ISBN : 978-979-25-0712-6
PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
“ Trend Penelitian Matematika dan Pendidikan Matematika di Era Global” Yogyakarta, 24 November 2007
Penyelenggara : Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY dengan Himpunan Matematika Indonesia (Indo-MS) Wilayah Jateng & DIY
Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta 2007
PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA 24 November 2007 FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta
Artikel‐artikel dalam prosiding ini telah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika pada tanggal 24 November 2007 di Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta
Tim Penyunting Artikel Seminar : 1. Dr. Hartono 2. Dr. Djaelani 3. Dr. Rusgianto HS 4. Sahid, M.Sc.
Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta 2007
SAMBUTAN KETUA PANITIA
Selamat datang di Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan
Matematika yang diselenggarakan oleh Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY yang bekerja sama dengan Himpunan Matematika Indonesia (INDO MS) wilayah Jateng DIY.
Seminar dengan tema ” Trend Penelitian Matematika dan Pendidikan
Matematika di Era Global” bertujuan untuk saling mempertemukan para peneliti, praktisi, dan pemerhati bidang matematika dan pendidikan matematika, agar dapat saling bertukar pendapat dan informasi, serta bersinergi untuk kemajuan dan pengembangan matematika dan pendidikan matematika.
Booklet ini berisi satu makalah utama, susunan acara, kumpulan abstrak,
dan jadwal sidang kelompok paralel, dengan harapan dapat membantu para peserta seminar dalam mengikuti kegiatan seminar ini. Secara umum, dapat kami laporkan bahwa selain makalah utama, ada kurang lebih 70 judul karya ilmiah dan hasil penelitian yang akan dipresentasikan dalam seminar ini. Makalah‐makalah ini dikelompokkan menjadi 4, yaitu Pendidikan Matematika, Statistika, Matematika Murni, Matematika Terapan dan Komputer.
Dalam kesempatan yang baik ini, kami sampaikan banyak terima kasih
kepada Prof. Suryo Guritno, Ph.D yang telah berkenan menjadi pemakalah utama. Terima kasih juga kami haturkan kepada seluruh peserta seminar ini atas partisipasinya dan kepada semua pihak yang telah membantu terselenggaranya seminar ini. Selajutnya, kami panitia mohon maaf apabila ada kekurangan‐kekurangan dalam penyelenggaraan seminar ini.
Akhir kata, kami ucapkan selamat berseminar.
Yogyakarta, 22 November 2007
Ketua Panitia,
Atmini Dhoruri, M.S
Daftar Isi Tim Penyunting Artikel Sambutan Ketua Panitia Daftar Isi Makalah Utama Statistika (Ilmu Statistik) Untuk Penelitian (Suryo Guritno, Guru Besar Statistika FMIPA UGM) Makalah Pendidikan Matematika Kode PM ‐ 1
PM ‐ 2 PM ‐ 3
PM ‐ 4
PM ‐ 5 PM – 6
PM – 7
PM – 8
Judul Upaya Meningkatkan Kemampuan Mahasiswa Dalam Memecahkan Masalah Dengan Mengimplementasikan Metode Problem Posing Dalam Setting Pembelajaran Kolaboratif (Ali Mahmudi, Himmawati Puji Lestari) Alternatif Media Pembelajaran Geometri Ruang Di Perguruan Tinggi (A. Prabowo) Upaya Meningkatkan Pemahaman Matematika Melalui Model Belajar Kooperatif Tipe Student Team Achievement Division (Stad), Jigsaw Dan Team Game Tournamen(Tgt) Pada Siswa Sekolah Menengah Pertama (Asep Ikin Sugandi) Studi Tentang Strategi Guru Dalam Pembelajaran Matematika Menyikapi Pergeseran Paradigma Pendidikan Teacher Centered Ke Student Centered (Endang Listyani, Dhoriva UW) Model Klinik Matematika SMP (Hasratuddin) Persepsi Siswa SMA/MA Jurusan IPS Terhadap Mata Pelajaran Matematika (Studi Kasus : Siswa Kelas XII SMA/MA Di Kabupaten Sleman Yogyakarta) (Mugi Susetyani) Pembelajaran Kalkulus I Yang Integratif‐Interkonektif Di Fakultas Saintek Uin Sunan Kalijaga Yogyakarta (Pengembangan Pembelajaran Dan Bahan Ajar) (Khurul Wardati) Mathematical Thinking Across Multilateral Culture ( By Marsigit)
Hal 1
21 39
49
65 77
93
115
PM – 9
PM – 10
PM – 11
PM – 12
PM – 13
PM – 14
PM – 15
PM – 16
PM – 17
PM – 18
Keefektifan Pembelajaran Kooperatif Tipe Stad Untuk Pokok Bahasan Persamaan Garis Lurus Di Kelas VIII SMP (Mujiasih) Pembelajaran Dengan Pendekatan Metakognitif Dalam Upaya Meningkatkan Kemampuan Pemecahan Masalah (Nila Kesumawati ) Penerapan Model Pembelajaran Problem Solving Dengan Memanfaatkan Alat Peraga Untuk Meningkatkan Hasil Belajar Geometri Di Klas VII B SMP N 2 Demak Tahun 2006/07 (Rasiman) Pembelajaran Dengan Pendekatan Kontekstual Untuk Meningkatkan Kemampuan Koneksi Matematik Siswa SMK (Rudy Kurniawan) Menentukan FPB dan KPK Menggunakan Tabel Pembagian Bertingkat (Pengajaran Matematika Sekolah Dasar dan Menengah) (Suprapto) Model Pembelajaran Sentra Untuk Anak Usia Pra Sekolah Di KB‐TKIT Salman Al Farisi 2 Yogyakarta (Ani Dwi Lestari) Upaya‐Upaya Mengembangkan Kecerdasan Logical/Mathematical Pada Pembelajaran Terpadu Model Webbed Berbasis Kecerdasan Jamak Di TKIT Salman Al Farisi Ii Yogyakarta (Studi Eksplorasi) (Caturiyati, Kana Hidayati, Himmawati PL) Implementasi Model Pembelajaran Kooperatif Tipe Teams‐Games‐Tournaments (TGT) Guna Meningkatkan Kemandirian Belajar Mahasiswa Pada Perkuliahan Statistika Non Parametrik Mahasiswa Program Studi Pendidikan Matematika FMIPA UNY (Elly Arliani, Mathilda Susanti, Kana Hidayati) Pengembangan Kemampuan Berpikir Kritis Dan Kreatif Siswa SMP Dalam Matematika Melalui Pendekatan Advokasi Dengan Penyajian Masalah Open‐Ended (Ibrahim) Implementasi Pembelajaran Matematika Berwawasan Lingkungan dengan Pendekatan Kooperatif Sebagai Upaya Mengembangkan Sikap Ramah Lingkungan dan Meningkatkan Hasil Belajar Siswa di SMA Muhammadiyah 1 Yogyakarta (Kana Hidayati, Elly Arliani, Heri Retnawati)
139
153
165
177
195
203
213
243
271
295
Upaya Peningkatan Kualitas Pembelajaran Komputasi Statistik Melalui Perkuliahan Online Pada Mahasiswa Program Studi Matematika FMIPA UNY (Kana Hidayati, Caturiyati, Himmawati Puji Lestari) Penggunaan Proses Metakognitif Dalam Belajar Matematika (Risnanosanti) Penerapan Pembelajaran Berbasis Masalah Pada Perkuliahan Proses Stokastik (The Implementation Of Problem Based Learning) On Stochastic Processes Course (Mathilda Susanti , Dhoriva Urwatul Wutsqo) Pembelajaran Open‐Ended Untuk Meningkatkan Kemampuan Berpikir Kreatif (Sri Hastuti Noer)
313
Peningkatan Keaktifan Dalam KBM Dan Prestasi Belajar Siswa Oleh Guru Melalui Teknis Pembelajaran Dua Tinggal Dua Tamu ( Two Stay Two Stray ) Di SMP Negeri 2 Pringkuku, Pacitan (SUGENG SURYANTO) PM – 24 Masalah‐Masalah Dalam Penerapan Pendekatan Pembelajaran Dengan Menggunakan Kelompok Kooperatif (Syarifah Fadillah) PM – 25 Pemahaman Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) Siswa Kelas 6 Sekolah Dasar di Jakarta Pusat : Studi Kasus di SDN Kramat 07 Petang Jakarta Pusat ( Halolongan Simanjuntak) Matematika Sekolah Yang PM – 26 Pembelajaran Memberdayakan Siswa Dalam Kehidupan Bermasyarakat (Sugiman) Sociomathematical NormsDalam PM – 27 Penggunaan Pembelajaran Matematika (Kadir) Makalah Matematika
387
PM – 19
PM – 20 PM – 21
PM – 22 PM – 23
Kode M – 1 M – 2 M – 3 M – 4 M – 5
Judul Regresi Kuadrat Terkecil Parsial : Suatu Model Kalibrasi Multirespon (Aji Hamim Wigena) Penanganan Data Hilang Pada Data Deret Waktu (Aji Hamim Wigena) Ammi Pada Data Cacahan: Model Log-Bilinear (Alfian Futuhul Hadi) Analisa Kestabilan Sistem Switch Linear (Ari Suparwanto, Salmah) Van Hiele Dan Geometri ( Apa, Mengapa dan
335 349
365
461
475
485
497
Hal 509 515 521 541 545
M – 6 M – 7 M – 8
M – 9 M – 10 M – 1 1 M – 12
M – 13 M – 14
M – 15 M – 16
M – 17
M – 18
M – 19 M – 20
Bagaimana ) (Epon Nur’aeni) Metode Pendeteksian Multi Komponen (Erfiani )
557
Beberapa Metode Pemodelan Pada Data Deret Waktu Yang Mengandung Pencilan (Erfiani) Penerapan Kestabilan Titik Equilibrium Sistem Reaksi Difusi Pada Masalah Epidemik Model Sir (Himmawati Puji Lestari, Caturiyati, Kana Hidayati) Model Respon Multinomial Saling Berkorelasi dengan Generalized Extreme Value (GEV) (Jaka Nugraha) Identifikasi Parameter dalam Model Multinomial Probit (Jaka Nugraha) Pendugaan Resiko Relatif Pada Pendugaan Area Kecil (Kismiantini) Mengembangkan Digital Library Skripsi Guna Mengoptimalkan Sumber Daya Skripsi Digital Sebagai Sistem Pendukung Riset Dan Proses Pembelajaran (Maman Fathurrohman, Novaliyosi, Nurul Anriani) Analisis Survival Dan Mean Residual Life Penduduk (Novaliyosi, Nurul Anriani) Simulasi Monte Carlo Dengan Menggunakan Splus Untuk Membangun Interval Konfidensi Mean Distribusi Log Normal (Andi Permana Putera, Rohmatul Fajriyah, Epha Diana Supandi) Lattice Ideal Dan Annihilator Aljabar BCI (Yeni Susanti) Estimasi Model Regresi Lognormal Pada Sampel Tersensor Tipe I Dengan Menggunakan Metode Maximum Likelihood (Arie Ayu Prasasti, Toha Saifudin, Suliyanto) Peranan Analisis Correspondence Untuk Struktur Ekonomi Di Jawa Timur (Asma Johan, Hery Tri Sutanto) Perbandingan Model Neural Network dan Regresi Logistik pada Kasus Masa Studi Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY ( Dhoriva Urwatul Wutsqa, Sri Rezeki) Grup Topologis (Diah Junia Eksi Palupi)
563
Program Nonlinear Fuzzy Probabilistik Interaktif untuk Model Inventory (Dwi Ertiningsih)
737
569
583 601 615 623
657 667
677 687
697
715
731
757
M – 27
Estimasi Parameter Model Regresi Log Gamma Pada Sampel Lengkap Dengan Metode Maksimum Likelihood (Erna Purwatiningsih, Toha Saifudin, Suliyanto) Aplikasi Estimator Cubic Spline dalam Regresi Nonparametrik Multiprediktor dengan Error Lognormal pada Data Pasien Myeloma (Kanker Tulang) (Fajar Aulia Rakhman , Nur Chamidah , Toha Saifudin) Hasil Kali Tensor pada N‐grup dan Near‐ring (Indah Emilia Wijayanti) Metode Bayesian Information Criterion Untuk Model Regresi Polinomial (Hery Tri Sutanto) Penyelesaian Masalah Nilai Eigen Matriks Nonsimetris Dengan Metode Supertriangularization Dilanjutkan Dengan Metode Qr Menggunakan Matlab (Maharani) Kompresi Citra Berwarna Dengan Menggunakan Jaringan Syaraf Tiruan Self Organizing MAP Kohonan (Marji) Deret Ellips Dan Lintas Elektron (Midjan)
M – 28
Prinsip Inklusi Eksklusi Lanjut (Midjan)
833
M – 29
Penyelesaian Alternatif Persamaan Diffrential Eksak (Midjan) Estimasi Model Regresi Cox Dengan Hazard Dasar Nonparametrik Pada Data Tersensor Tipe I (Novita Anadia, Toha Saifudin, Suliyanto) Estimasi Model Regresi Nonparametrik Dengan Error Lognormal Berdasarkan Estimator Kernel Menggunakan OSS‐R (Nur Chamidah, Toha Saifudin, I Made Tirta, Budi Lestari) Keterkendalian Sistem Linear Atas Ring Komutatif Melalui Pendekatan Model Polinomial (Primastuti Indah Suryani, Sri Wahyuni) Pengaruh Misspesifikasi Desain Survey Pada Pendugaan Area Kecil Dengan Pendekatan Generalized Regression (Anang Kurnia, Bagus Sartono, dan Rahayu Wulandari) Aplikasi Estimator Penalized Spline Dalam Regresi Nonparametrik Multiprediktor dengan Error
849
M – 21
M – 22
M – 23 M – 24 M – 25
M – 26
M – 30
M – 31
M – 32
M – 33
M – 34
767
773 783 795
815
827
859
871
881
901
919
M – 35
M – 36
M – 37
M – 38
M – 39
M – 40 M – 41 M – 42 M ‐ 43
Lognormal pada Data Balita di RSU Haji Surabaya (Shofiyatul Hidayah, Nur Chamidah , Toha Saifudin) On The Mcshane Integral For Riesz‐Spaces‐Valued Functions Defined On Real Line ( Yosephus D. Sumanto, Muslim ansori) Model Hazard Proporsional Semiparametrik dengan Hazard Dasar Parametrik (Toha Saifudin dan Suliyanto) Penggunaan Kuosien Rayleigh Dalam Metode Pangkat Guna Mempercepat Perhitungan Pagerank (M Zainal Arifin dan Daniel Oranova) Pendekatan Multidimensional Scaling Dalam Mengevaluasi Keeratan Hubungan Antar Item Test (Dian Handayani,Anang Kurnia) Diskretisasi Data Kredit Konsumtif Menggunakan Metode Entropy‐Based Discretization dan Chi‐square (Bagus Sartono, Aji H. Wigena, Bayu Alfiansyah) Pelabelan Total Super (A,D) Sisi Anti Ajaib Dan (A,D) Sisi Anti Ajaib Dari Np3 (Dasa Ismaimuza) Kriteria Pemilihan Variabel Dengan Msep Dalam Regresi Linear Multiple (Muhamad Sabirin) Pembentukan cluster dalam Knowledge Discovery in Database dengan Algoritma K‐Means (Sri Andayani) Blog sebagai Media Aktualisasi Daya Matematika (Bambang Sumarno HM)
927
937
947
959
967
975 981 991 1001
Analisa Kestabilan Sistem Switch Linear Oleh : Ari Suparwanto Salmah Jurusan Matematika FMIPA UGM
[email protected] Abstrak Dalam makalah ini dibahas tentang kestabilan sistem switch linear menggunakan fungsi Lyapunov kuadratik. Kata kunci : sistem switch, kestabialan, fungsi Lyapunov.
Pendahuluan Pada umumnya sistem kendali bekerja di bawah perubahan diskret dari dinamikanya. Sebagai contoh, perpindahan dari satu manuver terbang pada helikopter model (seperti diam (hover), naik, turun, belok kiri, belok kanan, take‐off, landing secara vertikal dan sebagainya) ke manuver lain. dapat digambarkan sebagai sistem diskrit, sedang dinamika helikopter sendiri adalah sistem kontinu. Sistem seperti di atas disebut sistem switch (switched system). Dalam makalah ini dibahas tentang analisa kestabilan dari sistem switch . Pembahasan 1. Sistem switch
Sistem switch dideskripsikan oleh persamaan
x& = f σ (x)
dengan { f p p = 1,L, N } adalah keluarga lapangan vektor yang cukup kecil dari ℜ n ke ℜ n dan σ adalah fungsi waktu konstan sepotong‐sepotong yang disebut
sinyal switch (switching signal). Sinyal switch dapat hanya bergantung pada waktu, bergantung pada state atau keduanya. Trajektori x kontinu di mana‐ mana. Diasumsikan semua sistem memiliki ekuilibrium pada titik asal, yaitu di titik nol. Dalam makalah ini dipergunakan kelas khusus sistem switch yang didefinisikan sebagai berikut. Simbol r memberikan mode dinamik yang berbeda yang diberikan oleh L={1,2,…,r} dan waktu switch adalah
Dipresentasikan dalam SEMNAS Matematika dan Pendidikan Matematika 2007 dengan tema “Trend Penelitian Matematika dan Pendidikan Matematika di Era Global” yang diselenggarakan oleh Jurdik Matematika FMIPA UNY Yogyakarta pada tanggal 24 Nopember 2007
Ari S, Salmah
0 = t 0 < t1 < L . Suatu mode yang aktif pada barisan interval [t k , t k +1 ] diberikan i (k ) ∈ I .
oleh
Jika
jumlah
switch
berhingga,
berarti
0 = t 0 < t1 < ...t k , t k +1 = t k + 2 = ... = ∞ . Asumsi 1. Terdapat waktu diam (dwell time) konstan TD > 0 sehingga t k +1 − t k ≥ TD untuk semua k ≥ 0 .
Misalkan x(t ) ∈ ℜ n adalah state sistem dan x(t 0 ) = x 0 adalah nilai awal.
Untuk setiap k, state x(t) kontinu dalam t ∈ [t k , t k +1 ] dan memenuhi persamaan berikut
x& (t ) = Ai x(t ) + Bi w(t ), x(t k ) = x k ,
(1)
dengan w(t) adalah fungsi t. Nilai awal untuk setiap interval diberikan oleh
x( k + 1) = E hi x(t k−+1 ), h = i ( k + 1) ,
(2)
dengan k ≥ 0 dan x( s − ) = lim x(t ) t↑ s
Persamaan (2) memberikan loncatan state yang mungkin dari sistem,
yang terjadi jika E hi ≠ I . Pada persamaan (1)‐(2), state x(t), t ∈ [0, ∞ ) ditentukan dengan tunggal oleh {u (k )}∞k =0 , w(t ) dan x 0 . 2. Analisa kestabilan sistem switch dengan waktu diam
Diberikan kriteria kestabilan sistem switch linear dalam definisi sebagai
berikut. Definisi 1. Titik asal dari sistem (1) stabil eksponensial denagn derajat kestabilan β jika terdapat konstanta positif M sedemikian sehingga
x(t ) ≤ Me − βt x(0)
Jika waktu diam diketahui, berikut ini diberikan kelas dari fungsi
Lyapunov lemah (weak Lyapunov functions). Dipandang fungsi yang didefinisikan untuk {t k }∞k =0 dan {i ( k )}∞k =0 :
v( x, t ) = vi ( x), t ∈ [t k , t k +1 ], i = i (k ) ,
(3)
dengan setiap vi (x) adalah C 1 yang memenuhi
542
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
M – 4 : Analisa Kestabilan Sistem Switch Linear
≤ vi ( x, t ) ≤ b x .
2
ai x
2
(4)
(5)
Untuk sembarang x ∈ ℜ n dan t ≥ t 0 maka 2
≤ v ( x, t ) ≤ b x , 2
ax
a = min a i , b = maxb i . i
i
Terlihat bahwa v ( x, t ) ≥ 0, x = 0 ⇔ v( x, t ) = 0, ∀t , dan v ( x(t ), t ) → 0 (t → ∞ ) mengakibatkan x (t ) → 0 . Proposisi 1. Misalkan x(t) state sistem (1). Andaikan terdapat Pi dan
α , μ > 0, αTD > ln μ dan
d v( x(t ), t ) < −2αv( x(t ), t ), t ∈ (t k , t k +1 ) , dt
(6)
v ( x(t k ), t k ) < μ 2 v ( x (t k− ), t k− ) ,
(7)
untuk x (t ) ≠ 0 . Fungsi Lyapunov sistem switch v(x(t),t) akan monoton turun untuk setiap interval [t k , t k +1 ] , barisan {v ( x (t k ), t k }∞k =0 akan monoton turun dan titik asal sistem (1) stabil eksponensial denagn derajat kestabilan lebih besar dari
β = min{α , α − ln μ / TD } > 0 . Bukti : Pertidaksamaan (6) mengakibatkan bahwa v ( x (t ), t ) turun monoton pada t ∈ [tk , tk +1 ) . Dari (6) dan (7), maka
v( x(tk−+1 ), tk−+1 ) ≤ e−2α (tk +1 −tk ) v( x(tk ), tk ) < μ 2 e−2α ( tk +1 −tk ) v( x(tk ), tk )
sehingga v ( x(tk ), tk ) < μ 2 k e −2α ( tk +1 −t0 ) v( x(t0 ), t0 )
Dengan demikian, diperoleh
v( x(t ), t ) ≤ e−2α ( tk +1 −tk ) v( x(tk ), tk ) < μ 2 k e −2α ( t −t0 ) v( x(tk ), tk ) ≤μ
2
t TD
e −2α (t −t0 ) v( x(t0 ), t0 ) −2(α −
e
Matematika
ln μ )( t − t0 ) TD
v( x(t0 ), t0 )
543
Ari S, Salmah
untuk t ∈ [tk , tk +1 ), k ≥ 0, tk < ∞ dan v ( x (t ), t ) ≤ e −2α ( t −t0 ) v ( x (t0 ), t0 )
untuk k ≥ 0 . Dengan menentukan β = min{α , α − ln μ / TD } , diperoleh 1 1 v( x(t ), t ) ≤ e −2 β ( t −t0 ) v( x(t0 ), t0 ) a a b −2 β ( t −t0 ) 2 ≤ e v( x(t0 ), t0 ) x(t0 ) a
x(t ) ≤ 2
sehingga x(t ) konvergen erksponensial ke nol.. Fungsi (3) disebut fungsi Lyapunov jika memenuhi kondisi seperti Proposisi 1. Selanjutnya dipandang fungsi Lyapunov yang berbentuk kuadratik vi ( x ) = x T Pi x ,
(8)
dengan Pi matriks simetris definit positif.
Maka a = min λ min ( Pi ) dan b = max λ max ( Pi ) , dan sebagai akibat Proposisi i
i
1 adalah sebagai berikut. Akibat 1. Misalkan terdapat Pi dan α , μ yang memenuhi
α > 0, μ > 0, αTD > ln μ ,
Pi > 0, i ∈ I ,
AiT Pi + Pi Ai + 2αPi < 0, i ∈ I ,
μ 2 Pi > E hiT Ph E hi , ( h, i ) ∈ S ,
maka v(x,t) yang didefinisikan oleh (8) adalah fungsi Lyapunov dari sistem switch (1). Daftar Pustaka. Masubuchi, Izumi, dan Tsutsui Makoto, On design of Controllers for Linear Switched System with Quaranteed H2‐type cost, Department of System and Computer Engineering Kobe University. Schutter, B. De, Heemels, W.P.M.H, and Beemporad A, Modeling and Control of Hybrid Systems, Lecture Notes of DISC Course, 2003.
544
SEMNAS Matematika dan Pend. Matematika 2007
