LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar)
MATRIKS
Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd
MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XII
Created By Ita Yuliana
15
Matriks Kompetensi Dasar 1. Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain 2. Menentukan determinan dan invers matriks 2 x 2 3. Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel
Kasus Sistem perbankan semakin maju berkat kemajuan di bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Salah satu contohnya adalah penggunakan kriptograf (teori pengkodena) pada transaksi online di bank. Pada saat seseorang menggunakan mesin EDC (Electronic data Capture). Data pada kartu dibaca mesin EDC kemudian diubah menjadi koed rahasia.Kode rahasia tersebut dikirim ke server bank. Server bank mengubah kembali kode tersebut sehingga data pemilik kartu kredit diketahui. Mesin EDC dirancang menggunakan ilmu kriptografi. Kriptografi mengatur data ke dalam bentuk matriks. Penggunaan kriptograf dan matriks sangat bermanfaat untuk mencegah pencurian data oleh hacker.
Ringkasan Materi A. Pengertian, Notasi, dan Ordo Matriks 1. Pengertian dan notasi matriks Perhatikan tabel berikut yang menyajikan nilai ulangan peserta paket C berikut ini Nama Fauzia Agus Caca
Bahasa Inggris 60 65 60
Bahasa Indonesia 75 70 80
Matematika 70 50 75
Posisi angka-angka di atas dapat kita tulis dalam bentuk : (
)
Susunan bilangan yang diatur seperti di atas dinamakan matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut baris dan kolom Setiap bilangan dalam suatu matriks disebut elemen matriks. Matriks biasanya dilambangkan dengan huruf kapital seperti A, B, C, dan sebagainya, sedangkan elemennya biasanya dengan huruf kecil. Contoh: P=(
) baris 1 baris 2
Kolom 1 Kolom 2
Created By Ita Yuliana
baris 1
Q=(
) baris 2 baris 3
Kolom 1 Kolom 2
16
Pada matriks P : elemen pada baris pertama elemen pada kolom kedua elemen pada baris kedua kolom pertama (p21) elemen pada baris kedua kolom kedua (p22)
: 1, 3 : 3, 2 :5 :2
Pada matriks Q: elemen pada baris pertama elemen pada kolom kedua elemen pada baris kedua kolom pertama (q21) elemen pada baris ketiga kolom kedua (q32)
: 3, 1 : 1, 2, 7 :4 :7
2. Ordo matriks Ordo atau ukuran suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom yang terdapat dalam matriks tersebut. Contoh:
P=(
)
Q=(
)
R=(
)
Matriks P mempunyai 2 baris dan 2 kolom, dikatakan ordonya 2 x 2 dan ditulis P2x2 Matriks Q mempunyai 2 baris dan 3 kolom, dikatakan ordonya 2 x 3 dan ditulis Q2x3 Matriks R mempunyai 3 baris dan 3 kolom, dikatakan ordonya 3 x 3 dan ditulis R3x3 Jika matriks A mempunyai m baris dan n kolom, maka matriks tersebut berordo m x n dan ditulis Amxn
B.
Macam-macam Matriks 1. Matriks baris Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris Contoh : A = (1 2 3) B = (2 5 7 8) 2. Matriks kolom Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom Contoh: C=( )
D=( )
3. Matriks persegi Matriks persegi adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama Contoh: E=(
Created By Ita Yuliana
)
F=(
)
17
4. Matriks nol Matriks nol adalah matriks yang elemennya nol Contoh: Q=(
P = (0 0)
)
R=(
)
5. Matriks identitas Matriks identitas adalah matriks persegi yang semua elemen pada diagonal utamanya 1 dan elemen lainnya nol Contoh: H=(
C.
)
I=(
)
Transpose Matriks Transpose matriks A ditulis A′ atau At adalah suatu matriks baru yang diperoleh dengan cara mengubah setiap baris dari matriks A menjadi kolom matriks At. Contoh: E=(
)
maka
Et = (
Q=(
)
maka
Qt = (
) )
D. Kesamaan Matriks Dua matriks dikatakan sama jika: 1. ordo kedua matriks sama; 2. elemen-elemen yang bersesuaian sama contoh: 1.
A=(
)
B=(
B=( )
E=(
) )
C=(
)
F=(
)
Matriks-matriks di atas yang sama adalah A = F dan B = D 2. Tentukan nilai x dan y jika: (
)=(
)
Jawab: (
)=(
)
maka 2x = 8 x = 4 dan y=5
Created By Ita Yuliana
18
Aktivitas 1 1. Diketahui matriks P = (
)
a. ordo matriks P b. elemen-elemen kolom 3 c. elemen-elemen baris 2 2. Tuliskan ordo dan transpose setiap matriks berikut a. (
)
b. ( )
c. (
)
d. (
)
3. Matriks-matriks berikut manakah yang sama ? A=( B=( C=(
) ) )
D= (
)
G= (
E= (
)
H=(
F= ( )
I= (
) ) )
4. Tentukan x dan y pada matriks berikut a. (
E.
)=(
)
b. (
)=(
)
c. (
)= (
)
Operasi Matriks 1. Penjumlahan matriks Dua matriks dapat dijumlahkan jika ordonya sama. Penjumlahan dilakukan dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian Contoh: Tentukan A + B jika A = (
) dan B = (
)
Jawab: A+B=(
)+(
)=(
)
2. Pengurangan matriks Dua matriks dapat dikurangkan jika ordonya sama. Jika A dan B merupakan dua matriks yang berordo sama maka A – B = A + (-B)
Created By Ita Yuliana
19
Contoh: Diketahui A = (
) dan P = (
), carilah A – P
Jawab: A – P = A + (-P) = (
)+(
)=(
)
3. Sifat penjumlahan dan pengurangan matriks Jika matriks A, B, dan C berordo sama maka berlaku 1. A + B = B + A (sifat komutatif) 2. (A + B) + C = A + ( B + C) (sifat asosiatif) 3. Mempunyai unsur identitas, yaitu matriks nol sedemikian rupa sehingga A + (-A) = (-A) + A = 0 (-A adalah matriks lawan atau invers penjumlahan)
Aktivitas 2 1. Diketahui matriks-matriks sebagai berikut P=(
)
Q=(
Tentukan : a. P+Q b. P+R c. Q+R
)
d. P – Q e. P – R f. Q – R
R=(
)
g. (P+Q) – R h. P – (Q – R) i. (P+Q) – (P+R)
2. Tentukan matriks A dari a.
A+(
b.
A–(
)=(
)
) =(
)
3. Tentukan nilai a, b, dan c jika a.
(
)+(
b.
( )+( )=(
)=(
)
)
4. Carilah nilai x dan y yang memenuhi persamaan (
Created By Ita Yuliana
)+(
)=(
)
20
4. Perkalian matriks dengan bilangan real Jika suatu matriks A dikalikan dengan bilangan real maka kA adalah matriks yang elemennya terdiri dari hasil kali elemen-elemen matriks A dengan bilangan k sehingga: Jika diketahui A = (
) maka kA = k . (
)=(
)
Contoh: 2(
)=(
)=(
)
Sifat-sifat perkalian matriks dengan bilangan real Jika p, q adalah bilangan real sedangkan A dan B adalah matriks berordo sama maka: 1. pA = Ap 2. (p+q)A = pA + qA 3. p(A+B) =pA + pB 4. p(qA) = (pq)A
5. Perkalian dua matriks Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Jadi untuk mencari hasil kali matriks A dengan matriks B adalah mengalikan baris-baris matriks A dengan kolam-kolom matriks B dan kemudian jumlahkan hasil perkalian antara baris dan kolom itu. Amxn . Bnxp = Cmxp (
)(
)=(
)
Contoh: Jika A = (
) dan B = (
AxB=(
) (
)=(
) maka )=(
)=(
)
Sifat perkalian matriks Untuk setiap matriks A, B, dan C bebrordo m x n maka 1. AB BA (tidak komutatif) 2. (AB)C = A(BC) (berlaku sifat asosiatif) 3. A(B+C) = AB + AC (berlaku sifat distributif) 4. (B+C)A = BA + CA (berlaku sifat distributif) 5. k(AB) = (kA)B = A(kB) (k bilangan real)
Created By Ita Yuliana
21
Aktivitas 3 1. Diketahui matriks A = (
),B=(
), dan C = (
b. 3A – 3B
a. 2A + 3C
). Tentukan c. 3(A+B+C)
2. Jika P adalah matriks ordo 2x2, tentukan P dari persamaan 2P + ( ) = ( ) 3. Tentukan hasil perkalian matriks berikut a.
( -2 3) ( )
b. (
)(
c. (
)
)(
d. (
)(
) )
4. Tentukan x dan y dari persamaan matriks (
F.
)( )=(
)
Matriks Ordo 2 x 2 1. Pengertian matriks identitas ordo 2x2 Matriks identitas adalah matriks dimana elemen-elemen pada diagonal utama adalah 1 dan diagonal lainnya adalah 0 Matriks identitas ordo 2x2 adalah (
)
Contoh: a. (
)(
)=(
)=(
)
b. (
)(
)=(
)=(
)
Tampak bahwa matriks (
) tidak mengubah hasil perkalian. Jadi IA = AI = A
2. Determinan matriks Jika matriks A = (
) maka determinan matriks A dinotasikan dengan “det A
atau | | didefinisikan | | = ad – bc
Contoh: Carilah determinan matriks A = (
)
Jawab: det A = | Created By Ita Yuliana
| = (4.3) – (2.1) = 12 – 2 = 10 22
3. Invers matriks Jika matriks A dan B berordo 2x2 dan hasil kali matriks tersebut adalah matriks identitas (I) maka A adalah invers dari matriks B dan sebaliknya ) dinyatakan dengan notasi A-1 dan ditentukan dengan rumus:
Invers matriks A =( (
) atau dapat ditulis
(
)
Catatan 1. Tidak semua matriks persegi mempunyai invers. Jika det A = 0 maka matriks A tidak mempunyai invers dan disebut matriks singular 2. Matriks A mempunyai invers jika det A 0. Matriks tersebut dinamakan matriks nonsingular Contoh: Carilah invers matriks A = (
)
Jawab : det A = |
| = (4.3) – (2.1) = 12 – 2 = 10 (
)=(
)
Aktivitas 4 1. Carilah determinan dari matriks berikut a. A = (
)
b. B = (
)
c. (
)
2. Carilah nilai x jika a. |
|=2
3. Diketahui matriks A = ( a. (AB)-1 4. Diketahui matriks P = (
Created By Ita Yuliana
b. | ) dan B = ( b. A-1B-1
|=2 ). Tentukan c. B-1A-1
). Tentukan invers dari tranpose P
23
G. Persamaan Matriks Jika A, B dan X matriks berordo 2x2 maka penyelesaian persamaan matriks AX = B adalah X = A-1B XA = B adalah X = BA-1
Contoh: Carilah matriks X dari persamaan 1. (
)X=(
2. X (
)
)=(
)
Jawab: 1. (
)X=(
) (
X=
(
(
= =
)(
(
(
(
)
)
)
)
X =(
)(
(
=(
)(
)
(
( (
)) ((
) )
(
) )
(
)
) ( (
= -1 (
) )
)
)
= -1 (
Created By Ita Yuliana
)
)
)
)=(
=(
( )
)
=(
=
) (
= -1 (
2. X (
)
) )
24
Aktivitas 5 Tentukan matriks X dari persamaan 1. (
)X=(
2. (
)
)X=(
3. (
)X=(
4. X (
)=(
5. X (
)=(
6. X (
)
)
)
)
)=(
)
H. Pemakaian Matriks Matriks dapat digunakan untuk menyelesaian sistem persamaan linear dua variabel. Bentuk umum SPLDV yaitu : { Jika dalam bentuk matriks maka persamaan linear di atas dapat ditulis : )=( ) (
(
) ( )=( )
Untuk mencari nilai x dan y menggunakan 2 cara yaitu: 1. Sifat invers matriks : A.X = B X = A-1.B ( )=
(
) ( )
2. Dengan cara determinan |
x=
Created By Ita Yuliana
=
|
| |
y=
=
|
|
|
|
25
contoh: 1. Tentukan himpunan penyelesaian persaman berikut dengan menggunakan invers matriks : { Jawab: Persamaan di atas diubah ke bentuk matriks: (
) ( )=(
( )=
) (
)(
)= (
)=( )
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x = 1 dan y = 4 atau {(1, 4)} 2. Tentukan penyelesaian persaman berikut dengan menggunakan determinan: { Jawab: D =|
| = 5.(-3) – (-7).2 = -15 + 14 = -1
Dx = |
| = 3.(-3) – (-7).1 = -9 + 7 = -2
Dy = |
| = 5.1 – 3.2 = 5 – 6 = -1
x =
=
=2
y =
=
=1
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(2, 1)}
Aktivitas 6 1. Tentukan himpunan penyelesaian persaman berikut dengan menggunakan invers matriks : a. { b. { 2. Tentukan himpunan penyelesaian persaman berikut dengan menggunakan determinan : a. { b. { 3. Nina membeli 4 roti dan 3 donat dengan harga Rp 9.000,00 dan nani membeli 2 roti dan 1 donat dengan harga Rp 4.000,00. Tentukan: a. sistem persamaan linear dua variabel x dan y dari persoalan di atas b. penyelesaian SPLDV pada soal di atas dengan menggunakan invers matriks c. berapa harga roti dan donat masing-masing
Created By Ita Yuliana
26
