REGULARrSASI SISTEM DESKRIPTOR TANPA SIFAT TERKONTROL DI TAK HINGGA MELALUI STATE FEEDBACK. Ihda Hasbiyati Jurusan matematil

LEmBRGQ PEnELITinn REGULARrSASI SISTEM DESKRIPTOR TANPA SIFAT TERKONTROL DI TAK HINGGA MELALUI STATE FEEDBACK Ihda Hasbiyati matematil
Jurusan

Riau

ABSTRAK systems

This paper concerns the structure that can be achieved without controllability at infinity.

by feedbacl< in

descriptoi

Ex = Ax + Bu y = Cx

EeC^",As

With system

matrices

u = u(t)e C".

The following

used to make a descriptor Keywords

: descriptor

C''",BE

that answers system

system,

^ C""^, state

the question

x = x(t)EC",

of when state feedback

input may be

reguler

controllability,numerical

method

PENDAHULUAN M i s a l k a n s i s t e m deskriptor invariant t e r h a d a p w a k t u berikut l i n i e r : EX = AX + BU, EX{0)ÊX\

(1)

y = Cx,

D e n g a n , Ee C " ' ^ " , A e C " " " , 5 G y=

E C""",X = x(t)E C\u

= u{t)E C ^ d a n

y(t)GC''.

T u l i s a n ini m e m b a h a s suatu s i s t e m invarian terhadap w a k t u , bersifat linear d e n g a n E d a n A a d a l a h matriks y a n g b e r u k u r a n (nxn), (nxm),

C matriks y a n g b e r u k u r a n (pxn),

dan

vektor

y

output

(pxl).

Sistem

B matriks y a n g berukuran

x vektor state ( « x l ) , u vektor input ini

biasa

disebut

(mxl)

s i s t e m deskriptor

tanpa

sistem

tanpa

keterkontrolan di tak h i n g g a . Dalam

tulisan

ini

akan

dibahas

sifat-sifat

dari

deskriptor

keterkontrolan di tak h i n g g a , s e r t a k a p a n state f e e d b a c k b i s a d i g u n a k a n a g a r sistem menjadi reguler d a n m e n c a p a i indeks minimal.

90

jmUERSITRS R f O r BAHAN D A N M E T O D E Untuk m e m b a n t u

m e n y e l e s a i k a n m a s a l a h regularisasi s i s t e m d e s k n p t o r (1),

berikut a k a n diberikan b e b e r a p a definisi, t e o r e m a d a n l e m m a . S i s t e m (1) d a n pencil matriks y a n g ditulis d e n g a n {AE-A) polinomial karakteristik

det(AE-A)^0.

J i k a pencil (AE-A)

d i k a t a k a n reguler jika

tak reguler m a k a s i s t e m

•

p e r s a m a a n diferensial aljabar £jc = Ajc + / ( r ) u n d e r d e t e r m i n e d p a d a kondisi a w a l y a n g konsisten. J i k a pencil {AE-A)

reguler, m a k a a k a r - a k a r dari polinomial karakteristiknya

adalah nilai e i g e n h i n g g a dari p e n c i l . S e l a n j u t n y a , jika E singuler m a k a p e n c i l dikatakan mempunyai

nilai e i g e n tak h i n g g a y a n g h a m p i r

mendekati

nol dari invers

pencil

{AE-A).

Struktur e i g e n dari pencil reguler d i g a m b a r k a n o l e h W e i e r s t r a s C a n o n i c a l F o r m (WCF). Teorema 2.1. (Weierstras c a n o n i c a l form). Matriks {AE-A)

reguler, jika d a n

h a n y a jika terdapat matriks tak singuler P G C"""" d a n Qg C""^ s e h i n g g a s i s t e m menjadi sebagai berikut: PEQ^

PAQ^

'/

0'

0

N

'J

0'

0

/

J a d a l a h matriks J o r d a n d a n N a d a l a h matriks Nilpoten. T e o r e m a 2.1 berkaitan erat d e n g a n l e m m a berikut. L e m m a 2.1. M i s a l k a n 5, G C , / = l , - " , p , m e m e n u h i det(s£: - A ) = 0 , d a n m i s a l k a n pula c G C m e m e n u h i det(c£: - A ) ?t 0. m a k a 0 d a n — ^ — =

a d a l a h nilai e i g e n

{c-s,)

untuk

matriks

{cE-AyÊ.

Selanjutnya

untuk

setiap

— ^ — V z =l,---,p,cir 7^0 m a k a a b u k a n nilai e i g e n untuk matriks {c-s.)

« GC

dengan

{cE-AYÊ.

S e b a g i a n b e s a r informasi y a n g ditunjukka oleh W C F a d a l a h juga m u d a h m e m p e r o l e h n y a dari matriks pencil segitiga. O l e h k a r e n a itu, selanjutnya p r o s e s p e n y e l e s a i a n s i s t e m (1) m e n g g u n a k a n matriks segitiga, k a r e n a algoritma numerik y a n g

91

LEmBRGP PEHELITIPn mentrasformasikan

matriks pencil ke bentuk segitiga biasanya lebih dapat

diandalkan daripada mereduksi W C F seperti yang ditunjukkan teorema 2 . 1 . L e m m a 2.2. Nilai eigen dari matriks pencil segitiga 'En

En

0

"A.

An

0

An.

E22.

adalah gabungan dari nilai eigen dari diagonal ( / l £ „ - A „ )dan(/lE22-A22) Bukti: (1)

misalkan

sl-

s

adalah

nilai

AE^-A,,

/IE,2-A2

0

/IE22-A2

sl^

0

0

si

0

2.

^/,-(/lE„-A,)

eigen

,

0

maka

=0

/IE,,-A,, -W2-A2)

0

dari

=0

=0

sI^-iAE22-A2)

si, - iXE,2 - A2)| = âtau\sl2 - (/lE^^ - Az)] = 0

(ii)

misalkan

-^„-A. 0

f.2-A2l

^^^^

^^^^

^ n - A .

AE.,-A2

0

/IE,,-A,,

/IE,2-A,J

untuk semua A e C A E „ - A „ | 9 t O dan l y l E ^ j - A a ^ O Jadi (>IE„ - A „ ) reguler dan (AE,, - A 2 ) reguler. Teorema

2.2

Terdapat transfomriasi state

dari (1)

melalui

P G C " ^ , Q e C " ^ sehingga sistem pencil menjadi sabagi berikut:

92

matriks

uniter

UniUERSITHE Rmu tl Eu PEQ

=

0 0

^

^3

0 0 0

£,3" ^23 •^333 _

tl

PAQ

^3

tl " A .

Ai

A3"

A,

Ki

Az3

0

0

A3.

= h

m t^ b; PB

= tl Bi

t3 tx CQ

0 tl Ci

Dengan: 1. rank(E,,) = 2. rank{B2) = t2

3. A33 adalah matriks segitiga atas 4. (£33) adalah matriks segitiga atas dengan elemen diagonal nol. Definisi 2.1. Tinjau sistem deskriptor (1). Untuk k a s u s pencil (XE-A)

reguler,

terdapat matriks X dan Y keduanya tak singuler, sehingga : XEY =

1

0"

0

N

d a n XAY =

J

0'

0

/

I adalah matriks satuan, N dan J adalah matriks bujursangkar, N Nilpoten d a n J matriks Jordan. Indeks dari sistem dinyatakan dengan

Indeks{E,A)

atau

Indeks{AE-A)

dan

didefinisiskan sebagai indeks nilpotensi dari N. Jadi bila indeks nilpotensi dari N adalah M , yaitu N" =0 d a n N"'^ ^0, m a k a indeksiE, A) = m.

U n t u k k a s u s penciliAE - A) tak reguler, m a k a indeks{E,A) s a m a dengan dimensi dari blok nilpoten terbesar dari :

93

LEmSPGR PEHELITIRn XEY^

Jika indeks(AE

E

adalali

- A) =

matriks

I

0

O

N

d a n XAY =

nilpoten

dan

A

J

0

0

/

adalah

matriks

tak

singuler

maka

indeks(E).

HASiL P E M B A H A S A N S i s t e m deskriptor (1) dapat diregulerkan d e n g a n m e n g g u n a k a n f e e d b a c k state. T e o r e m a berikut

menjawab pertanyaan kapan feedback keadaan dapat

digunakan

untuk m e m b u a t s i s t e m deskriptor reguler. T e o r e m a 3.1 Tinjau bentuk (1). M i s a l k a n bentuk (1) seperti d a l a m t e o r e m a 2.2 m a k a s i s t e m d a p a t diregulerkan oleh f e e d b a c k state, artinya terdapat matriks feedback gain

FeC"^

s e d e m i k i a n s e h i n g g a matriks pencil {AE-{A

+ BF))

reguler jika dan

h a n y a jika A33 tak singuler. P e m b u k t i a n t e o r e m a 3.1 s a n g a t berkaitan d e n g a n L e m m a b e r i k u t : M i s a l k a n B matrik nxm,n>m,

L e m m a 3.1

rank{B) = m, d a n C matrik

nxn

s e b a r a n g , m a k a terdapat matriks F •.mxn3 BE Bukti: F = [fi, ; l l î^m,l<

j
K a r e n a rank B=m d a n n>m E-.nxn

d e n g a n O p e r a s i B a r i s E l e m e n t e r , terdapat matriks

tak singuler s e h i n g g a :

EB^

"1 0 0

1 0

0

0

EF(BF)

-

K

Km

-

K

Km

1

-

K

•• Km

0

... 1

^.3

= EC=^

KM

• ••

b

n,m

{EB)F = EC

S i s t e m p e r s a m a a n ini selalu m e m p u n y a i b a n y a k solusi untuk F. E-\E{BF))Ê-\EC) iE-'E)(BF) I(BF)

= l(C)

BF = C

94

=

(E-'E){C)

unii Akibat

3.1

Misalkan

A:nxn,B:nxm,n>m,rankiB)

= m,

maka

terdapat

matrik

F -.mxn^ A + BF tak singuler Bukti : Ambll C:nxn BF =

tak singuler, dari L e m m a 3.1 terdapat matrik F:mxn

sehingga

C~A.

Akibat 3.2.

Misalkan

matrik F •.mxn3 A +BF Bukti : Ambil

C = -A,

A:nxn,B:nxm,n>m,dan,rank(B)

= m,

maka

terdapat

^0 dari L e m m a 3.1.

M a k a diperoleh matrik F:mxn

sehingga

BF = -A atau A + BF = 0. Selanjutnya akan ditunjukkan bukti teorema 3.1 Bukti : h

(=>) Misalkan F sebagai berikut: det{AE-iA

0

En

0

El,

0

0

^33 _

0

Eu

= det(/l 0

0

El,

0

0

£33 _

"A. -(

-(

0

0

0

0

'23

= det

maka

F,

3J

A3^

Ai

A23

0

0

A3.

"A,

Az

A3"

A.

All

A3 +

0

0

"fi,"

+

Bl

El

0_ BiF,

0

A3.

A,, + 5 , F,

A„+5,F !2 '1^2 A22 + iS, F2

0

0

5,^3 • fi,F3 )

0

0

A3+51F3

A23 + B, F ) '2' 3

"33 AF„-(A„+5,F,)

-(A„+B,F,)

^33 A F , , - ( A 3 + S,F3)'

-(A,+i3,F,)

-(A,,+5,F,)

/IF,3-(A,3+5,F3)

0 = det

F^

A2 A,,

A,,+5,F,

0

= det

t.

+ BF)) =

"£„ = deta 0

= det(A

F = m[F,

tl

0

/lF„-(A„+fi,F,)

-(A,,+B,F2)^

-(A,+B,F,)

-(A2+5,F)

>^F„-(A„+B,F,)

-(A,2+S,F,)~

-(A„+B,F,)

-{A,,+B,F,)

^^•£33

A3

det(/lF33-A33)

det(-A33)

(Karena (AF33-A33) adalah matrik segitiga atas dengan elemen diagonal yang tidak memuat

A).

J i k a detiAE-iA

+ BF))^0

m a k a haruslah det(-A33);^0

(<=) Misalkan A33 tak singuler m a k a det(A33) ^ 0 .

lEmBRGR PEnELlTlfl A k a n diperlihatkan e k s i s t e n s i matrik F G C"""" s e h i n g g a d e t ( A F - ( A +

fiF))

0.

B e r d a s a r k a n L e m m a 3.1 m a k a terdapat matrik F ^ G C"""- s e h i n g g a

A^+S^F,

tak singuler. M i s a l k a n matrik F s e b a g a i b e r i k u t :

F = m[F,

F,

F3]

^2

0

maka

d e t ( / l F - ( A + fiF)) =

= det(A

= det(/l

= det(A

= det

0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

0 0

0 0 0

"A.

A2

— ( ^2.

A22

M3 A ,23

0

0

^33

"A.

A2

— ( A2.

A22

£33,

^23

0

^33.

^23

-

= det

133

A2+5l^2

0

B^F^

fi,F,

0

0 0 0

))

h3

'33

-(A^, +B2F,)

^^^23 - ^ 2 3

0

/lF,,-(A„+fi,F,)

AF33 - A33

-(A^+fi.F,)^

- ( A ^ , - ( A ^ ^ + f i ^ F ^ ) AF„-(A„+fi,Fj)

-(A^+fi.FJ

-(A2,+B2F,)

-(A22+B2F2)

(Karena (;iF33-A3)

0 0 0 )

0

^33 _

0 ))

F,

0

A.

0 = det

A 23

0

"A,

£13"

+

det(AF33-A33)

det(-A33)

a d a l a h matrik segitiga a t a s d e n g a n e l e m e n d i a g o n a l y a n g tidak

memuat A ) . Karena

sudah

det(/lF - ( A + B F ) ) det

bahwa

det(-A33) ?i^0,

0 , tinggal m e n u n j u k k a n

/ I F , , - ( A , + B,F,) -(A^.+S.F,)

diketahui

-(A^+B^F^)' -(A, +

fi,F,)

^0.

Tinjau matrik A£,,-A„

-(A3+fi,F,)

0

0' 0

"Ai

A 2 + B,F2

.A.

A2 + B , F ,

maka

untuk

menunjukkan

uniuEREiTRS

Lakukan

Rmu

Operasi

Kolom

dengan

terhadap

matrik

A.

A, + B,F,

Ai

A 2 + B2F2

yang

A2

m e n g h a s i l k a n matriks

Jadi

Elementer

0

A,

Operasi

Kolom

Elementer

iFii-A,

matriks

-(A,)

-(Az+îF)' -(A2

+ B2F2)

berubah menjadi matriks

0' 0

'AE,,

0

Ai 0

AEn-(Ai)

A2 A22+B2F2

0

-(A2)

= det

-(A2) -(A22+B2F2)

Maka : det

/IE,,-(A,) 0

/l£„-(A,) 0

-{A22+B2F2)

B e r d a s a r k a n sifat k e t a k s i n g u l e r a n :det

/l£„-(A,)

-(A2)

0

-(A2) -{A22

+ B2F2)

dan ketaksinguleran

A^^^B^F^,

maka

^0.

-{A22+B2F2)

J a d i jika det(A33)

0 m a k a h a r u s l a h d&i{AE - ( A + B F ) ) ^ 0.

T e o r e m a berikut m e n u n j u k k a n i n d e k s a p a k a h y a n g d a p a t d i c a p a i oleh f e e d b a c k . Teorema 3.2.

M i s a l k a n s i s t e m (1) seperti d a l a m t e o r e m a

2.2

d a n A 3 3 tak

singuler m a k a terdapat matriks f e e d b a c k gain F e C " " ^ s e d e m i k i a n s e h i n g g a matriks

pencil ( / I F - ( A + B F ) ) reguler d a n

indeks{AE

- ( A + B F ) ) = indeks

0 0

E23

F33

Berikut diberikan c o n t o h p e r m a s a l a h a n untuk s i s t e m deskriptor y a n g berbentuk seperti d a l a m t e o r e m a 2.2 a d a l a h reguler s e r t a m e n e n t u k a n i n d e k s m i n i m a l n y a . M i s a l k a n matriks F , A d a n B s e b a g a i berikut:

F =

1 1 0 0 2 r 1 2 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

3

0 0

1 2

0

'3

1 1

-1 -2 -5

-1 - 1 0 0 0 0

0

1 -1 -2 -1 1 -1 1 1 1 0 0

2

-2

0 0

1 0

2 "

-1 -2

1 0 1

,B =

'1 0" 1 1 1 2 0 1 0 0 0 0

(2)

LEmBRGR PERELITiRr Sehingga:

XE-A

-3

/l + l

0

-1

2/1 + 1

1

1

-1

-1

1

-1

0

0

1

2

1

-2

0

0

1

1

-2

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

= -21 + 2 4 A - 3 / l ' = 0 Ini m e m b e r i k a n : /Ij = 1 d a n

X^^l F dengan

Dari l e m m a 2.1 dapat dicari matriks F, i m x f j s e h i n g g a A2, ^B^F^ = 0

dan

F-, -.mxt^ s e h i n g g a ^22+^2^2 tak singular M i s a l k a n matriks F i d a n F j s e b a g a i berikut: '-1

2"

1

1

dan F. =

"1

2"

0

-1

Dari p e r s a m a a n (3.1) d i p e r o l e h : '1

-5"

1

' A2 -

1

1

2

1

-5

-1

-1

-1

1

1

2

Sehingga: A22+52F2 =

Atau: F =

- 1 2 1

Ini m e m b e r i k a n :

98

1

2

r

"-1

0

0

1 0 - 1 0 0

r

'2

dan 5 , = 2 0

+ +

1

2

1 -1

2

0

0

0

1

1

0

0

1

2

1

1

2

1

4

0

1

0

-1

1

1

uniuERsiTPs Emu

{A+BF)

=

-1

2

1

-1

1

-2

1

-2

1

0

0

1

0

0

0

0

1

2

1

1

1 -1

0

0

0

0

0 0

-1

-2

2A-1

1

1

-A-l

A+l

0

0

-1

-2

A-\

A+2

0

0

-1

-1

3A + 2

A-l

0

0

0

0

-1

2A

0

0

0

0

0

-1

2

=---45 2

A-2

A-i

A-l A + BF

-1

2A + 1

A-2

= -l + 3A-A' =0 A, = - + - V 5 d a n A^ ' 2 2 '

S e l a n j u t n y a a k a n dicari Indeks {AE-(A+

BF))

D e n g a n m e n g g u n a k a n t e o r e m a 2.2 diperoleh: -1 - 2

'2

X =

-1

4

3 '

l

0

0

0

0

-6

0

1

0

0

-1

0

0

0

-1

2

5

-4

0

0

1

-1

-3

3

-1

1

1

1

-1

-2

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

,Y =

Sehingga: 0

0

0

0'

0

1 0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

0

3

0

0

0

0

0

0

0

0

"1

XEY =

0

'3

1 0

0

0

0

-1

0

0

0

0

0

0

0

1 0

0

0

I

0

0

0

1 0

0

0

2

0

0

0

0

1 0

0

0

0

0

0

0

0

,X(A

+ BF)Y =

D a n Indeks {AE - (A + BF)) adalah indeks nilpotensi dari matriks: XEY =

I

0

0

N

Ini m e m b e r i k a n :

1

LEITIBOGB PEnELITiPn 0

0 1 1

0

0 3 1

0

0 0 2

0

0 00

'0

0

0 0

1 r "0 0 3

1 r

'0

0 0

r 6

1 0 0

3

1

0

0 0

0 0

0

2

0

0 0 0

0

0

0 0 0

0 0 0

2

0 0 0

0 0

0

0

r "0

0

1 r

"0 0 0

0"

0 0 0 6 0

0

3

1

0 0 0

0

0 0 0 0 0

0

0

2

0

0

0 0 0 0 0

0

0

0

0 0

'0

0 0

0 0 0

0

J a d i Indeks (AE - (A + BE)) = 3

KESIMPULAN Dari p e m b a h a s a n y a n g d i k e m u k a k a n diatas, d a p a t disimpulkan b a h w a , sistem deskriptor t a n p a sifat terkontrol di tak h i n g g a dapat diregularisasi d a n i n d e k s n y a dapat diminimalkan d e n g a n f e e d b a c k state

DAFTAR PUSTAKA B y e r s , R a l p h . , G e e r t s , T o n . & M e h r m a n n , V o l k e r . 1 9 9 7 . Descriptor S y s t e m s Without Controllability A t Infinity. J . S I A M 3 5 : 4 6 2 - 4 7 9 . Hasbiyati, Ihda. 2 0 0 0 . S i s t e m Deskriptor T a n p a Keterkontrolan G r a d u a t e S c h o o l of M a t e m a t i k a S c i e n c e . B a n d u n g : ITB

Tak Hingga. Thesis

Hasbiyati, Ihda. 2 0 0 6 . M e r e d u k s i S i s t e m Deskriptor T a n p a Sifat Terkontrol di Tak H i n g g a Melalui F e e d b a c k Untuk M e n c a p a i Indeks M i n i m a l . P r e s i d i n g S e m i n a r D a n R a p a t T a h u n a n B K S P T N M l P A W i l a y a h Barat & M I P A n e t . P a d a n g , 9-11 Juli 2 0 0 6 . H a s b i y a t i , Ihda. 2 0 0 7 . Derivative d a n Output F e e d b a c k p a d a S i s t e m Deskriptor T a n p a Sifat Terkontrol di T a k H i n g g a . P r e s i d i n g S e m i n a r D a n R a p a t T a h u n a n B K S P T N M l P A W i l a y a h Barat. UIN Syarif Hidayatullah J a k a r t a , 9-10 Juli 2 0 0 7 . 100

REGULARrSASI SISTEM DESKRIPTOR TANPA SIFAT TERKONTROL DI TAK HINGGA MELALUI STATE FEEDBACK. Ihda Hasbiyati Jurusan matematil

Recommend Documents