fungsi- fungsi dengan

Definisi: Misalkan ℱ = 𝑉𝑖 𝑖 ∈ 𝐾 sebagai keluarga ruang vektor – ruang vektor atas F. Support dari fungsi 𝑓: 𝐾 → 𝑉𝑖 adalah himpunan Supp (𝑓) = 𝑖 ∈ 𝐾 𝑓(𝑖) ≠ 0 , Fungsi f mempunyai support berhingga jika 𝑓 𝑖 = 0, untuk semua 𝑖, kecuali sejumlah hingga 𝑖 ∈ 𝐾 . External direct sum dari keluarga ℱ adalah ruang vektor.    ext   f : K  f ( i )  , f mempunyai sup port berhingga    v v v i i i iK   i K   Dipikirkan sebagai subruang vektor dari semua fungsi, dari 𝐾 ke

𝑉𝑖 .

Kasus khusus yang penting, kalau ketika terjadi 𝑉𝑖 = 𝑉 untuk semua 𝑖 ∈ 𝐾. Kita misalkan 𝑉𝐾 menyatakan himpunan semua fungsi dari K ke V . 𝑉𝐾 0 menyatakan semua himpunan fungsi – fungsi dalam 𝑉𝐾 yang mempunyai support berhingga, maka; V = V K dan

ext v

 (V K ) 0

i K

i ∈K

Catatan: Direct product dan external direct sum sama untuk keluarga berhingga dari ruang vektor – ruang vektor. INTERNAL DIRECT SUMS Pembentukan versi internal direct sum adalah selalu lebih relevan Definisi: Suatu ruang vektor V adalah (internal) direct sum dari keluarga ℱ = 𝑆𝑖 𝑖 ∈ 𝐼 dari subruang – subruang V, ditulis 𝑉 = ⨁ℱ atau V 

 ext S i K

i

Jika memenuhi: 1. (Join of the family) V adalah jumlah (join) dari family ℱ 𝑉=

Si iϵ I

2. ( Independence of the family) untuk setiap 𝑖 ∈ 𝐼 𝑆𝑖 ∩

Sj

= 0

j≠i

Dalam kasus ini, setiap 𝑆𝑖 , disebut direct summand dari V. Jika ℱ = S1, … , Sn adalah keluarga berhingga, direct sum adalah ditulis; V = S1, ⨁ … , ⨁ Sn

Akhirnya, jika V = S ⨁ T, maka T dikatakan komplemen dari S dalam V. Catatan: Bahwa kondisi bagian 2) dari definisi diatas lebih kuat ( stongger) daripada hanya menyatakan anggota dari ℱ adalah pasangan yang saling lepas (disjoint). 𝑆𝑖 ∩ 𝑆𝑗 = ∅ Untuk semua 𝑖 ≠ 𝑗 ∈ 𝐼. Sedikit Perhatian Jika S dan T adalah subruang – subruang dari V, maka kita selalu mengatakan bahwa S+T ada. Akan tetapi, untuk menyatakan direct sum dari S dan T ada atau di tulis S ⨁ T berakibat 𝑆 ∩ 𝑇 = 0 . Oleh karena itu, walau jumlah dari 2 ( dua ) subruang - subruang selalu ada, direct sum dari 2 (dua) subruang – subruang tersebut belum tentu ada. Pernyataan yang sama dapat di aplikasikan dari subruang - subruang dari V. Pembaca akan diminta di akhir bab ini untuk menunjukan konsep internal dari ekternal direct sum, pada dasarnya eqiuvalen ( isomorphic). Untuk alas an ini istilah “ direct sum” sering di gunakan tanpa pemisalan. Kalau Kita sudah membicarakan konsep dari basis. Theorema berikut dapat dengan mudah di buktikan. Theorema 1.4 Sebarang subruang dari ruang vektor mempunyai komplemen yaitu, jika S adalah subruang dari V, maka ada subruang T, dimana V = S ⨁ T Harus ditekankan bahwa suatu ruang bagian secara umum mempunyai banyak komplemen ( walaupun mereka isomorphic). Pembaca dengan mudah menemukan contoh hal ini di R2. Kita dapat ( characterize) keunikan bagian dari definisi direct sum dalam cara lain yang berguna. Keterangan: Jika S dan T adalah subruang yang berbeda dari V dan jika x, y ∈ 𝑆 ∩ 𝑇, maka jumlah x + y dapat di tulis sebagai penjumlahan vektor –vektor dari subruang yang sama ( katakana S ) atau dari subruang yang berbeda satu dari S dan satu dari T. Ketika kita mengatakan bahwa vektor V tidak dapat di tulis sebagai jumlah vektor –vektor dari subruang berbeda dari S dan T, ini berarti V tidak dapat ditulis sebagai jumlah x + y, dimana x dan y dapat berasal dari subruang yang berbeda, akan tetapi mereka juga dapat berasal dari subruang yang sama. Dengan demikian, jika x, y ∈ 𝑆 ∩ 𝑇. Maka V = x + y dapat diekspresikan sebagai penjumlahan vektor – vektor dari subruang yang berbeda.

Theorema 1.5 Misalkan ℱ = 𝑆𝑖 𝑖 ∈ 𝐼 adalah keluarga dari subruang yang berbeda dari V, maka pernyataan berikut eqiuvalen; 1. ( Independent of the Family) untuk setiap 𝑖 ∈ 𝐼 𝑆𝑖 ∩

Sj

= 0

j≠i

2. ( Uniqueness of expression for 0) Vektor nol 0 tidak dapat di tulis sebagai jumlah

dari vektor – vektor tidak nol dari subruang - subruang yang berbeda dari ℱ. 3. ( Uniqueness of expression ) untuk setiap v tak nol, v ∈ V mempunyai ekspresi

yang tunggal. Kecuali urutan bentuk – bentuk pernyataan sebagai penjumlahan v = s1, + ⋯ + sn Dari vektor- vektor tidak nol dari subruang - subruang yang berbeda dalam ℱ. Karenanya jumlah; 𝑉=

Si iϵ I

Adalah direct jika dan hanya jika memenuhi salah satu 1, 2, 3. Pembuktian: 1 )  2) Andaikan 2 tidak berlaku; 0 = 𝑠𝑗 1 + … + sjn Dimana 𝑠 𝑗 tidaknol berasal dari subruang - subruang yang berbeda 𝑆𝑗 . Maka, untuk n > 1 𝑖 𝑖 dapat di tuliskan; −𝑠 𝑗1 = 𝑠𝑗2 + … + sjn Dimana menyebabkan 1 tidak berlaku. Hal ini terjadi kontradiksi yang mengharuskan pernyataan ke 2 terpenuhi. 2) 3) Jika bagian 2 di penuhi, misalkan v dapat dituliskan kedalam dua bentuk berikut; v = s1, + ⋯ + sn dan v = t 1, + ⋯ + t m Dimana bentuk –bentuk tersebut tidak nol dan si berada pada subruang - subruang berbeda dalam ℱ dan demikian pula dengan t i , maka; v − v = 0 = 𝑠1 + … + sn − 𝑡1 − … − t m , Dengan pengelompokan suku suku dari subruang- subruang yang sama, dapat di tulis, sebagai berikut; 0 = 𝑠i 1 − 𝑡i 1 + … + 𝑠i 𝑘 − 𝑡i 𝑘 +si k +1 + ⋯ + 𝑠i 𝑛 − 𝑡i 𝑘 +1 − ⋯ − 𝑡i 𝑚 .

Karena kondisi 2 terpenuhi, mengakibatkan n = m = k dan 𝑠i 𝑢 = 𝑡i 𝑢 untuk semua u = 1, …, k. Dengan demikian, penulisan kedua v diatas adalah ekspresi yang sama. Kesimpulan jika 2 terpenuhi maka 3 terpenuhi.

Misalkan 3 berlaku, akan di tunjukan 1 berlaku, bukti: Misalkan ; 0 ≠ 𝑣 ∈ 𝑆𝑖 ∩

Sj j≠i

Maka 𝑣 = 𝑠𝑖 ∈ 𝑆𝑖 , sehingga; si = 𝑠𝑗 1 + … + sjn =0+ … +si + …. + 0, Dimana 𝑠𝑗 𝑘 ∈ 𝑆𝑗 𝑘 adalah tidaknol. Hal ini menunjukan bahwa ekspresi si tidak unik, yang bertentangan dengan 3( terjadi kontradiksi). Kesimpulan, jika 3 terpenuhi maka mengharuskan 1 terpenuhi. Contoh 1.5 Sebarang matrik 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 dapat di tuliskan dalam bentuk 𝐴=

1 2

1

𝐴 + 𝐴𝑡 + 2 𝐴 − 𝐴𝑡 = 𝐵 + 𝐶

(1.1)

Dimana 𝐴𝑡 adalah transpose dari A. Itu mudah untuk memeriksa bahwa B adalah simetri dan C skew- simetry, selanjutnya (1.1) adalah dekomposisi dari A. Dimana jumlah dari matriks simetri dan matriks skew- simetri. Karena himpunan simetri dan skew- simetri dari semua matriks simetri dan skew simetri dalam 𝑀𝑛 adalah subruang dari 𝑀𝑛 . Kita mempunyai 𝑀𝑛 = 𝑆𝑦𝑚 + Skew- Sym Lagi pula, jika S+T = S’+ T’, dimana S dan S’ adalah simetri dan T dan T’ adalah Skew – simteri, maka matriks 𝑈 = 𝑆 − 𝑆 ′ = 𝑇 − 𝑇′ Keduanya simetri dan skew- simteri. Karenanya dengan ketentuan bahwa char (𝐹) ≠2, kita harus mempunyai 𝑈 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑠𝑒𝑙𝑎𝑛𝑗𝑢𝑡𝑛𝑦𝑎 𝑆 = 𝑆 ′ 𝑑𝑎𝑛 𝑇 = 𝑇′. Dengan begitu 𝑀𝑛 = 𝑆𝑦𝑚 ⨁𝑆𝑘𝑒𝑤𝑆𝑦𝑚

Matur Sembah Nuwun Mugi - Mugi Saget Migunani Sedoyonipun Amiin….

SPANNING SETS DAN LINIER INDEPENDENCE Himpunan merentang dan Bebas Linier Sebuah himpunan vector merentang dalam ruang vector jika setiap vector dapat di tuliskan sebagai kom,binasi linier dari beberapa vector himpunan, berikut adalah definisi formalnya.

Definisi: Subspace spanned ( atau subspace generated) sebagai himpunan tak kosong 𝑆 dari vector 𝑉 adalah semua kombinasi linier dari vector 𝑆: 𝑆 = 𝑠𝑝𝑎𝑛 𝑆 = 𝑟1 𝑣1 + ⋯ + 𝑟𝑛 𝑣𝑛 𝑟𝑖 ∈ 𝐹, 𝑣𝑖 ∈ 𝑆 Bilamana 𝑆 = 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 adalah himpunan berhingga, kami notasikan 𝑣1 , … , 𝑣𝑛 atau span(𝑣1 , … , 𝑣𝑛 ) sebuah himpunan 𝑆 dari vector dalam 𝑉 adalah dikatakan span 𝑉, atau generate 𝑉, jika 𝑉 = span 𝑉. Jelaslah sebarang superset dari himpunan yang merentang adalah selalu sebuah himpunan yang merentang. Catatan; Semua R vector mempunyai himpunan yang merentang, karena 𝑉 dengan dirinya sendiri.