Matematika15.wordpress.com
LEMBAR AKTIVITAS SISWA – PROGRAM LINEAR c) Subtitusikan titik (0,0) kedalam pertidaksamaan. Nama Siswa
: ___________________
Kelas
: ___________________
Jika hasil benar, maka penyelesaiaannya adalah daerah yang memuat titik tersebut. Jika hasil salah, maka penyelesaiaannya adalah daerah
Kompetensi Dasar: 3.7 Memahami
konsep
sistem
persamaan
lain yang tidak memuat titik tersebut.
dan
pertidaksamaan linier dua variabel dan menerapkannya
Contoh 1:
dalam pemecahan masalah program linear.
Gambarlah himpunan penyelesaian yang memenuhi sistem
3.8 Menerapkan prosedur yang sesuai untuk menyelesaikan
pertidaksamaan 3x + 2y ≥ 6, 5x + 6y ≤ 30 pada tempat yang
masalah program linear terkait masalah nyata dan
tersedia.
menganalisis kebenaran langkah-langkahnya. 3.9 Menganalisis bagaimana menilai validitas argumentasi logis yang digunakan dalam matematika yang sudah dipelajari terkait pemecahan masalah program linier. 4.5 Merancang dan mengajukan masalah nyata berupa masalah program linear, dan menerapkan berbagai
Titik uji:
konsep dan aturan penyelesaian sistem pertidaksamaan
3x + 2y ≥ 6
linier
(0,0) → 3(0) + 2(0)
dan
menentukan
nilai
optimum
dengan
≥
6
, benar/salah? ………
≥
30
, benar/salah? ………
menggunakan fungsi selidik yang ditetapkan. A. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL Bentuk Umum:
5x + 6y ≤ 30
a1 x + b1 y ≥ c1
(0,0) → 5(0) + 6(0) SPtLDV Grafik Penyelesaian
a2 x + b2 y ≤ c2 1. Menentukan Daerah Himpunan Penyelesaian SPtLDV Himpunan penyelesaian dari suatu Sistem Pertidaksamaan Linear merupakan irisan dari himpunan penyelesaian masingmasing pertidaksamaan linearnya. Langkah-langkah dalam menentukan Himpunan
SPtLDV
(menggunakan titik uji), yaitu : a) Gambar garis : ax + by = c, sehingga membagi dua daerah penyelesaiaan. Gunakan format:
b) Menyelediki daerah yang merupakan penyelesaiaan dengan mengambil salah satu titik yang mudah, yaitu (0,0).
1
Matematika15.wordpress.com
Catatan: x≥0
Jawab: y≥0
Latihan 1 1.
3. Jawab:
Jawab:
2.
2
Matematika15.wordpress.com
4.
6.
Jawab:
Jawab:
5.
Jawab:
7.
3
Matematika15.wordpress.com
Jawab
Latihan 2 1.
Jawab:
2. Menentukan
Sistem
Pertidaksamaan
Linear
2.
Dua
Variabel dari Daerah Penyelesaian Jika diketahui daerah penyelesaian, maka suatu sistem pertidaksamaan dapat diketahui dengan menentukan terlebih dahulu
persamaan-persamaan
garis
pada
daerah
penyelesaiaan. Jawab:
Menentukan Persamaan garis:
4
Matematika15.wordpress.com
3.
5.
Jawab: Jawab:
6.
4.
Jawab:
Jawab:
5
Matematika15.wordpress.com
B. PROGRAM LINEAR Program Linear adalah bagian matematika terapan yang digunakan
untuk
memecahkan
masalah
x + 2 y = 10
X 1
3x + y = 15
X 2
………………… = …… ………………… = ……
pengoptimalan
………. = ……
(memaksimalkan / meminimumkan) suatu tujuan. Dalam program linear bentuk objektif / fungsi objektif (fungsi sasaran) adalah fungsi f(x,y) = ax + by
………. = ……
yang hendak
Dari x = …… maka didapat nilai y = …….
dioptimumkan.
Maka titik B (…… , …….)
Nilai optimum bentuk objektif dapat ditentukan dengan:
Metode titik pojok
Garis selidik
Titik C adalah titik potong garis ………………………. dengan ………………………… → titik C (…… , ……)
1. metode titik pojok (uji titik) Langkah-langkah menentukan nilai optimum dengan metode c) Uji titik (subtitusi) ke fungsi objektif
titik pojok: a) Gambar daerah yang memenuhi pertidaksamaan b) Tentukan
koordinat
titik-titik
sudut
pada
Titik Pojok (x,y)
f(x,y) = 2x + 10 y
A ( ……… , ……… )
………………………
B ( ……… , ……… )
………………………
C ( ……… , ……… )
………………………
daerah
penyelesaiaan c) Subtitusikan titik-titik sudut tersebut ke fungsi objektif d) Tentukan nilai optimum f(x,y) terbesar → nilai maksimum f(x,y) terkecil → nilai minimum Contoh 2:
d) Menentukan nilai optimum: Dari tabel diperoleh nilai minimum fungsi objektif f(x,y) = 2x + 10 y adalah ..............................................
Jawab: a)
2. metode garis selidik: ax + by = k Cara lain yang lebih sederhana untuk menentukan nilai maksimum atau minimum dari fungsi objektif f(x,y) = ax + by adalah dengan menggunakan garis selidik ax + by = k (disarankan k = ab). Langkah-langkah menentukan nilai optimum dengan metode garis selidik:
b) Titik-titik pojoknya adalah titik A, B, dan C. Titik A: titik potong garis …………………………… dengan ………………………… → titik A (…… , ……) Titik B adalah titik potong garis ………………………. dengan …………………………
6
Matematika15.wordpress.com
Contoh 3:
2.
Jawab: 1) Gambarlah garis: Jawab:
2x + 3y = (2).(3) , anggap sebagai k0
2) - Tarik garis k1 // k0 melewati titik A, - Tarik garis k2 // k1 melewati titik B, - Tarik garis k3 // k0 melewati titik (0,0)
3.
3) - Garis paling atas / paling kanan adalah garis ……………… Maka z = 2x + 3y bernilai maksimum pada titik …………… dengan nilai maksimum ……………… - Garis paling bawah / paling kiri adalah garis ……………… Jawab:
Maka z = 2x + 3y bernilai maksimum pada titik …………… dengan nilai maksimum ………………
Latihan 3 1.
3. Jawab:
7
Matematika15.wordpress.com
Jawab:
Jawab:
4.
Jawab:
6.
Jawab:
5.
8
Matematika15.wordpress.com
C. MERANCANG
MODEL
MATEMATIKA
DAN
a. model matematika (sistem pertidaksamaan) masalah di
PENYELESAIAANNYA.
atas adalah:
Model matematika adalah suatu hasil interprestasi manusia
x≥0
dalam menerjemahkan atau merumuskan persoalan sehari-
y≥0
hari ke dalam bentuk matematika, sehingga persoalan itu
……………………………………….
dapat diselesaikan secara matematis. Dan
Secara umum, langkah-langkah dalam menyelesaikan soal cerita adalah:
……………………………………….
1. merumuskan masalah ke dalam model matematika, yaitu
Bentuk fungsi objektif: ……………………………………
sistem pertidaksamaan yang mencerminkan masalah tersebut.
b. Gambar daerah penyelesaiaan
2. menentukan fungsi objektif yang akan ditentukan nilai optimumnya. 3. menggambar daerah yang akan ditentukan nilai optimunya. 4. menentukan nilai opimum dari fungsi objektif. Contoh 4: Seorang penjual buah-buahan menggunakan gerobak untuk jeruk dan mangga. Harga pembelian jeruk adalah Rp.5000/kg dan mangga Rp.6000/kg. modal yang tersedia Rp. 600.000 dan gerobaknya hanya mampu memuat 110 kg jeruk dan mangga. Ia menjual setiap kilogram jeruk Rp.6000 dan mangga Rp.7000. a. Tulislah model matematika (sistem pertidaksamaan) beserta fungsi objektif dari masalah di atas. b. Gambarkan daerah penyelesaiannya.
c. Dengan uji titik pojok
c. Tentukan banyaknya jeruk dan mangga yang terjual agar keuntungan yang diperoleh maksimum. d. Tentukan keuntungan terbesar yang dapat diperoleh
Titik uji
Bentuk Objektif
(x,y)
f(x,y) = …... x + …... y
Nilai Objektif
penjual buah tersebut. Jawab: Untuk menjawab pertanyaan di atas, lengkapilah titik-titik berikut. Maka keuntungan maksimum, penjual harus menjual ………… jeruk dan ……………… mangga. d. Keuntungan paling besar adalah ………………………
9
Matematika15.wordpress.com
Latihan 4
3.
1.
Jawab:
Jawab:
2.
Jawab:
4.
10
Matematika15.wordpress.com
Jawab:
6.
Jawab:
5.
Jawab:
11
Matematika15.wordpress.com
7.
8.
Jawab:
Jawab:
12
