38 Diktat Rekayasa Trafik
BAB IV SISTEM TUNGGU (DELAY SYSTEM)
buffer Kedatangan paket
server Keberangkatan paket
λ µ
Gambar 4.1 : model sistem tunggu
Pada sistem tunggu, panggilan yang datang pada saat semua sibuk, panggilan tersebut menunggu sampai ada saluran/peralatan yang bebas baru disambungkan. Panggilan yang menunggu dikatakan dalam bentuk antrian (queue). Waktu antara panggilan datang ke antrian sampai panggilan menemukan saluran bebas dikatakan waktu tunggu. 4.1 Rumus Tunggu Erlang (Formula Erlang C) ASUMSI : 1. 2. 3. 4.
Pure chance traffic Statistical equilibrium Full availability Panggilan yang datang masuk dalam antrian dan disimpan sampai ada server yang bebas 5. Disiplin operasi rate kedatangan = λ pola waktu pendudukan eksponensial negatif dengan h = 1/µ ada sejumlah N server FIFO (first in first out ), panggilan yang menunggu dilayani menurut datangnya panggilan. 4.2 Simbol Untuk Sisstem Tunggu (D.G. KENDALL) Untuk sistem tunggu secara umum dituliskan A/B/C Dengan : A = pola datangnya panggilan B = pola waktu pendudukan C = jumlah server
Sofia Naning Hertiana Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
39
Diktat Rekayasa Trafik
4.3 Diagram Transisi Kondisi
λ
λ 1
0
λ 2
2µ
µ
λ
λ
N+ 1
N 3µ
Νµ
λ
Νµ
Νµ
Gambar 4.2 : Digram transisi kondisi 4.4 Persamaan kesetimbangan Dalam keadaan kesetimbangan statistic, ada dua persamaan yang terjadi, yaitu : λP(n) = µ(n+1) P(n+1) …………………n=0,1,2…..N-1 λP(n) = µN P(n+1) …………………n= N,N+1,…….. λP(n) = µ(n+1) P(n+1) …………………n=0,1,2…..N-1 untuk n=0 λP(0) = µ P(1) P(1) = λ/µ P(0) P(1) = A P(0) Untuk n=1 λP(1) =2µ P(2) P(2) = λ/2µP(1) P(2) = A /2 P(1) P(2) = A2/2! P(0) Untuk n=2 λP(2) =µ P(3) P(3) = λ /µP(2) P(3) = A/3 P(2) P(3) = A3 / 3! P(0)
Sehingga didapatkan harga probabilitas pada saat N server diduduki adalah : P(N) = A
N
[4.1]
P (0) N! λ P(n) = µN P(n+1)
λ
P(n+1) =
…………………n= N,N+1,……..
µ
P (n) N P(n+1) = A / N P(n)
Sofia Naning Hertiana Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
40
Diktat Rekayasa Trafik
¾
Untuk n=N, maka
P(N+1) = A / N P(N), sedangkan P(N) = A P(N+1) = A A N
P(N+1) =
N
N!
N
N!
P (0) sehingga
P (0)
A N +1 P (0 ) N .N !
¾ Untuk n = N+1
P(N+2) = A / N P(N+1), sedangkan P(N+1) =
A N +1 P(0) sehingga N .N !
A A N +1 P (0) N N .N ! A N +2 P(N+2) = 2 P(0 ) N .N ! P(N+2) =
¾ Untuk n= N+x
AN +x P(0 ) N x .N ! x N A A P(0 ) atau P(n) = ⋅ N N! P(N + x ) =
n
N A N P(0 ) P(n) = N N! Sehingga didapatkan harga probabilitas pada saat N server dan x buffer diduduki adalah: x N A A P (N + x ) = ⋅ P(0 ) [4.2] N N!
•
jadi ada 2 harga P(n), yaitu : An 1. P(n ) = p (0 ) n! n
untuk n= 0 s/d N-1 x
N N A A A N 2. P(n ) = P(0 ) atau P( N + x ) = ⋅ P(0 ) N N! N N!
BERAPA HARGA P(0)….?
Note : Bila tidak ada batas antrian, maka n=0 s/d ~ ~
N −1
~
n =0
n =0
n= N
∑ P(n ) = ∑ P(n ) + ∑ P(n ) = 1 Sofia Naning Hertiana Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
untuk n= N s/d ~
41
Diktat Rekayasa Trafik x
N −1
N ~ An A A ( ) 0 P(0) = 1 P + ∑ ∑ N! n = 0 n! n= N N N −1
x
N −1
x
N ~ An 1 A A = + ∑ ∑ N ! P(0) n = 0 n! n= N N
N ~ An 1 A A = + ∑ ∑ N ! P (0) n = 0 n! x =0 N
P(0 ) =
1 N −1
[4.3]
x
N A A A + ∑ ∑ N! n =0 n x =0 N ~
untuk mencapai kestabilan statistik, A/N <1, maka : x
A A =1 + ∑ N x =0 N N = N−A ~
sehingga : P(0 ) =
1 A AN N + ⋅ ∑ N! N − A n = 0 n! N −1
[4.4]
n
Note : Bila ada batas antrian,( jumlah buffer x sampai pada k), maka n dari 0 s/d k k
N −1
k
n =0
n =0
n= N
∑ P(n ) = ∑ P(n ) + ∑ P(n ) = 1 n
N −1
N k An A N ( ) 0 P(0 ) = 1 atau P + ∑ ∑ N! n = 0 n! n= N N
N −1
x
N k An 1 A A + = ∑ ∑ N ! P (0 ) n = 0 n! x =0 N
Sofia Naning Hertiana Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
42
Diktat Rekayasa Trafik
P(0 ) =
1 N −1
x
N k A A A + ∑ ∑ N! n=0 n x =0 N n
[4.5]
4.5 Probabilitas Dilayani ( Pd) Panggilan atau data masih bisa dilayani sampai kondisi N-1 saluran/server diduduki. Sehingga probabilitas dilayani adalah : Pd = P (0 ) + P (1) + ....... + P ( N − 1)
A2 A N −1 + .......... + = P(0 )1 + A + ( N − 1)! 2! N −1
=
An ⋅ P(0 ) ∑ n = 0 n!
[4.6]
4.6 Probabilitas Menunggu (Pt) Panggilan yang datang akan menunggu apabila seluruh saluran atau server telah diduduki. Bila tidak ada batas antrian, probabilitas menunggu DN •
Pt = P( N ) + P( N + 1) + P( N + 2 ) + ........P(~ ) =
A N +2 AN A N +1 P (0 ) + P (0 ) + 2 P(0 ) +……. N! N .N ! N .N ! x
A N x= ~ A AN N = ⋅ ⋅ P(0 ) ⋅ P(0 ) ⇒ Pt = ∑ N ! x =0 N N! N − A
[4.7]
*bila ada batas antrian
Pt = P( N ) + P( N + 1) + P( N + 2 ) + ........ + P (k ) =
A N +2 AN A N +1 P (0 ) + P (0 ) + 2 P(0) +….+ P (k − 1) N! N .N ! N .N !
AN = N!
x = k −1
∑ x =0
x
A .P(0 ) N
Sofia Naning Hertiana Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
[4.8]
43
Diktat Rekayasa Trafik
4.7 Probabilitas Blocking (Pb)
Bila tidak ada batas antrian maka probabilitas blocking = 0 Bila ada batas antrian maka probabilitas blocking terjadi pada kondisi semua server dan semua buffer telah diduduki, sehingga probabilitas blocking = P(n) dimana n adalah kondisi seluruh server dan buffer diduduki n=N+k n
N A N ⋅ N N! P(n ) = x n N N −1 k A A A + ⋅ ∑ ∑ N! n = 0 n! x =0 N
[4.9]
4.8 Hubungan probabilitas blocking dengan Formula Erlang B
AN N ⋅ N! N − A AN N ⋅ = N −1 nN ! NN − A A A N + ⋅ ∑ N! N − A n = 0 n!
Pt = P (0 )⋅
1 An A N ⋅ ∑ n! = N n N !N N − NA × n=0 1 A A A N − + ⋅ ∑ N An N! N! N − A n = 0 n! ∑ n = 0 n! N
N
N−A × N = N N−A 1 − E1 ( N ) + E1 ( N ) ⋅ N−A N E1 ( N ) ⋅
=
N N−A
E1 ( N ) N−A N−A − E1 ( N ) + E1 ( N ) N N
Sofia Naning Hertiana Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
44
Diktat Rekayasa Trafik
=
=
=
E1 ( N ) A A 1 − − 1 − E1 ( N ) + E1 ( N ) N N E1 ( N ) A A 1 − − E1 ( N ) + E1 ( N ) + E1 ( N ) N N
E1 ( N ) E1 ( N ) ⇒ Pt = A A A 1 − + E1 ( N ) 1 − (1 − E1 (N )) N N N
[4.10]
bila E1 (N) diganti dengan R/A, maka : Pt =
E1 ( N ) 1−
A (1 − E1 (N )) N
R A = A R 1 − 1 − N A R A = A R 1− + N N =
Pt =
R N × A R N A1 − + N N R⋅N A( N − A + R )
[4.11]
Sofia Naning Hertiana Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
45
Diktat Rekayasa Trafik
4.9 Rumus J.D LITTLE J.D LITTLE menyatakan : Jumlah rata-rata pelanggan dalam suatu sistem antrian sama dengan rate rata-rata datangnya panggilan pada sistem tersebut kali waktu rata-rata pelanggan dalam sistem tersebut.
N = λ ⋅ts
[4.12] dimana : N = jumlah pelanggan rata-rata dalam sistem λ = rate rata-rata datangnya panggilan t s = waktu rata-rata pelanggan dalam sistem note : sistem tidak tergantung macam distribusi probabilitas datangnya panggilan, waktu pendudukan dsb. α(t1
N
y(t1 δ(t1
0
t1
t
Gambar 4.3 : waktu pendudukan Dalam waktu 0 s/d t1
α (t1 ) = jumlah panggilan yang datang dalam interval (0,t1) y (t1 ) = jumlah total waktu panggilan berada dalam sistem dalam interval (0, t1) ∂ (t1 ) = jumlah panggilan yang pergi / berakhir dalam interval (0, t1) dimana :
α (t1 ) t1
=λ,
maka :
Ns =
y (t1 ) = ts , α (t1 )
y (t 1 ) = Ns t1
y (t1 ) t s .α (t1 ) = t1 t1 N s = ts ⋅ λ
Sofia Naning Hertiana Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
[4.13]
46
Diktat Rekayasa Trafik
t s = adalah waktu rata-rata dalam sistem, terdiri dari t p atau h dan t t , sehingga :
t s = t p + tt
[4.14]
dimana : t p atau h = waktu rata-rata pelayanan
t t = waktu tunggu rata-rata dalam antrian (dihitung terhadap semua panggilan)
N s = ts ⋅ λ
= (t p + t t ) ⋅ λ
[4.15]
= λ ⋅t p + λ ⋅ tt dimana : λ ⋅ t p = A = n p adalah jumlah rata-rata panggilan dalam pelayanan
λ ⋅ t t = nt jumlah rata-rata panggilan yang menunggu (dalam antrian)
RINGKASAN HARGA P(0) Bila ada batasan jumlah buffer
P(0 ) =
x
N A A A + ∑ ∑ N! n=0 n x =0 N n
k
Bila tidak ada batasan jumlah buffer P(0 ) =
1 N −1
1 A AN N + ⋅ ∑ N! N − A n = 0 n! N −1
n
PROBABILITAS DILAYANI N −1
Pd = ∑ n =0
An ⋅ P(0 ) n!
Sofia Naning Hertiana Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
47
Diktat Rekayasa Trafik
PROBABILITAS PANGGILAN MENUNGGU DN BILA TIDAK ADA BATAS ANTRIAN
Pt =
AN N ⋅ ⋅ P(0 ) N! N − A
Pt =
R⋅N A( N − A + R )
PROBABILITAS ANTRIAN
AN Pt = N!
x = k −1
∑ x =0
PANGGILAN
MENUNGGU
DN BILA
ADA
BATAS
x
A .P(0 ) N
JUMLAH RATA-RATA PANGGILAN YANG MENUNGGU nt = λ ⋅ t t A nt = Pt . N−A x
nt = ∑ i p ( N + i ) i =1
JUMLAH RATA-RATA PANGGILAN DALAM SISTEM A N s = A + Pt . N−A N
N S = λ .t p + λ .t t = ∑ i p (i ) i =1
WAKTU TUNGGU RATA-RATA (untuk semua panggilan termasuk panggilan yang tidak menunggu) tt =
nt
λ
=
Pt
λ
⋅
tp A = Pt ⋅ (N − A ) N−A
WAKTU TUNGGU RATA-RATA HANYA DARI PANGGILAN YANG BETULBETUL MENUNGGU tp t tr = t = Pt ( N − A)
Sofia Naning Hertiana Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
48
Diktat Rekayasa Trafik
PROBABILITAS MENUNGGU LEBIH BESAR DARIPADA WAKTU w P(t > w) = Pt ⋅ e = Pt ⋅ e
−( N − A) w
−w
tp
tr
Sofia Naning Hertiana Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
