Saluran Transmisi pada Gelombang Mikro Dalam frekuensi tinggi, suatu saluran transmisi akan menimbulkan efek kapasitansi dan induktansi yang terdistribusi di sepanjang saluran. Karena panjang gelombang lebih kecil dibandingkan dimensi saluran, maka saluran transmisi pada frekuensi mikro hanya bisa dianalisa dengan mengunakan teori rangkaian terdistribusi.
R ∆z
L ∆z
R ∆z
L ∆z
i (z,t) v(z,t)
G ∆z
i (z+∆z, t)
C ∆z
Persamaan saluran transmisi dalam bentuk arus adalah :
∂i ∂ 2i ∂ 2i ( ) = + + + RGi RC LG LC ∂t ∂t 2 ∂z 2 Tegangan dan arus sepanjang saluran merupakan fungsi dari posisi z dan waktu t. Arus dan tegangan sesaat dinyatakan sebagai : v(z,t) = Re V(z) e i(z,t) = Re I(z) e
jωt
jωt
dimana Re berarti bagian real. V(z) dan I(z) adalah phasor dalam bentuk besaran komplek : V(z) = V+ e - γ z + V– e γ z I (z) = I+ e - γ z + I– e γ z γ = α + j β adalah konstanta propagasi α = konstanta redaman (N/z) (neper/unit panjang) β = konstanta phase (radian/unit panjang) Dengan beberapa substitusi bisa diperoleh : Z= R + j ω L Y= G + j ω C
γ = √ ZY = √ ( R + j ω L ) (G + j ω C ) Impedansi Karakteristik Saluran didefinisikan sebagai : Z 1 =Ro ± jXo Z0 = = Y0 Y Dengan ekspansi binomial, redaman dan konstanta phase diperoleh : L ⎞⎟ C 1 ⎛⎜ + G R C ⎟⎠ L 2 ⎜⎝ β = ω LC α=
Kecepatan phase : ω 1 vp = = β LC Jika saluran transmisi lossless mempunyai dielektrik udara, maka kecepatan phase sama dengan kecepatan cahaya : vp =
1 µ0ε0
= c = 3 ⋅ 10 8 m / dt
Jika dielektrik saluran transmisi buka udara maka kecepatan phase lebih kecil dari kecepatan cahaya 1 c vp = = µε µr εr
Contoh : Sebuah saluran transmisi mempunyai parameter sbb : R = 2 Ω/m G = 0,5 mmho/m L = 8nH/m C = 0,23 pF Hitung impedansi karakteristik dan konstanta propagasi pada f = 1 GHz.
a). Z 0 =
=
R + jωL G + jωC
2 + j2π ⋅ 10 9 ⋅ 8 ⋅ 10 −9 0,5 ⋅ 10 − 3 + j2π ⋅ 10 9 ⋅ 0,23 ⋅ 10 −12
2 + j50,24 0,5 ⋅ 10 −3 + j1,444 ⋅ 10 −3
=
50,31∠87,72 o 15,29 ⋅ 10 − 4 ∠70,91o
= 181,39 ∠ 8,40o = 179,44 – j 26,50 b). γ = (50,31∠87,72 o )(15,29 ⋅ 10 −4 ∠ 70,91o ) γ = 0,2774 ∠ 79,31o = 0,051 + j 0,273
Koefisien Refleksi Gelombang berjalan sepanjang saluran transmisi mempunyai dua komponen yaitu arah z positif dan arah negatif. Arah negatif terjadi karena adanya pantulan akibat beban yang tidak sesuai dengan impedansi karakteristik saluran Zo. Tegangan dan arus di sepanjang saluran transmisi adalah : V = V + e -γz + V –e γz I = I + e -γz + I –e γz I=
1 (V Z0
+
ig
e
-γz
-V
is
–
e
γz
)
i
ir
iℓ
Zg Vg Vs
Zo
V
Zo
ZL VL Zr
Zs ℓ z
d
Koefisien refleksi dinyatakan sebagai perbandingan gelombang pantul terhadap gelombang datang : Γ=
Vpantul Vda tan g
=−
i pantul i da tan g
pada beban sejauh l dari input : Γl =
Z − Z0 V− e γl = l − γl Zl + Z0 V+ e
untuk beban kompleks Γl = Γl e jθ l Dimana | Γℓ | ≤ 1 θℓ = sudut phase antara tegangan maju dan tegangan pantul pada ujung beban Dari prinsip konservasi energi, daya maju minus daya pantul harus sama dengan daya yang dipancarkan :
Z0 2 T Zl T adalah koefisien transmisi yang didefinisikan sebagai :
1 - | Γℓ |2 =
T
=
arus atau tegangan pancar arus atau tegangan datang
=
2Z l Vtr I = tr = Vinc I inc Z l + Z 0
pinc ptr
Zg
pref
Z0
Vs
ℓ z
Zℓ
Contoh : Suatu saluran transmisi mempunyai impedansi karakteristik Zo = 75 + j 0,01 Ω dan diberi beban 70 + j 50 Ω. Hitung koefisien refleksi dan koefisien transmisi. Koefisien refleksi : Z − Z 0 70 + j50 − (75 + j0,01) = Γl = l Z l + Z 0 70 + j50 + (75 + j0,01)
=
50,24∠95,71o 153,38∠19,03o
= 0,33 ∠ 76,68o =0,08 +j 0,32 Koefisien transmisi :
T=
2Z l 2(70 + j50) = Z l + Z 0 70 + j50 + (75 + j0,01) 172,05∠35,54 o = 153,36∠19,03o = 1,12 ∠ 16,51o = 1,08+j0,32
Impedansi Saluran Impedansi saluran dari suatu saluran transmisi adalah rasio kompleks dari tegangan pada suatu titik terhadap arus pada titik itu. Didefinisikan sebagai : Z=
V( z ) I( z )
Untuk saluran transmisi lossless ( Z0 = R0), impedansi daluran bisa dinyatakan dalam bentuk fungsi circular :
Z = R0 Atau
Z = R0
Z s − jR 0 tan(βz ) R 0 − jZ s tan(βz ) Z l − jR 0 tan(βd) R 0 − jZ l tan(βd)
Impedansi dalam koefisien refleksi :
Koefisien refleksi pada jarak d dari ujung terima adalah Γ = Γl e
-2 γ d
= | Γl | e
-2 a d j(θ l-2 β d)
e
Nilai impedansi dalam koefisien refleksi. Impedansi bisa ditulis dalam persamaan berikut : 1 + Γl e −2 γd 1 − Γl e − 2 γd Dimana Z − Z0 Γl = l Zl + Z0 Z = Z0
Koefisien refleksi pada jarak d dari ujung terima (beban) diberikan : Γ = Γl e −2 γd = Γl e −2 αd e j(θl − 2βd ) Persamaan impedansi pada jarak d dari beban bisa disederhanakan sbb :
Z = Z0
1+ Γ 1− Γ
Standing Wave Ratio Standing wave (gelombang berdiri) disebabkan oleh kehadiran gelombang berjalan dalam arah yang berlawanan dalam suatu saluran transmisi. Ratio dari standing wave maksimum terhadap minimum-nya didefinisikan sebagai standing wave rasio (SWR), dinotasikan dengan symbol ρ. ρ=
Vmax Vmin
=
I max I min
Karena SWR untuk tegangan dan arus adalah sama, maka tidak ada perbedaan antara VSWR dan ISWR. Standing wave ratio disebabkan oleh kenyataan bahwa dua komponen gelombang berjalan saling menjumlahkan (sephase) pada beberapa titik dan saling melemahkan di titik yang lain. Jarak antara dua maksima atau minima berurutan adalah λ/2. Jika SVR bernilai satu, berarti tidak ada gelombang pantul. SWR tidak bisa didefinisikan pada saluran transmisi dengan rugi-rugi (lossy),
karena pola gelombang berdiri berubah-ubah antara satu posisi dengan posisi lainnya. Untuk saluran dengan rugi-rugi kecil, rasio relatif konstan dan masih bisa didefinisikan. Karena gelombang pantul didefinisikan sebagai perkalian antara gelombang maju dan koefisien refleksinya, SWR juga berhubungan terhadap koefisien refleksi Γ :
ρ=
1+ Γ 1− Γ
ρ −1 ρ+1 Karena koefisien pantul Γ ≤ 1, maka ρ ≥ 1. Γ =
Contoh : Suatu saluran transmisi mempunyai impedansi 50 + j 0,01 Ω dan diterminasi dengan beban 73 – j 42,5 Ω. Hitung (a) koefisien refleksi (b) standing wave ratio.
(a)
Γ=
Z l − Z 0 73 − j42,5 − (50 + j0,01) = Z l + Z 0 73 − j42,5 + (50 + j0,01)
Γ = 0,377∠ − 42,7 o (b) ρ =
1+ Γ 1− Γ
=
1 + 0,377 = 2,21 1 − 0,377
