LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar)
RUANG DIMENSI TIGA
Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd
MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X
Created By Ita Yuliana
69
Ruang Dimensi Tiga Kompetensi Dasar 1. Menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang dimensi tiga 2. Menentukan jarak dari titik ke garis dan dari titik ke bidang dalam ruang dimensi tiga 3. Menentukan besar sudut antara garis dan bidang dan antara dua bidang dalam ruang dimensi tiga Indikator 1. Warga belajar dapat menentukan kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang 2. Warga belajar dapat menghitung jarak titik ke garis dan titik ke bidang 3. Warga belajar dapat menghitung jarak dua garis bersilangan pada bangun ruang 4. Warga belajar dapat menghitung jarak dua bidang sejajar pada bangun ruang 5. Warga belajar dapat menghitung sudut antara garis dengan bidang 6. Warga belajar dapat menghitung sudut antara dua bidang
kasus Mobil Formula I merupakan jenis kendaraan yang mampu melaju dengan kecepatan lebih dari 300 km/jam. Selain karena kekuatan mesinnya, kunci utama mobil Formula I mampu mencapai kecepatan tinggi adalah karena rancangan sistem aerodinamisnya yang mampu mengurangi tahanan udara dan memperbesar daya downforced (gaya tekan ke bawah). Sistem aerodinamis pada mobil Formula 1 diantaranya berupa susunan sayap depan dan sayap belakang. Perancang mobil Formula 1 memperhitungkan secara detil jarak dan sudut kemiringan sayap mobil sesuai dengan kondisi lintasan yang akan dilalui. Pada bab ini kamu akan mempelajari salah satu ilmu yang digunakan perancang mobil Formula 1, yaitu jarak dan sudut dalam ruang Ringkasan Materi A. Kedudukan titik, garis, dan bidang dalam ruang Suatu bangun ruang dibentuk oleh 4 unsur penting, yaitu titik, sudut, garis, dan bidang. Keempat unsur ini disebut dengan unsur-unsur ruang. 1. Kedudukan titik terhadap garis Kedudukan yang mungkin terjadi antara titik dengan garis adalah: a. Titik berada pada garis, artinya titik tersebut dilalui oleh garis b. Titik berada di luar garis, artinya titik tersebut tidak dilalui oleh garis, sehingga antara titik dengan garis memiliki jarak 2. Kedudukan titik terhadap bidang Kemungkinan yang terjadi antara titik dengan bidang adalah: a. Titik berada pada bidang, artinya titik tersebut dilalui oleh bidang b. Titik berada di luar bidang, artinya titik tersebut tidak dilalui oleh bidang, sehingga antara titik dengan bidang memiliki jarak Created By Ita Yuliana
70
3. Kedudukan garis terhadap garis lain Kedudukan yang mungkin antara garis dengan garis adalah: a. Dua garis sejajar, artinya tidak memiliki titik potong dan terletak pada satu bidang, sehingga terdapat jarak diantaranya b. Dua garis berpotongan, artinya punya tepat satu titik potong dan terletak pada satu bidang c. Dua garis bersilangan, artinya tidak sejajar dan tidak berpotongan atau melalui dua garis itu tidak dapat dibuat suatu bidang 4. Kedudukan garis terhadap bidang Kedudukan yang mungkin antara garis dengan bidang adalah: a. Garis berada pada bidang, artinya garis tersebut dilalui bidang atau antara garis dan bidang mempunyai lebih dari satu titik potong (berimpit) b. Garis berada di luar bidang, artinya garis tersebut tidak dilalui bidang, atau garis dan bidang sejajar, tidak memiliki titik potong sehingga antaranya terdapat jarak c. Garis berpotongan atau menembus bidang, artinya punya satu titik potong 5. Kedudukan bidang terhadap bidang lain Hubungan yang mungkin antara bidang dengan bidang adalah : a. Dua bidang sejajar, artinya tidak memiliki satu pun titik potong sehingga di antaranya terdapat jarak b. Dua bidang berpotongan, artinya punya tepat satu garis persekutuan
Aktivitas 1 1. Untuk kubus ABCD.EFGH berikut, sebutkan a. titik yang terletak pada garis AB b. titik yang berada di luar garis AB
H
G F
E
c. titik yang terletak pada bidang alas
D C
d. titik yang berada di luar bidang alas e. garis yang sejajar AB
A
B
f. garis yang berpotongan dengan AB g. garis yang bersilangan dengan AB h. garis yang terletak pada alas i. garis yang sejajar alas j. garis yang menembus alas k. bidang yang sejajar alas l. dua bidang yang berpotongan pada garis AB
Created By Ita Yuliana
71
2. Pada kubus ABCD.EFGH di atas, sebutkan kedudukan antara garis dan garis berikut. a. AB dan GH c. AG dan HC e. HF dan AG b. GB dan EF d. BH dan AG
3. Pada kubus ABCD.EFGH di atas, sebutkan kedudukan antara garis dan bidang berikut. a. AB dan DCGH c. DH dan ADCB e. AG dan BDHF b. DF dan ADCB d. AD dan BCFG
4. Pada kubus ABCD.EFGH di atas, sebutkan kedudukan antara bidang dan bidang berikut. a. ABGH dan DCFE c. BCFG dan BGC e. ABE dan CGH b. ACG dan BGE d. BCHE dan BCH
B. Jarak pada bangun ruang 1. Jarak titik ke titik, titik ke garis, dan titik ke bidang a. Jarak titik ke titik Jarak antara dua titik adalah panjang ruas garis yang menghubungkan titik tersebut. b. Jarak titik ke garis Jarak antara titik A dan garis l adalah panjang ruas garis yang ditarik dari titik A yang tegak lurus terhadap garis l
c. Jarak titik ke bidang Jarak antara titik A dan bidang V adalah panjang ruas garis yang tegak lurus menghubungkan titik tersebut dengan bidang
2. Jarak garis ke garis, garis ke bidang, dan bidang ke bidang a. Jarak antara garis ke garis Jarak antara dua garis sejajar atau bersilangan adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap kedua garis tersebut.
Created By Ita Yuliana
72
b. Jarak antara garis ke bidang Jarak antara garis dan bidang yang saling sejajar adalah panjang ruas garis yang masing-masing tegak lurus terhadap garis dan bidang tersebut c. Jarak antara bidang ke bidang Jarak antara dua bidang adalah panjang ruas garis yang tegak lurus terhadap dua bidang tersebut Contoh: Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang AB = 6 cm, BC = 4 cm, dan BF = 8 cm. Hitunglah jarak antara H G a. garis AB dan HG b. garis AC dan bidang EFGH F E c. bidang ABFE dan DCGH D C
Jawab: a. Jarak antara garis AB dan HG dapat diwakili oleh ruas garis AH atau BG
A
B
BG = √ =√ = √ = 4√ Jadi, jarak antara garis AB dan HG adalah 4√ cm b. Jarak antara garis AC dan bidang EFGH dapat diwakili oleh ruas garis AE atau CG, sehingga jarak yang dimaksud adalah 8 cm c. Jarak antara bidang ABFE dengan DCGH dapat diwakili oleh ruas garis BC, FG, EH, atau AD, sehingga jarak yang dimaksud adalah 4 cm.
Aktivitas 2 Sebuah kubus ABCD.EFGH panjang rusuknya 9 cm. Tentukan: 1. jarak titik A ke titik G 2. jarak titik A ke BD 3. jarak titik D ke ACGE 4. jarak dari garis CD ke bidang ABGH 5. jarak dari garis AE ke BD 6. jarak dari bidang ABFE dan DCGH
Created By Ita Yuliana
73
C. Sudut dalam ruang 1. Sudut antara dua garis bersilangan Sudut antara dua garis l dan m yang bersilangan adalah sudut yang diperoleh dari dua garis yang berpotongan yang masing-masing sejajar dengan garis l dan m Contoh: Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. E a. Tunjukkan sudut antara garis CF dan garis EG b. Hitunglah sudut antara garis CF dan garis EG
H
G F D C
Jawab: a. Garis yang sejajar EG dan memotong CF adalah garis AC. Dengan demikian sudut antara garis CF dan garis EG diwakili oleh sudut ACF b. Pada segitiga ACF, tampak bahwa AC = CF = AF (diagonal sisi), sehingga segitiga tersebut merupakan segitiga sama sisi, oleh karena itu sudut antara garis CF dan garis EG adalah 600
A
B
2. Sudut antara garis dan bidang Sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis tersebut dengan proyeksinya
Contoh: Diketahui kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 2 cm. a. Tunjukkan sudut antara BH dan bidang ABCD b. Hitunglah besar sudut antara BH dan bidang ABCD Jawab: a. Proyeksi garis BH pada bidang ABCD adalah garis BD sebab HD bidang ABCD dan titik B pada bidang ABCD, dengan demikian sudut antara garis BH dan bidang ABCD adalah DBH b. Untuk menentukan besar sudut tersebut, perhatikan segitiga siku-siku DBH dan andaikan DBH = tan =
=
√
H
G F
E D
C A
B
= 0,7071
= 35,30 3. Sudut antara bidang dan bidang Sudut antara bidang U dan V dapat ditentukan oleh garis l pada bidang U dan garis m pada bidang V yang saling tegak lurus pada garis potong bidang U dan V Contoh : Created By Ita Yuliana
74
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm a. Tunjukkan sudut antara bidang ABGH dengan ABCD b. Tunjukkan sudut antara bidang BDHF dengan AFH c. Hitunglah sudut antara bidang ABGH dengan ABCD d. Hitunglah sudut antara bidang BDHF dengan AFH
Jawab: a. sudut antara bidang ABGH dengan ABCD ditunjukkan oleh sudut CBG atau sudut tumpuan HAD
H
G F
E D
C A
b. jika P merupakan pusat diagonal sisis ABCD dan L merupakan pusat diagonal sisi EFGH, maka sudut antara bidang BDHF dengan AFH ditunjukkan oleh sudut tumpuan ALP
B H
G F
E D
C A
c. Jika CBG = maka tan =
= = 1 = 450
d. Jika CBG = maka tan =
=
√
B
= 0,7071 = 35,30
Aktivitas 3 1. Pada kubus ABCD.EFGH tentukan: a. (AD, BF) b. (AD, HF) c. (AD, HC) d. (AG, BD) e. (BD, AH)
2. Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 10 cm.Tunjukkan dengan gambar sudut antara: a. FG dengan bidang ACGE b. BC dengan bidang ACGE c. HB dengan bidang DCGH d. HB dengan bidang ABFE
Created By Ita Yuliana
75
3. Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk s cm. Hitunglah besar jika adalah sudut antara dua bidang berikut a. ABGH dan ABCD b. BDG dan ABCD c. AFH dan CFH d. AFH dan BDE e. ABGH dan DCFE
Created By Ita Yuliana
76
