BAB 2 FUNGSI MEAN RESIDUAL LIFE

BAB 2 FUNGSI MEAN RESIDUAL LIFE

2.1 Sifat-Sifat Peluang 2.1.1 Identitas dasar Pertama akan ditunjukkan sebuah hubungan dasar di antara fungsi survival dan momen dari distribusi. Untuk sebuah random variabel kontinu dengan nilai non-negatif dan mempunyai rata-rata yang berhingga, maka µ ≡ E(X) = R∞ R∞ xf(x)dx = S(x)dx (Klein, 2005). 0 0 E(X) =

Z∞



xf(x)dx

0

=

[−xS(x)]∞ 0

−

menggunakan integral parsial dengan u = x, du = dx, dv = f(x), v = −S(x)

Z∞



−S(x)dx

0

= lim xS(x) + 0S(0) + x→∞

Z∞

S(x)dx

0

= 0+0+

Z∞

S(x)dx

0

=

Z∞

S(x)dx

0

dimana limit x menuju tak berhingga dari xS(x) adalah 0, karena diasumsikan R∞
rata-ratanya berhingga 0 tf(t)dt < ∞ dan fungsi distribusinya kontinu. Secara umum, fungsi distribusi hanya membutuhkan kontinu ke kanan dengan rata-

rata berhingga untuk limit menuju 0. Argumen mengikuti: untuk sebuah fungsi R∞ distribusi kanan, fungsi distribusi didefinisikan sebagai S(x) = x f(t)dt ⇒ R∞ xS(x) = x x f(t)dt (perlu diingat bahwa integral tersebut dapat dengan mudah dipecah menjadi sebuah penjumlahan dari integral-integral untuk distribusi-

distribusi kontinu kanan yang mengandung sebuah lompatan dalam fungsi densiR∞ R∞ ty). Dengan x dan f(x) yang non-negatif, diperoleh 0 ≤ x x f(t)dt ≤ x tf(t)dt. 4

Universitas Sumatera Utara

5 R∞ Mengaplikasikan limit untuk setiap bentuk, limx→∞ 0 ≤ limx→∞ x x f(t)dt ≤ R∞ R∞ limx→∞ x tf(t)dt ⇒ 0 ≤ limx→∞ x x f(t)dt ≤ 0, maka dengan Teorema Squeeze

diperoleh limx→∞ xS(x) = 0.

Momen kedua dapat juga ditulis sebagai sebuah fungsi dari fungsi survival. Mengasumsikan keberadaan dari momen ke-2, dapat ditulis 2

E(X ) =

Z∞

x2f(x)dx

0

2



= −x S(x)

∞ 0

−

Z∞

−2xS(x)dx

0

2




= − lim x S(x) + 0S(0) + 2 x→∞

=2

Z∞

Z∞

x(S(x))dx

0

xS(x)dx

0

Selanjutnya dengan mengasumsikan keberadaan dari momen kedua Z ∞  2 x f(x)dx < ∞ 0

untuk fungsi distribusi kontinu (setidaknya kontinu ke kanan), dapat ditulis Z ∞ Z ∞ Z ∞ 2 2 2 x S(x) = x f(t)dt ⇒ 0 ≤ x f(t)dt ≤ t2 f(t)dt x

x

x

Dengan mengaplikasikan limit untuk setiap bentuk Z ∞ Z ∞ Z 2 2 2 lim 0 ≤ lim x f(t)dt ≤ lim t f(t)dt ⇒ 0 ≤ lim x x→∞

x→∞

x

x→∞

x→∞

x

∞ x

f(t)dt ≤ 0

kemudian dengan menggunakan Teorema Squeeze, lim x2 S(x) = 0. x→∞

Secara umum, jika rth momen ada untuk sebuah random variabel kontinu X maka berlaku: E(X r ) = r

Z∞

xr−1 S(x)dx

(2.1)

0

Bentuk ini sangat menarik karena dengan menetapkan formula inversnya maka diperoleh sebuah langkah untuk memperoleh momen dari fungsi MRL. Dengan

Universitas Sumatera Utara

6 demikian dapat ditentukan pula variansi dari fungsi survivalnya yaitu sebagai berikut: V ar(X) = E(X 2 ) − E 2 (X) = 2

Z∞ 0

∞ 2 Z xS(x)dx −  S(x)dx 0

Telah didefinisikan MRL sebagai ekspektasi dari sisa hidup sampai waktu x. Diperoleh bentuk untuk fungsi MRL dari fungsi survival dengan bentuk berikut (London , 1988): Z

∞

m(x) = E(X − x|X > x) = (t − x)dP (X ≤ t|X > x) x   Z ∞   Z ∞ F (t) − F (x) −S(t) + S(x) = (t − x)d = (t − x)d 1 − F (x) S(x) x x     Z ∞   Z ∞ −S(t) −S 0 (t)dt = (t − x) d + d[1] = (t − x) S(x) S(x) x x R R∞ ∞ ∞ (t − x)S(t)|x + x S(t)dt limx→∞ (t − x)S(t) − (x − x)S(x) + x S(t)dt = = S(x) S(x) R∞ S(t)dt = x S(x) dimana limit pertama di langkah terakhir mengarah ke 0 karena diasumsikan bahwa momen pertama ada, dan limit kedua mengarah ke 0 karena F (∞) = 1. Maka dapat dengan mudah dilihat bahwa momen pertama ekuivalen dengan fungsi MRL dengan x = 0. m(0) =

R∞ x

(t − 0)f(t)dt = S(0)

R∞ 0

tf(t)dt =µ 1

(2.2)

2.1.2 Batas untuk fungsi MRL (i)

Pertama diketahui bahwa m(x) + x = E(X|X > x), yang mengarah ke (ii)

(iii)

(m(x) + x)S(x) = E(X · 1(X>x) ) = µ − E(X · 1(X≤x)). Juga benar bahwa E(X · (iv)

(v)

(vi)

1

1

1(X>x) ) ≤ T S(x) ≤ µ, dan E(X ·1(X>x)) ≤ (E(X r )) r S(x)1− r , untuk r > 1. Juga, (vii)

(viii)

1

1

E(X · 1(X≤x) ≤ xF (x), dan E(X · 1(X≤x) ) ≤ (E(X r )) r F (x)1− r , untuk r > 1. Sekarang telah siap untuk menentukan batasan-batasan untuk fungsi MRL. Jika F adalah bukan menurun dengan MRL, m(x), rata-rata, µ, dan νr ≡ E(X r ) ≤ ∞ (Hall dan Wallner, 1981).

Universitas Sumatera Utara

7 (a) m(x) ≤ (T − x)+ untuk semua x, dengan persamaan jika dan hanya jika

F (x) = F (T −) atau 1, (perlu diingat T − bahwa kita mendekati T dari kiri) µ − x untuk semua x dengan persamaan jika dan hanya jika S(x)

(b) m(x) ≤ F (x) = 0 (c) m(x) <



νr S(x)

1 r

− x untuk semua x dan r > 1

(µ − x)+ untuk x < T dengan persamaan jika dan hanya jika S(x)

(d) m(x) ≥ F (x) = 0

(e) m(x) >

µ − F (x)



S(x)

νr F (x)

 1r

− x untuk x < T dan r > 1

(f) m(x) ≥ (µ − x)+ untuk setiap x, dengan persamaan jika dan hanya jika F (x) = 0 atau 1

Jika F disusutkan pada µ, m(x) = (µ − x)+ , untuk semua x. 2.1.3 Sifat dari MRL (formula invers) Sifat berikut adalah dasar dari pengembangan untuk teorema karakterisasi untuk fungsi MRL, yaitu (Hall dan Wallner, 1981): (a) m(x) non negatif dan kontinu ke kanan, dan m(0) = µ > 0 (b) v(x) ≡ m(x) + x tidak menurun − − (c) m(x  ) > 0 untuk x ∈ (0,  T ); jika T < ∞, m(T ) = 0, dan m kontinu saat T m(t−) ≡ lim− m(x) x→t

 x  R 1 m(0) (d) S(x) = exp − dt , untuk semua x < T (Formula Invers) m(x) 0 m(t) (e)

Rx 0

1 dt → ∞ dengan x → T m(t)

Universitas Sumatera Utara

8 Sifat (d) diketahui sebagai Formula Invers. Dan dibuktikan sebagai berikut: Pembuktian Formula Invers (Hall dan Wallner, 1981): Didefinisikan fungsi R∞ k(x) ≡ x S(t)dt = m(x)S(x). Diperoleh k 0 (x) = f(x)m(x) − S(x)m0(x), dengan Rx 2 S (x) + f(x) 0 S(t)dt f(x)m(x) m0 (x) = = 1+ , dan dengan demikian k 0 (x) = 2 S (x) S(x) −S(x). Sekarang diperlihatkan Zx 0

Zx 0 −S(t) 1 k (t) dt = − dt = −[log(k(x)) − log(k(0))] S(t) m(t) k(t) 0   0    k(x) S(x)m(x) S(x)m(x) = − log = − log = − log k(0) S(0)m(0) m(0)  x     Z 1 S(x)m(x)   ⇒ exp − dt = exp log (2.3) m(t) m(0) 0  x    Z 1 S(x)m(x) ⇔ exp − dt = m(t) m(0) 0  x  Z m(0) 1 exp − dt ⇔ S(x) = m(x) m(t)

1 dt = − m(t)

Zx

0

Disimpulkan ringkasan dari sifat untuk fungsi MRL dengan sebuah hasil utama bahwa syarat perlu dan cukup yang mana sebuah fungsi adalah fungsi MRL untuk sebuah distribusi survival, dan dengan demikian merupakan karakter dari fungsi MRL. Teorema Karakterisasi (Hall dan Wallner, 1981): Diketahui sebuah fungsi m(x) dengan pemetaan R+ → R+ dari (a) m(x) adalah kontinu ke kanan dan m(0) > 0; (b) v(x) ≡ m(x) + x tidak menurun; (c) jika m(x− ) = 0 untuk bebera-

pa x = x0, maka m(x) = 0 untuk x ∈ [x0, ∞); (d) jika m(x− ) > 0 untuk semua x, R∞ 1 maka dt = ∞. Diberikan T ≡ inf{x : m(x− ) = 0} ≤ ∞, dan didefinisikan 0 m(t) S(x) oleh (2.3) untuk x < T dan S(x) ≡ 0 untuk x ≥ T . Maka F (x) ≡ 1 − S(x) adalah sebuah fungsi distribusi atas R+ dengan F (0) = 0, TF = T , batas rata-rata µF = m(0), dan fungsi MRL mF (x) = m(x).

Universitas Sumatera Utara

9 2.2 Fungsi MRL untuk Distribusi Spesifik 2.2.1 Linier MRL Jika fungsi MRL adalah linier, m(x) = Ax + B(A > −1, B > 0), maka

dengan menggunakan formula invers, fungsi Survival menjadi berbentuk: 

B S(x) = Ax + B

 A1 +1

(2.4)

+

ditunjukkan bentuk asal Survival ketika A 6= 0 berikut :    Z x  B 1 S(x) = exp − dt Ax + B 0 At + B    x B 1 = exp − ln(At + B) Ax + B A h i 0   exp ln(Ax + B)− A1 B h i = 1 Ax + B exp ln(B)− A =



B Ax + B

=



B Ax + B



B Ax + B

 A1 +1

 A1

+

Dimana bagian positif diperlukan untuk memenuhi bagian nonnegatif dari fungsi Survival (Oakes dan Dasu, 2003). Untuk A > 0 fungsi Survival adalah merupakan distribusi Pareto. Bentuk fungsi Survival dari distribusi Pareto untuk variabel acak Z adalah  α β S(z) = untuk β > 0 (scale), α > 0 (shape), dan z ∈ [β, +∞] z jika dipilih transformasi Z = Ax+B dimana B = β dan

1 +1 A

= α, maka diperoleh

Z ∼ P areto(α, β). Untuk lebih jelas diketahui β > 0 didapat dari B = β dengan B > 0. Juga diketahui bahwa parameter shape diperoleh α > 1 dari

dan

1 A

1 A

+1=α

> 0. Perlu diingat bahwa moment pertama hanya berlaku untuk distribusi

Pareto ketika α > 1 oleh karena itu terdapat rata-rata dari fungsi survival untuk

Universitas Sumatera Utara

10 MRL linier dengan A, B > 0. Misalkan diberikan z ∈ [β, +∞] dimana z = Ax+B dan Ax > 0. Akhirnya, karena Z ≥ β > 0 ⇒

β z

> 0 fungsi survival selalu positif,

maka tidak diperlukan penyesuaian untuk membuat fungsi bernilai positif.

Gambar 2.1 (kiri)Linier MRL untuk X dengan A = 4 (slope) dan B = 1 (intercept). (kanan) fungsi survival yang berhubungan dari X Untuk −1 < A < 0 fungsi survival adalah berasal dari distribusi beta. pdf

dari sebuah distribusi beta diberikan dengan f(z; a, b, p, q) =

(z − a)p−1 (b − z)q−1 B(p, q)(b − a)p+q+1

dimana a ≥ z ≥ b, p, q > 0, dan B(., .) adalah fungsi beta yang didefinisikan R1 B(p, q) = 0 tp−1 (1 − t)q−1dt. Dimulai dengan bentuk fungsi survival dari MRL linier untuk memperoleh pdf. Pdf akan mengumumkan model apa dari bentuk  B  A1 +1 hasil reparameter dari rescaled beta dengan S(x) = Ax+B . Perlu diingat +

bagian positif adalah diperloleh ketika −Ax ≤ B → x ≤ −B/A, maka ketika  B  A1 +1 diperoleh F (x) = 1 − Ax+B   1  A 1 B AB f(x) = − +1 A Ax + B (Ay + B)2
1 1 + 1 AB A +1 A =− 1 (Ax + B)( A +1)+1 

A(Ax + B)−( A +1)+1 1 dx =− , diberikan Z = −AX ⇒ =−
1 −1 1 dz A +1 B −( A +1) A 1 A + (B − z)−( A +1)−1 (dengan q=−( A1 +1)) (B − y)q−1 =   ⇒ f(z) = A
−1 −( 1 +1) 1 A + 1 B − 1q B −q A 1

Universitas Sumatera Utara

11 Sekarang dapat diperlihatkan perlu untuk B = b, a = 0, p = 1. Ketika p = 1 ⇒   R1 1−1 (b−z)q−1 q−1 B(p = 1, q) = 0 (1 − t) dt = − q1 dimiliki f(x) = (z−0) , 0 ≤ z ≤ b. B(1,q)(b−0)q+1−1

Kemudian pdf dan fungsi survival diberikan dengan,

F (z) =

Zz

(t − 0)1−1 (b − t)q−1 dt = B(1, q)(b − 0)q+1−1

Rz 0

(b − t)q−1dt

B(1, q)bq  q − q1 [(b − z)q − bq ] b−z [(b − z)q − bq ]   = = = −1 bq b − 1 bq 0

q

⇒ S(z) =



b−z b

q

=



b b−z

−q

adalah meneliti transformasi fungsi survival

Gambar 2.2 (kiri) Linier MRL untuk X dengan A = −0.2 (slope) dan B = 1 (intercept). (kanan) fungsi survival yang berhubungan dengan X untuk A = 0, fungsi survival adalah eksponensial :    Z x  1 B 1 S(x) = exp − dt = e− B x B 0 B Gambar 2.1, 2.2 dan 2.3 memperlihatkan antara kedua fungsi MRL dan akibat fungsi survival yang digunakan oleh sebuah nilai dari slope parameter (A) dari setiap tiga daerah yang menyimggung sebelumnya. Memotong pada B = 1 untuk semua ketiga bentuk membuat garis dari slope parameter lebih nyata. Perhatikan bahwa disamping dari fungsi survival eksponensial, dimana tidak ada transformasi yang memaksa, kedua fungsi MRL dan fungsi survival adalah fungsi survival awal waktu Xlebih baik dari transformasi waktu survival yang mana diharapkan

Universitas Sumatera Utara

12

Gambar 2.3

(kiri) Linier MRL untuk X dengan A = 0 (slope) dan B = 1 (intercept). (kanan) fungsi survival yang berhubungan dengan X

mengikuti distribusi yang baik (Pareto dan diskala ulang beta). Sekarang kembali ke daerah asaldari fungsi survival, dikatakan diatas bahwa untuk A ≤ 0X dapat diambil nilai dari 0 damapai tak hingga, dimana untuk −1 < A < 0X berasal

dari 0 untuk −B/A. Didalam contoh, daerah asal untuk fungsi survival ketika

A = −0.2 dan B = 1 adalah [0.5]. dapat dilihat dengan besarnya kenaikan dari A didaerah asal dapat sangat kecil.

Universitas Sumatera Utara