Prosiding SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN APLIKASINYA 2013
“Peran Matematika dan Sistem Informasi sebagai Basis Pengembangan IPTEK di Indonesia”
EDITOR KETUA ANGGOTA
: Fatmawati : Abdulloh Jaelani Indah Werdiningsih M.Yusuf S Toha Saifudin Nurul Surtika Sari
PENATA LETAK: Abdulloh Jaelani
DESAIN COVER: Taufik
PENERBIT: Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga Kampus C, Jl. Mulyorejo, Surabaya
Cetakan pertama September 2013 ISBN No. 978-602-14413-0-5
ii
Tim Penilai Makalah (Reviewer): Eridani, Dr .( Prodi Matematika, FST-Universitas Airlangga) Moh. Imam Utoyo, Dr. (Prodi Matematika, FST-Universitas Airlangga) Fatmawati, Dr. (Prodi Matematika, FST-Universitas Airlangga) Windarto, Dr. (Prodi Matematika, FST-Universitas Airlangga) Herry Suprajitno, Dr. (Prodi Matematika, FST-Universitas Airlangga) Miswanto, Dr. (Prodi Matematika, FST-Universitas Airlangga) Liliek Susilowati, M.Si. (Prodi Matematika, FST-Universitas Airlangga) Nur Chamidah, M.Si (Prodi Statistik, FST-Universitas Airlangga) Eto Wuryanto, DEA (Prodi Sistem Informasi, FST-Universitas Airlangga)
iii
KATA PENGANTAR
Prosiding ini merupakan hasil dari Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya 2013 (SNMA 2013) yang diselenggarakan oleh Departemen Matematika Universitas Airlangga pada hari Sabtu, 21 September 2013 yang bertempat di Kampus C, Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga Jl. Mulyorejo Surabaya. Seminar ini dimaksudkan sebagai sarana untuk publikasi penelitian dan karya tulis, juga dapat digunakan sebagai sarana dan upaya untuk menjalin komunikasi antar praktisi, akademisi dan institusi yang turut serta mengoptimalkan dan memanfaatkan hasil-hasil riset dan inovasi dalam berbagai bidang. Makalah yang dimuat terdiri dari beberapa topik yang terpilih oleh Tim Penilai dan telah dipresentasikan dalam seminar tersebut, yaitu dalam bidang Aljabar dan Graf, Analisis, Matematika Terapan, Riset Operasi dan Komputasi, Statistika, Pendidikan Matematika dan Sistem Informasi. Makalah yang disusun dalam prosiding ini dicetak sesuai dengan makalah asli yang dikirimkan oleh masing-masing penulis setelah dilakukan perbaikkan atas saran reviewer yang ditunjuk oleh Panitia Seminar. Perubahan yang dilakukan oleh Panitia Seminar hanya terkait dengan format guna keseragaman penulisan dalam prosiding ini. Walaupun semua makalah yang telah dimuat dalam prosiding telah direview oleh Tim Penilai Makalah, namun tanggung jawab penulisan makalah dalam prosiding ini sepenuhnya ada pada penulis.
Surabaya, September 2013 Tim Editor
iv
Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya 2013
DAFTAR ISI Halaman Judul
i
Editor
ii
Tim Penilai Makalah (Reviewer)
iii
Kata Pengantar
iv
Daftar Isi
v
Minimisasi Norm Daerah Hasil (Range Norm) Himpunan Bayangan (Image Set) Matriks Atas Aljabar Max-Plus Interval
1-6
Siswanto, Ari Suparwanto, M. Andy Rudhito Seputar Modul Komultiplikasi
7 - 11
Laila Dini Anggraini, Indah Emilia Wijayanti Graph Cantik
12 - 20
Imam Rofiki Graf Model Lalu-Lintas Kendaraan Di Persimpangan Jalan Bersinyal Dengan Palang Pintu Kereta Api
21 - 27
Tomi Tristono Konstruksi Kode Varshmov Biner Berjarak Minimum Rendah
28 - 34
Sugi Guritman, Nur Aliatiningtyas, Teduh Wulandari, Muhammad Ilyas Invers Matriks Laplace yang Digeneralisasi
35 - 38
Irwan Susanto Teorema Pemetaan Kontraktif Pada LP([0,∞)) Sebagai Ruang Norm -2
39 - 41
Shelvi Ekariani, Hendra Gunawan Kekompakan Dan Keterhubungan Dengan Menggunakan Gauge Pada Ruang Topologi
42 - 46
Dewi Kartika Sari, Ch. Rini Indrati Dual KÖTHE-TOEPLITZ Pada Ruang Barisan Dengan Elemen Barisan Generalisasi Barisan P-Absolutely Summable Dan Barisan Terbatas
47 - 55
Sumardyono, Soeparna D.W., Supama Mollifier Pada Ruang Bernorma Թn
56 - 59
Dwi Nur Yunianti
v
Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya 2013
Halaman Primitif Fungsi Terintegral MALPHA Pada Ruang Berdimensi – n Bersifat ACGALPHA
60 - 64
Muslich Teorema Representasi Riesz Pada Ruang Barisan Yang Dibangkitkan Oleh Fungsi Orlicz Yang Diperluas
65 - 70
Nur Khusnussa’adah, Supama Kriteria Cauchy Dari Suatu Fungsi Bernilai Vektor Pada Suatu Sel Di Dalam Ruang Metrik Kompak Lokal
71 - 75
Manuharawati dan Dwi Nur Yunianti Bifurkasi Hopf Dan Heteroclinic Pada Model Mangsa-Pemangsa Holling-Tanner Tipe II
76 - 80
Ali Kusnanto, M. Buchari Gaib, Paian Sianturi Analisis dan Kontrol Optimal Model Dinamik Virus Hepatitis B (VHB) dengan Pertumbuhan Logistik Sel Hepatosit
81 - 85
Fatmawati, Adise Putra Indanto, Yayuk Wahyuni Teknik Pemisahan Sinyal Suara menggunakan Deteksi Puncak pada Scattering Plot
86 - 92
Irwansyah, Dhany Arifianto, Aulia Siti Aisjah Aplikasi Skema Central Upwind Semidiskrit Order Kedua Pada Persamaan Saint Venant Dimensi-Satu dengan Lebar dan Dasar Saluran Tidak Konstan
93 - 99
Noor Hidayat, Suhariningsih, Agus Suryanto Model Matematika Penyebaran HIV/AIDS dalam Tubuh Manusia dengan Faktor Respon Imun
100 - 107
Maulida Syarifah, Fatmawati, Yayuk Wahyuni Generalisasi Barisan Transisi Pada Kode Gray Biner Menjadi Barisan Transisi Blok
108 - 115
Wahidah Model Matematika Pertumbuhan dan Pemanenan Rumput Gajah Sebagai Pakan Ternak
116 - 120
Windarto, Dini Wulandari, Mahfudhotin Normalized Differentiation Water Index (NDWI) Spot Untuk Delineasi Tubuh Air
121 - 125
Wiweka Kestabilan model SIR-SI host-vector transmisi demam berdarah dengue Jafaruddin, S. W. Indratno, Nuning Nuraini, Asep K Supriatna, E. Soewono
vi
126 - 131
Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya 2013
Halaman Model Estimasi Angka Produktivitas Penuntasan Wajib Belajar Pendidikan Sekolah Dasar Berbasis pada Masyarakat Kelompok Miskin: Studi Kasus di Kabupaten Donggala Sulawesi Tengah
132 - 138
Nursalam, Suwari, Jafaruddin, Ariyanto, Heru Suwardi, Jakobis Johanis M Peningkatan Unjuk Kerja Pemisahan Bunyi Campuran Melalui Perubahan Konfigurasi Sensor Array Secara Spasial
139 - 143
Muh. Syaifuddin Zuhdi, Dhany Arifianto Jaringan Syaraf Tiruan dengan Pembelajaran Algoritma Genetika dan Diversitas untuk Deteksi Kelas Penyakit
144 - 148
Abidatul Izzah, Ratih Kartika Dewi Penentuan Harga Opsi Asia Dengan Model Binomial Dipercepat
149 - 156
Surya Amami Pramuditya, Kuntjoro Adji Sidarto Penjadwalan Mata Kuliah Sistem Mayor-Minor Di Perguruan Tinggi
157 - 162
Nur Apriandini, Farida Hanum, Amril Aman, Toni Bakhtiar Model Pengoptimuman Dispatching Bus Pada Transportasi Perkotaan
163 - 170
Nurisma, Amril Aman, Farida Hanum Penerapan Back Propagation Neural Network dan Linier Programming Dalam Perencanaan Pola Tanam-tanaman Pangan di kabupaten Lombok Tengah
171 - 178
Syaharuddin, M. Isa irawan, Habibi RPN, Ripai Pemodelan Temporally Weighted Regression Pada Hubungan Angka Insiden DBD Dan Unsur Iklim Di Surabaya
179 - 182
Baharuddin, Brodjol Sutijo Suprih Ulama, Suhariningsih Penggunaan Metode Value at Risk Untuk Menentukan Tingkat Resiko Investasi Melalui Pendekatan Model Financial Series
183 - 188
Sediono Pendugaan Curah Hujan, Kelembaban, Dan Suhu Di Surabaya Berdasarkan Metode Ordinary Kriging
189 - 194
Toha Saifudin, Elly Ana, Nur Chamidah, Beta Ghobia Khalmah Studi Pengembangan Bandara Internasional Ngurah Rai Berdasarkan Prediksi Jumlah Penumpang Pesawat Dalam Rangka Mendukung Potensi Pariwisata Di Bali Kadek Ary W, Vinny Merlinda H, Renanthera Puspita N, Irmanita Azalia, Heri Kuswanto
vii
195 - 200
Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya 2013
Halaman Pembesaran Citra Wajah berbasis Fungsi Polinomial Menggunakan Metode Least Square Error(LSE)
201 - 205
Qurin Ainun, Cahyo Crysdian Pemetaan Pencemaran Air Sungai di Surabaya Berdasarkan Indikator Pencemaran Air Secara Kimia (Chemical Oxygen Demand) Sebagai Early Warning System dengan Metode Mixed Geographically Weighted Regression
206 - 213
Rosna Malika, Umi Anifah, Dewi Arfianty ‘azmi, Tahira Eta Adisti, Sutikno Laju Kekonvergenan Penduga Fungsi Nilai Harapan Pada Proses Poisson Periodek Majemuk
214 - 221
Ruhiyat, I Wayan Mangku, I Gusti Putu Purnaba Estimasi Konsentrasi Gas Polutan Karbon Monoksida (CO) Dan Nitrogen Dioksida (NO2) Di Surabaya Menggunakan Metode Cokriging
222 - 228
Dian Safrina Putri, Silvia Roshita Dewi, Lauda Septiana, Idayati
Algoritma Expectation-Maximization (EM) untuk Estimasi Distribusi Mixture
229 - 233
Tomy Angga Kusuma, Suparman Pemodelan Tingkat Kerawanan Penyakit Demam Berdarah Dengue Di Surabaya Dengan Pendekatan Geographically Weighted Logistic Regression
234 - 240
Nur Chamidah, Toha Saifudin, Marisa Rifada, Fitriah Anugrah Gunita Perbandingan Kinerja Penduga Robust MVE dan MCD dalam Analisis Diskriminan Kuadratik lebih dari Dua Kelompok
241 - 245
Toha Saifudin
Peningkatan Hasil Belajar Matematika melalui Strategi Pembelajaran Holobis Kuntul Baris Berjalan Terbalik Dikemas dalam CD Pembelajaran pada Materi Fungsi Invers Kelas XI IPA SMA Negeri 1 Jatibarang.
246 - 251
Nur Rokhman Penerapan Algoritma Ant Colony Optimization (Aco) Pada Penjadwalan Vehicle Routing Problem (Vrp) Dengan Batasan Sumber Daya Dan Jarak Tempuh Di Balai Riset Dan Standardisasi Industri Surabaya Penerapan Algoritma Ant Colony Optimization (Aco) Pada Penjadwalan Vehicle Mahfudhotin, Ratnaning Palupi, Vida Nourma Chakim, Hernanda Lasmana4, Annisa Ayu Utami, Herry Suprajitno
252 - 258
Membangun Fungsi Multivariabel Untuk Studi Parameter Fisik Pada Permasalahan Lendutan Balok Beton Cantilever
259 - 263
Wahyo Hendarto Yoh.
viii
Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya 2013
Halaman Optimalisasi Penggunaan Teknologi Informasi Sekolah ( Sofware KWIKTRIG 3.0.5, CAMTASIA Recorder 8.0 Dan Facebook) Dalam Pembelajaran Trigonometri Siswa SMA
264 - 269
Hilda Nurul Hikmah Pengembangan Instrumen Penelitian Pembelajaran Kalkulus Diferensial Berbasis Pendekatan Open Ended Untuk Meningkatkan Kemampuan Representasi Matematis Mahasiswa STKIP PGRI Pontianak
270 - 273
Ichsan
Purwarupa Sistem Administrasi Akademik Untuk Perguruan Tinggi Dengan Model Pembelajaran Jarak Jauh
274 - 278
Soetam Rizky Wicaksono, Tri Mariono Pembelajaran Matematika Saat Ini?
279 - 286
Jackson Pasini Mairing Menumbuhkan Kreativitas Dan Kemampuan Berfikir Tingkat Siswa Melalui Pengembangan Konjektur Matematika
287 – 293
I Wayan Puja Astawa Pengetahuan Konten Pedagonik (Pedagogical Content Knowledge) Pembeda Profesi Guru Dari Yang Lain (Kasus Guru Matematika)
294 – 299
Usman HB. Profil Pemecahan Masalah Geometri Siswa Kelas Akselerasi SMP Ditinjau Dari Tingkat Kemampuan Matematika
300 - 312
Imam Rofiki Meningkatkan Self-Regulated Learning Melalui Pendekatan Problem-Centered Learning Dengan Hands-On-Activity Pada Siswa Kelas VIII SMP Negeri 3 Cipaku Tahun Pelajaran 2011/2012
313 - 319
Lala Nailah Zamnah Profil Berpikir Siswa Sekolah Dasar Yang Menggunakan Numeralia Bahasa Biak Dalam Menyelesaikan Soal Operasi Hitung
320 - 325
Mayor M.H. Manurung Strategi Brain Based Leraning Dalam Pemebalajarn Matematika Untuk Mengembangkan Kemampuan Berfikir Kritis Dan Kreatif Siswa Ginanjar Abdurrahman, Mukti Sintawati
ix
326 - 330
Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya 2013
Halaman Rancang Bangun E-Learning untuk Pembelajaran Aritmatika dalam Bahasa Mandarin bagi Siswa Sekolah Dasar Berbasis Web
331 - 336
Yulius Hari, Darmanto, Budi Hermawan Konkrit Perkalian Dan Pembagian Dalam Matematika Gasing
337 - 345
Ali Godjali, Josephine Kusuma Analisis Pekerjaan Siswa Pada Topik Segiempat Berdasarkan Teori Van Hiele
346 - 353
Bettisari Napitupulu What Wrong With Math ?
354 - 357
Bernaridho Imanuel Hutabarat , Roni F. Sinaga Abstraksi Konsep Pembagian Pecahan Dengan Topangan
358 - 363
Firman Pangaribuan Studi Analisa Pembelajaran Matematika Melalui Game Pada Anak Usia SD
364 - 368
Arik Kurniawati Imputasi Missing Data Menggunakan Algoritma Pengelompokan Data K-Harmonic Means
369 - 373
Abidatul Izzah, Nur Hayatin Analisis dan Perancangan Sistem Informasi Berbasis Web Sebagai Media Promosi dan Informasi Kain Tenun Daerah Flores
374 - 378
Gregorius Rinduh Iriane Analisa Dan Perancangan Aplikasi Augmented Reality Pada Lokasi Pariwisata Flores Berbasis Android
379 - 386
Benediktus Y. Bhae, Devi Indriasari, Pranowo Prototipe Katalog Metadata Informasi Spasial Penginderaan Jauh Berstandar ISO 19115 Menggunakan Software Open Source Geonetwork
387 - 391
Samsul Arifin Pengembangan Aplikasi Penyusuluhan Pertanian Tanaman Hortikutura Berbasis SMS Gateway Pada Dinas Pertanian Dan Perkebunan Provinsi Nusa Tenggara Timur
392 - 398
Emerensiana Ngaga, Suyoto, Eddy Julianto Memprioritaskan Kebutuhan Perangkat Lunak Menggunakan Model Kano Dengan Menampilkan Rancagan Antarmuka Perangkat Lunak Indra Kharisma Raharjana x
399 - 405
Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya 2013
Halaman Rancangan Framework Business Intelligent pada Perguruan Tinggi
406 - 410
Henderi , Edi Winarko Analisis Dan Perancangan Sistem Pendukung Keputusan Penilaian Gabungan Kelompok Tani Berbasis Web
411 - 417
Ernawati, Yudi Dwiandiyanta, Patrisius Batarius Konsep Pemampatan Intra-Frame Urutan Citra Gerak Tari Hegong Menggunakan Alihragam Gelombng Singkat
418 - 423
Febriyanti Alwisye Wara, Alb. Joko Santoso, B. Yudi Dwiandiyanta Simulasi Sistem Antrian Pembuatan Surat Ijin Mengemudi (SIM) Di Satpas Polres Jember
424 - 429
Fitria Lusianik, Mahendrawathi ER Sistem Informasi Manajemen Bea siswa (SIMABEA) Berbasis Sistem Pendukung Keputusan dengan Menggunakan Metode Analytic Hierarchy Process (AHP) dan ELECTRE
430 - 434
Haryanto, Firli Irhamni, Bain Khusnul Khotimah Implementasi Sistem Pendukung Keputusan Dengan Metode Fuzzy Dalam Menentukan Lahan Potensi Tanaman Pangan Di Propinsi Jawa Timur
435 - 441
Hario Laskito Ardi, Kartono, Purbandini Aplikasi Sistem Pendeteksi Diabetes Menggunakan Multilayer Dengan Pelatihan Feedward Neural Network
442 -445
Nur Maulidyah, Bilqies Kimmilah, Friday Yosi Prilnambilanti, Fadillah,Shitta Dewi Puspitasari, Aina Nur Af’ida, Melinda Weridianti Yusuf Rancang Bangun Sistem Pakar Fuzzy Untuk Diagnosa Demam Beradarah
446 - 451
Indah Werdiningsih, Badrus Zaman Rancang Bangun Sistem Informasi Geografis (SIG) Berbasis Web Untuk Memantau Kualitas SLTP Di Kabupaten Gresik
452 - 457
M. Ainul Yaqin, Muhammad Bisri Musthafa Visualisasi 3D Rupa Bumi Berbasis Data GDEM Aster 30 Meter
458 - 465
Mochamad Agung Tarecha, Cahyo Crysdian Analisis Dan perancangan Sistem Untuk mendukung Pengambilan Keputusan Pemberian Beasiswa Di Universitas Katolik Widya Mandiri Kupang Sisilia Daeng Bakka Mau, Ernawati, Pranowo
xi
466 - 472
Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya 2013
Halaman Data Mining Dengan Metode Soft Clustering Untuk Menganalisa Karakteristik Pelanggan PDAM Kota Surabaya
473 - 478
Taufik Ekstraksi Ciri Sinyal Electromyograph Statik Pada Ekstensi-Fleksi Telapak Tangan
479 - 484
Triana Rahmawati, Indah Soesanti, Bondhan Winduratna Optimalisasi Cluster Data Dengan Menggunakan K-Means Clustering Berbobot
485 - 490
Bain Khusnul Khotimah Segmentasi Citra Biomedis Menggunakan Metode Level Set Local Image Fitting
491 - 495
Lianita Febrihani, Pranowo, B. Yudi Dwiandiyanta Penggunaan Algoritma Decision Tree Untuk Mendeteksi Penyakit Diabetes
496 - 498
Aditya Prakoso, M.A Danang, Rinaldhi Cahyono, Lukman Hakim, Aditya Suharjono, Rizqy Galan Pradipta Diagnosis Penyakit Demam Berdarah Melalui metode Feedward Neural Network
499 - 502
Faisal A, A Choliq F, Aldinovi Tito P, Hendra Dwi, Andrianto GP, Ahmadi Soffi S Diagnosa Penyakit Avian Influenza Pada Ayam Menggunakan Metode Feedforward
503 - 507
K. Wanda P, Delia Putri F, Kiki M W , Dika P H , Nur Hesti P , Masteria W Analisa Metode Fuzzy Untuk Diagnosa Penyakit Mata (Studi Kasus Rumah Sakit DR.T.C. Hillers Maumere)
508 - 512
Imelda Dua Reja, Alb. Joko Santoso, Ernawati Pengenalan Kain Sumba Menggunakan Jaringan Syaraf Tiruan Backpropagation
513 - 516
Yustina Rada, Albert Joko Santoso, Patricia Ardanasari Sistem Rekomendasi Pembelajaran Menggunakan Teknik Collaborative Filtering
517 - 520
Andharini Dwi Cahyani Penggunaan Korelasi Polikhorik dan Pearson untuk Variabel Ordinal dalam Model Persamaan Struktural
521 - 525
Anita Kesumahati, Zainal Abidin Rancang Bangun Sistem Pendukung Keputusan Optimasi Alokasi Pasokan Untuk Rantai Pasok Cabai Merah Besar Dengan Metode Fuzzy Multiobjective Optimization Linear Programming (Studi Kasus Koperasi Tani Made Makmur Surabaya)
526 - 533
Ayuningtyas Puspa Karina, Eto Wuryanto, Purbandini Interval Kepercayaan Rata-rata Respon Model Linier Campuran Berdasarkan Estimator Best Linear Unbiased Prediction Suliyanto
xii
534 - 536
Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya 2013
TEOREMA REPRESENTASI RIESZ PADA RUANG BARISAN YANG DIBANGKITKAN OLEH FUNGSI ORLICZ YANG DIPERLUAS Nur Khusnussa’adah1), Supama2) 1)2)
Jurusan Matematika, FMIPA, UGM Sekip Utara Yogyakarta 1)
[email protected] 2)
[email protected]
menginspirasi banyak peneliti. Sebagai contohnya Lindenstrauss dan Tzafriri (1973) memberikan adanya kemungkinan generalisasi ruang barisan Orlicz yang dibangkitkan oleh fungsi Orlicz yang tidak bersifat konveks. Permasalahan tersebut kemudian ditangkap oleh Kalton (1977) yang sukses menemukan beberapa hal menarik yang menjadi pembeda dua teori ruang barisan tersebut. Beberapa hal yang menarik di antaranya tentang fungsional linear kontinu, khususnya teorema Representasi Riesz. Teorema Representasi Riesz tidak hanya menarik untuk dikaji di bidang matematika analisis sendiri, tetapi juga di bidang lain yang terkait misalnya bidang matematika terapan di antaranya teori optimasi dan dasar untuk pengkonversian antara permasalahan maksimum dan minimum.
Abstract — Ruang Orlicz pertama kali diperkenalkan oleh Z.W. Birnbaum dan Wladyslaw Orlicz (1931). Selanjutnya, Orlicz (1932) mengembangkan sendiri ruang tersebut sebagai perluasan dari ruang Lebesgue. Ruang barisan Orlicz adalah kasus khusus dari ruang Orlicz dan merupakan generalisasi ruang barisan. Pengkajian ruang barisan Orlicz tersebut mulai diperkenalkan oleh Lindenstrauss dan Tzafriri (1971-1973) dan Lindenberg (1973). Hasil yang mereka peroleh menginspirasi banyak peneliti. Sebagai contohnya Lindenstrauss dan Tzafriri (1973) memberikan adanya kemungkinan generalisasi ruang barisan Orlicz yang dibangkitkan oleh fungsi Orlicz yang tidak bersifat konveks. Kufner, John, dan Fucik (1977) di dalam bukunya yang berjudul ―Function Spaces‖ telah mengkaji tentang teorema representasi Riesz pada ruang fungsi Orlicz dengan fungsi Orlicz yang masih bersifat konveks. Selanjutnya, terinspirasi dari penelitian-penelitian tentang ruang barisan Orlicz dengan fungsi Orlicz yang tidak konveks seperti yang telah dilakukan oleh Lindenstrauss dan Tzafriri (1973), Kalton (1977), Kamthan dan Gupta (1981), serta adanya hubungan antara barisan dengan fungsi, maka akan diteliti tentang teorema representasi Riesz pada ruang barisan Orlicz dengan mengacu pada hasil yang diperoleh Kufner, John, dan Fucik (1977). Lebih lanjut akan ditunjukkan bahwa setiap fungsional linear kontinu dalam ruang barisan Orlicz dapat direpresentasikan sebagai jumlahan dari perkalian sebarang elemen di dalam ruang barisan Orlicz dengan suatu elemen di dalam ruang barisan yang dibangkitkan oleh komplemen fungsi Orlicz tersebut.
II. TINJAUAN PUSTAKA Ruang Orlicz pertama kali diperkenalkan oleh Z.W. Birnbaum dan Wladyslaw Orlicz (1931). Selanjutnya, Orlicz (1932) mengembangkan sendiri ruang tersebut sebagai perluasan dari ruang Lebesgue L p . Ruang barisan Orlicz adalah kasus khusus dari ruang Orlicz dan merupakan generalisasi ruang barisan p . Pengkajian ruang barisan Orlicz tersebut mulai diperkenalkan oleh Lindenstrauss dan Tzafriri (1971-1973) dan Lindenberg (1973). Hasil yang mereka peroleh menginspirasi banyak peneliti. Sebagai contohnya Lindenstrauss dan Tzafriri (1973) memberikan adanya kemungkinan generalisasi ruang barisan Orlicz yang dibangkitkan oleh fungsi Orlicz yang tidak bersifat konveks. Permasalahan tersebut kemudian diteliti lebih lanjut oleh Kalton (1977), Kamthan dan Gupta (1981). Pada tahun 1992, Nowak juga meneliti tentang fungsional linear pada ruang barisan Orlicz yg tidak konveks lokal. Penelitian tersebut mengacu pada beberapa penelitian sebelumnya yang telah dilakukan oleh Ando (1960) dan Rao (1968). Selanjutnya, berdasarkan penelitian Nowak (1992) tersebut akan diteliti tentang fungsional linear kontinu pada ruang barisan Orlicz yang tidak konveks
Keywords— Fungsi Orlicz, Fungsional Linear Kontinu, Teorema Representasi Riesz
I. PENDAHULUAN Ruang Orlicz pertama kali diperkenalkan oleh Z.W. Birnbaum dan Wladyslaw Orlicz (1931). Selanjutnya, Orlicz (1932) mengembangkan sendiri ruang tersebut sebagai perluasan dari ruang Lebesgue L p . Ruang barisan Orlicz adalah kasus khusus dari ruang Orlicz dan merupakan generalisasi ruang barisan p . Pengkajian ruang barisan Orlicz tersebut mulai diperkenalkan oleh Lindenstrauss dan Tzafriri (1971-1973) dan Lindenberg (1973). Hasil yang mereka peroleh 65
Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya 2013
dengan menitik representasi Riesz.
beratkan
pada
maka y sup x y x : x 0 . Berarti,
teorema
untuk setiap x 0 , berlaku y x y x , untuk setiap y
III. METODE PENELITIAN Metodologi penelitian yang digunakan adalah studi literatur. Penelitian dimulai dengan mempelajari terlebih dahulu materi-materi dasar yang nantinya digunakan sebagai acuan untuk penelitian inti, antara lain sifat fungsional linear kontinu, teorema representasi Riesz pada ruang fungsi Orlicz yang diberikan oleh Kufner, John, dan Fucik (1977) dan hasil-hasil penelitian tentang ruang barisan Orlicz dengan fungsi Orlicz yang tidak konveks di antaranya Kalton (1977), Kamthan dan Gupta (1981), dan Nowak (1992) Selanjutnya, berdasarkan hasil-hasil penelitian tersebut akan dikaji lebih dalam tentang fungsional linear kontinu pada ruang barisan Orlicz yang tidak konveks dengan menitik beratkan pada teorema representasi Riesz.
x y y x , untuk setiap y . Karena x x , maka untuk setiap
x, y berlaku pula
xy x y . Selanjutnya, ketaksamaan ini disebut sebagai Ketaksamaan Young. Lebih lanjut, jika komplemen fungsi Orlicz , maka konveks. Diberikan fungsi Orlicz , didefinisikan himpunan
Himpunan IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
v.
naik pada
ini disebut Kelas Barisan Orlicz
(Orlicz Sequence Class). Himpunan merupakan ruang linear seperti dijelaskan dalam teorema berikut. Teorema 4.3 Diberikan fungsi Orlicz . Jika
Pada bagian ini terlebih dahulu diperkenalkan tentang fungsi Orlicz diperluas, norma Orlicz, ruang barisan Orlicz sebagai dasar pembahasan tentang teorema representasi Riesz. Pengertian fungsi Orlicz diperluas diberikan pada definisi berikut. Definisi 4.1 Fungsi : disebut fungsi Orlicz diperluas jika: i. kontinu pada ii. x x , untuk setiap x iii. iv.
x xn : xn . n 1
2 , maka Bukti: Karena i.
x 0 x 0
ruang linear.
x
.
x
dan
, berarti
x . n
n 1
0
,
maka
x 0 0
lim x
x
.
Jika
. Jadi, yang dimaksud dengan fungsi Olicz diperluas adalah fungsi Orlicz yang tidak bersifat konveks. Untuk selanjutnya, fungsi Orlicz diperluas cukup ditulis dengan fungsi Orlicz. Selanjutnya pengertian kondisi- 2 dalam fungsi Orlicz diberikan pada definisi berikut. Definisi 4.2 Fungsi dikatakan memenuhi kondisi- 2 , ditulis 2 , jika terdapat
n
n 1
0 n0
.
Jika
n 1
, maka
0
sehingga
. Berarti terdapat
2n
0
. Karena
memenuhi kondisi- 2 , maka
n 1
n 1
xn xn
2n0 xn
bilangan real K 0 sehingga 2x K x ,
n 1
untuk setiap x 0 . Selanjutnya, untuk sebarang fungsi Orlicz yang memenuhi kondisi- 2 , fungsi
M n0 xn n 1
: dengan
M n0 xn ,
y sup x y x : x 0 ,
n 1
M 0. Jadi, untuk setiap dan x untuk suatu
untuk setiap y disebut sebagai komplemen fungsi
, maka
Diambil sebarang Karena
. Jadi, jika komplemen fungsi ,
berlaku
66
x
.
Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya 2013
ii.
Diambil
x, y
sebarang
,
berarti
Fungsi
n 1
n
Untuk setiap
n
n 1
berlaku
xn yn xn yn xn yn
M max xn , yn ,
x y
h max x , y hn hn n
n 1
xn yn
n 1
n 1
. Akibatnya,
yn M hn .
n
Jadi,
n 1
x y
. Terbukti bahwa
ruang
, . yang dituangkan dalam teorema
x xn : xn yn , y n 1
Himpunan
Lebih lanjut,
.
n 1
dan untuk
xn yn xn yn n 1
n 1
n 1
ii.
n 1
sup xn yn : y n1
untuk setiap
x
n 1
F x xn yn n 1
.
xn yn F x .
Diberikan fungsi Orlicz dan komplemen fungsi . Didefinisikan fungsi . : dengan
x
n 1
xn yn pn yn ,
x p
F x F x
. Jadi,
xn yn xn yn
xn yn pn yn
y
.
n 1
untuk setiap
n 1
n 1
F y
F x x xn xn yn
pn yn xn yn pn yn
i.
setiap , berlaku n
1 y 2
.
Bukti: Fungsional F linear, sebab untuk setiap x, x dan berlaku
merupakan ruang linear sebab
untuk setiap x xn , p pn
n 1
Diberikan fungsi Orlicz dan komplemen fungsi , didefinisikan himpunan
x
F x xn yn , untuk setiap x
linear.
y
berikut. Teorema 4.4 Diberikan fungsi Orlicz dan komplemen fungsi . Jika y , maka dapat didefinisikan fungsional linear kontinu F : dengan
x n 1
h
Berdasarkan definisi dan sifat-sifat yang telah diberikan di atas, diperoleh sifat fungsional linear kontinu pada ruang barisan Orlicz
yn xn . Dengan kata lain,
x
n
xn yn
n
dengan fungsi Orlicz dan komplemen fungsi yang memenuhi Kesamaan Young.
. Diperoleh
n
n
n 1
n 1
, . , disebut ruang barisan
Orlicz (Orlicz Sequence Space). Di dalam ruang barisan Orlicz juga berlaku Ketaksamaan Holder bahwa untuk setiap x dan y berlaku
untuk suatu M 0 . Dimisalkan hn max xn , yn , untuk
, ditulis
2 max xn , yn
setiap n
yang
selanjutnya disebut norma Orlicz (Orlicz norm). Ruang yang dilengkapi dengan norma Orlicz
x dan y . n
. merupakan norma pada
n 1
F Selanjutnya, ditunjukkan terbatas. Berdasarkan Ketaksamaan Holder diperoleh
, , yn 1 n 1
F x
. 67
n 1
n 1
xn yn xn yn x
y
(1)
Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya 2013
Berarti
K y
terdapat
F x K x
0
x
, untuk setiap
sehingga
Definisi 4.5 Ruang Banach X dikatakan bersifat AK jika X memuat semua barisan berhingga dan untuk setiap x X berlaku
. Dengan
kata lain, terbukti F terbatas. Karena F linear dalam ruang bernorma
, . , maka F
lim x x n 0 . n
kontinu. Berdasarkan Eq. 1, dengan mengambil
x
supremum kedua sisi untuk
F y
1 , diperoleh
Setiap
Menurut Ketaksamaan Young bahwa untuk setiap
x
y
dan
x y n
n 1
n 1
n 1
xn yn .
n
Menurut definisi norma
x
berlaku
n 1
n 1
n 1
, . bersifat AK.
k
k 1
. bahwa
x
n 1
xn 1 1 1 2 .
k
Diambil
sebarang
k
sup F 2 x : x
1 y 2
F y
Suatu barisan
y
F .
N
sehingga
Untuk sebarang
.
(3)
terbukti
n
x
x y k n
k
n
k 1
k 1
x xk dan untuk setiap
terbukti
. Untuk
k
k
Dengan kata lain,
xk 0 , untuk setiap k N .
berarti
n N1 berlaku
xk ek xk ek
.
x xk berhingga jika ada
0 ,
, untuk setiap
k
x e
, sehingga untuk setiap
sup xk yk : y k n
x xk dikatakan berhingga
,
Akibatnya, untuk setiap
k n
.■
berlaku
.
0 , ada N1
x xn
(finite) jika banyaknya elemen tak nol dari x berhingga. Jadi,
lim x x n
, untuk setiap y
k
n N1 berlaku
1 2 F
Berdasarkan Eq. 2 dan Eq. 3,
1 y 2
setiap
.
x
x y
sup xn yn : x , xn 1 n 1 n 1 sup F x : x 2
xk 0 , untuk
k 1
Akibatnya,
barisan berhingga,
sehingga
untuk setiap
k 1
y
xk
Selanjutnya, ditunjukkan
n
, .
xk yk . Dengan kata lain,
xk
x 1 berlaku n 1
N
x y
untuk
Orlicz
k N . Untuk setiap y
setiap
xn 1.
Selanjutnya, menurut definisi norma
N
berarti ada
xn yn
barisan
Bukti: Diambil sebarang
. , diperoleh
ruang
bersifat AK, seperti ditunjukkan dalam teorema berikut. Teorema 4.6 Diberikan fungsi Orlicz dan komplemen fungsi . Ruang barisan Orlicz
(2)
x n x1 , x2 ,..., xn ,0,... .
Jadi,
, yk 1 k 1
lim x x n n
, . ruang AK.■
0 . Jadi,
Selanjutnya, representasi fungsional linear kontinu dalam ruang yang selanjutnya lebih dikenal dengan teorema representasi Riesz akan dituangkan dalam teorema berikut.
n , didefinisikan x n dengan x , k n xkn k . 0 , k n 68
Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya 2013 Teorema 4.7 Diberikan fungsi Orlicz dan komplemen fungsi . Jika F fungsional linear kontinu pada , maka terdapat dengan tunggal
y
n 1
F y
x
Bukti: Diambil sebarang
.
yn zn 0 , untuk setiap n 1 . Dengan kata lain, y z . Jadi, terbukti y tunggal. Akibatnya,
1, n m , untuk setiap m 0, n m F
Selanjutnya,
1 y 2
linear,
. maka
Untuk setiap
z n 1
z
n
n
yn zn F e n n 1
N
n 1
xn F e n n 1
, .
, . dengan
dengan komplemen
fungsi Orlicz . Permasalahan lain yang belum dibahas dalam dalam paper ini dan disarankan untuk diteliti lebih lanjut adalah sifat-sifat lanjutan yang berlaku dalam ruang barisan Orlicz, diantaranya kekompakan dan dualitas serta sifat refleksif ruang barisan Orlicz
n
dengan komplemen fungsi Orlicz
, . dengan suatu elemen di
suatu elemen di dalam
N
lim xn F e
dalam
sebarang elemen di dalam
N
dengan fungsi Orlicz tidak konveks dapat direpresentasikan sebagai jumlahan dari perkalian
F x F lim x N lim F x N N
, . dapat direpresentasikan
kontinu dalam ruang barisan Orlicz
, . bersifat AK berakibat
Berdasarkan pembahasan hasil di atas, dapat disimpulkan bahwa setiap fungsional linear
F z n e n F z . n 1 Dengan kata lain, y . Selanjutnya, karena
V. KESIMPULAN DAN SARAN
mengikuti Teorema 4.4.■
di dalam
.
berlaku
pembuktian
sebagai jumlahan dari perkalian sebarang elemen
, untuk setiap n 1.
yn F e
F y
ruang barisan
N
untuk
Berdasarkan Teorema 4.7, dapat disimpulkan bahwa setiap fungsional linear kontinu dalam
F x N F xn e n xn F e n . n 1 n 1 Didefinisikan
n 1
n 1
. Untuk setiap
n 1
N
n 1
xn yn zn 0.
N
Karena
n 1
x N x1 , x2 ,..., xN ,0,... = xn e n , dengan e
xn yn xn zn 0
N ,
n
n 1
.
n 1
xn yn xn zn 0
F x xn yn , untuk setiap x 1 Lebih lanjut, y 2
xn yn xn zn
sehingga
xn yn .
DAFTAR PUSTAKA
n 1
Selanjutnya, ditunjukkan ketunggalan y, yaitu jika ada
z
setiap
x
sehingga F x
xn yn , untuk
Ando, T., 1960, Linear Functional on Orlicz Spaces, Niew Arch.Wisk.8:1-16
y z . Karena
Birnbaum, Z.W. dan Orlicz, W., 1931, Über die Verallgemeinerung des Begriffes der zueinander konjugierten Funktionen, Studia Mathematica 3: 1–67
n 1
,
berakibat
F x xn yn , untuk setiap x n 1
, maka
69
Seminar Nasional Matematika dan Aplikasinya 2013
Kalton, N.J., 1977, Orlicz Sequence Spaces without Local Convexity, Math.Proc.Camb.Phil.Soc
Lindberg, K.J., 1973, On Subspace of Orlicz Sequence Spaces, Studia Math.45:119146
Kamthan, P.K. dan Gupta, M., 1981, Sequence Spaces and Series, Marcel Dekker, Inc., New York.
Lindenstrauss, J. And Tzafriri, L., 1973, On Orlicz Sequence Spaces:III, Israel J.Math.14:368-389
Kufner, A., John,O., and Fucik, S., 1977, Function Spaces, Noordhoff International Publishing, Leyden
Nowak, M., 1992, Linear Functional on Orlicz Sequence Spaces without Local Convexity, Internal J.Math and Math.Sci.Vol.15 No.2:241-254
Kreyszig, E., 1978, Introductory Functional Analysis with Application, John Willey & Sons, New York
Orlicz, W., 1932, Über eine gewisse Klasse von Räumen vom Typus B, Bull. Int. Acad. Polon. Sci. A 1932, 8/9, 207-220
70
