Robottechnika. Differenciális kinematika és dinamika. Magyar Attila

Robottechnika Differenciális kinematika és dinamika Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék [email protected]

2009 október 8.

Differenciális kinematika

Áttekintés

1

Differenciális kinematika Jacobi számítása

2

Dinamika

Magyar Attila (Pannon Egyetem)

Robottechnika

2009 október

2 / 21



A direkt- és inverz kinematika a csuklóváltozók és a végszerszám pozíciója/orientációja között teremt kapcsolatot A differenciális kinematika a csuklósebességek és a végszerszám sebesség/szögsebesség között


Robottechnika

2009 október

3 / 21


Geometriai Jacobi mátrix Eml: direkt kinematikai modell  T (q) = 

R(q)

p(q)

0T

1

 q = [q1 , . . . , qn ]T

,

Cél: a csuklósebességek és a végszerszám sebesség/szögsebesség közti kapcsolat felírása a végszerszám egyenes vonalú sebességének (p) ˙ felírása a csuklósebesség (q) ˙ segítségével a következő alakban p˙ = J (q)q˙ P

a végszerszám szögsebességének (ω) felírása a csuklósebesség (q) ˙ segítségével a következő alakban ω = J (q)q˙ O

Kompakt alakban v =


p˙ ω

"

= J(q)q, ˙

ahol

J=

J P J

# ∈ R6×n

O

Robottechnika

2009 október

4 / 21


Jacobi számítása

Jacobi számítása Összegezve

j Pi j Oi


=

 z i −1     0 

csúszó ízület esetén

  z i −1 × (p − p i −1 )    z i −1

forgó ízület esetén

Robottechnika

2009 október

5 / 21

Dinamika

Áttekintés

1


2

Dinamika Mozgási energia Helyzeti energia Mozgásegyenletek


Robottechnika

2009 október

6 / 21

Dinamika

Dinamikus modell

Beavatkozó nyomatékok és a manipulátor mozgása közt teremt kapcsolatot Mozgásszimuláció, irányítási algoritmusok tervezése Ízületek, átalakítók, beavatkozók méretezése (erők, nyomatékok kiszámíthatók) Mozgásegyenletek felírása a csuklóváltozók terében Lagrange formalizmus Newton-Euler formalizmus


Robottechnika

2009 október

7 / 21

Dinamika

Lagrange-formalizmus Szisztematikusan vezetjük le a mozgásegyenleteket Általánosított koordináták: λ1 , . . . , λn Lagrange függvény (L) L = T − U,

ahol

T − kinetikus energia U − potenciális energia

Lagrange egyenletek d ∂L ∂L − = ξi , dt ∂ λ˙i ∂λi

i = 1, . . . , n

ξi a λi -hez tartozó általánosított erő (nyomaték) Nyílt kinematikai lánc esetén az általánosított koordináták legyenek a csuklóváltozók λ=q Kapcsolatot teremt a manipulátorra ható nyomatékok és a csuklópozíciók, -sebességek, és -gyorsulások között Magyar Attila (Pannon Egyetem)

Robottechnika

2009 október

8 / 21

Dinamika

Példa - Meghajtott inga

τ nyomatékkal forgatjuk viszkózus súrlódás a nyomatékot egy motor adja, aminek az áttétele kr > 1, tehetetlenségi nyomatéka Im ϑ szögelfordulás (ϑ = 0, ha lefelé áll) Magyar Attila (Pannon Egyetem)

Robottechnika

2009 október

9 / 21

Dinamika

Példa - Meghajtott inga Általánosított koordináta - ϑ Mozgási energia 1 1 T = I ϑ˙ 2 + Im kr2 ϑ˙ 2 2 2 Helyzeti energia U = mg `(1 − cos(ϑ)) Lagrange függvény 1 1 L = I ϑ˙ 2 + Im kr2 ϑ˙ 2 − mg `(1 − cos(ϑ)) 2 2 Behelyettesítve a Lagrange egyenletbe (I + Im kr2 )ϑ¨ + F ϑ˙ + mg ` sin(ϑ) = τ


Robottechnika

2009 október

10 / 21

Dinamika

Mozgási energia

Mozgási (kinetikus) energia n merev szegmensből álló manipulátor Teljes kinetikus energia az egyes szegmensek illetve a rájuk erősített motorok mozgási energiájából áll össze n X T = (Tli + Tmi ) i =1

Az i. szegmens mozgási energiája Z 1 Tli = p˙ ∗T p˙ ∗i ρdV 2 Vl i i

p˙ i : egyenesvonalú sebesség Vli : az i. szegmens térfogata Az i. szegmens tömegközéppontja Z 1 pl = p ∗ ρdV i mli Vl i i

A szegmens egy pontjának sebessége p˙ ∗i = p˙ l + ω i × r i = p˙ l + S(ω i ) · r i i


i

Robottechnika

2009 október

11 / 21

Dinamika

Mozgási energia

Szegmens mozgási energiája Visszahelyettesítve a kinetikus energiába (Tli ) 3 tag adódik: Z 1 1 Egyenes vonalú p˙ T p˙ ρdV = mli p˙ T p˙ li li 2 Vl li li 2 i

Kölcsönös 

1 2 2

 Z Vl

p˙ T S(ω i )r i ρdV  li i





1 S(ω i ) = 2  p˙ T 2 li

Z Vl

(p ∗i

− p l )ρdV  = 0 i

i

Forgási 1 2

Z Vl

T rT i S (ω i )S(ω i )r i ρdV i

  Z 1 T 1 T = ωi S (r i )S(r i )ρdV  ω i = ω T i I l ωi i 2 2 Vl i

kihasználtuk, hogy S(ω i )r i = −S(r i )ω i Tehetetlenségi nyomaték tenzor:  R 2 (riy + riz2 )ρdV   ∗ Ili =    ∗


− R

R

rix riy ρdV

2 + r 2 )ρdV (rix iz

∗

Robottechnika

−

R

rix riz ρdV



−

R

riy riz ρdV

    

R

2 + r 2 )ρdV (rix iy

2009 október

12 / 21

Dinamika

Mozgási energia

Szegmens mozgási energiája Összegezve, az i. szegmens mozgási energiája 1 1 Tli = mli p˙ T p˙ + ω T I ω li li 2 2 i li i A mozgási energiát a csuklóváltozók függvényeként kellene felírni, ehhez a Jacobi formalizmus haszálható (li ) (l ) (l ) = j P1 p˙ l q˙ 1 + . . . + j Pii q˙ i = J Pi q˙ i

=

ωi ahol

(l )

J Pi

(l )

(l )

(l )

i j O1 q˙ 1 + . . . + j Oii q˙ i = J Oi q˙ i h (li ) (l ) = j P1 . . . j Pii 0 . . . 0

h i (l ) (li ) (l ) = . . . j Oii 0 . . . 0 j O1 J Oi Az oszlopvektorok számítása ( z j−1 csúszó ízület esetén (l ) j Pji = z j−1 × (p l − p j−1 ) forgó ízület esetén i csúszó ízület esetén 0 (l ) j Oji = z j−1 forgó ízület esetén (Az i. szegmens kinetikus energiája) Tli = Magyar Attila (Pannon Egyetem)

1 1 ml q˙ T J (li )T J (li ) q˙ + q˙ T J (li )T I J (li ) q˙ P P O li P 2 i 2 Robottechnika

2009 október

13 / 21

Dinamika

Mozgási energia

Motor mozgási energiája Szegmenséhez hasonlóan számolható Forgó elektromos motorokat tételezünk fel (mindkét ízülettípus meghajtására alkalmas) Az állórész az i − 1. szegmenshez van rögzítve, így annak mozgási energiáját már kiszámoltuk A forgórész mozgási energiája a kérdés Az i. rotor kinetikus energiája 1 1 Tmi = mmi p˙ T p˙ + ω T I ω mi mi 2 2 mi mi mi ahol mmi a rotor tömege p˙ m a rotor tömegközéppontjának i

egyenes vonalú sebessége I tehetetlenségi nyomaték mi

ω mi a rotor szögsebessége


Robottechnika

2009 október

14 / 21

Dinamika

Mozgási energia

Motor mozgási energiája Jelölje ϑmi a rotor szögelfordulását. Merev áttételt feltételezve: kri q˙i = ϑ˙ m i

Az i. edik rotor eredő szögsebessége ω mi = ω i −1 + kri q˙ i z mi ahol ω i −1 az i − 1. szegmens szögsebessége, z mi pedig a rotor tengelyének irányába mutató egységvektor A kinetikus energiát most is a csuklóváltozók függvényeként kellene felírni. A rotor tömegközéppontjának egyenes vonalú sebessége p˙ m = J (mi ) q˙ i

Jacobi mátrix

J (mi ) P ( (m )

j Pj i =

=

h

(m ) j P1i

...

P

(m ) j P,ii−1

z j−1 z j−1 × (p m − p j−1 ) i

i 0 . . . 0 , ahol csúszó ízület esetén forgó ízület esetén (m )

p j−1 pedig a j − 1. koordinátarendszer origójába mutató vektor, j Pi i pedig azért nullvektor, mert a rotor tömegközéppontja a forgástengelyen helyezkedik el


Robottechnika

2009 október

15 / 21

Dinamika

Mozgási energia

Motor mozgási energiája

A rotor szögsebessége is kifejezhető csuklóváltozókkal ω mi = J (mi ) q˙ O h i (m ) (m ) (m ) Jacobi mátrix J (mi ) = j O1i . . . j O,ii −1 j Oi i 0 . . . 0 , ahol O ( (l ) j Oji j = 1, . . . , i − 1 (mi ) j Oj = kri z mi j =i z mi a rotor forgástengelyének irányába mutató egységvektor (Az i. rotor kinetikus energiája) Tmi =


1 1 mmi q˙ T J (mi )T J (mi ) q˙ + q˙ T J (mi )T I J (mi ) q˙ P P O mi O 2 2

Robottechnika

2009 október

16 / 21

Dinamika

Mozgási energia

A teljes mozgási energia Összegezve az egyes szegmensek és motorok mozgási energiáit magkapjuk a manipulátor mozgási energiáját: n

˙ = T (q, q)

n

1 1 XX bij (q)q˙ i q˙ j = q˙ T B(q)q˙ 2 2 i=1 j=1

B(q) az n × n-es tehetetlenségi nyomaték mátrix: B(q) =

n X

mli J (li )T J (li ) + J (li )T I J (li )T + mmi J (mi )T J (mi ) + J (mi )T I P

P

i =1

O

li

O

P

P

O

mi

J (mi )T

O

szimmetrikus pozitív definit konfiguráció-függő


Robottechnika

2009 október

17 / 21

Dinamika

Helyzeti energia

Helyzeti (potenciális) energia A mozgási energiához hasonlóan a helyzeti energiát is az egyes szegmensek és rotorok helyzeti energiájának összegeként írjuk fel U=

n X

(Uli + Umi )

i =1

Merev szegmenseket feltételezve a szegmensek helyzeti energiája a gravitációs erőkből származik Z Uli = − g T p ∗i ρdV = −mli g T p l , ahol g T = [0, 0, − g ] Vl

i

i

Az i. rotor helyzeti energiája hasonlóan Umi = −mmi g T p m

i

A teljes potenciális energia U (q) = −

n X

mli g T p l + mmi g T p m

i =1

i

i

p l és p m vektorokon keresztül a potenciális energia csak a csuklóváltozóktól függ, azok i

i

idő szerinti derváltjától (sebességétől) nem Magyar Attila (Pannon Egyetem)

Robottechnika

2009 október

18 / 21

Dinamika

Mozgásegyenletek

Mozgásegyenletek Eml: Lagrange függvény: L(q, q) ˙ = T (q, q) ˙ − U (q) =

n n n X 1 XX bij (q)q˙ i q˙ j + mli g T p l (q) + mmi g T p m (q) i i 2 i =1 j=1 i =1

Eml: Lagrange egyenletek: d ∂L ∂L − = ξi , dt ∂ q˙i ∂qi

i = 1, . . . , n

A derivált elemei: d dt

∂L ∂ q˙i

=

d dt

∂T ∂ q˙i

=

n X

bij (q)¨ qj +

j=1

n X dbij (q) j=1

dt

q˙ j =

n X

n X n X ∂bij (q) bij (q)¨ q˙ k q˙ j qj + ∂qk j=1 j=1 k=1

n n ∂T 1 X X ∂bjk (q) = q˙ k q˙ j ∂qi 2 j=1 ∂qi k=1

n X

∂U =− ∂qi j=1

ml j g T

∂p l

j

∂qi

+ mm j g T


∂p m ! j

∂qi

=−

n X

(l ) (m ) mlj g T j Pij (q) + mmj g T j Pi j (q) = gi (q)

j=1

Robottechnika

2009 október

19 / 21

Dinamika

Mozgásegyenletek

Mozgásegyenletek (A mozgásegyenletek) n X

bij (q)¨ qj +

j=1

n X n X

hijk (q)q˙ k q˙ j + gi (q) = ξi ,

i = 1, . . . , n

j=1 k=1

ahol

hijk =

∂bij 1 ∂bjk − ∂qk 2 ∂qi

Gyorsulások a bij együttható adja meg a j. ízület gyorsulásának hatását az i. ízületre Négyzetes sebességek: hijj q˙ j2 reprezentálja a j. ízület sebessége által az i. ízületre gyakorolt centrifugális hatást hijk q˙ j q˙ k reprezentálja a j. és a k. ízületek sebességei által az i. ízületre gyakorolt Coriolis hatást Csuklóváltozó függő tagok: gi reprezentálja a gravitáció hatására az i. ízületnél ébredő nyomatékot


Robottechnika

2009 október

20 / 21

Dinamika

Mozgásegyenletek

Mozgásegyenletek Általánosított erők, nemkonzervatív erők Beavatkozó nyomatékok τ Súrlódási nyomatékok viszkózus súrlódási nyomaték: F v q˙ statikus súrlódási nyomaték: f s (q, q), ˙ vagy egyszerűbben a Coulomb súrlódási nyomaték: F s sgn(q) ˙ A környezettel való érintkezésből (végszerszám) adódó kontakt-erők: J T (q)h Összegezve, a csuklóváltozókra vonatkozó dinamikus modell: B(q)¨ q + C (q, q) ˙ q˙ + F v q˙ + F s sgn(q) ˙ + g (q) = τ − J T (q)h ahol a C ∈ Rn×n mátrix cij elemei kielégítik a következő egyenletet: n X j=1


cij q˙ j =

n X n X

hijk q˙ k q˙ j

j=1 k=1

Robottechnika

2009 október

21 / 21

Robottechnika. Differenciális kinematika és dinamika. Magyar Attila

Recommend Documents