RENCANA PEMBELAJARAN 1. POKOK BAHASAN : KINEMATIKA
A. Sistem koordinat (SK) Secara umum, sistem koordinat merupakan cara menyatakan posisi dalam ruang, dinyatakan dalam variabel ruang. Dalam ruang D-2, dikenal dua sistem koordinat, yaitu SK kartesis dengan variabel ruang x dan y, dan SK kutub atau polar dengan variabel ruang r dan
seperti ditunjukkan oleh
gambar 1.1
Pada gambar 1.1 ditunjukkan koordinat titik P adalah (x,y) dalam SK kartesis dan (r, ) dalam SK polar. Adapun sumbu-sumbu X-Y yang berpotongan di titik asal (origin) O, disebut kerangka acuan (KA). Antara koordinat dalam SK kartesis dan dalam SK polar terdapat hubungan:
atau
Dalam ruang D-3 ada 3 jenis SK yang banyak dikenal / digunakan, yakni SK kartesis, SK silinder dan SK bola, masing-masing, secara berurutan, dengan variabel-variabel ruang (x,y, dan z), (, , dan z) dan (r, , dan ), seperti ditunjukkan oleh gambar 1.2.
Universitas Gadjah Mada
1
Antara variabel-variabel ruang dalam SK yang berbeda terdapat hubungan-hubungan sbb: SK katesis ~ SK silinder
SK kartesis ~ SK bola
SK silinder ~ SK bola Sebagai soal latihan mahasiswa. Contoh 1.1 Koordinat titiK P dalam SK kartesis diberikan sebagai P(1,2,3). Jika koordinat titik P tersebut, dinyatakan dalam SK silinder, hitung dulu (pers (3.a,b,c))
Jadi koordinat titik tsb dalam SK silinder adalah
(√
)
Universitas Gadjah Mada
2
B. Vektor posisi dan vektor satuan. Vektor posisi suatu titik dalam ruang, adalah vektor yang menyatakan posisi titik tersebut terhadap KA yang sudali ditentukan (tertentu), yaitu vektor dari titik asal koordinat ke posisi titik yang ditinjau, ( ⃗), seperti ditunjukkan pada gambar 1.2 (a) dan 1.2 (b) yang menyatakan vektor posisi titik P. Penyajian vektor posisi dalam komponen-komponen variabel ruang sesuai dengan SK yang digunakan, adalah sbb:
Catatan : vektor satuan angular di titik asal tak terdefinisi.
Koordinat suatu titik dalam SK kartesis juga menunjukkan komponen-komponen vector posisi pada arah variabel-variabel ruangnya : X,Y,Z.
Contoh 1.2. Dari contoh 1.1, P(1,2,3), diperoleh vektor posisi titik P sebagai
Jika vektor posisi ini dinyatakan dalam SK Silinder adalah (ingat variabel sudut di titik asal arahnya tak terdefinisi)
C. Vektor satuan ruang. Yang dimaksud dengan vektor satuan ruang, adalah vektor satuan pada arah-arah membesarnya variabel ruang. Tentu saja hal ini tergantung pada SK yang digunakan. Dalam SK kartesis, baik ruang D-2 maupun D-3, vektor satuannya : ̂ ̂
̂, ̂
̂, dan
̂ bersifat konstan (arahnya tetap) di setiap titik dalam ruang. Sekarang tinjau
vektor satuan dalam SK polar (ruang D-2): ̂ dan ̂ . Seperti ditunjukkan pada gambar 1.3, ̂ dan ̂
arahnya bisa berbeda-beda (berubah) dalam ruang, tergantung pada
Universitas Gadjah Mada
3
variabel (
dan ̂ dan ̂ di titik-titik A dan B sama, dan berbeda (arah) dengan di titik C ).
Sedangkan, sekali lagi, ̂ dan ̂ di setiap titik sama / tetap arahnya. Antara vector-vektor satuan dalam SK yang berbeda, di suatu titik, ada saling kaitannya [( ,̂ ̂) dengan ( ̂ , ̂ ) misalnya], yang tergantung pada variabel sudut. Seperti pada ruang D-2, antara SK kartesis dan SK polar, terdapat kaitan
Matriks (
) disebut matriks transformasi vektor satuan dari SK kartesis ke SK
polar. Persamaan (1.10a) dan (1.10b) mudah diketahui dengan memperhatikan gambar 1.4.
Contoh 1.3. Benda pada posisi ⃗
̂
̂ bergerak dengan kecepatan ⃗
̂
̂.
Nyatakanlah kecepatan benda tersebut dalam komponen-komponen SK polar! Jawab: Posisi benda pada sudut polar
( )
( )
. Universitas Gadjah Mada
4
Persamaan matriks (1.11) dapat ditulis persamaan baliknya
atau
Substitusikan dua persamaan terakhir pada vektor ⃗, diperoleh
Catatan : Untuk Iebih jelas dan yakinnya bisa dibantu dengan gambar!
Vektor - vektor satuan dalam ruang D-3 dan persamaan-persamaan transformasinya (analog, dengan cara sama seperti ruang D-2) diberikan secara ringkas sebagai berikut! SK silinder
Universitas Gadjah Mada
5
SK bola
Universitas Gadjah Mada
6
