SECUNDAIR ONDERWIJS BASISVORMING

SECUNDAIR ONDERWIJS

Onderwijsvorm:

ASO

Graad:

tweede graad

Jaar:

eerste en tweede leerjaar

BASISVORMING Vak(ken):

AV Wiskunde

Vakkencode:

WW-a

Leerplannummer:

2002/010 (vervangt D/1986/4244/2 en D/1992/4244/7)

Nummer Inspectie:

2002/175//1/G/BV/1/II/ /D/

4 lt/w

ASO – 2de graad – BASISVORMING AV Wiskunde (1ste leerjaar: 4 lestijden/week, 2de leerjaar: 4 lestijden/week)

1

INHOUD Inhoud...........................................................................................................................................................1 Beginsituatie ................................................................................................................................................5 Visie ..............................................................................................................................................................9 Algemene doelstellingen ..........................................................................................................................11 Leerplandoelstellingen .............................................................................................................................18 Leerinhouden eerste leerjaar ...................................................................................................................22 1 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.4 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.4.5 1.4.6 1.5 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 1.5.5 1.6 1.6.1 1.6.2 1.6.3 1.6.4 1.6.5 1.6.6 1.6.7 1.7 1.7.1 1.7.2 1.7.3

Algebra.................................................................................................................................. 22 Reële getallen .........................................................................................................................22 Het bestaan van irrationale getallen .......................................................................................22 Rationale benadering van een reëel getal ..............................................................................23 Afbeelden van reële getallen op een getallenas.....................................................................23 Rekenen in 3 ..........................................................................................................................24 Optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling in 3 .........................................................24 Machtsverheffing en rekenregels voor machten.....................................................................25 Vierkantswortel .......................................................................................................................25 Vierkantswortel van een product. Vierkantswortel van een quotiënt ......................................26 Vergelijkingen..........................................................................................................................27 Ware uitspraak. Onware uitspraak .........................................................................................27 Vergelijking met één onbekende, oplossing , referentieverzameling .....................................27 Oplossingsmethode voor vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende...............27 Het omvormen van formules...................................................................................................28 Vraagstukken die te herleiden zijn tot vergelijkingen van de eerste graad ............................28 Ongelijkheden .........................................................................................................................29 Ware uitspraak. Onware uitspraak. Logische “of“. Negatie ....................................................29 Verenigbaarheid van de ongelijkheden met de hoofdbewerkingen in 3................................29 Ongelijkheid met één onbekende, oplossing, interval, referentieverzameling, oplossingenverzameling .........................................................................................................29 Oplossingsmethode voor ongelijkheden van de eerste graad met één onbekende...............29 Grafische voorstelling van de oplossingenverzameling van een ongelijkheid van de eerste graad met één onbekende ......................................................................................................29 Vraagstukken die te herleiden zijn tot een ongelijkheid van de eerste graad met één onbekende ..............................................................................................................................30 Veeltermen en ontbinding in factoren .....................................................................................30 Rekenen met veeltermen........................................................................................................30 Quotiënt, rest, opgaande en niet-opgaande deling van veeltermen in één onbepaalde ........30 Deling door x - a met het algoritme van Horner......................................................................30 Restregel bij deling door x - a .................................................................................................30 Ontbinding in factoren.............................................................................................................31 Functies in 3...........................................................................................................................32 Functies bepaald door een verwoording.................................................................................32 Wiskundige functies. Afhankelijke en onafhankelijke veranderlijke........................................32 Empirische functies.................................................................................................................32 Functiewaardetabellen............................................................................................................33 Grafiek van een functie ...........................................................................................................33 Beeld van een reëel getal door een functie, functiewaarde....................................................34 Constante functie: definitie en grafiek.....................................................................................34 Eerstegraadsfuncties ..............................................................................................................34 Definitie van eerstegraadsfunctie............................................................................................34 Grafiek van y = ax. Stijgen en dalen van een eerstegraadsfunctie. Richtingscoëfficiënt. ......34 Grafiek van y = ax + b. Nulwaarde .........................................................................................35

ASO – 2de graad – BASISVORMING AV Wiskunde (1ste leerjaar: 4 lestijden/week, 2de leerjaar: 4 lestijden/week) 1.7.4 1.7.5 1.8 1.8.1 1.8.2 1.8.3 1.8.4 1.8.5 1.8.6 1.9 1.9.1 1.9.2 1.9.3 1.9.4 1.9.5 1.9.6 1.9.7 2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.6 2.3.7 2.3.8 2.3.9 2.3.10 2.3.11 2.3.12

2

Problemen die leiden tot eerstegraadsfuncties.......................................................................35 Gemeenschappelijke punten van de grafiek van eerstegraadsfuncties .................................35 Vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden....................................................36 Vergelijkingen van de vorm ux + vy + w = 0 ...........................................................................36 Oplossing en koppelvoorstelling van een oplossing ...............................................................36 Oplossingsmethodes ..............................................................................................................36 Oplossingenverzameling als koppelverzameling....................................................................36 Grafische voorstelling van de oplossingenverzameling..........................................................36 Verband tussen vergelijkingen van de eerste graad en functies ............................................36 Stelsels van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden .......................37 Het begrip stelsel van vergelijkingen, logische “en“................................................................37 Grafische oplossingsmethode.................................................................................................37 Substitutiemethode .................................................................................................................37 Combinatiemethode................................................................................................................37 Vraagstukken die aanleiding geven tot een stelsel van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden ..................................................................................................37 Voorschrift van een eerstegraadsfunctie bepalen als een tabel gegeven is ..........................37 Voorschrift van een eerstegraadsfunctie bepalen als de grafiek gegeven is .........................37 Meetkunde ............................................................................................................................ 38 Hoekmeting .............................................................................................................................39 De zestigdelige graad, de minuut, de seconde. Graad met decimale onderverdeling ...........39 Bewerkingen met hoekgroottes. Complementaire en supplementaire hoeken ......................39 Eigenschappen van hoeken....................................................................................................39 Som van de hoekgroottes in een convexe n-hoek..................................................................39 Congruentie en gelijkvormigheid.............................................................................................40 Congruentiekenmerken van driehoeken.................................................................................40 Eigenschappen van driehoeken..............................................................................................40 De stelling van Thales en omgekeerde ..................................................................................40 Homothetie (definitie, invarianten), homothetisch beeld van een figuur, omtrek en oppervlakte en het verband met de factor ..............................................................................40 Gelijkvormige figuren ..............................................................................................................41 Gelijkvormigheidskenmerken voor driehoeken.......................................................................41 Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek......................................................................42 Het complementair zijn van de scherpe hoeken van een rechthoekige driehoek ..................42 De stelling van Pythagoras .....................................................................................................42 Sinus van een scherpe hoek. Cosinus van een scherpe hoek...............................................42 Berekening van sin 60°. Berekening van cos 60°...................................................................42 Berekening van sin 30°. Berekening van cos 30°...................................................................43 Verband tussen de sinus en de cosinus van complementaire hoeken...................................43 Berekening van sin 45°. Berekening van cos 45°...................................................................43 Hoofdeigenschap voor de sinus en de cosinus van een scherpe hoek .................................43 Tangens van een scherpe hoek..............................................................................................43 Berekening van tan 30°. Berekening van tan 45°. Berekening van tan 60° ...........................44 Regels voor het oplossen van een rechthoekige driehoek.....................................................44 Vraagstukken in het vlak die herleid kunnen worden tot berekeningen in rechthoekige driehoeken ..............................................................................................................................44

Verdeling van de beschikbare lestijden ..................................................................................................45 Leerinhouden tweede leerjaar..................................................................................................................46 1 1.1 1.1.1 1.1.2 1.2 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.2.4

Algebra en analyse .............................................................................................................. 46 Eerstegraadsvergelijkingen (herhaling) ..................................................................................46 Oplossen van eerstegraadsvergelijkingen..............................................................................46 Omvormen van formules.........................................................................................................46 Tweedegraadsvergelijkingen ..................................................................................................46 Bewerkingen met vierkantswortels (herhaling) .......................................................................46 Oplossen van sommige vergelijkingen van de tweede graad door ontbinding in factoren.....47 Algemeen geval: oplossen van vergelijkingen van de tweede graad. Vraagstukken.............47 Ontbinding in factoren van willekeurige drietermen van de tweede graad.............................48

ASO – 2de graad – BASISVORMING AV Wiskunde (1ste leerjaar: 4 lestijden/week, 2de leerjaar: 4 lestijden/week) 1.3 1.3.1 1.3.2 1.3.3 1.3.4 1.3.5 1.3.6 1.4 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4

3

Rijen en functies in 3..............................................................................................................48 Rekenkundige rijen. Meetkundige rijen...................................................................................48 Herhaling en uitbreiding van het begrip functie ......................................................................49 Eerstegraadsfuncties ..............................................................................................................49 Tweedegraadsfuncties............................................................................................................50 1 De functies: f(x) = x3; f(x) = ; f(x) = x ..........................................................................51 x Grafische gevolgen van het wijzigen van het functievoorschrift .............................................51 Ongelijkheden in 3 met één onbekende ................................................................................52 Eerstegraadsongelijkheden ....................................................................................................52 Tekenverloop van eerstegraadsfuncties en tweedegraadsfuncties........................................52 Oplossen van tweedegraadsongelijkheden; grafische voorstelling ........................................52 Vraagstukken die te herleiden zijn tot een ongelijkheid van de tweede graad met één onbekende ..............................................................................................................................52

2 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5 2.1.6 2.1.7 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.6 2.3.7 2.3.8

Vlakke meetkunde................................................................................................................ 53 Cirkel .......................................................................................................................................53 Cirkel en schijf.........................................................................................................................53 Bepaling van de cirkel door drie punten .................................................................................53 Middellijn en koorde ................................................................................................................53 Onderlinge ligging van een cirkel en een rechte; raaklijn .......................................................53 Loodrechte stand van de raaklijn en de middellijn door het raakpunt; constructie.................53 Middelpuntshoek en omtrekshoek ..........................................................................................53 Constructie van een raaklijn aan een cirkel uit een punt buiten die cirkel..............................53 Driehoeksmeting .....................................................................................................................54 Het begrip georiënteerde hoek ...............................................................................................54 Goniometrische cirkel .............................................................................................................54 Uitbreiding van de definitie van de goniometrische getallen ..................................................54 Sinusregel voor een willekeurige driehoek. Cosinusregel voor een willekeurige driehoek ....54 Vraagstukken in het vlak.........................................................................................................55 Analytische meetkunde...........................................................................................................55 Coördinaat van een punt.........................................................................................................55 Bewerkingen met coördinaten ................................................................................................55 Richtingscoëfficiënt van een rechte ........................................................................................56 Opstellen van een vergelijking van een rechte .......................................................................56 Onderlinge stand van twee rechten ........................................................................................56 Hellingshoek van een rechte...................................................................................................56 Loodrechte stand ....................................................................................................................56 Afstand tussen twee punten....................................................................................................56

3 3.1 3.1.1 3.1.2 3.2 3.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4

Ruimtemeetkunde................................................................................................................ 58 Onderlinge ligging van rechten en vlakken.............................................................................58 Onderlinge ligging van rechten ...............................................................................................58 Onderlinge ligging van een rechte en een vlak en van vlakken .............................................58 Vlakke voorstelling van ruimtelijke stituaties...........................................................................58 Vraagstukken ..........................................................................................................................59 Vraagstukken in balken...........................................................................................................59 Vraagstukken m.b.t. prisma’s, piramides en kegels ...............................................................59 Problemen m.b.t. vlakke doorsneden van lichamen ...............................................................59 Benaderend berekenen van inhouden....................................................................................59

4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Statistiek en kansrekening.................................................................................................. 60 Populatie, steekproef, kwalitatieve en kwantitatieve kenmerken, gegevens..........................60 Frequentie: absolute en relatieve frequentie ..........................................................................60 Cumulatieve frequentie: absolute en relatieve cumulatieve frequentie ..................................60 Grafische voorstellingen .........................................................................................................61 Centrumgetallen en spreidingsgetallen ..................................................................................61 Relatieve frequentie als kans..................................................................................................61

Verdeling van de beschikbare lestijden ..................................................................................................62


4

Minimale materiële vereisten ...................................................................................................................63 Evaluatie .....................................................................................................................................................64 Bibliografie.................................................................................................................................................68


5

BEGINSITUATIE WETTELIJKE TOELATINGSVOORWAARDEN TOT HET EERSTE LEERJAAR VAN DE TWEEDE GRAAD ASO, TSO, KSO Kunnen als regelmatige leerlingen worden toegelaten: 1° de regelmatige leerlingen die het tweede leerjaar van de eerste graad met vrucht hebben beëindigd of zij die houder zijn van een getuigschrift van de eerste graad van het secundair onderwijs, behaald via de examencommissie van de Vlaamse Gemeenschap over een programma tweede leerjaar van de eerste graad; 2° de regelmatige leerlingen die het eerste leerjaar van de tweede graad van het beroepssecundair onderwijs met vrucht hebben beëindigd, onder de volgende voorwaarde: gunstig advies van de toelatingsklassenraad; 3° de regelmatige leerlingen van het buitengewoon secundair onderwijs, onder de volgende voorwaarden: • •

gunstig èn gemotiveerd advies van de toelatingsklassenraad; de minister van onderwijs of zijn gemachtigde als dusdanig beslist op aanvraag (modelformulier) van de directeur van de betrokken instelling voor voltijds gewoon secundair onderwijs.

Bij de beginsituatie zal dus moeten rekening gehouden worden met een mogelijke divergentie in de bereikte voorkennis der leerlingen. Met het oog op slagen voor wiskunde in de tweede graad van het secundair onderwijs, wordt van de leerlingen verwacht dat zij de hieronder vermelde eindtermen van de eerste graad voor het vakgebied wiskunde zo maximaal mogelijk bereikt hebben.

GETALLENLEER Begripsvorming - feitenkennis De leerlingen • • • • •

kunnen natuurlijke, gehele en rationale getallen associëren met realistische en betekenisvolle contexten; kennen de tekenregels bij gehele en rationale getallen; weten dat de eigenschappen van bewerkingen in de verzameling van natuurlijke getallen geldig blijven en kunnen worden uitgebreid in de verzamelingen van de gehele en rationale getallen (breuken decimale notatie); onderscheiden en begrijpen de verschillende notaties van rationale getallen (breuk-, decimale en wetenschappelijke notatie); hanteren de gepaste terminologie in verband met bewerkingen: optelling, som, termen van een som, aftrekking, verschil, vermenigvuldiging, product, factoren van een product, deling, quotiënt, deeltal, deler, rest, percent, kwadraat, vierkantswortel, macht, grondtal, exponent, tegengestelde, omgekeerde, absolute waarde, gemiddelde.

Procedures De leerlingen • • • •

passen afspraken in verband met de volgorde van bewerkingen toe; voeren de hoofdbewerkingen (optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling) correct uit in de verzamelingen van de natuurlijke, de gehele en de rationale getallen; rekenen handig door gebruik te maken van eigenschappen en rekenregels van bewerkingen; gebruiken doelgericht een rekentoestel

ASO – 2de graad – BASISVORMING AV Wiskunde (1ste leerjaar: 4 lestijden/week, 2de leerjaar: 4 lestijden/week) • • • •

6

ordenen getallen en gebruiken de gepaste symbolen ( < , D , > , C , = , F ); berekenen machten met grondtal 10 en 2 met gehele exponent. Zij passen hierop de rekenregels van machten toe; kunnen: de uitkomst van een bewerking schatten; een resultaat oordeelkundig afronden; gebruiken procentberekeningen in zinvolle contexten.

Samenhang tussen begrippen. De leerlingen • • • •

interpreteren een rationaal getal als een getal dat de plaats van een punt op een getallenas bepaalt; kunnen het verband uitleggen tussen optellen en aftrekken, vermenigvuldigen en delen; herkennen het recht evenredig en omgekeerd evenredig zijn van twee grootheden in tabellen en in het dagelijks leven; kunnen vanuit tabellen met cijfergegevens het rekenkundig gemiddelde en de mediaan (voor nietgegroepeerde gegevens) berekenen en hieruit relevante informatie afleiden.

ALGEBRA Begripsvorming-feitenkennis De leerlingen •

gebruiken letters als middel om te veralgemenen en als onbekenden;

Procedures. De leerlingen • • • •

kunnen tweetermen en drietermen optellen en vermenigvuldigen en het resultaat vereenvoudigen; kennen de formules voor de volgende merkwaardige producten (a+b)² en (a+b)(a-b); ze kunnen ze verantwoorden en in beide richtingen toepassen; kunnen vergelijkingen van de eerste graad met één onbekende oplossen; kunnen eenvoudige vraagstukken die te herleiden zijn tot een vergelijking van de eerste graad met één onbekende oplossen.

Samenhang tussen begrippen De leerlingen • • •

ontdekken regelmaat in eenvoudige patronen en kunnen ze beschrijven met formules; kunnen vanuit tabellen recht evenredige verbanden met formules uitdrukken; kunnen functioneel gebruik maken van eenvoudige schema's, figuren, tabellen en diagrammen.

MEETKUNDE Begripsvorming-feitenkennis De leerlingen • • • •

kennen en gebruiken de meetkundige begrippen diagonaal, bissectrice, hoogtelijn, middelloodlijn, straal, middellijn, overstaande hoeken, nevenhoeken, aanliggende hoeken, middelpuntshoeken; herkennen evenwijdige stand, loodrechte stand en symmetrie in vlakke figuren en ze herkennen gelijkvormigheid en congruentie tussen vlakke figuren; herkennen figuren in het vlak, die bekomen zijn door een verschuiving, een spiegeling of een draaiing; weten dat in een tweedimensionale voorstelling van een driedimensionale situatie informatie verloren gaat;

ASO – 2de graad – BASISVORMING AV Wiskunde (1ste leerjaar: 4 lestijden/week, 2de leerjaar: 4 lestijden/week) • •

7

herkennen kubus, balk, recht prisma, cilinder, piramide, kegel en bol aan de hand van een schets, tekening en dergelijke; kennen meetkundige eigenschappen zoals: de hoekensom in driehoeken en vierhoeken, eigenschappen van gelijkzijdige en gelijkbenige driehoeken, eigenschappen van zijden, hoeken en diagonalen in vierhoeken.

Procedures De leerlingen • • • •

•

kiezen geschikte eenheden en instrumenten om afstanden en hoeken te meten of te construeren met de gewenste nauwkeurigheid; gebruiken het begrip schaal om afstanden in meetkundige figuren te berekenen; berekenen de omtrek en oppervlakte van driehoek, vierhoek en schijf en de oppervlakte en het volume van kubus, balk en cilinder; kunnen: het beeld bepalen van een eenvoudige vlakke meetkundige figuur door een verschuiving, spiegeling, draaiing; symmetrieassen van vlakke figuren bepalen; loodlijnen, middelloodlijnen en bissectrices construeren; kunnen zich vanuit diverse vlakke weergaven een beeld vormen van een eenvoudige ruimtelijke figuur met behulp van allerlei concreet materiaal.

Samenhang tussen begrippen De leerlingen • • • •

beschrijven en classificeren de soorten driehoeken en de soorten vierhoeken aan de hand van eigenschappen; bepalen punten in het vlak door middel van coördinaten; stellen recht evenredige verbanden tussen grootheden grafisch voor; begrijpen een gegeven eenvoudige redenering of argumentatie in verband met eigenschappen van meetkundige figuren.

VAARDIGHEDEN De leerlingen • • •

begrijpen en gebruiken wiskundige taal in eenvoudige situaties; passen communicatieve vaardigheden toe in eenvoudige wiskundige situaties; passen probleemoplossende vaardigheden toe, zoals: het herformuleren van een opgave; het maken van een goede schets of een aangepast schema; het invoeren van notaties, het kiezen van onbekenden; het analyseren van eenvoudige voorbeelden.

ATTITUDES De leerlingen • • • •

ontwikkelen bij het aanpakken van problemen zelfstandigheid en doorzettingsvermogen; ontwikkelen zelfregulatie: oriëntatie, planning, bewaking, zelftoetsing en reflectie; ontwikkelen een kritische houding tegenover het gebruik van allerlei cijfermateriaal, tabellen, berekeningen en grafische voorstellingen; beseffen dat in de wiskunde niet enkel het eindresultaat belangrijk is, maar ook de manier waarop het antwoord wordt bekomen.

ASO – 2de graad – BASISVORMING AV Wiskunde (1ste leerjaar: 4 lestijden/week, 2de leerjaar: 4 lestijden/week) Nieuw in deze leerplannen is het accent op schatprocedures, op het gebruik van het rekentoestel, op het ontwikkelen van probleemoplossende vaardigheden, op het ruimtelijk inzicht en op het ontwikkelen van een kritische houding t.o.v. gegevens en resultaten. Het is dus noodzakelijk dat de leerkracht wiskunde van het eerste leerjaar van de tweede graad van het secundair onderwijs enerzijds kennis neemt van de leerplannen van de eerste graad en anderzijds de concrete leervakbeginsituatie van de leerlingen vaststelt.

8


9

VISIE Tot de meest relevante criteria die bij de beoordeling van om het even welk leerplan voortdurend in de balans liggen, behoren ongetwijfeld: • • • •

zijn inhoud; zijn omvang; zijn structuur; zijn coherentie.

Welke leerstofitems worden er aangeboden? Is de verwerking ervan verenigbaar met de toegemeten tijd? Is de aangeboden leerstof gebruiksvriendelijk en overzichtelijk opgedeeld? Staat de aangehouden volgorde een logische opbouw van de verwerking niet in de weg? Het zijn de antwoorden op deze en soortgelijke vragen die een belangrijke maatstaf vormen voor een eventuele appreciatie. De visie op een leerplan behelst echter zoveel meer. Er zijn de accenten die worden gelegd, de krachtlijnen die worden uitgezet. Soms geëxpliciteerd, doorgaans tussen de lijnen te lezen, maar alleszins permanent aanwezig, betekenen ze als het ware de rode draad die de teneur van een leerplan bepalen. Toegepast op het wiskundeleerplan ASO tweede graad kunnen binnen die context worden vermeld: • • • •

het principe van "spiral learning"; het leerplan als brugfunctie tussen eerste en derde graad; de verdere opmars van het gebruik van ICT-middelen; de volgehouden aandacht voor "problem solving".

Het principe van "spiral learning" wordt via het leerplan geconcretiseerd door het geregeld heropnemen van leerstofitems uit vorige leerjaren. Hierbij kan het nooit de bedoeling zijn die leerstofitems in lengte van dagen systematisch stap voor stap te herhalen, wel ze te presenteren onder de gedaante van een synthetisch overzicht dat vervolgens als basis bij de aanbreng van de nieuwe leerstof kan worden aangewend. Het leerplan als brugfunctie tussen de graden is in wezen een verlengstuk van het "spiral learning", en wel in die zin dat, naast leerstofitems met "roots" in het verleden, ook leerstofitems voorkomen met "hints" naar de toekomst. Zo bekeken laat het leerplan toe de leerstof in te bedden tussen verleden en toekomst. Wat de verdere opmars van ICT-middelen betreft, zal de leraar permanent oog hebben voor de eventuele didactische meerwaarde. Het feit dat de maatschappij ons met informatie overstelpt, dwingt de leraar er immers toe om de leerling én functioneel én kritisch met dit aanbod te leren omgaan. Controle op de betrouwbaarheid van de afgelezen resultaten, conditio sine qua non voor een nuttig en efficiënt gebruik, vergt hoe dan ook een grondig inzicht in de basistechnieken van de rekenvaardigheid. Bij "problem solving" hoort de bemerking dat het begrip dient losgekoppeld van de restrictieve connotaties "vakoverschrijdend" en "motiverend". Uiteraard kan het renderend zijn een hoofdstuk in te leiden met een probleemstelling die de aandacht van de leerling trekt en bij voorkeur uit een ander vakgebied wordt gelicht, maar problem solving is zoveel meer. Het begint al bij de inzichtvragen die elke les zonder uitzondering moeten opluisteren. Het hoort zeker aan bod te komen op het einde van ieder hoofdstuk of clusters van hoofdstukken. Het bereikt echter pas zijn volle draagwijdte wanneer de leerling tegen het einde van het schooljaar geconfronteerd wordt met vakgebonden, dan wel vakoverschrijdende opgaven, waarbij uit het volledige, op dit ogenblik beschikbare arsenaal aan middelen, en dit naar eigen smaak, een keuze kan worden gemaakt. Zijn de eerste twee krachtlijnen (spiral learning en het leerplan als brugfunctie) in eerste instantie verantwoordelijk voor een geleidelijke en begeleide overstap naar abstrahering en betekenen de laatste twee krachtlijnen (ICT-middelen en problem solving) een permanente bron van motivatie, dan vormt hun geheel een waarborg voor communicatieve interactie die het inzicht bevordert, de denkprocessen expliciteert, kortom de leerling op de weg helpt naar zelfregulatie.


10

Voeg daar nog enige aandacht aan toe voor de wijze waarop wiskunde zich in het verleden doorheen de verschillende culturen heeft ontwikkeld en de leerling ervaart wiskunde als een dynamisch vak. Tenslotte is er bij de visie op een leerplan nog sprake van een derde invalshoek, zonder twijfel de subtielste van allemaal, al was het maar omdat hij ten dele afhangt van interpretatie en van uitwendige factoren. We doelen hier op een serie van ingebouwde evenwichten, die door de betrokken leerkracht in overeenstemming met het studiepeil van zijn betrokken klas dienen ingevuld en verfijnd: evenwicht tussen theorie en praktijk, tussen abstract en concreet, tussen intuïtieve benadering en trefzekere bewijskracht, tussen manuele rekenvaardigheid en gebruik van rekentoestel, ... Enige vereiste hierbij blijft dat, met het oog op voortgezette, algemeen vormende studies, op geen enkel moment onder een kwalitatief aanvaardbare drempel mag worden weggezakt. Precies die gedifferentieerde keuze van evenwichten is er verantwoordelijk voor dat, zelfs bij een identieke leerinhoud, het verschil tussen een 5u-, dan wel een 4u-publiek, zich op het conceptuele vlak situeert: • • • • •

qua diepgang, waar de aanpak van het 5u-publiek getuigt van een grotere consistentie (meer aandacht voor de samenhang tussen de verschillende items) en een grotere gestrengheid (meer aandacht voor bewijsvoering); qua moeilijkheidsgraad, waar de oefeningenkeuze in de 5u ruimschoots het triviale overschrijdt en de graad van abstraheren gevoelig hoger ligt; qua inzicht, waar in de 5u-cursus het bijbrengen van nieuwe items als het ware tussen verleden en toekomst wordt ingebed; qua parate kennis, waar aan de "sterke" wiskundeverbruikers stringentere eisen worden opgelegd wat betreft het vlot beheersen van voorheen aangeleerde leerstof; qua lesrendement, waar, naast hoger geciteerde parameters, ook het aangewende lesritme een cruciale rol speelt.

Samengevat mag worden geponeerd dat de visie op een leerplan, kortom het leerplanprofiel, het samenspel is van: • • •

een serie relevante criteria (dimensie 1); een lijst van accenten en krachtlijnen (dimensie 2); een reeks van ingebouwde evenwichten (dimensie 3).

Hierbij neemt niet enkel de subtiliteit van de toetsing, maar ook de algemeen vormende waarde - die ervan uitgaat - met de nummering van de dimensies toe. Het mag symptomatisch voor de wiskundeleerplannen ASO tweede graad worden genoemd dat enkele van de buiten de eindtermen vallende leerstofitems de gelegenheid bij uitstek bieden om de drie vermelde dimensies aan bod te laten komen.


11

ALGEMENE DOELSTELLINGEN Elk leerplan in het secundair onderwijs moet zich inschrijven in de algemene en in feite funderende doelstellingen van dit leervak. Vanuit deze algemene doelstellingen vinden de leerplandoelstellingen hun concretisering per graad. Enkele algemene doelstellingen kunnen als volgt verwoord worden (zie eindtermen 1 tot en met 5): • • • • •

de leerlingen begrijpen en gebruiken wiskundetaal; de leerlingen passen probleemoplossende vaardigheden toe; de leerlingen verantwoorden de gemaakte keuzes voor representatie- en oplossingstechnieken; de leerlingen controleren de resultaten op hun betrouwbaarheid; de leerlingen gebruiken informatie- en communicatietechnologie om wiskundige informatie te verwerken, berekeningen uit te voeren of wiskundige problemen te onderzoeken.

Elk van deze doelstellingen wordt hierna, in het omschreven vaardigheidsprofiel, uitvoerig toegelicht.

1 De leerlingen begrijpen en gebruiken wiskundetaal De tweede graad - dat geldt voor elke onderwijsvorm zonder onderscheid - is de draaischijf waar het aanzwengelen van de communicatievaardigheid bij de leerling voor elk vak, voor wiskunde dus ook, een nieuwe dimensie krijgt. Dit houdt in dat het overwegend "begrijpen" en derhalve het gaandeweg "assimileren" van wiskundetaal uit de eerste graad een logisch verlengstuk krijgt in het "gebruiken" en het "persoonlijk hanteren" van diezelfde wiskundetaal in de tweede graad. Dit is zeker waar voor die terminologie, vooral gesitueerd in de theorie over de bewerkingen, de rekenregels, maar ook in de meetkunde, die reeds volop in de eerste graad werd bijgebracht en in de tweede graad nog maar eens uitvoerig wordt herhaald. Dit geldt echter ook voor de "nieuwe" terminologie, vooral gecentreerd rond de theorie der vergelijkingen, de functies en de statistiek. Het komt derhalve de leerkracht toe elke gelegenheid aan te grijpen om die communicatievaardigheid aan te scherpen, waarbij een belangrijke stimulans daartoe schuilt in een vraagstelling die de leerling als het ware uitnodigt datgene wat hij kent of weet op een behoorlijke manier te verwoorden. Dit laatste impliceert dan weer dat de vloed aan vragen, in feite inherent aan de opbouw van elke wiskundeles, voldoende geschakeerd moet zijn en, uiteraard in overeenstemming met onderwijsvorm en klasniveau, ruimte moet laten voor inzichtbevorderend redeneren en accuraat formuleren. Ook kan worden overwogen of de zoveelste getalwaardeberekening, de zoveelste oplossing van een vergelijking, de zoveelste ontbinding in factoren, ten gepaste tijde, de plaats niet moet ruimen voor een synthetisch overzicht dat, naast het beklemtonen van essentie en details, vooral beoogt de leerlingen een kernachtig verwoorden van de leerstof bij te brengen.

2 De leerlingen passen probleemoplossende vaardigheden toe Eén van de vormende-waarde-componenten inherent aan de wiskunde hangt samen met de kans die erin bestaat om opdrachten, opgaven, problemen, vaak langs uiteenlopende invalshoeken, te benaderen. Het behoort tot de taak van de leerkracht, en dit bij vele gelegenheden, die diverse oplossingsmethodes naast elkaar aan te bieden en tegelijk voor- en nadelen ervan tegen elkaar af te wegen. Dit uit zich alvast op het eenvoudigste echelon waar, reeds bij elementaire oefeningen, bestaande rekenregels toelaten om i.p.v. de geijkte volgorde van de bewerkingen, en dit met goed gevolg, alternatieve wegen te kiezen. Men vindt dit tweespoor ook terug bij het uitrekenen van een veranderlijke in een formule, waar nu eens het omvormen van de formule en het berekenen van de overeenstemmende getalwaarde, dan weer het


12

aanvankelijk invullen van de gegeven waarden en het oplossen van de betrokken vergelijking, uitsluitsel geven. Het terrein bij uitstek echter om die geschakeerde benaderingen aan bod te laten komen, ligt vanzelfsprekend in die leerstofonderdelen waar ze als het ware in de leerplaninhouden zijn geïnstitutionaliseerd. We denken aan: • de meetkunde in haar totaliteit; • de diverse visuele voorstellingen zoals: grafieken, diagrammen, schema's; • de verschillende oplossingsmethodes bij stelsels. Kort en bondig denken we aan alle aangereikte hulpmiddelen om gegeven verbale opdrachten te mathematiseren. Ook uit de tegenvoorbeelden kan veel worden opgestoken. Het vooralsnog ontbreken of het totaal onbestaande zijn van rekenregels leiden voorlopig, ofwel definitief, tot welgeteld één correcte berekeningstechniek. Het eerste geeft aanleiding tot het in het vooruitzicht stellen van toekomstige leerstof. Het tweede kan benut worden om verkeerdelijk extrapoleren door de leerlingen van bestaande rekenregels (de macht van een product is het product van de machten, maar dat geldt niet voor een som; het tegengestelde van een som is de som van de tegengestelden, maar dit geldt niet voor een product) tegen te gaan.

3 De leerlingen reflecteren op de gemaakte keuzes voor representatie- en oplossingstechnieken Dat einddoel verschilt van zijn voorganger, in die zin dat het bij de hand leiden - via de leerkracht dan doorheen het geschakeerde aanbod van representatie- en oplossingstechnieken, geleidelijk de plaats ruimt voor - via de leerling dan - weloverwogen individuele initiatieven. Zo bekeken is vermelde eindterm een weliswaar nog schuchtere, eerste stap naar een vakoverschrijdende attitude die, langs het pad van het vooraf vastleggen van het aantal invalswegen, het daarna tegen elkaar afwegen van voor- en nadelen ervan, de leerling voert naar een, niet langer opgelegde, maar naar eigen smaak en interesse uitgestippelde zelfstandige keuze. Het mag duidelijk zijn dat dit "reflecteren", zeg maar "passend" kiezen, vanwege de leerling én gedegen kennis én verdiepend inzicht vergt en als zodanig slechts kan aarden indien, bij voorkeur reeds vanaf de eerste graad, door de leerkracht aanzetten in die zin worden gegeven.

4 De leerlingen controleren de resultaten op hun betrouwbaarheid Resultaten in de enge zin van het woord worden nogal eens vereenzelvigd met numerieke uitkomsten of uitgewerkte opdrachten binnen de bewerkingen met lettervormen. Bij het eerste type zijn o.m. de proef op de bewerking, de proef op de vergelijking, het voorafgaandelijk of naderhand schatten van de uitkomsten geijkte hulpmiddelen waarmee de leerlingen reeds voldoende vertrouwd zijn. Bij het tweede type zijn het de "andersom-operaties”, die vaak uitsluitsel geven. Bijvoorbeeld: ontbinding in factoren versus uitgebreide distributiviteit, deling van veeltermen versus vermenigvuldiging van veeltermen, … Resultaten in de ruime zin zijn echter zoveel meer. Ze zijn in wezen elk antwoord op elke gestelde vraag en dus beperkt controle vanwege de leerling zich allerminst tot het hanteren van rekentechnieken. Bij een geleverd bewijs in de meetkunde vergt het de wettiging van elke tussenstap, bij een vraag naar een gebruikte eigenschap dient het antwoord gekozen binnen een passende cluster, bij het uitkiezen van een formule moet het zinvolle ervan nagetrokken worden. Het eerste voorbeeld houdt verband met logisch deduceren, het tweede met het beheersen van wiskundetaal, het derde met het mathematiseren van een begrip. Alle echter hebben te maken met kennis, inzicht en kritische ingesteldheid.


13

5 De leerlingen gebruiken ICT-hulpmiddelen om wiskundige informatie te verwerken, berekeningen uit te voeren of wiskundige problemen te ondersteunen Reeds vanaf de eerste graad is het rekentoestel een niet meer weg te denken didactisch hulpmiddel binnen de wiskundeles. In de tweede graad is dit nog uitdrukkelijker het geval, alvast in die situaties waar al te tijdrovende bewerkingen een harmonische ontwikkeling van de theorie in de weg staan. Dit houdt meteen in dat de bediening van de toetsen gelijke tred moet houden met de introductie van nieuwe begrippen en de daaraan gekoppelde nieuwe operaties. Heel uitdrukkelijk dient binnen die context gewezen op de aandacht die leerlingen moeten besteden aan het stelsel van grootheden waarin wordt gewerkt. Uiteindelijk is het de bedoeling dat de leerling het rekentoestel ervaart als een machtig hulpmiddel, echter nooit als een doel op zich. Dit betekent dat een al te slaafs gebruik ervan en een al te mechanisch, inzichtloos indrukken van de toetsen moeten ingedijkt worden.


14

Vakoverschrijdende eindtermen Voorbeschouwingen Het is al te simplistisch een of andere vakoverschrijdende eindterm te willen vastpinnen op een of meerdere vakinhoudelijke doelstellingen. Het is de totaliteit van de vakinhoudelijke doelstellingen die tot een bepaalde vakoverschrijdende eindterm bijdraagt. Het is eveneens al te simplistisch een bepaalde vakoverschrijdende eindterm kost wat kost via één of meerdere vakinhoudelijke doelstellingen gestalte te willen geven. Het zou niet enkel volslagen kunstmatig overkomen, maar tevens een nulrendement opleveren. Vanuit dit standpunt benaderd zijn de vakoverschrijdende eindtermen geen doelstellingen van neven- of ondergeschikt belang, maar zijn ze veeleer "lichtbakens" die de vakinhoudelijke doelstellingen helpen oriënteren. In het verlengde daarvan is het dan wel zo dat iedere afzonderlijke vakinhoudelijke doelstelling een dubbele functie heeft. Enerzijds een bijdrage leveren (hoe miniem soms ook) in de uitbouw van de wiskunde, anderzijds een bijdrage leveren (hoe miniem soms ook) in de uitbouw van de betrokken vakoverschrijdende eindterm. Dergelijke tweesporige benadering, “wiskunde om de wiskunde” langs de ene kant, “wiskunde als vakoverschrijdende hefboom” langs de andere kant, verleent hoe dan ook een meerwaarde aan de interpretatie, aan de draagwijdte, kortom aan de verwerking van het leerplan. Bij de aanvang van het schooljaar maakt de leraar een oordeelkundige keuze van de leerinhouden waarmee hij de vakgebonden en vakoverschrijdende doelstellingen wil realiseren (bij voorkeur na overleg met de vakgroep) en stelt een jaar(vorderings)plan op waarin hij de leerstof op een evenwichtige wijze verdeelt over het beschikbare aantal lestijden.

A

LEREN LEREN

1

Opvattingen over leren

Elk leerplan hoort, al was het maar vanuit het oogpunt van zijn coherentie, de aaneenschakeling te zijn van het stockeren, het ordenen, het (her)structureren en het extrapoleren van een, voor een goed vervolg, onontbeerlijke parate kennis. De diverse leerplannen wiskunde spelen hier stellig op in, niet enkel extern bekeken over de leerjaren heen (verticale dimensie), maar ook intern gefocust op één leerjaar (horizontale dimensie). Die evolutie, niet enkel in aanpak maar ook in moeilijkheidsgraad, die achtereenvolgens geheugen, inzicht, abstractievermogen en oplossingsvaardigheid stimuleert, gaat uiteraard gepaard met een parallelle evolutie in leeropvattingen en leermotieven, kortom in leerstijl, bij de leerlingen.

2

Informatie verwerven en verwerken

Informatie op een efficiënte manier verwerven impliceert vooreerst een inzichtelijke kennis van alle beschikbare informatiebronnen, niet te vergeten, en allicht in eerste instantie van het eigen geheugen. Informatiebronnen op een kritische manier kiezen heeft veeleer uitstaans met het positioneren van het betrokken probleem binnen de juiste context van de leerstof. Informatie op een efficiënte manier verwerken stoelt in hoofdzaak op de vaardigheid om vlot, en dit naargelang van het betrokken probleem, van formele naar informele taal of andersom te kunnen overstappen. Het steunt kortom op de taal-, respectievelijk mathematiseringvaardigheid van de leerling. Informatie kritisch verwerken doet dan meer beroep op het analytisch, respectievelijk het synthetisch vermogen. Hoe dan ook is het efficiënt en kritisch verwerven en verwerken van informatie geslaagd in de mate dat ze bijdragen tot het probleemoplossend denken bij de leerling en tot een verantwoorde evaluatie van de gevonden oplossingen.


15

Van alle hoger geciteerde aspecten rond verwerken en verwerven van informatie zijn de leerplannen wiskunde doordrongen.

3

Regulering van het leerproces

(Zelf)regulering is een groeiproces dat, zoals elke attitude, vele watertjes moet doorzwemmen alvorens bereikt te worden. Een realistische werken tijdsplanning vergt, naast grondig inzicht in de taak waarvoor men geplaatst staat, vooral een wikken en wegen van eigen sterkte- en zwaktepunten. Het leerproces beoordelen op doelgerichtheid vergt een open oog voor het onderscheid tussen essentie en details, het weten van het bestaan van diverse oplossingsmethodes en het maken van de meest efficiënte keuze hieruit. Het trekken van toekomstgerichte constructieve conclusies uit leerervaringen is uiteraard pas mogelijk en zinvol na het lukken, maar eerder nog na het mislukken van vergelijkbare opdrachten. Tenslotte is het indijken van het gevoel, dat mislukken veelal aan subjectieve oorzaken is toe te schrijven, enkel te bereiken via een in toenemende moeilijkheidsgraad goed gedoseerde oefeningencyclus die de leerling herhaaldelijk succeservaringen heeft opgeleverd. Uit al wat voorafgaat moet blijken dat de rode draad op de weg naar (zelf)regulering in eerste instantie neerkomt op het aanbod van uitvoerig oefenmateriaal, bij voorkeur homogeen gespreid zowel in tijd als in moeilijkheidsgraad. Het ligt in de aard van het vak zelf dat wiskundeleerplannen daar alle ruimte en gelegenheid toe bieden.

4

Keuzebekwaamheid

De wiskunde in het leerplan van de tweede graad wordt opgedeeld in ondermeer: getallenleer, algebra, meetkunde en goniometrie. Dwars door die tussenschotten heen worden accenten afwisselend gelegd op: • de rekenen tekenvaardigheid, • het inzichten abstraheringvermogen, • de taal- en de mathematiseringvaardigheid, • het analytische en het synthetische vermogen, • de theoretische en de praktische aspecten. Dit alles laat de leerling op ieder moment toe zich t.o.v. elk van die fragmentaire deelaspecten te positioneren, eigen interesses en capaciteiten te taxeren, kortom een zelfbeeld te vormen op basis van betrouwbare gegevens. Levert bovenstaande een antwoord op de vraag naar zelfconceptverheldering, dan dient diezelfde opsomming van fragmentaire deelaspecten als leidraad voor horizonverruiming, in die zin dat een al dan niet positieve invulling ervan de leerling het besef bijbrengt van zijn studie- en beroepsmogelijkheden. Uiteindelijk brengt die onbevooroordeelde houding ten aanzien van studieloopbanen en beroepen de leerling bij dat een keuzestrategie neerkomt op het opmaken van een balans waarbij diverse deelaspecten tegen elkaar worden afgewogen.

B

SOCIALE VAARDIGHEDEN

1

Interactief competenter worden

Wiskunde is één van die vakken die het op elk moment mogelijk maakt om de leerling interactief bij het leerproces te betrekken. Dit gebeurt dan via opdrachten die, qua moeilijkheidsgraad, variëren van "routinevragen" die omzeggens louter het geheugen aftasten, over "verstandsvragen" die naar inzicht en abstraheringvermogen peilen, tot "uitdagingen" die het analytisch en synthetisch vermogen op de proef stellen.


16

Die evolutie in de opdrachten, niet enkel bekeken per les (microniveau), maar ook per leerjaar (mesoniveau) en per graad tot zelfs de volledige secundaire cyclus toe (macroniveau), leidt tot een interactiviteit die meteen het ideale forum is dat de leerling moet toelaten, naargelang van succeservaringen of mislukkingen: • • • • •

waardering uit te drukken voor anderen, zich dienstvaardig op te stellen, verantwoordelijkheid te nemen, kritiek te uiten, discreet en terughoudend te zijn, • zijn ongelijk toe te geven. Het biedt de leerling ook de kans om te taxeren in welke van hoger vermelde en aanverwante relatievormen hij meer of minder sterk scoort. Dit is meteen ook een aanzet tot zelfwaardegevoel en bewustwording van de gewenste, eventueel ongewenste effecten in een interactie.

2

Communicatieve vlotheid verwerven

Enkel datgene wat men degelijk beheerst, laat zich klaar en duidelijk uitleggen. Dit is alleszins een motto waartoe de wiskunde meer dan haar steentje bijdraagt. Wordt tijdens de fase van het stockeren van parate kennis nog vrede genomen met een tekstueel nazeggen van definities en eigenschappen, dan wordt tijdens de opeenvolgende fasen van het ordenen en het (her)structureren van diezelfde parate kennis van de leerling verwacht dat hij zich met eigen woorden en even correct van alle verworven terminologie kan bedienen, om uiteindelijk, tijdens de fase van het extrapoleren, de gekozen oplossingsmethodes en de daaraan voorafgaande redeneringen voldoende vlot te kunnen verwoorden. Succes bij dit cascadesysteem wordt in de hand gewerkt door een actief luisteren bij de start, het beslissen over mogelijke eigen inbreng bij het vervolg en het zich helder kunnen uitdrukken naar het einde toe. Aan de basis ligt echter het erkennen van het belang van een goede communicatie, niet in het minst de bereidheid om de inbreng van de gesprekspartner (niet enkel die van de leerkracht) ernstig te nemen.

3

Zorg dragen voor relaties

Naarmate de wiskunde voortschrijdt, wordt het voor de leerling meer en meer duidelijk dat wiskunde zich sterker en sterker manifesteert als een hecht en coherent geheel dat o.m. gestoeld is op: • • • •

afspraken (b.v. axioma's, definities); regels (b.v. eigenschappen, stellingen); machtsverhoudingen (b.v. volgorde der bewerkingen); gelijkwaardigheid (b.v. bij vergelijkingen).

Mutatis mutandis kan de leerling worden duidelijk gemaakt dat diezelfde aspecten stuk voor stuk in overweging dienen genomen bij het afwegen van een menselijke relatie. We denken hierbij meer in het bijzonder aan samenlevingspatronen zoals de school (macroniveau) en de klas (mesoniveau). Het leren accepteren van verschillen binnen die relatie, het zich leren weerbaar opstellen tegenover mogelijke conflicten, het bewaken van een persoonlijke autonomie en het hechten van belang aan wederzijds respect zijn dan enkele van de vele persoonlijkheidskenmerken die binnen dergelijke levenswereld volop kunnen openbloeien.

4

In groep probleemoplossend samenwerken

In het verlengde van het “zorg dragen voor relaties” kunnen, ditmaal op microniveau, groepsopdrachten, gecentreerd rond ietwat complexere wiskundeopgaven, die "link" met bovenvermelde relatieaspecten nog verder verstevigen. Alvast in overleg gemaakte afspraken en gelijkwaardige taakverdelingen zijn hier volop aan de orde. De bereidheid om samen te argumenteren, het voortbouwen op andermans inbreng, het gezamenlijk zoeken naar een oplossing, het meewerken aan het proces van besluitvorming, het evalueren van niet enkel de bekomen oplossing maar ook van de samenwerking zelf, zijn evenveel attitudes inherent aan dergelijke opdrachten verbonden.


C

17

OVERIGE VAKOVERSCHRIJDENDE RUBRIEKEN

Het uitgebreid focussen op de vakoverschrijdende eindtermen rond LEREN LEREN enerzijds, SOCIALE VAARDIGHEDEN anderzijds, wil geenszins zeggen dat wiskunde zich van de overige vakoverschrijdende rubrieken compleet distantieert. Het betekent wel dat haar aanpak op die andere terreinen eerder onrechtstreeks gebeurt en alleszins veeleer op occasionele leest is geschoeid. Zo kan niet worden ontkend dat de zorg besteed aan het in groep probleemoplossend samenwerken nauwelijks anders kan dan positief inwerken op het inoefenen van inspraak en participatie, het onderscheiden van meerderheids- en minderheidsstandpunten, het erkennen van rechten en plichten, het respecteren van de argumenten van anderen, kortom het opwaarderen van een serie aspecten uit OPVOEDEN TOT BURGERZIN. Het gewicht van wiskunde binnen het curriculum - niet enkel het aantal wekelijkse lesuren, maar vooral het decisieve karakter bij de keuze van verdere studierichtingen spelen hier een hoofdrol - brengt met zich mee dat de leerkracht wiskunde, zij het dan wel latent en ten dele onbewust, voortdurend de leerling leert omgaan met taakbelasting en examenstress, alleszins één van de belangrijkste aspecten uit het uitgebreide gamma van de GEZONDHEIDSEDUCATIE. Wiskunde, al was het maar omwille van de logica in haar opbouw en de variatie in de oplossingsmethodes op zich reeds een oase van creativiteit, kan, via passend gekozen oefenmateriaal en de inbreng van illustratieve ICT-middelen, aan de abstracte dimensie van die creativiteit een concretere invulling bezorgen en aldus bijdragen tot de MUZISCH/CREATIEVE VORMING, meer i.h.b. gesitueerd in de schilder-, beeldhouw- en bouwkunst.


18

LEERPLANDOELSTELLINGEN Begripsvorming – feitenkennis De leerlingen 1

kennen een rationaal getal als een getal dat in zijn decimale vorm afbrekend of repeterend is en een irrationaal getal als een getal met een oneindig doorlopende, maar niet repeterende decimale vorm;

2

kunnen de gepaste terminologie gebruiken in verband met vergelijkingen: graad van een vergelijking, oplossing, referentieverzameling;

3

kunnen de betekenis begrijpen van de logische “of”, van de logische “en” en van de negatie;

4

kunnen de gepaste terminologie gebruiken in verband met ongelijkheden: graad van een ongelijkheid, oplossing, oplossingenverzameling, referentieverzameling;

5

kennen de formules voor de merkwaardige producten (a + b)2, (a + b)(a - b);

6

kunnen de gepaste terminologie gebruiken in verband met functies: afhankelijk en onafhankelijk veranderlijke, empirische functie, beeld, functiewaarde, domein, bereik, nulwaarde, constante functie, eerstegraadsfunctie, tweedegraadsfunctie, stijgende en dalende functie, minimum, maximum, tekenverloop;

7

kunnen differentiequotiënt interpreteren als richtingscoëfficiënt van een rechte en als maat voor de gemiddelde verandering over een interval;

8

kunnen de begrippen complementaire en supplementaire hoeken gebruiken;

9

kunnen de begrippen sinus, cosinus en tangens van een scherpe hoek definiëren als de verhoudingen van lengten van zijden van een rechthoekige driehoek;

10

kunnen sinus en cosinus van een georiënteerde hoek op een goniometrische cirkel aanwijzen;

11

kunnen tangens definiëren als de verhouding van sinus en cosinus, analoog voor cotangens;

12

kennen de betrekkingen tussen de goniometrische getallen van een zelfde hoek;

13

kennen de eigenschappen van de middelloodlijnen van een driehoek (omcirkel), van de bissectrices (incirkel), van de zwaartelijnen (zwaartepunt), en in het bijzonder van zwaartelijn, hoogtelijn en bissectrice door de top van een gelijkbenige driehoek;

14

kennen de congruentiekenmerken en de gelijkvormigheidskenmerken van driehoeken;

15

kennen de invarianten voor homothetieën;

16

kunnen de gepaste terminologie gebruiken in verband met cirkels: straal, middellijn, koorde, raaklijn, raakpunt, middelpuntshoek, omtrekshoek;

17

kunnen het begrip georiënteerde hoek gebruiken;

18

kunnen de begrippen richtingscoëfficiënt en hellingshoek van een rechte hanteren;

19

kunnen bij rechten de begrippen evenwijdig, kruisend, snijdend en loodrecht gebruiken;

20

kunnen bij vlakken de begrippen evenwijdig, loodrecht en snijdend gebruiken;

21

kunnen de begrippen populatie, steekproef, kwalitatieve en kwantitatieve kenmerken gebruiken;

22

kennen het verschil tussen relatieve en absolute frequentie en tussen enkelvoudige en gecumuleerde frequentie;

23

kunnen de begrippen modus, mediaan, kwartiel, gemiddelde, variatiebreedte, variantie en standaardafwijking gebruiken.


19

Procedures De leerlingen 24

kunnen een rationaal getal voorstellen in decimale vorm;

25

kunnen een rationale benadering geven van een reëel getal, alsook de nauwkeurigheid van deze benadering;

26

kunnen reële getallen ordenen en gebruiken daarbij de gepaste symbolen (<,D, >, C, =, F);

27

kunnen rekenen in 3 (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, verheffen tot een macht met een gehele exponent, bepalen van eventuele vierkantswortels) door gebruik te maken van rekenregels en eigenschappen van bewerkingen;

28

kunnen rekenen met breuken met reële getallen in teller en noemer;

29

kunnen een rekentoestel doelgericht gebruiken;

30

kunnen vergelijkingen van de eerste en van de tweede graad met één onbekende oplossen;

31

kunnen in een formule één variabele schrijven in functie van de andere;

32

kunnen een probleem oplossen dat kan vertaald worden naar een vergelijking van de eerste of de tweede graad met één onbekende;

33

kunnen ongelijkheden van de eerste en van de tweede graad met één onbekende oplossen en de oplossingenverzameling grafisch voorstellen;

34

kunnen zowel een probleem oplossen dat kan vertaald worden naar een ongelijkheid van de eerste als van de tweede graad met één onbekende;

35

kunnen veeltermen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en het resultaat herleiden;

36

kunnen een staartdeling uitvoeren voor twee veeltermen in één onbepaalde waarvan de deler een eenterm of een tweeterm is;

37

kunnen het algoritme voor de deling van een veelterm door x - a toepassen;

38

kunnen de restregel bij deling van een veelterm door x - a toepassen;

39

kunnen een veelterm ontbinden: door een gemeenschappelijke factor buiten haken te brengen; door de formule voor het verschil van twee kwadraten en een drieterm die een volkomen kwadraat is toe te passen; door een deler van de vorm x - a op te sporen; door de overeenkomstige vierkantsvergelijking op te lossen;

40

kunnen vanuit het voorschrift de grafiek van een functie opbouwen en daarbij gebruik maken van de eventuele symmetrie;

41

kunnen de grafiek tekenen van de functies f(x) = x, f(x) = x2, f(x) = 1/x, f(x) =

42

kunnen de overgang van de grafiek van een functie y = f(x) naar de grafiek van de functies y = f(x) + k, y = f(x + k) en y = kf(x) opbouwen;

43

kunnen het tekenverloop van een eerste- en een tweedegraadsfunctie bepalen en grafisch interpreteren;

44

kunnen problemen oplossen die kunnen beschreven worden zowel met eerste- als met tweedegraadsfuncties;

45

kunnen de oplossingenverzameling geven van een vergelijking van de eerste graad met twee onbekenden en kunnen het verband leggen met de bijpassende grafische voorstelling;

46

kunnen stelsels van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden algebraïsch oplossen en de oplossing grafisch interpreteren;

47

kunnen het voorschrift van een eerstegraadsfunctie, gegeven door een functiewaardetabel of een grafiek, bepalen;

48

kunnen problemen oplossen die te vertalen zijn naar stelsels van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden;

x , f(x) = x3;


20

eerste graad met twee onbekenden; 49

kunnen de eventuele snijpunten zowel van een rechte en een parabool als van twee parabolen bepalen;

50

kunnen de algemene term en de som van de eerste n termen van een rekenkundige en een meetkundige rij bepalen;

51

kunnen een hoekgrootte uitgedrukt in graden, met een decimale onderverdeling, omzetten naar graden, minuten, seconden en omgekeerd;

52

kunnen bewerkingen uitvoeren met hoekgroottes (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen met een natuurlijk getal en delen door een natuurlijk getal);

53

kunnen de eigenschappen van hoeken met benen die paarsgewijs evenwijdig zijn, van hoeken met benen die paarsgewijs loodrecht op elkaar staan en van hoeken ontstaan bij het snijden van twee evenwijdige rechten met een derde rechte gebruiken bij berekeningen en bewijzen;

54

kunnen de stelling voor de som van de hoekgroottes van een convexe veelhoek gebruiken bij berekeningen en bewijzen;

55

kunnen problemen met zijden en hoeken van rechthoekige driehoeken oplossen met behulp van goniometrische getallen en de stelling van Pythagoras;

56

kunnen de sinusregel en de cosinusregel voor een willekeurige driehoek toepassen;

57

kunnen de congruentiekenmerken van driehoeken gebruiken bij berekeningen en bewijzen;

58

kunnen het beeld bepalen van een vlakke figuur door een homothetie;

59

kunnen de gelijkvormigheid van driehoeken en de stelling van Thales gebruiken bij berekeningen en bewijzen;

60

kunnen de eigenschappen gebruiken van raaklijn aan een cirkel, middellijn en koorde, middelpuntshoek en omtrekshoek bij berekeningen, constructies en bewijzen;

61

kunnen bewerkingen uitvoeren met coördinaten (optellen, aftrekken, met een reëel getal vermenigvuldigen);

62

kunnen de cartesische vergelijking van een rechte opstellen als twee punten of één punt en de richtingscoëfficiënt gekend zijn;

63

kunnen de afstand tussen twee punten analytisch bepalen;

64

kunnen een inhoud benaderend berekenen aan de hand van de inhouden van gekende lichamen

65

kunnen een schijfdiagram, een staafdiagram, een histogram, een frequentiepolygoon en een cumulatieve frequentiepolygoon tekenen;

66

kunnen statistische gegevens uit frequentietabellen en grafische voorstellingen interpreteren;

67

kunnen aan de hand van modus, mediaan, kwartiel, gemiddelde, variatiebreedte en standaardafwijking, verschillende steekproeven vergelijken en conclusies trekken.

Samenhang tussen begrippen De leerlingen 68

kunnen een reëel getal interpreteren als de coördinaat van een punt op een getallenas;

69

kunnen de samenhang geven tussen de verschillende voorstellingswijzen van een functie: verwoording, voorschrift, functiewaardetabel en grafiek;

70

kunnen bij het gebruik van een eerstegraadsfunctie y = ax + b de betekenis van a en b toelichten;

71

kunnen bij het gebruik van een tweedegraadsfunctie y = ax2 + bx + c de betekenis van a en c toelichten;


21

72

kunnen het eventueel verband leggen tussen een vergelijking van de eerste graad met twee onbekenden en functies.

73

kennen het verband tussen de sinus en de cosinus van complementaire hoeken;

74

kennen het effect van de gelijkvormigheidsfactor (schaal) op de omtrek en de oppervlakte van vlakke figuren en op de inhoud van ruimtelichamen;

75

kunnen gelijkvormigheid van figuren verklaren met behulp van schaal en congruentie;

76

kennen de overeenkomst tussen een georiënteerde hoek en zijn beeldpunt op een goniometrische cirkel;

77

kennen het verband tussen de richtingscoëfficiënten van twee evenwijdige of loodrecht op elkaar staande rechten;

78

kunnen de tweedimensionale voorstelling van een driedimensionale situatie interpreteren;

79

kunnen relatieve frequentie in termen van kans interpreteren.

1 1.1

Algebra Reële getallen

Eindterm

Leerplandoelstellingen

Leerinhouden

Pedagogisch-didactische wenken

W15

1, 24

1.1.1

Met enkele goed gekozen voorbeelden laat men de leerlingen inzien dat elk rationaal getal kan voorgesteld worden met een decimale vorm die afbrekend of repeterend is.

Het bestaan van irrationale getallen

De breuktoets zinvol leren gebruiken lijkt hier aangewezen. Een bewijs van deze eigenschap en de omgekeerde eigenschap wordt niet verwacht. Een irrationaal getal is dan een getal met een decimale vorm die oneindig doorlopend is maar niet repeterend.

ASO – 2de graad – BASISVORMING AV Wiskunde (leerinhouden 1ste leerjaar: 4 lestijden/week)

LEERINHOUDEN EERSTE LEERJAAR

Voorbeelden die (zonder bewijs) aan bod moeten komen zijn π en vierkantswortels van niet volkomen kwadraten zoals

2 , 7 , . . ..

De leerlingen hebben in de eerste graad al kennis gemaakt met het begrip vierkantswortel. Een venndiagram met !, ', - en 3 zal hier verhelderend werken. Gebruik niet uitsluitend de concentrische venndiagrammen als grafische voorstelling. Denk onder meer aan een boomdiagram om de deelverzamelingen van te stellen.

3 voor

22


Leerinhouden


reële getallen rationale getallen

irrationale getallen

gehele getallen

niet gehele getallen

natuurlijke getallen

W15

25

1.1.2

Rationale benadering van een reëel getal

strikt negatieve gehele getallen

Het is belangrijk op te merken dat het in de praktijk onmogelijk is om te werken met een oneindig doorlopende decimale vorm. Men moet zich tevreden stellen met een benadering met een eindig aantal decimalen, dus met een getal dat rationaal is. Ook het schatten kan in deze rubriek aan bod komen met opdrachten zoals:

W15

26, 68

1.1.3

Afbeelden van reële getallen op een getallenas

•

wat is het teken van 2 -

•

schat

5 ?

17

De leerlingen hebben in de eerste graad met coördinaten gewerkt en zijn dus vertrouwd met de voorstelling van de rationale getallen op een getallenas. Men kan dit nu uitbreiden met de voorstelling van de irrationale getallen, waarvan de ligging van de beeldpunten kan geschat worden door irrationale getallen rationaal te benaderen.


Eindterm

Eens men de stelling van Pythagoras bewezen heeft, kan men het beeldpunt van bijvoorbeeld

2 op de getallenas construeren.

De orde in 3 (<, >, D, C) zal in verband gebracht worden met de ligging van de beeldpunten op een getallenas. De deelverzamelingen 4, 7, 5, 8 komen aan bod.

23

Rekenen in 3

•

Naast aandacht besteden aan het correct gebruik van rekenregels, is het evenzeer belangrijk zich te bezinnen over situaties waarin rekenregels onterecht worden gebruikt. Denk bijvoorbeeld aan:

a + b is over het algemeen niet gelijk aan

a+ b

•

Besteed aandacht aan het verschil tussen exact rekenen en benaderend rekenen.

•

Verval niet in eindeloos rekenwerk.

Eindterm


Leerinhouden


27, 28, 29

1.2.1

Nadruk moet liggen op rekenvaardigheid, zowel op papier als met een rekentoestel.

Optelling, aftrekking, vermenigvuldiging en deling in 3

Onderhouden van de rekenvaardigheid, Deze regels kunnen het best herhaald worden aan de hand van voorbeelden. zowel op papier als met het rekentoestel: Nadien kan men ze symbolisch noteren. • • • • • • •

regels van de haken som maal getal product maal getal som maal som som gedeeld door een getal product gedeeld door een getal getal gedeeld door een product


1.2

Benadruk de rol van 0 en 1, tegengesteld en omgekeerd getal. Besteed bij gebruik van het rekentoestel ook aandacht aan de volgorde van de bewerkingen in de wiskunde en de manier van invoeren in het rekentoestel. Let op het gepast gebruik van haken. Maak de leerlingen er opmerkzaam op dat er geen rekenregel bestaat voor een a is over het algemeen niet gelijk aan getal gedeeld door een som: b+c a a + . b c

24


Leerinhouden


Uibreiding naar breuken met reële getallen In de eerste graad hebben de leerlingen breuken gezien met gehele getallen in in teller en noemer. teller en noemer. Het is de bedoeling deze rekenvaardigheden uit te breiden tot breuken met in teller en noemer kommagetallen en irrationale getallen, zoals:

3 56 π π , , + ,… 2,5 23 2 3 Herhalen van de begrippen associativiteit, Deze begrippen zijn geen doel op zichzelf, maar maken deel uit van een commutativiteit en distributiviteit. wiskundig correcte communicatie. Een systematische en formele studie van alle groepseigenschappen is hier niet op zijn plaats. 27

1.2.2 • • • •

Machtsverheffing en rekenregels voor machten product en quotiënt van machten met hetzelfde grondtal macht van een product macht van een quotiënt macht van een macht

In de eerste graad hebben de leerlingen machten met rationale grondtallen en gehele exponenten bestudeerd, alsook hun rekenregels. Vestig nu de aandacht op machten met een irrationaal grondtal zoals bijvoorbeeld π 3 en gelijkheden zoals bijvoorbeeld

5

2

= 5.

De rekenregels uit de eerste graad worden nu geformuleerd en ingeoefend voor machten met reële grondtallen.


Eindterm

Vestig aan de hand van goed gekozen voorbeelden en tegenvoorbeelden de aandacht van de leerlingen op het feit dat de macht van een som over het algemeen niet gelijk is aan de som van de machten. Verwerk in de toepassingen ook het gebruik van de wetenschappelijke schrijfwijze van getallen. 27

1.2.3

Vierkantswortel

De leerlingen hebben reeds kennisgemaakt met vierkantswortels. Ze moeten eenvoudige wortels kunnen schatten en benaderend berekenen met het rekentoestel. Let op de manier van invoeren in het rekentoestel en het gepast gebruik van haken. Beklemtoon het onderscheid tussen de opdrachten “zoek alle reële getallen x die voldoen aan x2=144” en “bereken

144 ”.

25

Eventueel kan het begrip vierkantswortel uitgebreid worden tot derdewortel (hiermee kan bijvoorbeeld een ribbe van een kubus berekend worden als het


Leerinhouden

Pedagogisch-didactische wenken volume gegeven is).

27

1.2.4

Vierkantswortel van een product. Vierkantswortel van een quotiënt

Deze eigenschappen zijn bruikbaar bij het vereenvoudigen van vierkantswortels. Dit is later nuttig bij vierkantsvergelijkingen. De waarde van uitdrukkingen zoals 8 • •

6 +2

3 , 8

6 .2

3 kan:

benaderd worden door schatten; benaderend berekend worden met behulp van een rekentoestel.

Besteed aandacht aan: •

sommige wortelvormen kunnen herleid worden naar één wortelvorm: 8 2 +7 2 8 18 + 7 2 8 2 .3 3

•

sommige wortelvormen kunnen niet herleid worden tot één wortelvorm:

2 5 +3 3 De leerlingen zouden er moeten toe komen te beseffen dat er altijd een rekenregel bestaat, namelijk de volgorde van de bewerkingen.


Eindterm

Maar in vele gevallen bestaat er ook een rekenregel die toelaat eenvoudiger te rekenen. Trek aan de hand van goed gekozen voorbeelden en tegenvoorbeelden de aandacht van de leerlingen op het feit dat de vierkantswortel van een som (verschil) over het algemeen niet gelijk is aan de som (verschil) van de vierkantswortels. Ook het wortelvrij maken van de noemer van een uitdrukking zoals

a b

kan

hier aan bod komen. 1 2 benaderend te schatten dan

2 2 .

26

Zo is het moeilijker

Vergelijkingen

Eindterm

W19


Leerinhouden


1.3.1

Ware uitspraak. Onware uitspraak Beperk je tot wiskundige uitspraken in de vorm van een gelijkheid.

2

1.3.2

Vergelijking met één onbekende, oplossing , referentieverzameling

30

1.3.3

Oplossingsmethode voor Met graad wordt bedoeld de graad na herleiding op nul van de vergelijking. vergelijkingen van de eerste graad In de eerste graad werd geopteerd voor de balansmethode. met één onbekende Wie verkiest over te gaan op de overbrengingsregels, kan dit. In dat kader zal men voldoende aandacht besteden aan het gepast gebruik van ‘term’, ‘factor’, ‘tegengestelde’ en ‘omgekeerde’.

Gebruik niet steeds x als onbekende in een vergelijking.

Let op het verschil tussen het werken met breuken in berekeningen en in vergelijkingen: b.v.

Bereken:

2x 3 x + 7 7

Los op:

2x 3 x + =4 7 7


1.3

De leerlingen moeten inzien dat van de gegeven vergelijking wordt overgegaan naar een vergelijking met dezelfde oplossing(en). Bij vergelijkingen met meer dan één term in een teller wordt de aandacht gevestigd op de “niet geschreven haakjes“ en de rol van het teken voor de breukstreep. Het maken van de proef op de vergelijking mag niet uit het oog worden verloren. Het is de gelegenheid om de rekentechnieken nog eens te oefenen. Het rekentoestel kan hier hulp bieden. 27

Het is hier nog niet nodig te spreken over een oplossingenverzameling.


Leerinhouden


W17

31

1.3.4

Met het oog op de lessen fysica en informatica is dit een bijzonder belangrijk onderdeel.

Het omvormen van formules

Bedenk dat wat het laatst is opgebouwd het eerst moet afgebroken worden. Ook de hoofdeigenschap van een evenredigheid is handig. W19, W21

32

1.3.5

Vraagstukken die te herleiden zijn tot vergelijkingen van de eerste graad

In de eerste graad werden de letters in een basisformule vervangen door de gegevens van het vraagstuk. Het vooraf omvormen van een formule biedt een alternatief. Leerlingen ondervinden moeilijkheden bij vraagstukken omdat ze de gelijkheid niet ontdekken en/of omdat ze een gebrek aan vaardigheid hebben in het vertalen naar wiskundetaal. Een goede analyse, met symbolische voorstelling van de gegevens, is een handig hulpmiddel om een vergelijking te vinden. Volgende probleemoplossende vaardigheden kunnen ontwikkeld worden: • • • • •

het herformuleren van de opgave; het maken van een goede schets of een aangepast schema; het invoeren van geschikte notaties; het kiezen van de onbekende: de leraar vestigt de aandacht van de leerlingen op de reductie van de mogelijke onbekenden tot de gekozen onbekende; het analyseren van eenvoudige voorbeelden.


Eindterm

Door het maken van de proef op het vraagstuk ontwikkelen de leerlingen de gewoonte om terug te blikken op hun redenering en resultaat.

28

Ongelijkheden

Eindterm


Leerinhouden

3

1.4.1


Ware uitspraak. Onware uitspraak. Beperk je tot wiskundige uitspraken in de vorm van een ongelijkheid. Logische “of“. Negatie Besteed vooral aandacht aan: • D (kleiner dan of gelijk aan) • C (groter dan of gelijk aan). Bespreek de negatie van “<“ en “>“.

4

1.4.2

Verenigbaarheid van de ongelijkheden met de hoofdbewerkingen in 3

Hiermee worden de eigenschappen bedoeld waarbij een nieuwe ongelijkheid bekomen wordt als bij voorbeeld bij beide leden hetzelfde reëel getal opgeteld wordt.

1.4.3

Ongelijkheid met één onbekende, oplossing, interval, referentieverzameling, oplossingenverzameling

Gebruik niet steeds x als onbekende in een ongelijkheid. Merk op dat er geen ongelijkheden met onbekenden werden behandeld in de eerste graad. Het beschouwen van een ongelijkheid zoals x C 5 leidt tot een interval waarvan één van de grenzen oneigenlijk is.


1.4

Hier komt ook het begrip oplossingenverzameling voor het eerst tot zijn recht omdat er meer dan één oplossing is. W20

33

1.4.4

Oplossingsmethode voor Met graad wordt bedoeld de graad na herleiding op nul van de ongelijkheid. ongelijkheden van de eerste graad met één onbekende

W20

33

1.4.5

Grafische voorstelling van de oplossingenverzameling van een ongelijkheid van de eerste graad met één onbekende

Gebruik de grafische voorstelling om van de oplossingenverzameling: één of meer elementen aan te duiden; één of meer elementen op te noemen; het grootste element, indien het bestaat, te zoeken; het kleinste element, indien het bestaat, te zoeken.

29

• • • •


Leerinhouden

W20, W21

34

1.4.6

1.5


Vraagstukken die te herleiden zijn tot een ongelijkheid van de eerste graad met één onbekende

Veeltermen en ontbinding in factoren

Eindterm


Leerinhouden


5, 35

1.5.1

Als aanloop herhalen we kort de begrippen i.v.m. veeltermen en het rekenen met veeltermen zoals gezien in de eerste graad.

Rekenen met veeltermen

Deze herhaling kan gebeuren in oefeningenvorm. Herhaal ook (a + b).(a - b) en (a + b)2. 36

37

1.5.2

1.5.3

Quotiënt, rest, opgaande en nietopgaande deling van veeltermen in één onbepaalde

De staartdeling van veeltermen werd in de eerste graad nog niet aangeleerd. Vermijd al te ingewikkelde oefeningen: beperk je alleszins tot veeltermen in één onbepaalde. Als deler kan men zich beperken tot eentermen en tweetermen.


Eindterm

Deling door x - a met het algoritme De naam algoritme wordt verkozen boven rekenschema. van Horner Aan de leerlingen kan uitgelegd worden dat het woord algoritme afgeleid werd van de Arabische wiskundige al-Chwarizmi. Een bewijs van de regel van Horner wordt niet verwacht.

38

1.5.4

Restregel bij deling door x - a

Leid deze regel af uit de hoofdbetrekking van de deling. De kenmerken van deelbaarheid door x + 1 en door x - 1 kunnen gegeven worden. 30


Leerinhouden


39

1.5.5 Ontbinding in factoren • buiten haken brengen van een gemeenschappelijke factor • verschil van twee kwadraten • drieterm die een volkomen kwadraat is • een deler van de vorm x - a opsporen

De eerste drie methoden zijn een herhaling van de eerste graad. Alleen delers opsporen van de vorm x - a is nieuw. Alhoewel men zich mag beperken tot veeltermen in één onbepaalde, kan men facultatief veeltermen ontbinden waarbij de coëfficiënten voorgesteld worden door letters. Nuttig is de getallen zo te kiezen dat bij de ontbinding irrationale getallen voorkomen. Denk aan het ontbinden van x² - 5 of 2x² - 1. Als toepassing op het ontbinden in factoren, kunnen vergelijkingen opgelost worden door ze op nul te herleiden en het linkerlid te ontbinden.


Eindterm

31

Functies in 3

Eindterm


Leerinhouden

W22

69

1.6.1

Functies bepaald door een verwoording

Pedagogisch-didactische wenken Bij het invoeren van het begrip functie in

3 wordt niet uitgegaan van relaties in

3. In de tweede graad moeten de leerlingen vooral inzien dat een functie een verband legt tussen de waarden van twee grootheden zoals bijvoorbeeld de zijde en de oppervlakte van een vierkant, de gespreksduur en de prijs van een telefoongesprek, en zo verder.

W22

6

1.6.2

Wiskundige functies. Afhankelijke en onafhankelijke veranderlijke

Soms kan de verwoording die een functie bepaalt, uitgedrukt worden met behulp van een wiskundige betrekking, die toelaat, vertrekkend van een waarde x van de eerste grootheid de overeenstemmende waarde y van de tweede grootheid te berekenen. In dit geval wordt x de onafhankelijke veranderlijke (of argument) genoemd en y de afhankelijke veranderlijke. Men zegt ook dat y een functie is van x.


1.6

De vergelijking waardoor de functie wordt bepaald, wordt ook voorschrift genoemd. Mogelijke voorbeelden zijn:

6

1.6.3

Empirische functies

• •

y=x y = x2

•

y=

•

y=

x 1 x

Soms bestaat het verband tussen twee grootheden uit genoteerde overeenstemmende waarden van de grootheden, die bekomen werden door metingen. 32

Het noteren van de temperatuur van een zieke op verschillende tijdstippen is


Leerinhouden

Pedagogisch-didactische wenken hiervan een typisch voorbeeld. Men spreekt hier over een empirische functie.

W22

6, 69

1.6.4

Functiewaardetabellen

De leerlingen moeten, vanuit metingen of vanuit een functievoorschrift, functiewaardetabellen kunnen opstellen en interpreteren. Eventueel kan hier gebruik gemaakt worden van een grafisch rekentoestel.

W22, W23

40

1.6.5

Grafiek van een functie

Grafieken van recht evenredige grootheden werden reeds in de eerste graad getekend. Na het opstellen van een geschikte functiewaardetabel, kan een grafiek worden getekend. Omgekeerd moeten de leerlingen vanuit een grafiek een functiewaardetabel kunnen opstellen. Mogelijke voorbeelden zijn: • •

f(x)=x f ( x ) = x2

•

f(x)=


Eindterm

x 1 • f(x)= x Men zal zich beperken tot het leren maken van een grafiek zonder speciale eigenschappen te bestuderen.

De leraar vermijdt de indruk te wekken dat van alle functies met wiskundig voorschrift de grafiek een rechte is. Concrete voorbeelden hoeven niet echt, maar volgende situaties kunnen wel behandeld worden: • •

33

bereken de zijde van een vierkant als de oppervlakte van het vierkant gegeven is; bereken de lengte van een rechthoek met vaste oppervlakte in functie van de breedte.


Leerinhouden

Pedagogisch-didactische wenken Bij dit alles biedt een grafisch rekentoestel vele extra mogelijkheden.

6

1.6.6

Beeld van een reëel getal door een functie, functiewaarde

Bij een gegeven functie kan men opmerken dat met een x-waarde één of geen ywaarde correspondeert. De bekomen y-waarde noemt men het beeld van het reëel getal x door de functie. De leraar die nut ziet in een pijlenvoorstelling van een functie mag daar ook gebruik van maken. Een verwijzing naar het input/output model van een computer kan hier verhelderend werken.

6, 40

1.7

1.6.7

Constante functie: definitie en grafiek

Illustreer een constante functie met concrete voorbeelden: • •

de temperatuur op de bodem van de oceaan, de oppervlakte van een driehoek als een hoekpunt verschoven wordt evenwijdig met de overstaande zijde, en zo verder.

Eerstegraadsfuncties

Eindterm


Leerinhouden


W22

6

1.7.1

Een eerstegraadsfunctie is een functie met een voorschrift van de gedaante y = ax + b (a : 6, b : 3).

Definitie van eerstegraadsfunctie


Eindterm

Begin ook hier met concrete illustraties. Bijvoorbeeld: de oppervlakte van een driehoek met vaste basis en veranderlijke hoogte, de prijs van een taxirit, en zo verder. W23, W24, W25, W33

6, 40

1.7.2

Deze grafiek is reeds gekend uit de eerste graad bij recht evenredige grootheden. De leerlingen moeten inzien dat a > 0 een stijgende functie impliceert, d.w.z. toenemende argumenten corresponderen met toenemende functiewaarden

34

Grafiek van y = ax. Stijgen en dalen van een eerstegraadsfunctie. Richtingscoëfficiënt.


Leerinhouden

Pedagogisch-didactische wenken toenemende argumenten corresponderen met toenemende functiewaarden. Analoog betekent a < 0 dat de functie dalend is, d.w.z. toenemende argumenten corresponderen met afnemende functiewaarden. De leerlingen moeten het verband inzien tussen de a-waarden en de helling van de rechte. Ze moeten inzien dat a de richting van de rechte bepaalt en daarom de richingscoëfficiënt van de rechte wordt genoemd. Het aanreiken van een meetkundig hulpmiddel om de waarde van a op de grafiek te leren aflezen behoort tot de mogelijkheden.

W24, W25, W27, W33

6, 40, 70

1.7.3

Grafiek van y = ax + b. Nulwaarde

De leerlingen moeten inzien hoe men de grafiek van de functie y = ax + b door een verschuiving kan laten ontstaan uit de grafiek van y=ax. Hieruit blijkt de rol van het getal b. Het getal b is de ordinaat is van het snijpunt van de grafiek met de y-as. De abscis van het snijpunt van de grafiek met de x - as is de nulwaarde van de functie. De leerlingen moeten inzien dat de rechten met vergelijking y = ax + b en y = ax evenwijdig zijn en dus dezelfde richtingscoëfficiënt hebben.

W31, W33

44, 70

1.7.4

Problemen die leiden tot eerstegraadsfuncties

Denk aan problemen die te maken hebben met een afgelegde weg. Denk ook aan de kostprijs van een taxi die afhankelijk is van de afgelegde weg en een instapprijs.

W30, W31

44

1.7.5

Gemeenschappelijke punten van de grafiek van eerstegraadsfuncties

Denk aan de kostprijsfuncties.

grafische

vergelijking

van

afgelegde

wegfuncties


Eindterm

en

35

Vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden

Eindterm


45 45

Leerinhouden


1.8.1

Vergelijkingen van de vorm ux + vy + w = 0

Een concreet voorbeeld: zoek de afmetingen van alle rechthoeken waarvan de omtrek 20 meter is.

1.8.2

Oplossing en koppelvoorstelling van een oplossing

Het is nuttig een aantal oplossingen eerst weer te geven in een tabel.

Oplossingsmethodes

Er zijn twee methodes:

1.8.3

Daarna kan de koppelvoorstelling afgesproken worden. • •

men geeft aan x een waarde en men lost dan op naar y of omgekeerd; men lost eerst op naar y (indien mogelijk) en men geeft dan aan x een waarde. Vervolgens berekent men de corresponderende y-waarde. Men kan ook naar x oplossen en aan y een waarde geven.

45

1.8.4

Oplossingenverzameling als koppelverzameling

De tweede methode laat toe de oplossingenverzameling als een verzameling van koppels reële getallen te noteren.

45

1.8.5

Grafische voorstelling van de oplossingenverzameling

Het oplossen van een vergelijking naar y (indien mogelijk) legt het verband met de grafiek van een eerstegraadsfunctie.


1.8

Na oplossing naar y is de coëfficiënt van x de richtingscoëfficiënt. 72

1.8.6

Verband tussen vergelijkingen van Via de bespreking van de vergelijking ux + vy + w = 0 wordt het verband gelegd de eerste graad en functies met constante en eerstegraadsfuncties. Merk op dat voor v = 0 de grafische voorstelling wel een rechte is, die evenwel niet de grafiek van een functie is.

36

Stelsels van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden

Eindterm

W28


Leerinhouden


3

1.9.1

Het begrip stelsel van vergelijkingen, logische “en“

Neem als instap een concreet vraagstuk dat aanleiding geeft tot dit soort stelsel.

46

1.9.2

Grafische oplossingsmethode

Beschouw drie gevallen: snijdende, strikt evenwijdige en samenvallende rechten. Vestig de aandacht op het feit dat de oplossingenverzameling van het stelsel de doorsnede is van de oplossingenverzamelingen van de vergelijkingen die optreden in het stelsel.

W28

46

1.9.3

Substitutiemethode

Hier wordt een vergelijking opgelost naar x of naar y. Deze uitdrukking wordt in de andere vergelijking ingevuld.

W28

46

1.9.4

Combinatiemethode

W29

48

1.9.5

W22, W26

47

1.9.6

Vraagstukken die aanleiding geven tot een stelsel van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden Voorschrift van een Nadat men twee koppels gekozen heeft die voldoen aan het algemeen eerstegraadsfunctie bepalen als functievoorschrift, brengt men het probleem terug tot het oplossen van een stelsel een tabel gegeven is met 2 onbekenden.


1.9

Het feit dat die onbekenden nu niet genoteerd worden als x en y, zou de leerlingen niet mogen afschrikken. W22, W26

47

1.9.7

Voorschrift van een eerstegraadsfunctie bepalen als de grafiek gegeven is

In eenvoudige gevallen kunnen de waarden van a en b rechtstreeks van de grafiek afgelezen worden. Algemeen kan men het vraagstuk terugbrengen tot een stelsel.

37


2

38

Meetkunde

1 Gelet op het invoeren van de eindtermen voor de eerste graad, was ook een aanpassing van het leerplan meetkunde van de tweede graad niet meer te vermijden. Bij het formuleren van eigenschappen wordt uitgegaan van de leerstof die de leerlingen in de eerste graad hebben gezien: • • • • • • •

formules voor de omtrek van driehoek, vierkant, rechthoek, parallellogram, ruit, trapezium en schijf; formules voor de oppervlakte van driehoek, vierkant, rechthoek, parallellogram, ruit, trapezium en schijf; formules voor de oppervlakte van kubus, balk, recht prisma en cilinder; formules voor de inhoud van kubus, balk, recht prisma en cilinder; congruentiekenmerken van driehoeken (congruente figuren zijn in de eerste graad figuren die elkaar volkomen kunnen bedekken); transformaties: verschuiving, spiegeling, puntspiegeling, draaiing; invarianten van transformaties: het rechte-zijn, lengte van lijnstukken, grootte van hoeken, evenwijdigheid van rechten, loodrechte stand van rechten.

In het eerste leerjaar van de tweede graad ASO 4u/w wordt de meetkunde op een meer intuïtieve manier aangebracht dan in het eerste leerjaar van de tweede graad ASO 5u/w. Toch moet ook in de 4 uur-cursus, de intuïtieve aanpak van de eerste graad in zekere mate vervangen worden door een meer bewijskrachtige aanpak. 2 Voortaan zal in het eerste leerjaar van de tweede graad ASO 4u/w elementaire driehoeksmeting worden behandeld. Hiermee wordt bedoeld het berekenen van onbekende zijden of hoeken van een rechthoekige driehoek in functie van bekende zijden of hoeken door eventueel gebruik te maken van goniometrische getallen. Het staat de leerkracht vrij één van de volgende werkwijzen te volgen: • •

hij kan eerst congruentie en gelijkvormigheid behandelen en nadien de driehoeksmeting. Eerstgenoemde “werktuigen” kunnen dan onmiddellijk gebruikt worden om sommige eigenschappen in de driehoeksmeting te bewijzen; hij kan eerst driehoeksmeting behandelen op een intuïtieve en minder abstracte manier, waarbij het realiteitsgebonden zijn en het toepassingsgericht zijn centraal staan. Nadien wordt congruentie en gelijkvormigheid gegeven en kan men als toepassing sommige eigenschappen uit de driehoeksmeting met deze werktuigen bewijzen.

Het gebruik van een rekentoestel zal in het onderdeel driehoeksmeting een belangrijke rol spelen. Bovendien kan de driehoeksmeting ook nuttig aangewend worden in de lessen fysica en in de lessen aardrijkskunde. 3 De leerstof meetkunde leent zich uitstekend tot het aanreiken van een aantal problem solvingtechnieken.

Hoekmeting

Eindterm


Leerinhouden


51

2.1.1

Besteed ook aandacht aan het omzetten naar graden met een decimale onderverdeling van een hoekgrootte die uitgedrukt werd in graden, minuten en seconden.

De zestigdelige graad, de minuut, de seconde. Graad met decimale onderverdeling

Ook de omgekeerde omzetting is belangrijk. Hoekgroottes uitgedrukt in graden met een decimale onderverdeling komen aan bod bij het uitvoeren van hoekberekeningen en goniometrische berekeningen met een rekentoestel. Het aanleren van het gebruik van de speciale toetsen die hiervoor meestal voorhanden zijn op een rekentoestel, is beslist noodzakelijk. 8, 52

2.1.2

Bewerkingen met hoekgroottes. Complementaire en supplementaire hoeken

Het is nuttig de bewerkingen met hoekgroottes uitgedrukt in graden, minuten en seconden in te oefenen: optelling, aftrekking, vermenigvuldiging met een natuurlijk getal en deling door een natuurlijk getal. Uiteraard moeten de leerlingen de vermelde bewerkingen ook vlot kunnen uitvoeren met een rekentoestel.

53

54

2.1.3 Eigenschappen van hoeken • hoeken met benen die paarsgewijs evenwijdig zijn • hoeken met benen die paarsgewijs loodrecht zijn • hoeken in verband met rechten gesneden door een derde rechte

Deze eigenschappen van verwisselende binnen- en buitenhoeken, overeenkomstige hoeken, binnen- en buitenhoeken aan eenzelfde kant van de transversaal, kunnen gebruikt worden in berekeningen en in bewijzen.

2.1.4

De som van de hoekgroottes in een driehoek en een vierhoek werden al bestudeerd in de eerste graad. Men kan deze eigenschappen nu bewijzen en veralgemenen voor convexe n-hoeken.

Som van de hoekgroottes in een convexe n-hoek


2.1

Kent men één hoek, dan kunnen de andere daaruit afgeleid worden.

Het begrip convex hebben de leerlingen nog niet gezien in de eerste graad. 39

Congruentie en gelijkvormigheid

Eindterm


Leerinhouden


14, 57

2.2.1

De congruentiekenmerken van driehoeken werden bestudeerd in de eerste graad.

Congruentiekenmerken van driehoeken

Het is de bedoeling de congruentiekenmerken van driehoeken te herhalen en een aantal oefeningen te maken die aanleiding geven tot leren bewijzen. 13

2.2.2

Eigenschappen van driehoeken

Volgende eigenschappen van driehoeken, waarvan er een aantal kunnen bewezen worden met congruentie, komen aan bod: • • • •

W35

59

2.2.3

De stelling van Thales en omgekeerde

middelloodlijnen en omcirkel; bissectrices en incirkel; zwaartelijnen en zwaartepunt; het samenvallen van de zwaartelijn, de hoogtelijn en de bissectrice door de top bij gelijkbenige driehoeken.

Voor de stelling van Thales wordt geen bewijs verwacht. De stelling van Thales wordt geformuleerd met lengten van lijnstukken.


2.2

De leerlingen moeten inzien dat evenwijdigheid leidt tot evenredigheid. 15, 58, 74

2.2.4

Homothetie (definitie, invarianten), Breng homothetieën in verband met schaal. homothetisch beeld van een De leerlingen moeten inzien dat een homothetie volledig bepaald is door zijn figuur, omtrek en oppervlakte en centrum en zijn factor. het verband met de factor De invarianten van een homothetie moeten niet bewezen worden, maar kunnen ontdekt worden door bijvoorbeeld een rechthoekig trapezium te onderwerpen aan een homothetie. Is het centrum en één niet-identiek koppel van de homothetie bekend, dan is de homothetie volledig bepaald. Belangrijk is de constructie van een koppel met behulp van evenwijdige rechten en het verband met de stelling van Thales. 40

De omtrek en de oppervlakte van het homothetisch beeld van een figuur moeten


Leerinhouden

Pedagogisch-didactische wenken in verband gebracht worden met de factor van de homothetie.

W34

74, 75

2.2.5

Gelijkvormige figuren

Een eerste figuur wordt gelijkvormig genoemd met een tweede figuur als de tweede figuur congruent is met een homothetisch beeld van de eerste figuur. Voer het begrip gelijkvormigheidsfactor in en breng het in verband met omtrek en oppervlakte. Schaal en congruentie laten ook toe de gelijkvormigheid van figuren te verklaren.

W35

14, 59

2.2.6

Gelijkvormigheidskenmerken voor driehoeken

De leerlingen moeten de gelijkvormigheidskenmerken: • •

kunnen verwoorden, kunnen gebruiken bij: constructies, berekeningen, bewijzen.


Eindterm

41

Driehoeksmeting in een rechthoekige driehoek

Eindterm

W36


Leerinhouden

8

2.3.1

Het complementair zijn van de scherpe hoeken van een rechthoekige driehoek

55

2.3.2

De stelling van Pythagoras


De stelling van Pythagoras moet bewezen worden. De stelling van Pythagoras kan bewezen worden door de oppervlakteformules voor een vierhoek en een driehoek te gebruiken of met behulp van gelijkvormigheden. Vermeld ook de omgekeerde stelling van Pythagoras (zonder bewijs). Constructies met behulp van de stelling van Pythagoras moeten uitgevoerd worden (denk bijvoorbeeld aan de constructie van

W38

9

2.3.3

Sinus van een scherpe hoek. Cosinus van een scherpe hoek

2 ).

In een rechthoekige driehoek wordt de sinus van een scherpe hoek gedefinieerd als het quotiënt van de lengte van de overstaande rechthoekszijde en de lengte van de schuine zijde.


2.3

In een rechthoekige driehoek wordt de cosinus van een scherpe hoek gedefinieerd als het quotiënt van de lengte van de aanliggende rechthoekszijde en de lengte van de schuine zijde. W36

2.3.4

Berekening van sin 60°. Berekening van cos 60°

Het is belangrijk de leerlingen rechthoekige driehoeken te laten tekenen met verschillende oppervlaktes en door nameten op de figuur te laten vermoeden dat 1 cos 60° = . 2 De leerlingen zien dan ook in dat een goniometrisch getal niet afhangt van de oppervlakte van de gekozen driehoek. 1 kan gebeuren door de rechthoekige driehoek te 2 spiegelen om de overstaande rechthoekszijde, zodanig dat er een gelijkzijdige

Het bewijs van cos 60° =

42


Leerinhouden

Pedagogisch-didactische wenken driehoek ontstaat. Hier wordt dus gebruik gemaakt van een niet-evidente problem solving-techniek: het uitbreiden van een figuur door spiegeling. Met de stelling van Pythagoras kan dan sin 60° berekend worden. Het rekentoestel geeft een bevestiging van het gevonden resultaat en het inzicht dat het rekentoestel meestal slechts een rationale benadering oplevert voor een goniometrisch getal.

2.3.5


Door de rechthoekige driehoeken getekend voor de berekening van cos 60° en van sin 60° te bekijken in een andere stand zien de leerlingen in dat sin 30° = cos 60° en dat cos 30° = sin 60° . Ook hier wordt gebruik gemaakt van een problem solving-techniek: een figuur in een andere stand bekijken.

73

W36

2.3.6

Verband tussen de sinus en de cosinus van complementaire hoeken

Het ligt voor de hand de vorige resultaten te veralgemenen.

2.3.7


In dit geval zijn de rechthoekige driehoeken bovendien gelijkbenig, zodat het probleem met twee onbekenden teruggebracht wordt tot één onbekende.


Eindterm

Ook hier wordt gebruik gemaakt van een problem solving-techniek: het verminderen van het aantal onbekenden. Ook hier vindt de stelling van Pythagoras een mooie toepassing. W36

12

2.3.8

Hoofdeigenschap voor de sinus en Hiermee wordt de eigenschap cos2 α + sin2 α = 1 bedoeld, waarin α de grootte de cosinus van een scherpe hoek van een scherpe hoek is. Vestig de aandacht op de eigenaardige notatie van de kwadraten.

W38

9

2.3.9

Tangens van een scherpe hoek

43

De tangens van een scherpe hoek wordt gedefinieerd als het quotiënt van de sinus en de cosinus van die scherpe hoek.


W16, W38

W39

55

Leerinhouden


2.3.10 Berekening van tan 30°. Berekening van tan 45°. Berekening van tan 60°

Het berekenen van deze waarden zijn oefeningen op het rekenen met vierkantswortels.

2.3.11 Regels voor het oplossen van een rechthoekige driehoek

Het is belangrijk op te merken dat er twee soorten regels bestaan: • •

regels zonder goniometrische getallen zoals de stelling van Pythagoras en het complementair-zijn van de scherpe hoeken; regels met goniometrische getallen.

Het is belangrijk de regels onder woorden te brengen zodat de leerlingen zich niet vastpinnen op notaties. Wijs de leerlingen erop dat de tangensregel gebruikt wordt voor een probleem waarin de twee rechthoekszijden aan bod komen. W39

55

2.3.12 Vraagstukken in het vlak die herleid kunnen worden tot berekeningen in rechthoekige driehoeken

Behandel vooral toepassingen in betekenisvolle situaties. Ook meetkundige problemen over regelmatige veelhoeken kunnen aan bod komen. Om inzicht te verwerven in een probleem moeten de leerlingen leren uitgaan van een kladfiguur.


Eindterm

In sommige gevallen kan uitgegaan worden van een figuur op schaal en kunnen de resultaten achteraf nagemeten worden. Vestig de aandacht erop dat men zo weinig mogelijk een beroep moet doen op al berekende en benaderde grootheden, dit om de voortplanting van fouten te voorkomen in berekeningen. Zorg ervoor dat de leerlingen de tussenberekeningen zo nauwkeurig mogelijk uitvoeren en pas in het antwoord overgaan tot benaderen en afronden. Vestig ook de aandacht op de eenheden in het antwoord en de gewenste nauwkeurigheid van de eindresultaten. Ook het efficiënt gebruik van een rekentoestel, om bijvoorbeeld berekende elementen te bewaren in een geheugen, moet ingeoefend worden. 44


45

VERDELING VAN DE BESCHIKBARE LESTIJDEN Op jaarbasis wordt uitgegaan van 25 weken les. Dit geeft voor het eerste leerjaar van de tweede graad 4 u x 25 = 100 lesuren. Algebra

70 u

Meetkunde

30 u ------100 u

Een ruwe mogelijke jaarindeling is: Periode

1 lesuur

1 lesuur

september – maart

april – juni

algebra

algebra

1 lesuur

1 lesuur meetkunde

meetkunde

1 1.1

Algebra en analyse Eerstegraadsvergelijkingen (herhaling)

Eindterm


W19

Leerinhouden


1.1.1

Het oplossen van betekenisvolle vraagstukken staat centraal.

Oplossen van eerstegraadsvergelijkingen

Gebruik niet altijd x als onbekende. Het maken van de proef op de vergelijking mag niet uit het oog worden verloren. Het is een gelegenheid om de rekentechnieken nog eens te oefenen. Het rekentoestel kan hier hulp bieden. Behandel ook de identieke en de valse vergelijking.

W17

1.2

1.1.2

Omvormen van formules

ASO – 2de graad – BASISVORMING AV Wiskunde (leerinhouden 2de leerjaar: 4 lestijden/week)

LEERINHOUDEN TWEEDE LEERJAAR

In betekenisvolle formules uit de realiteit met meerdere variabelen wordt één variabele geschreven in functie van de andere variabelen door gebruik te maken van de gekende technieken voor het oplossen van eerstegraadsvergelijkingen.

Tweedegraadsvergelijkingen

Eindtermen


Leerinhouden

W12, W14

28, 30, 32

1.2.1


46

Bewerkingen met vierkantswortels Met behulp van algebraïsche rekentechnieken moeten wortelvormen tot de (herhaling) eenvoudigste vorm kunnen herleid worden.


Leerinhouden

Pedagogisch-didactische wenken Is het resultaat irrationaal dan kan men benaderen door te schatten of kan men de berekening uitvoeren met het rekentoestel. Exact uitvoeren betekent dat men een kwadratische factor moet kunnen afzonderen. Dit gebeurt met het oog op het kunnen vereenvoudigen van 6 − 54 die kunnen voorkomen bij het oplossen van uitdrukkingen zoals 12 vergelijkingen van de tweede graad.

33

1.2.2

Oplossen van sommige vergelijkingen van de tweede graad door ontbinding in factoren

Zowel onvolledige als volledige tweedegraadsvergelijkingen komen hier aan bod. Breng alle termen steeds over naar eenzelfde lid. Het oplossen van x² - 5 = 0 gebeurt door de bijhorende ontbinding van x2 - 5 uit voeren. Men kan het oplossen van x² - 2x – 1 = 0 voorbereiden door over te gaan op ( x 2 − 2x + 1) − 2 = 0 en op het linkerlid de ontbinding toe te passen. Bedoeling is de leerlingen te laten inzien dat het oplossen van sommige tweedegraadsvergelijkingen, via ontbinding in factoren, kan teruggebracht worden tot het gekende oplossen van eerstegraadsvergelijkingen.


Eindtermen

Vermits deze methode niet altijd succesvol blijkt te zijn wordt naar een algemene methode gezocht. W 21

33

1.2.3

Algemeen geval: oplossen van vergelijkingen van de tweede graad. Vraagstukken

Het algoritme met de discriminant hoeft niet bewezen te worden. Nochtans ligt een veralgemening, vertrekkend van goed gekozen voorbeelden, in het bereik van meerdere leerlingen. Wel moet gewezen worden op het zinvol kiezen van de methode bij onvolledige tweedegraadsvergelijkingen. Het noteren van de uitkomsten als een oplossingenverzameling lijkt hier wel aangewezen. 47

Een vergelijking leren opstellen met gegeven oplossingenverzameling kan verhelderend werken.


Leerinhouden

Pedagogisch-didactische wenken Ook vraagstukken moeten hier aan bod komen.

41

1.2.4

Ontbinding in factoren van willekeurige drietermen van de tweede graad

Tweedegraadsveeltermen kunnen ook ontbonden worden door de nulwaarden te bepalen. Het bestaan van deze, altijd geldende, methode voor het ontbinden van drietermen van de tweede graad, zal door vele leerlingen als een geruststelling worden ervaren. Facultatief kan de leerlingen er op gewezen worden dat het oplossen van hogeregraadsvergelijkingen, na ontbinding in factoren, kan teruggebracht worden tot de gekende methodes voor het oplossen van eerste en tweedegraadsvergelijkingen. Ingewikkelde oefeningen zijn alleszins te mijden.

1.3 1.3.1

Rijen en functies in 3 Rekenkundige rijen. Meetkundige rijen

Eindterm


Leerinhouden


Eindtermen


1.3.1.1 Definitie 50

1.3.1.2 Algemene term

Het hernemen van de regelmaat bij getalpatronen zal als uitgangspunt dienen tot het opstellen van de formule voor de algemene term en tot het opstellen van de formule voor de som van de eerste n termen.

50

1.3.1.3 Som van de eerste n termen

De formule voor de som van de eerste n termen van een rekenkundige rij wordt afgeleid uit enkele voorbeelden.

48

De formule voor de som van de eerste n termen van een meetkundige rij moet niet bewezen worden, maar wel geverifieerd worden met goed gekozen voorbeelden.Men kan ook aandacht schenken aan de grafische betekenis van de formules.

Herhaling en uitbreiding van het begrip functie

Eindterm


Leerinhouden

Pedagogisch-didactische wenken Al deze begrippen zullen bij de hierna behandelde functies geïntegreerd worden en dienen niet afzonderlijk behandeld te worden.

W22

69

•

Het begrip functie

In betekenisvolle situaties wordt de samenhang onderzocht tussen de verwoording van het verband tussen twee numerieke grootheden en de hieruit af te leiden tabel, voorschrift en grafiek. Zowel bij het opstellen van functiewaardetabellen als bij het plotten en exploreren van grafieken kan een grafisch rekentoestel of een computer zeer nuttig zijn.

W25

6

•

Domein van een functie. Bereik van een functie

W25, W32

6, 7

•

Differentiequotiënt - stijgen - dalen minimum - maximum

Een differentiequotiënt is de maat voor de gemiddelde verandering van een functie over een interval. Er wordt benadrukt dat bij een eerstegraadsfunctie de richtingscoëfficiënt gelijk is aan het differentiequotiënt.

W25 1.3.3

40

•


1.3.2

Symmetrie

Eerstegraadsfuncties

Eindterm


Leerinhouden


W23, W24

40, 42

1.3.3.1 De grafiek van y = x. De grafiek van y = ax

Dit is een herhaling van vorig jaar.

W24

42

1.3.3.2 De grafiek van y = a (x - p)

Het verband met de richtingscoëfficiënt van een rechte wordt benadrukt. 49


Leerinhouden


W24

42, 70

1.3.3.3 De grafiek van y = ax + b

Het is zinvol als synthese een overzicht op te stellen dat de rol van de coëfficiënten a en b verduidelijkt. Als toepassing wordt het voorschrift bepaald van een eerstegraadsfunctie met gegeven grafiek.

W25 1.3.4

6

1.3.3.4 Nulwaarde

Tweedegraadsfuncties

Eindterm


Leerinhouden


W23, W24

6, 40, 42

1.3.4.1 De grafiek van y = x2 De grafiek van y = a x2

Als instap worden concrete illustraties gebruikt zoals oppervlakte van een vierkant, remafstand, enzovoort. Voer de begrippen top, bergparabool en dalparabool in. Laat met voorbeelden het verband inzien tussen de opening van de parabool en de absolute waarde van a.

W24

42

1.3.4.2 De grafiek van y = a(x - p)2

Verduidelijk het meetkundig verband met de basisgrafiek y = ax2 .

W24

42

1.3.4.3 De grafiek van y = a(x - p)2 + q

Leg eveneens een meetkundig verband tussen de grafieken van y = a(x - p)2 en y = a(x - p)2 + q.


Eindterm

Vestig de aandacht op de symmetrieas met vergelijking x = p en de abscis van de top. De formule voor de abscis van de top wordt aangeleerd en er wordt gewezen op het feit dat de abscis van de top gelijk is aan de halve som van de eventuele nulwaarden. Vestig ook de aandacht op het feit dat de top op de as van symmetrie ligt. 50


Leerinhouden


W24

42, 71

1.3.4.4 De grafiek van y = ax2 + bx + c

Laat met eenvoudige voorbeelden inzien dat y = ax2 + bx + c kan omgezet worden in een vergelijking y = a(x - p)2 + q . Een algemeen bewijs hiervan is niet nodig. Wel worden de formules voor de coördinaat van de top aangeleerd. De betekenis van a en c wordt toegelicht.

W25

6

1.3.4.5 Nulwaarden: berekening, grafische Verduidelijk de grafische betekenis en de rol van de discriminant. interpretatie Men beklemtoont dat een nulwaarde van de functie de abscis is van een snijpunt van de grafiek met de x-as.

W30, 31

44, 49

1.3.4.6 Problemen die leiden tot tweedegraadsfuncties

1.3.5

De functies: f(x) = x3; f(x) =

Eindterm


W23

41

1 ; f(x) = x

Het bepalen van de eventuele snijpunten van een rechte en een parabool of van twee parabolen, zowel algebraïsch als met ICT, moet hier zeker aan bod komen.

x

Leerinhouden De functies: f(x) = x3 ; f(x) =

Pedagogisch-didactische wenken Via concrete illustraties worden ook deze functies ingeleid. 1 ; f(x) = x Na het opstellen van functiewaardetabellen kan de grafiek worden getekend.

x

1.3.6


Eindterm

Een grafisch rekentoestel kan hier nuttig zijn.

Grafische gevolgen van het wijzigen van het functievoorschrift

Eindterm


Leerinhouden


W24

42

1.3.6.1 Overgang van y = f(x) naar y = f(x) + k

Deze overgang kan geïnterpreteerd worden ofwel als een verschuiving van de xas ofwel als een verschuiving van de grafiek evenwijdig met de y-as. 51


Leerinhouden


W24

42

1.3.6.2 Overgang van y = f(x) naar y = k.f(x)

Deze overgang kan geïnterpreteerd worden als een verschaling evenwijdig met de y-as.

W24

42

1.3.6.3 Overgang van y = f(x) naar y = f(x + k)

Deze overgang kan geïnterpreteerd worden ofwel als een verschuiving van de yas ofwel als een verschuiving van de grafiek evenwijdig met de x-as.

1.4

Ongelijkheden in 3 met één onbekende

Eindterm


Leerinhouden


W20

4, 33

1.4.1

Eerstegraadsongelijkheden

De oplossingsmethode en de notatie van de oplossingenverzameling worden herhaald.

W25

43

1.4.2

Tekenverloop van eerstegraadsfuncties en tweedegraadsfuncties

Het verband tussen de nulwaarde(n) en de tekenverandering(en) wordt gelegd.


Eindterm

Een grafische ondersteuning is hier essentieel. Het tekenverloop wordt genoteerd in een tabel. Voor tweedegraadsfuncties wordt de rol van a en van de discriminant besproken.

W20

W21

33

34

1.4.3

1.4.4

Oplossen van tweedegraadsongelijkheden; grafische voorstelling

Merk op dat de leerlingen nu geconfronteerd kunnen worden met een unie van intervallen als oplossingenverzameling. Vestig de aandacht op de grenspunten van de intervallen.

52

Vraagstukken die te herleiden zijn tot een ongelijkheid van de tweede graad met één onbekende

Stel de oplossingenverzameling voor op een getallenas.

2.1

Vlakke meetkunde Cirkel

Eindterm


Leerinhouden


W37

16

2.1.1

Cirkel en schijf

Herhaal de formules voor de omtrek en de oppervlakte.

2.1.2

Bepaling van de cirkel door drie punten

W37

W37

16, 60

2.1.3

Middellijn en koorde

Behandel enkele constructies en eigenschappen met betrekking tot lengte en onderlinge ligging van middellijn en koorde.

W37

16

2.1.4

Onderlinge ligging van een cirkel en een rechte; raaklijn

Men kan aandacht besteden aan de notatie van de doorsnede van een rechte en een cirkel.

W37

60

2.1.5

Loodrechte stand van de raaklijn en de middellijn door het raakpunt; constructie

W37

16, 60

2.1.6

Middelpuntshoek en omtrekshoek


2

Behandel het verband tussen de grootte van een omtrekshoek en de grootte van de corresponderende middelpuntshoek. Vestig de aandacht op het speciaal geval waarbij een middellijnstuk van een cirkel gezien wordt onder een rechte hoek.

W37

60

2.1.7

Constructie van een raaklijn aan een cirkel uit een punt buiten die cirkel

53

Driehoeksmeting

Eindterm


Leerinhouden


17

2.2.1

Vermijd hier vooral een al te theoretische benadering.

Het begrip georiënteerde hoek

De leerlingen hebben in de eerste graad al kennis gemaakt met georiënteerde hoeken bij de behandeling van draaiingen. Een definitie werd toen niet gegeven. Wij definiëren nu een georiënteerde hoek als een hoek die bepaald wordt door zijn hoekgrootte en zijn zin. Vestig de aandacht op de nulhoek, de gestrekte hoek, de positieve rechte hoek en de negatieve rechte hoek. 17, 76

2.2.2

Goniometrische cirkel

Kiest men in het vlak een positief orthonormaal assenstelsel, dan noemt men de cirkel met de oorsprong als middelpunt en de lengte-eenheid als straal de goniometrische cirkel van dit assenstelsel. De positieve x-as wordt als beginbeen van de georiënteerde hoek gekozen. De leerlingen moeten dan inzien dat met elke georiënteerde hoek precies één punt van de goniometrische cirkel correspondeert en omgekeerd. Ze moeten ook inzien dat een georiënteerde hoek oneindig veel maatgetallen heeft.

10, 11

56

2.2.3

2.2.4

Uitbreiding van de definitie van de goniometrische getallen

Sinus, cosinus en tangens van scherpe hoeken zijn gekend.

Sinusregel voor een willekeurige driehoek. Cosinusregel voor een willekeurige driehoek

Het volstaat de sinusregel en de cosinusregel voor willekeurige driehoeken aanvaardbaar te maken voor de leerlingen.


2.2

Sinus, cosinus, tangens (tan) en cotangens (cot) van stompe hoeken en van negatieve hoeken zullen ingevoerd worden met het oog op het oplossen van willekeurige driehoeken enerzijds en op het bepalen van de hellingshoek van een rechte anderzijds.

Het volstaat op concrete voorbeelden de sinusregel en de cosinusregel voor willekeurige driehoeken te verifiëren. 54


Leerinhouden


W39

56

2.2.5

Bij gebruik van vooraf bij benadering berekende elementen, moet men wijzen op het zich kunnen voortplanten van fouten. Tussenresultaten moeten dus aangewend worden met een voldoende aantal decimalen. Besteed ook aandacht aan het gebruik van de geheugentoetsen van een rekentoestel om bijvoorbeeld berekende elementen te bewaren in een geheugen.

Vraagstukken in het vlak

In het bijzonder zal men de leerlingen wijzen op de gevaren verbonden aan het gebruik van de sinusregel: • •

er zijn problemen waarbij de gegevens twee mogelijke hoeken toelaten, tenzij in het vraagstuk uitdrukkelijk werd gespecificeerd dat het gaat om een scherpe hoek of een stompe hoek; er zijn problemen waarbij er slechts één hoekoplossing is, maar waarbij zelfs het tekenen van een figuur op schaal niet toelaat na te gaan of de hoek scherp, recht of stomp is.

De regel waarbij men eerst de hoek gaat berekenen gelegen tegenover een kleinere zijde kan hier een uitweg bieden. In geval van twijfel kan de cosinusregel uitsluitsel brengen. Het is aan te raden toepassingen te maken waarin zowel de formules van rechthoekige driehoeken als de formules van willekeurige driehoeken samen aan bod komen.

2.3


Eindterm

Analytische meetkunde

Eindterm



2.3.1

Coördinaat van een punt

De leerlingen hebben al gewerkt met assenstelsels vanaf het eerste leerjaar van de eerste graad.

2.3.2

Bewerkingen met coördinaten

Als toepassing worden het midden van een lijnstuk en het zwaartepunt van een driehoek via hun coördinaat gedefinieerd

55

61

Leerinhouden


Leerinhouden

Pedagogisch-didactische wenken driehoek via hun coördinaat gedefinieerd.

W32

7, 18

2.3.3

Richtingscoëfficiënt van een rechte

Herhaal eerst het begrip vergelijking van een rechte van de vorm ux + vy + w = 0. Men kan eventueel de benaming cartesische vergelijking gebruiken. De richtingscoëfficiënt van een rechte die niet evenwijdig is met de y-as werd in het vorige leerjaar gedefinieerd als de coëfficiënt van x in de naar y opgeloste vergelijking. Dankzij het verband met het begrip differentiequotiënt kunnen de leerlingen de richtingscoëfficiënt berekenen als twee punten van een rechte gegeven zijn. Ook moeten de leerlingen in staat zijn een rechte te tekenen uitgaande van één punt en de richtingscoëfficiënt , zonder een beroep te doen op een vergelijking.

W30

62

2.3.4

Opstellen van een vergelijking van Volgende gevallen worden behandeld: een rechte • de rechte wordt bepaald door twee punten • de rechte wordt bepaald door één punt en de richtingscoëfficiënt

48, 77

2.3.5

Onderlinge stand van twee rechten


Eindterm

Enerzijds gaat het hier over een toepassing op 2x2-stelsels. Meteen de gelegenheid om de oplossingsmethodes van 2x2-stelsels en van de grafische voorstelling van 2x2-stelsels te herhalen. Anderzijds kan de evenwijdigheid van twee rechten in verband gebracht worden met gelijke richtingscoëfficiënten.

18

2.3.6

Hellingshoek van een rechte

In dit punt en in alle volgende punten wordt gebruik gemaakt van een orthonormaal assenstelsel. Er wordt een verband gelegd tussen de tangens van de hellingshoek en de richtingscoëfficiënt van een rechte die niet evenwijdig is met de y-as.

2.3.7

Loodrechte stand

Het is de bedoeling een verband te vinden tussen de richtingscoëfficiënten van rechten die loodrecht op elkaar staan.

63

2.3.8

Afstand tussen twee punten

De formule voor de afstand tussen twee punten wordt opgesteld steunende op de stelling van Pythagoras

56

W40

77


Leerinhouden

Pedagogisch-didactische wenken stelling van Pythagoras. Bij de afleiding van de formule voor de afstand tussen twee punten zal men zich niet beperken tot het eerste kwadrant. Als toepassing kan de vergelijking van een cirkel behandeld worden. Ook driehoeksmeting in driehoeken waarvan de coördinaten van de hoekpunten gegeven zijn, komt zeker aan bod.


Eindterm

57

3.1

Ruimtemeetkunde Onderlinge ligging van rechten en vlakken

Eindterm


Leerinhouden


W45

19

3.1.1 Onderlinge ligging van rechten • evenwijdig • kruisend • snijdend • loodrecht

De leerlingen gebruiken de vermelde begrippen om de onderlinge ligging aan te geven van rechten die bepaald worden door:

3.1.2

De leerlingen gebruiken de vermelde begrippen om de onderlinge ligging aan te geven van rechten en vlakken die bepaald worden door:

W45

20

• • •

3.2

Onderlinge ligging van een rechte en een vlak en van vlakken evenwijdig loodrecht snijdend

• •

• • •

ribben van een balk; punten op de ribben van een balk.

ribben van een balk; zijvlakken van een balk; punten op de ribben van een balk.


3

Vlakke voorstelling van ruimtelijke stituaties

Eindterm


Leerinhouden


W42

78

Vlakke voorstelling van een ruimtelijke In de eerste graad werd een vlakke voorstelling van een ruimtefiguur, opgebouwd situatie uit kubussen en balken, aangeleerd met behulp van kavalierperspectief. De leerlingen leggen met voorbeelden uit dat de onderlinge ligging van rechten niet altijd getrouw afgebeeld wordt in een vlakke voorstelling van een ruimtelijke situatie, in het bijzonder: het evenwijdig-zijn van rechten; het kruisend-zijn van rechten; het loodrecht-zijn van rechten;

58

• • •


Leerinhouden

Pedagogisch-didactische wenken •

de hoek tussen rechten.

De leerlingen moeten met voorbeelden kunnen illustreren dat informatie verloren kan gaan bij het tweedimensionaal afbeelden van driedimensionale situaties. 3.3

Vraagstukken

Eindterm


Leerinhouden


W41

56

3.3.1

De leerlingen lossen minstens de volgende problemen op:

Vraagstukken in balken

• • •

W41, W44

74

3.3.2

Vraagstukken m.b.t. prisma’s, piramides en kegels

de afstand berekenen tussen de hoekpunten van een balk als de lengte van de ribben gegeven is; de berekening van de hoek ingesloten door een ruimtediagonaal van een balk en een zijvlak; de berekening van de hoek ingesloten door twee snijdende rechten die de hoekpunten van een balk verbinden als de lengte van de ribben gegeven is.

We denken hierbij aan toepassingen in verband met oppervlakte- en inhoudsberekeningen voor regelmatige prisma’s, piramides en kegels. Piramides en kegels zijn nog niet aan bod gekomen in de eerste graad.


Eindterm

Ook effecten van schaalverandering op inhoud en oppervlakte moeten berekend worden. W41 W43

64

3.3.3

Problemen m.b.t. vlakke doorsneden van lichamen

We denken hierbij aan de omtrek- of oppervlakteberekening van de vlakke figuur die ontstaat door een balk te snijden met een vlak.

3.3.4

Benaderend berekenen van inhouden

Men berekent benaderend de inhoud van sommige ruimtelijke objecten door ze op te splitsen in of aan te vullen tot lichamen waarvan men de inhoudsformule kent. Denk b.v. aan de inhoud van een fles, wijnglas, gieter, badkuip, olietank, …

59

Statistiek en kansrekening

Bij het berekenen zal het zinvol gebruik van het rekentoestel centraal staan. Het goed gebruik van een rekentoestel is niet evident en vraagt dan ook een bijzondere aandacht van de leraar vooraf. Bij het verwerken van informatie dienen daarenboven het verwoorden en het interpreteren voldoende aan bod te komen. Een keuze van goede voorbeelden – naast kwantitatieve ook kwalitatieve – moet de aandacht vestigen op een zinvolle interpretatie van de berekende resultaten. De leerlingen moeten ook kritisch leren omgaan met het gebruik van statistiek in de media.

Eindterm


Leerinhouden


W46

21

4.1

Populatie, steekproef, kwalitatieve en kwantitatieve kenmerken, gegevens

De leerlingen moeten weten dat de statistiek een wetenschappelijke methode is voor:

Frequentie: absolute en relatieve frequentie

Aan de hand van concrete voorbeelden leert men de gegevens ordenen in een tabel. Het gebruik van deze tabel laat toe de statistische gegevens te interpreteren.

W48

22, 66

4.2 • •

W48

22

4.3 • •

voor individuele gegevens; voor gegroepeerde gegevens.

• • • •

het verzamelen van gegevens; het ordenen van gegevens; het samenvatten van gegevens; het trekken van conclusies uit steekproeven.


4

Bij het bepalen van de klassenbreedte kan de variatiebreedte gebruikt worden.

Cumulatieve frequentie: absolute en relatieve cumulatieve frequentie voor individuele gegevens; voor gegroepeerde gegevens. 60


Leerinhouden


W50

65

4.4

Bespreek het specifieke van elk van deze voorstellingen aan de hand van liefst actuele gegevens.

• • • • • W49

23, 29, 67

4.5 • • • • • • •

W51

79

4.6

Grafische voorstellingen staafdiagram schijfdiagram histogram frequentiepolygoon cumulatieve frequentiepolygoon

Breng de cumulatieve frequentiepolygoon (ogief) in verband met kwartielen en eventueel met percentielen.

Centrumgetallen en spreidingsgetallen

De leerlingen moeten het rekenkundig gemiddelde en de standaardafwijking kunnen berekenen met het rekentoestel.

modus mediaan rekenkundig gemiddelde kwartiel variatiebreedte variantie standaardafwijking

Het gebruik van centrum- en spreidingsgetallen laat toe om gegevens van een verschillende aard met elkaar te vergelijken. Box-plots en het begrip z-score van een gegeven kunnen hierbij nuttig zijn.

Relatieve frequentie als kans

Het begrip kans werd reeds in het eerste leerjaar van de eerste graad behandeld.


Eindterm

61


62

VERDELING VAN DE BESCHIKBARE LESTIJDEN Op jaarbasis wordt uitgegaan van 25 weken les. Dit geeft voor het eerste leerjaar van de tweede graad 4 u x 25 = 100 lesuren. Algebra en analyse 44

u

Vlakke meetkunde

33

u

Ruimtemeetkunde

10

u

Statistiek

13

u

------100

u

Een ruwe mogelijke jaarindeling is: Periode september – maart

april – juni

1 lesuur

1 lesuur

1 lesuur

algebra en analyse

algebra en analyse

1 lesuur meetkunde

statistiek

meetkunde


63

MINIMALE MATERIËLE VEREISTEN Vaklokaal De leerkracht wiskunde van de tweede graad moet in de klas beschikken over een minimum aan tekenmaterieel: (kleur)krijt, geodriehoek en passer. Het gebruik van een overheadprojector moet eveneens mogelijk zijn. Integratie van ICT Het is wenselijk dat het vakgebied wiskunde over minstens één lokaal (eventueel in samenspraak met andere vakgebieden) kan beschikken dat voor ICT is uitgerust en dat door de leerkrachten en de leerlingen voor de lessen wiskunde kan gebruikt worden. De school zorgt er alleszins voor dat elke wiskundeleraar gebruik kan maken van minstens één computer met degelijk projectiesysteem of van een grafisch rekentoestel dat symbolisch rekenen toelaat en dat op een didactische manier kan ingeschakeld worden in de les. Aangezien dit leerplan voorziet dat de leerkracht op een didactische manier ICT integreert in de les moet de aanwezige apparatuur van die aard zijn dat dit op een flexibele manier kan gebeuren. Het ligt in de verwachtingen dat gebruik van ICT voor ongeveer 20 % van het beschikbare wiskunde-lestijdenpakket geen uitzondering zal zijn. Didactische wiskundesoftware moet beschikbaar zijn voor: • meetkunde: interactief en dynamisch; • algebra en analyse: symbolisch rekenwerk, grafieken; • statistiek: grafieken en diagrammen, berekeningen. Selectie van materiële uitrusting De leerlingen bezitten een geodriehoek en passer. Ze beschikken tevens over een, bij voorkeur, zelfde rekentoestel dat geschikt is voor de gekozen studierichting. De vakgroep wiskunde zal zich onder andere regelmatig beraden over: • de keuze en het gebruik van handboeken; • het(zelfde) type rekentoestel waarover de leerlingen in een bepaalde studierichting moeten beschikken; • de keuze voor de software; • de invoering van ICT in de wiskundeles; • de abonnementen op vaktijdschriften wiskunde; • de eenvormigheid in informatie op muurkrantjes. Veiligheidsvoorschriften Inzake veiligheid is de volgende wetgeving van toepassing: • Codex ; • ARAB ; • AREI ; • Vlarem. Deze wetgeving bevat de technische voorschriften die in acht moeten genomen worden m.b.t.: • de uitrusting en inrichting van de lokalen; • de aankoop en het gebruik van toestellen, materiaal en materieel. Zij schrijven voor dat: • duidelijke Nederlandstalige handleidingen en een technisch dossier aanwezig moeten zijn; • alle gebruikers de werkinstructies en onderhoudsvoorschriften dienen te kennen en correct kunnen toepassen; • de collectieve veiligheidsvoorschriften nooit mogen gemanipuleerd worden; • de persoonlijke beschermingsmiddelen aanwezig moeten zijn en gedragen worden, daar waar de wetgeving het vereist.


64

EVALUATIE 1

Doelstelling

Evaluatie kan beschouwd worden als de waardering van het werk waarmee leraar en leerlingen samen bezig zijn. Steeds zal zowel de leerling er wat uit leren (ken ik mijn leerstof?), als de leraar (volg ik een goede methode?), maar daarenboven moet het een uiting zijn van wederzijdse betrokkenheid waarbij kwaliteitszorg wordt nagestreefd. Bij elke evaluatie wil men dan ook informatie verzamelen waarop men kan steunen om beslissingen te nemen. Dit kunnen beslissingen zijn die tot doel hebben de efficiëntie van het leerproces te vergroten, de doelmatigheid van de studiemethode te verhogen of tot sanctionering te komen. De leraar moet eruit kunnen afleiden in welke mate hij met de gevolgde methode de vooropgezette doelstellingen heeft bereikt. De ontleding van de behaalde resultaten zal de nodige aanwijzingen geven voor eventuele bijsturing van de didactische aanpak. De leerling en zijn ouders moeten in de evaluatie (score, commentaar, remediëring) bruikbare informatie vinden over de doelmatigheid van de gevolgde studiemethode. Omdat evaluatie naar de leerlingen toe enige eenvormigheid moet vertonen over de vakken en de leerjaren heen - wiskunde heeft hierin ook zijn plaats -, is het logisch dat én de school hierover haar visie ontwikkelt via het schoolwerkplan én de betrokken leerkrachten deze visie concretiseren voor hun vak, in casu wiskunde, via de vakgroepwerking. 2

Evaluatievormen

Houd regelmatig overhoringen zoals in de vakgroep overeengekomen. Laat dat niet langer duren dan nodig en spreek op voorhand af over hoeveel tijd de leerlingen kunnen beschikken. Dit kan slechts indien op voorhand de vragen oordeelkundig werden uitgekozen en de duur voor het oplossen werd ingeschat. Ook attitudes moeten geëvalueerd worden. Volgende aspecten kunnen vrij gemakkelijk in de wiskundelessen beoordeeld worden: • • • •

2.1

belangstelling en inzet Werkt de leerling mee in de klas? Hoe wendt hij zijn studietijd aan?; kritische geest Wat is de persoonlijke inbreng van de leerling? Wat is zijn ontledingszin van een probleem?; intellectuele nieuwsgierigheid Neemt de leerling initiatieven in en buiten de les? Zoekt hij naar niet opgegeven oefeningen? Leest hij wel eens over bepaalde problemen? Grijpt hij naar ICT?; groepswerk Helpt de leerling anderen? Heeft zijn inbreng een stimulerende of remmende werking? Dagelijks werk

De evaluatie “dagelijks werk” heeft tot doel de leerling en zijn ouders tussentijds in te lichten over zijn kennis en zijn attitudes. De quotering voor “dagelijks werk” steunt op permanente evaluatie. Hierbij wordt niet alleen het bereiken van doelstellingen m.b.t. begripsvorming (definities, eigenschappen,…) en procedures (rekentechnieken, algoritmen,…) beoogd, maar ook deze m.b.t. vaardigheden (rekenvaardigheid, taalvaardigheid, tekenvaardigheid, redeneervaardigheid, abstraheervermogen) en samenhang. De leerkracht beschikt daarvoor over de volgende middelen: • • • • •

observatie in de klas; mondelinge overhoringen; korte beurten; herhalingsbeurten (deeltoetsen); (huis)taken.

De terminologie, die desbetreffend in de scholen gehanteerd wordt, kan misschien verschillen. Alleszins wordt hier met “korte beurt” een schriftelijke lesoverhoring van leerstof uit de voorafgaande les bedoeld


65

die kort wordt gehouden. Herhalingsbeurten (deeltoetsen) beogen de evaluatie van grotere leerstofonderdelen en worden op voorhand aangekondigd. Zijn ideeën overzichtelijk en met voldoende zorg neerschrijven is een doelstelling die wegens tijdgebrek al te vaak wordt verwaarloosd. Daarom is het ten zeerste verantwoord dat de vakgroep zich uitspreekt over de vorm en de regelmaat van (huis)taken. Deze bieden een uitgelezen kans om vaardigheden en attitudes zoals zorg, precisie, inzet, zelfstandigheid of samenwerkingsbereidheid bij de leerling te meten. 2.2

Examens

Examens beogen de evaluatie van de nagestreefde leerstofdoelstellingen tijdens een trimester/semester. Uiteraard zullen de examenvragen een verantwoord evenwicht vertonen tussen reproduceervragen (theorie en herkenbare oefeningen) en differentieervragen (redeneer- en inzichtvragen). Bij het vastleggen van dit evenwicht is men zeker de slaagkansen van de middelmatig begaafde, hard werkende leerling indachtig. De totale duur van de examens is hoogstens gelijk aan het aantal wekelijkse lestijden. Bij de eventuele beperking van de leerstof bedenke men dat het vanzelfsprekend is dat de examenvragen handelen over essentiële (d.w.z. met het oog op het vervolg van de leerstof) onderdelen van het leerplan. De vraagstelling is erop gericht te peilen naar de verworven inzichten en vaardigheden van de leerling. Men kan eventueel aanvaarden dat voor het examen die leerstofonderdelen worden weggelaten die voor het volgend leerjaar niet rechtstreeks nodig zijn of die in het volgend leerjaar grondiger behandeld worden, maar dan dienen deze onderdelen expliciet aan bod te komen in een herhalingsbeurt. De ervaring leert dat het zinvol is - om latere discussies en betwistingen te vermijden - ervoor te zorgen dat de leerlingen kunnen beschikken over: • •

2.3

een schriftelijk overzicht van de te kennen leerstof; een geschreven mededeling waarin staat over welk materieel de leerling mag beschikken op het examen (passer, tekendriehoek, rekentoestel,...). Aantal beurten

In de bijgevoegde tabel leest u hoeveel schriftelijke beurten u voor de onderwijsvormen ASO, TSO en KSO per schooljaar minimaal zult houden. Deze beurten worden gelijkmatig over de evaluatieperiodes gespreid.

Cursus met

korte beurten

Herhalingsbeurten max. 1 lestijd

2.4

5 lestijden/week

15

3

4 lestijden/week

12

3

3 lestijden/week

9

3

Bewaren van documenten

De kopijen van de herhalingsbeurten en van de examens worden overeenkomstig de wettelijke voorschriften bewaard. Vermits de korte schriftelijke beurten ook invloed hebben op de algemene beoordeling van de leerling, worden deze eveneens bewaard tot minstens na de definitieve eindbeslissing. Hierbij wordt rekening gehouden met de termijnen van mogelijke beroepsprocedures. Bewaar bij de kopijen (van de examens en de herhalingsbeurten): • •

een overzicht van de gestelde vragen met puntenverdeling; een correctiemodel.

ASO – 2de graad – BASISVORMING AV Wiskunde (1ste leerjaar: 4 lestijden/week, 2de leerjaar: 4 lestijden/week) 3

66

ICT-hulpmiddelen

De leerlingen moeten gebruik kunnen maken van informatie- en communicatietechnologie (ICT) om wiskundige informatie te verwerken, berekeningen uit te voeren of wiskundige problemen te onderzoeken. Deze eindterm moet dus ook geëvalueerd worden. In de lessen wiskunde zal dan ook door de leerling systematisch en verantwoord een (grafisch) rekentoestel of een computer gebruikt worden. De leerstofitems, waarbij tijdens de instructie voor ontwikkeling of voor verwerking gebruik werd gemaakt van deze technologische instrumenten, zullen met de ondersteuning van dezelfde hulpmiddelen moeten geëvalueerd worden. Dit vergt enerzijds aandacht en aanpassing van de leerkracht bij het opstellen van de vragen, de tijdinvestering en de evaluatie. De werkwijze met het toestel kan een te meten doel zijn. Anderzijds zal de school een inspanning moeten leveren om de leerlingen, die thuis niet over de vereiste hulpmiddelen beschikken, ook op school de mogelijkheid te bieden om zich te bekwamen in het gebruik van ICT-middelen. Hoe dan ook moet de leerling duidelijk weten wat er van hem verwacht wordt en welke invloed het gebruik van ICT heeft op zijn evaluatie. Uiteraard is de vakgroep het meest aangewezen orgaan om over deze geëvolueerde evaluatiesituatie te overleggen. 4

Jaarplan

Een jaarplan geeft aan welke leerinhouden voor de vakonderdelen per aangeduide periode (maximaal per maand) beoogd worden. Het jaarplan: • • •

helpt de leerkracht gedurende het hele schooljaar een verantwoorde tijdindeling te respecteren; heeft een richtinggevende en ondersteunende functie bij vervanging van de titularis; laat de niet-wiskundig-gevormde directeur toe om de betrokken leerkracht te verwijzen naar deze planning.

Een jaarplan dat ook gebruikt wordt voor de aanduiding van de behandelde leerstof veroorzaakt geen supplementair werk. Een jaarplan mag gedurende het jaar bijgestuurd worden en het wordt elk jaar op zijn haalbaarheid getoetst en zo nodig aangepast. Een goed jaarplan kan meerdere jaren met succes gebruikt worden. Het is niet de bedoeling een bepaald model van jaarplan op te leggen. Behalve de identificatiegegevens (zie model) geeft het jaarplan aan volgens welke timing de leerstof wordt behandeld. Liefst wordt er per leerstofitem aangeduid hoeveel lestijden hieraan zullen besteed worden. Het is aangewezen ruimte te voorzien om gegevens te noteren die de reële tijdbesteding hebben beïnvloed (ziekte, uitstap, studiedag,...). Deze notities laten toe om de betrouwbaarheid van de timing te evalueren en zo nodig deze timing aan te passen. Hierna volgt een voorbeeld van een mogelijke schikking.

SCHOOL:

..............................................................................

LEERKRACHT:

.......................................

.......................................................................

ONDERWIJSVORM: GRAAD:

SCHOOLJAAR:

......................................

STUDIERICHTING:

......................................................

LEERJAAR:

..................................

............................................

LEERPLANNUMMER: UREN/WEEK:

...............................

.........................................

VAK: WISKUNDE

Gerealiseerde leerstof

Voorziene leerstof 1 lestijd

1 lestijd

SEPTEMBER

ALGEBRA

1 lestijd

1 lestijd

MEETKUNDE

Noteer hier welke onderwerpen van algebra u in deze maand denkt te Noteer hier welke onderwerpen van meetkunde behandelen. u in deze maand denkt te behandelen. noteer hier o.m. hoeveel lessen er verloren gingen met vermelding van de reden (ziek, uitstap, studiedag, ...) noteer het vervolg van de leerstof algebra noteer het vervolg van de leerstof meetkunde

OKTOBER

Opmerking

1 lestijd

Opmerking

15 oktober noteer hier o.m. hoeveel lessen er verloren gingen met vermelding van de reden (ziek, uitstap, studiedag, ...) ...

ALGEBRA

noteer het vervolg van de leerstof meetkunde

XXXX

noteer het vervolg van de leerstof algebra

MEETKUNDE

Opmerking

noteer hier o.m. hoeveel lessen er verloren gingen met vermelding van de reden (ziek, uitstap, studiedag, ...

15 XXX


68

BIBLIOGRAFIE Tijdschriften Euclides, p.a. Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraars, De Schalm 19, NL 8251 LB Dronten Mathématique et pédagogie, Société belge des Professeurs de mathématique, p.a. SBPM, rue de Trazegnies 87, 6320 Pont-à-Celles Pythagoras, Drukkerij Giethoorn www.science.uva.nl/misc/pythagoras

Ten

Brink,

Postbus

41

NL-7490

AA

Meppel;

Uitwiskeling, p.a. Celestijnenlaan 200B, 3001 Leuven Wiskunde & Onderwijs, p.a. Vlaamse Vereniging van Wiskundeleraars, C. Huysmanslaan 60-bus 4, 2020 Antwerpen

Leerboeken ARGUMENT DAEMS, J. P. en JENNEKENS, E., De Sikkel, Malle INTEGRAAL APERS, G. en PLATTEAUX, P., Novum, Deurne

Naslagwerken AARSSEN, C. en andere, Netwerk (reeks), Wolters-Noordhoff, Groningen ANTON, H., Calcules (A new Horizon), Drexel university, ISBN 0-471-15307-9 ATKINSON, K. E., An introduction to numerical analysis, ISBN 0-471-02985-8 BERS, L., Calculus, Holt-Rinehart and Winston Inc., ISBN 03-065240-5 BERWAERTS, V. J. en STANDAERD, K., Welkom bij SI-VEC - SI-eenhedenstelsel, Standaard Educatieve Uitgeverij, Antwerpen BONNEFROID, G. en DAVIAUD, D. en REVRANCHE, B., Mathématiques Pythagore (reeks), Didier Hatier, Paris BRUALDI, R.A., Introductory combinatorics, ISBN 0-7204-8610-6 BRUM, J. V., Experiencing geometry, Wadworth Publishing Company, Belmont (California), ISBN 0-534-00422-9 BURTON, D. M., The history of mathematics, London, Allyn and Bacon, ISBN 0205080952 CANGELOSI, J. S., Teaching Mathematics in Secondary and Middle School: An Interactive Approach, Prentice Hall, ISBN 0134392337 CLARKE, G. M. en COOKE, D., A basic course in statistics, London, Arnold, ISBN 0-7131-2672-8 DUREN, W. L., Jr, ISBN 0-536-00869-8 FREUDENTHAL, H., ISBN 90-277-0322-1

Calculus

and

analytic

geometry,

Xerox

College

Publishing,

Toronto,

Mathematics as an educational task, Reidel Publishing Company, Dordrecht,

GARDNER, M., Het mathematische carnaval, uitgeverij Contact, ISBN 90-254-6695-8 GARNIER, R. en TAYLOR, J., 100 % Mathematical proof, ISBN 0-471-96198-1 GRIMALDI, R. P., Discrete and combinatorial mathematics, ISBN 0-201-60044-7 GROSJEAN, C. C., VANHELLEPUTTE, C. V. en VANMASSENHOVE, F. R., Reinaert Systematische Encyclopedie, Wiskunde (deel 14 (wiskunde 1A), deel 15 (wiskunde 1B), deel 20 (wiskunde 2)), Reinaert uitgaven, Brussel


69

HEUGL, H. en KUTZLER, B. en anderen, DERIVE in education, opportunities and strategies (Proceedings of the 2nd Krems Conference on Mathematics Education), Chartwell-Bratt Ltd, ISBN 086238-351-X HUFF, D., How to lie with statistics, Penguin Books, ISBN 0-14-021300-7 JACOBS, R. J., Geometry, W. H. Freeman, San Francisco, ISBN 0-7167-0456-0 JACOBS, H. R., Mathematics a human endeavor: a book for those who think they don’t like the subject, San Francisco, Freeman, ISBN 0-7167-0439-0 KAMMINGA-VAN HULSEN, M. en GONDRIE, P. en VAN ALST, G., Toegepaste wiskunde met computeralgebra, Academic Service, Schoonhoven, ISBN 90 6233 956 5 MANKIEWICZ, R., Het verhaal van de wiskunde, Uniepers, ISBN 90-682-5259-3 MASON, J., Thinking mathematically, Addison-Wesley Publishing Company, ISBN 0-201-10238-2 PAULOS, J. A., Er was eens een getal, Bert Bakker, ISBN 90-351-2059-0 POLYA, G., How to solve it, Penguin Books, ISBN 0-14-012499-3 POSAMENTIER, A.S. en SALKIND, C.T., Challenging problems in geometry, Dale Seymour Publications, ISBN 0-86651-428-7 PROTTER, H. P. en MORREY Ch. B., Jr, Calculus with analytic geometry; a first course, AddisonWesley, London. RADE, L. en WESTERGEN, B., BETA / Mathematics Handbook, ISBN 0-86238-140-1 SCHUH, F., The master book of mathematical recreations, Dover Books, ISBN 0-486-22134-2 SPIEGEL, M. R., College algebra, Schaum’s outline series, ISBN 07-060226-3 STEEN, L. A., Mathematics tomorrow, Springer Verlag, Berlin, ISBN 0-387-90564-2 STEWART,I., Magisch labyrint, NIEUWEZIJDS, ISBN 90-571-2036-4 STICHTING CENTRUM VOOR WISKUNDE EN INFORMATICA , Vakantiecursus 2001 - Experimentele wiskunde, Amsterdam, ISBN 90-6196-505-5 STRUIK, D. J. , Geschiedenis van de wiskunde, Het Spectrum, ISBN 90-274-2210-9 SWANN, H. en JOHNSON, J., Prof. E. Mc Squared’s Calculus Primer, ISBN 0-939765-12-8 TELLER, O., Vademecum van de wiskunde, Prisma, ISBN 90-274-4119-7 THAELS, K., EGGERMONT, H. en JANSSENS D., Van ruimtelijk inzicht naar ruimtemeetkunde, Cahiers voor didactiek, Wolters Plantyn, ISBN 90-301-7185-5 THOMAS, G.B. jr en FINNEY R. L., Calculus and analytic geometry, ISBN 0-201-53174-7 VAN DORMOLEN, J., Didactiek van de wiskunde, Utrecht, Bohn-Scheltema-Holkema, ISBN 9031300675 WELLS, D., Merkwaardige en interessante wiskundige kwesties, Bert Bakker, ISBN 90-351-2154-6 WELLS, D., Merkwaardige en interessante wiskundige puzzels, Bert Bakker, ISBN 90-351-1403-5 WERKGROEP WISKUNDE, Vademecum wiskunde, Plantijn, ISBN 90-301-5867-0 WOOTON, W., BECKENBACH, E. F. en FLEMING F. J., Modern analytic geometry, Houghton Mifflin Company, Boston, ISBN 0-295-03743-3

Internet Verwijzingen

naar

URL-adressen

http://www.rago.be/wiskunde

op

het

gebied

van

wiskunde

zijn

te

vinden

op

SECUNDAIR ONDERWIJS BASISVORMING

Recommend Documents