Matematika15.wordpress.com
LEMBAR AKTIVITAS SISWA – INDUKSI MATEMATIKA Nama Siswa
: ___________________
Kelas
: ___________________
A. NOTASI SIGMA 1. Pengertian Notasi Sigma Misalkan jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah S n = U1 + U2 + U3 + … + Un. Bentuk tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk notasi sigma sebagai berikut:
Latihan 1 1.
2.
n U1 + U2 + U3 + … + Un = Contoh: 5 1) i i=1
Jawab:
Ui i=1
artinya …………………………………………………………………….. 3.
7 2)
(2 i + 3) artinya ……………………………………………………………… i=3
4 3)
Jawab:
(2i – 1) artinya …………………………………………………………
i=1 4. 2. Sifat-sifat Notasi Sigma Jika c adalah konstanta dan X dan Y adalah peubah, maka: Jawab:
5.
Jawab:
6.
Jawab:
1
King’s Learning Be Smart Without Limits
Matematika15.wordpress.com
7.
11.
Jawab:
Jawab: 12.
Jawab:
8.
Jawab: 13.
Jawab:
9.
Jawab:
14.
Jawab:
10.
Jawab:
2
King’s Learning Be Smart Without Limits
Matematika15.wordpress.com
15.
18.
Jawab:
Jawab:
19. 16.
Jawab:
Jawab:
20.
17.
Jawab:
Jawab: 21.
Jawab:
3
King’s Learning Be Smart Without Limits
Matematika15.wordpress.com
22.
25.
Jawab:
Jawab:
26.
Jawab:
23.
Jawab:
27.
Jawab:
24.
Jawab:
4
King’s Learning Be Smart Without Limits
Matematika15.wordpress.com
B. PEMBUKTIAN DALAM MATEMATIKA Dalam matematika ada beberapa bentuk pembuktian, yaitu: 1. Pembuktian langsung 2. Pembuktian tidak langsung 3. Pembuktian Induksi Matematika 1. Pembuktian Langsung Pembuktian kebenaran teorema yang berbentuk implikasi p → q, dengan asumsi p benar dan ditunjukkan q benar. Pembuktian langsung dalam matematika dapat dibuktikan secara langsung bentuk ruas kiri sama dengan ruas kanan atau sebaliknya. Contoh 1: 2 2 Buktikan: sin x + cos x = 1. Jawab:
3. Pembuktian induksi matematika Pembuktian secara induksi matematika, digunakan untuk pembuktian yang nilai variabelnya merupakan bilangan asli. Perhatikan penentuan formula jumlah dari n suku pertama bilangan 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1), dapat dimulai dengan menghitung suku demi suku seperti terlihat pada tabel di bawah ini:
Penentuan formula dari bentuk di atas menggunakan prinsip induksi matematika.
C. PEMBUKTIAN INDUKSI MATEMATIKA Prinsip induksi matematika:
2. Pembuktian Tak Langsung Bukti taklangsung adalah membuktikan kebenaran suatu implikasi p→ q melalui kontraposisi ~q → ~ p. Contoh 2: Buktikan bahwa
n
0
= tidak terdefinisi.
Contoh 3: Buktikan dengan induksi matematika bahwa: 1
2 + 5 + 8 + …. + (3n – 1) = n (3n+1) 2
Jawab:
Jawab:
5
King’s Learning Be Smart Without Limits
Matematika15.wordpress.com
Contoh 4: Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua n 2n anggota bilangan asli (5 + 3n – 1) habis dibagi 9. Jawab:
D. DERET KHUSUS 1. Deret Bilangan Asli Deret: 1 + 2 + 3 + 4 + …. + n =
𝑛 𝑖=1
2. Deret Kuadrat n Bilangan Asli (deret persegi) 2 2 2 2 2 2 Deret: 1 + 2 + 3 + 4 + …. + n = 𝑛 𝑖=1 𝑖 Kegiatan siswa Buktikan dengan induksi matematika bahwa: n n+1 (2n+1) 2 2 2 2 2 1 + 2 + 3 + 4 + …. + n = 6 Jawab:
𝑖
Kegiatan siswa Buktikan dengan induksi matematika bahwa: 1 2
1 + 2 + 3 + 4 + …. + n = n (n+1) Jawab:
Contoh 5: Tentukan nilai dari: 2 2 2 2 a. 1 + 2 + 3 + … + 20 = …. Jawab:
b.
10 𝑖=1
𝑖2 = …
Jawab:
6
King’s Learning Be Smart Without Limits
Matematika15.wordpress.com
3. Deret Kubik n Bilangan Asli 3
3
3
3
3
Deret: 1 + 2 + 3 + 4 + …. + n =
𝑛 𝑖=1
3
𝑖
Kegiatan siswa Buktikan dengan induksi matematika bahwa: 3
3
3
3
3
1 + 2 + 3 + 4 + …. + n = Jawab:
Contoh 6: Tentukan nilai dari: 3 3 3 3 a. 1 + 2 + 3 + … + 19 = …. Jawab:
b.
9 𝑖=1
𝑖3 = …
Jawab:
7
n n+1 2
2
4. Deret Bilangan Persegi Panjang Deret: 1.2 + 2.3 + 3.4 + …. + n (n+1) =
𝑛 𝑖=1
𝑖(𝑖 + 1)
Kegiatan siswa Buktikan dengan induksi matematika bahwa: 1.2 + 2.3 + 3.4 + …. + n (n+1) =
n n+1 (n+2) 3
Jawab:
Contoh 7: Tentukan nilai dari: a. 1.2 + 2.3 + 3.4 + …. + 8.9 = …. Jawab:
b.
5 𝑖=1
𝑖(𝑖 + 1) = …
Jawab:
King’s Learning Be Smart Without Limits
Matematika15.wordpress.com
Latihan Soal 1. Buktikan prinsip induksi pernyataan berikut: 2 a. 2 + 4 + 6 + … + 2n = n + n Jawab:
b.
2
2
2
2
2 + 4 + 6 + … + (2n) =
Jawab:
8
2
matematika
masing-masing
2
2
2
c. 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) =
n 2n−1 (2n+1) 3
Jawab:
2n n+1 (2n+1) 3
3
3
3
3
2
2
d. 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n (2n – 1) Jawab:
King’s Learning Be Smart Without Limits
Matematika15.wordpress.com
3
3
3
3
2
2
e. 2 + 4 + 6 + … + (2n) = 2n (n+1) Jawab:
2. Hitunglah: 2 2 2 2 a. 2 + 4 + 6 + … + 100 = … Jawab:
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
b. 1 + 3 + 5 + … + 99 = … Jawab:
f.
1
1
1
1
2 4 8 Jawab:
2n
- - -…-
=
1
c. 1 + 3 + 5 + … + 99 = … Jawab:
2n
3
d. 2 + 4 + 6 + … + 100 = … Jawab:
9
King’s Learning Be Smart Without Limits
Matematika15.wordpress.com
e.
10 𝑝=1
2n
3
4. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n, nilai (3 – 1) habis dibagi 8. Jawab:
(2p – 1)
Jawab:
f.
9 𝑖=5
𝑖(𝑖 + 1) = ….
Jawab:
2n
3. Buktikan bahwa setiap bilangan asli n, nilai 5 – 1 habis dibagi 3. Jawab:
5. Buktikan bentuk notasi sigma: a. Jawab:
10
King’s Learning Be Smart Without Limits
Matematika15.wordpress.com
b.
d.
Jawab:
Jawab:
c.
n
Jawab:
11
6. untuk setiap bilangan asli n, buktikan bahwa 2 > n. Jawab:
King’s Learning Be Smart Without Limits
Matematika15.wordpress.com
7. Dengan induksi matematika, buktikan bahwa pernyataan berikut ini benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Jawab:
12
King’s Learning Be Smart Without Limits
