PREDIKSI HARGA KOMODITAS MINYAK MENTAH MENGGUNAKAN MODEL ORNSTEIN-UHLENBECK

TUGAS AKHIR - SM141501

PREDIKSI HARGA KOMODITAS MINYAK MENTAH MENGGUNAKAN MODEL ORNSTEIN-UHLENBECK INA NUR SHOLIKAH NRP 1213 100 021 Dosen Pembimbing: Endah Rokhmati M.P., Ph.D Dra. Nuri Wahyuningsih, M.Kes JURUSAN MATEMATIKA Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya 2017

”Halaman ini sengaja dikosongkan.”

FINAL PROJECT - SM141501

PREDICTING THE CRUDE OIL COMODITY PRICES USING ORNSTEIN-UHLENBECK MODEL INA NUR SHOLIKAH NRP 1213 100 021 Supervisor: Endah Rokhmati M.P., Ph.D Dra. Nuri Wahyuningsih, M.Kes DEPARTMENT OF MATHEMATICS Faculty of Mathematics and Natural Sciences Sepuluh Nopember Institute of Technology Surabaya 2017



PREDIKSI HARGA KOMODITAS MINYAK MENTAH MENGGUNAKAN MODEL ORNSTEIN-UHLENBECK Nama Mahasiswa NRP Jurusan Pembimbing

: : : :

INA NUR SHOLIKAH 1213 100 021 Matematika FMIPA-ITS 1. Endah Rokhmati M.P., Ph.D 2. Dra. Nuri Wahyuningsih, M.Kes

Abstrak Minyak mentah merupakan salah satu komoditas utama dalam ekonomi global. Pergerakan harga komoditas minyak mentah yang fluktuatif menjadi gambaran bahwa harga komoditas minyak mentah bergerak mengikuti proses stokastik. Model Ornstein-Uhlenbeck merupakan salah satu mean reverting process yang digunakan untuk meramalkan harga komoditas minyak mentah yang pergerakannya mengikuti proses stokastik. Persamaan diferensial stokastik model Ornstein-Uhlenbeck diturunkan untuk menentukan rumus peramalan harga komoditas minyak mentah. Nilai drift yang didapatkan yaitu 0, 00218581, volatilitas yaitu 0,036768531, dan rate of reversion yaitu 0,008233573. Dalam uji validasi model diperoleh nilai MAPE sebesar 1,64481 % yang menunjukkan tingkat akurasi peramalan yang tinggi. Peramalan harga komoditas minyak mentah menggunakan model OrnsteinUhlenbeck dilakukan dengan bantuan software matlab dan 100 % harga ramalan berada di dalam selang kepercayaan. Kata-kunci: Minyak Mentah, Fluktuatif, Proses Stokastik, Model Ornstein-Uhlenbeck, Mean Reverting Process, Peramalan

vii


PREDICTING THE CRUDE OIL COMODITY PRICES USING ORNSTEIN-UHLENBECK MODEL Name NRP Department Supervisors

: : : :

INA NUR SHOLIKAH 1213 100 021 Mathematics FMIPA-ITS 1. Endah Rokhmati M.P., Ph.D 2. Dra. Nuri Wahyuningsih, M.Kes

Abstract Crude oil is one of the main commodities in a global economy. The price movement of commodities fluctuating crude oil becomes an idea that the commodity price of crude oil moves follow a stochastic process. OrnsteinUhlenbeck models is one mean reverting process used to predict commodity prices of crude oil that the movement followed a stochastic process. Stochastic differential equations model of Ornstein-Uhlenbeck derived formulas for determining forecasting commodity prices of crude oil.The value of drift is 0, 00218581, volatility is 0,036768531, and rate of reversion is 0,008233573. In model validation test is get value of MAPE is 1,64481 % indicating a high level of accuracy of forecasting. Commodity price forecasting of crude oil using OrnsteinUhlenbeck models is carried out with the help of software matlab and 100 % forecasting price be in confidence interval. Keywords: Crude Oil, Volatility, Stochastic processes, Ornstein-Uhlenbeck Model, Mean Reverting Process, forecasting .

ix


KATA PENGANTAR

Alhamdulillaahirobbil’aalamiin, segala puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah memberikan limpahan rahmat, taufik serta hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir yang berjudul ”PREDIKSI HARGA KOMODITAS MINYAK MENTAH MENGGUNAKAN MODEL ORNSTEIN-UHLENBECK” sebagai salah satu syarat kelulusan Program Sarjana Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya. Tugas Akhir ini dapat terselesaikan dengan baik berkat bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan kepada: 1. Bapak dan ibuku yang selalu mendoakan dan bekerja keras demi cita-citaku.Kakakku, mbak yun dan suaminya serta anak-anaknya yang selalu menanyakan ”kapan wisuda, mbak? setelah lulus mau ngapain?”. Mbak Atik dan anaknya yang selalu mendoakan dan menasehatiku untuk bekerja keras dan pantang menyerah. 2. Bapak Dr.Imam Mukhlash, S.Si, MT selaku Ketua Jurusan Matematika ITS yang telah memberikan dukungan dan motivasi selama perkuliahan hingga terselesaikannya Tugas Akhir ini. xi

3. Bapak Dr. Didik Khusnul Arif, S.Si, M.Si selaku Kaprodi S1 dan Bapak Drs. Iis Herisman, M.Sc selaku Sekretaris Kaprodi S1. 4. Ibu Endah Rokhmati M.P., Ph.D dan Ibu Dra. Nuri Wahyuningsih, M.Kes selaku dosen pembimbing atas segala bimbingan dan motivasinya kepada penulis sehingga dapat terselesaikan dengan baik. 5. Ibu Dra. Farida Agustini W., MS, Bapak Prof.DR. Mohammad Isa Irawan, MT, dan Ibu Dra.Titik Mudjiati, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan saran dan masukan terhadap Tugas Akhir. 6. Bapak Daryono Budi Utomo S.Si, M.Si selaku dosen wali yang telah memberikan arahan akademik selama penulis menempuh pendidikan di Jurusan Matematika FMIPA ITS. 7. Bapak dan Ibu dosen serta para staf Jurusan Matematika ITS yang tidak dapat penulis sebutkan satu-persatu. 8. Teman-teman seperjuanganku Wisuda 115 yaitu Yenny, Dita, Mimi, Virga, Hilma, Fauzia, Tara, Fika, Nastiti, Airin, Prima, Zani, Daus, Ardi, Mas Hakam, Mba Mia, Mas Fredic yang selalu memberi masukan, dukungan, kritik, dan bantuan apabila penulis mengalami kesulitan. 9. Ivan dan Wawan, tentor Matlabku yang selalu sabar dan tanggap dalam mengajari ngoding Matlab serta Uzu yang selalu membantu penulis apabila mengalami kesulitan. xii

10. Teman-teman baikku yang selalu mendoakan dan mendukung penulis dalam pengerjaan Tugas Akhir yaitu Lisa, Diana, Nurma, Neni, Ayur, Niken, Melynda, dan Diva. Semoga kalian lancar buat Wisuda 116 ya :) 11. Kabinet Generatorku. Yoga, Ayu, Jeje, Putri, Regita, Diah, Sinar, dan yang sudah penulis sebutkan sebelumnya. Orang-orang hebat yang menemani penulis dalam susah maupun senang dalam menjalankan kepengurusan di Himatika ITS. Aku bangga menjadi bagian dari kalian guys ! 12. Sahabat-sahabatku mulai jenjang SD, SMP, SMA. Fhanin, Sofi, Bela, Wulan, Hervina, Mega, Sari, Indira, Mus. Kalian adalah sahabat-sahabat terbaikku yang meskipun berbeda jurusan atau kampus namun selalu mendoakan dan mendukung satu sama lain. I love you guys, sukses juga buat Tugas Akhirnya. 13. Orang-orang yang belum penulis sebutkan namun telah berjasa dalam proses pengerjaan Tugas Akhir, semoga Allah SWT membalas kebaikan kalian. Penulis juga menyadari bahwa dalam pengerjaan ini masih terdapat kekurangan. Oleh sebab itu, kritik dan saran yang bersifat membangun sangat penulis harapkan demi kesempurnaan Tugas Akhir ini. Akhirnya, penulis berharap semoga penulisan ini dapat bermanfaat bagi banyak pihak. Surabaya, Januari 2017

Penulis xiii


DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL

i

LEMBAR PENGESAHAN

vi

ABSTRAK

vii

ABSTRACT

ix

KATA PENGANTAR

xi

DAFTAR ISI

xv

DAFTAR GAMBAR

xvii

DAFTAR TABEL

xix

DAFTAR LAMPIRAN

xxi

DAFTAR SIMBOL

xxiii

BAB I 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

PENDAHULUAN Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Batasan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 3 3 4 4 4

BAB II 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

TINJAUAN PUSTAKA Penelitian Terdahulu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Uji Normalitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proses Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Persamaan Diferensial Stokastik . . . . . . . . . . . Random Walk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 7 8 8 9 9

xv

2.6 2.7 2.8 2.9

Brownian Motion (Proses Wiener ) . . . . . . . . . Orstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Return Harga Komoditas Minyak . . . . . . . . . . Estimasi Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.1 Drift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.2 Volatilitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9.3 Rate of Reversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.10 MAPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.11 Selang Kepercayaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

BAB III

METODE PENELITIAN

BAB IV 4.1 4.2 4.3 4.4

ANALISIS DAN PEMBAHASAN Perhitungan Return Harga Minyak Mentah . Uji Normalitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estimasi Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pembentukan Model Peramalan Harga Komoditas Minyak Mentah . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Perhitungan Nilai MAPE . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Peramalan Harga Komoditas Minyak Mentah Menggunakan Software Matlab . . . . .

12 13 17 18 18 18 19 19 20 23 27 27 28 30 32 33 36

BAB V PENUTUP 41 5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 DAFTAR PUSTAKA

43

xvi

DAFTAR GAMBAR

Gambar 3.1 Diagram Alir Metodologi Penelitian . . . 25 Gambar 4.1 Plot data return . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gambar 4.2 Uji Normalitas menggunakan software minitab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gambar 4.3 Histogram return harga komoditas minyak mentah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gambar 4.4 1000 realisasi lintasan peramalan harga komoditas minyak mentah . . . . . . Gambar 4.5 Peramalan harga komoditas minyak mentah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gambar 4.6 GUI peramalan harga komoditas minyak mentah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xvii

28 29 30 36 39 39


DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Tabel Akurasi Peramalan . . . . . . . . . . . . . Tabel 4.1 Hasil Perhitungan Selang Kepercayaan . . . . .

xix

20 38


DAFTAR LAMPIRAN

LAMPIRAN LAMPIRAN LAMPIRAN LAMPIRAN LAMPIRAN LAMPIRAN LAMPIRAN LAMPIRAN

A Data Harga Minyak Mentah ........................... B Tabel Return Minyak Mentah ......................... C Tabel Kolmogorv-Sminorv .............................. D Uji Normalitas ................................................ E Harga Peramalan untuk Validasi Model ......... F Harga Peramalan Bulan Agustus 2016 ........... G Listing Program.............................................. H Biodata Penulis ..............................................

xxi

47 51 55 57 63 65 67 85


Daftar Simbol

µ σ Z

: drift : volatilitas : proses Wiener atau biasa disebut Brownian motion

i Wn n Wn

i−1 n

: proses random walk untuk n variabel acak i pada langkah ke n : proses random walk untuk n variabel acak pada langkah ke (

Xi n η Ft Ft−1 Rt δt P(t+1) P(t) N ¯ R δt R(t−1) N (0, 1)

: : : : : : : : : : : : : :

i−1 ) n

variabel acak ke i jumlah data harga komoditas minyak mentah rate of reversion peramalan harga minyak mentah pada waktu t peramalan harga minyak mentah pada waktu t-1 return harga komoditas minyak ke t selang waktu harga minyak mentah ke t + 1 harga minyak mentah ke t jumlah return harga minyak mentah rata-rata return harga minyak mentah selang waktu return harga minyak mentah ke t − 1 distribusi normal dengan mean 0 dan varian 1

xxiii


BAB I PENDAHULUAN

Pada bab ini dibahas hal-hal yang menjadi latar belakang permasalahan dalam Tugas Akhir ini. Kemudian permasalahan tersebut disusun kedalam suatu rumusan masalah. Selanjutnya dijabarkan batasan masalah untuk memperoleh tujuan serta manfaat. Adapun sistematika penulisan diuraikan pada bagian akhir bab ini. 1.1

Latar Belakang Minyak bumi merupakan bahan bakar fosil yang terbentuk selama jutaan tahun yang lalu yang berasal dari sisa-sisa jasad renik hewan dan tumbuhan laut. Minyak mentah adalah minyak bumi yang berasal dari tambang minyak dan dikumpulkan menjadi satu. Minyak mentah menjadi salah satu sumber energi paling penting di dunia. Pada tahun 2012, minyak telah menyediakan sekitar 33,1 % dari kebutuhan energi di dunia. Untuk membantu produsen dan konsumen dalam meminimalisir resiko yang dihubungkan dengan variasi dalam harga minyak, maka pasar komoditas telah tumbuh secara signifikan terutama sejak tahun 2000 [1]. Pasar komoditas adalah tempat dipertemukannya aktivitas permintaan dan penawaran barang, dalam hal ini barangbarang yang akan diperjual-belikan di bursa. Pasar komoditas dan pasar keuangan memiliki pengaruh besar menjaga stabilitas perekonomian bangsa. Pasar komoditas dan pasar keuangan jika dikelola dengan baik dapat memberikan manfaat besar kepada investor, pelaku usaha, masyarakat, dan perekonomian nasional [2]. 1

2 Minyak mentah merupakan salah satu komoditas utama dalam ekonomi global dan merupakan suatu komponen penting dalam pertumbuhan dan perkembangan ekonomi untuk negara yang sedang mengalami industrialisasi dan perkembangan. Selain itu, kejadian-kejadian politik, cuaca ekstrim, spekulasi dalam pasar keuangan, dan yang lainnya merupakan karakteristik utama pada pasar minyak mentah yang mengakibatkan harga minyak meningkat pada tingkat harga volatilitas dalam pasar minyak [3]. Akhir - akhir ini, harga minyak mentah melonjak pada tingkat yang tidak bisa dijadikan sebagai patokan, yaitu mencapai hampir 150 dollar per barel pada Juli 2008. Dalam membangkitkan krisis keuangan pada tahun 2008-2009, harga minyak jatuh dibawah 40 dollar per barel pada akhir tahun 2008 [4]. Harga minyak mentah memainkan peran penting dalam sektor perekonomian global, rencana pemerintah, dan sektor komersial. Dampak kenaikan harga minyak mentah dan fluktuasi harian tidak hanya mempengaruhi perekonomian dan pasar keuangan, tetapi juga memiliki efek langsung terhadap harga bahan bakar, barang, dan jasa. Selain itu, dampak penurunan harga minyak mentah seperti yang terjadi pada tahun 1998 mengakibatkan masalah defisit anggaran yang serius bagi negara-negara pengekspor minyak. Peramalan harga minyak mentah, selain ditujukan untuk mengurangi dampak dari fluktuasi harga, juga ditujukan untuk membantu investor dan individu dalam membuat keputusan yang berhubungan dengan pasar energi [5]. Peramalan adalah suatu proses pengembangan hipotesa kejadian di masa depan yang banyak digunakan dalam berbagai bidang seperti ekonomi dan sains karena merupakan suatu alat yang berguna dalam pembuatan keputusan [6]. Harga minyak mentah mengalami perubahan secara tidak pasti dan berubah sesuai dengan perubahan waktu,

3 sehingga perubahan harga minyak termasuk dalam proses stokastik. Model Ornstein-Uhlenbeck merupakan suatu mean reverting process, dimana harga atau return pada akhirnya akan kembali kepada nilai rata-rata harga atau return. Hal tersebut menjadikan model Ornstein-Uhlenbeck menjadi salah satu model yang tepat dalam memprediksi harga komoditas minyak mentah. Pada tahun 2009, Omer Onalan menggunakan model Ornstein-Uhlenbeck untuk memodelkan harga saham [7]. Oleh karena itu, dalam Tugas Akhir ini penulis akan menjelaskan penggunaan model OrnsteinUhlenbeck dalam meramalkan harga komoditas minyak mentah. 1.2

Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah dijelaskan sebelumnya, disusun suatu rumusan masalah yang dibahas dalam Tugas Akhir ini yaitu bagaimana peramalan harga komoditas minyak mentah menggunakan model OrnsteinUhlenbeck. 1.3

Batasan Masalah Batasan masalah yang digunakan dalam Tugas Akhir ini antara lain: 1. Data harga minyak mentah yang digunakan yaitu data harian harga minyak mentah jenis West Texas Intermediate (WTI) periode Januari sampai dengan Juni 2016 sebagai data training dan data harian periode Juli 2016 sebagai data testing. 2. Peramalan harga komoditas minyak mentah dilakukan untuk bulan Agustus 2016. 3. Return harga komoditas minyak mentah diasumsikan mengikuti proses Wienner sehingga data perubahan harga komoditas minyak mentah berdistribusi normal.

4 4. Memiliki parameter konstan yaitu rate of reversion (η), drift (µ), dan volatilitas (σ). 1.4

Tujuan Tujuan dari penulisan Tugas Akhir ini adalah mengetahui peramalan harga komoditas minyak mentah menggunakan model Ornstein-Uhlenbeck. 1.5

Manfaat Manfaat yang diperoleh dari Tugas Akhir ini adalah diperoleh peramalan harga komoditas minyak mentah dengan menggunakan model Ornstein-Uhlenbeck. 1.6

Sistematika Penulisan Tugas akhir ini terdiri dari 5 bab dan lampiran. Secara garis besar dalam masing-masing bab dibahas hal-hal sebagai berikut: 1. BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi tentang gambaran umum dari penulisan yang meliputi latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan, manfaat, dan sistematika penulisan. 2. BAB II TINJAUAN PUSTAKA Bab ini membahas mengenai materi-materi yang berkaitan dengan peramalan harga komoditas minyak mentah menggunakan model Orstein-Uhelnbeck, antara lain proses stokastik, persamaan diferensial stokastik, Brownian motion, random walk, Orstein-Uhlenbek, Mean Absolute Percentage Error (MAPE). Selain itu juga di bahas mengenai return, drift, volatilitas, dan rate of reversion yang menjadi dasar dalam meramalkan harga komoditas minyak mentah menggunakan model Ornstein-Uhelnbeck. Materi-materi tersebut digunakan sebagai acuan dalam pengerjaan Tugas Akhir.

5 3. BAB III METODE PENELITIAN Bab ini menjelaskan langkah-langkah yang digunakan dalam penyelesaian masalah pada Tugas Akhir. Tahapan tersebut antara lain studi literatur, pengumpulan data harga komoditas minyak mentah kemudian dilakukan uji normalitas menggunakan uji Kolmogorov-Sminorv, penurunan rumus model Ornstein-Uhlenbeck, estimasi parameter, pembentukan dan validasi model, peramalan harga komoditas minyak mentah menggunakan software matlab. Tahap terakhir adalah penarikan kesimpulan berdasarkan hasil analisis dan pembahasan yang telah dilakukan. 4. BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN Pada bab ini dijelaskan secara detail mengenai uji normalitas data, penurunan rumus model OrsteinUhlenbeck, estimasi parameter, pembentukan dan validasi model, dan peramalan harga minyak mentah menggunakan software matlab. 5. BAB V PENUTUP Bab ini berisi kesimpulan akhir yang diperoleh dari analisis dan pembahasan pada bab sebelumnya serta saran untuk pengembangan penelitian selanjutnya.


BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini dibahas landasan teori yang mendasari penulisan Tugas Akhir, antara lain penelitian terdahulu, proses stokastik, persamaan diferensial stokastik, Brownian motion, random walk, model Ornstein-Uhlenbek, rumus estimasi parameter, dan Mean Absolute Percentage Error (MAPE). 2.1

Penelitian Terdahulu Berbagai metode telah digunakan dalam peramalan harga komoditas minyak mentah. Gurudeo Anand Tularam dan Tareq Saeed [6] menjelaskan perbandingan peramalan harga minyak mentah menggunakan tiga metode yaitu Exponential Smoothing, Holt-Winters, dan model ARIMA. Kesimpulannya, peramalan harga minyak mentah jenis WTI menggunakan model ARIMA merupakan model terbaik diantara ketiganya. Sedangkan Okorie dan Akpanta [8] menggunakan aplikasi Box-Jenkins dalam memodelkan dan meramalkan harga minyak mentah di Nigeria. Model Ornstein-Uhlenbeck telah digunakan dalam beberapa penelitian. Omer Onalan [7] memodelkan harga saham menggunakan proses Orsntein-Uhlenbeck disertai dengan proses Lˆ evy. Brownian motion dan proses Poisson untuk beberapa nilai (0,∞) merupakan proses Lˆ evy. Sementara, Mohammed AbdulAziz Aba Oud [1] membandingkan beberapa model satu faktor untuk harga komoditas minyak mentah jenis Brent menggunakan teknik estimasi paramete Generalized Method of Moments (GMM). 7

8 Pada Tugas Akhir ini dibahas tentang peramalan harga minyak mentah menggunakan model Ornstein-Uhlenbeck. 2.2

Uji Normalitas Untuk mengetahui apakah data berdistribusi normal sehingga dapat dipakai dalam statistik parametrik adalah dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov [9]. Hipotesis: H0 : sampel berdistribusi normal. H1 : sampel tidak berdistribusi normal. Statistik Uji: Dhitung = max |F0 (X) − Sn (X)|, X > 0 dengan : Dhitung : deviasi maksimum F0 (X) : fungsi yang berdistribusi normal Sn (X) : fungsi distribusi kumulatif max |F0 (X) − Sn (X)| : nilai maximum dari selisih mutlak F0 (X) dan Sn (X). Kriteria Pengujian: Jika Dhitung < Dα,n (α = 5%) maka H0 diterima, dalam artian sampel berdistribusi normal. 2.3

Proses Stokastik Suatu variabel dikatakan mengikuti proses stokastik apabila variabel tersebut berubah nilainya seiring waktu dengan cara yang tidak pasti. Proses stokastik adalah himpunan variabel acak dalam bentuk {Xt (s), t ∈ T, s ∈ S} dengan t menyatakan waktu, dan Xt (s) menyatakan variabel acak yang didefinisikan dalam S pada saat waktu t [10]. Perubahan harga komoditas minyak mentah merupakan salah satu contoh proses stokastik, karena perubahannya seiring waktu dengan cara yang tidak pasti dan mengikuti gerak Brownian. Xt (s) adalah suatu variabel acak, sehingga tidak diketahui secara pasti pada keadaan mana proses tersebut akan berada pada saat t. Secara singkat

9 proses stokastik adalah himpunan variabel acak yang menggambarkan dinamika dari suatu proses [10]. 2.4

Persamaan Diferensial Stokastik Harga minyak mentah bergerak secara naik turun atau disebut fluktuatif, sehingga pergerakan harga minyak mentah dunia termasuk dalam proses stokastik. Suatu proses stokastik Pt untuk t ≥ 0 dijalankan dengan persamaan diferensial stokastik atau proses Itˆ o yang mendeskripsikan perkembangannya. Secara umum, pergerakan harga minyak mentah saat ini dalam model satu faktor di wakili dengan persamaan diferensial stokastik [1] : dP = µ(P, t)dt + σ(P, t)dZ, dengan : dP : µ(P, t) : σ(P, t)

:

dZ

:

2.5

(2.1)

perubahan harga komoditas minyak mentah drift yang dipengaruhi harga dalam skala waktu volatilitas yang dipengaruhi harga dalam skala waktu t perubahan pada proses Wiener atau biasa disebut Brownian motion.

Random Walk Random walk merupakan tahap pertama untuk memahami Brownian motion. Random walk adalah gerak acak dari step t ke step t + 1. Terdapat dua jenis random walk yaitu random walk simetri dan random walk asimetri [11]. 1. Random walk simetri Pi adalah kejadian dimana harga komoditas minyak mentah bergerak naik atau turun pada saat i. Nilai dari setiap gerak harga komoditas minyak mentah dinotasikan ∆x. Nilai dari ∆x = 1 untuk harga naik, sedangkan ∆x = −1

10 untuk harga turun. Waktu dari setiap gerak harga minyak dinotasikan ∆t, dengan ∆t = 1. P (Pi = 1) = P (Pi = −1) =

1 2 1 . 2

Nilai dari E(Pi ) dan Var(Pi ) adalah sebagai berikut: E(Pi ) = P1 P (P1 ) + P2 P (P2 ) 1 1 = 1 + −1 2 2 = 0 V ar(Pi ) = E(Pi )2 − (E(Pi ))2 = (P1 )2 P (P1 ) + (P2 )P (P2 )2 − 0 1 1 = 1 +1 2 2 = 1. Misalkan n adalah suatu integer non negatif, dimana ∆t = 1 . Sehingga untuk t = 1 besarnya sama dengan n∆t. Nilai n dari random walk saat t = 1 dengan n step adalah Wi (n) = ∆x(P1 +P2 +P3 +....+Pn ) . Nilai dari V ar(W1 (n) ) = V ar(Pi ). V ar(W1 (n) ) = V ar(∆x(P1 + P2 + ... + Pn )) 1 = (∆x)2 V ar(Pi )n 1 = (∆x)2 n r 1 ∆x = n √ ∆x = ∆t. Didefinisikan Zt adalah nilai random walk saat t, nilai dari Zt adalah Zt = P1 + P2 + P3 + ... + P t . Nilai dari ekspektasi ∆t

11 dan varian Zt adalah sebagai berikut:

E(Zt ) = E(P1 + P2 + P3 + ... + P t ) ∆t t = (E(Pi )) ∆t t = ((P1 )P (P1 ) + (P2 )P (P2 )) ∆t √ √ 1 1 t = (( ∆t) + ( −∆t) ) 2 2 ∆t = 0. V ar(Zt ) = E(Zt )2 − (E(Zt ))2 = (E(Pi )2 − (E(Pi ))2 )

t ∆t

= ((Pi )2 P (P1 ) + (P2 )P (P2 )2 − 0)

t ∆t

1 1 t = (((∆t) + (∆t) ) − 0) 2 2 ∆t = t.

Pada saat t −→ 0, proses random walk simetri disebut Brownian motion standar. 2. Random walk asimetri Pi adalah kejadian dimana harga komoditas minyak mentah bergerak naik atau turun pada saat i. Nilai dari setiap gerak harga komoditas minyak mentah dinotasikan ∆t. √ 1 µ ∆t P (Pi = σ ∆t) = + 2 √2σ √ 1 µ ∆t P (Pi = −σ ∆t) = − . 2 2σ √

12 Didefinisikan Zt adalah nilai dari random walk saat t. Nilai dari E(Zt ) dan V ar(Zt ) adalah sebagai berikut: E(Zt ) = E(P1 + P2 + P3 + ... + P

t ∆t

)

t ∆t √ √ √ √ 1 µ ∆t 1 µ ∆t = (σ ∆t) + + (−σ ∆t) − 2 2σ 2 2σ = σ2t = (E(Pi ))

V ar(Zt ) = E(Zt )2 − (E(Zi ))2 = (E(Pi )2 − (E(Pi ))2 )

t ∆t

t ∆t 1 µ∆t 1 µ∆t t = ((∆t)( + ) + (−∆t)( + )) 2 2σ 2 2σ ∆t t −(µ∆t)2 ∆t 2 µ = σ 2 t(1 − 2 ∆t), σ = ((P1 )2 P (P1 ) + (P2 )2 P (P2 ) − (µ∆t)2 )

untuk ∆t −→ 0 random walk asimetri disebut dengan Brownian motion dengan drift. 2.6

Brownian Motion (Proses Wiener ) Brownian motion adalah suatu proses random walk terskala dengan ukuran n > 1. Brownian motion (Zt , t0 ) atau juga disebut proses Wiener adalah proses yang memenuhi tiga kondisi [1]: 1. Zt adalah lintasan kontinu dan Z0 = 0. 2. Untuk s + t>s : Z(t+s) −Zs berdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi t. 3. Untuk s
13 Suatu

nilai

k

yang tetap, sembarang increment 1 Ptk Zk (t) − Zk (s) = √ i=1 Xi , 0 < s < t, mempunyai k distribusi yang hanya bergantung pada t − s, dari interval waktu (s, t] karena increment tersebut hanya bergantung jumlah k(t − s) dari Xi yang membangun increment tersebut. Proses Brownian motion dengan lintasan sampel kontinu yang stasioner dan mempunyai increment identik, independen, dan normal. Jika t0 = 0 < t1 < t2 < ... < tn maka variabel acak Zt (i) − Zt (s) ∼ N (0, t(i) − t(i−1) ) [12]. Nilai ekspektasi dan varian dari Brownian motion adalah sebagai berikut: i hX |Ztk − ztk−1 |2 − (tk − tk−1 ) = 0 E i X h E |Ztk − Ztk−1 |2 − (tk − tk−1 ) = 0 h i E |Ztk − Ztk−1 |2 − (tk − tk−1 ) = 0 hX i V ar |Ztk − Ztk−1 |2 − (tk − tk−1 ) = 2(tk+1 − tk )2 h i X V ar |Ztk − Ztk−1 |2 − (tk − tk−1 ) = 2(tk+1 − tk )2 h i V ar |Ztk − Ztk−1 |2 − (tk − tk−1 ) ≈ 0, P dengan (tk+1 − tk ) −→ 0, sehingga V ar| |Ztk − Ztk−1 |2 − (tk − tk−1 )| ≈ 0. Dapat disimpulkan bahwa, |Ztk − Ztk−1 |2 − (tk − tk−1 ) = 0 |Ztk − Ztk−1 |2 = tk − tk−1 (dZ)2 = dt √ dZ = dt 2.7

Orstein-Uhlenbeck Model Ornstein-Uhlenbeck merupakan suatu Mean Reverting Process, dimana harga dan return akan kembali

14 kepada nilai rata-rata harga dan return serta mengasumsikan bahwa nilai µ konstan dengan rate of reversion yang didefiniskan dengan η. Volatilitas dari P adalah konstan. Pada model Ornstein-Uhlenbeck, drift term berupa η(µ − P ) dan diffusion term berupa σ. Berdasarkan [1] diperoleh persamaan model Ornstein-Uhlenbeck sebagai berikut : dP = η(µ − P )dt + σdZ (2.2) dengan : η : rate of reversion µ : drift σ : volatilitas dP : perubahan harga komoditas minyak mentah dZ : perubahan dalam proses Wiener atau biasa disebut Brownian motion. Berdasarkan persamaan (2.2) dilakukan penurunan rumus model Orstein-Uhlenbeck sebagai berikut: dP

= η(µ − P )dt + σdZ

dP

= ηµdt − ηP dt + σdZ,

(2.3)

persamaan (2.3) dibagi dengan dt, sehingga diperoleh: dP dt dP + ηP dt dP + ηP dt

ηµdt ηP dt σdZ − + dt dt dt dZ = ηµ + σ dt σdZ = ηµ + , dt =

(2.4)

dengan mengalikan persamaan (2.4) terhadap faktor pengintegral dari persamaan (2.4) yaitu eηt , maka diperoleh : eηt (

dP σdZ + ηP ) = eηt (ηµ + ) dt dt

(2.5)

15 dengan menghitung

d P eηt , maka diperoleh: dt

dP ηt d P eηt = e + P ηeηt dt dt d dP P eηt = eηt ( + ηP ), dt dt d dP karena P eηt = eηt ( + ηP ) maka persamaan (2.5) dapat dt dt ditulis : σdZ d P eηt = eηt (ηµ + ), dt dt

(2.6)

kemudian, dilakukan pengintegralan persamaan (2.6) dengan batas u ≤ t. Z

t

u

Z t d dZ P eηt dt = (eηt (ηµ + σ ))dt dt dt u Z t Z t dZ dP eηt = (eηt (ηµ + σ ))dt, dt u u

(2.7)

dengan menggunakan peubah Dummy untuk mempermudah proses pengintegralan, maka persamaan (2.7) dapat ditulis: Z

t ηs

dP e u

Pt eη(t) − Pu eη(u) Pt eη(t) − Pu eη(u) Pt eη(t) − Pu eηu

Z

t

dZ ))ds ds u Z t Z t = eηs ηµ ds + σeηs dZ u u Z t 1 ηt ηu = ηµ (e − e ) + σ eηs dZ η u Z t = µ(eηt − eηu ) + σ eηs dZ

=

(eηs (ηµ + σ

u

16 Pt eη(t) = Pu eηu + µ(eηt − eηu ) + σ

Z

t

eηs

u

Pt

dZ ds ds

Pu eηu µ(eηt − eηu ) σ = + + ηt ηt η(t) e e e Z t eηs dZ u

Pt = Pu e(ηu−ηt) + µ(1 − e(ηu−ηt) ) + Z t −ηt σe eηs dZ, u

sehingga berdasarkan [1] diperoleh hasil sebagai berikut: Pt = Pu e−η(t−u) + µ(1 − e−η(t−u) ) + Z t −ηt eηs dZs , σe u

{s0 , s1 , ..., sn } adalah partisi [u, t] sedemikian hingga u = s0 ≤ s1 ≤ ... ≤ sn = t. eη s adalah konstanta pada sub interval [sk , sk+1 ] . Untuk sk ≤ t ≤ sk+1 , maka diperoleh: I(t) =

k−1 X

eηsj Z(sj+1) − Z(sj) + eηsj

j=0

Z(s) − Z(sk) ,

(2.8)

Rt karena I(t) = u eηs d(Zs ), maka persamaan (2.8) dapat ditulis sebagai berikut: Z

t

u

eηs d(Zs ) =

k−1 X

eηsj Z(sj+1) − B(sj) + eηsk

j=0

Z(s) − Z(sk) ,

sehingga untuk setiap peramalan harga komoditas minyak mentah pada saat t dapat diperoleh dari persamaan model

17 Ornstein-Uhlenbeck sebagai berikut [12]: Ft = Ft−1 e−η(t−u) + µ(1 − e−η(t−u) ) + t X −ηt σe eηs ∆Z,

(2.9)

s=u

dengan : Ft : Ft−1

:

η µ σ Z

: : : :

peramalan harga komoditas minyak mentah aktual pada waktu t harga peramalan komoditas minyak mentah pada waktu t − 1 rate of reversion drift volatilitas proses Wiener atau biasa disebut Brownian motion.

2.8

Return Harga Komoditas Minyak Return adalah keuntungan atau kerugian pada investasi dalam periode waktu tertentu. Pergerakan harga komoditas minyak mentah dunia bersifat fluktuatif (mengalami kenaikan dan penurunan) secara siginifikan. Sehingga, perlu diketahui nilai dari Return dari harga komoditas minyak mentah. Untuk menghitung nilai return dari harga komoditas minyak mentah. Didefinisikan rumus sebagai berikut [13]: Rt = ln P(t+δt) − ln Pt dengan : Rt : δt P(t+δt) Pt

: : :

(2.10)

return harga komoditas minyak mentah pada waktu ke t selang waktu harga komoditas minyak mentah ke t + δt harga komoditas minyak mentah ke t.

18 2.9

Estimasi Parameter Untuk meramalkan harga minyak mentah terlebih dahulu harus mengestimasi nilai volatilitas, drift, dan rate of reversion dari data histori harga minyak mentah. Skala dari volatilitas, drift, dan rate of reversion adalah waktu. 2.9.1 Drift Drift adalah tingkat pertumbuhan yang diharapkan pada harga minyak mentah. Untuk menghitung nilai drift dari harga minyak mentah. Didefinisikan rumus sebagai berikut [14]: PN Rt µ ˆ = t=1 (2.11) N dengan µ ˆ : N : Rt :

: drift jumlah return harga komoditas minyak mentah return harga komoditas minyak mentah ke t.

2.9.2 Volatilitas Volatilitas adalah ukuran tingkat ketidakpastian mengenai pergerakan harga minyak mentah dimasa yang akan datang. Untuk menghitung volatilitas dari harga minyak mentah. Didefinisikan rumus sebagai berikut [14]: v u u σ ˆ=t

M

X 1 ¯ (Rt − R)2 (N − 1)

(2.12)

t=1

dengan σ ˆ : N : Rt : ¯ : R

: volatilitas jumlah return harga komoditas minyak mentah return harga komoditas minyak mentah ke t rata-rata return harga komoditas minyak mentah ke t.

19 2.9.3

Rate of Reversion

Rate of Reversion biasa disebut dengan laju pengembalian. Untuk menghitung rate of reversion sampel dari harga minyak mentah. Didefinisikan rumus sebagai berikut [15]: ηˆ = − dengan: (n

ˆ ln(θ) , δt

(2.13)

Pn Pn t=1 P(t−1) Pt ) − (( t=1 P(t−1) )( t=1 P(t) )) P P 2 (n nt=1 P(t−1) ) − (( nt=1 P(t−1) )2 )

Pn

θˆ

=

η δt P(t−1) Pt n

: rate of reversion : selang waktu : harga komoditas minyak mentah ke t − 1 : harga komoditas minyak mentah ke t : jumlah data harga komoditas minyak mentah.

2.10

MAPE

Mean Absolute Percentage Error (MAPE) adalah ukuran standar yang sering digunakan dalam ukuran kesesuaian sebuah metode peramalan. MAPE digunakan untuk melihat seberapa jauh (dalam %) hasil peramalan menyimpang dari data sebenarnya. Dimana jika nilai MAPE yang dihasilkan dari sebuah metode peramalan semakin kecil maka metode peramalan tersebut semakin baik. Rumus dari MAPE didefiniskan sebagai berikut [16] :

Pn

t=1 |(

M AP E =

Pt − Ft )(100)%| Pt n

(2.14)

20 dengan : Pt : harga komoditas minyak mentah aktual pada waktu t n : jumlah data harga komoditas minyak mentah Ft : peramalan harga komoditas minyak mentah pada waktu t. Untuk mengetahui tingkat akurasi peramalan dapat diketahui pada Tabel 2.1 [16]. Tabel 2.1 : Tabel Akurasi Peramalan Presentase MAPE Tingkat Akurasi Peramalan < 10% Akurasi peramalan tinggi 10% − 20% Akurasi peramalan baik 21% − 50% Akurasi peramalan biasa > 50% Peramalan tidak akurat 2.11 Selang Kepercayaan Pada pengujian akurasi peramalan dari model OrnsteinUhlenbeck dibuat selang kepercayaan 95 %. Berdasarkan persamaan berikut: ln Ft = ln Ft−1 e−η(t−u) + µ(1 − e−η(t−u) ) + t X −ηt σe eηs ∆Z, s=u

dengan Ft adalah harga ramalan komoditas minyak mentah pada waktu t. µ, η dan σ adalah parameter yang disetimasi dari sampel berukuran besar dan diambil dari populasi. Sehingga dengan selang kepercayaan 95 % ditunjukkan harga ramalan komoditas minyak mentah terletak di dalam selang kepercayaan. Parameter mean yang digunakan σ2 ln Ft−1 e−2η(t−u) +µ(1−e−η(t−u) ) dan varian (1−e−2η(t−u) ) 2η

21 [1]. Sehingga, selang kepercayaan 95 % dari Ft adalah −2η(t−u) + µ(1 − e−η(t−u) ) − sebagai s berikut : ln Ft−1 e σ2 (1 − e−2η(t−u) ) 2η −2η(t−u) + µ(1 − e−η(t−u) ) + 1.96 ≤ s ln Ft ≤ ln Ft−1 e

1.96

σ2 (1 − e−2η(t−u) ) 2η

v u 2 uσ ln Ft−1 e−2η(t−u) +µ(1−e−η(t−u) )−1.96t (1−e−2η(t−u) )

e

2η

≤ v u 2 uσ (1−e−2η(t−u) ) ln Ft−1 e−2η(t−u) +µ(1−e−η(t−u) )+1.96t

≤e dengan : Ft :

2η

Ft (2.15)

ramalan harga komoditas minyak mentah pada waktu ke t Ft−1 : ramalan harga komoditas minyak mentah pada waktu ke t − 1 η : rate of reversion µ : drift σ : volatilitas. Persamaan (2.15) digunakan dalam perhitungan nilai selang kepercayaan 95 % untuk hasil peramalan pada saat ke t.


BAB III METODE PENELITIAN

Pada bab ini dijelaskan langkah-langkah yang digunakan dalam penyelesaian masalah pada Tugas Akhir. Disamping itu, dijelaskan pula prosedur dan proses pelaksanaan tiap-tiap langkah yang dilakukan dalam menyelesaikan Tugas Akhir yaitu sebagai berikut : 1. Studi Literatur Pada tahap ini dilakukan identifikasi permasalahan yang akan dibahas yaitu mempelajari lebih dalam mengenai literatur literatur yang berkaitan dengan proses stokastik, random walk, Brownian motion, persamaan diferensial stokastik, dan model OrnsteinUhlenbeck (OU). 2. Tahap Pengumpulan Data Pada tahap ini dilakukan pengumpulan data harga minyak mentah yang diperoleh dari (https://www.eia.gov). Data harga minyak mentah yang digunakan adalah data harga minyak jenis West Texas Intermediate(WTI). Data harga minyak mentah yang digunakan merupakan data harian periode Januari 2016 sampai dengan Juni 2016 sebagai data training dan data harian periode Juli 2016 sebagai data testing. Kemudian dilakukan uji normalitas terhadap return harga minyak mentah menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov. 3. Penurunan Rumus Persamaan Model Orstein-Uhlenbeck Pada tahap ini dilakukan penurunan rumus dari 23

24 persamaan diferensial stokastik model OrnsteinUhlenbeck sehingga bisa diperoleh persamaan model Ornstein-Uhlenbeck berupa Pt . Persamaan model Ornstein-Uhlenbeck yang telah diperoleh akan digunakan untuk perhitungan peramalan harga minyak mentah pada saat t. 4. Estimasi Parameter Pada Model Ornstein-Uhlenbeck Pada tahap ini di cari nilai-nilai dari parameter yang di miliki oleh persamaan model Orstein-Uhlenbeck seperti rate of reversion dari harga minyak mentah (ˆ η ), drift (ˆ µ) dan volatilitas (ˆ σ ) dari data yang digunakan. 5. Pembentukan dan Validasi Model Pada tahap ini dilakukan validasi terhadap model yang telah diperoleh menggunakan MAPE dan selang kepercayaan. Validasi dengan menggunakan MAPE bertujuan untuk melihat seberapa jauh (dalam %) hasil peramalan menyimpang dari data sebenarnya. 6. Peramalan Harga Komoditas Minyak Mentah Pada tahap ini dilakukan peramalan dari harga komoditas minyak mentah menggunakan software matlab. Setelah didapatkan estimasi parameter dari rate of reversion (ˆ η ), drift (ˆ µ) dan volatilitas (ˆ σ ), maka akan dimasukkan kedalam persamaan model OrsteinUhlenbeck. Sehingga, didapatkan peramalan harga komoditas minyak mentah (Ft ) menggunakan model Orstein-Uhlenbeck. 7. Analisis Hasil dan Kesimpulan Pada tahap ini, berdasarkan hasil yang didapatkan pada tahap sebelumnya ditarik kesimpulan. Apakah peramalan harga minyak komoditas minyak mentah

25

Gambar 3.1: Diagram Alir Metodologi Penelitian menggunakan model Orstein-Uhlenbeck tingkat akurasi peramalan yang tinggi. 8. Penyusunan Laporan Hasil Penelitian Pada tahap ini dilakukan penyusunan

memiliki

laporan

26 berdasarkan hasil analisis dan penelitian. Langkah-langkah dalam penyusunan laporan Tugas Akhir dapat dilihat pada Gambar 3.1.

BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini dijelaskan secara detail mengenai uji normalitas, estimasi parameter, penurunan rumus model Ornstein-Uhlenbeck, pembentukan dan validasi model, dan peramalan harga komoditas minyak mentah menggunakan model Ornstein-Uhlenbeck. 4.1

Perhitungan Return Harga Minyak Mentah Pada tahap ini dilakukan perhitungan return harga komoditas minyak mentah pada bulan Januari 2016 - Juni 2016. Berdasarkan persamaan (2.10) dapat dihitung return harga komoditas minyak mentah sebagai berikut: Rt = ln P(t+1) − ln (Pt ) R1 = ln 35, 97 − ln 36, 81 R1 = −0, 02308429 R2 = ln 33, 97 − ln 35, 97 R2 = −0, 05720748 R3 = ln 33, 29 − ln 33, 97 R3 = −0, 02022073 . . . R124 = ln 48, 27 − ln 49, 85 R124 = −0, 03220825. Terlihat pada Gambar 4.1 bahwa return harga komoditas 27

28

Gambar 4.1: Plot data return minyak mentah periode Januari - Juni 2016 bergerak secara acak. Pergerakan tersebut mengindikasikan bahwa return harga komoditas minyak mentah mengikuti gerak acak dari Proses Wienner. Untuk perhitungan nilai return harga komoditas minyak mentah yang lain bisa dilihat pada Lampiran B. 4.2

Uji Normalitas Pada tahap ini dilakukan pengujian terhadap return harga komoditas minyak mentah periode Januari - Juni 2016. Uji normalitas dilakukan untuk mengetahui apakah return dari harga komoditas minyak mentah berdistribusi normal atau tidak, sehingga setelah mengetahui return dari harga komoditas minyak mentah berdistribusi normal maka bisa dilanjutkan ke tahap selanjutnya. Setelah didapatkan nilai perubahan harga komoditas minyak mentah pada subbab sebelumnya, maka akan dilakukan uji normalitas pada return harga komoditas minyak

29 mentah menggunakan uji Kolmogorov-Sminorv. Hipotesa: H0 : return harga komoditas minyak mentah berdistribusi normal H1 : return harga komoditas minyak mentah tidak berdistribusi normal. Statistik Uji: Dhitung = max |F0 (X) − Sn (X)|, 1 ≤ X ≤ 124 = 0,065056663 D0,05,124 = 0,121233579 Kriteria Pengujian: Dhitung = 0,065056663 < Dα,n = 0,121233579 (α = 5%). kesimpulannya H0 diterima, dalam artian sampel yaitu return harga minyak mentah berdistribusi normal. Seperti yang bisa dilihat pada Gambar 4.2 bahwa nilai p-value ≥ 0, 05 dan pada Gambar 4.3 terlihat dari histogram return harga komoditas minyak mentah bahwa return harga komoditas harga minyak mentah bergerak mengikuti distribusi normal serta untuk perhitungan manual uji normalitas terdapat pada Lampiran D.

Gambar 4.2: Uji Normalitas menggunakan software minitab

30

Gambar 4.3: Histogram return harga komoditas minyak mentah 4.3

Estimasi Parameter Pada tahap ini dilakukan estimasi terhadap drift, volatilitas, dan rate of reversion. Nilai drift, volatilitas, dan rate of reversion adalah parameter bernilai konstan yang akan digunakan dalam meramalkan harga komoditas minyak mentah bulan Juli 2016. Untuk menghitung nilai drift dari harga komoditas minyak mentah pada bulan Januari - Juni 2016, maka dengan menggunakan persamaan (2.11) diperoleh hasil sebagai berikut: P124 µ ˆ =

t=1 Rt

124 1 = (R1 + R2 + R3 + .... + R124 ) 124 1 = (−0, 02308429 + (−0, 05720748) (124) +(−0, 02022073) + ..... + (−0, 03220825)) = 0, 00218581.

31 Setelah diperoleh nilai dari drift kemudian akan dihitung nilai volatilitas. Rumus volatilitas yang digunakan adalah rumus umum volatilitas pada persamaan (2.12). Untuk menghitung nilai volatilitas dari harga komoditas minyak mentah pada bulan Januari - Juni 2016, maka dengan menggunakan persamaan (2.12) diperoleh hasil sebagai berikut: v u u σ ˆ = t

124

X 1 ¯ 2 (Rt − R) (124 − 1) t=1

s =

1 ¯ 2 + ... + (R124 − R) ¯ 2 ((R1 − R) (124 − 1)

r

((−0, 02308429 − 0, 00218581)2 +) 123 r ((−0, 03220825 − 0, 00218581)2 ) 123 = 0, 036768531.

=

Parameter yang terakhir adalah rate of reversion. Untuk menghitung nilai dari rate of reversion digunakan persamaan (2.13) dan perhitungannya adalah sebagai berikut:

ηˆ = −

ˆ ln(θ) δt

dengan : θˆ =

(n

Pn

Pn Pn t=1 P(t−1) Pt ) − (( t=1 P(t−1) )( t=1 P(t) )) P P 2 (n nt=1 P(t−1) ) − ( nt=1 P(t−1) )

(125 × 200122, 5316) − (4895, 67 × 4907, 13) (125 × 199739, 2833) − ((4895, 67)2 ) = 0, 99180023

=

32 sehingga,

ln 0, 99180023 1 ηˆ = 0, 008233573

ηˆ = −

4.4

Pembentukan Model Peramalan Komoditas Minyak Mentah

Harga

Pada bagian ini dilakukan pembentukan model OrnsteinUhlenbeck. Berdasarkan persamaan (2.9), diperoleh persamaan model Ornstein-Uhlenbeck sebagai berikut:

Ft = Ft−1 e−0,008233573(t−u) + 0, 00218581 (1 − e−0,008233573(t−u) ) + −0,008233573t

0, 036768531 e

t X

e0,008233573s ∆Z(4.1)

s=u

Ft bergantung pada seluruh bagian Brownian motion[17]. Rt Integral u eηs dZ didekati dengan menggunakan jumlahan √ Riemann [18] dengan dZ = dt merupakan variabel acak yang menunjukkan Proses Wienner [18]. Zt − Zs berdistribusi normal dengan mean 0 dan p variansi t − s sehingga ekivalen dapat ditulis Zt − Zs ≈ (t − s)N (0, 1), dengan ∈ N (0, 1) [19]. Model Ornstein-Uhlenbeck untuk peramalan harga minyak mentah telah terbentuk. Selanjutnya, dilakukan peramalan harga komoditas minyak mentah pada bulan Juli 2016 untuk validasi model. Berdasarkan persamaan (2.9),

33 maka diperoleh hasil sebagai berikut: Ft = Ft−1 e−0,008233573(t−u) + 0, 00218581 (1 − e−0,008233573(t−u) ) + −0,008233573t

0, 036768531 e

t X

e0,008233573s ∆Z

s=u

F1 = P0 F1 = 48, 27 F2 = 48, 27e−0,008233573(1) + 0, 00218581(1 − e−0,008233573(1) ) + 0, 036768531e0,008233573(2) 2 X e0,008233573(s) () t=1

F2 = 47, 90 . . . F20 = (41, 68)e−0,008233573(1) + 0, 002185812(1 − e−0,008233573(1) ) + 0, 036768531e−0,008233573(20) 20 X e0,008233573(s) () t=19

F20 = 41, 28. Hasil perhitungan ramalan yang digunakan untuk validasi model terdapat pada Lampiran E. 4.5

Perhitungan Nilai MAPE Uji validasi model dilakukan dengan menggunakan MAPE untuk mengetahui tingkat akurasi peramalan. Berdasarkan persamaan (2.14) diperoleh perhitungan nilai MAPE sebagai

34 berikut: | M AP E =

49, 02 − 48, 27 47, 96 − 47, 09 (100)%| + | (100)%| 49, 02 46, 73

41, 54 − 41, 28 (100)%| 41, 54 +... + 20 = 1, 64481% |

Nilai MAPE pada peramalan harga komoditas minyak mentah menggunakan model Ornstein-Uhlembeck yaitu 1,64481 % yang berarti bahwa model Ornstein-Uhlembeck memiliki tingkat akurasi peramalan yang tinggi. Berdasarkan persamaan (2.9) dibuat simulasi peramalan harga komoditas minyak mentah dengan 1000 realisasi lintasan yang mungkin terjadi menggunakan model OrnsteinUhlenbeck dengan setiap realisasi lintasan dilakukan sebanyak 20 kali. Penjelasan mengenai iterasi tersebut adalah sebagai berikut: Misalkan jika i adalah setiap relaisasi lintasan yang mungkin dari model Ornstein-Uhlenbeck. Sehingga, Untuk i = 1 F(1) = P0 F(2) = F1 e

−η(1)

+ µ(1 − e

−η(1)

−η(2)

) + σe

2 X

eη(s)

s=1

. . . . F20 = P19 e−η(1) + µ(1 − e−η(1) ) + σe−η(20)

20 X s=19

.

eη(s)

35 Untuk i = 2

F(1) = P0 F(2) = F1 e−η(1) + µ(1 − e−η(1) ) + σe−η(2)

2 X

eη(s)

s=1

. . . F(20) = F19 e−η(1) + µ(1 − e−η(1) ) + σe−η(20)

20 X

eη(s)

s=19

. Untuk i = 3

F(1) = P0 F(2) = F1 e−η(1) + µ(1 − e−η(1) ) + σe−η(2)

2 X

eη(s)

s=1

. . . F(20) = F19 e−η(1) + µ(1 − e−η(1) ) + σe−η(20)

20 X

eη(s)

s=19

. Perulangan dilakukan sebanyak 1000 kali. Pada Gambar 4.4 akan ditunjukkan grafik dari hasil peramalan harga komoditas minyak mentah menggunakan

36

Gambar 4.4: 1000 realisasi lintasan peramalan harga komoditas minyak mentah software matlab hingga i = 1000 dengan menggunakan nilai drift yang digunakan yaitu 0,00218581, volatilitas yaitu 0,036768531, dan rate of reversion yaitu 0,008233573. Setiap garis hijau adalah realisasi lintasan yang mungkin dari model Ornstein-Uhlenbeck dan garis merah adalah harga aktual komoditas minyak mentah. Terlihat bahwa hasil dari peramalan harga komoditas minyak mentah yang dilakukan sebanyak 1000 kali memiliki hasil yang tidak jauh berbeda dengan harga aktual. 4.6

Peramalan Harga Komoditas Minyak Mentah Menggunakan Software Matlab Pada bagian ini diramalkan harga komoditas minyak mentah jenis West Texast Intermediate untuk bulan Agustus 2016. Berdasarkan validasi model yang telah dilakukan pada sub bab sebelumnya, maka model Ornstein-Uhlenbeck dapat digunakan dalam perhitungan peramalan harga komoditas

37 minyak mentah. Peramalan harga komoditas minyak mentah untuk bulan Agustus 2016 dilakukan menggunakan software matlab. Berdasarkan persamaan (2.9) diperoleh hasil peramalan sebagai berikut: Ft = Ft−1 e−0,008233573(t−u) + 0, 00218581 (1 − e−0,008233573(t−u) ) + 0, 036768531 e

−0,008233573t

t X

e0,008233573s ∆Z

s=u

F1 = P0 F1 = 41, 54 F2 = 41, 54e−0,008233573(1) + 0, 00218581(1− e−0,008233573(1) ) + 0, 036768531e0,008233573(2) 2 X e0,008233573(s) () t=1

F2 = 41, 22 . . . F23 = (34, 94)e−0,008233573(1) + 0, 002185812(1 − e−0,008233573(1) ) + 0, 036768531e−0,008233573(20) 23 X e0,008233573(s) () t=19

F23 = 34, 71. Untuk hasil perhitungan yang lengkap dapat dilihat pada Lampiran F. Berdasarkan persamaan (2.15) dilakukan

38 perhitungan selang kepercayaan untuk bulan Agustus 2016. Hasil dari perhitungan selang kepercayaan dapat dilihat pada Tabel 4.1. Gambar 4.5 merupakan grafik peramalan harga komoditas minyak mentah disertai dengan nilai batas atas dan batas bawah. Pada Gambar 4.6 ditampilkan GUI dari peramalan harga komoditas minyak mentah untuk bulan Agustus 2016 dan untuk listing programnya terdapat pada Lampiran G. Tabel 4.1 : Hasil Perhitungan Selang Kepercayaan Tanggal Batas Bawah Ft Batas Atas 01/08/2016 37.33 41.54 45.07 02/08/2016 37.33 41.22 45.07 03/08/2016 37.02 40.97 44.75 04/08/2016 36.77 40.63 44.5 05/08/2016 36.43 40.27 44.16 08/08/2016 36.07 39.93 43.81 09/08/2016 35.74 39.48 43.47 10/08/2016 35.29 39.11 43.02 11/08/2016 34.92 38.81 42.66 12/08/2016 34.63 38.55 42.36 15/08/2016 34.37 38.35 42.1 16/08/2016 34.17 38.03 41.9 17/08/2016 33.85 37.72 41.58 18/08/2016 33.54 37.73 41.28 19/08/2016 33.20 37.03 40.93 22/08/2016 32.86 36.70 40.59 23/08/2016 32.53 36, 47 40.27 24/08/2016 32.18 36.34 39.91 25/08/2016 31.91 35.07 39.64 26/08/2016 31.61 35.77 39.34 29/08/2016 31.42 35.28 39.15 30/08/2016 31.12 34.94 38.86 31/08/2016 30.79 34.71 38.52

39

Gambar 4.5: Peramalan harga komoditas minyak mentah

Gambar 4.6: mentah

GUI peramalan harga komoditas minyak


BAB V PENUTUP

Pada bab ini, diberikan kesimpulan yang diperoleh dari Tugas Akhir serta saran untuk penelitian selanjutnya. 5.1

Kesimpulan

Berdasarkan analisis dan pembahasan sebelumnya, dengan menggunakan nilai parameter µ = 0, 002185812, σ = 0, 036768531, dan η = 0, 008233573 yang diperoleh melalui perhitungan estimasi paramter dapat disimpulkan bahwa rata-rata peramalan harga komoditas minyak mentah pada bulan Agustus 2016 adalah $ 38,02 dengan peramalan harga komoditas minyak mentah terendah yaitu $ 34,71 dan tertinggi yaitu $ 41,54. 5.2

Saran

Pada Tugas Akhir ini hanya menggunakan model Ornstein-Uhlenbeck sebagai perhitungan peramalan. Untuk penelitian selanjutnya bisa menggunakan model lain dalam meramalkan harga komoditas minyak mentah dan berfungsi sebagai perbandingan.

41


DAFTAR PUSTAKA

[1] Oud, A. A. M. (2014). The Dynamics of Oil Prices and Valuation of Oil Derivatives. Doctor of Philosophy thesis, School of Mathematics and Applied Statistics, University of Wollongong. [2] Purnomo, D.S., dkk. (2013). Pasar Komoditi : Perdagangan Berjangka dan Lelang Komoditi. Galangpress Publisher, 227 halaman. [3] Kulkarni, S., Haidar, I. (2009). Forecasting Model for Crude Oil Price Using Artificial Neural Networks and Commodity Futures Prices. International Journal of Computer Science and Information Security, Vol 2, No.1, Juni 2009. [4] United Nations Publication. (2011). Price Formation in Financialized commodity markets: the role oF inFormation. Secretariat of the United Nations Conference on Trade and Development. [5] Herawati, S., Djunaidy, A. (2014). Peramalan Harga Minyak Mentah Menggunakan Gabungan Metode Ensemble Empirical Mode Decomposition (EEMD) dan Jaringan Syaraf Tiruan. Jurnal SimanteC, 61. [6] Tularam, A.G., Saeed, T. (2016). Oil-Price Forecasting Based on Various Univariate TimeSeries Models. American Journal of Operations Research, 226-235. 43

44 [7] Onalan, O. (2009). Financial Modelling with OrnsteinUhlenbeck Processes Driven by Lvy Process. Proceedings of the World Congress on Engineering Vol II WCE 2009, London, U.K. [8] Okorie, I.E., Akpanta, A.C. (2014). Application of Box-Jenkins Techniques in Modelling and Forecasting Nigeria Crude Oil Prices. International Journal of Statistics and Applications, 4(6): 283-291. [9] Siegel, S. (1988). Nonparametric Statistics for The Behavioral Sciences. Associate professor of Statistics and Sosial Psychology The Pennsylvania State University, London. [10] Bjork, T. (2001).Stochastic Calculus, Lecture Notes for The Course Numerical Methods for Stochastic Differential Equations Given in Stockholm and Lund. Sweden, spring. http://www.maths.lth.se/matstat/research/asn/SDE bjork.pdf. [11] Dmouj, A. (2006). ”Stock price modelling:Theory and Practice”. Vrije Universiteit Faculty of Sciences Amsterdam, The Netherlands. [12] Shih, T., Chin-Yu, H. (2010). Probability Distribution of Return and Volatility in Crude Oil Market. Mingdao University, Taiwan. [13] Walpole, R.E. (1995). Pengantar Statistika. Edisi ke-3, PT. Gramedia Pustaka Utama, Jakarta. [14] Smith, W. (2010). On the Simulation and Estimation of the Mean-Reverting OrnsteinUhlenbeck Process. Verson 1.01.

45 [15] Lawrence, K.D., Klimberg R.K., Lawrence S. M.(2009). Fundamentals of forecasting using excel. Industrial Press Inc, Amerika. [16] Makridakis, dkk. (1999). Metode dan Aplikasi Peramalan. Edisi Kedua Jilid 1. Jakarta. Penerbit Erlangga. [17] Haugh, M. (2004). Simulating Stochastic Differential Equations. Monte Carlo Simulation: IEOR E4703. [18] Higham, D.J. (2001). An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations. Society for Industrial and Applied Mathematics Vol. 43,No. 3,pp. 525546. [19] Insley, M., Rollins, K. (2005). Onsolving The Multirotational Timber Harvesting Problem with Stochastic Prices: A Linier Complementarity Formulation.Department of Economics, University of Waterloo, Waterloo, Ontario, Canada.

46

Halaman ini sengaja dikosongkan

47 LAMPIRAN A Data Harga Minyak Mentah

48 LAMPIRAN A(LANJUTAN)

49 LAMPIRAN A(LANJUTAN)

50


51 LAMPIRAN B Tabel Return Minyak Mentah

52 LAMPIRAN B(LANJUTAN)

53 LAMPIRAN B(LANJUTAN)

54


55 LAMPIRAN C Tabel Kolmogorv-Sminorv

56


57 LAMPIRAN D Normalitas

58 LAMPIRAN D(LANJUTAN)





63 LAMPIRAN E Harga Peramalan untuk Validasi Model

64


65 LAMPIRAN F Harga Peramalan Bulan Agustus 2016

66


67 LAMPIRAN G Listing Program

68 LAMPIRAN G(LANJUTAN)

















Biodata Penulis Ina Nur Sholikah atau yang biasa di panggil Ina dilahirkan di Gresik, 06 November 1994 dari pasangan Jali dan Sartani. Penulis merupakan anak ketiga dari tiga bersaudara. Penulis bertempat tinggal Dsn.Jedong, Ds. Sekarputih, Kec. Balongpanggang, Gresik. Penulis telah menempuh pendidikan formal mulai dari TK Dharma Wanita, SDN Sekarputih, dan SMPN 1 Balongpanggang Gresik, serta SMAN 16 Surabaya. Setelah lulus dari SMA, penulis melanjutkan studinya di S1 Jurusan Matematika FMIPA ITS Surabaya tahun 2013. Selama perkuliahan penulis aktif mengikuti kegiatan kepanitiaan di KM ITS, seperti ITS Fresh 2014. Penulis pernah bergabung dalam organisasi kemahasiswaan, yakni sebagai Bendahara Umum 2 HIMATIKA ITS periode 2014/2015 dan Bendahara Umum 1 HIMATIKA ITS periode 2015/2016. Dalam bidang akademik, penulis menjadi Asisten Dosen mata kuliah kalkulus dan mengajar privat mata kuliah tersebut. Penulis juga pernah mendapatkan penghargaan lingkup nasional yaitu juara I bidang poster PKM-GT di PIMNAS 28 Universitas Haluoleo, Kendari, Sulawesi Tenggara. Informasi lebih lanjut mengenai Tugas Akhir ini dapat ditujukan ke penulis melalui email: [email protected]

PREDIKSI HARGA KOMODITAS MINYAK MENTAH MENGGUNAKAN MODEL ORNSTEIN-UHLENBECK

Recommend Documents