remweg van een fiets

NAAM:

SaLVO!

KLAS:

Verbanden beschrijven

remweg van een fiets 10

remweg (m)

12

8 6 4 2 0 0

10

20

30

snelheid (km/h)

s rem =c v b2

NATUURKUNDE KLAS 4 VWO

SaLVO! Dit lesmateriaal is een onderdeel van het samenwerkingsproject SaLVO! dat als doel heeft om meer samenhangend onderwijs te ontwikkelen in de bètavakken. Overzicht projectmateriaal

De leerlijn SaLVO! rond verhoudingen, verbanden, formules en grafieken is opgebouwd uit een aantal delen bij verschillende vakken: biologie = B, economie = E, informatiekunde = I, natuurkunde = N, scheikunde = S en wiskunde = W. deel

titel

vak(ken)

leerjaar

1

Verhoudingen en evenredigheden

W

2 HV

2

Een verband tussen massa en volume

N

2 HV

3

Vergroten en verkleinen

N, W

2HV

4

Omgekeerd evenredig verband

W

2/3 HV

5

Planeten en Leven

B, N, S, W

2/3 HV

6

Economie en procenten

E, W

3 HV

7

Verhoudingen bij scheikundige reacties

S

3 HV

8

Formules en evenredigheden

N

3HV

9

Vergelijkingen in de economie

E, W

3 HV

10

Exponentiële verbanden

I, N, W

3 HV

11

Evenredigheden en machten

W

4 HV

12

Verbanden beschrijven

N

4 HV

13

Exponentiële functies

B, N, S, W

5V

14

Periodieke functies

N, W

5V

Colofon

Project

SaLVO! (Samenhangend Leren Voortgezet Onderwijs)

Auteurs Versie

Kees Hooyman, Hans van Loon, Wim Sonneveld mei 2009

M.m.v.

St. Bonifatiuscollege, Utrecht Geref. Scholengemeenschap Randstad, Rotterdam Freudenthal Inst. for Science and Mathematics Education, Univ. Utrecht

Copyright Op de onderwijsmaterialen in deze reeks rust copyright. Het materiaal mag worden gebruikt voor niet-commerciële toepassingen. Het is niet toegestaan het materiaal, of delen daarvan, zonder toestemming op een of andere wijze openbaar te maken. Voor zover wij gebruik maken van extern materiaal proberen wij toestemming te verkrijgen van eventuele rechthebbenden. Mocht u desondanks van mening zijn dat u rechten kunt laten gelden op materiaal dat in deze reeks is gebruikt dan verzoeken wij u contact met ons op te nemen: [email protected]

Voorwoord Het deel ‘Verbanden beschrijven’ is voor vierdeklas vwo leerlingen en hoort bij het vak natuurkunde. Als je eenmaal meetresultaten hebt, wil je ook weten of tussen de gemeten grootheden een bepaald verband bestaat. Je wilt immers graag voorspelingen doen over andere waarden van de grootheden of je wilt met je resultaten een beter inzicht krijgen in wat er aan de hand is, iets wat je theorievorming zou kunnen noemen. Dus is heel interessant hoe je het verband tussen twee grootheden kunt beschrijven. Hoe dat in zijn werk gaat wordt duidelijk gemaakt in dit deel. Allereerst wordt het herkennen van een verband uit een grafiek behandeld. Vervolgens leer je met een aantal methoden hoe je verbanden met een formule kunt beschrijven, o.a. met behulp van de TI-83, een grafische rekenmachine.

Inhoudsopgave 1 Inleiding ............................................................................. 5 2 Verbanden beschrijven en herkennen ................................. 8 3 Verbanden bepalen met de TI-83........................................14 Intermezzo: MachtFit ...........................................................18 Hoe nauwkeurig is het resultaat? ......................................... 23 Bijlage A: Stappenplan verbanden bepalen........................... 24 Bijlage B: Verbanden bepalen met de TI-83 .......................... 25 Overzicht standaard verbanden ........................................... 28

SaLVO! deel 12 Verbanden beschrijven (vwo)

3


4

1. Inleiding Je doet bij natuurkunde een onderzoek. Als je dan meetresultaten hebt, wil je ook weten of tussen de gemeten grootheden een bepaald verband bestaat. Je wilt immers graag voorspellingen doen over andere waarden van de grootheden of je wilt met je resultaten een beter inzicht krijgen in wat er aan de hand is, iets wat je theorievorming zou kunnen noemen. Het herkennen en beschrijven van verbanden komt in dit werkboek ter sprake.

Paragraafvraag

Hoe vind je het verband tussen twee grootheden?

Instap

Remweg van een fiets Johan en Irene hebben de remmen van hun fiets getest. Dat hebben ze gedaan door bij verschillende snelheden de remweg van de fiets te meten. In de tabel zie je de resultaten van hun metingen. De meetpunten zijn ook getekend in de grafiek ernaast. remweg

snelheid vb (km/h)

remweg srem (m)

10

1,3

15

3,0

20

5,1

25

8,1

srem (m) 10 8 6 4 2

0

5

10

15

20

25

30

snelheid vb (km/h)

Teken de grafiek hierboven. Waarom moet de grafiek door de oorsprong?

Johan en Irene hadden van tevoren verwacht dat de remweg evenredig zou zijn met de snelheid, maar nu ze de grafiek getekend hebben trekken ze de conclusie dat hun idee niet klopt. Welke vorm zou de grafiek gekregen hebben als het een evenredig verband was geweest?

De buurman van Irene is politieagent. Hij beweert dat de remweg bij grote snelheden veel sterker toeneemt. “Een verdubbeling van de snelheid betekent dat de remweg vier keer zo groot wordt”. Hoe wordt zo’n verband ook wel genoemd?


5

De vorm van de grafiek bij zo’n verband heeft een wiskundige naam. Welke?

Je kunt je afvragen welke formule er bij deze metingen past. Bij wiskunde wordt de vergelijking voor een parabool met de top in de oorsprong geschreven als: waarbij a een constant getal is dat iets zegt over de vorm y =a . x2 van de parabool.

In het diagram hiernaast staat ook een aantal meetpunten. Teken de grafiek door deze meetpunten en bepaal welke constante bij deze meetpunten past.

Hoe luidt nu de formule van het verband tussen deze meetpunten?

Teken in hetzelfde diagram de grafiek van y = 0,5 x 2 Omdat in ons probleem srem langs de y-as staat, en vb langs de x-as schrijven we de formule als: waarbij c een constante is, die iets zegt over de remkracht en srem = c ⋅ vb 2 dus over de vorm van de grafiek.

remweg

srem (m)

In het voorbeeld hiernaast heeft de constante a de waarde 0,25. Controleer met een berekening dat de waarde past bij de grafiek.

10 8

De waarde van c bepaalt hoe de parabool loopt. Door voor c de juiste waarde te kiezen kunnen we de best passende parabool bij de metingen vinden.

6 4 2 0

5

10

15

20

25

Welke waarde van c geeft een goed passende parabool? Schrijf je berekening ook op.

Je hebt vast gemerkt dat het niet zo gemakkelijk is om de waarde van c nauwkeurig te bepalen. Weet je nu ook zeker dat het deze waarde de parabool oplevert die inderdaad het best bij de metingen past?

30

snelheid vb (km/h)

Je gaat nu het probleem opnieuw aanpakken met de tabelmethode, zoals beschreven op de volgende bladzijde.


6

► De tabelmethode Bij bovenstaand probleem is de tabelmethode een snelle manier om twee dingen te bepalen: • Gaat het inderdaad om een kwadratisch verband? • Hoe groot is de constante in de formule? De tabelmethode gaat als volgt: de formule van het verband wordt zo herschreven dat je er rechtstreeks de constante c mee kunt uitrekenen. Vervolgens wordt bij elke meting de waarde van de ‘constante’ berekend. In ons voorbeeld is de formule:

s rem = c ⋅ v b2

Deze kan geschreven worden als:

s rem =c v b2

s rem = c ⋅ v b2

s rem =c v b2

Dat betekent dat bij elke meting de waarde van srem/vb² ongeveer hetzelfde zou moeten zijn, als het inderdaad om een kwadratisch verband gaat. Dat kunnen we eenvoudig controleren met een tabel. De constante is dan het gemiddelde van de waarden van srem/vb²

Vul in de tabel in de laatste kolom steeds de waarde van srem/vb² in. snelheid remweg vb srem (m) (km/h) 10

1,3

15

3,0

20

5,1

25

8,1

Welke twee conclusies kunnen we nu trekken?

Welke formule beschrijft het verband tussen de remweg en de beginsnelheid?

In een brochure voor verkeersveiligheid lezen Johan en Irene dat de remmen moeten worden afgekeurd als de remweg bij een snelheid van 30 km/h groter is dan 12 m. Moeten de remmen afgekeurd worden? Geef een berekening.


7

2. Verbanden beschrijven en herkennen Instap 1

Lees de theorie in Newton Informatieboek 1 § 1.4 (3e druk) goed door, met uitzondering van de gedeelten over coördinatentransformatie (dat wordt later behandeld).

Hoe beschrijf je een verband met een formule, als machtsfunctie en in woorden? Hoe herken je een verband aan de grafiek?

Paragraafvragen

Noteer bij de verbanden in de grote tabel hieronder de algemene formule in de 2e kolom. Welke van deze verbanden zijn machtsfuncties?

Machtsfunctie Een machtsfunctie is te schrijven met een formule:

y=c⋅x

n

waarbij c een constante is en n een exponent, die positief, negatief en gebroken kan zijn. Als de exponent positief is, gaat de grafiek van het verband netjes door de oorsprong. Bij een negatief verband heb je te maken met bijv. omgekeerd evenredig of omgekeerd kwadratisch evenredig. Zie het al ingevulde voorbeeld.

Schrijf bij die verbanden de formule als een machtsfunctie in de 3e kolom, zoals je dat bij wiskunde hebt geleerd ( zie ook kader hiernaast). soort verband

formule

Recht evenredig

y=c.x

Omgekeerd evenredig

Omgekeerd kwadratisch evenredig Evenredig met de wortel

Instap 2 y 1,74 1,19 0,87 0,60 0,35

x2

Als x twee (of drie) maal zo groot wordt, dan wordt y vier (of negen) maal zo groot.

Kwadratisch evenredig

NB In de TI83 wordt y = c ⋅ x b geschreven als y = a ⋅ x

x

omschrijving in woorden

Lineair

n

1,0 1,5 2,0 3,0 5,0

geschreven als machtsfunctie

y =c ⋅

1 x2

y = c . x½

Rekenen met factoren De omschrijving in woorden is ook uit de getallen in de tabel te vinden. Dan maak je gebruik van factoren. Hiernaast staat een voorbeeld van twee grootheden die omgekeerd evenredig zijn. Je ziet: als x twee maal zo groot wordt, dan wordt y twee maal zo klein.

:2

Overigens hoort de eerste grafiek op de volgende bladzijde hierbij.

Schrijf in de grote tabel hierboven in de laatste kolom voor elk soort verband ook het verband in woorden.


8

Instap 3

Herkennen van verbanden Een rechte lijn of een parabool is duidelijk en zelfs een wortelverband kun je aan de grafiek herkennen. Bij een dalende lijn is het vaak lastiger. Aan de vorm van de grafiek kun je vaak al zien welk verband het ongeveer is. Daarbij helpen de volgende vragen: • Is de lijn krom of recht? • Is de lijn stijgend of dalend? • Gaat de lijn door de oorsprong? • Snijdt de grafiek de assen? Tip bij een dalende lijn: Een omgekeerd evenredig verband geeft een grafiek die symmetrisch is in een lijn onder 45° met de x-as. Bij een omgekeerd kwadratisch evenredig verband is de grafiek niet symmetrisch.

5

S 4 (V) 3 2 1 0 0

20

40

60

80

100

120

L (dB)

Opdracht a. Welk soort verband hoort bij welke grafiek? Noteer in elke grafiek welk soort verband het is. (dus: recht evenredig, lineair, omgekeerd evenredig, …enz.) 1 2 b. Bij elke grafiek hoort ook een formule zoals y = c ⋅ x of p = c ⋅ . Noteer V in elke grafiek de formule die bij het verband hoort. De constante hoef je niet te bepalen. c.

De formules zijn ook te schrijven als machtsfunctie zoals y = c ⋅ x2 of p=c⋅V –1. Noteer dit ook in elke grafiek die daar voor in aanmerking komt. Op de laatste bladzijde van dit deel staat een overzicht van de zes verschillende verbanden die je moet kennen.


9

140

Opgave 1

V (cm³)

m (g)

2,1

16,1

5,9

48,3

3,8

31,8

8,3

64,4

10,8

88,5

Dichtheid Van een aantal voorwerpen met verschillend volume V van een bepaald metaal heeft Jorinde de massa m gemeten. De meetresultaten staan in de tabel. De dichtheid ρ van het materiaal is hiermee te bepalen. a. Wat voor verband verwacht je om een natuurkundige reden? Leg uit.

b. Teken de grafiek. Waarom moet de lijn door de oorsprong?

c.

Noteer in woorden wat voor soort verband je denkt dat het is.

d. Welke formule beschrijft het verband?

Opgave 2 t (s)

v (km/h)

0,0

95

0,6

86

1,5

73

2,3

62

3,1

50

5,4

17

e.

Bepaal de constante c met de tabelmethode.

f.

Bepaal de eenheid van de constante c. Welke grootheid stelt de c voor?

g.

Zoek in BINAS ( tabel 8 en 9) op welk metaal Jorinde heeft onderzocht.

Afremmende auto Van een afremmende auto is op verschillende tijdstippen de snelheid gemeten. De meetresultaten staan in de tabel. a. Wat voor verband verwacht je om een natuurkundige reden? Leg uit.

b. Teken de grafiek. c. Noteer in woorden wat voor soort verband je denkt dat het is.

d. Welke algemene formule beschrijft het verband?

e.

Wat is dan de formule voor de snelheid van een afremmende auto?

f.

Bepaal de remtijd van de auto.


10

Opgave 3

v (km/h)

Snelheid Jan heeft een fietscomputer gekregen en gaat met Carla onderzoeken of deze goed werkt. Daarom gaat hij proberen tussen twee lantaarnpalen met een constante snelheid te fietsen en Carla meet dan de tijd dat hij over die afstand doet. Dat herhaalt hij bij verschillende snelheden. De lantaarnpalen staan 50 m van elkaar. De meetresultaten staan in de tabel.

v (m/s)

t (s)

6,0

29,7

13,2

14,3

17,5

10,1

22,3

7,9

28,6

6,5 Reken de snelheid om in m/s. Zet dat in de 2e kolom. b. Gebruik de methode van hoofdstuk 2 (Instap 2), rekenen met factoren, en leg daarmee uit welk verband je denkt dat het is. a.

c. Teken de grafiek. Neem de snelheid in m/s ! d. Noteer in woorden wat voor soort verband je denkt dat het is.

e.

Welke algemene formule beschrijft het verband?

f.

Bepaal de constante c met de tabelmethode.

g.

Kun je de conclusie trekken dat de fietscomputer het (bij deze test) goed doet? Leg je antwoord uit.

► Het stappenplan Uit de voorgaande aanpak is een algemene manier af te leiden om het verband tussen twee grootheden te bepalen, we noemen dit het stappenplan: 1. Teken een grafiek 2. Haal uit de vorm van de grafiek welk verband het beste past 3. Controleer de waarschijnlijke formule met de tabelmethode en bepaal de constante. Het stappenplan staat uitgebreid beschreven in de bijlage A achterin. Twee andere methoden om een verband te bepalen zijn de functiefit en de coördinatentransformatie. Deze komen later aan de orde maar zijn in de bijlage A al opgenomen. SaLVO! deel 12 Verbanden beschrijven (vwo)

11

Opgave 4

m (kg)

T (s)

0,025

0,24

0,050

0,34

0,075

0,42

0,100

0,48

Massa-veer-systeem Een gewichtje met massa m aan een veer kan op-en-neer trillen. De trillingstijd T van zo’n massa-veer-systeem is de tijd die nodig is om vanuit een van de twee uiterste standen één volledige beweging op-en-neer te maken. a. Onderzoek het verband tussen T en m volgens het stappenplan: 1 Teken de grafiek. 2 Noteer in woorden wat voor soort verband je hebt gevonden.

3 Bepaal met de tabelmethode de formule die het verband beschrijft.

Volgens de theorie wordt de trillingstijd T van dit massa-veer-systeem gegeven door de formule: T = 1,6 ⋅ m , met T is de trillingstijd (in s), m de massa (in kg). b. Klopt deze formule met het soort verband dat je in a2 gevonden hebt?

c.

Opgave 5

r r

r bron r

bron en verspreiding versprstraling

Misschien dacht je in eerste instantie dat het verband lineair was. Welke meting zou je willen doen om dit uit te sluiten?

Geluidsintensiteit Bij een experiment wordt de geluidsintensiteit I gemeten (in W/m²) als functie van de afstand r tot de geluidsbron (in m). Wat is nu het best passende verband bij deze metingen? r (m)

I (W/m²)

0,50

31,8

0,80

12,4

1,10

6,6

1,40

4,1

a. Onderzoek het verband tussen I en r volgens het stappenplan. b. Geef de formule die het verband beschrijft.

c.

Maak de gevonden formule aannemelijk met behulp van de figuur hiernaast. (Tip: oppervlak bol = 4πr2).


12

Opgave 6

Het doorbuigen van een balk In de bouw wordt vaak een ijzeren balk gebruikt om bij een aanbouw het ontstane gat in de muur te overbruggen en de bovenverdieping te stutten. De balk moet dan wel stevig genoeg zijn en niet te ver doorzakken. Metingen aan de doorbuiging van een balk van 6,0 m lengte bij belasting staan in de tabel.

belasting (kg)

doorbuiging (cm)

1,0.104

0,51

4

0,98

3,0.104

1,55

5,0.104

2,53

8,0.104

4,08

2,0.10

a.

Onderzoek het verband tussen de belasting en de doorbuiging volgens het stappenplan en geef de formule die het verband beschrijft.

b. Als de norm bij een bepaald gebouw maximaal 2 mm doorbuiging is, bepaal dan de maximale belasting op deze balk.

Opgave 7

Luchtwrijving De luchtwrijvingskracht Fw,l op een voertuig wordt gemeten in een windtunnel als functie van de snelheid v. De meetwaarden staan in de tabel.

snelheid v (m/s)

Fw,l (N)

10,6

60

16,7

150

22,1

260

27,8

410

33,2

590

a.

Onderzoek het verband tussen Fw,l en v volgens het stappenplan en geef de formule die het verband beschrijft.

b. Leg uit wat er met de constante gebeurt als je de stroomlijn van het voertuig verbetert.

c.

Noem nog twee andere grootheden die mede de waarde van de constante bepalen. Geef ook aan hoe.


13

3. Verbanden bepalen met de TI-83 snelheid vb (km/h)

Op de TI-83 kun je eenvoudig en snel een verband bepalen. In Bijlage B staat stap voor stap uitgelegd hoe je dat aan kunt pakken. We nemen hier kort het voorbeeld (probleem uit Inleiding) door tot de coördinatentransformatie (die bewaren we voor later).

remweg srem (m)

10

1,3

15

3,0

20

5,1

25

8,1

Stap 1: Teken een grafiek Voer de punten in een tabel in en zet ze in een assenstelsel. Zie bijlage B.

Stap 2: Het verband zoeken m.b.v. de vorm van de grafiek Met wat voor verband hebben we hier te maken?

Stap 3: Controleer de formule en bepaal de constante 1. De tabelmethode Met de GR is het maken van een tabel relatief eenvoudig. Bedenk eerst welke uitdrukking er in de 3e kolom hoort te staan. srem = c ⋅ vb 2 y = c ⋅ x2 In dit voorbeeld geldt: of Voor de tabel wordt dat: L2 = c ⋅ L12

of

L2 L12

=c

Controleer bij het gegeven voorbeeld met L 2 = L dat de waarde van L3 3 L 12 voldoende constant is. Noteer de gemiddelde waarde van L3 .

Stel je voor dat je gekozen had voor een evenredig verband, dan zou L2 = L 3 een constante moeten opleveren. L1

Controleer dat bij dit voorbeeld L 2 = L de waarde van L3 niet constant is. 3 L1

Kijk nog even in Bijlage B hoe je nu een grafiek moet tekenen. Vul voor [ Y 1 ] de formule in die je gevonden hebt en controleer of de grafiek netjes door de punten loopt.

2. Functiefit (gebruik bijlage B) Voer een power-regressie uit. Welke waarde vind je voor a en voor b?

Als het goed is vind je dat a = 0,01360 en b = 1,98416 . De grafiek laat zien dat de formule goed bij de meetpunten past. De waarden voor a en b moeten wel afgerond worden. Het eindresultaat: srem = 0,014. vb2

Waarom moet de waarde voor b afgerond worden tot 2?


14

► Regressiemethoden met de TI-83 Bij STAT – CALC is een flink aantal regressiemethoden opgenomen, waaronder: LinReg rechte lijn y = ax + b QuadReg kwadratisch y = ax²+bx+c CubicReg 3e graads y = ax³+bx²+cx+d QuartReg 4e graads y = ax4+bx³+cx²+dx+e LnReg logaritmisch y = a + bln(x) ExpReg exponentieel y = abx PwrReg machtsfunctie y = axb Hoe weet je nu of je de juiste methode toegepast hebt? In de grafieken hiernaast zie je het resultaat van CubicReg en ExpReg. De lijn gaat vrij redelijk langs de meetpunten (bij de 3e-graadsfunctie zelfs erg goed), toch zijn beide functiefits niet geschikt in dit voorbeeld van de remweg. •

Leg uit hoe je op grond van het onderzoek zowel het resultaat van CubicReg als het resultaat van ExpReg moet afwijzen.

Oefenopgaven met de TI-83 Opgave 8

Massa-veer-systeem In opgave 4 is het verband onderzocht tussen de trillingstijd en de massa van een massa/veersysteem.

m (kg)

T (s)

0,025

0,24

0,050

0,34

tabelmethode: T =

0,075

0,42

functiefit:

0,100

0,48

a.

Herhaal het onderzoek met de TI-83. Onderzoek het verband tussen T en m volgens het stappenplan. Gebruik de tabelmethode én functiefit. Welke formule beschrijft het verband? (zie ook opg 4)

T=

b. Aan welke methode geef jij hier de voorkeur? Waarom?

Opgave 9

Geluidsintensiteit I en afstand r In opgave 5 is het verband onderzocht tussen de geluidsintensiteit I (in W/m²) en de afstand r tot de geluidsbron (in m).

r (m)

I (W/m²)

0,50

31,8

0,80

12,4

1,10

6,6

tabelmethode: I =

1,40

4,1

functiefit:

a.

Herhaal het onderzoek met de TI-83. Onderzoek het verband volgens het stappenplan. Gebruik de tabelmethode én functiefit. Welke formule beschrijft het verband? (zie ook opg 5)

I=



15

Opgave 10

Planetenbanen In tabel 31 in BINAS staan gegevens van het planetenstelsel van de zon. Voor de vier binnenste planeten van het zonnestelsel geldt dat de omlooptijd van de planeet groter wordt naarmate de planeet verder van de zon staat. afstand r tot zon (·1012 m) Mercurius 0,0579

a.

omlooptijd T (dagen) 87,97

Venus

0,1082

224,7

Aarde

0,1496

365,256

Mars

0,2278

687,0

Dit is geen standaardverband. Onderzoek het verband. Gebruik daarbij functiefit met PwrReg. Welke formule beschrijft het verband?

Volgens de theorie van Keppler geldt:

T2 = constante r3

b. Laat met de tabelmethode zien dat dat klopt. Gebruik de laatste kolom.

c.

Opgave 11

T (ºC) 10,0

h (cm) 4,0

23,0

4,5

35,0

5,8

45,0

6,6

55,0

6,9

65,0

7,8

75,0

8,2

88,0

9,2

Bepaal de gemiddelde waarde van de constante met bijbehorende eenheid: dag²/m³.

Vloeistofthermometer Bij een vloeistofthermometer neemt de vloeistofhoogte h toe als de temperatuur T stijgt. In de tabel zie je gemeten waarden van h en T. a. Laat met de meetresultaten uit de tabel zien dat het verband tussen de grootheden h en T niet recht evenredig is. (tip: rekenen met factoren)

b. Als je de grafiek tekent (met de TI83 !), hoe kun je dan zien dat de grootheden h en T niet recht evenredig zijn?

Het verband tussen de vloeistofhoogte h en de temperatuur T is wél lineair: het verband tussen deze grootheden wordt weergegeven door een rechte lijn in het diagram, maar die lijn gaat niet door de oorsprong. Voor dit lineaire verband geldt de formule: h = a ⋅ T + b In deze formule is a de steilheid van de lijn (het geeft aan hoe de vloeistofhoogte stijgt in cm/ºC, dat noemen we de gevoeligheid van de thermometer). Verder is b de afsnijding van de verticale as. c. Leg uit dat het logisch is dat het verband lineair is. Verklaar dus zowel de afsnijding (b) van de verticale as als het feit dat de gevoeligheid (a) constant is.


16

d.

Opgave 12

md (kg/min)

Tu (ºC)

3,0

71

4,5

54

6,0

46

7,5

39

9,0

35

Bepaal de waarde van de getallen a en b met functiefit LinReg op je TI83 en geef de formule die daarbij hoort.

Geiser Een geiser zorgt voor een temperatuurstijging van het water dat erdoorheen stroomt. De temperatuur Tu van het uitstromende water hangt af van de hoeveelheid water md die per minuut door de geiser stroomt: hoe meer water er doorheen stroomt, hoe lager de temperatuur ervan is. Bij onderstaande metingen is de temperatuur Ti van het instromende water 17 °C. ∆T = Tu - Ti (ºC)

a.

Een eerste vermoeden is dat er een omgekeerd evenredig verband tussen Tu en md bestaat. Laat m.b.v. rekenen met factoren zien dat tussen Tu en md géén omgekeerd evenredig verband bestaat.

b. Uit de metingen is de temperatuurstijging ∆T van het water te berekenen: ∆T = Tu - Ti. Waarom is het zinvol om naar de temperatuurstijging te kijken?

c.

Bereken voor elke meting de waarde van de temperatuursstijging ∆T en zet die in de 3e kolom. d. Teken de grafiek van ∆T tegen md. e. Bepaal het verband tussen de grootheden ∆T en md met de tabelmethode. Gebruik daarvoor ook de 4e kolom hierboven.

f.

Bepaal het verband tussen de grootheden ∆T en md met functiefit PwrReg.

g.

Bepaal de temperatuur Tu van het uitstromende water als er 5,0 kg water per minuut door de geiser stroomt.

h. Doe hetzelfde bij een doorstroming van 12 kg/min.


17

Intermezzo: MachtFit Zoals we zagen (opgave 8, 9 en 12) kleeft aan het gebruik van PwrReg één groot nadeel: de exponent van de macht is meestal een kommagetal, bijvoorbeeld: I = 7,9 ⋅ r −1,93 Dit resultaat roept enkele vragen op. Allereerst wijst de exponent op een omgekeerd kwadratisch verband en daarbij hoort de (exacte) exponent -2. Dat de exponent een geheel getal is komt in de natuur namelijk veel voor. Daarnaast kan het getal -1,93 dan wel afgerond worden tot -2, maar verandert dan niet ook het getal 7,9? En hoe moet je afronden als de exponent bijvoorbeeld 1,83 is? Of 0,42? Om dit nadeel te omzeilen is een apart functiefit-programma voor de TI-83 geschreven waarbij de waarde van de exponent (macht) vastgelegd kan worden. Dit noemen we een gedwongen verband. Het werkt als volgt: • X moet in L1 staan, Y moet in L2 staan • X en Y hebben alleen positieve waarden (niet nul) • Een grafiek met oorsprong en het goede domein wordt automatisch getekend • Een schatting voor de exponent N moet gegeven worden • De waarde van A en N komen op het scherm, de functie in Y1 • De tabelmethode komt in L3 • Er wordt opnieuw een waarde voor N gevraagd (stoppen met [ Q U I T ]) Het programma is hiernaast geschreven. Het is handig om het met TI-LINK te kopiëren. Het is ook te downloaden van http://www1.phys.uu.nl/wwwcdb/salvo/materiaal/MACHTFIT.8xp Opgave 13 r (m)

I (W/m²)

0,50

31,8

0,80

12,4

1,10

6,6

1,40

4,1

Geluidsintensiteit en afstand In voorgaande opgaven (5 en 9) is het verband onderzocht tussen de geluidsintensiteit I (in W/m²) en de afstand r tot de geluidsbron (in m). a. Herhaal het onderzoek met MachtFit. Welke formule beschrijft het verband? tabelmethode: I = functiefit:

I=

MachtFit:

I=

(zie opg 5) (zie opg 9)


Opgave 14

Luchtwrijving In opgave 7 is het verband onderzocht tussen de luchtwrijvingskracht Fw,l op en de snelheid v van een voertuig. a. Herhaal het onderzoek met de TI-83. Gebruik de tabelmethode én functiefit PwrReg én MachtFit. Welke formule beschrijft het verband?

v (m/s)

Fw,l (N)

10,6

60

16,7

150

tabelmethode:

22,1

260

functiefit:

Fw,l =

27,8

410

MachtFit:

Fw,l =

33,2

590

Fw,l =

(zie opg 7)



18

► Coördinatentransformatie Je kunt ook controleren of een verband evenredig is door middel van een coördinatentransformatie. Wellicht heb je hierover bij wiskunde al wat geleerd, daar wordt het ook wel de substitutiemethode genoemd. De aanpak is als volgt: 1. Teken de grafiek. 2. Welk verband past het best? 3. Welke formule hoort daarbij? Schrijf die als machtsfunctie y = c . xn . Hierin is dus y evenredig met xn. 4. Teken een grafiek met y verticaal en xn horizontaal (een rechte door O!). Het is handig eerst een extra kolom te vullen met de waarden van xn. 5. Bepaal c uit de helling.

Voorbeeld vb (m/s) 10

srem (m) 1,3

v b² (m2/s2) 100

15

3,0

225

20

5,1

400

25

8,1

625

Remweg We beschouwen opnieuw het voorbeeld van de remweg uit de Inleiding. 1. Teken nogmaals de grafiek in het diagram linksonder. 2. Dit is een kwadratisch verband. 2 3. De formule is srem = c ⋅ vb , en dat betekent dat de remweg srem evenredig is met het kwadraat van vb , dus srem ∝ vb² (zie ook wiskunde) 4. Daardoor moet een grafiek van srem tegen vb² een rechte lijn door de oorsprong zijn. Bij de coördinatentransformatie in dit voorbeeld veranderen we de xcoördinaat van alle meetpunten. Daarvoor maken we eerst een extra kolom voor vb². Vervolgens zetten we srem uit langs de y-as, en vb² langs de x-as.

remweg

srem (m)

10 8 6 4 2 0

5

10

15

20

25

30

snelheid vb (km/h)

De meetpunten liggen nu duidelijk op een rechte lijn door de oorsprong, waarmee aangetoond is dat het verband inderdaad kwadratisch is. 5. Uit de helling van de lijn kunnen we de formule afleiden, er geldt immers: helling grafiek =

∆y srem = =c ∆x vb 2

De helling bepalen we meestal het best met een punt van de lijn dat dicht bij het ene uiteinde en een punt van de lijn dat aan de andere kant ligt. In dit voorbeeld zien we dat het punt (700; 9,1) op de lijn ligt en dat (0; 0) er ook op moet liggen. Dat geeft als helling 0,013 en dat is de constante uit de 2 formule srem = c ⋅ vb

Het eindresultaat is hier:

srem = 0, 013 ⋅ vb 2


19

Opgave 15

spanmassa golfsnelheid mspan (g) vg (m/s) 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

24,2 27,0 29,6 32,4 34,4 36,2 37,5 40,3 42,0 44,0 44,8 46,3 48,3 49,7 51,3 53,0 54,0

Golfsnelheid in een snaar

Bij een onderzoek naar de golfsnelheid vg in een snaar wordt de spanning in de snaar bepaald door een gewichtje mspan (de spanmassa) via een katrol. De resultaten van het onderzoek staan in de tabel hiernaast. Van de metingen is ook een grafiek gemaakt.

a. Teken een vloeiende kromme die zo goed mogelijk bij deze punten past. b. Om wat voor soort verband denk je dat het hier gaat?

c.

Je gaat nu een coördinatentransformatie toepassen. Welke grootheid moet er op de horizontale as komen?

d. Om het rekenwerk te beperken neem je niet alle meetpunten.Vul in de onderstaande tabel de waarden voor de gekozen grootheid in de 2e kolom en teken de grafiek.

e.

f.

mspan (g)

vg (m/s)

40 80 120 160 200

24,2 34,4 42,0 48,3 54,0

Geef de formule voor het verband. (klopte je aanname bij vraag b?)

Bij het onderzoek zijn vrij veel metingen gedaan. Stel dat er nog één meting extra gedaan kon worden, bij welke waarde van de spanmassa zou je dan graag willen meten? Leg uit waarom.


20

Opgave 16 R (Ω) 6,0

Op een transformator wordt beurtelings een aantal weerstanden aangesloten. De energie die in 10 s wordt afgegeven wordt gemeten. De resultaten van de metingen zijn: a. Bepaal het verband tussen R en Q op drie manieren

energie Q (J) 240

10

144

15

96

24

60

Warmteontwikkeling

tabelmethode (teken de grafiek hieronder links) Q= functiefit (met de TI-83) Q= coördinatentransformatie (teken de grafiek rechts) Q = b. Geef het eindresultaat als een formule met ingevulde constante. Q=

Opgave 17

Boten en snelheden Een zeilboot die snel vaart, maakt grote golven. Bij een bepaalde snelheid zijn deze golven zo groot, dat de boeg (de voorkant) te hoog en de achterkant te diep komen te liggen. De boot loopt vol water, en zinkt. Uit onderzoek blijkt dat deze topsnelheid vm van een zeilboot afhangt van de waterlijnlengte L, zoals weergegeven in de grafiek. Men vermoedt dat het verband tussen snelheid en waterlijnlengte een wortelverband is, waarvoor als formule geldt:

L (m)

vm = c ⋅ L

vm (km/h)

a.

Lees de meetpunten in de grafiek nauwkeurig af (zet ze in de tabel) en maak een tabel èn een grafiek met de TI-83. b. Onderzoek vervolgens het verband en stel een formule op. Gebruik zowel de tabelmethode, functiefit als een coördinatentransformatie. eindresultaat: vm =


21

Opgave 18

Draadweerstand en temperatuur De weerstand R van een stuk ijzerdraad is gemeten bij verschillende waarden van de temperatuur T. De meetresultaten zijn weergegeven in het diagram.

a.

Waarom is het in het algemeen bij het onderzoek van een verband niet handig om een scheurlijn te gebruiken?

b. Waarom is het juist hier geen probleem? c.

Stel met behulp van de meetresultaten een formule op voor de weerstand R van dit stuk ijzerdraad als functie van de temperatuur T.

d. Bepaal de weerstand van dit stuk ijzerdraad bij 200 °C. Hoe betrouwbaar is het resultaat van deze bepaling?

Opgave 19

De weerstand van een draad De weerstand R van een draad hangt af van de temperatuur, de afmetingen en het soort materiaal van de draad. Frans en Janneke nemen als materiaal constantaan, dat heeft het voordeel dat de weerstand hiervan nagenoeg niet van de temperatuur afhangt. Bij de afmetingen gaat het om de lengte l en de dikte d. Daarvoor hebben Frans en Janneke als onderzoeksvragen: 1 wat is het verband tussen de weerstand R en de lengte l en 2 wat is het verband tussen de weerstand R en de dikte d ? Beide vragen voor een constantaandraad. De resultaten van hun metingen staan in de tabellen hieronder. d = 0,20 mm is constant

a.

l = 0,50 m is constant

l (m)

R (Ω)

d (mm)

R (Ω)

0,35

5,1

0,10

29

0,65

9,4

0,20

7,3

0,95

13,8

0,30

3,2

1,25

18,2

0,40

1,8

Teken met de GR een (R, l)-diagram


22

b. Ga na welk verband er bestaat tussen l en R bij een constante dikte d van de draad.

c.

Welke formule beschrijft het verband?

d. Teken nu met de GR een (R,d)-diagram e. Ga na welk verband er bestaat tussen d en R bij een constante lengte l van de draad.

f.

Pas een coördinatentransformatie toe, zodat in het diagram een rechte lijn ontstaat. g. Welke formule beschrijft het verband?

h. Combineer de twee formules voor R tot één formule, waarmee het mogelijk is de weerstand R te berekenen als functie van l en d .

Hoe nauwkeurig is het resultaat? Een voordeel van coördinatentransformatie is de mogelijkheid om uit de grafiek te bepalen hoe nauwkeurig de waarde van de constante is. In de grafiek (die hoort bij het probleem uit de Inleiding) zie je hoe dat werkt: de gestippelde lijnen geven de marge aan waarbinnen de lijn in elk geval ligt. Omdat alle meetpunten hier erg mooi langs de lijn liggen is de marge erg klein.

Bepalen van de steilheid of de helling van de gestippelde lijnen geeft een indruk van de marge: steilheid = helling = constante = 0,0130 + 0,0005


23

Bijlage A.

Stappenplan verbanden bepalen

Stap 1 Teken een grafiek Bij een serie metingen hoort bijna altijd een grafiek, zeker als je een verband wilt onderzoeken. Stap 2 Welk verband past het best? Welke formule hoort daarbij? Aan de vorm van de grafiek kun je vaak zien welk verband het ongeveer is. Is de lijn krom of recht? Is de lijn stijgend of dalend? Gaat de lijn door de oorsprong? Snijdt de grafiek de assen? (zie het ‘Overzicht standaard verbanden’ hierna) Stap 3 Controleer de formule en bepaal de constante Om te onderzoeken of je het juiste verband gekozen hebt en om de waarde van de constante in de formule te bepalen staan drie methoden tot je beschikking. Deze drie methoden worden hieronder achtereenvolgens besproken: 1. afstand r (m)

intensiteit I (W/m2)

0,10

81

0,20

20

0,30

8,7

0,40

5,0

0,50

3,2

Tabelmethode •

I·r²

•

•

Noteer bovenaan de kolom ook de uitdrukking die bij de berekening hoort met bijbehorende eenheid. Kijk goed of de waarde in de kolom ongeveer constant is. Soms schommelt de waarde een beetje, neem dan het gemiddelde. Bij een uitschieter (bijvoorbeeld bij de eerste meetpunten) is het soms zinnig één of meer meetpunten weg te laten. Als de rij “constanten” niet gelijk blijft maar duidelijk oploopt of afloopt, mag je zeker niet de conclusie trekken dat je het verband gevonden hebt.

De tabelmethode werkt meestal erg snel, maar het werkt niet in alle omstandigheden. • Als je een verkeerd verband hebt gekozen krijg je een oplopende of aflopende rij getallen. • Als (bij stijgende functies) de grafiek niet door de oorspong gaat is de methode onbetrouwbaar, met name voor de eerste meetpunten. Ook dan krijg je een oplopende of aflopende rij getallen. • Als de waarde van de constante grote verschillen vertoont is het raadzaam een andere methode te hanteren. 2. Functiefit Met de grafische rekenmachine of een computerprogramma als COACH is het mogelijk om een functiefit te maken. Het programma berekent dan een passende formule bij je metingen. Om een dergelijke fit te maken is het wel noodzakelijk om te weten welk verband er theoretisch bij het experiment hoort. In bijlage B staat een aanpak voor de TI-83. Het voordeel van MachtFit is dat je bij een machtsfunctie zelf de exponent kunt bepalen. 3. Coördinatentransformatie De aanpak is als volgt: 1. Teken de grafiek. 2. Welk verband past het best? 3. Welke formule hoort daarbij? Schrijf die als machtsfunctie y = c . xn Hierin is dus y evenredig met xn. 4. Teken een grafiek met y verticaal en xn horizontaal. Vaak is het handig eerst een extra kolom te vullen met de waarden van xn. 5. Bepaal c uit de helling.


24

Bijlage B.

Verbanden bepalen met de TI-83 Tabelmethode, functiefit en coördinatentransformatie Op de TI-83 kun je eenvoudig en snel een verband bepalen. Het tekenen van een grafiek van de meetpunten, het toepassen van de tabelmethode en de functiefit zijn met de TI-83 goed uit te voeren. Als voorbeeld nemen we de remweg van de fiets van Johan en Irene. We volgen daarbij het stappenplan. Zorg wel dat je rekenmachine ingesteld staat op zelf afronden ([ M O D E ] dan bovenaan [ N O R M A L ] en op de tweede rij [F L O A T ]) of op de wetenschappelijke notatie ([ M O D E ], dan bovenaan [ S C I ] en bijvoorbeeld op de tweede rij 2 om totaal drie significante cijfers te krijgen) Stap 1: Teken een grafiek Om een diagram te maken moeten we de metingen in een tabel plaatsen, en daarna met [ S T A T P L O T ] de punten in een grafiek tekenen. a. Punten invoeren in een tabel •

Gebruik [ S T A T ] – [ E D I T ] om de lijsten L1 en L2 te vullen (schoonmaken met [2 N D ] [ M E M ] – [ C L R A L L L I S T S ] ).

b. Punten in een assenstelsel zetten • •

•

Kies in [ S T A T P L O T ] voor bijvoorbeeld [ P L O T 1 ] Instellingen voor [ P L O T 1 ]: - zet de grafiek [O N ] - Type: kies het eerste type (een grafiek met losse punten) - voor [X L I S T ] kies je [ L1 ] - voor [Y L I S T ] kies je [ L2 ] - markering een plusteken. Kies in [ W I N D O W ] de maximale en minimale waarden voor X en Y. Met [ G R A P H ] krijg je de punten in beeld. Zorg dat de oorsprong in beeld is.

Stap 2: Het verband zoeken Voordat je gaat rekenen is het belangrijk te onderzoeken welk verband het zou kunnen zijn, op basis van de metingen in de grafiek. • In dit voorbeeld lijkt de grafiek op een parabool, en daarbij hoort een kwadratisch verband. Stap 3: Controleer de formule en bepaal de constanten 1. De tabelmethode Met de GR is het maken van een tabel relatief eenvoudig. Bedenk eerst welke uitdrukking er in de 3e kolom hoort te staan. In dit voorbeeld geldt:

s rem = c ⋅ vb

Voor de tabel wordt dat:

L2 = c ⋅ L1

• • •

2

2

of

y = c ⋅ x2

of

L2 L12

=c

Ga boven in kolom [ L 3 ] staan, druk op [ E N T E R ] en vul de formule onderin het venster in. Is de waarde van [ L 3 ] voldoende constant? Wat is de gemiddelde waarde van [ L 3 ]? (TIP: de TI-83 berekent het gemiddelde met: mean(L3); gebruik [CATALOG] of [2ND], [STAT], [MATH]) Kies bovenop je GR voor [ Y = ]. Vul voor [ Y 1 ] de formule in die je gevonden hebt en controleer of de grafiek netjes door de punten loopt.


25

2. Functiefit De grafische rekenmachine heeft (onder [ S T A T ] – [ C A L C ] ) een aantal regressiemethoden. Elke methode berekent de best passende functie van het gekozen type. Dat betekent in de praktijk dat bij elke serie meetpunten die ongeveer op een kromme lijn ligt elke regressiemethode een leuke lijn oplevert, maar dat wil nog niet zeggen dat dat verband ook echt goed bij het experiment past. De keuze voor de juiste regressiemethode is dus erg belangrijk en afhankelijk van je experiment. De meest gebruikte methode is PwrReg, omdat veel verbanden die onderzocht worden machtsfuncties zijn. PwrReg kan niet gebruikt worden voor lineaire functies of voor kwadratische of wortelfuncties die niet door de oorsprong gaan. PwrReg: y=a·xb Bij het uitvoeren van de regressiemethode kan aangegeven worden in welke lijsten de x-waarden en y-waarden staan. Bovendien kan het resultaat getekend worden als een functie.

• •

Kies in [ S T A T ] – [ C A L C ] voor [P W R R E G ] (of voor een andere passende regressiemethode). Voer in: P W R R E G [L 1 ], [ L 2 ], [Y 1 ]

Opmerking: De variabele [ Y 1 ] vind je bij [ V A R S ] onder [ Y - V A R S ]. Door de toevoeging Y1 komt de gevonden formule automatisch in de functielijst Y1, en dus automatisch in de grafiek ([ G R A P H ] ). De toevoeging L1, L2, mag je evt. weglaten. Het resultaat:

y=a·xb met a = 0,01360 en b = 1,98416

De grafiek laat zien dat de formule goed bij de meetpunten past (maar dat komt natuurlijk omdat er in dit voorbeeld mooie getallen gebruikt worden). De waarden voor a en b moeten wel afgerond worden. Het eindresultaat: srem = 0, 014 ⋅ vb 2

MachtFit Zoals we zagen kleeft aan het gebruik van PwrReg één groot nadeel: de exponent van de macht is meestal een kommagetal. In het steeds gebruikte voorbeeld is de exponent b = 1,98416 Dit resultaat roept vragen op. Allereerst wijst de exponent op een kwadratisch verband en daarbij hoort de (exacte) exponent 2. Dat komt in de natuur namelijk veel voor. Daarnaast kan het getal 1,98416 dan wel afgerond worden tot 2, maar verandert dan niet ook het getal 0,01360? Om dit nadeel te omzeilen is een apart functiefit-programma voor de TI-83 geschreven waarbij de waarde van de exponent vastgelegd kan worden. Dit noemen we een gedwongen verband. Het programma werkt als volgt: • X moet in L1 staan, Y moet in L2 staan • X en Y hebben alleen positieve waarden (niet nul) • Een grafiek met oorsprong en het goede domein wordt automatisch getekend • Een schatting voor de exponent N moet gegeven worden • De waarde van A en N komen op het scherm, de functie in Y1 • De tabelmethode komt in L3 • Er wordt opnieuw een waarde voor N gevraagd (stoppen met [ Q U I T ])


26

3. Coördinatentransformatie Bij stap 2 • Maak een nieuwe kolom voor v²: [L 1 ][ ^ ][2 ][S TO →] [L 3 ] • Wijzig in [ S T A T ] – [ P L O T ] de keuze voor [X L I S T ] in [L 3 ] (denk ook aan de schaalverdeling) • Als het goed is zal de grafiek ongeveer een rechte lijn zijn. • Bepaal de formule (het verband) met de helling van de grafiek. Als het goed is zal de helling van de rechte lijn ongeveer 0,013 zijn. Gebruik evt. een functiefit voor een rechte lijn (b.v. PwrReg L3, L2, Y1). Tabelmethode Bij dit voorbeeld hoort: r/v²=constant. Maak een nieuwe kolom met: [L 2 ][ /] [L 1] [^ ][2 ][S TO →] [L 4 ]


27

Overzicht standaard verbanden Evenredig verband

Kwadratisch verband: De grafiek is een rechte lijn door de oorsprong. De formule:

De grafiek is een (halve) parabool, met de top in de oorspong. De formule:

y = c⋅x

y = c ⋅ x2

Bij deze grafiek:

m = constante ⋅ V

Bij deze grafiek:

s = constante ⋅ vb Omgeschreven wordt dat:

m = constante V

Omgekeerd kwadratisch verband:

De grafiek loopt naar de assen toe, en is symmetrisch, een hyperbool. De formule:

s = constante 2 vb

Omgeschreven wordt dat:

Omgekeerd evenredig verband:

y = c⋅

De grafiek lijkt op die van het omgekeerd evenredig verband, is niet symmetrisch.

1 x

De formule:

y = c⋅

Bij deze grafiek:

p = constante ⋅


2

Bij deze grafiek:

1 V

p ⋅V = constante

Wortel verband

1 x2

I = constante ⋅


1

r2

I ⋅ r 2 = constante

Lineair verband: Met de top in de oorsprong. De formule:

De grafiek is wel een rechte lijn maar niet door de oorsprong. De formule:

y = c⋅ x

y = c⋅ x + d

Bij deze grafiek:

Bij deze grafiek:

veind = constante ⋅ h

h = c ⋅t + d

De tabelmethode werkt niet maar:


veind h

c kun je bepalen met:

= constante

c=

( h2 − h1 ) ∆h = ( t2 − t1 ) ∆t

d kun je aflezen bij de verticale as


28

remweg van een fiets

Recommend Documents