Sistem Bilangan Arsitektur Komputer I Agus Aan Jiwa Permana, S.Kom, M.Cs
Site’s : agus agus--aan aan..web web..ugm ugm..ac ac..id agus--aan@mail
[email protected] ugm..ac ac..id1 E-mail : agus
[email protected] studywithaan@gmail
Pokok – Pokok Bahasan :
Bilangan Desimal. Bilangan Biner. Bilangan Oktal. Bilangan Heksadesimal Bilangan BCD. Bilangan biner bertanda dan tak bertanda. Komplemen. Aritmatika Biner. Aritmatika Heksadesimal
Sistem Bilangan • Definisi : Sistem bilangan (number system) adalah suatu cara untuk mewakili besaran dari suatu item fisik. • Sistem Bilangan menggunakan suatu bilangan dasar atau basis (base / radix) yang tertentu. • Terdapat 4 Jenis Sistem Bilangan yang dikenal yaitu : Desimal (Basis 10), Biner (Basis 2), Oktal (Basis 8) dan Hexadesimal (Basis 16).
Bilangan Desimal • Sering disebut sebagai sistem “denary”. • Sistem bilangan yang paling umum digunakan dalam kehidupan sehari-hari. • menggunakan 10 macam simbol bilangan yaitu : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 dan 9. • Sistem bilangan desimal dapat berupa integer desimal (decimal integer) dan dapat juga berupa pecahan desimal (decimal fraction). • Sistem bilangan terdiri dari 10 digit.
Bilangan Desimal (Cont.) • Bentuk perpangkatan bilangan desimal : 100 = 1 (Satuan) 101 =10 (Puluhan) 102 =100 (Ratusan) dst . . . . Note : Hal ini menunjukan nilai pada setiap eksponen dengan basis 10. Penulisannya : 357des = 357(10) = 357D
Bilangan Desimal (Cont.) • Operasi bilangan desimal adalah seperti berikut : Integer Desimal : (Bilangan bulat 8598).
Sama Artinya :
Absolut value adalah Nilai Mutlak dari masing-masing digit bilangan. Sedangkan Position Value adalah Nilai Penimbang atau bobot dari masing-masing digit bilangan tergantung dari letak posisinya yaitu bernilai basis di pangkatkan dengan urutan posisinya (dari kanan ke kiri).
Bilangan Desimal (Cont.) • Operasi bilangan desimal adalah seperti berikut : Desimal Fraction : (Bilangan bulat 183,75).
Nilai desimal yang mengandung nilai pecahan dibelakang koma.
Bilangan Biner • Biner (Basis 2) adalah Sistem Bilangan yang terdiri dari 2 simbol yaitu 0 dan 1. • Sistem ini paling sering digunakan untuk merepresentasikan kuantitas dan mewakili keadaaan dalam sistem digital maupun sistem komputer. • Digit bilangan biner disebut binary digit atau “bit”. • Dipopulerkan oleh John Von Neumann. • (4 bit = nibble), (8 bit = byte)
Bilangan Biner (Cont.) • Sejumlah bit yang dapat diproses komputer untuk mewakili suatu karakter, dapat berupa : huruf, angka, atau lambang khusus. disebut “word”. • Sebuah komputer dapat memproses satu word data yang terdiri dari 4 sampai 64 bit. • Sistem bilangan biner, menunjukan eksponen dengan basis 2 yaitu : 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, dst . . . • Bit paling kiri bertindak sebagai bit paling berarti Most Significant Bit (MSB), sedangkan bit paling kanan bertindak sebagai bit paling tidak berarti Least Significant Bit (LSB).
Bilangan Biner (Cont.) • Sistem bilangan biner modern ditemukan oleh Gottfried Wilhelm Leibniz pada abad ke-17. • Pengelompokan biner dalam komputer selalu berjumlah 8 bit(Byte). • Penulisannya : 100(2) atau 100bin atau 100B • Kode-kode rancang bangun komputer, seperti ASCII (American Standard Code for Information Interchange) menggunakan sistem pengkodean 1 Byte.
Konversi Bilangan Desimal Menjadi Biner. Misalkan cara mencari bilangan desimal 10, jika diubah menjadi biner maka Langkahnya : 10:2 5:2 2:2 1:2
= 5 Sisa (0), = 2 Sisa (1), = 1 Sisa (0), = 0 Sisa (1).
sisa hasil bagi dibaca dari bawah ke atas, sehingga menjadi 1010
Operasi Bilangan Biner
• Adapun operasi” dalam bilangan biner adalah sebagai berikut : Operasi Penjumlahan (+) Operasi Pengurangan (-) Operasi Perkalian (*) Operasi Pembagian (/)
Operasi Bilangan Biner (Cont.) • Operasi Penjumlahan : • Ketentuannya : 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1 + 1 = 0 dengan carry of 1 • 1 + 1 = 2, maka harus dikurangi dengan nilai basis yaitu 2 sehingga 2 – 2 = 0
Operasi Bilangan Biner (Cont.) • Contoh penjumlahan :
1111 10100 + 100011
• Keterangan : 1+0=1 1+0=1 1 + 1 = 0 (Carry of 1) 1 + 0 + 1 = 0 (Carry of 1) 1 + 1 = 0 (Carry of 1) Note : Carry of 1, letakan di bagian depan.
Operasi Bilangan Biner (Cont.) • Operasi pengurangan : • Ketentuannya : 0-0=0 1-0=1 1-1=0 0 – 1 = 1 dengan borrow of 1, (Pinjam 1 dari posisi sebelah kirinya).
Operasi Bilangan Biner (Cont.) • Contoh pengurangan :
11101 1011 10010
• Keterangan : 1-1 =0 0 - 1 = 1 (Borrow of 1) 0-0 =0 1-1 =0 1-0 =1 Note : Baca nilainya dari bawah ke atas.
Operasi Bilangan Biner (Cont.) • Operasi perkalian : • Ketentuannya : 0*0=0 1*0=0 1*1=1 0*1=0
Contoh Perkalian Biner :
Operasi Bilangan Biner (Cont.) • Operasi pembagian : • Pembagian biner 0 tidak mempunyai arti, sehingga ketentuan pembagian biner adalah : 0/1=0 1/1=1
Contoh Pembagian Biner :
Bilangan Oktal (Octal) • Oktal (Basis 8) adalah Sistem Bilangan yang terdiri dari 8 Simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. • Position value system bilangan oktal adalah perpangkatan dari nilai 8, seperti tabel di bawah : • Contoh :
Bilangan Oktal (Octal)-Cont. • Penulisannya bilangan oktal adalah : 1161okt = 1161(8) = 1161o • Operasi Bilangan Oktal : Adapun operasi pd bil. oktal adalah : Op. penjumlahan Op. pengurangan Op. perkalian Op. pembagian
Bilangan Oktal (Octal)-Cont. Operasi Penjumlahan : • Langkah” penjumlahan oktal, sbb : » Tambahkan masing-masing kolom secara desimal » Rubahlah dari hasil desimal ke octal » Tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil octal » Jika hasil penjumlahan tiap-tiap kolom terdiri dari dua digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk penjumlahan kolom selanjutnya.
Bilangan Oktal (Octal)-Cont. • Operasi Penjumlahan (Cont.) : Contoh :
Bilangan Oktal (Octal)-Cont. Soal : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
177 + 52 75 + 125 345 + 121 063 + 456 76 + 023 57 + 26 1413 + 572 1543 + 671 01 + 67 057 + 100
= = = = = = = = = =
251 222 466 541 121 105 2205 2434 70 157
Bilangan Oktal (Octal)-Cont. Operasi Pengurangan : • Pengurangan Oktal dapat dilakukan sama seperti pada pengurangan bilangan desimal. • Contoh :
Bilangan Oktal (Octal)-Cont. Soal : 1. 2. 3. 4. 5.
145 – 27 23 – 5 137 – 44 125 – 20 56 – 7
= = = = =
116 16 73 105 47
Bilangan Oktal (Octal)-Cont. Operasi Perkalian : • Langkah” perkalian oktal, sbb : Kalikan masing-masing kolom secara desimal Rubah dari hasil desimal ke oktal Tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil oktal Jika hasil perkalian tiap kolom terdiri dari 2 digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk ditambahkan pada hasil perkalian kolom selanjutnya.
Bilangan Oktal (Octal)-Cont.
Langkah 1.
Operasi Perkalian (Cont.) • Contoh perkalian bil. Oktal (16 x 14) :
Langkah 3. Langkah 2.
Bilangan Oktal (Octal)-Cont. Soal : 1. 212 x 436 2. 720 x 067 3. 555 x 666 4. 375 x 4453 5. 2256 x 544 6. 655 x 546 7. 377 x 355 8. 45 x 765 x 21 9. 23 x 7675747 10. 56 x 456 x 4
= = = = = = = = = =
115054 61660 470176 2207577 1500770 453756 166023 1147371 225431045 154420
Bilangan Oktal (Octal)-Cont. Operasi Pembagian • Contoh pembagian bil. Oktal (310 : 62)
410 x 610 = 2410 = 308 110 x 610 + 310 = 910= 118 Hasil = 1108
Operasi Pembagian (Cara Lain) • Gunakan pengurangan berulang dengan pembaginya. Kemudian hasil pengurangan dikurangi lagi dengan pembagi. Ex : (310/6 2) Jumlah operasi pengurangan adalah 4, berarti hasil pembagiannya adalah 4.
Bilangan Hexadesimal • Sistem bilangan heksadesimal merupakan sistem bilangan basis enam belas. • Meskipun pada sistem digital dan komputer operasi secara fisik dikerjakan secara biner, namun untuk representasi data banyak digunakan format bilangan heksadesimal karena format ini lebih praktis, mudah dibaca dan mempunyai kemungkinan timbul kesalahan lebih kecil.
Bilangan Hexadesimal • Penerapan format heksadesimal banyak digunakan pada penyajian lokasi memori, penyajian isi memori, kode instruksi dan kode yang merepresentasikan alfanumerik dan karakter nonnumerik • Pada sistem ini, terdapat 16 lambang yaitu : 0, 1, 2, 3, . . . . . . ,9, A, B, C, D, E, F • Dimana : A = 10, B = 11, C = 12, D = 13 , E = 14 dan F = 15
Bilangan Hexadesimal • Representasi suatu bilangan heksadesimal bulat adalah sebagai berikut : (hm-1 … hi …h2 h1 h0) dengan hi ϵ H • Sehingga suatu bilangan heksadesimal m digit akan mempunyai nilai :
Bilangan Hexadesimal • Untuk bilangan heksadesimal pecahan, representasi nilainya menjadi sebagai berikut : (hm-1 … hi …h2 h1 h0 , h-1 ... hn) dengan hi ϵ H • Sehingga suatu bilangan heksadesimal pecahan akan mempunyai nilai :
• Cara penulisannya : 271heks = 271(16) = 271H
Bilangan Hexadesimal • Position Value system bilangan hexadesimal adalah perpangkatan dari nilai 16.
Bilangan Hexadesimal Operasi Aritmetika Bilangan Hexadesimal : » Operasi Penjumlahan (+) » Operasi Pengurangan (-) » Operasi Perkalian (*) » Operasi Pembagian (/)
Bilangan Hexadesimal Operasi Penjumlahan (+) • Ketentuannya : o Tambahkan masing-masing kolom secara desimal o Rubah dari hasil desimal ke hexadesimal o Tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil hexadesimal o Kalau hasil penjumlahan tiap-tiap kolom terdiri dari dua digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk penjumlahan kolom selanjutnya.
Bilangan Hexadesimal Contoh : BAD(16) + 431(16)
Bilangan Hexadesimal Operasi Pengurangan (-) • Pengurangan Hexadecimal dapat dilakukan secara sama dengan pengurangan bilangan desimal • Contoh : 12E1 – 627 = . . . . . ?
Bilangan Hexadesimal Langkah-langkah Operasi Pengurangan (-)
Bilangan Hexadesimal Operasi Perkalian (*) • Kalikan masing-masing kolom secara desimal • Rubah dari hasil desimal ke Hexadesimal • Tuliskan hasil dari digit paling kanan dari hasil Hexadesimal • kalau hasil perkalian tiap kolom terdiri dari 2 digit, maka digit paling kiri merupakan carry of untuk ditambahkan pada hasil perkalian kolom selanjutnya
Bilangan Hexadesimal Operasi Perkalian (*) : AC * 1B = . . . . . ? Langkah 1
Bilangan Hexadesimal Operasi Perkalian (*) : AC * 1B = . . . . . ? Langkah 2
Bilangan Hexadesimal Operasi Perkalian (*) : AC * 1B = . . . . . ? Langkah 3
Binary Coded Decimal • Sistem bilangan BCD hampir sama dengan sistem bilangan biner. • Pada sistem bilangan ini, setiap satu digit desimal diwakili secara tersendiri ke dalam bit-bit biner. • Karena pada sistem bilangan desimal terdapat 10 digit, maka dibutuhkan 4 bit biner untuk mewakili setiap digit desimal. • Setiap digit desimal dikodekan ke sistem bilangan biner tak bertanda.
Binary Coded Decimal Contoh : • BCD untuk 4 adalah
: 0100
• BCD untuk 18 adalah : 0001 1000 • BCD untuk 625 adalah : 0110 0010 0101
Tabel Konversi :
Tabel Konversi :
Biner Bertanda & Tak Bertanda • Terdapat dua sistem bilangan biner, yaitu bilangan biner tak bertanda dan bilangan biner bertanda. • Pada sistem bilangan biner tak bertanda (unsign bit), hanya dikenal bilangan biner positif dan tidak diijinkan adanya bilangan biner negatif. • Di sini semua bit digunakan untuk merepresentasikan suatu nilai
Biner Bertanda & Tak Bertanda • Pada bilangan biner bertanda (sign bit) . • Untuk tanda positif, diwakili oleh “0” • Untuk tanda negatif, diwakili oleh “1” • Dalam membedakan nilai positif dan negatif, tanda (+) atau (-) dituliskan di sebelah kiri bilangan desimal.
Biner Bertanda & Tak Bertanda • Pada bilangan biner tak bertanda di atas, nilai bilangan dihitung dari A3 … A0. • Sehingga, 1100bin = 1 X 23 + 1 X 22 + 0 X 21 + 0 X 20 = 12 des • Pada bilangan biner bertanda, bit paling kiri menyatakan tanda, sehingga nilai bilangan dihitung dari A2 ... A0. • Sehingga 1100bin = - (1 X 22 + 0 X 21 + 0 X 20) = - 4des
Biner Bertanda & Tak Bertanda • Secara umum, bilangan biner tak bertanda yang terdiri dari n-bit memiliki nilai maksimum M. M = 2n – 1 • Pada bilangan biner bertanda yang terdiri dari nbit memiliki nilai maksimum M. M = 2(n-1) – 1 • Sehingga untuk register 8-bit dalam sebuah microprocessor yang menggunakan sistem bilangan bertanda, nilai mak = 12710 Mempunyai jangkauan : - 12710 Sampai +12710
Biner Bertanda & Tak Bertanda • • • • • • •
0110 0111 1101 0101 1001 0001 0111 1111 1111 1111 1000 0000 0000 0000
= + 10310 = - 8510 = - 1710 = + 12710 = - 12710 = - 010 = + 010
Komplemen Satu & Dua • Terdapat dua cara untuk mengubah suatu bilangan positif ke bilangan negatif, yaitu menggunakan sistem bilangan biner komplemen satu dan sistem bilangan biner komplemen dua. • Komplemen satu : merupakan cara yang paling mudah ditempuh. Dengan cara ini, cukup dilakukan dengan mengubah bit 0 ke 1 dan bit 1 ke 0 pada setiap bit suatu bilangan biner
Komplemen Satu & Dua • Sebagai contoh, 101101 merupakan bilangan biner dengan nilai (45). • Maka komplemen satu 45 = [0]10010 (+45) • Caranya :
Komplemen Satu & Dua • Pada sistem bilangan komplemen dua, dilakukan dengan mengubah bit 0 ke 1 dan bit 1 ke 0 pada setiap bit suatu bilangan biner, kemudian menambahkannya dengan satu. Dengan kata lain, bilangan biner komplemen dua didapatkan dari bilangan biner komplemen satu ditambah satu. • Komp. Dua = Komp. Satu + 1
Komplemen Satu & Dua Contoh : • 5410 = 0011 01102 • Komplemen satu = [1]100 1001 1+ ----------------• Komplemen dua = [1]100 1010 ( - 54)
