DISCRETE MODELLEN VOOR EEN COMPOSIET MET UNIDIRECTIONELE KORTE VEZELS. R.J.A.E. RAMAEXERS
ID.NR.: 259054
EINDHOVEN, APRIL 1991 STAGEVERSLAG
WFW-RAPPORT 91.031
DISCRETE MODELLEN VOOR EEN COMPOSIET MET UNIDIRECTIONELE KORTE VEZELS
R.J.A.E. RAMAEKERS
BEGELEIDER :
ID.NR.: 259054
DR.IR. P.J.G. SCHREURS
EINDHOVEN, APRIL 1991
TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN FACULTEIT DER WERKTUIGBOUWKUNDE VAKGROEP FUNDAMENTELE WERKTUIGKUNDE
STAGEVERSLAG WFW-RAPPORT : 91.031
-1Samenvatting. In dit stage verslag wordt een methode beschreven voor het berekenen van de
elasticiteitsmoduli van composieten met unidirectionele korte vezels. Hierbij is gebruik gemaakt van de isostress en isostrain aanpak, zoals deze ook te vinden is in appendix A van het proefschrift van W.M.G. Courage. Verder is ook de berekening van de glijdingsmodulus en de dwarscontractiecoëfciënten uitgevoerd voor een dergelijk composiet. Binnen PC-MATLAB zijn routines geschreven voor het berekenen van de longitudinale - en transversale elasticiteitsmodulus, de van belang zijnde dwarscontractiecoëfciënten en de glijdingsmodulus. Het is mogelijk om met dit programma voor verschillende lengte-diameter verhoudingen en verschillende volumefracties vezelmateriaal deze grootheden te berekenen. Het is niet noodzakelijk om de afstand tussen de vezels in de longitudinale en transversale richting gelijk te kiezen (equal spacing). De modelvorming is echter eenvoudig, zodat er een aantal inconsistenties in het model zitten. De invloed van de hechting tussen vezel en matrix op de betreffende moduli bekeken. Dit is gedaan door een derde materiaal aan het model toe te voegen. Dit materiaal representeert een interface die de hechting moet beschrijven. Tenslotte is de invloed van de rangschikking van de vezels op de transversale modulus onderzocht. De resultaten van de modelleringen zijn vergeleken met reeds bestaande resultaten van continue modellen. Het blijkt dat de resultaten voor de elasticiteitsmodulus goed overeenkomen met de resultaten van berekeningen uitgevoerd met de eindige elementen methode. Voor de glijdingsmodulus worden ook acceptabele resultaten gevonden. Echter voor de dwarscontractiecoëfciënten is dat niet het geval. Door toepassing van het interface materiaal blijkt de modulus te dalen. De rangschikking van de vezels heeft in tegenstelling tot de verwachtingen weinig invloed ~g de transversale elasticit.eitsmodduseBit wordt veroorzaakt door een te eenvoudige modellering.
Symbolenlijst.
ruimte tussen de vezels oppervlakte ruimte tussen de vezels compliantie matrix element van de compliantie matrix diameter van de vezel Elasticiteits modulus effectieve elasticiteitsmodulus longitudinale elasticiteitsmodulus transversale elasticiteitsmodulus glijdingsmodulus effectieve glijdingsmodulus dimensieloze fúnctie met structuurparameters lengte van de vezel vezel aspect ratio volume fractie volume fractie volume fractie volume fi-actie volume fractie volume fractie vezels verhouding b/a totale verplaatsing t.g.v. afschuiving verplaatsing van de vezel t.g.v. afschuiving verplaatsing van de matrix t.g.v. afschuiving kOlOlri lri&
RkCQlripOIlelltell
rekcomponent kolom met spanningscomponenten spanningscomponent afschuiving poissonverhouding schuifspanning Een sterretje boven een symbool duidt erop dat het gaat om een effectieve waarde.
-DIInhoudsopgave.
Samenvatting.
I
symbolenlijst.
I1
Inhoudsopgave.
I11
1.
Inleiding.
1
2.
Bepaling van materiaalparameters.
2
2.1. 2.2. 2.3.
2.4. 2.5. 2.6. 3.
Variaties in het model. 3.1. 3.2. 3.3.
4.
Materiaalgedrag van een composiet. Isostress - isostrain aanpak. De longitudinale modulus van een composiet met korte vezels. De transversale modulus van een composiet met korte vezels. De glijdingsmodulus van een composiet met korte vezels. De dwarscontractiecoëfficiënt van een composiet met korte vezels.
Afstand tussen de vezels. Invloed van een interface tussen vezel en matrk Rangschikking van de vezels.
Discussie. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7.
Resultaten van de longitudinale en irarnsveïsale modulus. Resultaten van de glijdingsmodulus. Resultaten van de dwarscontractiecoëfficiënten. Isostress-isostrain versus isostrain-isostress. Resultaten van het interface. Resultaten van de rangschikking van de vezels. Conclusie.
2 3
5 8 9
15 20 20 21 23 26 25 27 28 29 31 32 33
Literatuurlijst Bijlage 1.
bi
Bijlage 2.
b2
-1Hoofdstuk
1.
Inleiding.
Composieten zijn materialen bestaand uit een basisstof (matrix) gevuld met vezels of deeltjes. Indien de vezels georiënteerd zijn, gedraagt het materiaal zich niet meer isotroop. Een probleem is dan het bepalen van de longitudinale en transversale moduli voor een composiet met unidirectionele korte vezels. Via gedetailleerde modellering met behulp van de eindige elementen methode is het mogelijk deze zogenaamde effectieve moduli te berekenen. Bekeken wordt of deze moduli ook op een analytische wijze te bepalen zijn.
Om de moduli van het composiet te bepalen is gebruik gemaakt van de isostress isostrain aanpak. In het algemeen wordt de isostrain aanpak gebruikt om een formule af te leiden voor de longitudinale elasticiteitsmodulus van een continu vezel composiet, i.e. een composiet met oneindige vezellengte. Hieruit volgt een bovengrens voor de longitudinale modulus. De isostress aanpak resulteert in een ondergrens en wordt gebruikt voor een benadering van de transversale modulus van een composiet met continue vezels. Voor een composiet met unidirectionele korte vezels worden beide methoden gecombineerd voor de bepaling van de moduli. Door deze aanpak verkrijgt men longitudinale en transversale moduli die niet alleen afhankelijk zijn van de moduli van de componenten en hun volumefi-actie. De invloed van de vezel aspect ratio komt eveneens tot uitdrukking in de moduli. Een soortgelijke aanpak is gehanteerd voor het bepalen van de glijdingsmodulus en de dwarscontractiecoëfciënt. A l s men vezels in een matrix brengt, zal er altijd een zekere hechting bestaan tussen de vezel en de matrix. Deze dunne hechtlaag is te modelleren door het toevoegen van een tussenlaag tussen de vezel en de matrix. Zodoende is ook de invloed van de hechting op de moduli te bepalen.
-2-
Hoofdstuk 2. BeDalinrr van materiaalparameters. 2.1. Materiaalgedrag van een composiet.
Zoals in de inleiding al aangestipt is, is het materiaalgedrag van een composiet vaak niet isotroop ten gevolge van de aanwezigheid van vezels of deeltjes. Als uitgegaan wordt van geometrisch lineaire vervormingen en beschrijving van het elastisch materiaal met een lineair verband tussen 5 en E, dan kan voor dit verband geschreven worden :
(1)
E = C ó
met c de compliantiematrix van het materiaal. Te bewijzen is dat c symmetrisch is, dus c bevat 21 onafhankelijke componenten. Als gevolg van eventuele materiaal symmetrie kan dit aantal drastisch verminderen. Het is niet moeilijk in te zien dat een composiet met unidirectionele vezels orthotroop is. Bij een orthotroop materiaal zijn er in elk materieel punt drie onderling loodrechte vlakken, ten opzichten waarvan de materiaal eigenschappen symmetrisch zijn. Dit heeft voor de compliantiematrix tot gevolg dat er nog maar 9 onafhankelijke materiaalparameters zijn. ‘1111
‘1122
‘U33
O
0
0
‘2222
‘2233
O
0
0
c3333
O
0
0
Cl221
O
0
‘2332
O
symm.
‘3113
De componenten van de compliantie matrix worden vaak uitgedrukt in een aantal materiaal parameters, waaraan een fysische betekenis is toe te kennen.
-3-
Omdat de compliantiematrix symmetrisch is moet gelden: v
8-l = 2
1
v1g3-l
v 21E-1'
= v,JZ;l
v2JZ3-l =
(4)
V3&l
Indien we uitgaan van een vlakspanningstoestand,geldt voor de spanningen: a33 = a23= a31 =
o
(5)
De volgende relatie voor C blijft dan over:
Uit het bovenstaande blijkt dat bij een vlakspamingstoestand nog slechts 4 onafhankelijke materiaalparameters de compliantiematrix bepalen. Voor de bepaling van e33 is echter een aparte formule nodig. Bij het modelleren van een composiet wordt uitgegaan van een orthotroop materiaal dat zich in een vlakspanningstoestand bevindt. De volgende parameters moeten bepaald worden : E,, E,, G12,v12 en v,~. 2.2. Isostress-isostrainaanpak.
Bij de isostrain aanpak wordt een composiet met lange vezels in de longitudinale richting gerekt.
-4-
Figuur 1. -
Longitudinale belasting van een composiet.
Verondersteld wordt dat er gelijke rek is in de vezels en de matrix. Noem deze rek Voor de resulterende kracht F volgt dan:
F = O A = O l f+ 0 J m = E E p l f+
&Jm
<
E.
(7)
Hierin staat A voor het totaal oppervlak van het vlak loodrecht op de vezelrichting en %, en Af voor de oppervlakken van respectievelijk het vezel en matrixmateriaal. Uit vergelijking (7) volgt dan de "rule of mixture" benadering voor de longitudinale modulus.
=vPf + (l-vf)Em Bij de isostress aanpak wordt een lange vezel composiet in de transversale richting gerekt.
- F -
F
---
-~ -1
Figuur 2.
Transversale belasting van een composiet.
-5-
Voor de rek E = - If €
I f
*
E
in transversale richting geldt:
-lm é,=VE
I
f f
* (1-v
Em"''
f)
+ (l-vf)-O m fE, Em Of
(9)
Hierin is 1 de totale lengte in transversale richting, If en de lengte in transversale richting van de componenten. Bij de ~ S Q S ~ ~aanpak ~ S S gaat men er van uit dat de spanning zowel in de matrix als in de vezel gelijk is aan a. Uit vergelijking (9) voigt cian een bernizdeïhg VOGT de transversale modulus:
In het voorgaande zijn benaderingen afgeleid voor composieten met lange vezels. Aangezien in de praktijk de vezellengte vaak beperkt is, wordt in de volgende paragraaf gekeken naar de modulus van composieten met korte vezels. 2.3. De longitudinale modulus van een composiet met korte vezels.
De isostress-isostrain relaties kunnen gecombineerd worden om een benadering af te leiden voor de longitudinale modulus van een composiet met korte vezels. Een representatief volume element voor een composiet met korte vezels is geillustreerd in figuur 3. In deze figuur is de ruimte tussen de vezels niet gelijk genomen. Bij de berekeningen die hierna volgen zal a gelijk aan b genomen worden (equal spacing). Dit om het geheel overzichtelijker te houden. Het doet echter niets aan het prhcipe a€.
c
c
.......
E F
(A
.--
-6-
/
\
Figuur 3.
a en b)
c)
Representatieve volume-elementen ( R E ) voor de toepassing van de isostrasisostrain aanpak. Rangschikkingvan de vezels in de matrix.
L' De isostress aanpak wordt toegepast op het materiaal aan de linker zijde van de stippellijn in fimur 3a. Dit resulteert in de volgende modulus:
vl is hier de volumefractie vezelmateriaal, met betrekking tot het gebied links van de stippellijn (figuur 3a). VI=-
1
l + a
Vervolgens wordt de verkregen modulus E,' gebruikt voor de toepassing van de isostrain aanpak (zie figuur 4).
L*b
d Dit leidt tot:
Figuur 4.
9
RVE waarvan de moduli van het gedeelte links van de stippellijn vervangen zijn door een effectieve modulus.
-7-
E;
+ (l-wl)Em
Hier staat w1 voor de volumefractie gecombineerd materiaal.
wi=-
d
d +a
Uit vergelijking (10) t/m (14) volgt voor de effectieve longitüi.3iiide m o h h s de volgende benadering:
1 + amet g
=
d
1 + -a + - l d
Zie bijlage
d
1 voor de uitwerking van deze berekening.
Bij de afleiding is verondersteld dat er gelijke afstand tussen de vezels is in longitudinale en transversale richting. Bij een bepaalde volumefiactie vezels ligt de aidverhouding hiermee vast, en wordt vergelijking (15) een relatie voor de effectieve modulus, waarbij rekening wordt gehouden met de invloed van de aspect-ratio l/d op de modulus. In figuur 5 zijn enkele resultaten weergegeven.
m
p<
Y w
20
40
60
80
100
1-1
/
Figuur 5.
Lclng,i%li~ale modulus vexsus aspect ratio I/d, met: E, = 1,Ef= 120 [GPa] env, = 0.2, 0.25,0.30, 0.35, 0.40, 0.45
[-l.
-8-
De isostrain en isostress relaties kunnen ook in een omgekeerde volgorde gebruikt worden. De isostrain relatie wordt dan toegepast ~p het gebied beneden de stippellijn in figuur 3b, waarna de isostress aanpak wordt gebruikt voor het nieuw verkregen materiaal en het resterende matbateriaal. Bij uitwerking van dit probleem (zie bijlage 1) wordt exact dezelfde vergelijking verkregen als bij de vorige aanpak echter de functie van de structurele parameters is nu:
1 1 + a- + -l
8 = "
d
(16)
d
De nu verkregen resultaten voor de effectieve modulus geven gelijkvormige grafieken als in figuur 5. 2.4. De transversale modulus van een composiet met korte vezels.
Op een gelijke wijze als bij de longitudinale modulus kan ook een relatie bepaald worden voor de transversale modulus van een composiet met korte vezels. Ook hier wordt gebruik gemaakt van het zelfde representatieve volume element.
F-
F
F c-
c6
4
L
d
4
d
cl
Figuur 6.
RVE!
Het is eenvoudig in te zien dat ook hier eenzelfde vergelijking verkregen wordt als bij de longitudinale modulus, immers het enige verschil zit in het verwisselen van de afinetingen 1 en d.
-9-
-E+ - a met g
=
d
d
I +a - + -l d d
De functie g is verkregen door de isostress aanpak toe te passen op het gebied beneden de stippellijn (fipur 6a), gevolgt door een isostrain berekening met het resterende matrixmateriaal. De omgekeerde weg, e.i. isostrain relatie toepassen op de linkerzijde van de stippellijn (figuur 6b) gevolgt door isostress resulteert in:
1 g =
d
1 + a- + - l d
d
In figuur 7 zijn enkele resultaten weergegeven van de effectieve transversale modulus.
-
a
2
w
1.1o
20
40
60
80
100 Vd [-I
Figuur 7.
Transversale modulus versus aspect ratio l/d, met: E , = 1, Ef= 120 [GPa] en vi = 0.2, 0.25,0.30, 0.35, 0.40,0.45 [-J.
2.5. De glijdingsmodulus van een composietmet korte vezels.
De glijdingsmodulus van een composiet met lange vezels wordt verkregen door aan te nemen dat de schuifspanningen in vezel en matrix gelijk zijn. Figuur 8 geeft een schematische weergave van een belastingsituatie.Aangenomen wordt dat geldt:
-10-52 - -
Y,
*
Yf=-
9
'I-12
. 7
Y12 -
Gf
Gm
-52
G12
d
z' Hieruit volgt:
Afschuiving van een RVE voor de bepaling van de glijdingsmodulm.
Figuur 8.
met: w1
=
d -
d +a
De totale afschuiving is de som van de twee deel-afschuivingen:
A
=
met 'I-12
GI2
Af
+
Am
+
'I-
=
-rm
rc12
f
=
=
y12
=
(l-wl)
+
levert dit:
'I-12 5 2 (1-wl) + w1 - + Gm Gf
1
- -
G12
- P W l )
Gm
+ -w1 Gf
met wI gelijk aan de volumefractie vezel vf levert dit a l s resultaat:
-11-
De glijdingsmodulus van een composiet met korte vezels is op een analoge wijze af te leiden. e
e---
L L
Figuur 9.
Deformatie onder invloed van afschuifspanningen.
Voor de berekening is weer uitgegaan van de isostress-isostrain aanpak. De isostress aanpak is toegepast op het gedeelte beneden de stippellijn in figuur 9a. Wordt dit gedeelte vergeleken met figuur 8, dan is te zien dat dit dezelfde configuratie heeft. Voor de vervangende ghjdingsmodulus van het dit gedeelte beneden de stippellijn is dus direct op te schrijven:
De isostrain aanpak volgt dan voor het resterende matrixmateriaal.
.
Figuur 10.
RVE waarvan de moduli van het gedeelte onder de stippelíijn vervangen zijn door een effectieve modulus.
-12D e aanname die nu gemaakt wordt is dat ym= y*. E r geldt dan:
F
=
TA
=
T ~ A ;+ T,A,
met A het totaal oppervlak evenwijdig aan de vezelrichting.
F
=
GJy; + G, y,
G
=
T -
Y
=
A; + G, Am G; - =v1G1 + (l-vl)G,
A
A
met
vl
=
i -
E
+ a
Hieruit volgt voor de glijdingsmodulus: =
v1G; + (l-vl)Gm
Dit is op geheel analoge wijze als bij de elasticiteitsmodulus te schijven d s : vf(Gf
**
G12 = G, +
G,
+
-
G m )Gm
g(l-vf)(Gf
-
Gm )
I g =
..
1 + a- + -l d
d
In figuur 11zijn enkele resultaten weergegeven van de effectieve ghjdingsmodulus G*.
Figuur 11.
'
-13-
Ook nu is het mogelijk om de omgekeerde weg te volgen, dat wil zeggen de isostrain aanpak op het gedeelte links van de stippellijn in figuur 9 en vervolgens de isostress aanpak op het resterende gedeelte matrixmateriaal. Dit leidt tot vergelijking (25) maar nu met:
g =
-a+ - f d d
a
l
I+-+d d
Dit levert gelijkvormige resultaten op als getoond in figuur 11.
Bij de afleiding van vergelijking (25) en (26) is uitgegaan van een belastingsituatie zoals geschetst in fiwur12a. In hetgeen volgt, wordt de afschuiving in het 1-2 vlak behouden, echter nu met de belastingsituatie zoals deze geschetst is in figuur 12b. Men vindt dan voor de glijdingsmodulus een andere formule.
R
j\
i
A -\ 4
% Figuur 12.
a) Afschuivhg in longitudinale richting b) Afschuiving in transversale richting.
De isostrain aanpak op het gebied onder de stippellijn in figuur 12b. levert het volgende : F
=
TA
=
T~A + ‘c;nAm ~
met A het totale oppervlak evenwijdig aan de vezelrichtkg.
(27)
-14-
dus :
G;
w1Gf
=
(1-wl)Gm
+
Vervolgens wordt het resterende matrixmateriaal erbij betrokken. +
Y12 = U - V J Y m
-5 -2 - (1-vl)-
GI2
+
met
”1Y;
G,2
5 2 + VI* T12
G,
T*
- T ,
:
ti, b,
=
Gl
leveït
- ‘c12
( 1 -vl)G;
+
vlG,
Ook hiervoor is te schrijven: A *
G12 = G, +
met:
g
=
-G,>G, g ( 1 -vf) (Gf -G,) VfWf
1
1 + a- + -Z d
d
Indien de isostrain isostress aanpak wordt omgekeerd volgt hieruit voor g :
1 + -a d
1 + -a + - Z d
d
Enkele resultaten zijn getoond in figuur 13.
20
40
60
100
80 ,
Figuur 13.
I/d
[-I
Gíijdingsmodulus versus aspect ratio l/d, met: G, = 0.37, Gf= 53.1 [GPa] envf = 0.2, 0.25, 0.30,0.35, 0.4, 0.45 [-l.
- 152.6. De dwarscontractiecoëfficiëntvan een composiet met korte vezels.
Wanneer een composiet is onderworpen aan een belasting o evenwijdig aan de vezelrichting, zal er een dwarscontractie loodrecht op de vezelas plaatsvinden. Eveneens bij een belasting o loodrecht op de vezelas zal er een contractie zijn in de vezelrichting. In het algemeen zijn deze twee situaties verschillend van elkaar. E r is dus sprake van ankotropie. De ~ O ~ S S S I I V ~ XofXdwarscontractiecoëfkiënt ~ ~ . ~ v is als volgt gedefinieerd: v.. tl
=
--'ii E.. I1
De hier van toepassing zijnde dwarscontractiecoëfciënten zijn vu en v21. Bepaling van v21 : v21 =
- 5 2
-
(33)
Ei1
Indien we in de 1-richting een rek ell voorschrijven, zal er een dwarscontractie plaatsvinden in de 2-richting. E22 =
(34)
-v21Ei1
L
a. _...
...
d
AJ
Figuur 14.
Deformatie van een RVE voor de bepaling van de dwarscontractiecoëffi~ënt.
Ook hier wordt weer gebruik gemaakt van de isostress-isostrain aanpak. De poissonverhouding van het materiaal getoond in figuur 14b wordt vZl* genoemd. Voor dit stuk materiaal geldt dan: %2
= -+li
De absolute contractie van de matrix en de vezel is nu:
(35)
i
-16-
met w1
=
d d +a
De totale contractie in 2-richting van het composiet is de som van uf en s. 7 I
l&22
=
vi1
=
u +- u f
m
- E22
-=
+
V,(l-W1)
VfW1
Ei1
De dwarscontractiecoëficiënt vZ1* heeft betrekking op het gedeelte links van de stippellijn in figuur 15. Om v21 van het totale volume-element te verkrijgen, is het resterende matrixmateriaal erbij betrokken en de aanname gemaakt dat u = u, = u* (zie figuur 15). 4G Y 52-
L
'
i
-%-i
Figuur 15.
rn
Gelijke deformatie van matrixmateriaal en matrix/vezel-materiaal.
De verdere afleiding is dan als volgt: 5 2 =
E2k
= 4 2
~2~
-
~
=
en ~
~51=4( l - v~, ) ~ l +~ v l i ;
met vl
I
= -
I +a
Identiek als bij de afleiding van de elasticiteitsmodulusvan een composiet, is hiervoor te schrijven:
-17-
met g
=
1+
1 -a + - l d
d
___--0.38 -,,/*-,
I
_c.
,
i
1 _
__^_
_ _ _ _ _ _ _ _ ____________________---~
0.36:,,--------
0.32 4
Figuur 16.
Dwarscontractiecoëffidnt vZ1 versus aspect ratio l/d, met: V , = 0.45, vf = 0.21 [-I envf = 0.2, 0.25, 0.30,0.35, 0.40, 0.45 [-J.
0.26;
20
40
60
80
100 I/d
[-I
Het is mogelijk om de omgekeerde weg te volgen, dat wil zeggen eerst de dwarscontractiecoëfîiciënt uitrekenen van het gedeelte onder de stippellijn (figuur 14a) en vervolgens het resterende matrixmateriaal erbij te betrekken. Dit wordt achterwege gelaten omdat deze berekening gelijkvormige resultaten laat zien. Het is echter wel mogelijk om deze berekeningen uit te voeren met de geschreven routines in PCMATLAB. Bepaling van v12 :
V12 =
--Ei1 -22
Indien in de 2-richting een rek plaatsvinden in de 1-richtkg. 4
4
a
L Figuur 17.
voorgeschreven wordt, zal er een dwarscontractie
I
- 18Bekijkt men het gedeelte links van de stippeiiijn in figuur 17, dan geldt: Ei1 =
-v;2.22
De absolute contractie van de matrix respectievelijk vezel is: u,
=
~ , ~ ~ ( E + a ) ( l - v , ) met vl
Z Z+a
=-
De totale contractie in de 1-richting is de som van de afzonderlijke contracties: u = u , + uf
j.
=
+a)(1 -vl) +
v,%~(Z
vfeJZ +a)vl
+ VfVl
Vl2 = Vm(l-V1)
De aanname die gemaakt wordt, is dat voor het resterende matrixmateriaal en het gedeelte bestaande uit matrix- en vezelmateriaal (figuur 17) geldt:
=
==+-
=
-v
en
-v1252
Ei1
q1 =
oftewel
u = u, = u *
(l-wl)-
=
E;*;
(44)
52= ( I - W ~ )+. w1G2 ~ ~
Eilm +
4 w1.
v,
12
%lpra
v12
met w1
=
d
d +a
(45) dus:
v12
-
vmv12* (1-wl)V;z
+
WlV,
Ook hiervoor is te schrijven:
met g
=
d
1 + -a + - l d
d
Hier is om dezelfde reden als in het voorgaande geval de omgekeerde werkwijze achterwege gelaten. Figuur 18 laat enkele resultaten zien van de berekening van de dwarscontractiecoëfficiënt.
-19-
0.4 i
0.3 -
...---------
?=
0.28 0.26 -
Figuur 18.
DwarscontractiecoëfficiëntvI2 versus aspect ratio I/d, met: v, = 0.45, vf = 0.21 [-] en vf = 0.2, 0.25, 0.30, 0.35, 0.40, 0.45 [-J.
-20Hoofdstuk 3. Variaties in het model 3.1. Afstand tussen de vezels.
Bij de voorgaande afieidingen is voor de eenvoud uitgegaan van "equal spacing", dat wil zeggen gelijke ruirnte tussen de vezels in longitudinale en transversale richting. Dit is echter niet noodzakelijk. Het is mogelijk de verhouding tussen de afstanden willekeurig te kiezen.
b
I
I
Figuur 19.
Representatief volume-element.
d
9
Uit fiwur 19 volgt dat de volumefractie vezel bij equal spacing gelijk is aan:
v =
Id (l+a)(l+d)
Id +-
=
(47)
Id ld+la+da+a2 + a2+(l+d)a-(--ld)=O
vf
+
Id +d)2+4(--1d) vf
Aangezien de lengte a positief moet zijn geldt:
Hieruit volgt dat als de l/d-verhouding en de volumefractie gegeven zijn, de a/d-ver-
-21houding vast ligt. Dit geldt natuurlijk ook als er uitgegaan wordt van ongelijke vezelafstaIl_den.Voor de verhouding van de afstanden a en b wordt gekozen: b =ya
1 d
yd
Z+yd
2
Het is nu mogelijk om voor alle denkbare combinaties van de l/d-verhouding en volumefracties vezel de longitudinale en transversale modulus te bepalen.
3.2. Invloed van een interface tussen vezel en matrh
Tussen vezels en matrix is er altijd sprake van een zekere mate van hechting. Deze hechting kan men modelleren met behulp van een interface die een lagere modulus heeft dan de vezel.
Figuur 21.
-22-
Dit is identiek aan de berekeningen in paragraaf 2.3.:
v;(Ef -E,)Ei
E 2 = E J+ met v;
= I
dl
\d+C)(l+C)
g is een functie van de structurele parameters en is afhankelijk van de Wijze van berekening (identiek als bij paragraaf 2.3.). De totale modulus voor het representatieve volume element wordt verkregen door het resterende matrixmateriaal er nu bij te betrekken.
met vf
=
lxd* ( d *+a)(l*+ b )
Ook hier is g een functie van de structurele parameters, die afhankelijk is van de wijze van berekening. Het is mogekijk de elasticiteitsmodulus op verschillende andere manieren te bepalen door andere keuzen van de indeling van de isostrain-isostress aanpak. Dit is hier achterwege gelaten, omdat dit gekijksoortige resultaten levert en dus geen extra inzicht verschaft in het geheel. De resultaten van de berekeningen zijn weergegeven in figuur 22.
20 -i
20
Figuur 22.
40
60
80
100
Longitudinale modulus versus aspect ratio l/d, met: 1, Ei= 2, Ef= 120 [GPa] en v, = 0.3 [-] en de dikte van het interface c/d = O, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5.
E, =
-23-
3.3. Rangschikking van de vezels. -
De rangschikking van de vezels in de matrix is van invloed op de resulterende moduli van de composiet. In het voorgaande is uitgegvan een structuur waarbij alle vezels in één richting Liggen en in een rechthoekig array gerangschikt zijn (zie figuur
22a).
Figuur 23.
a) Rechthoekig array.
b) Diamond array.
Een meer met de werkelijkheid in o v e r e e n s t e d g zijnde rangschikking is het "diamond"-array (zie figuur 23b). Voor de longitudinale elasticiteitsmodulus van het voorgaande model zal deze verandering geen invloed hebben, omdat de invloed van de dwarscontractie daar buiten beschouwing is gelaten. Echter voor de transversale modulus zal deze verandering wel merkbaar zijn. Een representatief volume element voor deze rangschikking is weergegeven in figuur 24.
d Fimur 24. I
RVE bij het diamond array.
Om de transversale modulus uit te rekenen, zijn er verschillende alternatieven wat betreft de indeling voor de isostress-isostr& aanpak.
-24-
i-
,
(3 Figuur 25.
-
Twee mogeiijke indelingen voor het bepalen van de effectieve transversale modulus.
De aanpak zoals deze in figuur 25a is geschetst, is niet correct. Bij deze indeling komt het verschil tussen de "diamond"- en "rechthoekige"-rangschikking niet naar voren. Immers materiaalblokje (1) levert exact dezelfde bijdrage E' als materiaalblokje (3). Het maakt dus niets uit of bij blokje (1) de vezel boven of onder in het blokje is geplaatst, en dit is nu net het verschil tussen de twee rangschikkingen. Hieruit wordt duidelijk dat bij de verdeling van het volume-element erop gelet moet worden dat er uitsluitend indelingen worden gemaakt waarbij horizontale opsplitsingen genomen worden. Voor de verdere berekeningen is uitgegaan van de indeling zoals weergegeven in figuur 25b. Ook hier is te zien dat de materiaalblokken (1) en (3) dezelfde bijdrage leveren aan de totale modulus. Het model reduceert dan tot:
d
J- a
Figuur 26.
la
d
-25Blokje (1) levert met de isostress aanpak af = am= o :
gelijke wijze levert blokje (2):
(53) t , =2u1
Vervolgens worden de twee gebieden aan elkaar gekoppeld en hun totale elasticiteitsmodulus berekend met behulp van de isostrain aanpak. '3F
0
E,
la .......
E,
=
slE; + (1-sl)E,*
2a met: sl=-
1 +a
(54)
Het is nu niet meer mogelijk om alle structurele parameters in een functie te ondervangen. De hkrbovera beschreven aanpak is verwerkt in een subroutine binnen PC-MATLABen geeft de volgende resultaten.
1.1
\ 20 40 60 80 100
O
Id
Figuur 2%.
[-I
Transversale modulus versus aspect ratio l/d (diamond array), met: E, = 1, Ef= 120 [GPa] en vf = 0.2, 0.25, 0.30, 0.35, 0.40, 0.45 [-l.
-26-
Hoofdstuk 4. Discussie. 4.1. Resultaten van de longitudinale en transversale modulus.
De resultaten verkregen met PC-MATLAB voor de longitudinale modulus vertonen een toename van de modulus bij een toenemende l/d-verhouding ( vf= const. ). Verder neemt de modulus proportioneel toe met de volumefractie. De resultaten van de transversale modulus zijn bijna onafhankelijk van de l/d-verhouding, behalve in het gebied van de l/d-verhouding 1 tot 25. De transversale modulus neemtprogressief toe bij stijgende volumefracties. De berekeningen van de longitudinale en-trasversale mÖdulÜs mët behulp van PCMATLAB kunnen vergeleken worden met reeds bestaande resultaten voor discrete modellen uit het werk van W.M.G. Courage. In zijn werk zijn resultaten te vinden voor de longitudinale en transversale modulus, berekend volgens het isostressisostrain principe. Te zien Is in figuur 28 dat deze resultaten overeenstemmen, zowel in kwalitatieve als kwantitatieve zin. Dit geldt zowel voor de longitudinale als de transversale modulus. Dit is ook te verwachten aangezien bij beide berekeningen is uitgegaan van exact dezelfde formule voor de moduli. ET [GPa] =I-
vr = 0.45 ,/
vr = 0.3 vr = 0.2
-
a
.
m
u
r
m
~
a
m
‘Id
H
U
vQ= Figuur 28.
a
L7L
\ a) en c) : Resultaten van longitudinale (a) en transversaie
-
vt = 0.3
b) en d) : Resultaten mbv PC-MATLAB. In d e gevallen geldt: E, = 1, Ef= 120 [GPa]
It
ui
(c) modulus van het discrete model van Courage.
A
*
*
env, =
0.2, 0.25, 0.3,0.35, 0.4, 0.45 [-l.
Vd 1-1
Vergelijkt men deze resultaten met de resultaten verkregen met behulp van de eindige elementen meîhsden, dan is te zien dat er kWditatie€ een goede overeenstemming is (zie figuur 29). In kwantitatieve zin is deze overeenstemming beduidend minder. In figuur 29 is te zien dat de waarde van zowel de transversale als longitudinale modulus voor de isostress-isostrain aanpak aanziedijk lager is dan voor de resultaten van de EEM-methoden. Oorzaak hiervoor is waarschijnlijk de te eenvoudige modellering, waardoor de invloed van de dwarscontractie op de modulus niet wordt meegenomen. Hierdoor is de modulus lager dan dat deze in werkelijk is.
-27-
E : [GP~J
E; [GPa] 45.
T
212
#
VI
vr = 0.35
1.7
o. Figuur 29.
20.
40.
= 0.45
60. Eo. loo. o. m. 40. 60. m. ~m Resultaten van de longitudinale (a) en transverSale (b) modulus mbv de EEM met E , = en vf = 0.2, 0.3, 0.3, 0.35,0.4, 0.45 r-i.
1, Ef = 120 [GPa]
.A
4.2. Resultaten van de glijdingsmodulus. Zoals in paragraaf 2.1. al naar voren is gekomen, heeft een materiaal onder een vlakspanningstoestand slechts één glijdingsmodulus. Dit blijkt uit de analytische beschouwing die uitgevoerd is en resulteert in formule (6). Bij de bepaling van de glijdingsmodulus met behulp van de isostress-isostrain aanpak blijkt dat er echter twee verschillende resultaten voor de glijdingsmodulus worden gevonden. Berekening met eerst de isostress aanpak gevolgd door de isostrain aanpak levert een ander resultaat dan de omgekeerde werkwijze. Dit wordt geïllustreerd aan de hand van figuur 30. De resultaten voor de glijdingsmodulus verkregen met de isostress-isostrain aanpak ( figuur 30a ) vertonen in kwalitatieve zin overeenkomst met de resultaten verkregen door W.M.G. Courage met behulp van de EEM. Ook de kwantitatieve overeenstemming is goed. Te zien is dat de glijdingsmodulus langzaam afneemt bij een toenemende l/d-verhouding. Voor grotere waarde van de l/d-verhouding schijnt de glijdingsmodulus een asymptotische waarde aan te nemen. De glijdingsmodulus neemt progressief toe met de volumefractie vezels in het materiaal. Indien de omgekeerde methode wordt gevolgd, krijgt men een totaal ander resultaat voor de glijdingsmodulus van het composiet. Hier stijgt de glijdingsmodulus bij toenemende waarde voor de volumefracties( zie figuur 30b ). E r zijn geen resultaten beschikbaar van EEM bekeningen die een gelijkvormig resultaat tonen. ..-_...__ ________._____
_____
-- .--_._.___
a.
a0
04 Figuur 30.
ltd
[-I
80
im
14
b5
a> en b): Resultaten van de gkjdingsmodulus mbv P C M A W . c): Resultaten mbv de EEM. aiie g e w e n geldt: E, = 1, Ef = 120 [GPa] en vf = 0.2, 0.25, 0.3, 0.35,0.4, 0.45
60
de glijdingsmodulus
1-1.
-28-
Bij de deiding van de ghjdingsmodulus van een composiet is er uitgegaan van een vlakke rek toestand ( ci33 = 023 = a31 ). Afschuiving is dus alleen mogelijk in het 1-2vlak. Verder is het niet van invloed in welke richting de afschuiving plaatsvindt, de 1richting of de 2-richting (zie figuur 31). Toch worden er twee verschillende resultaten voor de glijdingsmodulus verkregen zoals de afleiding in paragraaf 2.5. laat zien. Dit is te verklaren als men kijk naar de vervormde geometrie van de representatieve volume elementen. In figuur 9. is te zien dat de zijkant van het element niet in één lijn blijft liggen, maar er een knik optreedt bij de scheiding van de twee materialen. Dit is het gevolg van de aanname dat er een isostress toestand aanwezig is. Indien er uitgegaan wordt van een isostrain situatie, dan blijft de zijkant van het element recht. In de literatuur is echter alleen het model te vinden waarbij uitgegaan wordt van een isostress situatie.
Figuur 31.
Twee gevaiien van afschuiving. Beide geven echter dezelfde giijdingsmodulus ais het evenwicht van het blokje wordt bekeken.
4.3. Resultaten van de dwarscontractiecoëfficiënten.
De in dit verslag van belang zijnde dwarscontractiecoëfficiëntenzijn v12 en vzl. A l s de resultaten van de berekeningen bekeken worden, is te zien dat v21 toeneemt met hogere l/d-verhoudingen. Daarentegen neemt v u af bij toenemende waarde van de l/d- verhoudingen. In beide gevallen neemt de dwarscontractiecoëfeient a€ bij stijgende volumefractie vezelmateriaal. Vergelijkt men deze resultaten met de resultaten van EEM berekening van W.M.G. Courage dan ziet men vrijwel geen overeenkomsten( zie figuur 32 ). Voor v21 ziet men bij de EEM berekening een daling van de d~apscoin.tp%e.tie@sëf£iciëmt bij stjgende l/d-verhuudhgem. Deze daling is echter niet drastisch, terwijl de stijging van de resultaten met PC-MATLABniet sterk is. In kwantitatieve zin is het verschil tussen de resultaten toch wel aanzienlijk. Bekijkt men de EEM berekeningen voor v12, dan is hier een drastische daling waar te nemen bij stijgende waarden van de l/d-verhouding. Deze sterke daling is niet aanwezig in de resultaten verkregen met behulp van de subroutines binnen PCMATLAB. De sterke daling is waarschijnlijk het gevolg van een toename in de
-29-
stijfheid van het volume element bij grotere l/d-verhoudingen. Hierdoor wordt de dwarscontractie in de vezelrichting bemoeilijkt. Omdat bij EEM berekeningen rekening gehouden wordt met de stijfheid van het materiaal, is deze daling hier ook duidelijk waar te nemen. Bij de berekeningen met PC-MATLAB is er totaal geen rekening gehouden met de modulus van het materiaal, zodat dit effect ook niet wordt waargenomen. a4!
T
a35
O2 ai5
all
f
0.1
-
= a.45
om a
a) en c) : Resultaten van vI2 (a) en vZ1 (c) mbv PC-MAïïAB. b) en d) :Resultaten mbv EEM.
In alle gevallen geldt: v , en vf =
= 0.45, vf = 0.21 [-I
0.2, 0.25, 0.3, 0.35, 0.4, 0.45 [-l.
016
4.4. Isostress-isostrain versus isostrain-isostress.
Bij de afleiding van de formules voor de moduli en dwarscontractiecoëfciënten zijn er twee wegen te volgen. Men kan eerst een isostress berekening uitvoeren, gevolgd door een isostrain berekening, of omgekeerd. Dit leidt tot twee kwantitatief verschillende resultaten. Het is bekend dat de waarden voor de effectieve elastische parameters gelimiteerd zijn door een boven- en een ondergrens (Paul, 1960). Voor de effectieve elasticiteitsmodrslus E" gelden dan de volgende vergelijkingen voor deze grenzen:
Met E 'de ondergrens en Em,* de bovengrens. Bij de isostress-isostrab aanpak voor de iongitudhde modulus leidt clit t ~ t :
-30-
D i levert EIS resdtaat figuur 33a.
De isostrain-isostress aanpak leidt tot:
Dit levert als resultaat figuur 33b. 25
20 -
c
Vd Figuur 33.
E-]
a) hngitudianle modulus mbv isostress-isostrain aanpak b)
Vd
I-]
Longitudinalemodulus mbv isostrain-isostress
aanpak.
f i e r is duidelijk te zien dat de isostrain-isostress aanpak bij de longitudinale modulus hogere waarden voor de modulus geeft dan de issstress-isostr& m p & . In fipw 34 is het zelfde gedaan, maar dan voor de ghjdingsmodulus. Te zien is dat de isostressisostrain aanpak hogere waarden voor de glijdingsmodulus berekent dan de isostrainisostress aanpak. Dit is in overeenstemming met de resultaten van de longitudinale modulus, immers bij de isostraia-issstïess amp& V O Q ~ de longitudinale modulus wordt dezelfde functie g gebruikt als bij de isostress-isostrain aanpak bij de glijdingsmodulus.
-31-
i
0.40
20
40
60
80
100
lld [-} Figuur 34.
a) Glijdingsmodulus mbv isostress-isostrain aanpk b) Glijdingsmodulus mbv isostrain-is~~stress aanpak.
4.5. Resultaten van het interface.
2ol
-
15 -
20 -
20
-
15
L , p
n.
Figuur 35.
Invloed van het interface op de longitudinale modulus. E, = 1, Ef= 120 [GPa] en v, = 0.2, 0.25,0.30,0.35, O, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5.. 0.40, 0.45 [-I en de diktevan het interface c/d = a) Ei= 12 GPa. b) Ei= 2 GPa. c) Ei= O 5 GPa.
-324.6. Resultaten van de rangschMcing van de vezels.
1.9
%\
.*--
u4=o@yc
u
---__
4
3Q ,
Ce q
'.8 1.7
-g: (3
E
1.6
-\
1.5 1.4 -
--_ _ ___
-- -
-
__..
1.3 -
"4
r
1.2 1.l0
Figuur 36.
20
40
60
80
100
a) Transvenale modulus met rechthoekig array. b) Transversale modulus met diamond array. E, = 1, Ef= 120 [GPa] en vf = 0.2, 0.25, 0.30, 0.35, 0.40, 0.45 [-l.
-33-
4.7. Conclusie.
Het hier gepresenteerde discrete model voor de berekening van modelparameters is in bepaalde opzichten goed te gebruiken. Het is zeer geschikt om een indruk te krijgen van de invloed van de l/d-verhouding op de moduli. Ook de invloed van de afzonderlijke stijfheden van de componenten is goed na te gaan. De kwantitatieve resultaten van deze berekeningen zijn acceptabel. Echter voor de glijdingsmodulus zal men de juiste keuze van berekenen moeten maken. Wat betreft de berekeningen van de dwarscontractiecoëfciënten is deze methode minder geschikt. Hiervoor zal men alsnog moeten uitwijken naar EEM-achtige programmatuur. Ook voor complexere geometrie, zoals de diamond rangschikking, is deze methode niet toereikend. De implementatie van een interface is wel mogelijk. Gekeken moet worden naar de rechtvaardigheid van de hier gepresenteerde methoden.
LITERATUURLIJST
Dl
W.M.G. COURAGE C O N S m MODELS FOR COMPOSITES BASED ON NUMEFUCAL MICROMECHANICS WIBRO DISSERTATIEDRUKKERIJ, HELMOND
1990
-bl.l-
BIJLAGE 1:
Hieronder volgen enkele uitwerkingen van berekeningen van effectieve longitudinale moduli van een composiet, zoals dit gepresenteesd is in hoofdstuk 2. De effectieve longitudinale modulus:
E;
2.
=
wl=-
wlE; + ( l - w l ) E ,
E; = E , +
d
d +a
-
WlE,
wlEfEm - w l E i Em
(1-V1)
+
E,
+
V1
v = f
Id
(d+a)(l+a)
= VlW1
+
VI =
vf + W1
(l-vl)
=
(1-9) W1
Ef
-b1.2-
w1 -vf -
g (l-vf) =
1 -VI --1 -vf
g =
W1
dcs:
g
=
a l+a
-
. ( d + a ) ( l + a )-(&+&+a2)
d+a d +I +a
1
(1----) -
1 d +a
( ' - ( l + aId) ( d + a))
1 + ad + -l + -a d d
Indien de isostress-isostrain aanpak in de omgekeerde volgorde wordt uitgevoerd, ziet de afleiding er als volgt uit: 1.
E;
=
2.
E;
=
wlEf' + ( l - w l ) E ,
vlE, + ( 1 - v l ) E l
+ g(l-vf)
=
wl(l-vf)
+
g
WJl-VJ
=
(l-vf)
-
Wl-vf l-vf
=
W1 -1
Vf
1 --1
-b13-
1 V1 I +a Id -1) s = r = (7 -1)-( ( I +a)(d + a ) --1 --3
=
ad a;Z+Ia+a2
1 ~+L,E d
'If
d
Voor de berekening van de effectieve transversde modulus is een zeifde methode gebruikt als in het voorgaande stuk. Uit de isostress-isostrain aanpak volgt het zelfde resultaat als bij de longitudinale modulus met het enige verschil dat de lengte 1 en d verwisseld zijn.
g(i-vf)
=
V I -v f -
+
V1
g
=
a . ( l + a ) ( d + a ) - 1 +a a+d al+ad+a2 1 +a+d
-a + - i dus: g
=
d
d
1 + -a + - l d
d
D e isostrain-isostress aanpak voor de transversale modulus resulteert in:
g(l-vf)
= V1(l-W1)
+ g =
v12 -v -
--11
=
-W1 -
1 --1 vf
-
al ad+al+a2
E -
-
d a l 1 +-+d d
(25)
-b2.1BIJLAGE 2 : Subroutines binnen PC-MATM. MEAN.M
clear *******8**********$**~***+8*8********************************************
*het inlezen van de parameters
..................................................................... invoer; j =length(1d); i=O; for cd = cdb:cds:cde i=i+ 1;
..................................................................... *berekening van de voloumefractie vf'
..................................................................... volfÌac(ld,cd,j); vf=ans;
..................................................................... *het berekenen van de waarde van de structurele parameter g ~******~*x****8**8********8y*********************************************
stmpar(ld,cd,j,p,r); g =am;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
*het berekenen van de modulus
..................................................................... modulus(ei,ef,g,vf,j); efi=ans; efim(i,:) =efi; end
..................................................................... *de totale modulus van vezel en interface is nu bekend. * Het bepalen van de modulus van het totale systeem.
.....................................................................
-b2.2ef =efim, k=O; for cd = cdbxdsxde k=k+l; ldt = (Id+ cd*ones(l,j))./((l+cd)*ones(l,j)); i=O; for vf=vfb:vfs:vfe i=i+ 1;
..................................................................... *berekening van de a/d verhouding
.....................................................................
..................................................................... *het berekenen van de waarde van de structurele parameter g
..................................................................... struparl(ld,ad,j,p,q); g =ans;
..................................................................... *het berekenen van de modulus
..................................................................... modulusi(em,ef,g,vf,j,k); el =ans; 1=i + (k-1)"5; eh(1,:) =el; end end plot(ld,elm) title('Modulus van het composiet versus aspect ratio l/d ') xlabel('l/d [-I') ylabel('l3 [@Pa]')
-b2.3-
GLW.M
clear *********8*******88**************************************************
*het inlezen van de parameters
..................................................................... invoer2; j =length(ld); i=O; for cd = cdb:cds:cde i=i+ 1;
..................................................................... *berekeningvan de voloumefractie vf'
..................................................................... voEac(ld,cd,j);
vf= ans;
..................................................................... *het berekenen van de waarde van de structurele parameter g
..................................................................... strupar2(ld,cd,j,p,r); g =am;
.....................................................................
*het berekenen van de modulus
.....................................................................
..................................................................... *de totale ghjdingsmodulus van vezel en interface is nu bekend. * Het bepalen van de glijdings modulus van het totale systeem. **********OX*******************a***************************************
-b2.4-
gf=gfim; k=O; for cd = cdb:cds:cde k=k+l; ldt =(Id+ cd*ones(l,j))./((l+cd)*ones(l,j)); i=O; for vf =vfb:vfs:vfe i=i+1;
..................................................................... *berekening van de a/d verhouding
..................................................................... spacing1(ld,vf,y); ad=ans; *het berekenen van de waarde van de structurele parameter g
.....................................................................
strupar3(ld,ad,j,p,q); g=ans;
..................................................................... *het berekenen van de glijdingsmodulus
..................................................................... podWmgf,g,vf,j,k); gl=ans; l = i +(k-1)*5; rn(1,:) =gk end end pWd,gW title('C3lijdingsmodulus van het composiet versus aspect ratio l/d ') xlabel('l/d [-I') ylabel('G [GPa]')
-b2.5-
DWAl2S.M
..................................................................... * Berekening van de dwarscontractie-coëfíïciëntvan een composiet met * korte vezels. ..................................................................... clear
..................................................................... *het inlezen van de parameters ***********~~*X************~*****************************************
invoer3; j=length(1d);
i=Q; for cd =cdb:cds:cde i=i+ 1;
..................................................................... *berekeningvan de volumefactie vf'
..................................................................... volfrac(ld,cd,j); vf=ans;
..................................................................... *het berekenen van de waarde van de structurele parameter g
..................................................................... strupar(ld,cd,j,p,r); g=ans;
..................................................................... *het berekenen van de poisson ratio
..................................................................... poisson(nui,nuf,g,vf,j); nufi =am; nufïm(i,:) =nufi; end
-b2.6-
..................................................................... *de totale Poisson ratio van vezel en interface is nu bekend.
*
* Het bepalen van de Poisson ratio van het totale systeem. ..................................................................... nuf =nufim; k=O; for cd =cdb:cds:cde
k=k+l;
ldt = (Id + cd*ones(l,j))./((1+ cd)*ones( 1,j)); i=O; for vf=vfb:vfs:vfe i=i+l; "berekening van de a/d verhouding
.....................................................................
..................................................................... *het berekenen van de waarde van de structurele parameter g
..................................................................... struparl(ld,ad,j,p,q); g=ans;
..................................................................... *het berekenen van de Poisson ratio
..................................................................... poissonl(num,nuf,g,vf,j,k); nul=ans; l=i+ (k-1)*5; nulm(1,:) =nul; end end plot(ld,nulm) title('poisson ratio van het composiet versus aspect ratio l/d ') xlabel('l/d [-I') ylabel('nu [-I')
-b2.7DIAM.M clear invoer$; j =length(1d); i=O; for vf =vfb:vfs:vfe i=i+ 1; y= 1; spacingl(ld,vf,y); ad = ans; u1 = ones( l,j)./(2*(ones( I j ) + ad)); t l = 2"ul; s l = 2*ad./(ld + ad); e l = em*ef*ones(l,j)./(ul*em + (ones(1,j)-uî)*ef); e2 = em*ef * ones( l,j)./( t 1*em + (ones(Ij)-t1)*ef); et= sl.*el + (ones(1,j)-sl).*e2; etm(i,:) =et; end plot(ld,etm)
GM0DUL.M
..................................................................... * het berekenen van de glijdingsmodulus van het composiet ..................................................................... function g f ~= modulus(gi,gf,g,vf,j) g f ~= gi*ones(1,j)+ (vf*(gf-gi) *gi)./(gi*ones(I j ) +g.*(ones(Ij)-vf)* (gf-gi));
GMQDUL1.M
..................................................................... * hei berekenen van de glijdingsmodulus van het composiet ..................................................................... function gl = modulusl(gm,gf,g,vf,j,k) gl = gm*ones(l,j)+ (vf*(gf($:)-gan*snes(l,j))*gm)./ (gm*ones(1,j)+g*(1-vf).*(gf(k,:)-gm*ones(l,j)));
-b2.8M0DULUS.M
..................................................................... * het berekenen van de elasticiteitsmodulusvan het composiet ..................................................................... function efi = modulus(ei,ef,g,vf,j) efi = ei*ones(1,j) + (vf*(ef-ei)*ei)./ (ei*ones(1,j)-t- g. *(ones( Ij)-vf)*(ef-ei));
MODULUS1.M
.....................................................................
* het berekenen van de elasticiteitsmodulusvan het composiet
..................................................................... function el = modulusl(em,ef,g,vf,j,k) el = em*ones(lJ) + (vf*(ef(k,:)-em*ones(l,j))*em)./ (em * ones( Ij)+ g* (1-vf) .* (ef (k, :)-em*ones( Ij)));
POISS0N.M
..................................................................... * het berekenen van de dwarscontractiecoëfficiënt van het composiet ..................................................................... function nufi = poisson(nui,nuf,g>vf,j) nu£i = nul'snes( Ij)+ (vf*(nraf-nui)*aaaal)./ (nui*ones(1,j)+ g.*(ones(i,j)-vf)*(nuf-nui)); PQISSON1.M
..................................................................... * het berekenen van de dwarscontractiecoëfficiëntvan het composiet ..................................................................... function nd = p o i s s o E n l ( n ~ n ~ , ~ , ~ , ~ , k ~ nul = num*ones(Ij)+ (vf*(nuf(k,:)-num*ones(l,j))*num)./ (num*ones(Ij)+g*( 1-vf).*(nuf(k,:)-num*ones(lJ)));
-b2.9SPAC1NG.M
*%******************************************************************* *functionfile voor berekening van de a/d verhouding
..................................................................... function ad = spacingl(ld,vf,y) ad = .5*sqrt(( l/ji*ld+ l).*(l/y*ld+ 1) + 4" l/y*ld*(l/vf-1)) - .5*(l/y*ld+ 1);
STRUPAR.M
..................................................................... * het berekenen van de functie g=g(structuurparameters) * *het kiezen van een bepaald probleem
..................................................................... function g = strupar(ld,cd,j,p,r) ifr==l g = (ones(1,j) + cd*ones(l,j))./(ones(l,j)+cd*ones(l,j)+ld); else g = ones( l,j)./( ones( Ij) + cd*ones(1,j)+Id); end ifp==l z=O;
elseif r = = 1 g = (cd*ones( 1,j)+ ld)./(ones( Ij)+ cd*ones(Ij)+Id); else g = Id./ ( ones(1J) +cd*ones(lJ)+ld); end end
-b2.10STRUPAR1.M
..................................................................... * het berekenen van de functie g =g(structuurparameters) * *het kiezen van een bepaald probleem
...................................................................... function g = struparl(ld7ad,j,p7q) if q= g = (ones(1,j) + ad)./(ones(l,j)+ad+ld); else g = ones(l,j)./( ones(1,j) + ad +Id); end ifp==l z=o;
elseif q = = 1 g = (ad+ld)./(ones(lj)+ad+ld); else g = Id./ ( ones(1,j) +ad+ld); end end STRUPAR2.M
..................................................................... * het berekenen van de functie g =g(structuurparameters) * *het kiezen van een bepaald probleem
..................................................................... function g = strupar(ld,cd,j,p,r) if r = =2 g = (ones(1,j)+ cd*ones(lJ))./(ones( I j ) + cd*ones(17j)+Id); else g = ones(l,j)./( ones(I j ) + cd*ones(1,j)+Id); end ifp==l z=O; elseif r = =2 g = (cd*ones(l,j)+ld)./(ones(l,j)+cd*ones(l,j)+ld); else g = Id./ ( ones(1,j) +ed*snes(lJ)+id); end end
-b2.11STRUPAR3.M
..................................................................... * het berekenen van de functie g=g(structuurparameters) * *het kiezen van een bepaald probleem
..................................................................... function g = struparl(ld,ad,j,p,q) if q= =2 g = (ones(l,j)+ ad)./(ones(l,j)+ad+ld); else g = ones( l,j)./( ones( 1,j) + ad+ Id); end ifp==l z=o;
elseif q = =2 g = (ad+ ld)./(ones( 1,j) + ad + Id); else g = Id./ ( ones(1,j) +ad+ld); end end
V0LF'RAC.M
.....................................................................
* Functionfile voor het berekenen van de volumefractie vezel in het
* interface bij een gegeven Y/&- en c/d-verhouding. ..................................................................... function vf = volfrac(ld,cd,j) vf = ld./((ld + cd*ones(l,j)).*(l
+ cd*ones(l,j)));
-b2.12INVOERM
..................................................................... * Invoer-file voor het berekenen van de longitudinale of transversale * modulus van een composiet. * * Geef de waarde van de elasticiteitsmodulus van resp. het matrixmateriaal, * het vezelmateriaal en het interfacemateriaal in GPa!!!!. Bepaal verder of de transversale- of de longitudinale modulus berekend wordt.
* Longitudinaal dan: p = 1 Transversaal dan: p = 2 ..................................................................... em = 1; ef = 120; ei = 12; p = 2;
..................................................................... * Geef de gewenste waarden van de lengîe-diameter verhouding. nb: men kan hier * een kolom opgeven met beginwaarde, stapgrootte en eindwaarde. vb. 1:l:lOO ...................................................................... Id = 1:l:lOO;
...................................................................... * Is er sprake van equal spacing? Ja : dan y = 1 * Nee: geef dan de gewenste verhouding van aenb
0
y=a/b
...................................................................... y =
1;
...................................................................... * Geef de gewenste waarden van de c/d verhouding.(dikte interf./diamtr vezel )
* Doe dit door opgave van een beginwaarde(b), eindwaarde(e) en stapgrootte(s) . * Zo ook voor de gwenste volume fractie vezel in de matrix. ...................................................................... cdb = O; cde = O; cds = 1,
-b2.13-
vfts
0.2; vfe 0.45; vfs = 0.05; = =
...................................................................... * De berekening mbv de nile of mixtures kan geschieden op twee manieren. * Eerst een iso-stress berekening gevolgd door een iso-strain of omgekeerd.
* Vezel/interface : isostress-isostrain (r = 1) of isostrain-isostress (r =2)
* Vezel + int./matrix : isostress-isostrain (q = 1) of isostrain-isostress (q =2) ..................................................................... r = 2; q = 2;
......................................................................
INVOER2.M
..................................................................... * Invoer-file voor het berekenen van de glijdings-modulus * van een composiet. * * Geef de waarde van de glijdingsmodulus van resp. het matrixmateriaal, * het vezelmateriaal en het interfacemateriaal in GPa!!!!. * Geef verder aan welke situatie u wilt berekenen. * Afschuiving loodrecht op de vezels: p = 1. * Afschuiving evenwijdig aan de vezels: p =2. ..................................................................... gm = 0.37; gf = 53.1; g i = 1; p=2;
..................................................................... * Geef de gewenste waarden van de lengte-diameter verhouding. nb: men kan hier * een * kolom opgeven met beginwaarde, stapgrootte en eindwaarde. vb. 1:1:200 .....................................................................
-b2.14Id = 1:l:lOO;
..................................................................... * Is er sprake van equal spacing? Ja : dan y = 1 * Nee: geef dan de gewenste verhouding van aenb y = a / b * ..................................................................... y =
1;
..................................................................... * Geef de gewenste waarden van de c/d verhouding.(dikte interf./diamtr vezel ) * Doe dit door opgave van een beginwaarde(b), eindwaarde(e) en stapgrootte(s) . * Zo ook voor de gwenste volume fractie vezel in de matrix. ..................................................................... cdb = O; cde = O; cds = 1;
vfb
=
0.2;
vfe = 0.45; vfs = 0.05;
..................................................................... * De berekening mbv de rule of mixtures kan geschieden op twee manieren. * Eerst een iso-stress berekening gevolgd door een iso-strain of omgekeerd. * Vezel/interface : isostress-isostrain (r = 1) of isostrain-isostress (r =2)
* Vezel+ int./matrix : isostress-isostrain (q= 1) of isostrain-isostress (q=2) ..................................................................... r = 2; q = 2;
......................................................................
-b2.15INVOER3.M
..................................................................... * Invoer-file voor het berekenen van de dwarscontractiecoëfficiënten * van een composiet. * * Geef de waarde van deze coëEficiëntenvan resp. het matrixmateriaal, * het vezelmateriaal en het interfacemateriaal. * Bepaal verder of de nu 12 of nu 21 berekend wordt. * nu 12 dan: p = 1 nu 21 dan: p = 2 ..................................................................... num = 0.45; nuf = 0.21; nui = 0.21; p =
2;
.....................................................................
* Geef de gewenste waarden van de lengte-diameter verhouding. nb: men kan hier * een kolom opgeven met beginwaarde, stapgrootte en eindwaarde. vb. 1:l:lOO .....................................................................
Id = 1:l:lOO;
..................................................................... * Is er sprake van equal spacing? Ja : dan y = 1 * Nee: geef dan de gewenste verhouding van * aenb y = a / b ..................................................................... y =
1;
..................................................................... * Geef de gewenste waarden van de c/d verhouding.(dikte interf./diamtr vezel ) * Doe dit door opgave van een beginwaarde(b), eindwaarde(e) en stapgrootte(s) . * Zo ook voor de gwenste volume fractie vezel in de matrix. ..................................................................... cdb = O; cde = O; cas = 1;
-b2.16-
vfls
0.2; vfe = 0.45; vfs = 0.05; =
..................................................................... * De berekening mbv de rule of mixtures kan geschieden op twee manieren. * Eerst een iso-stress berekening gevolgd door een iso-strain of omgekeerd. * Vezel/interface : isostress-isostrain (r = 1) of isostrain-isostress (r =2) * Vezel +int./matrix : isostress-isostrain (q= 1) of isostrain-isostress (q=2) ..................................................................... r = 1; q = 1;
..................................................................... INVOER4.M
..................................................................... * Invoer-file voor het berekenen van de transversale modulus * van een composiet, met een diamond vezelrangschikking. * Geef de waarde van de elasticiteitsmodulus van resp. het matrixmateriaal, * het vezelmateriaal in GPa!!!!. ..................................................................... em = 1; ef = 120;
..................................................................... * Geef de gewenste waarden van de lengte-diameter verhouding. nb: men kan hier * een kolom opgeven met beginwaarde, stapgrootte en eindwaarde. vb. 1:l:lOO
.....................................................................
Id = 1:l:lOO;
..................................................................... * Geef de gewenste waarden van de volumefracties vezel in matrix * Doe dit door opgave van een beginwaarde(b), eindwaarde(e) en stapgrootte(s) . ..................................................................... vfb
= 0.2; vfe = 0.45; vfs = 0.05;
.....................................................................
