Tijdschrift voor Econonlic Vol. XLIII, 4, 1998
Management
Portfolio Insurance: een vergeIijkende test door T VINAIMONT"
Vermogensbeheerders zijn vaak bezorgd dat de waarde van hun portefeuille onder een bepaalde benedengrens duikt. Dit probleem kan verholpen worden door Portfolio Insurance (PI), het verzekeren van de portefeuille. Een voor de hand liggende methode om te verhinderen dat de waarde van de portefeuille onder een bepaalde benedengrens komt, is het aankopenvan een put-optie op de portefeuille. Deze optie kan men echter ook synthetisch samenstellen door een weloverwogen strategie te volgen wat betreft het mengen van aandelen en risicovrije beleggingen - Synthetic-Put Portfolio Insurance. Synthetische portefeuille-verzekering komt in principe op hetzelfde neer als het kopcn van een put-optie, lnaar kan sonls de voorlteur wegdragen, bijvoorbeeld omdat in de marltt geen puts beschikbaar zijn op de specifieke portefeuille die moet verzelterd worden, of oindat bij synthetische verzeltering de kostprijs van de put niet expliciet geboekt moet worden. Andere strategieen die de portefeuille tegen koersdalingen beschermen zijn Constant-Proportion Portfolio Insurance, een vereenvoudigde vcrsic van dc Synthetic-Put strategic, en het simpele Stop-Loss Wedging. De bedoeling van dit artikel is die drie strategieen te evalueren en te vergelijlten op basis van de betrouwbaarheid van de vcrzekering en de grootte van de kost die daarmee gepaard gaat. Daartoe worden de modellen uitgetest op een groot aantal mogelijke prijsevoluties die gegenereerd worden door lulcrake loting uit empirische verdelingsfuncties van prijsveranderingen eerder dan uit een theoretische verdeling zoals de normale of lognormale. Het gebruik ;'-
Uepartcmciit Tocgcpastc Ecoilomisclie Wetenscliappcn. 1C.U.Leuven. Leuven
van enlpirische gegevens heeft als voordeel dat de prestaties van de stl-ategieen getest worden onder reele marktvoorwaarden.
II. PORTFOLIO INSURANCE We behandelen achtereenvolgens drie Portolio-Insurance (PE) technieken: Synthetic-Put PI, Stop-Loss PI en Constant-Proportion PI.
Synthetic-Put PI is een vrij gesofisticeerde techniek van portefeuilleverzekering voorgesteld door Eeland en Rubinstcin (1981). De techniek maakt gebruik van de Black-Merton-Scholes formule voor het bepalen van de prijs van een Europese optie. Black en Scholes (1973) en Merton (1973) bouwen hull model op ideale markten (continue handel in aandelen en opties, perfecte deelbaarheid van effecten, geen beperltingen op shortselling, lenen en ontlenen aan dezelfde constante interestvoet, geen transactiekosten, geen belastingen) en maken veronderstellingen i.v.m. het patroon van de aandeelkoersen (aandelen betale11 geen dividenden binnen de looptijd van de optie, en de koersen kennen een continu verloop met lognormaal-verdeelde veranderingen en constante standaarddeviatie). In een ideale markt zijn er geen mogelijkhedei~tot risicovrije ai-bitrage, en deze voorwaarde leidt tot het Black-Merton-Scholesmodel voor Europese puts en calls. Cruciaal in de redenering is de gevoeligheid van de optieprijs aan de aandelenkoers, de partiele afgeleide van de optieprijs [C(all) of P(ut)l naar de koers (S) van het aandeel. Dit noemt men de delta (A) van de optie: als de koers van het aandeel verandert met een kleine stap dS, dan zal de optieprijs C zelf met 4.dK wijzigen. De delta van eel1 call heeft altijd een waarde tussen 0 en 1. Stijgt de koers van een aandeel, clan verhoogt imrners de verwachte waarde van de call (A > 0), maar de prijsstijging van de call blijft klelner dan die van het aandeel ( 4 < 1) omdat de koersstijging nog ltan tenietgedaan worden tijdells de resterende looptijd van de call. De delta van een put daarentegen bevindt zich altijd tussen 0 en -1: hoe lager de aandelenkoers, des te groter de verwachte waarde van de put-optie, maar de stijging van dc put-prcmie blijft toch kleiner dan de daling van de aandelenkoers omdat er geen zekerheid is dat de koersdaling blijvend zal blijken.
De Black-Merton-Scholes-logica is dan als volgt. Is de delta gekend, dan kan een risicovrije portefeuille worden salnengesteld door eel1 call te schrijven en A eenheden van het aandeel op te nemen: het verlies op de geschreven optie. -dC = -A dS, wordt dan opgevangen door de koersstijging dS op de A aandelen in de portefeuille. Het elimineren van de onzekerheid impliceert dat de portefeuille de risicovrije return moet verdienen, zoals bij andere risicovrijc bclcggingen - anders is er mogelijkheid tot arbitragel. Merton schrijft die voorwaarde als een partiele differentiaalvergelijking, en de oplossing kan gei'nterpreteerd worden als
met
max(S, - X, 0 ) de waarde van een Europese call op vervaldag; l? de venvachte waarde gecorrigeerd voor risico, S, de koers van het aandeel op vervaldag T en X de uitoefenprijs van de call.
Gegeven de veronderstelde lognormaliteit van S,vinden Black-Merton-Scholes de volgende oplossing voor de waarde van een call:
met
Hierin is N(x) de cumulatieve verdelingsfunctie voor een standaardnormale variabele - de waarschijnlijkheid dat een standaardnormale kleiner zal zijn dan X. Portfolio Insurance maakt gebruik van put-opties, geen calls. Zodra de waarde van de call (C) gekend is volgt de wzial.de van een put (P) echter uit Put-Call-Pariteit,
Invullen van de callprijs-formule levert dus, als put-prijsformule,
De Synthetic-Put strategie imiteert, in zijn extreeinste vorm, continu een Europese put op een te verzelceren onderliggende waarde. We willen met andere woorden een portefeuille met een waarde die op elk ogenblik overeenkomt met S + P. Uit (4) volgt dan dat de waarde van de portefeuille noe et gelijk zijn aan
Di: b e t c l t c ~ dat ~ t hct aankopen van een risicovolle belegging en een put op hetzelfde neerkoint op het volgei~van een dynamische portefeuillestrategie: lioop, op elk ogenblik, $ [ l - N (-d,)] eenheden van de te verzekeren portefeuille, ell beleg daarnaast een bedrag risicovrij. Als de samenstelliilg continu aangepast wordt, dan gedraagt onder Black-Scholes-Merton-veronderstellingen de portefeuille zich alsof ze verzekerd was met een put. Let we1 dat in een portefeuillestrategie de uitoefenpi-ijs van de put hoger moet zijn dan het initieel in aandelen belegd bedrag. Dit volgt uit het feit dat de put zelf geld kost en dat die initiele investering moet ingecalculeerd worden. Een belegger met een te beleggen vermogen van 10000 BEF kan immers niet alles beleggen in aandelen, anders is er geen geld over om (synthetische of echte) puts te kopen. Als er dan bvb 9000 BEF in aandelen belegd wordt, blijft 1000 BEF over voor de optie, en men kan dan numerisch narekenen welke uitoefeningsprijs haalbaar is voor die prijs. Blijlct die haalbare uitoefeningsprijs hoger dan de vooropgestelde benedenwaarde voor de portefeuille als geheel, dan probeert men een poi-tefeuille waarin in&& dan 9000 belegd is in aandelen en dus minder in de (synthetische) optie, en men itereert tot de gewenste mix aandeleiliopties bereilit is (Stulz, Wasserfallen en Stucki (1990)). Figuur 1 verduidelijkt hoe de Synthetic-Put strategie een portefeuille aanpast (we gaan in dit voorbeeld uit van weltelijlise aanpassing en een periode van 20 weken). Is de koers van het aandeel laag, dan wordt relatief veel risicovrij belcgd. Gaat de koers van het aandeel omhoog dan wordt relatief meer belegd in het aandeel. Vlakvoor de vervaldag zitten we vrijwel volledig in aandelen (als S > X), ofwel vrijwel volledig risicovrij (als S < X).
-d,)
FIGUUR 1 De verdelilzg rrrsserz risicovrije beleggirzgerz er1 aarldelerl bij ioepassirlg vnll Syrztlzetic Plrt Poi?folio Ir~szrrcrlzce
B. Stop-Loss Portfolio Insumnce De meest eenvoudige vorm van portefeuille-verzekering is zonder twijfel de Stop-Loss strategie. Deze technielc gaat uit van het standpunt dat een belegger ofwel een volledig risicodragende belegging kiest (de aandelenportefeuille) ofwel volledig risicovrij beiegt. Initieel gaat hij of zij alles beleggen in aandelen, en die positie blijft aangehouden zolang de koers het bereiken van de vooropgestelde eindwaarde niet in gedrang brengt. Zodra de waarde van die risicobelegging echter lileiner wordt dan de gediskonteerde waarde van de benedengrens, verkoopt de belegger de volledige portefeuille aandelen en wordt alles risicovrij belegd. Concreet gebeurt dit als
waarbij t de resttijdvoorsteit, uitgedrukt in jaren, F de benedengrens, en r de risicovrije rente. Figuur 2 verduidelijkt de werking. Stop-Loss PI heeft als voordeel dat er nooit meer dan 66n tussentijdse transactie nodig is, terwijl voor de andere strategieen er continu (zij het weliswaar kleine) transacties vereist zijn. Als nadeel geldt dat de waarde van de portefeuille beneden de grens Fe-' ('l moet va.1-
len voor men weet of die grens werkelijk doorbroken wordt; en dan wordt het ook onmogelijk oin op de vervaldag de vooropgestelde waarde F 100% te garanderen. In vergelijking met Synthetic-Put PI profiteert men ook niet meer van koersstijgingen ingeval de riskante beiegging achteraf bove~lde grens Fe-' '(') uitstijgt.
FIGUUR 2 De velzlelilzg tzrsseil aanclelen ell risicovrije beleggilzgelz bij gebrzlik van Stop loss Portfolio Irlszrl.nllce
1 --a-Koers - - c Trigger . p
Totale Waarde
1
C . Constant-Proportion Portfolio Ins~uance Ecn dcrde strategie voor het verzekeren v311 een portefeuille werd voorgesteld door Black cn Jollcs (1987). Hun theorie staat bekend onder de naam van Constant-Proportion PI. Z e werd voorgesteld als een theorie die eenvoudiger te begrijpen en te gebruiken is dan de Synthetic-Put approach, maar die toch voldoet aan de eisen van flexibilitcit cn betrouwbaarheid. Het gaat dus orn een pragmatlsche strategie die, zoals de Synthetic-Put strategie, mC6r in aandelen belegt als de koersen stijgen cn vice versa, en de bedoeling is cen hoger stijgingspotentiecl te behouden dan bij Stop-Loss. De theorie neemt dus weer aan dat een bclcgger eel1 bepaalde benedengiens op zijn portefeuillewil plaatsen. Deze benedengrens moet garanderen dat de portefeuille over cen onhepaalde tijd blijft groeien. Het idee van Black en Jones mierlct ais volgt. Een portefeuille kan op-
gevat worden als bestaande uit twee rekeningen, een actieve rekening en een reserverekening. De reseiverekening kent een aanvaardbare minimum-return, terwijl de actieve 1-ekening de mogelijkheid bied om deel te nemen in een markt inet hogere returns inet de onvermijdelijke hogere risico's. Een mogelijkheid oin de bcnedengrens te verzekeren is ecn bepaald bedrag te investeren in bv. schatltistcertificatcn. Dit gedeelte groeit dan gcstadig door de geaccuinuleerdc i-ente, te~wijlde rest, de cushion, gebruiltt wordt om te beleggen in gewone aandelen. De gevoeligheid aan de aandelenprijs (de exposure) is dail gelijlt aan de grootte van de cushion. Deze methode heeft het iladeel dat een relatief klein deel wordt belegd in aandelen. A l s bijvoorbeeld 10000 BEF belegd wordt met een vooropgestelde benedengrens van 9000, dan zou als 100% zekerheid gewenst is, slechts een goeie 1000 BEF in aandelen mogen steken, wat zoals gezegd het groeipotentieel van de portefeuille erg hypothekeert. Met is nu echter mogelijlt een strategie te ontwikkelen die het effect van een put-optie nabootst op een benaderende manier, en zonder de complexiteit die onverinijdelijk gepaard gaan met het implementereil van de Black-Merton-Scholes formule. De exposure kan inderdaad vergroot worden door de cushion te vermenigvuldigen met een vooropgestelde factor m. Deze multiple is de ratio van de initiele exposure tell opzichtc van de initiele cushion. Dit brengt ons tot het zeer eenvoudige
met e de exposure, c de cushioil en m de multiple. Telkens de waarde van de portefeuille verandert, wordt de waarde van de exposure aangepast aail het veelvoud van de cushion. Hoe hoger de geltozen multiple, hoe meer de portefeuille zal meegeilieten van stijgendc ItoerSen. Het tegengcstclde is evenzeer waar: hoe hoger de multiple hoe sneller de portefeuille de beiledengrens zal naderen bij eenl ilegatieve evolutic van de koersen. Wanneer de cushion nu1 wordt, zal de exposure ook verdwijnen wat ook de gebruikte multiple is. Dit heeft als gevolg dat de waarde van de portefeuille niet verder kan dalen. Het voorbeeld in Figuur 3 illustreert de techiliek. Constant-Proportion PI bootst op een primitieve manier de bewegingen van Synthetic-Put PI na en bevat eveneens ltenmerken van de Stop-Loss strategie.
FIGUUR 3
.-
I
- - BKoers Aandeel
/ -a
-
Risicovrije Belegging
_
._~
-t-
.
Cushion
x T.W.
._ _ Aandeel in portefeuilld
p -
&-
. p p -
D. De impact van tmnsactielcosten Het invoel-envan transactiekosten bij Stop-Loss-indekking vornlt niet echt een probleem. Transactieltosten blijven uit als de lioersen een gunstigverloop kennen en geen heil moet worden gezocht in het overschakelen van aandelen naar risicovrije beleggingen. Wanneer de conversie we1 noodzakelijk blijkt, blijft alles beperkt tot 66n enkele transactiekost voor de gehele verzekeringsperiode. We1 moet worden opgemerkt dat dic ene transactiekost belangrijlie proporties kan aannemen, doordat de verlioop betrekliing heeft op de verkoop van de hele portefeuille. De kaarten liggen geheel anders bij Synthetic-Put en ConstantProportion PI. Daar gaat het niet zszeer om de verhandeling van grote volumes, maar we1 om een frequentere aanpassing voor kleinere hoeveelheden. Een continue aanpassing van de portel'euille kan ervoor zorgen dat transactiekosten angstaanjagende proporties aannemen en zo elk voordeel van stijgende of gestegen koersen verdwijnt. Dit kan op een voor de hand liggende manier opgelost worden, namelijk door de portefeuille niet continu, maar slechts op bepaalde tijdstippen aan te passen. Dit gaat uiteraard ten koste van de kwaliteit van de verzekering. Als de intervallen te groot worden, bestaat de kans dat tijdens een dergelijke periode de portefeuille onder de vastgestelde benedengrens zakt zonder dat ingegrepen wordt.
-
l
Als transactiekosten verrckend worden, is het vanzclfspl-ekend dat de met zorg uitgerekende verhouding tussen aandelen en risicovrije beleggingen niet meer aan de realiteit voldoet. In \vat volgt bcsluderen we hoe we de Constant-Proportion en de Synthetic-Put strategie ltunnen aanpassen zodat de verhouding na het aallrekenen van de transactiekosten dezelfde zou zijn als waren er geen transactiekosten lnee gemoeid. Beide correcties zijn gebaseerd op Benninga (1990) en worden in de bijlage beschreven. 11%.EWGELIJKING VAN D E PRESTATIGS VAN DE STRATEGPE~N VAN PORTFEUILLE-VERZEICERING In de literatuur zijn een reeks testen van verschillende portfeuilleverzekeringstechnielien terug te vinden. Stulz, Wasserfallen en Stucki (1990) testen PI met opties en futures op Swiss Market Index. Benninga (1990) vergelijkt de performance van Constant-Proportion, Synthetic-Put en Stop-Loss PI met gesi~nuleerdedata. Zhu en Kavee (1 988) voeren een gelijkaardige test uit voor Constant-Proportion en Synthetic-Put. De hier gebruikte simulatie is qua vorin gelijltaardig met die van Benninga, maar vertrekt van andere veronderstellingen. Benninga gaat uit van een theoretische lognormale verdeling van de rcturns met een gemiddelde van 10% en eel1 standaarddeviatie van 20%. De transactiekosten stelt hij vast op 0.5%. Benninga maalit de vergelijking tussen de verschillende strategieen op een cross-sectionele basis: hij vergelijkt, per vooropgestelde benedengrens, alle strategieen. Benninga concludeert dat Stop-Loss de beste resultaten oplevert, om de volgende redenen. Als er transactiekosten verondersteld worden, dan is Stop-Loss de beste stratcgie met betreliking tot de gelniddelde eindwaal-devoor alle benedengrenzen. Zelfs als geen transactiekosten worden verondersteld, blijft Stop-Loss de beste strategie voor de lagere benedengrenzen. Enkel bij benedengrenzen die hoger zijil danl de initiele waarde scoort Synthetic-Put beter. Voor benedengrenzen die dicht aansluiten bij de initiele waarde scoort de Synthetic-Put strategie het laagst. De prestaties van de Constant-Proportion strategie bevinden zich tussen Stop-Loss en Synthetic-Put PI. Voor de lagere benedengrenzen, presteren de Constant-Proportion technieken dan weer het minst goed. Benninga besluit verder dat de scheefheid van Synthetic-Put niet beduidend verschilt van die van Stop-Loss. Zowel bij Synthetic-Put als bij Stop-Loss stijgen de transactiekosten bij een ver-
hoging van de benedengrens, alleen is de stijging bij Stop-Loss veel minder drastisch dan bij Synthetic-Put. Bij Constant-Proportion PI bereiken de transactiekosten een maximum bij n~iddelhogebenedengrenzen. De transactiekosten zijn laag bij hoge en lage benedengrenzen. Voor onze uitgevoerde simulatie daarentegen, werden vijf beursgenoteerde aandelen geselecteerd op basis van hun historische gemiddelde jaarlijkse return en volatiliteit. Twee aandelen hebben een lage return (2.2% en 4.3%), een aandeel heeft een 'gewone' return (11.9%) en twee aaildelen wordeli gekenli~erktdoor een hoge return (21.8% en 22.4%). Met aandeel met de gewone return is wat geiniddelde jaarlijkse return en volatiliteit betreft, gelijkaardig aan het theoretisch aandeel van Benninga. In een eerste stap besprelten we de resultaten van dit 'gewone' aandeel, om daarna de invloed van een verandering van de verdelingsparameters op de resultaten te bestuderen. We bekijken eveneens de invloed van transactiekosten op de resultaten. De transactiekosten worden proportioneel verondersteld, en bedragen 1%.Tenslotte wordt de invloed van de verlenging van het revisieinterval nagegaan (dagelijkse, tweedagelijkse, wekelijkse, tweewekelijkse en maandelijkse aanpassingen). De simulatie loot dagelijkse returns uit de historische gegevens van het aandeel in kwestie. Elke siinulatie bcstaat uit 1000 runs per aandeel, en elke run bedraagt CCn simulatiejaar van 250 actieve dagen. De verschillende strategieen worden steeds op dezelfde simulatie getest, om de resultaten over de verschillende strategieen beter vergelijkbaar te rnaken. Hetzelfde geldt voor de aanpassing van het revisieinterval. D e beginwaarde van de portefeuille stellen we op 10000 BEF. De opgelegde benedengrens laten we varieren van 8000 tot 10000 BEF met stapgrootles van 500 BEE Voor elke bencdengrens werd geopteerd voor een ander stel simulaties. Dc benedengrens bij Stop-Loss wordt gecorrigeerd voor transactiekosten. De delta gebruikt bq Synthetic-Put Portefeuille-verzelering wordt aangepast voor de gecorrigeerde uitoefenprijs, zoals hoger beschreven. De simulatie met transactiekosten houdt rekening met de grootte van de transactieltost, om de juiste verdeling te maken tussell risicovrije beleggingen en aandelen. Bij Constant-Proportion PI kunnen noch aandelen, noch de risicovrije belegging negatief worden. Leningen aangaan is dus niet toegestaan. Zoals bij Synthetic-Put worden de porties aandelen en risicovrije beleggingen ook hier aangepast voor transactiekosten. Constant-
Proportion PI wordt in deze simulatie aanzien als een strategie met een beperkte tijdshorizon, daarom verdisconteren we de benedengrens. Als risicovrije rente nemen we overal7%. De beoordelingscriteria zijn de volgende. Ten eerste bekijken we de gemiddelde kostprijs, door de gemiddelde eindwaarde van de strategie te delen door de waarde bij een 'buy and hold' strategie. Hoe hoger de gemiddelde eindwaarde, hoe lager de gemiddelde kosten van de verzekering. Ten tweede bekijken we enkele maatstaven van betrouwbaarheid: het aantal keer dat onder de benedengrens wordt gegaan, hct gcmiddelde van dezc waarden en het absolute minimum. Tenslotte vergelijken we de standaardafwijking en de scheefheid van de strategieen. Een grote scheefheid van de eindwaarden is kenmerkend voor een goed werkende strategie voor portefeuille-verzekering.
A. Sirnulatie ?net modale ret~lrne n volatiliteit: ver-gelijking van de gemiddelde kosten Figuur 4 stelt de gemiddelde kostprijs voor van de strategieen voor benedengrenzen varierend van 8000 tot 10000 BEF. De simulatie werd uitgevoerd zonder transactiekosten. Per benedengrens worden de simulaties op hetzelfde stel runs uitgevoerd. Tussen de benedengrenZen onderling kan een kleine afwijking ontstaan doordat een ander stel lotingen werd gebruikt. De kleine verschillen in gemiddelde eindkoers van het aandeel worden bij gebruik van het begrip gemiddelde ltostprijs (over 100 runs) echter grotendeels weggewerkt. Zonder transactiekosten vertoont Stop-Loss de laagste kostprijs voor benedengrenzen kleiner of gelijk aan 9000. Bij de hoogste benedengrenzen blijft Stop-Loss goed presteren, maar wordt SyntheticPut echter de beste strategie. Het effect van transactiekosten wordt duidelijk als Figuur 5 (gemiddelde kostprijs na transactiekosten) wordt vergeleken met Figuur 4 (gemiddelde kostprijs zonder transactiekosten). Stop-Loss is hier duidelijk de beste strategie met een gemiddelde kostprijs die bij alle benedengrenzen (ookvoor de hoge) onder die van de andere portefeuille-verzekering strategieen blijft. Het beeld van de andere strategieen is ingrijpend gewijzigd. Constant-Proportion PI met lage multiples presteren bij hogere benedengrenzen beter dan die met hoge multiples en Synthetic-Put PI verliest zijn goede positie: hoewel dit de dominante strategie was zonder transactiekosten bij een benedengrens van 10000, heeft het nu de hoogste genliddelde ltostprijs.
Het invoel-en van transactiekosten schudt de kaarten dus goed door elkaar. FIGUUR 4 Modale Anncleel, vergel~jill~zg ge~nzddeldek o ~ tzolldc~ , /lull ~acrrekosterl, 250 clagelz, dagelljkse anipasal~zg
8000
8500
9000
9500
I0000
benedengrens p -
multiple 3
+synthetic put const prop multiple 4
+
.-
--
FIGUUR 5 Modale Aandeel, vergelijking genliddelde kost, met tl.a~zsactiekosten,250 dagen, dagelijkse aanpassing
benedengrens -
-
7 0 s ~ ~
+
const prop rnultrple 3
-
-
P p p
csy nthetic put x- const prop rnultrple 4
-
p
o const prop multiple 21 -
-0- const
A
prop rnultrple 5
B. Sirlzulatie met rnodnle return en 1.01atiliteit:vergelijkirzg van de transactiekosten Het verloop van de transactiekosten wordt duidelijk uit Figuur 6 en Figuur 7. In Figuur 6 zetten WC de effectief betaalde transactieltosten uit. Figuur 7 toont het verschil tussen de gemiddelde eindwaarde zonder en met transactiekosten. Het verschil tussen beide figuren is het duidelijkst bij Constant-Proportion PI. Deze techniek houdt rekening met de betaalde transactiekosten bij het herverdelen van cle totale waarde tussen risicovrije beleggingen en aandelen. Doo~ctatde totale waarde wordt verminderd met de transactiekosten zal steeds een kleinere fractie in aandelen belegd worden. Dit brengt met zich mee dat de portefeuille niet zo sterk meer van de groei van het aandeel kan profiteren. Dit fenomeen komt tot uiting in de discrepantie tussen enerzijds het verschil in gemiddelde waarde met en zonder transactiekosten en anderzijds de pure transactiekosten. Merk op dat dit verschil niet bestaat bij Synthetic-Put. De verdeling tussen risicovrije beleggingen en aandelen geschiedt niet op basis van de reeds betaalde transactiekosten. Bij Stop-Loss doet zich een klein verschil voor, vermits de benedengrens aangepast wordt voor transactiekosten. Daardoor wordt sneller verkocht dan wanneer geen transactiekosten berekend worden. FIGUUR 6 Modale Aondeel, vergelqklr~gtror~saciiekosie~z, 250 dagen, ilngelgkre aoi~pnaa~ng
floor
I lsiop loss
-
-
-
I +const prop rnultlple 3 -
-
-
- - -
p
-
p
P
e const prop multiple 2 / x const prop rnult~ple4 s const prop rnult~ple5
4-synthet~cput -
-
p
p
p p
P
P
1
benedengrens --
/-U
1
p
stop loss
t synthet~cput
-+
a - conrt prop mult~ple3 4const prop mvlt~ple4 e -
--
p
1 const prop mult~ple 2, const prop rnult~ple5 '
-1
Voor Stop-Loss en Synthetic-Put PI verlopen de transactiekosten gelijkaardig. Hoe hoger de benedengrens, hoe hoger de transactiekosten. In absolute waarden zijn de kosten bij Stop-Loss veel kleiner dan bij Synthetic-Put. De stijging is ooli minder sterk. IDe stijging bij Stop-Loss, ontstaat vooral doordat bij hogere benedengl-enzen, sneller, en in het algemeen, voor een groter volume wordt verhandeld. De stijging van de transactieltosten met de benedengrens bij Synthetic-Put ltan als volgt worden verklaard. Hoe dichter de koers van het aandeel de benedengrens nadert, hoe groter de volumes waarbij van risicovrije beleggingen naar aandelen en omgelteerd zal omgeschalteld worden. Bij lage benedengrenzen is er minder kans dat de koers naar dit gebied afdaalt. Als de ltoel-svan de benedengrens blijft afwijken, zijn de volumes die verhandeld worden dan oolt kleiner dan voor ltoersen die dicht rolld dc benedengrens fluctueren. Opvallend is het verloop van de tra~lsactiekostenbij Constant-Proportion PI. Bij gebruik van multiple 5 vertonen de transactiekoste~l een ~l~axilnum bij benedel~grens9000 en noteert men afnemende transactiekosten bij hogere en lagere benedengrenzen. Met een multiple 4 constateren we lietzelfde fenoineen, maar het maximum verschuift naar benedengrens 8500. De transactickosten bij Constant-Proportion met multiple 3 bereiken een maximum bij een benedengrens van ongeveer 8000. De verklaring vinden we in de aard van ConstantProportion zelf. Bij hoge benedengrenzen is het initieel verschil tussen de totale waarde en de benedengrens lilein. De belegging bevat dan slechts een klein gedeelte aandelen. Een wijziging van de koers
heeft daarom lnaar een klein effect op de totale waarde en vergt aldus een kleinere aanpassing. Bij een lagere benedengrens daarentegen vergroot de portie aandelen en wordt de invloed van een koersverandering op de totale waarde grotel-.Dit effect doet zich het snelst voor bij Constant-Proportion met hoge multiples. Bij nog lagere benedengrenzen, zal initieel enkel belegd worden in aandelen. Als de koers stijgt, blijft dit zo: er wordt pasvcrkocht ais de lcoers gaat dalen. C. Sirnulatie m e t module I-etu1.n en volatiliteif: lzet garande~envan de henedeng-en~:ern vel;~eliJ'kwig Gemiddelde eindwaarde of gemiddelde ltosten zijn niet de enige criteria voor het beoordelen van de prestatie van de technieken. Het gebruik van Portfolio Insurance heeft vooral als doe1 de waarde niet onder de benedengrens te laten dalen, of althans niet te diep daaronder. Niet elke strategie presteert daarin even goed. Vooral SyntheticPut slaagt er niet altijd in na het invoeren van transactiekosten een eindwaarde boven de benedengrens te garanderen. aBbel 1verlneldt het aantal keer dat onder de benedengrens wordt gegaan, het gemiddelde van deze waarden en het absolute minimum. TABEL 1
zonder trmctiekosten dagcl~jltseaanpassing bencdcngrens aant gemld 8000 8500 9000 9500
270 375 483 639
7000 8385 8875 9374
min
10000 8000 8500 9000 9500 10000
202 0 0 0 0 0
9932 N.A. N.A. N.A. NA. N.A
9505 8029 8506 9016 9509 10010
met tnnsachekoslen &gelgkse aanpasnng aant ge~md mm
285 395 198 665
7903 8'390 8875 9372
7310 7915 8264 8916
733 0 0 0 0 0
9131 NA, N.A N.A. N.A. N.A.
8338 8011 8503 9006 9504 10004
Opvallend aan deze resultaten, is de perfecte verzekering bij Constant-Proportion PI. Geen enkele eindwaarde valt onder de benedengi-ens.Door toepassing van Stop-Loss en Synthetic-Put is de kans daarentegen reeel dat de eindwaarde onder de benedengrens terechtkomt. Bij Stop-Loss dalen de eindwaardcn meestal niet ver onder dc benedengrens, zowel zonder als met transactiekosten. D e gemiddelde eindwaarden onder de benedengrens bewijzen dit. Gemiddeld zijn die minder dan 2% van de benedengrens verwijderd. Bij Synthetic-Put heeft het invoeren van transactiekosten we1 een be~ekenisvoleffect op de minima. Zoiang geen transactiekosten beschouwd worden, biijft het niveau van de eindwaarden onder de benedengrens binnen de perken en ligt het gemiddelde tekort niet zo laag als bij Stop-Loss. Zodra transactiekosten ingevoerd worden, wijzigt de situatie echter drastisch. Het aantal eindwaai-den onder de benedengrens blijft weliswaar lager dan bij Stop-Loss, maar de eindwaarden blijken een stuk lager te kunnen dalen, althans wanneer dagelijks wordt aangepast. Dat de resultaten minder goed zijn hoeft ons niet te verbazen. D e delta bij de Synthetic-Put strategie wordt immers berekend alsof er geen transactiekosten waren. Licht overschatten van de volatiliteit kan een gedeeltelijke oplossing brengen. Leland (1985) toont aan dat het Black-Merton-Scholes model geldig blijft als een gewijzigde variantie wordt gebruikt. De variantie wordt dan
met o de marktvolatiliteit, t het revisieinterval en k de volledige transactickost als fractie van het transactievolume. D. De invloed van een vevlenging van het vevisieinter-val Een mogelijkheid om de invloed van transactieltosten te beperken, is in plaats van dagelijks de portefeuille aan te passen, dit minder vaak te doen. Het nadeel hiervan is, dat een stult verder wordt afgestapt van het continujiteitsprincipe; het gevaar dat de koers ondertussen een duik neemt en de portefeuille onverzekerd onder de benedengrens verdwijnt, wordt daardoor groter.
I . H e t effect o p de gerniddelde kost en op d e transactiekosteil Figuur 4 beschrijft de gemiddelde kost voor een revisieintel-val van 1 dag. Figuren 8 en 9 tonen de respectievelijlte gemiddelde kost voor wekelijltse en maandelijkse aanpassingen van de portefeuille. Zoals te venvachten is, verinindcrt de geiniddelcle ltostprijs gevoelig bij Constant-Proportion en Synthetic-Put PI, omdat de aanpassingen minder frequent voorkomen. FIGUUR S Modale Aondeel. ~e1gel1~1~1rzgger~zzddelde kost inet tiar?cactiekosten, 250 dngen, ilngelrjkce nrrnpasszng
8000
8500
9000
9500
10000
benedengrens --
-
Estop
-
loss
A-const prop mult~ple3
-
-
P -
+
sy nthet~cput
o const prcp multiple 2 '
x
const prop muli~ple4
E+
consl prop rnultlpie 51
FIGUUR 9 Aifodale Anrzileel, ve1gel1lklnggei711ddeldehost niet transnctlekosten, 250 ilrrgerr, nlnandelyl~veaarlpasallrg
L :,I
__/a-- --
---
.
p
8000
.
-
8500
.
_~
9000
. . ...--
9500
-
-
,
10000
benedengrens Q
stop loss
-+const prop mult~ple3
+synthetic X
put
const prop multiple 4
s
const prop multiple 2
e consl prop multiple 5
Bij Stop-Loss PI is de richting van het effect moeilijk vast te stellen. Bij de hoge benedengrenzen constateert men een licht positief effect (nauwelijks waarneembaar op de grafieken). Dit heeft niet zozeer le maken met de directe verlaging van de transactiekosten, maar eerder met de verhoogde eindwaarde die bij minder frequente aanpassing ook stijgt als geen transactiekosten worden beschouwd. De verklaring ligt voor de hand. Sonls wordt bij het begin van de periode voorbarig verkocht. Als de benedengrens hoog ligt, heeft de koers van het aandeel tijdens de eerste dagen een grotere kans om even onder de verdisconteerde benedengrens terecht te komen. Een groter aanpassingsinteival laat soms toe dat de koers terug boven de benedengrens uitkomt, zodat de belegging in de aandelen behouden blijft en de kansen op groei van het aandeel benut kunnen worden. Bij lagere benedengrenzen treedt het probleem van eel1 groeiend aandeel dat in de eerste dagen toch even onder de verdisconteerde benedengrens daalt niet echt op. Het negatieve effect van een verlenging van het revisieinterval krijgt dan de overhand. D e vernlindering van de gemiddelde kost bij langere aanpassingsintervallen is het meest spectaculair bij Synthetic-Put PI. Een wekelijkse aanpassing reduceert de transactiekosteil met iets minder dan de helft in vergelijliing met dagelijkse aanpassingen. Maandelijkse aanpassing reduceert de transactieliosten tot ongevcer een h a r t van de bij dagelijkse aanpassing voorkomende transactiekosten. Dit fenomeen kan voor alle bestudeerde benedengrenzen waargenolnen worden. De gelniddelde eindwaarde zonder transactiekosten blijft ongeveer op het zelfde niveau bij veranderingvan het revisieinterval. Een 'crowding out'-effect, doet zich dus niet voor. D e vel-laging van de transactiekosten doet zich ook voor bij Constant-Proportion PI. Alleen is het effcct iets ltleiner bij de hoogste benedengrens. Bij wekelijlise aanpassing ltomt dit bij gebruik van multiple 5 neer op een vermindering van ongeveer 40% voor alle benedengrenzen. De reductie is wai grorer als ire multiple lager is. Zo is d e reductie ongevecr 44% bij gebruik van multiple 3. Doordat de transactieliosten over het algemeen hoger zijn als de multiple groter is, is het effect in absolute termen dan ook groter bij gebruik van een hogere multiple. Het verloop van de transactiekosten be~nvloedteveneens de verbetering van de gelniddelde kost. Waar het maximum van de transactiekosten zich voordoet zal de vcrbetering in absolute termen dan ook het grootst zijn.
2. H e t effect op de soliditeit van de benedengrens Het verlengen van het revisieinterval komt voor Stop-Loss neer op een verbetering van het aantal eindwaarden onder de benedengrens. De reden hiervoor is weer dat in een aantal gevalleil de koers van het aandeel eventjes onder de benedengrens wegzakt om dan terug te groeien. Bij langere aanpassingsintervallen wordt dit probleem weggewerkt, zodat minder eindwaarden onder de benedengrens blijven. Het gelniddelde van de eindwaarden onder de benedengrens toont echter aan dat dit effect door een ander, negatief elfect wordi weggrwerkt. Het gemiddelde van de eindwaarden onder de benedengrens ligt een stuk lager als het revisieinterval wordt vergroot. De portefeuille is dan heel wat slechter verzekerd. Voor benedengrens 10000, is de laagste eindwaarde bij dagelijkse aanpassing nog 9140. Als maandelijks aangepast wordt de laagste eindwaarde 7817. Het verlengen van het revisieinterval zou een slechte zaak zijn voor Stop-Loss. De portefeuille minder snel aanpassen heeft bij Synthetic-Put PI een gunstige invloed op zowel het aantal eindwaarden beneden de benedengrens, als op het gemiddelde van die waarden en het absolute minimum. Door dagelijks aan te passen komen minima te voorschijn die tot 15% onder de benedengrens liggen. Als wekelijks wordt aangepast verbeteren deze minima spectaculair voor de lagere benedengrenzen. Zo wordt het minimum bij laagste benedengrens, van 6563 bij dagelijkse aanpassing, tot 7157 bij wekelijkse aanpassing verhoogd. Het gemiddelde van de eindwaarden onder de benedengrens stijgt eveneens. Dagelijkse aanpassing leverde gemiddeld 252 (op 1000) eindwaarden onder de benedengrens met een gemiddelde van 7477, tenvijl dit bij wekelijkse aanpassing maar 197 gevallen zijn met een gemiddelde van 7708. Een verdere verlenging van het tijdsinterval levert een verdere reductie van het aantal eindwaarden onder de benedengrens op en een verdere verhoging van het gemiddelde van eindwaarden onder de benedengrens. We1 is het zo dat de grootte van het effect vermindert naarmate men het revisieinterval steeds verdei- vergroot. We kunnen hier spreken van afnemende marginale opbrengsten bij de verruilning van het revisieinterval. De keerzijde van het steeds vergroten van het revisieintelval is dat de absolute minima vanaf een bepaald punt terug beginnen te dalen. De Constant-Proportion-technieken reageren op een nog andere manier op een vergroting van het revisieinterval. Wekelijkse aanpas-
sing brengt bijna geen verandering teweeg in het beeld van de lage koersen. Voor alle multiples blijven de eindwaarden boven de benedengrens. Er is we1 een kleine daling te zien in de absolute minima, maar die is venvaarloosbaar. Bij maandelijkse aanpassing blijven de goed stand houden. Alleen meeste Constant-Proportion-technieken als multiple 5 wordt gebruikt, lijkt de veilige positie barsten te vertonen. Dit kan verklaard worden als volgt: Een techniek met kleinere multiple belegt relatief weinig in aandelen en zal dus ook nooit snel onder de benedengrens terechtkomen bij een daling van de koers. Bij gebruik van multiple t-vvee, een benedengrens van 9000 en een initiele koers van 10000 is a1 meer dan een halvering van de koers nodig om onder de benedengrens te terecht te komen. Bij multiple 4 is een daling van 25 percent voldoende. Bij Constant-Proportion veroorzaakt een verlenging van het revisieinterval dus een nadelige invloed op de lage eindwaarden.
E. Vergelijking van de standaarddeviatie Een vergelijlting tussen de standaarddeviaties van de slotwaardes is mogelijlc aan de hand van Tabel2. Zoals verwacht, daalt de standaarddeviatie voor alle technieken als de benedengrens stijgt. Maar de eindwaarden bewegen meer naar het gemiddelde toe bij een opwaartse beweging van de benedengrens. De standaarddeviatie is steeds het grootst bij Stop-Loss. De reden hiesvoor is duidelijk: bij Stop-Loss komen beide extremen voor doordat de keuze altijd gemaakt wordt tussen het behouden van de aandelen en het verkopen van het volledige volume. TABEL 2 Moclnle aandeel, sfnndan~ddevzntre,zondel e n Inet tml.lsact~ekostelz,250 dngen, dngelijlcse nanpnsszllg, 1000 janr srl?lu~atles ronder transactiekoslcn dagel~jkseaanpassing
De standaarddeviaties bij Synthetic-Put PI met transactiekosten zijn hoger dan deze zonder transactiekosten. Dit heeft vooral te lnaken met de daling van de waarden die clicht bij de benedengrens, en dus onder het gemiddelde van de eindwaarden gelegeil zip. De daling van de lage waarden is sterker dan de daling van het gemiddelde. Bij een stijgend koersverloop wordt steeds minder verhandeld, zeker als de koers boven het gemiddelde komt te liggen e11 dus ver boven dc benedengi-ens blijft. De daling van deze hoge waarden is ltleiner dan de daling van het gemiddelde. Als een reeks waarden verder van het gemiddelde afliggen, gaat de standaarddeviatie stijgen. E e s tlitzondering doet zich voor bij benedengrens 10000, waar de standaarddeviatie Inet transactiekosten iets kleiner is dan zonder. Bij Constant-Proportion PI is een stijging van de standaarddeviatie duidelijk merkbaar als de multiple verhoogt. Dit is logisch: een Constant-Proportion techniek met een kleine multiple sluit meer aan bij een risicovrije belegging dan een techniek met een grote multiple. De lagere standaarddeviatie bij hoge benedengrenzen als er transactiekosten zijn in vergelijlting met de standaarddeviatie bij dezelfde benedengrens zonder transactiekosten is op dezelfde manier te verklaren. Doordat de benedengrens hoger is, is er per definitie weinig ruimte voor een grote portie aandelen. Dus de Constant-Proportion technick gaat zich meer als risicovrijc belegging gedragen. Als dan nog een deel van de totale waarde aan transactiekosten verloren gaat, zal Constant-Proportion PI nog meer uitgesproken op een risicovrije belegging gaan gelijken, getuige de lagere standaarddeviatie.
Portefeuille-tecln~~iclcen hebben onder mcer eel1 positleve scheeflneid als eigenschap. Hoe groter de scheefleid, hoe meer de waarden onder het gemiddelcle dicht tegen het gemiddelde aanleunen, en hoe verder de hoge waarden boven het gclniddelde uitstijgen. Vertaald naar portefeuille-verzekering beteltent eel1 hogere scheefieid ccn goed functioneren van de beiledengrens mkt behoud van de mogelijltheid tot verhoging van de waarde van de portefeuille ingevolge een stijging van het aandcel. Ecn grote scheefheid is dan ook een goede eigenschap van een portefeuille-vcrzeltering strategic. De scheefheid evolueei-tvoor Stop-Loss en Synthetic-Put PI op een gelijkaardige manier (Tabel 3). De algernene trend is dat dc scheefheid stijgt als de benedengrens stijgt. De voornaamste oorzaak voor
de stijging van de scheefheid is de daling van de standaai-ddeviatiemet de stijgende bencdengrens. Bijkomeild liggen door een verhoging van de benedengrens de lagere eindwaarden dichter bij het gemiddelde. Bijgevolg stijgt de scheefheid nog extra. Opvallend is dat de scheefheid van Synthetic-Put PI niet spectaculair hoger is dan de scheefheid van Stop-Loss. Als de transactiekosten in rekening w o r d e ~ge~ bracht, vcrclwijnt het verschil zelfs volledig. De scheefheid bij Constant-Proportion PI is over het algemeen hoger dan bij Stop-Loss en Synthetic-Put. Dit wijst op een hoog aa~ltal waa1c3ea o l d e r het geiiliddelde maar dic naar bcncdcn toe (bij de benedengrens) voldoende begrensd zijn. De ei~~dwaarden boven het gemiddelde moeten bij een hoge scheefheid dan ook relatief hoog zijn. Enkel bij gebruikvan multiple 2 Inet een hoge benedengrens is dit niet zo. Deze techniek Ieu~ltdan ook het rneest aan bij een risicovrije belegging en belegt niet genoeg in aandelen om voldoende van een positief koersverloop te profiteren. De scheefheid stijgt aTs er transactiekosten worden ingevoerd. Dit heeft vooral te maken met het gemiddelde dat dichter bij de benedengrens komt te liggen en de hoogste eindwaarden die relatief weinig dalen. De verlaagde standaarddeviatie (zie supra) bevestigt de concentratie rond het gemiddelde.
TABEL 3 mod ale nai7clee1, scheeflzeid m e t ell zoizder transactielcosten, 250 dagen, dngel(jkse aa~?pnssing,I000 janr gesimuleerde data zonder tmsactiekosten dagelijkse aanpassing benedenwns SL SP CP2 8000 1.24 1.40 2.16 8500 1.62 1.82 3.06 1 57 1.87 9000 1.47 1 87 2.00 1.85 9500 10000 2.54 2.14 1.63 Inet Wansactieliostcndagelijkse mnpassing bet~edetl~~cils SL SP cP2 8000 1.24 1.27 8500 1.62 1.69 3.38 1.51 1.87 9000 1.49 1.82 9500 1.97 2.00 10000 2.69 2.51 1.62
CP3 1.97 2.71 2.36 2.70 2.67
CP4 1.70 2.26 2.10 2.63 3.30
CP5 1.53 2.04 189 2.43 321
CP3 2.31 3.56 3.08 3.28 2.74
cP4 2.45 2.86 3.10 3.89 1.76
CP5 1.96 2.36 2.74 3.87 6.41
1.65
G. Si~zulatiesmet lnge en lzoge return en volatiliteit Een verandering van de gemiddelde jaarlijkse return en van de volatiliteit van het onderliggende aaildeel brengt een wijziging in de prestaties mee van de verschillende strategieen. Daarom werd de simulatie herhaald voor 4 aandelen met verschilleilde kenmerken. 2 aandelen werden gekozen on1 hun lage gemiddelde return en 2 aandelen om hun hoge return. Elke 'return-klasse' bestaat uit een aandeel met lage en een met hoge volatiliteit. Het volgende onderdeel bevat een korte samenvatting van de meest in het oog springende verschillen met het voorgaande.
1. I n v l o e d o p d e g e m i d d e l d e k o s t Wat betreft gemiddelde kost merken we bij aandelen met een lage return een daling van de gemiddelde kost bij een stijging van de benedengrens. Door de lage return van het onderliggende aandeel zal een verzekeringsstrategie het over het algemeen goed doen als het nauw bij een risicovrije belegging aansluit. Het mag dan ook niet verwonderen dat precies Constant-Proportion met lage multiples het goed doen. Stop-Loss daarentegen is de strategie met de grootste gemiddelde kost v601 transactiekosten. Na het invoeren van transactiekosten zijn Synthetic-Put en Constant-Proportion PI met hoge multiples de strategieen die het minst goed scoren. Het tegenovergestelde geldt voor aandelen met een hoge return. Hier brengt een verhoging van de benedengrens een stijging van de gemiddelde kost teweeg. StopLoss doet het hies uitstekend. Synthetic-Put wordt de op een na beste strategie, en dit blijft ook zo na het invoeren van transactiekosten, behalve voor de hoogste benedengrens. De transactiekosten bereiken voor Synthetic-Put PI een top bij de hoogste benedengrens. Wiet geheel ollvenvachts presteren de Constant-Proportion strategieen met lage multiples ondermaats. Deze profiteren niet voldoende van het opwaarts potentieel van het aandeel. Stop-Loss presteert bij lage returns het slechtst zonder transactiekosten, maar verbetert zijn relatieve positie na de invoering van transactiekosteil sterk wanneer de volatiliteit wordt verhoogd. Dit is voora1 te wijten aan het optreden van een stijging in de transactiekosten bij de Constant-Proportion-strategieen, ten gevolge van een verhoging van de volatiliteit. Constant-Proportion-strategieeil houden in principe geen rekening met een hoge of een lage volatiliteit. Een gro-
tere volatiliteit ligt aan de basis van grotere koersschornmelingen, die dan weer de oorzaak zijn van hogere transactiekosten. Synthetic-Put PI daarentegen, houdt we1 degelijk rekening met de volatiliteit, en zal bij een verhoging van deze laatste, minder aandelen in de portefeuille opnemen. Als gevolg hiervan bekomt men een andere evolutie van de transactiekosten. Bij een lage volatiliteit komt een stijging van de benedengrens overeen met een sterlte stijging van de transactiekosten. Bij een hoge volatiliteit stijgen de transactiekosten lichtjes van benedengrenzen 8000 tot 9500, om bij de hoogste benedengrens terug wat te dalen. Een gelijltaardig fenomeen doet zich voor bij aandelen Inet een hoge return. 2. Invloed op de garantie van de benedengrens
De jaarlijkse gemiddelde return heeft een impact op het aantal waarden dat onder de benedengrens terechtkomt, inaar het is toch vooral de volatiliteit die de verschillende strategieen onder druk zet. Bij aandelen met een lage historische return en hoge volatiliteit blijkt enkel de Constant-Proportion strategie met multiple 2 in staat de benedengrens te garanderen. Alle andere strategieen hebben een aantal eindwaarden die fors onder de benedengrens dalen. Een hoge volatiliteit hanteren bij de simulatie kan in feite gezien worden als gelijkaardig aan het invoering van crashes gedurende de simulatie. Het is dus helemaal niet verwonderlijk dat de laagste waarden vooral bij de StopLoss strategie te vinden zijn. Een ineenstorting van de koers resulteert hier in eel1 reductie van de waarde van de portefeuille met de volledige koersdaling. Bij Synthetic-Put en Constant-Proportion Portfolio Insurance vermindert de waarde van de portefeuille proportioneel Inet de koersdaling door de aanwezigheid van risicovi-ijebeleggingen. Toch presteren deze strategieen niet opmerkelijk beter, voora1 wanneer transactiekosten in aanmerking worden genoinen.
Irk het voorgaande werden drie portefeuille-verzekering technieken Stop-Loss, Synthetic-Put en Constant-Proportion PI - met elkaar vergeleken. Daartoe worden simulaties uitgevocrd op een loting uit empirische verdelingen van aandelenreturns. Aandelen worden geselecteerd op basis van de historische gemiddelde jaarlijkse return en -
de historische volatiliteit. Op die lnanier wordt het mogelijk een sensitiviteitsanalyse op de diverse strategieen uit te voeren. Een ve~gelijkiilgvan de prestaties van de drie strategiecn toont aan dat Stop-Loss, de eeilvoudigste strategie, wat de gemiddelde eindwaarden betreft beter presteert bij aalldele~imet hoge returns. Met invoeren van transactiekosten verstevigt deze positie. Synthetic-But PI is dan de tweecle beste estrategie wanneer transactiekosten in aanmerking worden genomen. Ook voor aandelen met eel1 modale return blijit Slop-Loss na het invoeren van transactieliosten de bcste strategie. Opvallend is dat dit zo blijft zelfs v66r transactiekosten en bii lagere benedengrenzen. B e invloed van transactieliosten heeft de meest negatieve invloed op de Synthetic-Put strategie, en da5 vsoral bij de hougste benedengrens. Bij aandelen met eel1 lage return, presteren Synthetic-Put en StopLoss minder goed. Constant-Proportion-strategieen met kleine multiples behalen de hoogste genniddelde eindwaarden. Deze gelijken dan ook het ~neestop risicovrije beleggingen. Treffend is de uitsteliende prestatie van Constant-Proportion PI (ook die met hoge multiples), wat het garanderen van de benedengrens betreft. Zowel voor aandelen met lage als met hoge volatiliteit biedt Constant-Proportion PI de beste garanties. Na invoering van transactiekosten en bij dagelijkse aanpassing dalen de eindwaarden het laagst bij de Synthetic-Put strategie. Het verlengen van het revisieinte~valverhoogt over het alge~neen de gelniddelde eindwaarden, maar heeft het nadeel dat steeds verder mset wordeli afgestapt van het co~ltinu~teitsprincipe, zodat het gara~iderenvan de benedengl-ens steeds moeilijker wordt. APPWIX I ~ n p a cvan t trtrizsnctiekosten: corrcclie van de ~'erhoudirlgaandelenvs. risicovrije beleggingen. Mic heginncn met Consiant-P~oportioilPI. D e notatie is als volgt:
m is de ~nultiplevan eel1 Constant-Proportion Strategic en a zijn dc transactickosten; X, cn y, geeft de waardc aan van de riskantc resp. risicovrije bcleggingcn op het einde van de periode t; X, (met X, = x,.,R,-,) cn Y, (met Y,., = y,,e' "') dc waarde van respcctievelijk de aandelen en het risicovrije gedeelie. D e opdracht hestaat er nu in om Ax cn Ay te vinden zodat voldaan woldt aan de volgende condities:
+
Daarenbo\.cn is overduidelijk dat Ax Ay = Q. De formule voor de ConstantProportion strategic Ican als volgt gesclireve~lworden.
F definigren we hier als de verdisconteerde hencdengrens o ~ lde l afleidirlg niet te ovcrladcn. DC hvce uitdrui
zodat
Beinerk dat de noerner in beide gevallcn positief is, als zowel de transaciiekosten en d e multiple binnen aanvaardbare grenzen liggen. Dit impliceert dat kan vastgesteld worden uit de waarde van de teller, die in beide gevallen dezelfde is, of we tc rnaken hcbben met een positieve of een negatievc Ax.Een uitzondering doet zich voor als de 'no short sales' restrictie geraakt wordt. Een gelijltaardigc aanpassing kan voor Synthetic-Put worden bedachi. D e verhouding tussen risicodragende cn risicovrije beleggiugen wordt gcbascerd op dc waarde van het ondel-liggend aandeel en ligt dus vast op elk tijdstip onafllankelijlt van hct a1 dan ilict aanwezig zijn van transacticltosten. Ais de ratio van aandelen op de voiledige waarde van de portefeuille nu W is, dan Itunnen we dc invloed van de transactie li-osten als voigt heschrijvcn:
Ecn itlcine afleiding brengt 011s terug tot de waardc voor h:
Als bij de laatste vergelijking teller en noemer inet -1 worden vermenigvuldigd, blijken de nocrners van beide vergelijkingen, bij aanvaardbare transactiekosten steeds negatief te zijn. D e tellers zijn in beide vergelijkingen dezelfde, dus kan het teken van Ax aafeleid worden uit de uitdrukking in de teller. X, en y, worden op dezelfde manier aangepast als bij de Constant-Proportion strategie. NO TEN l . Let we1 dat dc strategie slechts voor infinilesirnaal kleille prijsvcranderiiigeli wcrkt - dit wil zeggeli voor oncilldig korte periodes. 2. D e waarcle van dc portefcuille kan dus op hepaaldc momenten onder de vooropgcstelde (nict-verdisconteerdc) eindwaarde claleri zonder dat vcrltopen nodig zijn. Maar zodra de n.aarde onder de verdiscontccrde bencdellgrens daalt. rnoet alles risicovrij wordcn belegd om de vooropgestelde bcnedengrens alsriog te behalen.
Benninga, S., 1990, Portfolio Insura~lce,Finanzmal-lct ulld Portfolio Management 1,20-30. Beilninga S. and Blunle. M,, 1985.011 the Optimality of Portfolio Insurance, J o ~ ~ r nof a lFinance 40, 1341-1352. Bird, R., Dennis, D . and Tippett, M.. 1987, A Stop-Loss Approach to Portfolio Insurance, The Journal OSPortfolio Management 13,48-51. Black F. and Joiies R.. 1987, Simplifying Portfolio Insurance, The Journal of Portfolio Management 14,48-51. Black. F. and M. Scholes. 1973, The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Jomnal of Political Econo~np81; 637-654. Brennan. M.J. and Solanski, R., 1981, Optimal Portfolio Insurance, Journal of Financial and Quantitative hialysis 16, 279-300. Hull; J.. 1989, Options, Futures, Swaps and Otl-icr Derivative Securities (Prentice-Hall, London) Leland, Haylie E., 1980, Who Should Buy Portfolio Insurance?, Journal ol'Finalice 35,581594. Leland, 1Iayne. E., 1985, Option Pricing and Replication with Trailsaction Costs. Jourllal of Fillancc 40; 1283-1301. Mcrton, Robert, C., 1973, Theory of Rational Option Pricing, Bell Journal of Economics and M a n a g e m e ~ Science ~t 4. 141-183. 0 0 ~ r i e nT, J . , 1988, Tlic Mechanics of Portfolio Insurallce. Thc Journal of Portfolio Management 1 5 , 4 0 4 7 , Rubinstein, M,. 1985, Altei-native Paths to Porlfolio Insurance, Financial Analysts Joi~rnal 41; 42-52. Rubinstein, M. and Lcland. H.E.. 1981, Replicating Options with Positions in Stock and Cash. Financial Allalysts Journal 37, 99-1 15. Stulz, R.M., W Wasserfallell and T.Stuclci, 1990; Portlolio Iilsurailcc, Finanzmarltt und Portfolio Managemcnt.2, 100-115. Zhu. Y and Kavcc. R.C., 1988, Performance of Portfolio Insura~lccStratcgies. Journal of Portfolio Manage~ncnt15. 48-54.
