Modul 5
Reduksi data gravitasi Reduksi data gravitasi terdiri dari: 1. Reduksi g teoritis 2. Reduksi free air 3. Reduksi Bouguer 4. Reduksi medan/terrain
1. Reduksi g teoritis Penelaahan tentang konsep reduksi data gravitasi lebih mudah dipahami dengan cara menelaah terlebih dahulu arti anomali medan gravitasi. Secara matematis dapat didefinisikan bahwa anomali medan gravitasi di topografi atau di posisi (x,y,z) merupakan selisih dari medan gravitasi observasi di topografi terhadap medan gravitasi teoritis di topografi. Medan gravitasi teoritis yaitu medan yang diakibatkan oleh faktor-faktor non-geologi dan harganya dihitung berdasarkan rumusan-rumusan yang dijabarkan secara teoritis. Nilai Medan ini dipengaruhi oleh letak lintang, ketinggian, dan massa topografi di sekitar titik tersebut. Secara matematis, Anomali medan gravitasi di topografi dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan berikut : g(x,y,z) = gobs (x,y,z) – gTeoritis (x,y,z)
(5-1)
dengan g (x,y,z) merupakan anomali medan gravitasi di topografi, dan gobs(x,y,z) adalah medan gravitasi observasi di topografi yang sudah dikoreksikan terhadap koreksi pasangsurut, koreksi tinggi alat dan koreksi drift. Sedangkan gTeoritis ( x, y, z ) merupakan medan gravitasi teoritis di topografi. Medan gravitasi teoritis yang ditentukan lebih awal adalah medan gravitasi normal yang terletak pada bidang datum (pada ketinggian z = 0) sebagai titik referensi geodesi. Rumusan medan gravitasi normal pada bidang datum ini telah ditetapkan oleh The International Association of geodesy (IAG) yang diberi nama Geodetic Reference System 1980 (GRS80) sebagai fungsi lintang (Joenil Kahar, 1990) yaitu : g() = 978032,700 (1 + 0,0053024 sin2 - 0,0000058 sin22) (mgal)
(5-2)
dengan adalah garis lintang.
Prak Metode Gravitasi dan Magnetik
Page 1
Dari persamaan (5-2) terlihat bahwa semakin tinggi letak lintangnya maka semakin besar percepatan gravitasinya. Jadi medan gravitasi bumi cenderung bertambah besar ke arah kutub.
2. Reduksi Free Air (Udara Bebas) Jika persamaan (5-2) sebagai medan gravitasi teoritis disubtitusikan ke persamaan (1) maka anomali medan gravitasi di topografi yang dihasilkannya belum dapat didefinisikan secara fisis. Hal ini disebabkan karena medan gravitasi nomal, g(), masih berada pada bidang datum (z = 0) sedangkan medan gravitasi observasinya, gobs (x,y,z), berada pada topografi. Untuk mengatasi masalah ini, diperlukan suatu teknik untuk membawa medan gravitasi normal yang berada pada bidang datum itu ke permukaan topografi, sehingga medan gravitasi normal dan medan gravitasi observasi sama-sama berada pada topografi. Teknik yang digunakan untuk mengatasinya yaitu dengan melakukan koreksi udara-bebas (free-air correction), yang besarnya adalah H g/r, dimana H adalah ketinggian di atas permukaan bumi. Untuk menghitungnya dapat menggunakan formula McCullagh (Grant and West, 1965) untuk potensial gravitasi pada sembarang titik di luar spheroida dengan eksentrisitas kecil dan berputar dg laju sudut :
U (r )
GM G 1 3 (C A)(1 3sin 2 ) 2 r 2 cos 2 r 2r 2
(5-3)
dimana C dan A adalah momen inersia axial dan equatorial dari bumi., sedangkan M adalah massa bumi, serta . Dengan mendeferensialkan persamaan 3 terhadap r untuk r = Re, akan diperoleh:
g 2U G 1 9G(c A) 1 2 2 5 [2MRe2 3(C A)] 2 9[ ] cos 2 r r 2 Re 2 Re5 2
(5-4)
Dengan memasukkan harga-harga astronomi untuk C, A, M dan Re, akan diperoleh:
g 0.9406 0.0007 cos 2 r
gu/ft
(5-5)
dimana gu adalah gravity unit dan 1 gu = 0.1 mgal. Dengan memasukkan harga lintang untuk sekitar Jawa Tengah dan DIY, yaitu sekitar 70 dan satuan diubah dalam mgal/meter, harga pendekatan yang cukup baik adalah: gf.a. - 0,308765 h miligal/m
Prak Metode Gravitasi dan Magnetik
(5-6)
Page 2
dengan h merupakan ketinggian stasiun dari datum. Persamaan (6) di atas disebut sebagai koreksi udara-bebas karena hanya memperhitungkan elevasi antara permukaan topografi (titik-titik observasi) dengan reference spheroid dengan mengabaikan massa diantaranya. Dengan melibatkan reduksi free air sebagaimana di atas, maka g teoritis di permukaan topografi dapat dituliskan sebagai : gTeoritis (x,y,z) = g() + gf.a
(5-7)
Dengan koreksi udara-bebas ini maka diperoleh anomali medan gravitasi udarabebas di topografi yang diformulasikan dalam persamaan berikut g(x,y,z)f.a. = gobs (x,y,z) – gTeoritis (x,y,z)
(5-8)
Pada penghitungan anomali medan gravitasi udara-bebas di atas, massa yang terletak antara datum dan permukaan topografi tidak diperhitungkan, padahal massa ini sangat mempengaruhi harga anomali medan gravitasi. Maka persamaan (10) akan lebih sempurna jika massa ini turut diperhitungkan. Grand and West, 1965, mendefinisikan bahwa massa yang terletak antara permukaan topografi dan bidang datum dapat dibagi menjadi dua bagian, yaitu: a) Bagian massa yang terletak antara bidang Bouguer dengan bidang datum dimana efek dari massa ini disebut efek Bouguer. Anomali yang dihasilkan setelah dilakukan koreksi Bouguer terhadap anomali udara-bebas disebut anomali medan gravitasi Bouguer sederhana. b) Bagian massa yang berada di atas bidang Bouguer dan bagian massa yang hilang di bawah bidang Bouguer. Efek dari massa ini disebut efek medan (terrain effect). Anomali yang dihasilkan setelah dilakukan koreksi medan terhadap anomali Bouguer sederhana disebut anomali medan gravitasi Bouguer lengkap. Secara matematis, anomali medan gravitasi Bouguer sederhana di topografi,
g B.L. ( x, y, z ) , dinyatakan oleh persamaan berikut : g B.S . ( x, y, z ) = gobs (x,y,z) – gTeoritis (x,y,z) . + gB
(5-9)
Sedangkan anomali medan gravitasi Bouguer lengkap di topografi adalah :
g B.L. ( x, y, z ) = gobs (x,y,z) – gTeoritis (x,y,z) . + gB - gT
(5-10)
dengan gB merupakan koreksi Bouguer dan gT adalah koreksi medan (terrain correction). Anomali medan gravitasi Bouguer lengkap merefleksikan adanya variasi-variasi densitas dalam kerak.
Prak Metode Gravitasi dan Magnetik
Page 3
Dengan dilakukannya koreksi Bouger tidak menghilangkan anomali massa yang terdapat di atas datum karena densitas massa yang digunakan dalam perhitungan koreksi Bouguer adalah densitas rata-rata dengan menganggap massa topografi bersifat homogen. Seperti halnya koreksi udara-bebas, dengan dilakukan koreksi Bouguer tidak berarti secara fisis memindahkan titik-titik amat ke ref spheroid, dan tidak menimbulkan diskontinyuitas densitas dari massa-massa yang berada di atas dan di bawah reference spheroid.
3. Model Koreksi Bouguer Model pendekatan terhadap koreksi Bouguer telah mengalami perkembangan dan pembaharuan. Model yang pertama dikenal adalah model slab horizontal tak hingga dengan ketebalan h relatif dari datum ke titik amat (stasiun). Besarnya koreksi Bouguer untuk model slab horizontal tak hingga adalah gB = 2 Gh
(5-11)
dengan adalah densitas massa Bouguer (massa topografi) dan h adalah ketinggian stasiun dari datum. Jika daerah penelitianya sangat luas, dari model ini akan terdapat banyak massa kosong yang turut menyumbang dalam penghitungan koreksi Bouguer. Di samping itu, secara geometris model ini kurang dapat dipertanggungjawabkan karena bentuk permukaan bumi tidak datar. Meskipun demikian, untuk daerah penelitian yang sempit (tidak luas) dan undulasinya kecil model ini masih signifikan digunakan karena makin sempit daerahnya maka secara geometris makin rendah derajat kelengkungannya atau makin mendekati bentuk datar.
4. Koreksi Medan Seperti telah dijelaskan sebelumnya bahwa terdapat bagian massa yang berada di atas bidang Bouguer dan bagian massa yang hilang di bawah bidang Bouguer yang pada kenyataannya merepresentasikan keberadaan bukit dan lembah. Efek dari massa ini disebut efek medan (terrain effect). Adanya lembah akan mengurangi nilai medan gravitasi di titik pengamatan, demikian pula dengan adanya bukit mengakibatkan berkurangnya medan gravitasi di titik pengamatan. Massa bukit mengakibatkan terdapatnya komponen gaya ke atas yang berlawanan arah dengan komponen gaya gravitasi. Jadi adanya lembah dan bukit di sekitar titik pengamatan akan mengurangi besarnya medan gravitasi sebenarnya di titik tersebut, sehingga koreksi medan yang diperhitungkan selalu berharga positif. Pada penghitungan koreksi medan menggunakan metode yang diusulkan oleh Kane (1962). Prak Metode Gravitasi dan Magnetik
Page 4
Metode ini didesain untuk menyeleksi data ketinggian disekitar stasiun gravitasi dimana koreksi medan akan dicari. Pada model ini dibuat grid dengan stasiun gravitasi sebagai pusatnya dan daerah perhitungan dibagi atas dua zona yaitu zona eksternal dan zona internal. Dengan menggunakan metode tersebut akan lebih efisien dalam perhitubgan koreksi medan. Program komputasi dari model ini telah dibuat oleh Ballina (1990) dengan menggunakan bahasa Fortran.
3. Penentuan Densitas Batuan Pada koreksi topografi di atas (koreksi Bouguer dan koreksi medan) ada satu nilai yang belum diketahui yaitu densitas batuan permukaan (densitas topografi). Densitas batuan dipengaruhi oleh beberapa faktor diantaranya adalah rapat massa butir pembentuknya, porositas, kandungan fluida yang mengisi pori-porinya, serta pemadatan akibat tekanan dan pelapukan yang dialami batuan tersebut. Metode penentuan densitas lapisan
permukaan kerak bumi dari data hasil
pengukuran gravitasi dapat dibagi atas dua bagian, yaitu : a) Metode yang memanfaatkan data pengukuran gravitasi di permukaan. b) Metode yang memanfaatkan data pengukuran gravitasi di bawah permukaan pada pertambangan dan boreholes. Penentuan densitas dengan memanfaatkan data-data hasil pengukuran di permukaan dapat dilakukan dengan menggunakan metode Nettleton yang dapat ditempuh dengan dua cara, yaitu: a) Secara grafis yaitu dengan membuat profil topografi dan profil anomali Bouguer untuk densitas yang berbeda-beda dari tiap-tiap lintasan yang dipilih. Harga densitas yang dipilih sebagai densitas batuan permukaan (atau densitas topografi) adalah densitas yang profil anomali Bouguernya berkorelasi minimum terhadap profil topografi. b) Secara analitik yaitu dengan menggunakan persamaan matematis untuk menghitung koefisien korelasi dari semua data pengukuran gravitasi. Cara ini sangat baik karena memasukkan semua data pengukuran gravitasi sehingga menjadi kros korelasi dua dimensi. Persamaan analitik yang dipakai menghitung koefisien korelasi k adalah : n
g
k
k 1
n
g k 1
Prak Metode Gravitasi dan Magnetik
k
( i ) g ( i ) hk h
( i ) g ( i )
2
k
h h
(5-12)
n
k 1
k
Page 5
dengan g ( ) adalah anomali medan gravitasi Bouguer sederhana yang diformulasikan oleh persamaan (12). Jika k = 0 maka harga-harga anomali Bouguer dan harga-harga elevasi tidak terkorelasi, yang berarti bahwa densitas yang diasumsikan merupakan harga densitas massa topografi yang tepat. Guna
memperkuat
keyakinan
terhadap
hasil
perhitungan
densitas
dengan
menggunakan metoda di atas diperlukan pula informasi geologi tentang struktur batuan daerah survey. Lamiran A: PENJABARAN KOREKSI UDARA BEBAS (Grant and West, 1965) Besarnya medan gravitasi akan berubah apabila ketinggian titik ukur berubah. Hal ini disebabkan oleh perubahan jarak titik ukur terhadap pusat bumi. Apabila titik ukur terletak di atas atau di bawah sferoida acuan sebesar h, dengan h << R, maka percepatan gravitasi titik ukur adalah:
g ( R h) g ( ) h
dg dR
(A.1)
dengan: g()
= percepatan gravitasi normal (milligal)
dg dR
= variasi percepatan gaya berat terhadap R (milligal)
h
= ketinggian titik amat ke permukaan sferoida acuan (meter).
Jari–jari referensi sferoida acuan dari pusat bumi (R) adalah 6378,137 km, sedangkan
dg h dihitung dengan menggunakan rumus McCullagh : dR U ( R)
GM G 1 (C A)(1 3 sin 2 ) 2 R 2 cos 2 3 R 2 2R
(A.2)
dengan: Kecepatan angular bumi (Ω)
= 7,2992115 x 10-11 rad s -1
Konstanta gravitasi umum (G)
= 6,6732 x 10 -11 N m2 kg2
Massa bumi (M)
= 5, 973 x 1024 kg
Momen inersia axial (C)
= 8,0378 x 1037 kg m2
Momen inersia equatorial (A)
= 8,0115 x 1037 kg m2
= sudut lintang
Prak Metode Gravitasi dan Magnetik
Page 6
Turunan pertama dari g sebagai fungsi R diperoleh :
dg d 2U dR dR
G Re
5
2MR
2
e
9GC A 1 2 1 3C A 2 cos 2 5 2 2 Re
(A.3)
dengan memasukkan besaran-besaran yang ditentukan secara astronomi untuk C, A, M, Re (jari-jari di khatulistiwa), dan dengan memasukkan nilai 7,50 diperoleh pendekatan :
g fa
dg h - 0,3086h mgal/m dR
(A.4)
dengan g fa merupakan nilai koreksi udara bebas. Titik ukur yang terletak di bawah atau di atas permukaan sferoida acuan sebesar h, percepatan gravitasinya dihitung dengan persamaan (C.1). Suku kedua bagian kanan bernilai negatif pada (C.1), berarti menaikkan permukaan sferoida acuan g(R) ke titik ukur. Anomali udara bebas dihitung dengan rumus :
dg g fa g obs g h dR
g obs g ( ) 0,3086hmgal
(A.5)
Lampiran B: PENJABARAN KOREKSI BOUGUER (Telford, 1976) Untuk menjabarkan koreksi Bouguer, ditinjau sebuah silinder dengan jari-jari R dan tinggi L seperti pada gambar B.1 berikut: Pertama dicari nilai g pada sumbu sebuah piringan setebal dl, dengan memperhatikan sebuah elemen cincin setebal dr. Massa dari cincin adalah:
m 2rdrdl
(B.1)
dengan σ adalah rapat massa silinder. Efek gaya berat diberikan oleh:
g 2Gdl sin d
(B.2)
Untuk menghitung efek total piringan, dapat diperoleh dengan pengintegralan dari 0 sampai arctan(R/L), sehingga dipeoleh:
g 2Gdl 1 1 2 d 2 l R Prak Metode Gravitasi dan Magnetik
(B.3)
Page 7
Dengan mengintegralkan terhadap l dan z sampai z + l, akan diperoleh efek untuk seluruh silinder:
g 2G
z 1
z
dl 1 1 2 2 l R
2G L z 2 R 2 ( z L) 2 R 2
(B.4)
Bila R → ∞, akan diperoleh :
g 2GL
(B.5)
Gambar B.1. Model silinder untuk penjabaran koreksi Bouguer.
Persamaan (B.5) merupakan koreksi Bouguer untuk sebuah titik amat dengan ketinggian L dari sferoida acuan, dalam hal ini dasar silinder menggambarkan sferoida acuan di lapangan.
Prak Metode Gravitasi dan Magnetik
Page 8
