Respons van een voertuig bij passage over een verkeersdrempel G. Lombaert en G. Degrande. Departement Burgerlijke Bouwkunde, K.U.Leuven, Kasteelpark Arenberg 40, B-3001 Leuven
1
Formulering van het probleem
In het volgende bepalen we de respons van een voertuig bij de passage over een verkeersdrempel. Het doel hierbij is na te gaan hoe de maximale versnelling, die een maat is voor het (dis-)comfort van de bestuurder, varieert in functie van de voertuigsnelheid. Het lengteprofiel van de verkeersdrempel uw/r (y) kan als functie van de co¨ordinaat y langsheen de weg worden geschreven als: 0 h
uw/r (y) = H2
1 − cos
0
2πy L
i
y<0 0≤y≤L
(1)
L
waarbij H de hoogte is van de drempel, en L de lengte. Om de respons van het voertuig te bepalen, vereenvoudigen we het voertuig tot een massa m die door een veer met veerconstante k verbonden is aan de weg. De massa stelt hierbij het chassis van het voertuig voor, de veer staat voor de soepele ondersteuning van het chassis door de ophanging van het voertuig en de banden. De beweging van de massa wordt bepaald door de wet van Newton die stelt dat de som van de krachten Fi die inwerken op de massa gelijk is aan het product van de massa en de versnelling van de massa:
X
Fi = m
d2 u dt2
(2)
waarbij u(t) de verplaatsing van de massa is. De enige kracht F (t) die op het voertuig inwerkt is in dit geval de kracht in de veer. De kracht F (t) wordt bepaald door de verplaatsing u(t) van de massa en de langsvlakheid uw/r (y) op de positie y = vt: Preprint submitted to -
28 april 2009
F = −k(u − uw/r (vt))
(3)
Invullen van de kracht (3) in de bewegingsvergelijking (2) leidt tot de volgende tweede-orde differentiaalvergelijking voor de verplaatsing u(t):
−k u − uw/r (vt) = m
d2 u dt2
(4)
Deze wordt als volgt herschreven:
m
d2 u + ku = kuw/r (vt) dt2
(5)
Met de uitdrukking (1) kan deze vergelijking verder uitgewerkt worden:
0
t<0 h i d2 u 2πvt H m 2 + ku = k 2 1 − cos L 0≤t≤ dt L 0
L v
(6)
In het volgende wordt de vergelijking opgelost voor 0 ≤ t ≤ L/v, waarbij uitgegaan wordt van de volgende beginvoorwaarden in rust voor de verplaatsing en de snelheid van de massa op het tijdstip t = 0:
u|t=0 = 0 du |t=0 = 0 dt
(7) (8)
De oplossing u(t) voor 0 ≤ t ≤ L/v geeft de beweging weer van het voertuig tijdens de passage over de drempel. De beweging van het voertuig na het verlaten van de drempel voor t > L/v wordt hier dus niet beschouwd.
2
Oplossing van de bewegingsvergelijking
De oplossing u(t) van de tweede-orde differentiaalvergelijking wordt bekomen als de som van een particuliere oplossing up (t) en een homogene oplossing uh (t). 2
De particuliere oplossing up (t) De particuliere oplossing up (t) voor 0 ≤ t ≤ gezocht:
L v
wordt onder de volgende vorm
up = A cos(ωt) + B
(9)
waarbij A, B en ω te bepalen zijn door deze oplossing in te vullen in de vergelijking (6): h
i
m −Aω 2 cos(ωt) + k [A cos(ωt) + B] = k
H 2πvt 1 − cos 2 L
(10)
Hieruit volgt dat de voorgestelde particuliere oplossing inderdaad voldoet indien ω, A en B als volgt worden gekozen: 2πv H H ω= , B = , A = L 2 2
−k −mω 2 + k
!
(11)
Wanneer deze waarden ingevuld worden in de uitdrukking (9) wordt de particuliere oplossing:
up =
1 H 1 − 2 cos(ωt) ω 2 1 − ω0
(12)
q
k waarbij ω0 = m . Uit wat volgt zal blijken dat ω0 de resonantiefrequentie of natuurlijke frequentie van het systeem is. De periode T0 van de vrije trilling wordt hieruit gevonden als T0 = 2π/ω0 .
Homogene oplossing De homogene oplossing wordt gevonden op basis van de oplossing voor de vrije trilling, d.w.z. wanneer de bewegingsvergelijking (6) wordt beschouwd in afwezigheid van een belastingsterm in het rechterlid:
m
d2 u + ku = 0 dt2
(13)
Voor deze vergelijking kan de volgende homogene oplossing worden geformuleerd: 3
uh = A cos(ω0 t) + B sin(ω0 t)
(14)
Het invullen van de oplossing (14) in vergelijking (13) toont aan dat deze voldoet. De frequentie ω0 is de frequentie waarop een vrije trilling plaatsvindt, d.w.z. in afwezigheid van een uitwendige belasting, en wordt daarom de natuurlijke frequentie genoemd. De co¨effici¨enten A en B worden bepaald op basis van de beginvoorwaarden van het systeem in vergelijkingen (7) en (8). Deze zijn van toepassing op de totale oplossing u(t) = up (t) + uh (t), die bekomen wordt door de superpositie van de uitdrukkingen (12) en (14):
u=
H 1 1 − 2 cos(ωt) + A cos(ω0 t) + B sin(ω0 t) 2 1 − ωω0
(15)
De verplaatsing en de snelheid op het tijdstip t = 0 worden hiermee berekend als volgt:
2
ω H − ω0 u|t=0 = 2 + A 2 1− ω
(16)
ω0
du |t=0 = ω0 B dt
(17)
De co¨effici¨enten A en B volgen uit het gelijkstellen van de bovenstaande uitdrukkingen en de beginvoorwaarden (7) en (8):
A=
ω ω0
2
H , B = 0 2 1− ω 2 ω0
(18)
Hiermee wordt de volgende uitdrukking gevonden voor de totale oplossing:
u=
3
ω ω0
2
1 H 1− 2 cos(ωt) + 2 cos(ω0 t) 2 1 − ωω0 1 − ωω0
(19)
Evaluatie van het ongemak bij passage over de drempel
Voor de bepaling van het ongemak van de bestuurder bij de passage van het voertuig over de verkeersdrempel wordt de voertuigversnelling ge¨evalueerd. 4
Hiertoe wordt de tweede afgeleide bepaald van de verplaatsing u(t) van de massa in vergelijking (19):
d2 u H ω2 = 2 [cos(ωt) − cos(ω0 t)] 2 ω dt 2 1− ω0
(20)
In het volgende wordt het maximum van de absolute waarde van de maximale versnelling in het tijdsinterval 0 ≤ t ≤ L/v beschouwd als maat voor het discomfort van de bestuurder bij de passage over de drempel: d2 u aMAX = max 2 0≤t≤L/v dt
(21)
In het Koninklijk Besluit van 31 mei 2002 wordt aangegeven dat het lengteprofiel van de verkeersdrempel zo is gekozen dat het ongemak toeneemt met stijgende snelheid bij het overrijden, en dat de toename van de verticale versnelling (bij stijgende snelheid) maximaal is voor een snelheid dichtbij 30 km per uur. Hiertoe wordt door het Koninklijk Besluit een lengte L van 4.80 m en een hoogte H van maximaal 0.12 m voorgeschreven voor de drempels. Dit wordt nu geverifieerd aan de hand van vergelijking (20), waarmee de maximale versnelling aMAX van het voertuig zal worden berekend in functie van de voertuigsnelheid. Uit de bovenstaande uitdrukking (20) volgt dat de versnelling lineair evenredig is met de hoogte H. In het volgende wordt daarom gerekend met een eenheidshoogte H = 1 m, resultaten voor andere hoogtes worden bekomen door een scalering van de resultaten. De lengte L van de verkeersdrempel bepaalt de parameter ω = 2πv/L in vergelijking (20). Voor de lengte L wordt de voorgeschreven waarde van 4.80 m overgenomen uit het Koninklijk Besluit, hiermee wordt de overeenstemmende waarde 2πv/L van de parameter ω berekend voor verschillende voertuigsnelheden v. Voor de natuurlijke frequentie ω0 wordt uitgegaan van een frequentie van 2 tot 3 Hz die voor veel voertuigen de frequentie is waarop de typische schommelbeweging optreedt die ervaren wordt na het op- of afrijden van een verkeersplateau. Met een gemiddelde waarde van 2.5 Hz wordt ω0 = 2π × 2.5 rad/s. Figuur 1 toont de maximale versneling aMAX in functie van de voertuigsnelheid. Op deze figuur is duidelijk te zien hoe de maximale versnelling toeneemt met de voertuigsnelheid. De toename van de verticale versnelling is sterk voor snelheden tot 30 km/u, en wordt beduidend minder groot wanneer de snelheid groter wordt dan 45 km/u. Dit wordt ook bevestigd door figuur 1b, waarin de afgeleide van de maximale versnelling aMAX naar de voertuigsnelheid wordt getoond. De afgeleide is positief en des te groter wanneer een toename van 5
20 daMAX/dv [1/s]
a
MAX
2
[m/s ]
400 300 200 100 0 0
10 0 −10 0
15 30 45 Snelheid v [km/u]
(a)
15 30 45 Snelheid v [km/u]
(b)
Figuur 1. Evaluatie van het discomfort van de bestuurder: (a) maximale versnelling aMAX in functie van de voertuigsnelheid v en (b) toename ∂aMAX /∂v van de maximale versnelling met de voertuigsnelheid v.
de voertuigsnelheid een grotere maximale versnelling tot gevolg heeft. In deze figuur is duidelijk te zien dat de toename inderdaad beduidend groter is voor snelheden nabij 30 km/u, zoals in het Koninklijk Besluit wordt aangegeven.
6
