i
Prosiding
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika
2010
“Peran Matematika, Pendidikan Matematika serta Terapannya dalam Perkembangan Ilmu Pengetahuan dan Teknologi (IPTEK)”
Sabtu, 30 Januari 2010 Dome Teater, Universitas Muhammadiyah Malang
Program Studi Pendidikan Matematika
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Muhammadiyah Malang ii
Prosiding
Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika 2010 xi, + 1231 hlm,: 215 x297 mm Akhsanul In’am Dyah Worowirastri Ekowati Erwin Qodariyah Mohammad Edy Nurtamam
Katalog Dalam Terbitan (KDT)
Copyright © UMM Press Penerbitan Universitas Muhammadiyah Malang Jl. Raya Tlogomas No. 246 Malang 65144 Telepon (0341) 464318 Psw. 140 Fax. (0341) 460435
Edisi Februari 2010
ISBN 978-979-796-153-4
Tata Letak Desain Sampul
: Mohammad Edy Nurtamam : Hadi Putra Qibtiadi
iii
KATA PENGANTAR
Assalammualaikum Wr. Wb. Syukur Alhamdulillah atas berkat dan karuniaNya, Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Malang dapat melaksanakan kegiatan seminar nasional ini dengan baik. Sholawat serta salam semoga selalu berpadu, kepada hamba pilihan Muhammad SAW yang telah memberikan tuntunan dan panduan untuk selalu menjalankan titah Illahi. Kami selaku panitia mengucapkan banyak terima kasih kepada Bapak Rektor Universitas Muhammadiyah Malang atas dukungannya terhadap kegiatan seminar nasional ini, dan tak lupa kami mengucapkan banyak terima kasih kepada pemakalah utama khususnya kepada Bapak Prof. Madya Noor Shah Saad, Ph.D dan Bapak Sazelli Ab. Ghani, Ph.D dari Universiti Pendidikan Sultan Idris Malaysia, ucapan terima kasih selanjutnya kami ucapkan kepada para peserta yang telah menyukseskan seminar nasional ini. Perlu kami laporkan, bahwa seminar nasional ini diikuti oleh 322 peserta yang berasal dari 31 PT dalam negeri dan 1 PT luar negeri. Dari keseluruhan peserta tersebut, terdapat 124 pemakalah dan 198 peserta non pemakalah baik dosen, guru, mahasiswa dan pemerhati matematika. Sebuah pepatah tertuliskan Al ilmu bila amalin kassajari bila tsamarin, Ilmu yang tidak diamalkan bagaikan pohon yang tidak dapat memberikan manfaat, untuk itu terima kasih yang tiada hingga kepada para pemakalah yang telah berkenan menyampaikan ide dan gagasannya dalam kegiatan seminar ini. Hanya asa yang selalu menyapa, semoga segala yang disampaikan dicatat Allah sebagai amal soleh. Amin Kesempurnaan hanya milik Allah, segala suguh, lungguh dan gupuh yang kurang berkenan hanya maaf yang kami harapkan.
Wassalamu’alaikum Wr. Wb.
Malang, 12 Februari 2010 Panitia
iv
Daftar Isi Halaman Judul Kata Pengantar Daftar Isi Sidang Pleno Standard Kecemerlangan Pengajaran Matematik (SET@MATH): Satu Cadangan bagi Meningkatkan Kualiti Pengajaran Guru Matematik Prof. Madya Noor Shah Saad, Ph.D ......................................................................................................... 1
Pengetahuan Konseptual dan Prosedural dalam Pembelajaran Matematika Dr. Dwi Priyo Utomo................................................................................................................................ 21
Statistics Education the 21st Century: Some Issues of Concern Sazelli Ab. Ghani, Ph.D ............................................................................................................................ 32
Penyetaraan Item Response Theory (IRT) pada Tes Matematika Model Pilihan Ganda Menggunakan Desain Common-Item Nonequivalent Group dan Model Logistik 2 Parameter Dr. M. Syaifuddin ..................................................................................................................................... 59
Sidang Paralel Pendidikan Matematika Strategi Pembelajaran Matematika Berbasis Multiple Intelligences Abdul Halim Fathani ................................................................................................................................ 71
Report of Design Research Grade 2 in SD Lab Addition and Place Value Using Realistic Mathematics Education Agung Deddiliawan Ismail, Cut Khairunnisak, Elisabet Ayunika P ......................................................... 86
Pendekatan Metakognitif dalam Pembelajaran Matematika Akhsanul In’am ......................................................................................................................................... 94
Online Mathematical Game to Develop Student’s Critical Thinking Alfath Famela Rokhim, Sitti Maesuri Patahuddin ................................................................................. 105
Analisis Strategi Siswa SD Kelas VI Menyelesaikan Masalah Aritmetika (Studi Kasus di SDM 08 Dau Malang) Baiduri ................................................................................................................................................... 115
Implementasi Problem Posing pada Pembelajaran Pengantar Dasar Matematika di IKIP PGRI Madiun Darmadi ................................................................................................................................................. 134
Meningkatkan Performa Guru IPA dan Matematika melalui Kegiatan Lesson Study Berbasis MGMP di Surabaya Dwikoranto ............................................................................................................................................ 147
Matematika Realistik sebagai Implementasi Kurikulum Berbasis Kompetensi (KBK) Dwiyono ................................................................................................................................................. 154
v
Implementasi Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP) melalui Pembelajaran Matematika Berbasis Masalah dengan Soal Open-Ended pada Siswa Kelas 5 Sekolah Dasar Endang Setyo Winarni ........................................................................................................................... 167
Penerapan Program Iteman dalam Analisa Butir Soal sebagai upaya Peningkatan Kualitas Pembelajaran Erwin Qodariyah ................................................................................................................................... 183
Pengembangan Mathematics Mobile Learning Application sebagai Media Pembelajaran Alternatif Evangelista Lus Windyana Palupi, Sitti Maesuri Patahuddin ............................................................... 197
The Student Thinking Process of Junior High School in Solving the Geometry Problem Seen from the Rigorous Mathematical Thinking (RMT) Paradigm Harina Fitriyani..................................................................................................................................... 210
Operasi Aljabar yang Menyesatkan Hendarto Cahyono................................................................................................................................. 227
Pembelajaran melalui Strategi Think-Talk-Write dalam Kelompok Kecil untuk Meningkatkan Kemampuan Pemahaman dan Penalaran Matematik Siswa Hetty Patmawati .................................................................................................................................... 234
Respon Mahasiswa Program S1 Internasional Pendidikan Matematika 2009 terhadap Pembelajaran yang Mengintegrasikan Video dan Website Ika Kurniasari, Sitti Maesuri Patahuddin, Agustin Ernawati ................................................................ 244
Peningkatan Kemampuan Pemecahan Masalah Matematik melalui Pendekatan Problem Posing Ipah Muzdalipah .................................................................................................................................... 258
Tingkat Berpikir Siswa SMP Berdasarkan Tahap Berpikir Van Hiele di Kota Malang Istikomah ............................................................................................................................................... 267
Discovery Learning Bruner dalam Pembelajaran Matematika di Sekolah Dasar Juliana M.H. Nenohai ............................................................................................................................ 278
Optimalitation the Understanding of Mathematics Content Using Learning Model "BARTER" Kustiningsih ........................................................................................................................................... 290
Kemampuan Representasi Siswa SMA dalam Memahami Konsep Fungsi Marhan Taufik ....................................................................................................................................... 306
Sikap Siswa terhadap Pembelajaran Matematika di SMA Negeri 2 Batu Metta Sintia Wardhani ........................................................................................................................... 321
Pengembangan Lembar Kerja Siswa Berdasarkan Pembelajaran Berbasis Masalah pada Pembelajaran Pecahan di Kelas IV SD Minatun Nadlifah ................................................................................................................................... 335
Prinsip Kurikulum Matematika Sekolah: Kajian Orientasi Pengembangan Moh. Mahfud Effendi ............................................................................................................................. 347
Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kreatif Matematik dan Kemandirian Belajar Siswa Sekolah Menengah Atas melalui Problem Based Learning Nani Ratnaningsih ................................................................................................................................. 357
vi
Analisis Kebutuhan Pengembangan Model Pembelajaran Matematika Berpendekatan Tematik Berorientasi Pemecahan Masalah Terbuka pada Sekolah Dasar Ni Nyoman Parwati ............................................................................................................................... 372
Sikap Siswa terhadap Pembelajaran Matematika di SMP Negeri 03 Batu Nuril Indawati ........................................................................................................................................ 385
Skema Mahasiswa Calon Guru SD (S-1 PGSD) dalam Menyelesaikan Masalah Geometri Prayogo ................................................................................................................................................. 400
Peningkatan Pemahaman Mahasiswa pada Konsep Fungsi melalui Pembelajaran Kooperatif STAD dengan Portofolio di Prodi Pendidikan Matematika UMM Siti Inganah............................................................................................................................................ 409
Minds-On, Hands-On, dan Virtual Hands-On dalam Pembelajaran Matematika Siti Rokhmah, Sitti Maesuri Patahuddin, Mohamad Nur....................................................................... 418
Geometry, the Ancient Science, Give Contribution on International Mathematical Olympiad Competition Soewono ................................................................................................................................................. 429
Peningkatan Hasil Belajar Matematika Siswa melalui Pembelajaran Kompetisi yang didasari Konstruktivisme Sony Darmawan..................................................................................................................................... 444
Pemecahan Masalah dalam Pembelajaran Matematika di Sekolah Dasar Sri Harmini ............................................................................................................................................ 457
Pembelajaran Grafik Fungsi Dua Variabel dengan Program Matlab Sumargiyani, Kurnia Fermani Hidayah ................................................................................................ 470
Pembelajaran Berdasarkan Masalah untuk Materi Pokok Aritmetika Sosial di Kelas VII SMP Muhammadiyah 6 Surabaya Sunyoto Hadi Prayitno........................................................................................................................... 480
The Use of Electronical Book In Mathematical Learning Supratman .............................................................................................................................................. 495
Relationship between Personalities and Hemisphere Preferences Under Student’s Reading Mathematics Ability (A Descriptive Analytic Studies to Student Grade X Based on Cluster in Bandung Academic Year 2006-2007) Rina Oktaviyanthi .................................................................................................................................. 510
Tanggapan Calon Guru Biologi tentang Penggunaan Matematika dalam Perkuliahan Fisika Dasar Toto ........................................................................................................................................................ 527
Penggunaan Edutainment pada Pembelajaran Matematika di SD/MI Umy Zahroh ........................................................................................................................................... 533
Implementation of Computer Programs To Evaluate The Mathematics Teaching Uus Kusdinar ......................................................................................................................................... 545
Tipologi Belajar Siswa SMA pada Pemahaman Konsep Fungsi di Kota Malang Vivien Restianim .................................................................................................................................... 552
vii
Sikap Mahasiswa terhadap Pembelajaran Pada Mata Kuliah Keilmuan dan Keterampilan Program Studi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Malang Wahyu Ida Sri Hariyani ......................................................................................................................... 566
Kemampuan Matematika Anak Relektif dan Anak Impulsif Warli ...................................................................................................................................................... 590
Karakteristik Penalaran dalam Pemecahan Masalah Matematika Sukayasa ................................................................................................................................................ 604
Corelations between A Spiritual, Emotional Intelligence and Methods to Learn with the Achievements of Students Mathematics Education UAD 2008 Widayati ................................................................................................................................................. 618
Kemampuan Penalaran dan Pemecahan Masalah Mahasiswa Semester Awal Prodi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang Zaimatud Da’iyah .................................................................................................................................. 649
Matematika Murni Super Edge Magic Total Labeling of Graph Cn Plus M Chairul Imron, Suhud Wahyudi ............................................................................................................. 664
Pelabelan Total Sisi Ajaib dan Super Sisi Ajaib pada Graph mP2 dengan m Bilangan Asli Ganjil Fadrik Adi Fahrudin .............................................................................................................................. 670
Functionally Small Riemann Sums (FSRS) Integral Henstock-Pettis pada Ruang Euclide ℜn Hairur Rahman ...................................................................................................................................... 688
Applied Chebyshev Polynomials for Determine Spectrum and Signless Laplacian Eigen Values of Path and Cycle Graph Imam Fahcruddin .................................................................................................................................. 697
Penentuan Solusi Persamaan Matriks AX–XB = C untuk Matriks Bujur Sangkar dengan Metode Sylvester Indrawati, Cinta Sembiring, dan Suhendro ........................................................................................... 708
Model Dinamik Kesetimbangan Predator-Prey Imam Turmudzi ...................................................................................................................................... 720
Dimensi Metrik Graph Kincir dengan Pola K1 + mK3 Suhud Wahyudi, Sumarno ...................................................................................................................... 731
Estimasi Model Regresi dengan Metode Bootstrap Ummu Sholihah ..................................................................................................................................... 746
Matching Key Universal Berdasarkan Himpunan Kritis pada Pelabelan Total Sisi Ajaib Utari Wijayanti ...................................................................................................................................... 752
Matematika Terapan Aplikasi Analisis Dikriminan dalam Mengidentifikasi Faktor-faktor Dominan yang mempengaruhi Penilaian Masyarakat terhadap Keberlangsungan TPA Sarimukti di Kabupaten Bandung Achmad Zanbar Soleh, Yulianti Pratama, Sri Mulyani Sanroi .............................................................. 763
viii
Penerapan Association Rule Mining pada Data Nomor Unik Pendidik dan Tenaga Kependidikan untuk Menemukan Pola Sertifikasi Guru Amiruddin .............................................................................................................................................. 774
Analisis Latent Class Cluster dalam Pengelompokan Lahan Usaha Tambang Bahan Galian Industri Anna Chadidjah ..................................................................................................................................... 789
Visualization with Square Wave Plat Finite Different Method to Use the Matlab Programs Asnawi ................................................................................................................................................... 804
Development of Application Spatial Data Mining Using Spatial Autoregressive (SAR and Expansion SAR (E-SAR) for Mapping a Quality Education at East Java Province Atje Setiawan Abdullah and Rudi Rosadi .............................................................................................. 818
Spatial Data Mining Using Expansion Spatial Autoregressive (E-SAR) for Mapping of Quality Education Disparity Part of North and South of Java Island Atje Setiawan Abdullah .......................................................................................................................... 835
A Large Arcade Formation at the East Solar Limb on August 24, 2005 Bachtiar Anwar ...................................................................................................................................... 850
Identification of the Source Disturbances of Geomagnetic Storms on July 9-10, 2005 Bachtiar Anwar ...................................................................................................................................... 862 Coincidences between Solar Active Regions with Solar CME: Warning to Loop Geometry CME Bambang Setiahadi ................................................................................................................................ 872
Analisis Diskriminan Diskrit untuk Mengelompokkan Komponen Bernik Maskun ....................................................................................................................................... 880
Desain Kontrol Optimal PI pada Load Frequency Control menggunakan Self Organizing Genetic Algorithm (SOGA) Dedy Kurniawan, Muhammad Abdillah, Imam Robandi ......................................................... 887 Probabilitas Absorpsi Kebangkrutan Penjudi Dieky Adzkiya, Bandung Arry Sanjoyo .................................................................................................. 900
Poincare Map of a Time Periodic Ordinary Differential Equation Dwi Lestari............................................................................................................................... 907 Telaah Matematis pada Penentuan Awal Bulan Qomariyah Berdasarkan Metode Ephemeris Hisab Rukyat Dyah Worowirastri Ekowati .................................................................................................... 919 Analisis Kovarians untuk Eksperimen Faktor Tunggal dalam Pengujian Kadar Hg pada Saliva dengan Restorasi Amalgam yang Ditriturasi Secara Masinal dan Manual Enny Supartini ....................................................................................................................................... 935
A Model for Transmission of H1N1 Influenza Fitriyani ................................................................................................................................................. 942
Widrawal Normal Cost Memperhitungkan Foreign Exchange Rate pada Manfaat Pensiun Gatot Riwi Setyanto ............................................................................................................................... 951
ix
Pemodelan Data Long Memory Nonstasioner dengan Menggunakan Metode GPH (Geweke dan Porter-Hudak) (Study Kasus Mail Processing Centre Kota Bandung) Gumgum Darmawan .............................................................................................................................. 958
Kajian Efek Multikolenieritas terhadap Peluang Kekeliruan Tipe I dan II dalam Pengujian Hipotesis Parameter Regresi Multipel I Gede Nyoman Mindra Jaya ................................................................................................................. 970
Digital Signature with Appendix Inu Laksito Wibowo ............................................................................................................................... 988
Penerapan Model Markov untuk Menghitung Peluang Perubahan Indeks Prestasi Semester (IPS) Mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA UNSRI Irmeilyana, Robinson Sitepu, Dedi Yansen ............................................................................................ 998
Skema Numerik Konservatif untuk Persamaan Schrödinger Nonlinear Isnani Darti......................................................................................................................................... 1011
Konstruksi Maksima Modulus Transformasi Wavelet untuk Suatu Sinyal ULF Geomgnet John Maspupu ..................................................................................................................................... 1020
Estimasi Parameter pada Indeks Kemampuan Process Cpm dengan Menggunakan Metode Estimasi Bayesian Laksmi Prita Wardhani, Nines Natalia ............................................................................................... 1029
Perpindahan Panas pada Proses Quenching dengan Metode Numerik Lukman Hanafi, Dewi Safitri, Ali Altway ........................................................................................... 1040
Penerapan Metode Hungarian Untuk Menentukan Biaya Minimum Mohammad Edy Nurtamam ................................................................................................................ 1050
Algoritma Pembentukan Kunci untuk Sistem Kriptografi Elgamal atas Grup Multiplikatif ZP Muhamad Zaki Riyanto ....................................................................................................................... 1063
Design and Simulation Control System of Synchronous Machine with Sliding Mode Control (SMC) Method Mardlijah, Khusnul Mufida................................................................................................... 1077 Stability Analysis for SVIS Epidemic Model Marsudi ............................................................................................................................................... 1089
Analisis Regresi Time Series untuk Jumlah Penumpang Lion Air Rute Surabaya-Balikpapan Nuri Wahyuningsih, Sri Suprapti Hartatiati, Dian Rahmawati .......................................................... 1101
Tuning Parameter Model Predictive Control (MPC) for Max Plus Linear (MPL) Systems Nurwan, Subiono................................................................................................................... 1111 Model Deret Waktu Non Linear : Threshold Autoregressive (TAR) Riza Saadiah ....................................................................................................................................... 1119
Applied Customer Satisfaction Index (CSI) and Importance-Performance Analysis (IPA) to Know Student Satisfaction Level of Sriwijaya University Library Services Sri Indra Maiyanti, Irmeilyana,Verawaty ........................................................................................... 1135
x
The Existence of Eigen Values for Reducible Matrices in Max-Plus Algebra Subiono ............................................................................................................................................... 1147
Ridge-MM sebagai Salah Satu Metode Regresi Ridge yang Robust terhadap Data Pencilan Sudartianto ......................................................................................................................................... 1159
Pendekatan Teori Kontrol bagi Penyelesaian Matematika Keuangan Sugiyarto ............................................................................................................................................. 1172
On the Moving Electric Field Dynamic in Microwave Heating Toto Nusantara ................................................................................................................................... 1181
Inference and Confidence Interval for Regression Curve in Spline Semi parametric Model Wahyu Wibowo, Sri Haryatmi, I Nyoman Budiantara ........................................................................ 1191
Optimasi Jarak Cluster pada Data Intrusi Jaringan Menggunakan Multi Objective Genetika Algoritma Wasis W.A, Sumpeno Mardi, Moch Hariadi ....................................................................................... 1204
Strategi Menghindar terhadap Serangan Musuh menggunakan Hierarchy Finite State Machine Yunifa Miftachul Arif, Supeno Mardi, Mochamad Hariadi ................................................................ 1215
xi
Kelompok SEMINAR NASIONAL Matematika MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 2010 Murni SUPER EDGE MAGIC TOTAL LABELING OF GRAPH CN PLUS M Chairul Imron, Suhud Wahyudi Mathematics Department ITS Surabaya {imron-its,suhud}@matematika.it.ac.id
Abstrak We will find super edge magic total labeling of graph C n plus m , where n is odd and m
n 2
is a cycle graph with expanded m edges.
Keywords: Cycle Graph, Super edge magic total labeling
1. PENDAHULUAN
Graph tak berarah G selanjutnya disebut graph G , didefinisikan sebagai pasangan terurut
G
(V , E) dengan V adalah himpunan hingga tak kosong
simpul dan E adalah himpunan bagian dari V V yang dinamakan dengan sisi. Graph C n plus m dengan n gasal dan m
n 2
adalah graph cycle dengan n
simpul dan n sisi serta m adalah banyaknya sisi yang menghubungkan antara simpul-simpul yang ada pada graph cycle, seperti pada Gambar 1.
Gambar 1. Graph C5 plus m
2 , C7 plus m 3 dan C9 plus m 4
Pelabelan yang domainnya berupa himpunan simpul, himpunan sisi, atau keduanya yang biasanya disebut dengan pelabelan simpul, pelabelan sisi, atau pelabelan total. Sedangkan evaluasi dari pelabelan terdiri tiga macam yaitu evaluasi simpul, evaluasi sisi atau evaluasi total yaitu evaluasi pada simpul dan sisi. Pelabelan total sisi ajaib yakni pelabelan dimana jumlah label sisi dan label simpul-simpul yang menempel atau yang insiden pada sisi tersebut selalu
664
Kelompok SEMINAR NASIONAL Matematika MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 2010 Murni sama untuk setiap sisi. Jumlah tersebut disebut angka ajaib, yang biasa dilambangkan dengan simbol huruf k. Pada tahun 2006 (Imron, 2006), telah dipublikasikan graph ajaib dari graph cycle, yang membahas bagaimana memberi label pada graph cycle sehingga graph cycle tersebut mempunyai sifat ajaib. Ide pelabelan ini dikenalkan pertama kali oleh Sedlacek (Sedlacek, 1963) pada 1960an, selanjutnya diformulasikan oleh Kotzig dan Rosa (Rosa, 1970} pada tahun 1970-an. Perhatikan definisi tentang pelabelan dibawah ini. Definisi Pelabelan Pelabelan total sisi ajaib pada (p,q)-graph G adalah fungsi bijektif :V (G)
E(G)
{1, 2, 3, .., p
q}
sedemikian sehingga ada suatu bilangan konstan k dimana (u)
dengan
u, v V dan
(Wallis, 2001). Jika
(v)
(uv) k
uv E dan k dinamakan jumlahan ajaib dari graph G (V (G)) {1, 2, 3, .., p } maka graph G dinamakan pelabelan
super total sisi ajaib(Enomoto, 1998). Tujuan dari penelitian ini antara lain memberi label graph C n plus m dengan n gasal dan m
n 2
dengan bilangan bulat positif sehingga mempunyai
sifat super total sisi. Manfaat dari penelitian ini adalah menambah wawasan keilmuan tentang pelabelan graph dan kriptografi. Manfaat yang lain, dapat diterapkan untuk menyusun skema pembagian rahasia yang biasanya digunakan sistem pengamanan elektronik yang digunakan dalam perbankan, dan jaringan komunikasi.
2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Graph C n plus m dengan n gasal dan m
n 2
adalah sebuah graph cycle
C n dengan menambah m sisi pada graph tersebut. Telah dipublikasikan graph C n
plus satu (Imron, Juli 2009) dan C n plus dua (Imron, Okt 2009) yang menceriterakan tentang pelabelan total sisi ajaib. Paper ini akan membahas pelabelan super total sisi ajaib dari graph C n plus m dengan n gasal dan m
665
n 2
Kelompok SEMINAR NASIONAL Matematika MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 2010 Murni . Sebelum mencari pelabelan super total sisi ajaib, dicari terlebih dahulu batas bawah dan batas atas dari graph C n plus m dengan n gasal dan m n 2
umum graph C n plus m dengan n gasal dan m
n 2
. Secara
dapat dilihat pada Gambar
2. Perhatikan teorema dibawah ini. V1 Vn
V2
Vn-1
V3
V4 V5
Gambar 2. Graph C n plus m
Teorema 1: Batas bilangan ajaib dari pelabelan super total sisi ajaib dari graph C n plus m n 2
dengan n gasal dan m
5n 2
adalah
3n 4nm 2m 2 8m 2 2(n m)
5n 2
k
3n 8nm 2m 2 2(n m)
Bukti: Perhatikan Gambar 2, jika S v adalah jumlah label pada simpul dan S e adalah jumlah label pada sisi. Untuk graph C n plus m dengan n gasal dan m banyaknya simpul adalah p
n dan banyaknya sisi adalah q
n 2
,
n m . Konstruksi
graph C n plus m menyebabkan m 1 simpul berderajat tiga dan satu simpul berderajat m 1 , sehingga m 2
qk
2S v
Se
vi
( m 2) v j
1 m 2
( n m) k
1 2 ... n (n 1) ... (2n m) S v
vi
( m 2) v j
1
(2n m)(2n m 1) 2
666
m 2
Sv
vi 1
( m 2) v j
Kelompok SEMINAR NASIONAL Matematika MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 2010 Murni
Untuk mendapatkan nilai k yang kecil, maka label pada simpul harus bilangan kecil, sehingga m 2
Sv
vi
[1 2 n] [1 2 (m 2) ] (m 2)1
(m 2) v j
1
n2
n m2 2
7m 2
dan untuk mendapatkan nilai k besar maka label pada simpul yang berderajat besar harus bilangan besar, sehingga m 2
Sv
vi
(m 2) v j
[1 2 n] [n (n m 2) ] (m 2) n
1
n2
n 4nm m 2 2
3m 2
jika ketiga persamaan disubstitusikan didapat
5n 2
3n 4nm 2m 2 2
8m 2
(m n) k
5n 2
3n 8nm 2m 2 2
atau
5n 2
3n 4nm 2m 2 8m 2 2(n m)
5n 2
k
3n 8nm 2m 2 2(n m)
Disamping batasan angka ajaib dari pelabelan super total sisi ajaib dari graph C n plus m tersebut, ditemukan pula sebuah teorema tentang pelabelan super total sisi ajaib, yaitu Teorema 2. Graph C n plus m dengan n gasal dan m
n 2
mempunyai sifat pelabelan super
total sisi ajaib dengan angka ajaib
k
5n 5 2
Bukti: Graph C n plus m dengan n gasal dan m dan banyaknya sisi adalah q
n 2
, banyaknya simpul adalah p
n
n m . Konstruksi graph C n plus m seperti pada
gambar di atas. Didefinisikan pelabelan pada simpul adalah
667
Kelompok SEMINAR NASIONAL Matematika MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 2010 Murni
1 i 2 n 1 i 2
(v i )
untuk i gasal untuk i genap
dan pelabelan sisi adalah (v1v n ) (v 2 v n 1 )
2n 1 n 1
(v i v i 1 )
2n 1 i
(v1v j )
2n m 1
i 1, 2,, n 1 j 1 2
3,, n 2 ( gasal)
j
Untuk simpul v1 dan v2 , maka bilangan ajaibnya adalah (v1 )
1 n 3 2 2n n 3 1 2n 2
(v 2 ) (v1v 2 ) k
5n 5 2
Sedangkan untuk simpul v2 dan v n 1 , maka bilangan ajaibnya adalah
n 3 2 2n 2 n 1 n 3 2n n 1 2 2
(v 2 ) (v n 1 ) (v 2 v n 1 ) k
5n 5 2
Beberapa contoh dari pelabelan super total sisi ajaib dari graph C n plus m dengan
n 5, n
7 dan n 9 yang dapat dilihat pada Gambar 3. 1
1
15
10
14
4 3
4
11
7
6
9
9
5 8
7
17 16
2
10 5
2 8
13
12 3
11
6
5
19
11 10 9 20 12
1
6 22
2 16
4 13
17
21
8 14 3
Gambar 3. Contoh pelabelan super total sisi ajaib
668
18
15
7
Kelompok SEMINAR NASIONAL Matematika MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 2010 Murni 3. KESIMPULAN
Dari uraian diatas dapat diambil kesimpulan bahwa graph C n plus m dengan n gasal dan m
k m
n 2
mempunyai sifat super total sisi ajaib dengan angka ajaib
5n 5 . Batasan angka ajaib agar graph C n plus m dengan n gasal dan 2 n 2
mempunyai sifat super total sisi ajaib adalah
5n 2
3n 4nm 2m 2 8m 2 2(n m)
k
5n 2
3n 8nm 2m 2 2(n m)
DAFTAR PUSTAKA
A.Kotzig and A. Rosa (1970), Magic Valuations of Finite Graph, Canad. Math. Bull. 13 , 451-461. Chairul Imron, Bandung AS (2006), Magic Graph on Cycle, The First International Conference on Mathematics and Statistics, UNISBA, Bandung, 19-21 Juni 2006. Chairul Imron, Suhud Wahyudi (2009), Critical Set of Edge Magic Total Labeling of Expanding Cycle Graph, Conference Internasional NAMES 2009, Banjarmasin 3-4 Juli 2009. Chairul Imron, Suhud Wahyudi (2009), Critical Set of Edge Magic Total Labeling of Cycle Plus 2 Edges Graph, Indo-MS Internasional Conference on Mathematics and Its Applications 2009 (IICMA 2009), UGM, Jogjakarta 12-13 Oktober 2009. Enomoto, H., A.S. Llado, T. Nakamigawa and G. Ringel (1998), Super EdgeMagic Graphs, SUT Jurnal of Mathematics, Vol. 34, No. 2, 105-109. J. Sedlacek, problem 27 (1964), Theory of Graphs and it's Applications, (Smolenice, 1963), 163-164, Publ. House Czechoslovak Acad. Sci.,Prague. W.D. Wallis (2001), Magic Graphs, Birkhauser, Boston.
669
