Technische Universiteit Delft Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica Delft Institute of Applied Mathematics
Schuifbanden in vloeistoffen (Engelse titel: Shear bands in fluids)
Verslag ten behoeve van het Delft Institute for Applied Mathematics als onderdeel ter verkrijging van de graad van
BACHELOR OF SCIENCE in TECHNISCHE WISKUNDE
door
Anita Tollens Delft, Nederland Juni 2012
c 2012 door Anita Tollens. Alle rechten voorbehouden. Copyright
BSc verslag TECHNISCHE WISKUNDE
“Schuifbanden in vloeistoffen” (Engelse titel: “Shear bands in fluids”)
Anita Tollens
Technische Universiteit Delft
Begeleiders Dr. J.L.A. Dubbeldam
Dr. D.J.P. Lahaye
Overige commissieleden Dr. J.G. Spandaw
Dr. E. Coplakova
Juni, 2012
Delft
Samenvatting Als een vloeistof in beweging wordt gebracht, treden diverse effecten op. We beschouwen een vloeistof tussen twee platen, zoals afgebeeld in Figuur 1. In deze opstelling wordt de vloeistof bewogen door de bovenste plaat een constante snelheid te geven, daardoor zal een snelheidsprofiel in de vloeistof ontstaan. We verwachten verschillende snelheidsprofielen afhankelijk van de soort vloeistof die tussen de platen zit. In een niet-Newtonse vloeistof, zoals gelei of olie, kunnen lagen met een verschillende snelheidsgradi¨ent ontstaan. De lagen noemen we schuifbanden. Dit verslag behandelt snelheidsprofielen en de bijbehorende schuifbanden in vloeistoffen. De schuifbanden onstaan door polymeren in de vloeistof, polymeren zijn lange moleculen met een herhaalde structuur. De polymeren in de vloeistof kunnen in elkaar verstrengeld raken. In dit opzicht verschillen niet-Newtonse stoffen, bijvoorbeeld olie, van een Newtonse vloeistof zoals water.
Figuur 1: Vloeistof tussen twee platen Om met deze verschillende soorten vloeistoffen te kunnen werken is het belangrijk om te weten hoe ze zich gedragen. Om stromingen van vloeistof te beschrijven, gebruiken we de NavierStokes vergelijkingen. Met behulp van deze vergelijkingen kunnen we de evenwichtsituatie van een bewegende vloeistof vinden. In dit verslag wordt gekeken of de evenwichtsituatie stabiel is. Praktisch gezien kunnen de lagen zich anders over de vloeistof verdelen als het evenwicht niet stabiel is.
4
Voorwoord Voor u ligt het verslag van het bacheloreindproject ‘Schuifbanden in vloeistoffen’, door Anita Tollens, student Technische Wiskunde aan de Technische Universiteit van Delft. In dit verslag wordt een bestaand model van vloeistofstroming gebruikt, er wordt onderzocht of de evenwichtsoplossing stabiel is. Bij deze wil ik iedereen bedanken die een bijdrage geleverd hebben aan de totstandkoming van dit bachelorproject. Graag wil ik Johan Dubbeldam en Domenico Lahaye bedanken voor de begeleiding van dit project, voor alle hulp en uitleg die zij mij hebben geboden. Het verkrijgen van kennis over een voor mij geheel onbekend programma was erg leerzaam. Mijn dank gaat ook naar Jeroen Spandaw en Guit-Jan Ridderbos, die het studentencoloquium hebben begeleid. Ik heb goede tips ontvangen voor het maken en geven van een presentatie. Ten slotte wens ik u veel leesplezier bij het lezen van dit verslag.
Anita Tollens, Auteur
5
Inhoudsopgave 1 Inleiding
7
2 Model
8
3 Newtonse vloeistoffen 3.1 Navier-Stokes vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Analytische oplossing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 11 12
4 Niet-Newtonse vloeistoffen 4.1 Navier-Stokes vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Polymeerspanning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 13 13
5 Numerieke oplossingen 5.1 Oplossingen voor Newtonse vloeistoffen . . . 5.2 Oplossingen voor niet-Newtonse vloeistoffen . 5.2.1 Oplossingen voor de polymeerspanning 5.2.2 Oplossingen voor de snelheid . . . . . ˆ α en hγi 5.2.3 De invloed van D, ˙ . . . . . .
. . . . .
18 18 19 19 21 21
6 Stabiliteitsanalyse 6.1 Analyse voor Newtonse vloeistoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Analyse voor Niet-Newtonse vloeistoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 De verstoring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23 23 24 25
7 Conclusie
27
6
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
1
Inleiding
Bij het bestuderen van vloeistoffen kunnen we verschillende eigenschappen onderscheiden. Kijkend naar het stromingsgedrag van vloeistoffen, kunnen we vloeistoffen onderverdelen in Newtonse en niet-Newtonse vloeistoffen. In dit project kijken we naar een stromende vloeistof tussen twee platen, een Couette stroming genoemd. In de situatie met een Newtonse vloeistof is de snelheidsgradi¨ent constant en daarom verwachten we een lineair snelheidsprofiel. Bij een niet-Newtonse vloeistof is de snelheidsgradi¨ent niet constant en zullen zogehete schuifbanden ontstaan. Daar waar de snelheidgradi¨ent van grootte verandert, ontstaat er een interface die twee schuifbanden scheidt, zoals verder toegelicht in de modelomschrijving. De schuifbanden kunnen we lokaliseren door het snelheidsprofiel tussen de platen te bepalen. Om dit profiel te vinden lossen we de Navier-Stokes vergelijkingen op. Echter de Navier-Stokes vergelijkingen bevatten een spanningstensor. De spanningstensor is afhankelijk van verschillende spanningen, zoals polymeerspanning en normaalspanning. De differentiaalvergelijkingen zijn makkelijker op te lossen wanneer de normaalspanningen niet in de vergelijking worden opgenomen. In dit bacheloreindproject verwaarlozen we de normaalspanningen en bepalen we de evenwichtsoplossing met behulp van een numerieke methode. De onderzoeksvraag in dit project is of de evenwichtsituatie voor de snelheid stabiel is. We onderzoeken daarom het effect van kleine verstoringen op de oplossing. Een stabiel evenwicht betekent dat de situatie niet kan veranderen door invloeden van buitenaf. Dit verslag is als volgt opgebouwd: Sectie 2 geeft toelichting van het model. Vervolgens worden Sectie 3 en 4 de differentiaalvergelijkingen voor Newtonse en niet-Newtonse vloeistoffen uitgewerkt. In Sectie 5 worden de numerieke oplossingen behandeld. Op deze oplossingen wordt een stabiliteitsanalyse toegepast, deze stabiliteitsanalyse wordt in Sectie 6 verwerkt. De conclusies volgen in Sectie 7.
7
2
Model
Het doel is om een stromende vloeistof te modelleren. We beschouwen twee evenwijdige platen met daartussen vloeistof. Vervolgens laten we de bovenste plaat met constante snelheid vp naar rechts bewegen. Dit noemen we een ‘Couette stroming’. We gaan vloeistoffen onderscheiden in Newtonse vloeistoffen en niet-Newtonse vloeistoffen. In een Newtonse stof verwachten we een lineair snelheidsprofiel zoals afgebeeld in Figuur 2.
Figuur 2: Couette stroming van een Newtonse vloeistof Bij niet-Newtonse vloeistoffen verwachten we het ontstaan van schuifbanden, waarvan in Figuur 3 een schets te zien is. Het gebied tussen de schuifbanden wordt de interface genoemd. NietNewtonse vloeistoffen blijven als het ware aan zichzelf plakken, daardoor zijn deze vloeistoffen vaak wat dikker en stroperiger. Doordat de vloeistof niet overal op dezelfde manier blijft plakken, ontstaan schuifbanden.
8
Figuur 3: Couette stroming van een niet-Newtonse vloeistof Om de stroming van vloeistoffen te beschrijven, gebruiken we de twee-dimensionale NavierStokes vergelijkingen. De algemene vorm hiervan is: ρ
dv = ∇ · T + F, dt
(1)
waarbij ρ(x, y, t) v F
massadichtheid, vx (x, y, t) snelheidsvector , vy (x, y, t) Fx (x, y, t) . krachtvector Fy (x, y, t)
We laten externe krachten, zoals zwaartekracht, buiten beschouwing, dus F = 0. De tensor T bestaat uit componenten σij , die gelijk zijn aan de kracht per oppervlakte eenheid die wordt uitgeoefend op de lijn i = constant, in de richting van j, σxx σyx T= . σxy σyy ρ
dv ∂v =ρ +ρ dt ∂t
(v · ∇)v | {z } meevoeringsterm
(2)
Als we naar het stationaire geval kijken, geldt: ρ
∂v = 0. ∂t
9
(3)
En in vergelijking (2) geldt: ∂ ! vx vx · ∂x ρ(v · ∇)v = ∂ vy vy ∂y ∂ vx ∂ = vx + vy vy ∂x ∂y ∂vx ∂vx vx ∂x + vy ∂y = ∂v ∂v vx ∂xy + vy ∂yy We zoeken een oplossing van de vorm v = vvxy = vx0(y) , waarbij vx alleen van y afhangt en vy = 0. Dan reduceert bovenstaande vergelijking tot: ρ(v · ∇)v =
x (y) vx (y) ∂v∂x ∂v
vx (y) ∂xy
0 = . 0
(4)
Substitutie van vergelijking (2), met (3) en (4), in vergelijking (1) geeft 0 = ∇ · T. 0 In de volgende secties zullen we de Navier-Stokes vergelijkingen verder uitwerken voor zowel een Newtonse vloeistof als een niet-Newtonse vloeistof.
10
3
Newtonse vloeistoffen
Om de stroming van vloeistoffen te beschrijven gebruiken we de Navier-Stokes vergelijkingen, zoals in de vorige sectie toegelicht. In de meeste gevallen worden deze vergelijkingen numeriek opgelost, echter in vereenvoudigde gevallen kunnen de vergelijkingen analytisch worden opgelost.
3.1
Navier-Stokes vergelijkingen
We verwachten bij een Newtonse stof een lineaire oplossing voor de snelheid, die analytisch te bepalen is. De eerder genoemde Navier-Stokes vergelijkingen worden onder onze condities geschreven als 0 = ∇ · T. (5) 0 In het geval dat de vloeistof Newtons is geldt: 1 T = T1 = −pI + η (∇v + (∇v)T ) 2 ∂vx −p 0 + η 1 ∂vx∂x ∂vy = 0 −p 2 ( ∂y + ∂x ) waarbij p(x, y) de druk is. Verder geldt er dat ∂v ∂
1 ∂vx 2 ( ∂y ∂vy ∂y
∂v ∂vx 1 ∂ + ∂xy ∂x ∂x 2 ∂y ∂y η ∂vy ∂vy ∂vx ∂ 1 ∂ + + 2 ∂x ∂y ∂x ∂y ∂y x
∇ · T = −∇p +
(6) ! ∂v + ∂xy )
+
(7)
,
waarbij −∇p = 0, omdat we geen drukverschil hebben (p1 = p2 ). Dan rest ons de volgende vergelijking op te lossen: 1 ∂ ∂vx ∂vy ∂vx ∂ 0 ∂x ∂x + 2 ∂y ∂y + ∂x = η . ∂vy ∂vy ∂vx 1 ∂ ∂ 0 + ∂y 2 ∂x ∂y + ∂x ∂y Zoals eerder genoemd, zoeken we een oplossing van de vorm v = wordt vergelijking (8) als volgt: ! 2 0 0 + 12 ∂∂yv2x . =η 0 0+0 We hebben nu de volgende differentiaalvergelijking: η
1 ∂ 2 vx = 0, 2 ∂y 2
ofwel
∂ 2 vx = 0, ∂y 2
deze vergelijking is analytisch op te lossen.
11
vx vy
(8)
=
vx (y) 0
. In dat geval
3.2
Analytische oplossing
We beschouwen de differentiaalvergelijking: ∂ 2 vx = 0, ∂y 2
(9)
aangevuld met de Dirichlet randvoorwaarden: vx (y = 0) = 0,
(10)
vx (y = 1) = vp ,
(11)
waarbij vp de snelheid van de bovenste plaat is. Door twee maal te integreren naar y komen we tot vx (y) = c1 y + c2 .
Met behulp van de randvoorwaarden volgt dat c2 = 0 en c1 = vp , dus vx (y) = vp y. We krijgen zoals verwacht een lineaire oplossing voor de snelheid in de x-richting.
12
4
Niet-Newtonse vloeistoffen
Voor een niet-Newtonse vloeistof gebruiken we ook de Navier-Stokes vergelijkingen, waarvan de algemene vorm reeds in (1) is gegeven. Voor onze condities geldt vergelijking (5), in het geval dat de vloeistof niet-Newtons is geldt T = T1 + T2 , waarbij T1 werd gegeven in vergelijking (6) en 0 u T2 = . u 0
(12)
In vergelijking (12) is u de polymeerspanning, die enkel afhankelijk is van y. De polymeerspanning is een extra spanning die we wel vinden bij niet-Newtonse stoffen maar niet bij Newtonse stoffen. Voor niet-Newtonse stoffen worden de Navier-Stokes vergelijkingen dan 1 ∂ ∂vx ∂vy ∂vx ∂ 0 0 u ∂x ∂x + 2 ∂y ∂y + ∂x =η , +∇· ∂v ∂vy ∂vx 1 ∂ u 0 0 + y + ∂ 2 ∂x
waarbij v =
vx vy
=
vx (y) 0
∂y
∂x
∂y
∂y
en u alleen afhankelijk van y, dus ∂ 2 vx ∂u 0 2 = η ∂y + ∂y . 0 0 0
4.1
(13)
Navier-Stokes vergelijkingen
Bovenstaand hebben we de Navier-Stokes vergelijkingen gebruikt om tot vergelijkingen voor 2 v (y) x ons model te komen. We hebben voor niet-Newtonse stoffen de vergelijking 0 = η ∂ ∂y + ∂u 2 ∂y . Daaarvoor moeten we eerst weten wat
4.2
∂u ∂y
is.
Polymeerspanning
Door de Navier-Stokes vergelijkingen uit te schrijven zoals in het voorgaande hoofdstuk zijn we op een vergelijking gekomen die afhankelijk is van de snelheid en de polymeerspanning. De snelheid willen we weten, maar we moeten daarvoor eerst bepalen wat de polymeerspanning is. We gaan een differentiaalvergelijking, voor de polymeerspanning u, uit de literatuur [1] gebruiken. De differentiaalvergelijking voor u bevat de parameters τ en D: τ D
relaxatie tijd, spanningsdiffusie co¨efficient,
η
viscositeit,
α
constante.
De differentiaalvergelijking voor de polymeerspanning is (∂t + v · ∇)u = D∇2 u − 13
u G + g(γτ ˙ ), τ τ
(14)
waarbij g(ξ) gegeven wordt door de functie g(ξ) = en waarbij
ξ , 1 + (ξ)2
αη , τ ηvp + hui − u γ˙ = . η G=
De uitdrukking voor de schuifverhouding γ˙ kunnen we afleiden uit vergelijking (13) voor de snelheid. ∂ 2 vx ∂u 0 2 + ∂y . = η ∂y 0 0 0
(15)
We kunnen dit uitschrijven in twee vergelijkingen: 0=η
∂ 2 vx ∂u + . ∂y 2 ∂y
(16)
0 = 0.
(17)
We nemen vergelijking (16) en herschrijven deze als ∂ ∂vx 0= η +u , ∂y ∂y {z } | Σ
0=
∂Σ . ∂y
x Σ = η ∂v ∂y + u, waarbij alle termen alleen van y afhangen. We weten dat Σ niet afhankelijk is van x en uit 0 = ∂Σ ∂y volgt dat Σ niet afhankelijk is van y, we concluderen dat Σ constant is.
x We integreren Σ = η ∂v ∂y + u aan beide zijden over y.
Hier voor hebben we ook de randvoorwaarden nodig: vx (y = 0) = 0, vx (y = 1) = vp . De uitwerking van integratie is als volgt: Σ=η Beide kanten integreren over y geeft: Z 1 Z Σ dy = 0
0
∂vx (y) + u(y). ∂y
1
∂vx (y) η + u(y) dy. ∂y
14
De integraal aan beide kanten uitwerken geeft: Σ = ηvx (1) − ηvx (0) + hui. Hierbij is hui =
R1 0
u(y)dy. De randvoorwaarden voor vx (1) en vx (0) invullen geeft: Σ = ηvp + hui.
Voor Σ vullen we weer de uitdrukking in die we al hadden: η Nu elimineren we
∂vx (y) + u(y) = ηvp + hui. ∂y
∂vx (y) ∂y :
ηvp + hui − u(y) ∂vx (y) = . ∂y η
De uitdrukking voor de schuifverhouding is: γ(y) ˙ =
ηvp + hui − u(y) ∂vx (y) = . ∂y η
Nu gaan we verder met het uitwerken van de vergelijking voor de polymeerspanning (∂t + v · ∇)u = D∇2 u −
u G + g(γτ ˙ ), τ τ
(18)
met daarbij als Neumann randvoorwaarden ∂u (y = 0) = 0, ∂y ∂u (y = 1) = 0. ∂y Omdat de polymeerspanning u alleen van y afhankelijk is, kunnen we uit vergelijking (18) herleiden:
(∂t + v · ∇)u(y) = ∂t u + (v · ∇)u(y) ∂ ! ∂u(y) vx (y) = + · ∂x u(y) ∂ ∂t o ∂y ∂ = vx (y) u(y) ∂x ∂u(y) = vx (y) ∂x = 0.
en
D∇2 u
=
D
∂2u ∂2u + D ∂x2 ∂y 2
2
=
D
∂2u . ∂y 2
Als we (∂t + v · ∇)u = 0 en D∇2 u = D ∂∂yu2 verwerken in vergelijking (18) komen we tot: 15
D
∂2u u G − + g(γτ ˙ ) = 0. ∂y 2 τ τ
(19)
Vergelijking (19) is de vergelijking voor de polymeerspanning u die we op willen lossen. Als we ∂ 2 vx ∂u oplossen voor deze vergelijking opgelost hebben kunnen we de vergelijking 0 = η ∂y02 − ∂y 0 vx . De relaxatie tijd is de duur van de spanningsafname. Voor Newtonse stoffen geldt dat τ → ∞. Als we de limiet nemen van de differentiaalvergelijking volgt ∂2u u G γτ ˙ ∂2u lim D 2 − + = D . τ →∞ ∂y τ τ 1 + (γτ ˙ )2 ∂y 2 Dan krijgen we voor de polymeerspanning van een Newtonse vloeistof de vergelijking D
∂2u =0 ∂y 2
met Neumann randvoorwaarden ∂u (y = 0) = 0, ∂y ∂u (y = 1) = 0, ∂y waaruit direct volgt ∂u = 0. ∂y De vergelijking voor de snelheid wordt dan gelijk aan de vergelijking de we hebben verkregen uit de Navier-Stokes vergelijkingen voor Newtonse vloeistoffen: ∂ 2 vx ∂ 2 vx 0 0 2 2 ∂y =η + = η ∂y . 0 0 0 0
Door gebruik te maken van substituties kunnen we vergelijking (19) dimensieloos maken. We weten dat G = αη τ . Om een dimensieloze vergelijking te krijgen zullen we eerst in vergelijking (19) delen door G en vermenigvuldigen met τ : u00 u − + g(γτ ˙ ) = 0. (20) Dτ G G 00 ˆ = Dτ , u Dan noemen we D ˆ00 = u en u ˆ = u. G
G
ˆ u00 − u Dˆ ˆ + g(γτ ˙ ) = 0.
(21)
Om g(γτ ˙ ) dimensieloos te maken gebruiken we de constanten α, η, τ en de verhouding G =
16
αη τ .
g(γτ ˙ ) = = = = = = ˆ= Nu noemen we Σ
Σ G
τ γ˙ g αη αη τ γ˙ αu αu g αη + − αη G G τ γ˙ u u g α η + − αη G G u u γ˙ g α η + − G G G η γ˙ + u u g α − G G u Σ − g α G G
en we hadden al u ˆ=
u G.
(22)
We integreren Σ over yˆ:
hγˆ˙ i ˙ ˆ = hui + ηhγi = hˆ ui + Σ G α Na substitutie van vergelijking (23) in vergelijking (22) krijgen we: " !# h i ˙i h γ ˆ ˆ −u g α Σ ˆ = g α hˆ ui + −u ˆ α h i ˆ˙ . = g α(hˆ ui − u ˆ) + hγi De volgende vergelijking is nu dimensieloos: h i ˆ u00 − u ˆ˙ = 0. Dˆ ˆ + g α(hˆ ui − u ˆ) + hγi
(23)
(24)
Omdat er een integraal in deze vergelijking voorkomt noemen we dit een integro-differentiaalvergelijking.
17
5
Numerieke oplossingen
Zoals eerder genoemd, worden de meeste Navier-Stokes vergelijkingen numeriek opgelost. Ook in dit geval is de differentiaalvergelijking die we willen oplossen niet analytisch op te lossen. We gaan gebruik maken van het programma COMSOL om de vergelijking op te lossen. Dit programma maakt gebruik van de eindige elementen methode[2], wat een methode is waarbij door het verkleinen van de elementen de oplossing nadert tot de analytisch juiste oplossing. De oplossing u(y) is te schrijven als u(y) =
∞ X
cj φj (y).
j=1
Waarbij cj de oplossing in element j en φj (y) de basisfunctie.
We kunnen niet oneindig veel elementen nemen, dus nemen we u ¯(y) =
n X
cj φj (y).
j=1
Om de differentiaalvergelijking op te lossen introduceren we een zogehete zwakke vorm, waarvoor een numerieke oplossing te vinden is. We maken een zwakke vorm van de differentiaalvergelijking door te vermenigvuldigen met een testfunctie φi (y) en te integreren over y: Z PDE · φi (y) dy. (25) Ω
Als we de differentiaalvergelijking willen oplossen voor u dan vervangen we in vergelijking (25) alle u en afgeleiden van u voor u ¯(y) en afgeleiden van u ¯(y). Dit geeft een integraal met een sommatie erin. We kunnen integratie en sommatie verwisselen. Nu kunnen we de oplossing voor u benaderen. We lossen de vergelijking op voor een eindig aantal termen, waarbij het aantal termen aan te geven is in COMSOL.
5.1
Oplossingen voor Newtonse vloeistoffen
Om te zien welke resultaten het programma kan geven beginnen we met het numeriek oplossen van de Navier-Stokes vergelijkingen voor de Newtonse vloeistoffen. Dit is de differentiaalvergelijking in vergelijking (9) aangevuld met de randvoorwaarden (10) en (11). De oplossingen voor dit probleem via de eindige elementen methode, voor verschillende waarden van vp zijn weergegeven in Figuur 4.
18
Figuur 4: Oplossingen via eindige elementen voor Newtonse vloeistof voor vp = 0.1, 0.2, 0.3
5.2
Oplossingen voor niet-Newtonse vloeistoffen
We gebruiken het programma COMSOL om de integro-differentiaalvergelijkingen op te lossen. We lossen eerst de vergelijking voor de polymeerspanning op, vervolgens kunnen we die oplossingen gebruiken om het snelheidsprofiel te bepalen. 5.2.1
Oplossingen voor de polymeerspanning
Voor de polymeerspanning hebben we de dimensieloze differentiaalvergelijking (24) h i ˆ u00 − u ˆ˙ = 0. Dˆ ˆ + g α(hˆ ui − u ˆ) + hγi h i ˆ˙ = 0 We kijken eerst naar de vereenvoudigde vergelijking, waarbij g α(hˆ ui − u ˆ) + hγi 2
ˆ ˆ∂ u D −u ˆ = 0. ∂y 2 met randvoorwaarden u ˆ(y = 0) = 0, u ˆ(y = 1) = vp , waarbij vp de snelheid van de bovenste plaat is. De oplossingen zijn weergegeven in Figuur 5.
19
(26)
Figuur 5: Oplossing voor de vereenvoudigde vergelijking voor de polymeerspanning voor verˆ schillende waarden van D Voor het oplossen van vergelijking (24) voor de polymeerspanning hebben we Neumann randvoorwaarden ∂u (y = 0) = 0, ∂y ∂u (y = 1) = 0. ∂y We willen een stationaire oplossing vinden voor de differentiaalvergelijking. Het programma COMSOL heeft een functie voor stationair oplossen, maar daarmee kunnen we de oplossing niet vinden. We gebruiken in COMSOL een tijdsafhankelijke oplosmethode en laten de tijd dan doorlopen tot de oplossing geconvergeerd is. Dan vinden we de oplossingen die we zoeken. We nemen daarbij als initi¨ele voorwaarden oplossing 1 met oplossing 2 met oplossing 3 met
∂u (t = 0) = 0, ∂t ∂u (t = 0) = 0, ∂t ∂u (t = 0) = 0, ∂t
u(t = 0) = 0, u(t = 0) = 1 − y, u(t = 0) = y.
zie Figuur 6. Bij oplossing 1 is de polymeerspanning constant. Bij oplossing 2 beweegt de onderste plaat. Bij oplossing 3 beweegt de bovenste plaat. Voor de verstoring van het evenwicht gaan we alleen oplossing 3 gebruiken, hetgeen we dan vinden geldt ook voor de andere oplossingen, het is niet nodig om de verstoring op de drie oplossingen apart toe te passen.
20
ˆ = 0.01, hγi ˆ˙ = 2.6 Figuur 6: Oplossingen voor polymeerspanning, α = 20, D 5.2.2
Oplossingen voor de snelheid
We hebben differentiaalvergelijking (13) voor de snelheid in een niet-Newtonse vloeistof gevonden. Deze vergelijking hangt af van de polymeerspanning u. We hebben in de vorige paragraaf de differentiaalvergelijking voor de polymeerspanning opgelost. Nu voegen we in Comsol de vergelijking voor de snelheid toe, dan kunnen we direct ∂u ∂y uit de oplossing voor de polymeerspanning gebruiken om het snelheidsprofiel te bepalen. De oplossing is weergegeven in Figuur 7.
ˆ = 0.01, hγi ˆ˙ = 2.6 Figuur 7: Oplossing voor de snelheid, α = 20, D
5.2.3
ˆ α en hγi De invloed van D, ˙
We kunnen grafieken maken van de oplossingen voor de polymeerspanning, de schuifverhouding ˆ = 0.01, α = 20 en hγi en de snelheid. In de basisoplossing nemen we D ˙ = 2.6. We laten nu ˆ α en hγi, grafieken zien waarbij we deze constanten veranderen. We veranderen afzonderlijk D, ˙ direct naast de grafieken is te zien welke waarden gekozen zijn. ˆ gevarieerd. Deze be¨ınvloedt de grootte In de meest linkse figuren wordt de diffusieco¨efficient, D, ˆ van de interface. Als D kleiner is wordt de interface smaller, de overgang tussen twee schuifbanˆ = 0.001 bijna haakse hoeken. den is kleiner. We zien in Figuur 8 voor D In de middelste figuren wordt α gevarieerd. De maximale polymeerspanning wordt kleiner naarmate α groter wordt, de snelheid in de bovenste schuifband wordt kleiner naarmate α groter wordt. Als α extreem groot wordt zal de snelheid bijna lineair zijn.
21
ˆ Figuur 8: Polymeerspanning, bepaald met verschillende waarden voor D(links), α(midden) en hγi(rechts) ˙
ˆ Figuur 9: Schuifverhouding, bepaald met verschillende waarden voor D(links), α(midden) en hγi(rechts) ˙
ˆ Figuur 10: Snelheid, bepaald met verschillende waarden voor D(links), α(midden) en hγi(rechts) ˙ ˆ˙ gevariIn de meest rechtse figuren wordt de gemiddelde waarde van de schuifverhouding, hγi, ˆ eerd. Deze heeft weinig invloed op de polymeerspanning. Als hγi ˙ kleiner wordt zal de snelheid ˆ˙ ook bijna lineair worden. Dat de snelheid bijna lineair wordt voor erg grote α of erg kleine hγi is ook te verklaren aan de hand van de vergelijking.
22
6
Stabiliteitsanalyse
In de vorige secties hebben we oplossingen gevonden voor de polymeerspanning en voor het snelheidsprofiel. We willen onderzoeken of de gevonden oplossingen stabiel zijn, dit kan door de oplossingen te verstoren. We kunnen op twee manieren zien of het evenwicht stabiel is: • We kunnen bestuderen of na het toepassen van een verstoring op de oplossing deze laatste weer naar de evenwichtstoestand evolueert. • We kunnen een differentiaalvergelijking voor de verstoring afleiden en bestuderen of de verstoring naar 0 evolueert.
6.1
Analyse voor Newtonse vloeistoffen
Figuur 11: Verstoringen voor Newtonse vloeistoffen met de eindige elementen methode, k = 1, 2, 3, 4, 5. We nemen hier verstoringen van de vorm 30 · sin(kπy), we zien dat naarmate we k groter nemen de verstoring sneller verdwijnt. Dit is weergegeven in Figuur 11. Dat kunnen we ook analytisch aantonen: ∂2u We hebben de vergelijking ∂u ∂t = ∂y 2 met de randvoorwaarden u(y = 0) = 0, u(y = 1) = vp . Als initi¨ele waarde nemen we u(y, t = 0) = vp y + sin(kπy). Deze voldoet aan de randvoorwaarden want: u(0, t = 0) = 0 + sin(0) = 0, u(1, t = 0) = vp + sin(kπ) = vp . We defini¨eren u ¯(y, t) u ¯(y, t) = u(y, t) − vp y = vp y + sin(kπy) − vp y = sin(kπy). Er geldt u ¯(y = 0) = sin(0) = 0, u ¯(y = 1) = sin(kπ) = 0.
23
∂2 ∂2 u − vp y ∂y 2 ∂y 2 = −(kπ)2 sin2 (kπy) ∂2u = . ∂y 2
∂2u ¯ ∂y 2
=
∂u ¯ ∂t
= =
∂ ∂ u − vp y ∂t ∂t ∂u . ∂t
We hebben nu dezelfde differentiaalvergelijking als randvoorwaarden
∂u ∂t
=
∂2u , ∂y 2
namelijk
∂u ¯ ∂t
u(y = 0) = 0, y(y = 1) = 0.
Nu mogen we scheiding van variabelen toepassen: 2
u ¯(y, t) = sin(kπy)e−(kπ) t Ook hier zien we u ¯(y, t = 0) = sin(kπy). We weten u ¯(y, t) = u(y, t) − vp y, we kunnen afleiden voor de oplossing u, 2
u(y, t) = u ¯(y, t) + vp y) = sin(kπy)e−(kπ) t + vp y, 2
lim e−(kπ) t = 0
t→∞
2t
We zien dat e−(kπ)
6.2
dus
lim u(y, t) = vp y.
t→∞
sneller naar 0 gaat als k groter is.
Analyse voor Niet-Newtonse vloeistoffen
We hebben nu een oplossing gevonden voor de differentiaalvergelijking h i ˆ u00 − u ˆ˙ = 0. Dˆ ˆ + g α(hˆ ui − u ˆ) + hγi Bij de verstoringen hebben we de volgende beginvoorwaarden genomen: In alle gevallen ∂u ∂t (t = 0) = 0, bij de polymeerspanning ∂u (t = 0) = 0, ∂t u(t = 0) = −0.5 · sin(kπx) met k = 2, 4, 6,
24
=
∂2u ¯ , ∂y 2
met homogene
bij de snelheid ∂v (t = 0) = 0, ∂t v(t = 0) = 0.1 · sin(kπx) met k = 1, 3, 5. We lossen eerst de oorspronkelijke vergelijking op, dan gebruiken we die oplossing (voor u0 of v0 ) in de vergelijking met de verstoring, die lossen we dan op voor u of v. De verstoring voor de polymeerspanning hebben we ook gespiegeld door als beginvoorwaarde u(t = 0) = 0.5 · sin(kπx) met k = 2 te nemen, dan zien we dat de oplossing convergeert naar de gespiegelde oplossing voor de polymeerspanning. Zie Figuur 13.
Figuur 12: Verstoringen bij de polymeerspanning, k = 2, 4, 6.
Figuur 13: De verstoring verticaal gespiegeld bij de polymeerspanning, voor k = 2.
6.3
De verstoring
We kunnen een differentiaalvergelijking opstellen voor de verstoring. We vormen deze differenξ tiaalvergelijking door van g(ξ) = 1+ξ 2 een verstoringsterm te maken. We veranderen ξ0 en u0 , waarbij ξ0 , u0 uit de oorspronkelijke oplossing zijn. We nemen: ξ = ξ0 + λξ1 , u = u0 + λu1 .
We willen iets krijgen van de vorm g(ξ) = g0 (ξ0 ) + g1 (ξ0 , ξ1 ), d.w.z. g(ξ) = 25
ξ0 1+ξ02
+ g1 (ξ0 , ξ1 ),
Figuur 14: Verstoringen bij de snelheid, k = 1, 3, 5.
1 . 1 + + 2ξ0 ξ1 λ + HOT h i 1 Om g1 (ξ) te bepalen gaan we 1+ξ2 +2ξ 1ξ λ+HOT schrijven als 1+ξ + · · · , d.m.v. linearisatie, 2 0 1 0 0 want dan krijgen we door vermenigvuldiging met (ξ0 + λξ1 ) precies g(ξ) = (ξ0 + λξ1 ) ·
g(ξ) =
ξ02
ξ0 ξ1 +λ · + ··· 2 1 + ξ0 1 + ξ02 | {z } g0 (ξ0 )
In het algemeen geldt f (x) = b = 2ξ0 ξ1 en x = λ. Dus 1+
ξ02
1 a+bx
=
1 a
−
b x a2
+ HOT . In ons geval nemen we a = 1 + ξ02 ,
1 1 2ξ0 ξ1 = + HOT. − 2 + 2ξ0 ξ1 λ + HOT 1 + ξ0 (1 + ξ02 )2
Nu zien we 1 2ξ0 ξ1 g(ξ) = (ξ0 + λξ1 ) · − + HOT 2 1 + ξ0 (1 + ξ02 )2 ξ1 2ξ02 ξ1 ξ0 +λ − +HOT = 1 + ξ2 1 + ξ02 (1 + ξ02 )2 | {z 0} | {z } g0 (ξ0 )
g1 (ξ0 ,ξ1 )
ξ0 1 − ξ02 = +λ ξ1 · +HOT. 1 + ξ02 (1 + ξ02 )2 | {z } | {z } g0 (ξ0 )
g1 (ξ0 ,ξ1 )
26
7
Conclusie
We hebben aan de hand van een parti¨ele differentiaalvergelijking voor de snelheid een model gemaakt voor de stroming van een Newtonse vloeistof en voor een niet-Newtonse vloeistof. Voor de vergelijking hebben we de evenwichtsoplossingen gevonden. Als stabiliteitsanalyse hebben we kleine verstoringen toegepast op de oplossingen om te zien om de oplossingen stabiel zijn. De vergelijking voor de snelheid bevat een term voor de polymeerspanning, deze term wordt omschreven door een differentiaalvergelijking met drie oplossingen. Twee van de oplossingen zijn precies elkaars gespiegelden, evenwichtsoplossing 3 is gelijk aan evenwichtsoplossing 2 verticaal gespiegeld. Wanneer we een positieve vorm van de sinus nemen als beginoplossing convergeert de oplossing naar oplossing 2. Wanneer we een negatieve vorm van de sinus nemen als beginoplossing convergeert de oplossing naar oplossing 3. We hebben nog resultaten gevonden voor de constanten uit de vergelijking voor de polymeerspanning: ˆ be¨ınvloedt de grootte van de interface. Als D ˆ kleiner is wordt de interDe diffusieco¨efficient, D, face smaller, de overgang tussen twee schuifbanden is kleiner. De maximale polymeerspanning wordt kleiner naarmate α groter wordt, de snelheid in de bovenste schuifband is wordt kleiner naarmate α groter wordt. Als α extreem groot wordt zal de snelheid bijna lineair. De gemidˆ˙ heeft weinig invloed op de polymeerspanning. Als delde waarde van de schuifverhouding, hγi, ˆ˙ kleiner wordt zal de snelheid ook bijna lineair worden. Dat de snelheid bijna lineair wordt hγi ˆ˙ is ook te verklaren aan de hand van de vergelijking. voor erg grote α of erg kleine hγi De stabiliteitsanalyse, uitgevoerd in Sectie 6, doet vermoeden dat de oplossingen stabiel zijn. Als verstoring hebben we als beginoplossing in het model een sinus ge¨ımplementeerd. We hebben voor de verstoringen de periode van de sinus gevarieerd van 0,25 tot 0,75. We zagen dat bij een kleinere periode de oplossing sneller naar de evenwichtsoplossing convergeert. In dit onderzoek is alleen gekeken naar een 1-dimensionale oplossing, het onderzoek kan nog uitgebreid worden door ook in beide richtingen te kijken. Zo kan een 2-dimensionale verstoring worden ge¨ımplementeerd.
27
Referenties [1] P.D. Olmsted Johan L.A. Dubbeldam. Two-dimensional pertubations in scalar model for shear-banding. 2009. [2] Fred Vermolen and Domenico Lahaye. Introduction to Finite Elements. Delft University of Technology, 2009.
28
