Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 83 – 89 ISSN : 2303–2910 c
Jurusan Matematika FMIPA UNAND
STABILISASI SISTEM DESKRIPTOR DISKRIT LINIER POSITIF LILI ANDRIANI Program Studi Magister Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia, email :
[email protected]
Abstrak. Suatu sistem dikatakan dapat distabilkan jika terdapat kontrol feedback ut = Kxt untuk suatu K ∈ Rm×n sedemikian sehingga sistem Ext+1 = (A + BK)xt , x0 ∈ Rn + adalah stabil [4]. Dalam hal ini, vektor ut ∈ Rm dikatakan kontrol yang menstabilkan sistem di atas. Pada makalah ini akan dikaji syarat agar terdapat matriks K ∈ Rm×n sedemikian sehingga sistem di atas adalah stabil, positif, dan regular. Kata Kunci: Stabilisasi, sistem deskriptor, regular, positif, linier, diskrit, invers drazin.
1. Pendahuluan Diberikan suatu sistem persamaan beda (difference equations) linier sebagai berikut: Ext+1 = Axt + But , t ∈ Z+
(1.1)
dengan E, A ∈ Rn×n dan B ∈ Rn×m . Dalam sistem (1.1), xt ∈ Rn menyatakan variabel state (keadaan), ut ∈ Rm menyatakan variabel kontrol (input) dan Z+ menyatakan himpunan bilangan bulat non negatif. Sistem (1.1) sering disebut sebagai sistem deskriptor diskrit linier [4]. Sistem (1.1) dikatakan regular jika rank(E) < n dan det(λE − A) 6= 0 untuk suatu λ ∈ C. Pada dekade terakhir ini, kepositifan solusi dari sistem (1.1) menjadi sorotan berbagai peneliti. Sistem (1.1) dengan ind(E) = q dikatakan positif jika untuk n setiap t ∈ Z+ dan untuk setiap fungsi input ut ∈ Rm + , berlaku xt ∈ R+ . Kriteria tentang kepositifan sistem (1.1) telah dikaji oleh Virnik pada tahun 2008 [4]. Disamping itu, kajian tentang kestabilan sistem (1.1) merupakan topik klasik yang telah dikaji oleh berbagai peneliti. Literatur [6] memuat kajian tentang kestabilan sistem (1.1) tanpa batasan kepositifan. Sistem (1.1) dikatakan stabil jika ρf (E, A) < 1, dimana ρf (E, A) adalah radius spectral dari pasangan matriks (E, A) [6]. Tahun 2008, Virnik [4] mengajukan kriteria untuk kestabilan sistem (1.1) dengan asumsi bahwa sistem (1.1) adalah positif. Tetapi, kriteria Virnik tidak mencakup fenomena berikut, ”Jika diberikan sistem (1.1) yang regular, positif, dan tidak stabil, bagaimanakah kriteria agar sistem tersebut dapat distabilkan (stabilizable)?” 83
84
Lili Andriani
Sistem (1.1) dikatakan dapat distabilkan jika terdapat kontrol feedback ut = Kxt untuk suatu K ∈ Rm×n sedemikian sehingga sistem Ext+1 = (A + BK)xt , x0 ∈ Rn+ ,
(1.2)
m
adalah stabil [4]. Dalam hal ini, vektor ut ∈ R dikatakan kontrol yang menstabilkan sistem (1.1). Pada makalah ini akan dikaji syarat agar terdapat matriks K ∈ Rm×n sedemikian sehingga sistem (1.2) adalah stabil, positif, dan regular. Tahun 2013, telah dibicarakan syarat agar terdapat K ∈ Rm×n sedemikian sehingga sistem (1.2) adalah stabil, positif, dan regular untuk kasus sistem deskriptor kontiniu positif linier. Pada tesis ini akan dikaji syarat agar terdapat K ∈ Rm×n sedemikian sehingga sistem (1.2) adalah stabil, positif, dan regular untuk kasus sistem deskriptor diskrit positif linier. 2. Sistem Deskriptor Diskrit Linier Positif Misalkan E ∈ Rn×n dengan ind(E) = q. Invers Drazin dari E ditulis E D adalah suatu matriks yang memenuhi: E D E = EE D E D EE D = E D E D E q+1 = E q . Invers Drazin dari suatu matriks persegi E selalu ada dan tunggal [10]. Jika matriks E nonsingular, maka E D = E −1 , dimana E −1 menyatakan definisi invers matriks dalam pengertian biasa. Lema 2.1. [4] Misalkan A, B ∈ Cn×n . (1) Jika AB = BA, maka AB D = B D A, BA
D
D
= A B,
AD B D = B D AD ,
(2.1) (2.2) (2.3)
(2) Jika AB = BA dan KerA ∩ KerB = 0, maka (I − AAD )BB D = I − AAD .
(2.4)
Perhatikan kembali sistem deskriptor diskrit (1.1), dengan kondisi awal x0 , dan asumsikan bahwa det(λE − A) 6= 0, untuk suatu λ ∈ C.
(2.5)
Dengan mengalikan kedua ruas (1.1) dengan (λE − A)−1 , maka diperoleh: ˆ t+1 = Ax ˆ t + Bu ˆ t , t ∈ Z+ , Ex
(2.6)
ˆ = (λE − A)−1 E, E Aˆ = (λE − A)−1 A, ˆ = (λE − A)−1 B. B
(2.7)
dimana
(2.8) (2.9)
Stabilisasi Sistem Deskriptor Diskrit Linier Positif
85
ˆ dan Aˆ yang didefinisikan pada (2.7) dan (2.8), Lema 2.2. [6] Untuk matriks E berlaku ˆ=E ˆ A. ˆ (1) AˆE ˆ ˆ = 0. (2) ker A ∩ ker E Bukti. (1) Dari (2.7), diperoleh ˆ − Aˆ = λ(λE − A)−1 E − (λE − A)−1 A λE = (λE − A)−1 (λE − A)
(2.10)
= I, atau ˆ − I. Aˆ = λE
(2.11)
Akibatnya, ˆ = (λE ˆ − I)E ˆ = E(λ ˆ E ˆ − I) = E ˆ A. ˆ AˆE
(2.12)
ˆ Maka Ax ˆ = 0 dan Ex ˆ = 0, dan λE ˆ − Ax ˆ = 0. (2) Misalkan x ∈ kerAˆ ∩ kerE. ˆ ˆ Karena λE − A = I, maka x = 0. Teorema 2.3. [4] Misalkan sistem (1.1) adalah regular dengan ind(E, A) = q, maka solusi dari sistem (1.1) adalah:
ˆ D A) ˆ tE ˆ D Ex ˆ 0+ xt = (E
t−1 X
ˆ D (E ˆ D A) ˆ t−i−1 Bu ˆ i − (I − E ˆE ˆD) E
i=0
q−1 X ˆ AˆD )i AˆD Bu ˆ t+i (E i=0
(2.13) untuk suatu x0 ∈ Rn . ˆ dan Aˆ didefinisikan seperti dalam (2.7). Berdasarkan Lema Bukti. Misalkan E ˆ = E ˆ A. ˆ Akibatnya, menurut Lema 2.1 diperoleh AˆE ˆD = E ˆ D A. ˆ 2.2 berlaku AˆE Selanjutnya
ˆ t+1 = (E ˆ D A) ˆ t+1 Ex ˆ 0+ Ex
q−1 t X X D ˆ t−i ˆ ˆ D ˆ D ˆ ˆ ˆ ˆ AˆD )i+1 Bu ˆ t+i+1 , (E A) E E Bui − (I − E E ) (E i=0
i=0
q−1 t−1 X X ˆ t = (E ˆ D A) ˆ t+1 Ex ˆ 0+ ˆ D A) ˆ t−i Bu ˆ i − (I − E ˆE ˆD) ˆ AˆD )i E ˆ D Bu ˆ t+i Ax (E (E i=0
i=0
ˆ = E ˆ Aˆ dan ker Aˆ ∩ ker E ˆ = 0, akibatnya Berdasarkan Lema 2.2, berlaku AˆE
86
Lili Andriani
ˆE ˆ D )AˆAˆD = I − E ˆE ˆ D , sehingga menurut Lema 2.1, (I − E ˆE ˆ D )(E ˆ AˆD )q = (I − E ˆE ˆ D )AˆAˆD (E ˆ AˆD )q (I − E ˆE ˆ D )AˆAˆD E ˆ q (AˆD )q = (I − E ˆ q (AˆD )q − E ˆE ˆ D AˆAˆD E ˆ q (AˆD )q = AˆAˆD E ˆ q (AˆD )q − E ˆE ˆ D AˆAˆD E ˆDE ˆ q+1 (AˆD )q = AˆAˆD E ˆ q (AˆD )q − AˆAˆD E ˆE ˆDE ˆDE ˆ q+1 (AˆD )q = AˆAˆD E ˆ q (AˆD )q − AˆAˆD E ˆDE ˆ q+1 (AˆD )q = AˆAˆD E ˆ q (AˆD )q − AˆAˆD E ˆ q (AˆD )q = 0. = AˆAˆD E Selanjutnya, untuk membuktikan bahwa (2.10) merupakan solusi dari (2.6), akan ditunjukkan ˆ t+1 − Ax ˆ t = Bu(t). ˆ Ex ˆ t+1 − Ax ˆ t=E ˆE ˆ D Bu ˆ t − (I − E ˆE ˆD) Ex
q−1 X ˆ AˆD )i+1 Bu ˆ t+i+1 + (E ˆ AˆD )i Bu ˆ t+i ] [(E i=0
ˆE ˆ D Bu ˆ t − (I − E ˆE ˆD) =E
q−1 X
ˆ AˆD )i Bu ˆ t+i − (E ˆ AˆD )i+1 Bu ˆ t+i+1 ] [(E
i=0
ˆE ˆ D Bu ˆ t + (I − E ˆE ˆ D )[(Bu ˆ t−E ˆ AˆD )Bu ˆ t+1 ) =E ˆ AˆD )Bu ˆ t+1 − (E ˆ AˆD )2 Bu ˆ t+2 + · · · +((E ˆ AˆD )q−2 Bu ˆ t+q−2 − (E ˆ AˆD )q−1 Bu ˆ t+q−1 ) +(E ˆ AˆD )q−1 Bu ˆ t+q−1 − (E ˆ AˆD )q Bu ˆ t+q )] +(E ˆE ˆ D Bu ˆ t + (I − E ˆE ˆ D )[(Bu ˆ t−E ˆ AˆD )q Bu ˆ t+q ] =E D D D ˆE ˆ Bu ˆ t + (I − E ˆE ˆ )Bu ˆ t − (I − E ˆE ˆ )(E ˆ AˆD )q Bu ˆ t+q =E D D ˆE ˆ Bu ˆ t + Bu ˆ t−E ˆE ˆ Bu ˆ t =E ˆ t. = Bu Jadi, solusi (2.10) memenuhi sistem (2.6). Berikut dipaparkan definisi kepositifan dari sistem deskriptor (1.1). Definisi 2.4. [4] Sistem (1.1) dengan ind(E, A) = q dikatakan positif jika untuk semua ut ≥ 0, t = 0, 1, · · · , q − 1, dan x0 ≥ 0 berlaku xt ∈ Rn+ . Berikut diberikan kriteria untuk memeriksa kepositifan dari sistem (1.1). Teorema 2.5. [4] Secara khusus jika B = 0, untuk sistem (1.1) adalah positif jika ˆ D Aˆ ∈ Rn×n . dan hanya jika E + 3. Kestabilan Sistem Deskriptor Positif Linier Diskrit Kestabilan merupakan suatu sifat yang sangat penting bagi suatu sistem. Berikut ini akan dibicarakan tentang kestabilan sistem deskriptor linier diskrit Ex(t+1) = Axt , x(0) = x0 .
(3.1)
Stabilisasi Sistem Deskriptor Diskrit Linier Positif
87
Sistem (3.1) dikatakan stabil jika ρf (E, A) < 1 dimana ρf (E, A) adalah radius spectral dari (E, A)[4]. Definisi 3.1. [4] Suatu skalar λ ∈ C adalah nilai eigen dari (E, A) jika det(λE − A) = 0. Radius spectral hingga ρ(E, A) dari (E, A) didefinisikan sebagai nilai eigen maksimum dari (E, A). Sistem (3.1) dikatakan stabil jika ρ(E, A) < 1. ˆ D Aˆ ∈ Rn×n , maka sistem deskriptor (3.1) adalah stabil Teorema 3.2. [4] Jika E + asimptotik jika dan hanya jika ada α ∈ Rn++ sedemikian sehingga ˆ D Aˆ − I)α ∈ Rn . (E −−
(3.2)
4. Stabilisasi Sistem Deskriptor Diskrit Linier Positif Perhatikan kembali sistem deskriptor diskrit (1.1). Sebelumnya telah dipaparkan sistem (1.1) dapat distabilkan jika terdapat kontrol feedback ut = Kxt untuk suatu K ∈ Rm×n sedemikian sehingga sistem Ext+1 = (A + BK)xt .
(4.1)
adalah stabil. Dengan asumsi bahwa sistem (4.1) adalah regular, yaitu det(λE − A − BK) 6= 0 untuk suatu λ ∈ C, maka (4.1) menjadi ¯ t+1 = Ax ˜ t, Ex
(4.2)
dimana ¯ = (λE − A − BK)−1 E, E A˜ = (λE − A − BK)−1 (A + BK). Pada Teorema 4.1 berikut diberikan syarat agar sistem (1.2) adalah stabil, positif, dan regular. Teorema 4.1. [4] Diberikan sistem (1.1) dimana (E, A) adalah regular, maka pernyataan berikut ekuivalen: (1) ada suatu matriks K ∈ Rm×n sedemikian sehingga state feedback ut = Kxt membuat sistem Ext+1 = (A + BK)xt
(4.3)
menjadi positif dan stabil. (2) ada λ ∈ C, x ¯ ∈ Rn , y1 , · · · , yn ∈ Rm sedemikian sehingga syarat berikut berlaku: (a) (λE − A − BK)−1 ada (b) untuk i, j = 1, · · · , n, berlaku: ¯ D A¯ − I)¯ ¯DB ¯ (E x+E
n X
yi ∈ Rm −,
(4.4)
i=1
x ¯ ∈ Rn++ ,
(4.5)
88
Lili Andriani
¯ D A) ¯ (i,j) xj + ¯bi yi ≥ 0, (E
(4.6)
¯ = (λE − A − BK)−1 E, E
(4.7)
¯ = (λE − A − BK)−1 B, B
(4.8)
A¯ = (λE − A − BK)−1 A
(4.9)
dimana:
¯ D B. ¯ dan ¯bi adalah baris ke-i dari matriks E Bukti. Dengan menggunakan Teorema 2.3 dan Teorema 2.5, pernyataan pertama ekuivalen dengan pernyataan ¯ D A˜ ∈ Rn×n dan (I − E ¯ D A)¯ ˜ x ∈ Rn , E ++ +
(4.10)
untuk suatu x ¯ ∈ Rn++ . Sehingga cukup untuk membuktikan ekuivalensi antara pernyataan kedua dan eksistensi matriks K ∈ Rm×n sedemikian sehingga (4.10) dipenuhi. Misalkan x ¯ = [x1 x2 · · · xn ]T ∈ Rn++ dan y1 , y2 , · · · , yn ∈ Rm . Definisikan K = [ki ]ni=1 = [ yx11 yx22 · · · yxnn ] ∈ Rm×n . Karena ki = yxii untuk i = 1, · · · , n ketaksamaan (4.6) ekuivalen dengan ¯ D A¯(i,j) + ¯bi yi = E ¯ D A(i, ¯ j) + ¯bi ki ∈ R+ , E xi atau ekuivalen dengan ¯ D A¯ + E ¯ D BK) ¯ ¯ D A˜ ∈ Rn×n . (E =E +
(4.11)
Pernyataan (4.11) ekuivalen dengan kepositifan dari sistem (4.1). Selanjutnya, dari (3.2) diperoleh ¯ D A¯ − I)¯ ¯DB ¯ (E x+E
n X
¯ D A¯ − I) + E ¯ D B( ¯ yi = [(E
i=1
n X
yi )(¯ x−1 )]¯ x
i=1
¯ D A¯ − I) + E ¯ D BK]¯ ¯ x = [(E ¯ D A˜ − I)¯ = (E x. P n dimana x ¯−1 = diag(¯ x−1 ¯ = i=1 yi . Sehingga berdasarkan Teorema 3.2, i ) dan K x diperoleh x ¯ > 0 dan ¯ D A¯ − I)¯ ¯DB ¯ (E x+E
n X
¯ D (A¯ + BK) ¯ yi = (E − I)¯ x
i=1
¯ D A˜ − I)¯ = (E x ∈ Rn−− ¯ D A˜ adalah stabil. jika dan hanya jika E 5. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Muhafzan, Bapak Admi Nazra, Bapak Mahdivan Syafwan, Ibu Lyra Yulianti, dan Bapak Effendi yang telah memberikan masukan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan dengan baik.
Stabilisasi Sistem Deskriptor Diskrit Linier Positif
89
Daftar Pustaka [1] Anton, H. 1991. Aljabar Linier Elementer. Edisi kedelapan. Jilid 1. Erlangga. [2] Berman, A. and Plemmons, R. J. 1979. Nonnegative Matrices in the Mathematical Science. Academic Press, New York. [3] D. Napp, F. Tadeo, and M. Chaabane. 2014. State Feedback Positive Stabilization of Discrete Descriptor Systems, International Journal of Innovative Computing. Information and Control 10(5) : 1853 – 1859 [4] E. Virnik. 2008. Stability analysis of positive descriptor system, Linear Algebra and its Applications. 429: 2640 – 2659. [5] Farina, L. dan Rinaldi, S. 2000. Positive Linear System, theory and Applications. John Wiley and Sons Inc., New York. [6] Kaczorek, T. 1992. Linier Control System, Vol. 1. England: Research Studies Press LTD. [7] L. Zhang. 2001. A characterization of the Drazin inverse, Linear Algebra and Its Applications. Vol.335, pp. 183 – 188 [8] M.Ait Rami and D. Napp. 2012. Characterization and stability of autonomous positif descriptor system, IEEE Trans. on Automotic Control. 57(10): 2668 – 2673 [9] M. Ait Rami and F. Tadeo. 2007. Controller synthesis for positive linear systems with bounded controls, IEEE. Trans.on Circuits and Systems-II. 54 (2): 151 – 155 [10] S. Campbell Jr., C. D. Meyer and N. J. Rose. 1976. Applications of the Drazin Inverse to Linear Systems of Differential Equations with Singular Constant Coefficients, SIAM Journal on Applied Mathematics. 31(3): 411 – 425 [11] Haddad, Wassim M, Chellaboina, Qing Hui. 2010. Nonnegative and compartmental dynamic system, Princeton University Press.
