Průběh (jednorozměrné) funkce

Průběh (jednorozměrné) funkce Úlohy na vyšetřování průběhu funkcí (jedno i vícerozměrných) patří k poměrně častým úlohám diferenciálního počtu. V tomto krátkém textu se omezím pouze na jednorozměrné funkce, u vícerozměrných funkcí je situace složitější. Navíc, grafy vícerozměrných funkcí jsou různé plochy a na ty je můj oblíbený MATMAT krátký. Při určování průběhu funkce postupuju podle následujícího schématu: 1) Určím všechna x  R , pro která je funkce definována. Dalo by se říci, že určím definiční obor funkce (ovšem ne každý zasvěcený by s touto formulací souhlasil). 2) Vyšetřím všechny možné limity funkce – limity v bodech nespojitosti a limity pro x   (tj. limity v nevlastních bodech). Dále určím rovnice všech asymptot funkce (pakliže funkce nějaké asymptoty má). 3) Vyšetřím monotónnost funkce, čili kde funkce klesá, kde roste a kde má nějaký lokální extrém. Na tomto místě obvykle určím i obor hodnot funkce Hf. 4) Vyšetřím konvexnost resp. konkávnost funkce. 5) Vypočítám průsečíky funkce se souřadnicovými osami (když existují). 6) Vyšetřím paritu funkce – sudost resp. lichost funkce. Pozn. V následujícím textu předpokládám znalost průběhu základních elementárních funkcí a jejich derivací a taktéž znalost základních vět o limitách funkcí.

Zadání: U všech úloh vyšetřete průběh funkce. V programu MATMAT ověřte svůj výsledek. a) f : y  x 2  3x  6 Řešení: Všichni jistě víte, že grafem této kvadratické funkce je parabola tvaru „údolíčka“. Taktéž by pro nikoho neměl být problém určit souřadnice vrcholu této paraboly a dále dopočítat pár jejích bodíků. To je typický středoškolský postup. My si teď ukážeme postup vysokoškolský (i když za mých studií – a není to zas tak dávno – byl i tento postup středoškolský). 1) Neexistuje reálné číslo x, pro které bych nebyl schopen vypočítat jeho hodnotu y = f  x  . Ve funkčním předpisu se nevyskytuje žádný lomený výraz, žádná sudá odmocnina, žádný logaritmus, tangens, kotangens apod. Znamená to, že funkce je definována pro všechna x  R – je spojitá. 2) Jelikož je funkce spojitá, odpadá vyšetřování limit v bodech nespojitosti. Zbývá určit limity funkce v nevlastních bodech, tedy limity pro x   .

 x

  3x  6   

lim x x 2  3x  6   lim x

2

(x2 „roste rychleji“ než x)

Asymptoty funkce mohou být trojího druhu: svislá (v bodech nespojitosti), vodorovná nebo šikmá. Je-li třeba, prostudujte si pojednání Asymptoty funkce. Svislá asymptota tu nehrozí, funkce f je spojitá. Vodorovná asymptota tu také nehrozí, funkce má v nevlastních bodech limity rovny ∞. Šikmá asymptota je přímka o rovnici y = kx + q. Koeficienty k, q se určí snadno pomocí limit v nevlastních bodech (viz pojednání Asymptoty funkce). k  lim x 

f ( x) x

q  lim x   f ( x)  kx  resp.

k  lim x

f ( x) x

q  lim x   f ( x)  kx 

Logicky musím začít se směrnicemi potenciálních asymptot, tj. s čísly k. x 2  3x  6 6 f ( x)  k  lim x  = lim x  lim x   x  3      3  0   . x x x  Číslo q už neurčuju, pro x   šikmá asymptota evidentně neexistuje.

x 2  3x  6 6 f ( x)  k  lim x = lim x  lim x   x  3      3  0   . x x x  Číslo q už neurčuju, pro x   šikmá asymptota taktéž neexistuje. Závěr: Funkce f nemá žádné asymptoty. 3) K vyšetření monotónnosti funkce potřebuju znát její derivaci. Je-li derivace funkce v nějakém bodě x  D f kladná, pak funkce v tomto bodě roste. Je-li záporná, funkce v tomto bodě klesá. Všechny body, ve kterých f   0 nebo neexistuje (tzv. stacionární body), jsou podezřelé z existence lokálního extrému.

 f   x 2  3x  6  2 x  3





Nejprve mě zajímají body podezřelé z existence lokálního extrému. Položím tedy derivaci f´ rovnu nule a dostanu triviální lineární rovnici: 0  2x  3 → x 

3 2

V tomto bodě by mohla mít funkce lokální extrém, ale nemusí. Mohl by to být také inflexní bod, ale o tom až později. Jak to ověřit? Jednoduše. Číslo

3 rozdělí reálnou osu na dva intervaly: 2

   ; 

3 3   a  ;  . 2 2 

Nejprve vezmu libovolné číslo z prvního intervalu, např. x = –1000, a dosadím ho do předpisu derivace funkce f.

f  1000  2   1000  3  0  Derivace je záporná a vyšla by záporná pro všechna x     ;  3   intervalu    ;  funkce klesá. 2 

3  . To znamená, že na celém 2

Nyní vezmu libovolné číslo z druhého intervalu, např. x = 40, a dosadím ho do předpisu derivace funkce f.

f 40  2  40  3  0 3  Derivace je kladná a vyšla by kladná pro všechna x   ;   . To znamená, že na celém 2  3  intervalu  ;   funkce roste. 2  A teď trochu zdravého selského rozumu: 3  3  Jestliže na intervalu    ;  funkce klesá a na intervalu  ;   roste, musí mít v bodě 2  2  2

15 3 3 3 3 x  lokální minimum (s hodnotou y  f       3   6   3,75 ). 2 4 2 2 2

Vzhledem k limitám funkce v nevlastních bodech (obě rovny ∞) je zřejmé, že nalezené lokální minimum je i minimem globálním. Tím pádem můžu rovnou určit obor hodnot funkce H f  3,75 ;   . 4) K vyšetření konvexnosti resp. konkávnosti funkce potřebuju znát její druhou derivaci. Je-li druhá derivace funkce nějakém bodě x  D f kladná, funkce je v tomto bodě konvexní. Je-li záporná, funkce je v tomto bodě konkávní. Body, ve kterých f   0 , nazýváme inflexní body (mění se v nich konvexnost na konkávnost a naopak).

 f   2 x  3  2 Druhá derivace je kladná pro všechna x  R . Funkce je tím pádem na celém svém definičním oboru konvexní, nemá žádný inflexní bod. 5) Nejprve určím Py = [0; ?]. Jak? Za x dosadím do předpisu funkce f číslo 0. 2 ?  f 0  0   30  6  6 → Py = [0; 6] Nyní určím Px = [?; 0]. Za y dosadím do předpisu funkce f číslo 0. 0  x 2  3x  6 D = –15 → průsečíky s osou x neexistují (aby existovaly, když tu máme „údolíčko“ s vrcholem V = [1,5; 3,75] )

6) Funkce je sudá, platí li: f  x   f  x  pro všechna x  D f . Graf sudé funkce je osově souměrný podle souřadnicové osy y. Funkce je lichá, platí li: f  x    f  x  pro všechna x  D f . Graf liché funkce je středově souměrný podle počátku souřadnicového systému. f 2   2 2  3  2  6  4 2

f  2   2  3   2  6  16

→ Funkce f není ani sudá, ani lichá.

Nyní přikročím ke grafickému finále. Do jednoho obrázku nechám MATMAT vykreslit funkci f i první a druhou derivaci funkce f.

3  Na obrázku je vidět, že na intervalu    ;  je f  záporná (pod osou x) a f klesající, 2  3  na intervalu  ;   je f  kladná (nad osou x) a f rostoucí. 2 

b) f : y  3 x Řešení: 1) Funkce je definována pro všechna x  R . 2) Jelikož je funkce spojitá, odpadá vyšetřování limit v bodech nespojitosti. Zbývá určit limity funkce v nevlastních bodech, tedy pro x   . lim x 3 x   lim x  3 x  

Svislá ani vodorovná asymptota tu nehrozí. Funkce je spojitá a limity v nevlastních bodech jsou rovny   . Zbývá určit šikmé asymptoty y = kx + q. 1   f ( x) x3  1  1 k  lim x  = lim x  lim x  2    0 x x  3  x  Směrnice k = 0 odpovídá vodorovné asymptotě a tu funkce, jak už bylo řečeno, nemá. Pro x   šikmá asymptota tudíž neexistuje. 1   f ( x) x3  1  1 k  lim x = lim x  lim x  2    0 x x  3  x  Stejná situace. Závěr: Funkce f nemá žádné asymptoty. 3) Určím první derivaci funkce f a položím ji rovnu nule. Hledám lokální extrémy funkce f.

  13  1  23 1 f    x   x  33 x 2   3

→

1 33 x 2

0

Zlomek se rovná nule, když se rovná nule jeho čitatel. Ten je roven 1. Znamená to, že funkce f nemá žádné lokální extrémy? Ještě ne! Derivace funkce f totiž není spojitá, není definována pro x = 0. Body, kde první derivace neexistuje, jsou taktéž podezřelé z existence lokálního extrému (může tam být „špička“). Proto rozdělím reálnou osu na dva intervaly  ; 0  a 0 ;   a na každém z nich vyšetřím první derivaci zvlášť. Nejprve vezmu libovolné číslo z prvního intervalu, např. x = –1000, a dosadím ho do předpisu derivace funkce f. f  1000 

1 2

33  1000 



1 0 300

Derivace je kladná a vyšla by kladná pro všechna x    ; 0  . To znamená, že na celém intervalu  ; 0  funkce roste.

Nyní vezmu libovolné číslo z druhého intervalu, např. x = 1000, a dosadím ho do předpisu derivace funkce f. f 1000  

1 2

33 1000 

1 0 300



Derivace je kladná a vyšla by kladná pro všechna x  0 ;   . To znamená, že na celém intervalu 0 ;   funkce také roste. A teď trochu zdravého selského rozumu: Roste-li funkce na intervalu  ; 0  i na intervalu 0 ;   , přičemž je v nule spojitá, nemůže mít funkce f v bodě x = 0 lokální extrém. Vzhledem k limitám funkce v nevlastních bodech (jedna rovna ∞, druhá rovna –∞) můžu rovnou určit i obor hodnot funkce H f  R . 4) Určím druhou derivaci funkce f a položím ji rovnu nule. Hledám inflexní body funkce f.

  1  23  1  2   53 2 f    x        x   3 9 x5 3  3  3

→ 

2 3

9 x5

0

Ani druhá derivace se nemůže rovnat nule. I ona však neexistuje v bodě x = 0 a body, ve kterých neexistuje druhá derivace f  , mohou být taktéž inflexními body funkce f. Takže znovu dva intervaly  ; 0  a 0 ;   a na každém z nich vyšetřím druhou derivaci zvlášť. Nejprve vezmu libovolné číslo z prvního intervalu, např. x = –1000, a dosadím ho do předpisu druhé derivace funkce f. f  1000   

2 5

93  1000 



2 0 900000

Druhá derivace je kladná a vyšla by kladná pro všechna x    ; 0  . To znamená, že na celém intervalu  ; 0  je funkce konvexní. Nyní vezmu libovolné číslo z druhého intervalu, např. x = 1000, a dosadím ho do předpisu druhé derivace funkce f. f  1000  

2 5

93 1000 



2 0 900000

Druhá derivace je záporná a vyšla by záporná pro všechna x  0 ;   . To znamená, že na celém intervalu 0 ;   je funkce konkávní. Je-li funkce na intervalu  ; 0  konvexní a na intervalu 0 ;   konkávní, přičemž je v nule spojitá, musí být x = 0 inflexním bodem této funkce.

5) Nejprve určím Py = [0; ?]. Za x dosadím do předpisu funkce f číslo 0. ?  f 0   3 0  0 → Py = [0; 0] a je to pochopitelně i jediný Px 6) f 8  3 8  2 , f  8  3  8  2 Toto pochopitelně není důkaz, jen takový „nástřel“ situace. Je zřejmé, že pro libovolná navzájem opačná čísla se hodnoty funkce budou vždycky lišit pouze znaménkem. Funkce f je tudíž lichá a její graf je středově souměrný podle počátku soustavy souřadnic. Zbývá obrázek.

Se všemi třemi funkcemi měl MATMAT problémy a musel jsem je rozdělit na dvě, v důsledku čehož funkce f na obrázku nevypadá vůbec spojitě. Obě derivace jsou nespojité v bodě x = 0 (osa y je jejich svislou asymptotou), první derivace je pořád kladná a sudá, druhá derivace je nejdřív kladná, potom záporná (a lichá). Pozn. Osa y je tečnou funkce f v bodě x = 0, přestože v tomto bodě funkce nemá derivaci. I to se může stát. Taková tečna je však vždy přímkou bez směrnice (rovnoběžná s osou y), jelikož nemá směrnici. Teda aspoň myslím.

c) f ( x ) 

x 2  3x  2 x  12

Řešení: 1) Funkce je definována pro všechna x  R / 1. 2) Tentokrát budu muset vyšetřit čtvero limit. Limity v nevlastních bodech však určím najednou. lim x

x 2  3x  2 x 2  3x  2  lim x   x2  2x  1 x  12

Teď použiju známý fígl: čitatel i jmenovatel vydělím nejvyšší mocninou x.

lim x

x 2  3x  2  lim x x 2  2x  1

x 2 3x 2 3  2  2 1  2 x x x x  lim x   2 2 x 2x 1 1   2  2 2 x x x x

2 x2  1 0  0  1 1 1 0  0 x2

Funkce f má v nevlastních bodech limitu rovnu jedné a to znamená, že funkce f má jednu vodorovnou asymptotu danou rovnicí: y – 1 = 0. Nyní přejdu k jednostranným limitám v bodě x = –1. Vzhledem k té druhé mocnině ve jmenovateli zlomku je však taky můžu vzít jedním vrzem. lim x1

x 2  3x  2 1 3  2 = ∞, kde 0+ je nekonečně malé kladné číslo.  lim x1 2  0 x  1

Z limity funkce v bodě x = –1 plyne, že funkce f má v tomto bodě svislou asymptotu danou rovnicí: x + 1 = 0. Zbývá šikmá asymptota. Tady to však bude rychlovka. Má-li funkce limitu pro x   rovnu jedné, pak už logicky nemůže mít šikmou asymptotu. 3) Určím první derivaci funkce f a položím ji rovnu nule.  2  x 2  3x  2   2 x  3 x  1  x 2  3x  2  2 x  1     x  12   x  14   2 x  3x  1  x 2  3 x  2  2  5 x  7 f x  13 x  13









Zkrátím výrazem (x + 1). Čitatel zlomku položím roven 0.

5 x  7  0 → x = 1,4

První derivace není definována pro x = –1, ale tam funkce f extrém mít nemůže, protože tam sama není definována. Zbývá tedy prověřit x = 1,4. Čísla –1 a 1,4 rozdělí reálnou osu na tři intervaly: ( ;  1) , (1; 1,4) a (1,4; ) .

Nejprve vezmu libovolné číslo z prvního intervalu, např. x = –10, a dosadím ho do předpisu derivace funkce f.

f  10  

5 10  7  57  0 3  729  9

Derivace je kladná a vyšla by kladná pro všechna x    ;  1 . To znamená, že na celém intervalu ( ;  1) funkce f roste. Nyní vezmu libovolné číslo z prostředního intervalu, např. x = 0, a dosadím ho do předpisu derivace funkce f.

f 0 

7 0 1

Derivace je záporná a vyšla by záporná pro všechna x  (1; 1,4) . To znamená, že na celém intervalu (1; 1,4) funkce f klesá. Nakonec vezmu libovolné číslo z posledního intervalu, např. x = 10, a dosadím ho do předpisu derivace funkce f.

f 10  

43 0 1331

Derivace je kladná a vyšla by kladná pro všechna x  (1,4 ; ) . To znamená, že na celém intervalu (1,4; ) funkce f roste. Vzhledem k výše uvedenému musí mít funkce f v bodě x = 1,4 lokální minimum. Je to  0,24  0,0416 . Můžu tedy určit obor dokonce minimum globální s hodnotou f 1,4   5,76 hodnot funkce H f   0,0416 ;   . Pozn. U určování oboru hodnot funkce je třeba zohlednit i výskyt vodorovné asymptoty. Některé funkce (např. nepřímá úměrnost) nemají s vodorovnou asymptotou (danou rovnicí y = a) žádný společný bod, a proto je třeba číslo a z oboru hodnot funkce vyloučit.

4) Určím druhou derivaci funkce f a položím ji rovnu nule.   5 x  7  5 x  13  5 x  7   3 x  12   f    3   x  1  x  16  

f  

5 x  1  5 x  7   3  10 x  26  x  14 x  14

 10 x  26  0 → x = 2,6

Zkrátím výrazem (x + 1)2.

Zajímá mne pouze čitatel zlomku. Toto je bod podezřelý z inflexe.

Druhá derivace není definována pro x = –1. Čísla –1 a 2,6 rozdělí reálnou osu na tři intervaly: ( ;  1) , (1; 2,6) a (2,6; ) . Nejprve vezmu libovolné číslo z prvního intervalu, např. x = –10, a dosadím ho do předpisu druhé derivace funkce f.

f  10  

 10 10   26 0  94

Druhá derivace je kladná a vyšla by kladná pro všechna x    ;  1 . To znamená, že na celém intervalu ( ;  1) je funkce f konvexní. Nyní vezmu libovolné číslo z prostředního intervalu, např. x = 0, a dosadím ho do předpisu druhé derivace funkce f.

f 0  

26 0 1

Druhá derivace je kladná a vyšla by kladná pro všechna x  (1; 2,6) . To znamená, že na celém intervalu (1; 2,6) je funkce f konvexní. Nakonec vezmu libovolné číslo z posledního intervalu, např. x = 10, a dosadím ho do předpisu druhé derivace funkce f.

f 10  

 100  26 0 114

Derivace je záporná a vyšla by záporná pro všechna x  (2,6 ; ) . To znamená, že na celém intervalu (2,6; ) je funkce f konkávní. Vzhledem k výše uvedenému je x = 2,6 inflexním bodem funkce f. 5) Nejprve určím Py = [0; ?]. Za x dosadím do předpisu funkce f číslo 0. ?  f 0  2 → Py = [0; 2] . Nyní určím Px = [?; 0]. Za y = f  x  dosadím do předpisu funkce f číslo 0. 0

x 2  3x  2 x  12

Znovu mě zajímá pouze čitatel zlomku.

x 2  3 x  2  0 → D = 1 → x  1; 2 → Px = [1; 0] a [2; 0] 6) f 1  0 , f  1 neexistuje. O sudosti resp. lichosti funkce nemůže být řeč (což bylo mimochodem zřejmé už od samého začátku). Zbývá obrázek. Vzhledem k extrémnímu průběhu funkce f i jejích derivací budou dokonce dva.

Na druhém obrázku je docela dobře vidět lokální (v tomto případě i globální) minimum funkce f v bodě, kde funkce f´ protíná osu x, inflexní bod funkce f v bodě, kde funkce f´´ protíná osu x i oba průsečíky funkce f s osou x.

d) f ( x )  x  sin 2 x ; x  

  ; 2 2

Řešení:

  ; . Jelikož mám vyšetřit průběh funkce 2 2 na uzavřeném intervalu, hnedka si vypočtu hodnoty funkce f v krajních bodech tohoto intervalu. Většinou se to hodí. 1) Funkce f je definována pro libovolné x  

     f       sin       0   2 2 2  2

     f     sin    0  2 2 2 2

2) Tady není co vyšetřovat. A nebul. 3) Abych mohl určit první derivaci funkce f, musím odstranit tu absolutní hodnotu. Stejným   způsobem, jak postupují středoškoláci – určím tzv. nulové body, které mi interval  ; 2 2 rozdělí (nebo taky ne) na více intervalů. Poté musím určovat derivace na každém zvlášť. Takže se budeme všichni modlit, aby těch nulových bodů moc nebylo. A ono nebude, perioda funkce y  sin 2 x je π, což je šířka celého zájmového intervalu. Hledám-li NB, položím vnitřek absolutní hodnoty roven nule.  sin 2 x  0 → x  k ; k  Z 2 Dostal jsem nekonečně mnoho nulových bodů. Do zájmového intervalu však spadají pouze tři z nich, z toho dva jsou navíc krajními body tohoto intervalu. Takže se nepředřu.

   I. x    ; 0   2  Vezmu libovolné x z tohoto intervalu, např. x = – 1, a dosadím ho do vnitřku absolutní hodnoty. Vyjde mi záporné číslo, podle definice absolutní hodnoty tedy musím při jejím odstraňování změnit všechna znaménka uvnitř absolutní hodnoty za opačná. Dostanu tak předpis funkce bez absolutní hodnoty a můžu vesele derivovat.

f ( x)  x  sin 2 x →

f ( x)  1  2 cos 2 x

1  2 cos 2 x  0 → cos 2 x  0,5

   2k ; k  Z → x1   k ; k  Z 3 6 5 5 2 x    2k ; k  Z → x 2    k ; k  Z 3 6 2x 

Položím f ´= 0.

    Z těchto nekonečně mnoho kořenů rovnice spadá do intervalu   ; 0  pouze jeden:  . 6  2     Mám tedy první stacionární bod funkce f, který rozdělí interval   ; 0  na dva intervaly:  2          ;   a   ; 0 . 6  6   2 Nejprve vezmu libovolné číslo z prvního intervalu, např. x = –1, a dosadím ho do předpisu derivace funkce f.

f  1  1  2 cos 2   0,168    Derivace je kladná, funkce f je na intervalu   ;   rostoucí. 6  2 Nyní vezmu libovolné číslo z druhého intervalu, např. x = –0,1, a dosadím ho do předpisu derivace funkce f.

f  0,1  1  2 cos 0,2  – 0,96    Derivace je záporná, funkce f je na celém intervalu   ; 0  klesající.  6   Z výše uvedeného plyne, že v bodě x   má funkce f lokální maximum s hodnotou 6   3     f       sin        0,342 . 6 6 2  6  3   II. x   0 ;   2

Na tomto intervalu je absolutní hodnota zbytečná.

f ( x)  x  sin 2 x →

f ( x)  1  2 cos 2 x

Položím f ´ = 0.

1  2 cos 2 x  0 → cos 2 x  0,5

2 2 x    2k ; k  Z 3 4 2 x    2k ; k  Z 3

  k ; k  Z 3 2 → x 2    k ; k  Z 3 → x1 

  Z těchto nekonečně mnoho kořenů rovnice spadá do intervalu  0 ;  pouze jeden:  2   tedy druhý stacionární bod funkce f, který rozdělí interval  0 ;  na dva intervaly:  2     ; . 3 2

 . Mám 3   0;  a  3

Nejprve vezmu libovolné číslo z prvního intervalu, např. x = 0,1, a dosadím ho do předpisu derivace funkce f.

f 0,1  1  2 cos0,2   2,96   Derivace je kladná, funkce f je na celém intervalu  0 ;  rostoucí.  3 Nyní vezmu libovolné číslo z druhého intervalu, např. x = 1,2, a dosadím ho do předpisu derivace funkce f.

f 1,2   1  2 cos2,4  0,475    Derivace je záporná, funkce f je na celém intervalu  ;  klesající. 3 2  Z výše uvedeného plyne, že v bodě x  má funkce f lokální maximum s hodnotou 3  3 2    sin       1,913 . Toto lokální maximum je zároveň globálním maximem 3 2 3  3   funkce f na intervalu  ; . 2 2 V bodě x = 0 a v krajních bodech zájmového intervalu nemá funkce f derivace. Vzhledem k předchozím závěrům je však zřejmé, že v bodě x = 0 má své lokální minimum (špičku)    s hodnotou 0 a v bodě x =  globální minimum na intervalu  ; . Na tomto místě 2 2 2 tedy již dokážu určit obor hodnot funkce H f  

  3 ;  . 2 3 2

4) Druhou derivaci budu muset řešit taktéž nadvakrát.

   I. x    ; 0   2 

 f ( x)  1  2 cos 2 x   4 sin 2 x  4 sin 2 x  0 → sin 2 x  0 → x  k ; k  Z 2

f ( x)  1  2 cos 2 x →

Položím f ´´= 0.

   Z těchto nekonečně mnoho kořenů rovnice nespadá do intervalu   ; 0  žádný. Vezmu tedy  2  libovolné číslo z tohoto intervalu, např. x = –1, a dosadím ho do předpisu druhé derivace funkce f. f  1  4 sin  2   3,64    Druhá derivace je záporná, funkce f je na celém intervalu   ; 0  konkávní.  2 

  II. x   0 ;   2

f ( x)  1  2 cos 2 x  f ( x)  1  2 cos 2 x   4 sin 2 x

Položím f´´ = 0.

 4 sin 2 x  0 sin 2 x  0 → x 

 k; k Z 2

  Z těchto nekonečně mnoho kořenů rovnice nespadá do intervalu  0 ;  opět žádný. Vezmu  2 tedy libovolné číslo z tohoto intervalu, např. x = 1, a dosadím ho do předpisu druhé derivace funkce f. f 1   4 sin 2   3,64   Druhá derivace je záporná, funkce f je na celém intervalu  0 ;  konkávní.  2 5) Průsečík s osou y už mám a je to současně i průsečík s osou x. Těch však může být víc, takže se po nějakých dalších poohlédnu. A nemusím být žádný matematický génius, abych pochopil, že stačí mrknout nalevo od osy y, kde má funkce po odstranění absolutní hodnoty rovnici f ( x)  x  sin 2 x . OK, volím f  x  = 0. 0  x  sin 2 x x  sin 2 x

A je to tu! S tímhle nehnu. Tak na to prdím. 6)

  3    2  f       sin        3 3 2  3  3  3    2   f     sin      2 3 3 3  3

→ Funkce f není ani sudá, ani lichá.

Zbývá obrázek. Tentokrát bude bez derivací.