Problems Involving Delay System Analysis (2)

04/12/2012

Sistem Tunggu (Delay System)

Anhar – TES 3114 UR

Problems Involving Delay System Analysis

2

1

04/12/2012


Problems Involving Delay System Analysis (2)

3


Problems Involving Delay System Analysis (3)

4

Proses trafik selama pembangunan hubungan

2

• Permintaan panggilan yang datang pada saat peralatan sedang sibuk tidak akan dihilangkan melainkan akan menunggu sampai ada peralatan yang bebas, kemudian diduduki • Pada umumnya, sistem merupakan kombinasi antara sistem tunggu dan sistem rugi – Jumlah yang menunggu terbatas sehingga bila melebihi batas akan dihilangkan – Waktu tunggu terbatas, sehingga bila menunggu lebih lama dari suatu waktu tertentu, akan dihilangkan


04/12/2012

5

Rumus J.D.Little • L=λW


• L=harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam sistem – λ=laju rata-rata kedatangan pelanggan ke dalam sistem • W=waktu rata-rata lamanya pelanggan di dalam sistem

6

3

04/12/2012

Rumus J.D.Little (2)

• Penurunan

• Misalnya diamati suatu proses kedatangan panggilan dan panggilan meninggalkan sistem


Jumlah kedatangan γ(to) α(to)

δ(to)

t

7

– α(t): Jumlah kedatangan ke dalam sistem di dalam selang waktu (0,t) (fungsi jumlah kedatangan terhadap waktu) – δ(t): Jumlah kedatangan yang berakhir/meninggalkan sistem di dalam selang waktu (0,t) (fungsi jumlah yang berakhir terhadap waktu) – γ(t): Luas total antara kedua kurva sampai dengan waktu t (merupakan jumlah total waktu semua pelanggan berada di dalam sistem sampai dengan waktu t (dalam satuan pelanggandetik) – λ(t):harga rata-rata laju kedatangan panggilan dalam selang waktu (0,t)



8

4

04/12/2012


• Tt=γ(t)/α(t) [pelanggan-detik/pelanggan]

• Harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam sistem antrian selama waktu (0,t) adalah :


• λt=α(t)/t • Bila Tt merupakan harga rata-rata waktu lamanya setiap pelanggan berada di dalam sistem dalam selang waktu (0,t), maka

• Nt=γ(t)/t = [α(t)/α(t)]xTt/(1/λt) = λtTt 9

• Bila sistem mencapai keadaan setimbang pada waktu t → ∞, maka λt→ λ, Tt → T dan Nt → N, sehingga N= λT • Hal tersebut menyatakan jumlah pelanggan di dalam sistem antrian=harga rata-rata laju kedatangan panggilan x harga rata-rata lamanya waktu pelanggan berada dalam sistem



10

5

04/12/2012


• Catatan untuk rumus J.D Little

• Distribusi kedatangan dan waktu pelayanan adalah sembarang • Jumlah pelayan adalah sembarang • Dapat diterapkan hanya terhadap yang antri atau yang dalam pelayanan saja atau kedua-duanya • Lq=harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam antrian • Wq=harga rata-rata waktu tunggu di dalam antrian

• Lp=λ.Wp • Lp=harga rata-rata jumlah pelanggan di dalam pelayanan • Wp=harga rata-rata waktu lamanya pelanggan dalam pelayanan


• Lq=λ.Wq

11

Contoh

– Jumlah telepon rata-rata yang digunakan – Waktu tunggu rata-rata jika terdapat rata-rata 1,2 pelanggan yang menunggu Jawab – Arrival rate = λ =50/jam = 50/60 = 5/6 call per menit – Service rate = µ = 1/3 – Traffic load = λ/µ = (5/6)x3 = 2,5 Erlang


• Pada suatu wartel yang terdiri dari lebih 2 pesawat telepon, diketahui 50 pelanggan melakukan panggilan di dalam satu jamnya dengan rata-rata waktu pemakaian 3 menit. Hitung :

• Ini berarti jumlah rata-rata telepon yang digunakan adalah 2,5

– Waktu tunggu rata-rata dicari menggunakan rumus Little • Diketahui L=1,2 maka W=L/λ =1,2/(5/6)=1,44 menit

12

6

04/12/2012

Sistem M/M/S/0 (Markovian Loss System) Arrival Rate λ

Jumlah server s Service rate µ


s

• Ini model untuk jaringan telepon • Menghasilkan Distribusi Erlang

13

Sistem Antrian M/M/1 Kedatangan panggilan : Poisson arrival Service time : exponentially distributed Jumlah server : 1 Panjang antrian : tak terhingga Diagram transisi kondisi

λ 0

λ 1

µ1

λ 2

µ2

λ

λ

N+1

N µ3

µΝ

λ


• • • • •

µN+1 14

perhatikan

7

04/12/2012

Sistem Antrian M/M/1 (2) • Dalam kondisi stabil, persamaan transisi kondisi dinyatakan oleh hukum konservasi dari aliran peluang :

(λk + µk)Pk = λk-1Pk-1 + µk+1Pk+1

untuk k ≥ 1


λ0 P0 = µ1 P1 untuk k=0

Aliran menuju kondisi k, baik yang berasal dari kondisi k-1 maupun dari kondisi k+1 Aliran meninggalkan kondisi k bila sistem dalam kondisi k dengan peluang Pk 15

• Aliran kesetimbangan antara dua kondisi yang berdekatan dapat ditulis sbb : λk-1Pk-1 = µk Pk λkPk = µk+1 Pk+1 • Persamaan di atas disebut local balance equations • Kita akan memanfaatkan local balance equations untuk memperoleh peluang kondisi k (Pk)


Sistem Antrian M/M/1 (3)

16

8

04/12/2012

P =P∏

λ µ

∑ k =0

P0 =

k −1

1 ∞

k −1

1 + ∑∏ k =1 i = 0

λi µi +1

∑ P0 ∏ k =1

i =0

λi =1 µ i +1

λi

∏µ i =0

k −1



• Dari local balance equations kita peroleh : λ0P0 = µ1 P1, λ1P1 = µ2 P2,…,λkPk = µk+1 Pk+1,… dan k −1 i k 0 ∞ i =0 i +1 ∞ • Karena Σ k Pk = 1 , maka Pk = P0 +

i +1

17

Sistem Antrian M/M/1 (5) • Jika laju kedatangan dan pelayanan tidak tergantung kondisi k (ini berarti λk=λ dan µk=µ), maka Pk dapat dinyatakan sbb :

1 ∞

1+ ∑ ρ k k =1

• Dimana

ρ=

ρ k = (1 − ρ ) ρ k untuk k = 0,1,...

λ <1 µ


Pk =

18

9

04/12/2012

Sistem Antrian M/M/1 (6) • Beberapa paramater hasil analisa sistem M/M/1 : • Jumlah rata-rata panggilan di dalam sistem, E(k):

E (k ) =

ρ

1− ρ

=

λ

µ −λ

E ( w) =

ρ 1 1 = E (k ) 1− ρ µ µ

• Delay rata-rata yang dialami oleh panggilan=waktu tunggu rata-rata ditambah waktu pelayanan rata-rata = E[d] :

E[ d ] =

ρ

λ (1 − ρ )

=

E[ k ]

λ

=

1 µ (1 − ρ )


• Waktu tunggu rata-rata, E[w]:

• Jadi jumlah rata-rata pelanggan di dalam sistem, E[k], dapat juga dihitung sbb : E[k]=λE[d]=ρ/(1−ρ) (Ingat hukum Little) • Utilisasi server,η,didefinisikan sebagai peluang server sibuk (k≠0), yaitu : ∞

η = ∑ Pk = 1 − P0 = ρ = k =1

λ µ

19


• Berapa utilisasi server ? • Berapa jumlah request rata-rata di dalam server? • Berapa bagian dari waktu bahwa ditemukan k search request di server? Jawab • Average service rate = µ = 1/0,02=50 request/detik • Average arrival rate = λ = 144.000 request/jam = 40 request/detik • Utilisasi server = λ/µ =0,8 = 80 % • Jumlah rata-rata request di dalam server = 0,8/(1-0,8) = 4 • Bagian dari waktu dimana terdapat k searh request di server = Pk=(1-ρ)ρk =(1-0,8)0,8k =0,2.0,8k dimana k=0,1,…


• Contoh : suatu web server yang digunakan sebagai search engine menerima jumlah permintaan (request) per jam sebanyak 144.000. Server memerlukan waktu 0,02 detik untuk mengolah setiap request. Pertanyaan :

20

10

04/12/2012

Sistem Antrian M/M/1 (8) • Pertanyaan lain :

• Jawaban : • Respons time rata-rata = delay rata-rata yang dialami request = 1/[µ(1-ρ)] = 1/[50(1-0,8)]=0,1 detik • Bila server memiliki kecepatan dua kali lebih cepat, maka service time rata-rata menjadi = 0,02/2 = 0,01


• Berapa waktu respons rata-rata dari server? • Hitung rata-rata respons time bila server search engine diganti dengan server yang memiliki kecepatan dua kali lebih cepat? • Hitung rata-rata respons time bila arrival rate menjadi dua kali dan server memiliki kecepatan dua kali lebih cepat?

• Maka service rate menjadi = µ = 1/0,01 = 100 dan utilisasi (ρ) menjadi =40/100 = 0,4 • Maka response time menjadi = 1/[100(1-0,4)] = 0,017 detik

• Jika arrival rate dan kecepatan server menjadi dua kali, maka : • Service rate = µ = 100 dan λ menjadi 80, maka ρ =80/100 = 0,8 • Maka response time menjadi = 1/[100(1-0,8)] = 0,05 detik

21

11

Problems Involving Delay System Analysis (2)

Recommend Documents