Proses Pendugaan. 95% yakin bahwa diantara 40 & 60. Mean X = 50. Mean,, tdk diketahui. Contoh Prentice-Hall, Inc. Chap. 7-1

Proses Pendugaan Populasi Mean, , tdk diketahui

Contoh Acak Mean X = 50

95% yakin bahwa  diantara 40 & 60.

Contoh

© 1999 Prentice-Hall, Inc.

Chap. 7 - 1

Pendugaan Parameter Populasi Menduga Parameter Populasi... Mean  Proporsi Ragam Perbedaan © 1999 Prentice-Hall, Inc.

dgn Statistik Contoh _ X

p 

2

 -  1

ps s 2

2

_ _ x - x 1

2 Chap. 7 - 2

Pendugaan Selang kepercayaan • Memberikan Selang Nilai 

Berdasarkan pengamatan suatu Contoh

• Informasi ttg perkiraan nilai parameter Populasi yg tdk diketahui • Dinyatakan dengan Peluang tdk pernah 100% yakin © 1999 Prentice-Hall, Inc.

Chap. 7 - 3

Komponen pendugaan selang kepercayaan Peluang bahwa Parameter Populasi berada dalam selang nilai tsb. Selang Kepercayaan

Batas Selang (bawah) © 1999 Prentice-Hall, Inc.

Statistik Contoh

Bataus Selang (atas) Chap. 7 - 4

Batas Selang Kepercayaan Nilai Tengah Populasi Parameter = Statistic ± Its Error

  X  Error X   = Error =   X

Z 

X  



X



Error



Error  Z 

X

x

  X  Z X © 1984-1994 T/Maker Co. © 1999 Prentice-Hall, Inc.

Chap. 7 - 5

Selang Kepercayaan X  Z X  X  Z 



x_

n

_ X   1.645x   1.645x 90% Samples

  1.96 x   1.96 x 95% Samples

  2.58 x © 1999 Prentice-Hall, Inc.

99% Samples

  2.58 x Chap. 7 - 6

Tingkat Kepercayaan •

Peluang bhw parameter yang tdk diketahui berada dalam selang tersebut

•

Dinotasikan (1 - ) % = tingkat kepercayaan misal: 90%, 95%, 99% 

© 1999 Prentice-Hall, Inc.

 : peluang bahwa Parameter tdk berada dalam selang kepercayaan tsb

Chap. 7 - 7

Nilai-nilai Selang & Tingkat Kepercayaan Sebaran penarikan contoh “Mean”

_  /2

x

1-

/2

X   Selang dari

 100% Tidak.

Sampai dgn

© 1999 Prentice-Hall, Inc.

X (1 - ) 100 % Selang Berisi .

X  ZX X  ZX

_

Selang-selang Kepercayaan Chap. 7 - 8

Faktor yg Mempengaruhi Lebar Selang • •

Variasi Data

Selang dari

diukur dgn 

X - Z

x

sampai X + Z 

x

Simpangan baku Contoh

X  X / n •

Tingkat Kepercayaan (1 - ) © 1984-1994 T/Maker Co.

© 1999 Prentice-Hall, Inc.

Chap. 7 - 9

Dugaan Selang Kepercayaan Confidence Intervals Mean

 Known

© 1999 Prentice-Hall, Inc.

Proportion

 Unknown

Populasi Terhingga

Chap. 7 - 10

Selang Kepercayaan ( Diketahui) •

•

Asumsi 

Simpangan Baku Populasi Diketahui



Populasi menyebar Normal



Jika TIDAK Normal, gunakan Contoh Besar

Dugaan Selang Kepercayaan

     X  Z / 2  X  Z / 2  n n © 1999 Prentice-Hall, Inc.

Chap. 7 - 11

Selang Kepercayaan ( tdk tahu) •

Asumsi Simpangan Baku Populasi TIDAK diketahui  Populasi menyebar Normal 

•

Gunakan Sebaran t-Student

•

Dugaan Selang Kepercayaan

S S    X t X  t / 2 ,n1   / 2 ,n1  n n © 1999 Prentice-Hall, Inc.

Chap. 7 - 12

Sebaran t-Student Normal Baku Bell-Shaped Symmetric ‘Fatter’ Tails

t (db = 13)

t (db = 5)

0 © 1999 Prentice-Hall, Inc.

Z t Chap. 7 - 13

Derajat Bebas (db) •

Jumlah Pengamatan yg bebas bervariasi setelah rataan contoh dihitung ()

•

Teladan 

© 1999 Prentice-Hall, Inc.

Rataan data 1,2,3 adalah 2 X1 = 1 (or Any Number) X2 = 2 (or Any Number) X3 = 3 (Cannot Vary) Rata-rata= 2

degrees of freedom = n -1 = 3 -1 =2

Chap. 7 - 14

Tabel t-Student /2 Daerah sebelah kanan

db .25

.10

.05

Asumsi: n = 3 db = n - 1 = 2  = .10 /2 =.05

1 1.000 3.078 6.314

2 0.817 1.886 2.920

.05

3 0.765 1.638 2.353

0 Nilai t © 1999 Prentice-Hall, Inc.

2.920

t

Chap. 7 - 15

Teladan: Dugaan Selang  tidak diketahui Suatu contoh acak n = 25 mempunyai X = 50 dan s = 8. Hitung dugaan selang kepercayaan 95% untuk .

S X  t / 2 ,n1  n 50  2 . 0639 

8 25 46 . 69

© 1999 Prentice-Hall, Inc.

S    X  t / 2 ,n1  n

   

50  2 . 0639 

8 25

53 . 30 Chap. 7 - 16

Teladan: Suatu contoh acak 36 mahasiswa FEM-IPB diperoleh nilaitengah dari nilai mutu rata-rata (NMR) sebesar 2.6 dengan ragam 0.09. Buat selang kepercayaan 95% dan 99% bagi nilaitengah NMR seluruh mahasiswa FEM-IPB

S X  t / 2 ,n1  n SK 95%:

S    X  t / 2 ,n1  n

0.3 2.6  1.96   36

0.3 2.6  1.96  36

 2.5    2.7

“95% kita yakin nilai  berada diantara 2.5 sampai dengan 2.7”

0 . 3 SK 99%: 2.6  2.575   36

0.3 2.6  2.575  36

 2.47    2.73

“99% kita yakin nilai  berada diantara 2.47 sampai dengan 2.73”

Ukuran Contoh (n) Terlalu Banyak  butuh SD banyak Terlalu Sedikit  Tdk representatif Jika digunakan untuk menduga , kita percaya (1-)100%  bahwa galatnya tidak akan melebihi z  /2 n Jika kita ingin galatnya tidak akan melebihi suatu nilai e, 2 maka ukuran contoh yg harus diambil sebesar:  z / 2 

n 

e

Dlm Teladan lalu, berapa besar ukuran contoh harus diambil jika kita ingin percaya 95% bahwa nilai dugaan tidak menyimpang dari  lebih dari 0.05?  n = 138.3 = 139

 

Dugaan untuk Populasi Terhingga •

Asumsi  Contoh cukup besar relatif terhadap Populasi  n / N > .05

•

Gunakan Faktor Koreksi Populasi Terhingga

•

Selang Kepercayaan (Mean, X tdk tahu)

S S N n Nn X  t / 2,n1     X  X  t / 2,n1   n N1 n N 1

© 1999 Prentice-Hall, Inc.

Chap. 7 - 19

Dugaan Selang Kepercayaan Proporsi •

Asumsi  Dua respon kategori  Populasi mengikuti Sebaran Binom  Pendekatan Normal dapat digunakan 

•

n·p  5

&

n·(1 - p)  5

Dugaan Selang Kepercayaan

ps ( 1  ps ) ps  Z / 2  n © 1999 Prentice-Hall, Inc.

 p

ps ( 1  ps ) ps  Z / 2  n Chap. 7 - 20

Teladan: Pendugaan Proporsi Suatu contoh acak 400 pemilih menunjukkan 32 memilih calon A. Susunlah dugaan selang kepercayaan 95% untuk p.

ps ( 1  ps ) ps  Z / 2  n .08( 1  .08)  p  .08  1.96  .08( 1  .08 ) .08 1.96 400 400 .053  p  .107

ps ( 1  ps )  ps  Z / 2  n

© 1999 Prentice-Hall, Inc.

p

Chap. 7 - 21

Ukuran Contoh (n) utk Dugaan Proporsi Jika dugaan p digunakan utk menduga P proporsi sebenarnya dari populasi yg mempunyai karakteristik tertentu yg dikaji, kita percaya (1-)100% bahwa penyimpangan atau galat dugaan proporsi tidak akan melebihi: p(1  p) z / 2

n

Jika ingin galatnya tidak akan melebihi suatu nilai e, maka ukuran contoh yg harus diambil sebesar : z2 / 2 P(1  P) n

e2

Bila parameter P dan dugaan p belum pernah diketahui dapat menggunakan rumus: 2 z / 2 Dpt ditunjukkan n 2 bahwa P(1-P)  1/4 4e

Teladan: Manajer operasi koran Paskom ingin mempunyai keyakinan 90% mengenai dugaan proporsi koran yg cetakannya kurang layak (cacat), tidak menyimpang melebihi 0.05 dari proporsi sebenarnya, misalnya karena: sobek, susunannya salah, dan ada halaman yang hilang. Katakanlah Setahun yg lalu dari 100 contoh acak, ternyata yg rusak 30. Berapa Ukuran Contoh yg diperlukan?

Jika perusahaan tersebut belum pernah melakukan survei mengenai masalah ini, tentukan ukuran contoh yang diperlukan manajer tersebut?

Teladan: Manajer operasi koran Paskom ingin mempunyai keyakinan 90% mengenai dugaan proporsi koran yg cetakannya kurang layak (cacat), tidak menyimpang melebihi 0.05 dari proporsi sebenarnya, misalnya karena: sobek, susunannya salah, dan ada halaman yang hilang. Setahun yg lalu dari 100 contoh acak, ternyata yg rusak 30. Ukuran Contoh yg diperlukan:

Z p( 1  p ) 1.645 (.30 )(. 70 )  228 n   227 . 3 2 2 error .05 2

2

Jika perusahaan tersebut belum pernah melakukan survei mengenai masalah ini, tentukan ukuran contoh yang diperlukan manajer tersebut:

z2 / 2 1.645 2 n   270.6 2 2 4e 4(0.05)

Example: Sample Size for Mean Using fpc What sample size is needed to be 90% confident of being correct within ± 5? Suppose the population size N = 500. n0N 219.2  500 n   152.6 n0  ( N  1 ) 219.2  ( 500  1 )  153 Z 2 2  219 . 2 where n 0  Round Up 2 error

© 1999 Prentice-Hall, Inc.

Chap. 7 - 25