STAROVĚKÁ INDIE 3. tisíciletí př. Kr. – údolí Indu: vyspělý otrokářský stát s rozvinutou kulturou o matematických znalostech svědčí zbytky veřejných budov, soustava zavodňovacích kanálů a stok, zdobená keramika, sochy, pravítko s desetinným dělením, ... Šalvasútra (Pravidla provazce), 5. – 7. stol. př. Kr. - ve verších mnoho pravidel pro stavbu oltářů za použití šňůr a bambusových tyčí - konstrukce pravého úhlu, čtverce, pythagorejských (pravoúhlých) trojúhelníků a jejich přeměna na lichoběžník stejného obsahu, přeměna obdélníka na čtverec stejného obsahu, ...
Pythagorova věta: Baudhájana (matematik, pravděpodobně také kněz, kolem 800 př. Kr.): nejdříve zvláštní případ pro rovnoramenný trojúhelník: „napříč přes čtverec položený provazec vytváří dvakrát větší obsah“
Pak i obecná věta: „napříč přes obdélník položený provazec vytváří dohromady to, co vytváří délka a šířka každá zvlášť“
5 Pythagorejských trojúhelníků: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; ;7, 24, 25; 12, 35, 37 Půlení úsečky Sestrojení čtverce o straně 2a Zdvojnásobení čtverce
Početní soustava ve starověké Indii a objev nuly 1. – 2. stol. př. Kr.:
Existence speciálních symbolů pro čísla od 1 do 9 = charakteristický a významný rys indické aritmetiky = základní předpoklad pro vytvoření poziční desítkové číselné soustavy Bráhmanská soustava se proměnila v poziční se základem 10 pravděpodobně v šestém století – využila existence různých znaků pro čísla 1 až 9 a úsporné notace pro větší čísla i názvů pro vyšší mocniny deseti. Nejstarší písemný doklad jejího užívání (bez nuly): 595, měděná náhrobní deska ze Sankhedy
Nejběžnější poziční notace užívala písma nagari:
Nula (tečka, později malý kroužek) – v dnešním smyslu: Nejstarší příklad užití znaku pro nulu: r. 458 – dochovaný spis o kosmologii (jsou však nepřímé doklady, že byla v užívání již 200 let před naším letopočtem) Na rozdíl od Babyloňanů a Mayů indičtí počtáři nulu bez váhání uznali za výsledek odečtení čísla od sebe samého. Roku 628 ji indický astronom Brahmagupta tímto způsobem definoval a vyjádřil algebraická pravidla pro sčítání, odečítaní, násobení a – což je nejpřekvapivější – i pro dělení. Uveďme alespoň jedno z jeho pravidel: Od většího je nutno odečíst menší, výsledek je kladný, jestliže odečítáme kladné od kladného a záporný, jestliže odečítáme záporné od záporného. Jestliže se odečítá větší od menšího, tento rozdíl (co do znaménka) se obrací, záporné se stává kladným a kladné se stává záporným. Jestliže se kladné odečítá od záporného nebo záporné od kladného, je nutné je sečíst. Brahmagupta definoval i nekonečno jako číslo, které vznikne dělením každého jiného čísla nulou, a vypracoval obecný soubor pravidel pro násobení a dělení kladných i záporných veličin.
Objevování nuly:
Aritmetické operace: +, -, x, :, mocnina, odmocnina Sčítání řad přirozených čísel
kde
Počítání na abaku pomocí mušliček Kauri (drobná peněžní jednotka) - několik set podlouhlých mušliček pro vyznačení čísel 1-9 ve sloupcích abaku a tucet kulatých pro 0 Např. 52 077
...................
/// // Ο /// // /// /
/// /// /
Později písemně na počítacích deskách pokrytých prachem či pískem (ryli ostrou hůlkou) Násobení – více metod, např.: 135 x 12 = 1620 1
3
5
1
3
5
1
0
2
1 2 1
6
6 2
0
857 x 43 = 36 851 8 3
5 2
2 2 6
8
2 0
1 4
3
7 4
1
3
2 5
5
8
1
Pravidla pro počítání s 0 (nutné pro počítání v poziční soustavě): Šrídhara (9. stol.), Arjabhatta II.: vlastnosti 0:
a : 0 ... později došli k tomu, že to je nekonečno a že se číslo nezmění, ať k němu přičtu či od něho odečtu jakékoli číslo
Zlomky: Podrobně rozpracováno, stejná forma jako dnes – až na zlomkovou čáru Šalvasútra ... kmenové zlomky Šrídhara: 14 pravidel operací pro počítání se zlomky (společný jmenovatel jako součin jmenovatelů) Později: pravidla redukce
Záporná čísla: asi převzali z Číny (majetek x dluh) označení: tečka nad číslic pravidla pro sčítání a odčítání záporných čísel znaménko 2. odmocniny „stejné jako u čísla, z něhož vznikl čtverec“, později odmocnina ze záporného čísla neexistuje Znali identity:
Iracionální čísla: operace s čísly a mnohočleny - +, -, x, : Bháskara II. (12. stol.):
(5x - 1) x (3x + 2)
Lineární a kvadratické rovnice: lineární rovnice ... samíkarana (samí = stejný, kr = dělat) Prithúdakasvámí: „V úloze předložené tazatelem se neznámá označí jávat – távat; potom se provedou v úloze vyžadované operace násobení, dělení atd. a sestaví se velmi pečlivě dvě stejné strany. Jakmile je tímto způsobem utvořena rovnice, následuje pravidlo (pro její řešení)“ ax2 + bx = c
Neurčité rovnice (2. stupně): xy = ax + by + c subst.: x = u + b, y = v + a uv = c + ab (c + ab vyjádříme jako součin 2 celočíselných koeficientů → vzájemné srovnávání koef. levé a pravé strany → celočíselné řešení dané rovnice) Geometrické vysvětlení úprav již v Šalvasútře
Kombinatorika Snad již 2. stol. př. Kr. Kombinace m-té třídy z n prvků, rozvoj 2n Bháskara II.: vykládá postupy výpočtu permutací s opakováním i bez a kombinací
Geometrie Prameny velmi kusé, žádná zvláštní geometrická díla (pravidla pro měření geometrických útvarů zahrnuta do obecné věty o výpočtech) Arjabhatta: obsah obdélníka, objem krychle, obsah trojúhelníka, obsah lichoběžníka, závislost v kruhu:
(s ... obvod, d ... průměr)
Počátky trigonometrie sinus, cosinus, sinusversus Pythagorova věta ⇒
sinus poloviny oblouku:
(zkoumali jen v prvním kvadrantu)
Nevíme přesně, co Indové vymysleli sami a co převzali z Číny, Babylónie, Řecka Vše ve verších – pro lepší zapamatování
