Příklad 1: SPŘAŽEÝ SLOUP (TRUBKA VYPLĚÁ BETOEM) ZATÍŽEÝ OSOVOU SILOU
ie
Posuďte oboustranně kloubově uložený sloup délky L = 5 m, který je centricky zatížen silou Ed = 1400 kN. Sloup tvoří trubka Ø 245x7 z oceli S235 vyplněná betonem C25/30. Posudek je proveden dle normy (EN 1994-1-1: 2004) Materiálové charakteristiky:
ko p
f ck = 25 MPa E cm = 30500 MPa f f cd = ck =
γc
f yd =
fy
γ M1
=
Průřezové charakteristiky: I a = 37,1 ⋅ 10 6 mm 4
Ac = 41910 mm 2
I c = 139,8 ⋅ 10 6 mm 4
ká
Aa = 5230 mm 2
Teorie: Ověření z hlediska lokálního boulení Aby před vybetonováním nebo u již vybetonovaných sloupů s čerstvým betonem nedošlo k lokálnímu vyboulení ocelových částí, mělo by být splněno: 235 d max = 90 fy t
- u pravoúhlých trubek
235 h max = 52 fy t
de n
ts
- u kruhových trubek
b - u částečně obetonovaných profilů max t f kde d
= 44 235 fy
je vnější průměr trubky, největší vnější rozměr pravoúhlé trubky,
t, tF
tloušťka stěny trubky, tloušťka pásnice,
b
šířka pásnice.
st u
h
Pro plně obetonované průřezy se mohou účinky lokálního boulení zanedbat.
Pro duté kruhové ocelové průřezy vyplněné betonem platí: d 245 235 235 = = 35,0 ≤ 90 ⋅ = 90 ⋅ = 90 … účinky lokálního boulení lze zanedbat t fy 7 235
1/8
λ =
pl , Rk
≤ 2,0 cr je charakteristická hodnota plastické únosnosti v tlaku, je pružná kritická síla pro odpovídající tvar vybočení, vypočítaná s použitím charakteristické hodnoty účinné ohybové tuhosti (EI)eff podle vztahu: ( EI ) eff = Ea I a + Es I s + 0,6 Ecm I c kde Ia, Ic a Is jsou momenty setrvačnosti plochy oceli, betonu bez trhlin a výztuže pro uvažovanou rovinu ohybu.
ko p
kde pl,Rk cr
ie
Teorie: Zjednodušená metoda návrhu – rozsah platnosti - Použití zjednodušené metody je omezeno na prvky s dvojose souměrným a prizmatickým průžezem s válcovaným, za studena tvarovaným nebo svařovaným ocelovým průřezem. Zjednodušená metoda se nedá použít pro případy, kdy je ocelový průřez složen ze dvou nebo více vzájemně nespojených částí. - Pro poměrnou štíhlost sloupu λ platí omezení:
- Pro plně obetonovaný průžez jsou dány maximální hodnoty tloušťky krytí betonem, podrobnosti v normě (EN 1994-1-1: 2004). - Podélná výztuž, kterou lze započítat, nemá být větší než 6 % plochy betonu. 0,2 ≤ hc / bc ≤ 5,0
ká
- Poměr výšky hc k šířce bc spřaženého průřezu má být v rozmezí:
Teorie: Zjednodušená metoda návrhu – únosnost průřezů
ts
Plastická únosnost spřaženého průřezu v tlaku pl,Rd se má vypočítat ze součtu plastických únosností jeho částí: pl , Rd = Aa f yd + 0,85 Ac f cd + As f sd
de n
Výše uvedený výraz se použije u obetonovaných a částečně obetonovaných ocelových průřezů. Pro průřezy vybetonované se může součinitel 0,85 nahradit hodnotou 1,0. Pro betonem vyplněné kruhové ocelové duté průřezy lze do výpočtu zahrnout zvětšení pevnosti betonu v důsledku vlivu ovinutí betonu a to v případech, kdy poměrná štíhlost λ není větší než 0,5. Podrobnosti jsou uvedeny v normě (EN 1994-1-1: 2004).
st u
Plastická únosnost spřaženého průřezu v tlaku (návrhová hodnota): pl , Rd = Aa f yd + Ac f cd =
Plastická únosnost spřaženého průřezu v tlaku (charakteristická hodnota): pl , Rk = Aa f y + Ac f ck = Účinná ohybová tuhost: ( EI ) eff = E a I a + 0,6 E cm I c = Pružná kritická síla: π 2 ( EI ) eff cr = = L2cr 2/8
Poměrná štíhlost: pl , Rk λ = = cr
≤ 2,0 ... lze počítat podle zjednodušené metody > 0,5 … výpočet bez vlivu ovinutí betonu
Teorie: Přiřazení křivek vzpěrnosti
st u
de n
ts
ká
ko p
ie
Křivky vzpěrnosti pro jednotlivé spřažené průřezy jsou uvedeny v tabulce:
Posudek spolehlivosti - Vzpěrná únosnost: Součinitel vzpěrnosti: λ = … křivka vzpěrnosti „ “ … Ed = χ ⋅ pl , Rd
χ=
3/8
Příklad 2: SPŘAŽEÝ SLOUP (TRUBKA VYPLĚÁ BETOEM) ZATÍŽEÝ OSOVOU SILOU A OHYBOVÝM MOMETEM
ie
Posuďte oboustranně kloubově uložený sloup délky L = 5 m, který je zatížen tlakovou silou Ed = 900 kN a ohybovým momentem MEd podle obrázku. Sloup tvoří trubka Ø 245x7 z oceli S235 vyplněná betonem C25/30 (viz příklad 1). Posudek je proveden dle normy (EN 1994-1-1: 2004)
Materiálové charakteristiky: E cm = 30500 MPa f f cd = ck =
γc
f yd =
fy
γ M1
=
Průřezové charakteristiky: I a = 37,1 ⋅ 10 6 mm 4
Ac = 41910 mm 2
I c = 139,8 ⋅ 10 6 mm 4
ká
Aa = 5230 mm 2
ko p
f ck = 25 MPa
ts
Pro duté kruhové ocelové průřezy vyplněné betonem platí: d 245 235 235 = = 35,0 ≤ 90 ⋅ = 90 ⋅ = 90 … účinky lokálního boulení lze zanedbat t 7 fy 235
λ =
pl , Rk cr
de n
Posudek spolehlivosti - Vzpěrná únosnost: =
pl , Rk = Aa f y + Ac f ck =
( EI ) eff = E a I a + 0,6 E cm I c =
L2cr
=
st u
cr ,eff =
π 2 ( EI ) eff
λ =
Ed = χ ⋅ pl , Rd
…
křivka vzpěrnosti „a“ … ≤
χ=
… VYHOVUJE
4/8
Teorie: Vliv teorie druhého řádu Vliv účinků odpovídajících teorii druhého řádu lze zjednodušeně zohlednit tak, že momenty vypočítané podle teorie prvního řádu se zvětší součinitelem:
β
k=
≥ 1,0 1 − Ed / cr ,eff je kritická normálová síla pro příslušnou osu a účinnou ohybovou tuhost, kdy se za vzpěrnou délku považuje délka sloupu je součinitel ekvivalentního momentu podle tabulky
ie
kde cr,eff
ká
ko p
β
k=
β 1 − Ed / cr ,eff
= 1,072
de n
M Ed = k ⋅ M Ed =
ts
Zvětšení momentu od účinků teorie druhého řádu: 20 r= = 0,4 50 β = 0,66 + 0,44 ⋅ r = 0,836
Teorie: Ohybová únosnost kruhové trubky vyplněné betonem Průřezy spřažených sloupů jsou zpravidla vždy takové, že odpovídají požadavkům třídy 1 nebo 2 a momentovou únosnot tak lze stanovit za předpokladu plastického rozdělení napětí (počítá se pouze s betonem v tlaku).
st u
U kruhové trubky je nalezení polohy neutrální osy komplikovanější než u pravoúhlé trubky vyplněné betonem. Vychází se z rovnováhy sil podle obrázku. Moment únosnosti lze po úpravách vyjádřit vztahem:
kde Wpl,a
ψ
M pl , Rd = W pl ,a ⋅ f yd ⋅ (1 + 0,01 ⋅ψ ) je plastický průřezový modul samotné ocelové trubky: 2
d W pl ,a = t ⋅ − 1 , t je pomocný součinitel závislý na poměrech d/t a fcd / fyd (viz tabulka). 3
5/8
ie ko p ká 2
d = t
de n
d W pl ,a = t 3 ⋅ − 1 = t f cd = f yd
ts
Únosnost průřezu v ohybu:
ψ =
(určeno z tabulky)
st u
M pl , Rd = W pl , a ⋅ f yd ⋅ (1 + 0,01 ⋅ψ ) =
Teorie: Kombinace tlaku a ohybu Kombinaci osové síly a ohybového momentu po délce prutu vystihuje interakční křivka. Obecně lze pro jakoukoli polohu neutrální osy z obrazce napětí vypočítat dvojici a M, při níž je průžez plně využit, viz obrázek.
6/8
ie ko p
Aa ⋅ f yd pl , Rd
st u
de n
ts
δ=
ká
Interakční křivky jsou pro běžné případy zpracovány pro různé hodnoty poměrů δ vystihujících příspěvek oceli k celkové únosnoti spřaženého průřezu v tlaku (pro kruhové trubky vyplněné betonem je interakční diagram znázorněn na obrázku):
Sloup namáhaný současně normálovou silou Ed a ohybovým momentem MEd musí vyhovět podmínce: M Ed M Ed = ≤ αM M pl , , Rd µ d M pl , Rd 7/8
kde MEd
je větší z hodnot koncových ohybových momentů a největšího momentu na sloupu (je-li to nezbytné, je zohledněn momentu vliv teorie druhého řádu), plastická únosnost v ohybu, stanovená s vlivem síly Ed, tzn. že je rovna µd Mpl,Rd, plastická únosnost v ohybu u průřezu namáhaného pouze na ohyb,
Mpl,,Rd Mpl,Rd
ie
α M = 0,9 pro oceli do třídy S355,
Posudek spolehlivosti - Interakce tlaku a ohybu: pl , Rd = Aa f yd + Ac f cd =
pl , Rd
=
Ed = pl , Rd
µd ≅
ká
Aa ⋅ f yd
(odečteno z grafu – odpovídá hodnotě na vodorovné ose) ≤ α M = 0,9
st u
de n
M Ed = µ d ⋅ M pl , Rd
ts
δ=
ko p
α M = 0,8 pro oceli S420 a S460.
8/8
