Bab 2. Landasan Teori. 2.1 Fungsi Convex

Bab 2 Landasan Teori Salah satu hal yang menarik dari topik tugas akhir ini adalah penggunaan sebuah ilmu dari dunia insurance (teori comonotonic) ke dunia matematika keuangan. Oleh karena itu untuk memahaminya diperlukan pemahaman terlebih dahulu terhadap konsep - konsep dalam matematika keuangan dan teori comonotonic. Pada bab ini akan diperkenalkan dasar - dasar teori ukuran, teori peluang, dan matematika keuangan yang akan membantu pemahaman selanjutnya.

2.1

Fungsi Convex

Pada pembahasan di bab-bab selanjutnya penjelasan fungsi convex dan sifatsifatnya akan sangat membantu pemahaman dan pembuktian beberapa teorema. Untuk lebih jelasnya, konsep fungsi convex dapat dilihat pada buku rujukan [3] dan [4] Goovaerts, M.J. Berikut ini adalah beberapa pengertian yang akan diperlukan selanjutnya.

4

BAB 2. LANDASAN TEORI

5

De…nisi 1 Jika f adalah suatu fungsi convex maka untuk 0 f ( x + (1

)y)

f (x) + (1

1 berlaku1

)f (y):

Sifat-sifat fungsi convex yang penting antara lain 1. Jika f adalah suatu fungsi convex maka untuk setiap x0 2 Df (domain dari fungsi f) terdapat sebuah garis l(x) = a + bx dimana l(x0 ) = f (x0 ) dan l(x)

f (x) untuk setiap x:

2. Jensen Inequality, Jika f adalah suatu fungsi convex dan X adalah suatu peubah acak maka f (E [X])

2.2

E [f (X)] :

Ruang Probabilitas

Pembahasan dalam tugas akhir ini akan banyak memakai sudut pandang dari ilmu teori peluang. Oleh karena itu akan dijelaskan terlebih dahulu mengenai ruang probabilitas dan segala hal yang terkait dengannya sampai pada ukuran probabilitas. Pembahasan yang lebih lengkap mengenai ruang probabilitas sampai dengan konsep model pergerakan harga saham dapat ditemukan di buku rujukan [8] Shreve, Steven dan [9] Syamsuddin, Dr.M.

2.2.1

Aljabar dan

De…nisi 2 Misal

- Aljabar

adalah sebuah himpunan dan F adalah koleksi sub-himpunan

dari : 2 Suatu aljabar pada

adalah koleksi himpunan F yang memenuhi sifat

- sifat berikut 1

De…nisi di atas dikutip dari buku [3] Insurance Premiums : Theory and Applications

karangan Goovaerts halaman 240 dan 260 serta buku [4] E¤ective Actuarial Methods karangan Goovaerts halaman 14 - 15. 2 De…nisi 2 - 16, teorema 17, dan penjelasan pada sub - bab 2.2, 2.3, dan 2.4 dikutip dari buku [9] Catatan Kuliah Matematika Keuangan karangan Dr. M. Syamsuddin, M.Com.

BAB 2. LANDASAN TEORI 1.

6

2F

2. Bila A 2 F maka Ac 2 F 3. Bila A, B 2 F maka A [ B 2 F: De…nisi 3 Misal dari

adalah sebuah himpunan dan F adalah koleksi sub-himpunan

: Koleksi himpunan F disebut dengan

aljabar pada bila F adalah 1 S aljabar dan bila A1 ; A2 ; ::: adalah barisan di F maka Ak 2 F: k=1

Dalam teori peluang

aljabar dapat diartikan sebagai informasi menge-

nai hasil eksperimen acak. Catatan : Sebuah aljabar mempunyai sifat yang tertutup oleh operasi himpunan yang terhingga (…nite) sedangkan sebuah

aljabar mempunyai sifat

yang tertutup oleh operasi himpunan yang terhitung. De…nisi 4 Apabila F 1 ; F2 ; ::: adalah keluarga sub sifat F 1

F2

aljabar dari F dengan

F maka keluarga tersebut dinamakan …ltrasi.

De…nisi 5 Misal C adalah kelas dari sub-himpunan dari

: Pengertian

aljabar yang dibangkitkan oleh C, dinotasikan dengan (C); adalah terkecil pada

dengan C

aljabar

(C):

De…nisi 6 Misal R adalah himpunan semua bilangan riil. Pengertian aljabar Borel pada R, dinotasikan dengan ß (R), adalah

aljabar yang

dibangkitkan oleh famili selang terbuka pada R. Catatan : Setiap himpunan yang merupakan unsur dari ß (R) disebut dengan himpunan Borel.


2.2.2

7

Ukuran, Ruang Probabilitas, dan Peubah Acak

De…nisi 7 ( ; F) disebut ruang terukur bila F adalah

aljabar pada

adalah suatu himpunan dan

: Unsur F disebut dengan sub-himpunan dari

yang F- terukur. De…nisi 8 Misal serta

adalah suatu himpunan dan F adalah suatu aljabar pada

adalah fungsi himpunan yang non-negatif : F ! (0; 1):

Fungsi 1.

disebut aditif apabila memenuhi sifat berikut (?) = 0

2. Apabila A1 ; A2 2 F dan A1 \ A2 = ? maka (A1 [ A2 ) = (A1 ) + (A2 ): De…nisi 9 Fungsi 1.

disebut aditif terhitung bila memiliki sifat - sifat berikut

(?) = 0

2. Apabila A1 ; A2 ; ::: adalah barisan di F dan Ai \ Aj = ? untuk setiap 1 1 1 S S P i 6= j dan Ak 2 F maka Ak = (Ak ): k=1

k=1

k=1

De…nisi 10 Misal ( ; F) adalah suatu ruang terukur. Fungsi

yang dide…-

nisikan dengan : F ! (0; 1) disebut ukuran pada ( ; F) bila

adalah aditif yang terhitung dan ( ; F; )

akan disebut dengan ruang ukuran. De…nisi 11 Ukuran P disebut ukuran probabilitas jika P adalah ukuran pada ruang terukur ( ; F) dan P ( ) = 1: Dengan kata lain P adalah ukuran probabilitas jika P adalah ukuran pada ruang terukur ( ; F) yang mempunyai sifat


8

1. P ( ) = 1 2. Untuk barisan A1 ; A2 ; ::: di F dengan Ai \ Aj = ? untuk setiap i 6= j 1 1 P S P (Ak ): Ak = akan berlaku P k=1

k=1

De…nisi 12 Suatu ruang probabilitas ( ; F; P ) terdiri dari 3 objek 1. Ruang sampel 2. Suatu

aljabar F = himpunan kuasa( )

3. Suatu ukuran probabilitas P di suatu ruang terukur ( ; F), yaitu P(A) terde…nisi 8A 2 F: Catatan : Himpunan kuasa ( ) adalah himpunan semua himpunan bagian dari

:

De…nisi 13 Misal ( ; F; P ) adalah ruang probabilitas. Suatu fungsi X : R akan disebut dengan peubah acak jika dan hanya jika X

1

!

(B) = f! j X (!) 2

Bg 2 F untuk setiap himpunan Borel B.

2.3

Martingales

Pada tugas akhir ini semua pembahasan selanjutnya akan berada dalam suatu ruang probabilitas ( ; F; Q) dimana Q adalah suatu ukuran probabilitas. De…nisi 14 Proses stokastik adalah suatu keluarga peubah acak fX(t)g dengan t 2 T dan T

R: Apabila T = f1; 2; :::g maka fX(t)g adalah proses

stokastik dengan waktu diskrit dan apabila T = [0; 1) maka fX(t)g adalah proses stokastik dengan waktu kontinu. De…nisi 15 Proses stokastik fX(t)g teradaptasi oleh …ltrasi fF(t)g apabila X(t) adalah F(t)

terukur untuk 8t 2 T:


9

De…nisi 16 Proses stokastik fX(t)g disebut martingales apabila memenuhi sifat-sifat berikut 1. X(t) dapat diintegralkan 8t 2 T: 2. fX(t)g teradaptasi oleh …ltrasi fF(t)g: 3. E [X(t) j F(s)] = X(s) untuk s < t: Catatan : Bahasan mengenai ruang probabilitas dan …ltrasi dapat ditemukan dalam buku -buku mengenai kalkulus stokastik. Pada pembahasan selanjutnya suatu proses stokastik fe

t

A(t); t

0g

adalah martingales di bawah ukuran probabilitas Q. Dalam hal ini A(t) adalah harga saham dan adalah suku bunga risk-free yang konstan sepanjang waktu.

2.4

Gerak Brownian

Pada model Black Scholes (1973), harga dari sebuah aset beresiko (dalam tugas akhir ini adalah saham) dijelaskan dengan suatu proses stokastik fA(t); t yang mengikuti gerak geometrik Brownian dengan koe…sien drift

0g

dan volatil-

itas : Untuk itu akan dijelaskan terlebih dahulu mengenai gerak geometrik Brownian. Gerak Acak Simetris Apabila hasil pelantunan suatu koin dinyatakan dalam suatu variabel acak Xj dimana j = 1; 2; ::: dan dide…nisikan 8 < 1 apabila ! j = M uka Xj (! j ) = : : 1 apabila ! = Belakang j

Diasumsikan lantunan koin yang satu dengan yang lainnya bersifat saling bebas. Oleh karena itu X1 ; X2 ; ::: bersifat saling bebas. Dalam hal ini peluang munculnya muka dan belakang pada pelantunan koin diasumsikan sama yaitu


10

1 Prf! j = M ukag = Prf! j = Belakangg = : 2 Berikut ini adalah sifat-sifat dari variabel acak Xj 1. E[Xj ] = (1) Prf! j = M ukag + ( 1) Prf! j = Belakangg = 0 2. V ar[Xj ] = (1)2 Prf! j = M ukag + ( 1)2 Prf! j = Belakangg = 1 3. Fungsi pembangkit momen dari Xj adalah MXj (t) = E[etXj ] = et Prf! j = M ukag + e 1 t = (e + e t ): 2

t

Prf! j = Belakangg

Berikutnya de…nisikan Mk =

k X

Xj :

j=1

Proses

fMk g1 k=0

inilah yang disebut dengan gerak acak simetris. Sifat-

sifat dari gerak acak simetris adalah " # k k P P 4. E[Mk ] = E Xj = E [Xj ] = 0 j=1

5. V ar[Mk ] =

k P

j=1

V ar [Xj ] = k

j=1

6. Inkremen dari Mk yaitu Mk

Mk

1

= Xk

bersifat saling bebas. Gerak Acak Simetris Berskala Misalkan n adalah bilangan bulat positif dan misalkan k = tn: De…nisikan gerak acak simetris berskala W (n) (t) dengan 1 W (n) (t) = p Mk : n

BAB 2. LANDASAN TEORI Teorema 17 Untuk t

11

0 dan n ! 1, distribusi dari W (n) (t) akan konvergen

ke distribusi normal dengan mean 0 dan variansi t. Dari teorema di atas, untuk n ! 1 proses W (n) (t) akan konvergen menjadi proses fW (t)g dengan sifat-sifat 1. W (0) = 0 2. W (t) adalah fungsi yang kontinu di t. 3. Misalkan 0 < s < t maka W (s) dan W (t)

W (s) saling bebas dan

berlaku E[W (t)W (s)] = E[W (s) (W (t) = E[W (s) (W (t)

W (s) + W (s))] W (s))] + V ar[W (s)]

= s = minfs; tg 4. Apabila 0 = t0 < t1 < t2 < ::: < tn dan dide…nisikan inkremen dari W (t) sebagai Yn = W (tn )

W (tn 1 )

maka (a) Y1 ; Y2 ; :::; Yn saling bebas dan berdistribusi normal. (b) E[Yj ] = 0

8j = 1; 2; :::; n

(c) V ar[Yj ] = E[Yj2 ] = E[(W (tj ) tj

W (tj 1 ))2 ] = tj

2tj

1

+ tj

1

=

tj 1 :

Proses stokastik fW (t)g yang memenuhi sifat-sifat di atas disebut gerak Brownian atau proses Wiener. Jadi dalam hal ini gerak acak simetris berkala akan menghasilkan gerak Brownian asalkan n ! 1:


2.5

12

Model Pergerakan Harga Saham

Saham adalah suatu aset yang beresiko. Oleh karena itu model pergerakan harga saham haruslah mempunyai bagian stokastik selain bagian deterministik. Bagian deterministik dari model ini melambangkan return dari saham (sebagai suatu aset keuangan) sedangkan bagian deterministiknya menggambarkan resiko dari saham. Pergerakan harga saham dapat dianalogikan sebagai suatu gerak acak. Model dari pergerakan harga saham, yang dinotasikan dengan A(t), adalah 1 2

A(t) = A(0) exp (

2

)t +

p

tZ

dengan Z

N (0; 1):

Dengan demikian A(t) A(0)

ln Catatan: Peubah

N

(

1 2

2

)t;

2

t :

menyatakan suku bunga tanpa resiko.

Kita asumsikan bahwa terdapat suatu ukuran probabilitas Q sehingga fe

t

A(t); t

batnya untuk t

0g adalah martingales dibawah ukuran probabilitas Q. Aki0, ekspektasi bersyarat e

t

A(t) apabila diberikan informasi

pada saat t = 0 akan sama dengan harga saham saat t = 0. Apabila dituliskan ke dalam bahasa matematika maka E Q [e

t

A(t) j F(0)] = A(0);

t

atau dalam persamaan yang lebih "ringkas" E Q [e

t

A(t)] = A(0);

t

0:

0


2.6 2.6.1

13

Opsi Konsep Umum

Opsi adalah perangkat keuangan yang memberikan hak bagi pemiliknya untuk membeli atau menjual saham dengan harga tertentu (yang tercantum di dalam opsi tersebut dan dinamakan dengan exercise price). Opsi memiliki waktu dimana pemiliknya dapat menggunakannya / melakukan exercise (menjual atau membeli saham), yang dide…nisikan sebagai maturity time. Pada umumnya ada 2 jenis opsi yaitu opsi eropa dan opsi amerika. Yang membedakan keduanya adalah waktu exercise-nya. Opsi eropa hanya dapat di-exercise saat maturity time sedangkan opsi amerika dapat di-exercise sejak opsi mulai berlaku sampai maturity time. Untuk masing-masing kelompok opsi ini, terdapat 2 jenis kelompok lagi yaitu opsi call atau opsi put. Opsi call memberikan hak untuk membeli suatu saham sedangkan opsi put memberikan hak untuk menjual saham. Dari masing -masing kelompok opsi ini dide…nisikan payo¤ -nya yaitu: 1. untuk opsi call eropa

8 < A(T ) EC(K; T ) = : 0

bila A(T )

= maxfS(T )

2. untuk opsi put eropa EP (K; T ) =

8 <

: K

= maxfK

bila A(T ) > K

K

K

K; 0g

0

bila A(T )

A(T )

bila A(T ) < K

K

A(T ); 0g

3. untuk opsi call amerika

8 < A(t) K Am C(K; t) = : 0 = maxfA(t)

bila A(t) > K bila A(t) K; 0g

K


14

4. untuk opsi put amerika Am P (K; t) =

8 <

bila A(t)

0

: K

A(t)

= maxfK

K

bila A(t) < K

A(t); 0g

dengan K adalah exercise price, T adalah maturity time, A(t) adalah harga saham pada saat t. Payo¤ dari suatu opsi dapat dideskripsikan sebagai nilai dari opsi saat akan dilakukan exercise.

2.6.2

Opsi Asia

Opsi yang akan dibahas di dalam tugas akhir ini adalah opsi asia. Opsi asia adalah jenis opsi yang mengandalkan harga-harga saham sebelum maturity time. Opsi asia dapat digolongkan ke dalam jenis opsi eropa karena waktu exercise-nya berada pada maturity time. Pada umumnya opsi asia dibagi menjadi 2 bagian yaitu opsi average value dan opsi average strike. Misalkan terdapat suatu opsi call asia dengan maturity time T dan strike price K. Payo¤ dari opsi average price dide…nisikan sebagai AC = max fB

K; 0g

sedangkan payo¤ dari opsi strike price dide…nisikan sebagai AC = max fA(T )

B; 0g

dengan 1X B= A(ti ) n i=1 n

B=

1 T2

T1

ZT2

T1

A(t)dt

untuk kasus aritmatik diskrit

untuk kasus aritmatik kontinu


B=

0

B = exp @

"

n Y i=1

1 T2

T1

#1 n A(ti ) ZT2

T1

15

untuk kasus geometrik diskrit

1

ln [A(t)] dtA

untuk kasus geometrik kontinu.

Perhatikan bahwa untuk kasus diskrit opsi asia bergantung pada n harga saham sebelum T sedangkan pada kasus kontinu opsi asia bergantung pada harga saham antara interval waktu T2 dan T1 : Sebagai catatan, untuk kasus aritmatik bentuk dari fungsi padat peluang B tidak mudah untuk diketahui sedangkan pada kasus geometrik fungsi padat peluang dari B jelas adalah distribusi lognormal. Hal inilah yang mengakibatkan untuk kasus aritmatik, penentuan harga opsi asia dilakukan (salah satunya) dengan menggunakan simulasi Monte Carlo.Pembahasan selanjutnya hanya akan difokuskan kepada opsi call asia aritmatik diskrit jenis average value.


2.7

16

Formula Black Scholes

Persamaan Black Scholes digunakan untuk mempermudah pencarian harga suatu asset (dalam kasus di bawah ini adalah opsi call C(K; T ) dengan exercise price K dan maturity time T). Perlu diketahui sebelumnya bahwa dalam formula Black Scholes, asumsi yang digunakan adalah 1. Peubah acak ln

A(t) A(0)

1 2

berdistribusi normal

2

t;

2

t di bawah

ukuran probabilitas Q. Dalam hal ini A(t) adalah harga saham pada waktu t. 2. A(0) = e

t

E Q [A(t)] :

Harga opsi call eropa dide…nisikan sebagai C(K; T ) = e

T

E Q (A(T )

K)+

dan rumus Black Scholes untuk persamaan di atas adalah C(K; T ) = A(0) (d1 )

T

Ke

(d2 )

dengan ln

A(0) K

+( + p T

1 2

2

ln

A(0) K

+( p T

1 2

2

d1 =

)T

dan d2 =

2.8

)T :

Simulasi Monte Carlo

Pada pembahasan selanjutnya, harga dari opsi asia (sebagai pembanding) akan ditaksir dengan simulasi Monte Carlo. Simulasi Monte Carlo telah menjadi alat umum untuk mencari harga dari opsi asia. Dengan simulasi ini batas atas dan batas bawah harga opsi asia juga bisa didapatkan, yaitu dengan memanfaatkan konsep selang kepercayaan dimana pada umumnya digunakan selang kepercayaan 95%. Hasil dari simulasi ini akan dipakai nantinya sebagai pembanding dengan hasil dari konsep comonotonic.


2.8.1

17

Konsep Dasar

Misalkan X adalah peubah acak dengan E[X] = a dan V ar[X] = b2 : Misalkan pula X1 ; X2 ; :::; Xn adalah barisan peubah acak yang berdistribusi identik dengan X. Dengan demikian

1X an = Xi n i=1 n

adalah penaksir tak bias untuk a dan b2n

=

1 n

1

n X

n P

i=1

an )2

i=1

adalah penaksir tak bias untuk b2 : n ! 1 berlaku

(Xi

Xi na p b n

Menurut teorema limit pusat, untuk

N (0; 1):

Dengan memanfaatkan hasil ini maka didapatkan 0 n 1 P B i=1 Xi na C p Pr B 1:96C @ A = 0:95 b n

atau

Prfan

b 1:96 p n

Dengan mengambil b

bn maka

Prfan

bn 1:96 p n

a

b an + 1:96 p g = 0:95: n

a

bn an + 1:96 p g n

0:95:

Dengan demikian selang kepercayaan untuk a adalah an

2.8.2

bn bn 1:96 p a; an + 1:96 p : n n

Metode Antithetic

Pada pembahasan ini hanya akan dibahas mengenai metode Monte Carlo dengan antithetic untuk kasus peubah acak normal. Hal ini dikarenakan pada


18

penaksiran harga dan selang harga opsi asia, metode Monte Carlo yang dibutuhkan adalah antithetic untuk kasus peubah acak normal. Misalkan dimana U

I = E [f (U )] ;

N (0; 1)

adalah nilai yang akan ditaksir dengan simulasi Monte Carlo. Penaksir tak bias yang sesuai adalah 1X f (Ui ); n i=1 n

In =

dimana Ui

N (0; 1) dan i.i.d.

Penaksir tak bias di atas hanya akan dipakai pada metode Monte Carlo standard. Pada metode antithetic, penaksir tak bias yang akan digunakan adalah 1 X f (Ui ) + f ( Ui ) In = ; n i=1 2 n

2.8.3

dimana Ui

N (0; 1) dan i.i.d.

Simulasi Monte Carlo Pada Opsi Asia

Misalkan terdapat suatu opsi call asia (kasus aritmatik diskrit) dengan maturity time T dan jumlah saham yang terlibat di dalamnya adalah n saham yaitu fA(T

n + 1); :::; A(T )g dimana A(t) adalah harga saham pada saat t.

Harga dari opsi asia pada saat awal (t = 0) ditentukan oleh AC = e dengan

dan

T

E [max fB

K; 0g]

1X B= A(ti ): n i=1 n

menyatakan suku bunga tanpa resiko.

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya bahwa ln

A(t) A(0)

N

(

1 2

2

)t;

2

t :

Prosedur dari Monte Carlo antithetic untuk kasus ini diberikan adalah sebagai berikut. 1. Kembangkan data acak Zi berditribusi normal baku.


19

2. Kembangkan data saham pertama yang terlibat sejak awal (t = 0) sampai saat maturity time (t = T) dimana A(1) = A(0) exp ( A(2) = A(1) exp (

1 2 1 2

2

)t +

p

tZ1

2

)t +

p

tZ2

)t +

p

dan seterusnya sampai dengan A(T ) = A(T

1) exp (

3. Hitunglah C=e

T

max

(

1 2

2

T 1 X A(t) n t=T n+1

tZT

1

:

)

K; 0

4. Kembangkan data saham kedua yang terlibat sejak awal (t = 0) sampai saat maturity time (t = T) dimana A(1) = A(0) exp ( A(2) = A(1) exp (

1 2 1 2

2

)t

p

tZ1

2

)t

p

tZ2

)t

p

dan seterusnya sampai dengan A(T ) = A(T

1) exp (

5. Hitunglah D=e

T

max

(

1 2

2

T 1 X A(t) n t=T n+1

tZT

1

:

)

K; 0 :

6. Ulangi proses di atas sebanyak m kali sehingga kita mendapatkan fC1 ; C2 ; :::; Cm g dan fD1 ; D2 ; :::; Dm g: 7. Hitung Ei =

Ci + Di ; 2

8i = 1; 2; :::; m:


20

8. Taksiran harga opsi asia AC(n; K; T ) dapat ditentukan dari 1 X AC(n; K; T ) = Ei : m i=1 m

9. Hitung V ar [AC(n; K; T )] =

1 m

1

m X

[Ei

AC(n; K; T )]2 :

i=1

10. Selang kepercayaan 95% untuk harga opsi asia AC(n; K; T ) diberikan oleh "

AC(n; K; T )

r

1:96

# r V ar [AC(n; K; T )] V ar [AC(n; K; T )] ; AC(n; K; T ) + 1:96 : m m

11. Standard errornya diberikan oleh r V ar [AC(n; K; T )] s:e = : m

Bab 2. Landasan Teori. 2.1 Fungsi Convex

Recommend Documents