Presented by: Sri Sulistijowati Desy Lusiyanti Hot Bonar
PENDAHULUAN Data deret waktu
adalah proses stokastik yaitu rangkaian data yang berupa nilai pengamatan selama kurun waktu tertentu.
Waktu (Time)
Urutan
Lokasi (Space)
Proses Stokastik
adalah barisan variabel acak yang diberi urutan atau indeks
Untuk melihat keterkaitan antar waktu dan lokasi digunakan:
Space Time Autoregressive (STAR) dan berkembang menjadi GSTAR
Lokasi dan Waktu (space time)
GSTAR (1,1)
PENDAHULUAN Identifikasi Masalah 1. 2.
Bagaimana menerapkan model GSTAR(1,1) pada data Curah Hujan? Bagaimana mengestimasi parameter model GSTAR(1,1) dengan OLS?
Tujuan Penelitian 1.
2.
Menerapkan Model GSTAR(1,1) pada data Curah Hujan? Mengestimasi parameter model GSTAR(1,1) dengan OLS?
Batasan Masalah 1. 2.
Penelitian ini dibatasi pada estimasi parameter dengan menggunakan metode OLS untuk model GSTAR(1,1). Lokasi penelitian dibatasi hanya pad 3 lokasi, yakni Kabupaten Bandung, Bandung Barat, dan Sumedang.
TAHAPAN METODE BOX JENKINS DATA
Pemeriksaan Kestasioneran tidak
Stasioner ya
Penaksiran Parameter
Diagnostic checking PERAMALAN
Tidak stasioner dalam varians transformasi Tidak stasioner dalam means differencing
TINJAUAN PUSTAKA 1. Proses AR (Autoregressive) Nilai sekarang suatu proses dinyatakan sebagai jumlah nilai-nilai yang lalu ditambah satu sesatan (goncangan random) sekarang 𝑍𝑡 = 𝑎1 𝑍𝑡−1 + 𝑎2 𝑍𝑡−2 + ⋯ + 𝑎𝑝 𝑍𝑡−𝑝 + 𝑎𝑡 asumsi : model dalam mean
2. Model VAR (Vector Autoregressive) -
-
Beberapa variabel endogen secara bersama-sama dalam 1 model. Masing-masing variabel selain diterangkan oleh nilainya di masa lampau juga dipengaruhi oleh nilai masa lalu dari semua variabel endogen lainnya dalam model yang diamati
Model VAR (p): 𝐙t(Nx1) = 𝚽1 NxN 𝐙t−1(Nx1) + 𝚽2 NxN 𝐙t−2(Nx1) + ⋯ + 𝚽p NxN 𝐙t−p Nx1 + 𝐚t(Nx1) Dimana: 𝚽1 NxN , … . , 𝚽p NxN adalah parameter model 𝑉𝐴𝑅
𝐚t(Nx1) ~ iid N(0, σ2 I)
TINJAUAN PUSTAKA 3. Model VAR (1) Model VAR(1) adalah model Vector Autoregressive dengan lag 1, artinya peubah bebas dari model tersebut hanyalah satu nilai lag dari peubah tak bebasnya. Model VAR(1) untuk 𝑵 buah lokasi: 𝑍1,𝑡 𝜙11 𝑍2,𝑡 𝜙 = 21 ⋮ ⋮ 𝜙𝑁1 𝑍𝑁,𝑡
𝜙12 𝜙22 ⋮ 𝜙𝑁2
𝑎1,𝑡 … 𝜙1𝑁 𝑍1,𝑡−1 𝑎2,𝑡 … 𝜙2𝑁 𝑍2,𝑡−1 + ⋱ ⋮ ⋮ ⋮ … 𝜙 𝑎𝑁,𝑡 𝑁𝑁 𝑍𝑁,𝑡−1
Dapat ditulis: 𝐙t = 𝚽𝐙t−1 + 𝐚t
𝐙t N×1 = 𝚽 N×N 𝐙t−1 N×1 + 𝐚t N×1
Model VAR(1) untuk 𝟐 buah lokasi: 𝑍1,𝑡 = 𝜙11 𝑍1,𝑡−1 + 𝜙12 𝑍2,𝑡−1 + 𝑎1𝑡 𝑍2,𝑡 = 𝜙21 𝑍1,𝑡−1 + 𝜙22 𝑍2,𝑡−1 + 𝑎2𝑡 Disusun dalam matriks vektor: 𝑍1,𝑡 𝜙 = 11 𝑍2,𝑡 𝜙21
𝑎1𝑡 𝜙12 𝑍1,𝑡−1 + 𝑎 𝜙22 𝑍2,𝑡−1 2𝑡
TINJAUAN PUSTAKA Mengubah Ukuran Matriks 𝚽 Tujuan : Untuk memudahkan dalam mengestimasi parameter persamaan Model Linier
𝑍1,𝑡 = 𝜙11 𝑍1,𝑡−1 + ⋯ + 𝜙1𝑁 𝑍𝑁,𝑡−1 + 𝜙21 . 0 + ⋯ + 𝜙2𝑁 . 0 + ⋯ + 𝜙𝑁1 . 0 + ⋯ + 𝜙𝑁𝑁 . 0 + 𝑎1,𝑡 𝑍2,𝑡 𝐙t N×1 = 𝚽 N×N 𝐙t−1 N×1 + 𝐚t N×1 = 𝜙11 . 0 + ⋯ + 𝜙1𝑁 . 0 + 𝜙21 𝑍1,𝑡−1 + ⋯ + 𝜙2𝑁 𝑍𝑁,𝑡−1 + ⋯ + 𝜙𝑁1 . 0 + ⋯ + 𝜙𝑁𝑁 . 0 + 𝑎2,𝑡 ⋮ Dijabarkan menjadi: 𝑍𝑁,𝑡 11 . 0 + ⋯ + 𝜙1𝑁 . 0 + 𝜙21 . 0 + ⋯ + 𝜙2𝑁 . 0 + ⋯ 𝑍1,𝑡 = 𝜙11 𝑍1,𝑡−1 + 𝜙12 𝑍2,𝑡−1 + ⋯ + 𝜙1𝑁 𝑍𝑁,𝑡−1 +=𝑎𝜙1,𝑡 + 𝜙𝑁1 𝑍1,𝑡−1 + ⋯ + 𝜙𝑁𝑁 𝑍𝑁,𝑡−1 + 𝑎𝑁,𝑡
𝑍2,𝑡 = 𝜙21 𝑍1,𝑡−1 + 𝜙22 𝑍2,𝑡−1 + ⋯ + 𝜙2𝑁 𝑍𝑁,𝑡−1 + 𝑎2,𝑡 ⋮ 𝑍𝑁,𝑡 = 𝜙𝑁1 𝑍1,𝑡−1 + 𝜙𝑁2 𝑍2,𝑡−1 + ⋯ + 𝜙𝑁𝑁 𝑍𝑁,𝑡−1 + 𝑎𝑁,𝑡
TINJAUAN PUSTAKA 𝜙11 ⋮ 𝜙1𝑁 𝑎1,𝑡 𝜙21 𝑎 2,𝑡 ⋮ + ⋮ 𝜙2𝑁 𝑎𝑁,𝑡 ⋮ 𝜙𝑁1 ⋮ 𝜙𝑁𝑁
Dalam susunan matriks, dengan N lokasi, persamaan menjadi: 𝑍1,𝑡 𝑍2,𝑡 = ⋮ 𝑍𝑁,𝑡
𝑍1,𝑡−1 0 ⋮ 0
… 𝑍𝑁,𝑡−1 … 0 ⋱ ⋮ … 0
𝑍2,𝑡−1 0 ⋮ 0
0
0
𝑍1,𝑡−1 ⋮ 0
𝑍2,𝑡−1 ⋮ 0
N×N ×1
+ 𝐚t
… 0 0 … 𝑍𝑁,𝑡−1 0 … ⋱ ⋮ ⋮ … 𝑍 1,𝑡−1 0
0 0 ⋮
𝑍2,𝑡−1
… 0 … 0 ⋱ ⋮ … 𝑍𝑁,𝑡−1
Dapat ditulis: 𝐙t
N×(T−1) ×1
= 𝐙t−1
N×(T−1) × N×N
𝚽
N×(T−1) ×1
Misalkan : lokasi N=2, persamaan di atas menjadi: 𝑍1,𝑡 = 𝑍2,𝑡
𝑍1,𝑡−1 0
𝑍2,𝑡−1 0
0
0
𝑍1,𝑡−1
𝑍2,𝑡−1
𝜙11 𝜙21 𝜙12 𝜙22
𝑎1,𝑡 + 𝑎 2,𝑡
Misalkan : lokasi N=2, serta T=3, dimana t=2,3: 𝑍1,2 𝑍2,2 𝑍1,3 𝑍2,3
=
𝑍1,1 0 𝑍1,2 0
𝑍2,1 0 𝑍2,2 0
0 𝑍1,1 0 𝑍1,2
0 𝑍2,1 0 𝑍2,2
𝜙11 𝜙21 𝜙12 𝜙22
+
𝑎1,2 𝑎2,2 𝑎1,3 𝑎2,3
Dapat ditulis: 𝐙t
2×2 ×1
= 𝐙t−1
2×2 × 2×2
𝚽
2×2 ×1
+ 𝐚t
2×2 ×1
4. Model STAR – GSTAR Bentuk Umum Model STAR 𝑝
𝜆𝑘 𝑙
𝒁 𝑡 =
𝜙𝑘𝑙 𝐖 𝒁(𝑡 − 𝑘) + 𝒂(𝑡) 𝑘=1 𝑙=0
𝜆𝑘 𝒁 𝑡 𝒁 𝑡−𝑘 𝜙𝑘𝑙 𝚽𝑘𝑙 𝐖
𝑙
𝒂(𝑡)
Bentuk Umum Model GSTAR 𝑝
𝜆𝑘
𝚽𝑘𝑙 𝐖 𝑙 𝒁(𝑡 − 𝑘) + 𝒂(𝑡)
𝒁 𝑡 = 𝑘=1 𝑙=0
: orde spasial dari bentuk autoregressive orde ke-k : vektor variabel berukuran (n x 1) pada waktu t : vektor variabel berukuran (n x 1) pada waktu (t – k) : parameter STAR pada lag waktu k dan lag spsial l (1) (𝑛) : diag 𝜙𝑘𝑙 , … , 𝜙𝑘𝑙 , yaitu matriks diagonal parameter autoregressive (GSTAR) pada lag waktu k dan lag spsial l berukuran (n x n) : matriks bobot berukuran (n x n) pada lag spasial l (dimana l =0,1,...), dan pembobot tersebut dipilih untuk wii = 0 dan 𝑖≠𝑗 𝑤𝑖𝑗 = 1 : vektor residual berukuran (n x 1) pada waktu t, dengan asumsi bahwa 𝐞𝑡 ~ iid 𝑁(0, 𝛔𝟐 𝐈)
5. GSTAR (1,1)
Agar memenuhi bentuk Model linier dan dapat diperoleh taksiran parameter, maka persamaan disusun ulang menjadi:
Taksiran Parameter model GSTAR (1,1) dengan metode OLS dapat dilakukan
HASIL DAN PEMBAHASAN 1. Penentuan Lokasi Penelitian
2. Plot Data Curah Hujan
3. Stasioneritas > adf.test(Bandung) Augmented Dickey-Fuller Test data: Bandung Dickey-Fuller = -8.7639, Lag order = 5, p-value = 0.01 alternative hypothesis: stationary > adf.test(BandungBarat) Augmented Dickey-Fuller Test data: BandungBarat Dickey-Fuller = -8.4324, Lag order = 5, p-value = 0.01 alternative hypothesis: stationary > adf.test(Sumedang) Augmented Dickey-Fuller Test data: Sumedang Dickey-Fuller = -8.0854, Lag order = 5, p-value = 0.01 alternative hypothesis: stationary
4. Lag Optimum
5. Hasil yang diperoleh (T=24)
Diperoleh Taksiran Parameter (Phi)
Matriks Bobot Seragam
0 𝑊 = 0.5 0.5
(1) 𝜙𝑖0
0.5 0 0.5
0.5 0.5 0
0.89061 0 0 = 0 −1.04774 0 0 0 1.59748
(1) 𝜙𝑖1
0.02259 0 0 = 0 1.874031 0 0 0 −0.71249
Model GSTAR (1,1) dalam bentuk Matriks:
𝑍1 (𝑡) 0.89061 𝑍2 (𝑡) = 0.93702 𝑍3 (𝑡) −0.35625
0.011297 −1.04774 −0.35625
0.011297 0.937016 1.59748
𝑍1 (𝑡 − 1) 𝑍2 (𝑡 − 1) 𝑍3 (𝑡 − 1)
𝒁𝟏 (𝒕) = 0.89061 𝒁𝟏 (𝒕 − 𝟏) + 0.011297 𝒁𝟐 (𝒕 − 𝟏) + 0.11297 𝒁𝟑 (𝒕 − 𝟏) 𝒁𝟐 (𝒕) = 0.93702 𝒁𝟏 (𝒕 − 𝟏) - 1.04774 𝒁𝟐 (𝒕 − 𝟏) + 0.937016 𝒁𝟑 (𝒕 − 𝟏) 𝒁𝟑 (𝒕) = -0.𝟑𝟓𝟔𝟐𝟓 𝒁𝟏 (𝒕 − 𝟏) - 0.𝟑𝟓𝟔𝟐𝟓 𝒁𝟐 (𝒕 − 𝟏) + 1.59748 𝒁𝟑 (𝒕 − 𝟏)
Eror Model GSTAR (1,1):
Galat Analyse
Bandung
BdgBarat
Sumedang
316192.2111
295355.4384
329523.2144
23.3460711
25.06762744
24.28148531
Mean of Absolute Error(MAE)
87.07235682
87.12852933
98.26050613
Mean of Absolute Percentage Error(MAPE)
107.7091462
73.59464468
89.63535669
Standard Deviasion Errror (SDE)
119.8848332
115.867369
122.3859793
Mean of Square Error(MSE)
13747.48744
12841.5408
14327.09628
Sum Square Error(SSE) Mean of Error(ME)
Peramalan Curah Hujan dengan Model GSTAR (1,1): Bandung t
Z(t)
Bandung Barat
Z(t) hat
Error
Z(t)
Sumedang
Z(t) hat
Error
Z(t)
Z(t) hat
Error
25
409.1115
335.4003
73.71123
339.4833
307.4014
32.08193
362.2025
345.6471
16.55539
26
290.6848
306.0883
-15.4035
290.5476
316.0759
-25.5283
283.079
323.1708
-40.0918
27
291.9415
279.8268
12.11474
243.1864
258.4608
-15.2744
259.881
294.6173
-34.7363
28
326.9011
255.4646
71.43653
390.6973
267.4638
123.2335
363.6565
278.8841
84.77236
29
98.7306
233.6913
-134.961
93.1611
220.461
-127.3
96.6589
259.2223
-162.563
30
42.2038
213.5468
-171.343
38.3417
230.8823
-192.541
43.6415
252.3138
-208.672
31
11.117
195.6455
-184.528
17.4049
194.6145
-177.21
19.0523
244.7416
-225.689
32
7.8428
179.2072
-171.364
10.4484
208.7446
-198.296
10.8797
251.9425
-241.063
33
22.0358
164.808
-142.772
28.5138
185.2843
-156.77
27.4635
264.268
-236.804
34
165.1961
151.8582
13.33793
232.3625
207.9215
24.44099
214.2125
297.4449
-83.2324
Grafik Peramalan Curah Hujan dengan Model GSTAR (1,1):
Hatur Nuhun Mauliate Thank You Salamat Shukriya
