Obsah Polynomy ...................................................................................................................................... 5 1. Proč kořenový činitel dělí polynom beze zbytku. ....................................................................... 5 2. Proč celočíselný kořen polynomu s celočíselnými koeficienty dělí a0. ......................................... 5 3. Dokažte, že ke každému kořenu polynomu s reálnými koeficienty existuje kořen komplexně sdružený. .................................................................................................................................. 5 4. Proč ke každým dvěma polynomům p, q (q nenulový) je určen částečný podíl a zbytek jednoznačně?............................................................................................................................. 5 5. Nechť má polynom an = 1 a má jen reálné nebo po dvou komplexně sdružené kořeny. Proč pak má všechny koeficienty reálné? ................................................................................................... 5 6. Proč polynom lichého stupně s reálnými koeficienty musí mít alespoň jeden reálný kořen? ......... 6 7. Proč nemůže mít polynom stupně n více než n vzájmeně různých kořenů?................................. 6 8. Proč je polynom stupně n určen jednoznačně svými hodnotami v n + 1 různých bodech? ........... 6 Lineární prostor ............................................................................................................................. 6 9. Odvoďte z axiomů linearity (v definici lineárního prostoru) vlastnosti: a) x + σ = x, b) α*σ = σ pro x libovolný prvek lineárního prostoru, σ nulový prvek a α ∈ R. ................................................ 6 10. Ověřte podrobně, že Rn s obvyklým +, · tvoří lineární prostor. ................................................ 6 11. Ukažte, že množina nekonečných posloupností s + a · definovaným „po složkáchÿ tvoří LP. ...... 6 12. Proč je množina všech posloupností s limitou=0 lineárním podprostorem LP všech posloupností? ................................................................................................................................................. 6 13. Proč množina M = {(a, b, c, d), |a| = |b|, |c| = |d|} není podprostorem R4?........................... 7 14. Zdůvodněte, proč průnik lineárních podprostorů je lineární podprostor a sjednocení lineárních pod prostorů nemusí být lineární podprostor. ............................................................................... 7 Lineární závislost, obal, báze .......................................................................................................... 7 15. Zdůvodněte podrobně z axiomů linearity, proč triviální lineární kombinace je rovna nulovému vektoru...................................................................................................................................... 7 16. Proč přítomnost nulového vektoru ve skupině vektorů zaručuje lineární závislost této skupiny? . 7 17. Podrobně zdůvodněte, proč v lineárním prostoru reálných funkcí jsou funkce f, g, h dané vzorci f(x) = sin x, g(x) = x2 a h(x) = 1 jsou lineárně nezávislé. ............................................................. 7 18. Dokažte větu: vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když existuje jeden, který je lineární kombinací ostatních. .................................................................................................................. 8 19. Předpokládejte konečnou neprázdnou lineárně závislou množinu vektorů M. Zdůvodněte, proč přidáním vektoru k množině M vznikne lineárně závislá množina. .................................................. 8 20. Předpokládejte konečnou aspoň dvouprvkovou lineárně nezávislou množinu vektorů M. Zdůvodněte, proč odebráním vektoru z množiny M vznikne lineárně nezávislá množina. ................. 8 21. Vysvětlete z definice lineární závislosti, proč lineární závislost není ovlivněna pořadím vektorů. . 8 22. Vysvětlete z definice lineární závislosti, proč skupina vektorů, v níž se nějaký vektor opakuje, je lineárně závislá. ......................................................................................................................... 8
23. Definujte lineární obal i pro nekonečné množiny. Zdůvodněte, proč z ∈ M právě tehdy, když existuje konečně mnoho vektorů z M tak, že z je jejich lineární kombinací. .................................... 9 24. Dokažte 𝑴 = 𝑴. ................................................................................................................... 9 25. Proč je množina vektorů M lineárním podprostorem právě tehdy, když je 𝑴 = 𝑴? .................... 9 26. Proč je lineární obal jakékoli množiny podprostor? .................................................................. 9 27. Zdůvodněte, proč je lineární obal množiny M nejmenším podprostorem, který obsahuje M........ 9 28. Předpokládejte N lineárně nezávislou množinu a 𝒛 ∉ 𝑴. Dokažte, že přidáním vektoru z k N zůstává tato množina lineárně nezávislá. ..................................................................................... 9 29. Popište postup, jakým lze (v lineárním prostoru s konečnou dimenzí) doplnit libovolnou lineárně nezávislou množinu N na bázi. .................................................................................................... 9 30. Zdůvodněte, proč lze z lineárně závislé množiny M odebrat vektor tak, že lineární obal zmenšené množiny je stejný jako lineární obal původní množiny M. .............................................. 9 31. Zformulujte (bez důkazu) Steintzovu větu o výměně a vysvětlete její využití v důkaze tvrzení, že každé dvě báze stejného lineárního prostoru mají stejný počet prvků. ......................................... 10 32. Proč lineárně nezávislá množina vektorů nesmí mít více prvků, než dimenze lineárního prostoru těchto vektorů? ........................................................................................................................ 10 33. V lineárním prostoru L uvažujte množinu M, která má více prvků, než dimL. Proč musí být M lineárně závislá? ....................................................................................................................... 10 34. Dokažte, že pokud má množina M stejně prvků, jako je dimL, pak je lineárně nezávislá právě tehdy, když 𝑴 = 𝑳. .................................................................................................................. 10 35. Zdůvodněte, proč množina {𝟏, 𝒙, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑, . . . } tvoří bázi lineárního prostoru všech polynomů. ..... 10 36. Podrobně zdůvodněte, proč množina polynomů {x2+1, x, x−1} tvoří bázi lineárního prostoru všech polynomů nejvýše druhého stupně. ................................................................................. 10 Matice ........................................................................................................................................ 11 37. Proč matice typu (m, n) tvoří lineární prostor? Jakou má tento prostor dimenzi? .................... 11 38. Proč GEM nemění lineární obal řádků? ................................................................................. 11 39. Jak GEM slouží k výpočtu hodnosti matice? Popište metodu a zdůvodněte, proč tato metoda skutečně počítá hodnost matice. ............................................................................................... 11 40. Popište metodu ověření lineární závislosti vektorů z Rn eliminací matice, ve které jsou tyto vektory zapsány po řádcích. Jak tato metoda souvisí s definicí lineární závislosti? ......................... 12 41. Definujte maticové násobení. Proč čtvercová matice A komutuje s A2? .................................. 12 42. Dokažte asociativitu maticového násobení. ........................................................................... 12 43. Dokažte asociativitu maticového násobení a maticového násobku. ......................................... 12 44. Zdůvodněte, proč maticové násobení nemusí být komutativní ani pro čtvercové matice. ......... 12 45. Proč má horní trojúhelníková matice linárně nezávislé řádky? ................................................ 12 46. Zdůvodněte, proč matice komutující s pevně danou maticí tvoří lineární podprostor. .............. 12 47. Proč je součin regulárních matic regulární? .......................................................................... 12 48. Čím je zaručena jednoznačnost inverzní matice?................................................................... 13 49. Popište metodu výpočtu inverzní matice eliminací a zdůvodněte, proč tato metoda skutečně dává inverzní matici. ................................................................................................................ 13
50. Vynásobíme-li matici A regulární maticí, pak se matice A může změnit, ale nezmění se její hodnost. .................................................................................................................................. 13 51. Co víme o hodnosti součinu matic, když známe hodnosti jednotlivých činitelů? Zdůvodněte. ... 13 Determinant ................................................................................................................................ 14 52. Definice determinantu. ....................................................................................................... 14 53. Zdůvodněte z definice základní vlastnosti determinantu. ....................................................... 14 54. Proč přičtení násobku řádku k jinému nezmění hodnotu determiantu? ................................... 14 55. Formulujte (bez důkazu) větu o rozvoji determinatu podle řádku/sloupce. ............................. 14 56. Z věty o determinantu součinu odvoďte vzorec pro determinant inverzní matice. ................... 14 57. Zformulujte a dokažte větu na výpočet inverzní matice pomocí doplňků. ................................ 14 Soustavy lineárních rovnic ............................................................................................................ 15 58. Frobeniova věta, přesná formulace, význam, důkaz. ............................................................. 15 59. Definice pojmu řešení soustavy lineárních rovnic. ................................................................. 15 60. Proč množina řešení homogenní soustavy lineárních rovnic tvoří lineární podprostor? ............. 15 61. Nechť v je jedno řešení soustavy lineárních rovnic. Proč všechna ostatní řešení této soustavy jsou ve tvaru součtu v + u, kde u je nějaké řešení homogenní soustavy přidružené k dané soustavě? ................................................................................................................................ 15 62. Zformulujte a dokažte Cramerovu větu. ............................................................................... 15 63. Nechť M = v+hu1, . . . ,uki,M′ = v′+hu′ 1, . . . ,u′ ki. Navrhněte a zdůvodněte postup, podle kterého poznáte, že M = M′. ..................................................................................................... 15 64. Jakou dimenzi má prostor řešení homogenní soustavy lineárních rovnic a proč? ..................... 16 Konečná dimenze ........................................................................................................................ 16 65. Definujte pojem souřadnice vzhledem k uspořádané bázi. Zdůvodněte existenci a jednoznačnost souřadnic. ............................................................................................................................... 16 66. Proč jsou souřadnice polynomu vzhledem ke standardní bázi lin. prostoru polynomů nejvýše ntého stupně rovny koeficientům tohoto polynomu?..................................................................... 16 67. Proč jsou souřadnice vektoru z Rn vzhledem ke standardní bázi rovny složkám tohoto vektoru? ............................................................................................................................................... 16 68. Proč je zobrazení, které vektorům přiřadí uspořádanou n-tici jejich souřadnic vzhledem k pevně zvolené bázi, lineární? .............................................................................................................. 16 A : L ! Rn definované takto69. Definujte spojení dvou podprostorů. Čemu je rovnen součet dimenzí spojení a průniku dvou podprostorů? ......................................................................................... 17 Lineární zobrazení ....................................................................................................................... 17 70. Charakterizujte lineární zobrazení, vysvětlete princip superpozice. ......................................... 17 71. Definujte jádro, defekt a hodnost lineárního zobrazení. Proč jádro lineárního zobrazení tvoří lineární podprostor? ................................................................................................................. 17 72. Jak dodefinujeme lineární zobrazení na celém prostoru, když jsou známy jeho hodnoty na bázi? Proč je toto rozšíření jednoznačné? ........................................................................................... 17 73. Nechť a : L1 → L2 je lineární zobrazení. Jak souvisí defekt a, hodnost a s dimL1 a dimL2? ...... 18
74. Isomorfismus lineárních prostorů. Proč jsou dva lineární prostory shodné konečné dimense vzájemně isomorfní? ................................................................................................................ 18 75. Definice, existence a jednoznanost matice lineárního zobrazení. ............................................ 18 76. Vysvětlete, proč platí Ax = y, kde A je matice lineárního zobrazení a : L1 → L2, x jsou souřadnice vektoru u ∈ L1 a y jsou souřadnice vektoru a(u). ...................................................... 18 77. Zdůvodněte, proč hodnost lineárního zobrazení je rovna hodnosti matice tohoto zobrazení. .... 18 Vlastní čísla, vlastní vektory .......................................................................................................... 18 78. Definujte vlastní číslo matice/zobrazení a vlastní vektor matice/zobrazení. ............................. 18 79. Proč mají podobné matice stejná vlastní čísla? ..................................................................... 18 80. Definujte charakteristický polynom matice a zdůvodněte, proč jeho kořeny jsou vlastními čísly matice. .................................................................................................................................... 19 81. Vysvětlete, proč matice, která má pouze jednonásobná vlastní čísla, je podobná s diagonální maticí. ..................................................................................................................................... 19 82. Proč je matice singulární právě tehdy, když má nulu jako vlastní číslo? .................................. 19 Lineární prostory se skalárním součinem ....................................................................................... 19 83. Vyjmenujte axiomy skalárního součinu a vysvětlete, proč standardní skalární součin na Rn tyto axiomy splňuje. ........................................................................................................................ 19 84. Jak je možné na základě skalárního součinu definovat velikost vektoru (normu vektoru) a úhel mezi dvěma vektory? ............................................................................................................... 19 85. Proč platí Schwartzova a trojúhelníková nerovnost? .............................................................. 19 86. Vysvětlete, jak se počítá skalární součin dvou vektorů, známe-li jejich souřadnice vzhledem k ortonormální bázi. Vzorec zdůvodněte. ...................................................................................... 19 87. Nechť (B) = (b1, . . . , bn) je ortonormální báze lineárního prostoru L. Proč je i-tá souřadnice vektoru x ∈ L vzhledem k této bázi rovna skalárnímu součinu x · bi? ........................................... 19 88. Vysvětlete podstatu a smysl Schmidtova ortogonalizačního procesu. ...................................... 19 Kódování..................................................................................................................................... 19 89. Definujte těleso Zn a uveďte jeho základní vlastnosti. ........................................................... 19 90. Vysvětlete pojmy kód, kódové slovo, Hammingova velikost, lineární kód. ............................... 19 91. Co je a k čemu slouží generující a kontrolní matice lineárního kódu? ...................................... 19 92. Navrhněte kontrolní a generující matici Hamingova (7,4) kódu a popište proces kódování, dekódování a opravy chyby. ..................................................................................................... 19
Polynomy 1. Proč kořenový činitel dělí polynom beze zbytku. Skripta str. 170 Věta 11.42 Zbytek po dělení polynomu p polynomem 𝑥 – 𝛼 má podle věty 11.31 stupeň menší než 1, tedy jedná se o konstantu (označíme ji c). Pro všechna 𝑥 𝜖 𝐶 plati: 𝑝(𝑥) = 𝑟(𝑥)(𝑥 – 𝛼) + 𝑐. Po dosazení 𝑥 = 𝛼 máme 𝑝(𝛼) = 𝑟(𝛼)(𝛼 – 𝛼) + 𝑐, tedy 𝑝(𝛼) = 𝑟(𝛼).0 + 𝑐 = 𝑐. Protože α je kořen, je 𝑝(𝛼) = 0, takže 𝑐 = 0. Skutečně tedy polynom 𝑥 – 𝛼 dělí polynom p beze zbytku. Skripta str. 167 Věta 11.31 Nechť p, q jsou polynomy, q nenulový. Pak existuje právě jeden polynom r a právě jeden polynom z tak, že 𝑝 = 𝑟𝑞 + 𝑧 , přičemž stupeň z je menší než stupeň q. 2. Proč celočíselný kořen polynomu s celočíselnými koeficienty dělí a0. Zda se mi, ze je to ve vete 11.59, ale nevim jak to pouzit. modifikaci dukazu vety 11.59 dostavam neco jako > 𝑎0 + 𝑎1 ∗ 𝑐 + 𝑎2 ∗ 𝑐 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 ∗ 𝑐 𝑛 = 0 - to plati, protoze c je koren (mimochodem celociselny) z toho >𝑐 ∗ 𝑎1 + 𝑎2 ∗ 𝑐 + ⋯ + 𝑎𝑛 ∗ 𝑐 𝑛−1 = −𝑎0 - zavorka 𝑎 je urcite cele cislo, oznacim si ji treba k takze > −𝑎0 = 𝑐 ∗ 𝑘 - takže 0 𝑐 = 𝑘 , což je CELE číslo, takže c dělí 𝑎0 bezezbytku 3. Dokažte, že ke každému kořenu polynomu s reálnými koeficienty existuje kořen komplexně sdružený. Skripta str. 176 Veta 11.66 Je-li 𝛼 kořen polynomu p s reálnými koeficienty, pak komplexně sdružené číslo 𝛼 je také kořenem polynomu p. Důkaz: Jelikož 𝛼 je kořen, platí 𝑝 𝛼 = 0. Máme dokázat, že 𝑝 𝛼 = 0. 𝑝 𝛼 = 𝑎0 + 𝑎1 𝛼 + 𝑎2 𝛼 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝛼 𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1 𝛼 + 𝑎2 𝛼 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝛼 𝑛 = = 𝑎0 + 𝑎1 𝛼 + 𝑎2 𝛼 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 + 𝛼 𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1 𝛼 + 𝑎2 𝛼 2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝛼 𝑛 = 𝑝(𝛼) = 0 = 0 4. Proč ke každým dvěma polynomům p, q (q nenulový) je určen částečný podíl a zbytek jednoznačně? Viz dukaz vety 11.31 - posledni odstavec Ke každým 2 polynomům P a Q, kde Q je nenulový, existují dva polynomy Y a Z splňující vztah: P = YQ + Z a stp Z < stp Q. Předpokládejme: Upravíme: 𝑃 = 𝑌𝑄 + 𝑍, 𝑠𝑡𝑝𝑍 < 𝑠𝑡𝑝𝑄 𝑄 𝑌 − 𝑌1 = 𝑍1 − 𝑍 𝑃 = 𝑌1 𝑄 + 𝑍1 , 𝑠𝑡𝑝𝑍1 < 𝑠𝑡𝑝𝑄 Z čehož platí: Dosadíme: 𝑠𝑡𝑝 𝑍1 − 𝑍 < 𝑠𝑡𝑝𝑄 𝑌𝑄 + 𝑍 = 𝑌1 𝑄 + 𝑍1 → 𝑌𝑄 − 𝑌1 𝑄 = 𝑍 − 𝑍1 Pro nenulový polynom (Y - Y1) by muselo platit: 𝑠𝑡𝑝 𝑌 − 𝑌1 𝑄 ≥ 𝑠𝑡𝑝𝑄 Jenže dva polynomy různého stupně se nemůžou rovnat, a proto (Y - Y1) je nulový polynom, takže: 𝑌 = 𝑌1 𝑍 = 𝑍1 A proto je částečný podíl a zbytek určen jednoznačně. 5. Nechť má polynom an = 1 a má jen reálné nebo po dvou komplexně sdružené kořeny. Proč pak má všechny koeficienty reálné? Nevite nekdo? asi 11.72 11.73
6. Proč polynom lichého stupně s reálnými koeficienty musí mít alespoň jeden reálný kořen? Protože komplexní kořeny jsou seskupeny do komplexně sdružených dvojic (např. (1 − i) a (1 + i) ), takže nereálných kořenů je sudý počet. Celkový počet kořenů je lichý (protože je polynom lichého stupně), takže reálný kořen musí být alespoň 1. (reálné kořeny budou vždy v lichém počtu) 7. Proč nemůže mít polynom stupně n více než n vzájmeně různých kořenů? Věta 11.54 Nechť p je nenulový polynom stupně n s koeficienty 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛+1 a nechť 𝛼0 , 𝛼1 , … , 𝛼𝑠 ∈ 𝐶jsou všechny jeho navzájem různé kořeny. Nechť ki je násobnost kořenu 𝛼𝑖 pro 𝛼𝑖 ∈ 1,2, … , 𝑠 . Pak platí 𝑘1 + 𝑘2 + ⋯ + 𝑘𝑠 = 𝑛 a dále pro všechna 𝑥 ∈ 𝐶 je 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛 (𝑥 − 𝛼1 )𝑘 1 (𝑥 − 𝛼2 )𝑘 2 … (𝑥 − 𝛼𝑠 )𝑘 𝑠 Polynom stupně n si napíšeme jako rozklad polynomu na kořenové činitele kde k je násobnost kořenu. Součet všech k je roven n, tudíž počet kořenů je také roven n. 8. Proč je polynom stupně n určen jednoznačně svými hodnotami v n + 1 různých bodech? Věta 11.56 - Polynom stupně n je jednoznačně určen svými hodnotami v n+1 bodech. Důkaz: Předpokládáme, že pro polynomy p a q existují vzájemně různá čísla 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛+1 taková, že 𝑝(𝛼𝑖) = 𝑞(𝛼𝑖) pro 𝑖 𝜖 {1, 2, . . . , 𝑛, 𝑛 + 1}. Protože polynomy p a q mají stupeň nejvýše n, je podle věty 11.28 (o sčítání a násobení polinomu) rozdíl p - q polynom stupně nejvýše n, který má kořeny 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛+1 . Těch kořenů je více, než je jeho stupeň. To podle věty (11.55) „Nenulový kořen n ma nejvýše n různých komplexních kořenů.“ není možné jinak, než že je polynom p - q nulový, tedy p = q. Věta 11.28 Nechť p je polynom stupně m a q je polynom stupně n. Pak p + q je polynom stupně nejvýše max(m,n), α.p je polynom stupně m pro α ≠ 0 a je to polynom stupně -1 pro α = 0. Pro nenulové polynomy p a q je p.q polynom stupně m + n. Je-li p nebo q nulový, pak p.q je polynom stupně -1. Lineární prostor 9. Odvoďte z axiomů linearity (v definici lineárního prostoru) vlastnosti: a) x + σ = x, b) α*σ = σ pro x libovolný prvek lineárního prostoru, σ nulový prvek a α ∈ R. 𝑥 + 𝜎 = 𝑥 𝑥 + 0𝑥 = 1𝑥 + 0𝑥 = (1 + 0) ∗ 𝑥 = 1𝑥 = 𝑥 𝛼∗𝜎 = 𝜎 𝛼 ∗ 𝜎 = 𝛼 ∗ (0𝑥) = (𝛼 ∗ 0) ∗ 𝑥 = 0𝑥 = 𝜎 10. Ověřte podrobně, že Rn s obvyklým +, · tvoří lineární prostor. viz příklad 1.11 𝑅1𝑛 a 𝑅2𝑛 a si napíšeme ve tvaru: (𝑎1 , … , 𝑎𝑛 ) a (𝑏1 , … , 𝑏𝑛 ) Nyní provedeme sčítání: (𝑎1 + 𝑏1 , … , 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 ) Pro násobení je to obdobné. 11. Ukažte, že množina nekonečných posloupností s + a · definovaným „po složkáchÿ tvoří LP. 12. Proč je množina všech posloupností s limitou=0 lineárním podprostorem LP všech posloupností? Podmnožina M lineárního prostoru je sama LP, pokud pro u,v z M je u+v z M a pro všechna reálná čísla* c je cu z M. Součet dvou posloupností, které mají limitu 0 má limitu 0 Násobek posloupnosti, která má limitu 0 má limitu 0 Zadaná množina splňuje obě podmínky => je LP
13. Proč množina M = {(a, b, c, d), |a| = |b|, |c| = |d|} není podprostorem R4? pro (1, −1, 0, 0) ∈ 𝑀, (1,1,0,0) ∈ 𝑀, ale (1, −1, 0, 0) + (1,1,0,0) = (2,0,0,0) neni ∈ 𝑀. Tento příklad ilustruje že M není podprostor R4 (není podprostorem protože součet dvou prvků z M už nepatří do M) 14. Zdůvodněte, proč průnik lineárních podprostorů je lineární podprostor a sjednocení lineárních pod prostorů nemusí být lineární podprostor. Strana 17 definice 1.17 Nechť L je lineární prostor s operacemi „+“ a „*“. Neprázdnou množinou M je podprostorem L nazíváme lineárním podprostorem prostoru L, pokud pro všechna 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑀 a 𝛼 ∈ 𝑅 platí: 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑀, 𝛼𝑥 ∈ 𝑀 Pokud pro prunik dvou mnozin M a N plati ze x,y lezi mnozinach M a N pak z toho vyplyva dle vety 1.17 ze i prunik M a N je linearnim prostorem. Opet vychazime z vety 1.17 Mějme dvě množiny M a N které mají různé prvky jejich sjednoceni nezarucuje ze jejich usporadane dvojice budou nalezet obou dvoum mnozinam najednou. Neboli. Muzeme rict ze muze existovat prave jeden prvek z mnoziny M(N) ktery nenalezi mnozine N(M). Dukaz muzeme provest pocetne (viz veta 1.22) Strana 18 Věta 1.22 Necht M je podprostorem L a N je podprostorem L jsou lineární podprostory lineárního prostoru L. Pak platí: 𝑀 ∩ 𝑁 je lineární podprostor lineárního prostoru L 𝑀 ∪ 𝑁 nemusí být lineární podprostor lineárního prostoru L Lineární závislost, obal, báze 15. Zdůvodněte podrobně z axiomů linearity, proč triviální lineární kombinace je rovna nulovému vektoru. Triviální lineární kombinace je lineární kombinace, která má nulové koeficienty. Tedy 0𝑥1 + 0𝑥2 + . . . + 0𝑥𝑛 = 𝜎 (Cokoliv násobené nulou je nula) 16. Proč přítomnost nulového vektoru ve skupině vektorů zaručuje lineární závislost této skupiny? Nechť 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 ≠ 0 a 𝑎𝑖 je nulový. Potom stačí, aby při 𝛼0 ∗ 𝑎0 + 𝛼1 ∗ 𝑎1 +. . . +𝛼𝑖 ∗ 𝑎𝑖 +. . . +𝛼𝑛 ∗ 𝑎𝑛 = 0 bylo 𝛼𝑖 = 1 a zbytek 𝛼 nulových 17. Podrobně zdůvodněte, proč v lineárním prostoru reálných funkcí jsou funkce f, g, h dané vzorci f(x) = sin x, g(x) = x2 a h(x) = 1 jsou lineárně nezávislé. položíme jejich LK rovnu nulové funkci 𝛼𝑠𝑖𝑛(𝑥) + 𝛽𝑥 2 + 𝛾 = 0 tato rovnost musí platit pro všechna 𝑥 ∈ 𝑅, my omezíme pouze na 𝑥 = 0, 𝜋, 𝜋 2 , hodnoty dosadíme do rovnice
2 𝛼0 + 𝛽0 + 𝛾1 = 0 𝑝𝑟𝑜 𝑥 = 0 ; 𝛼0 + 𝛽𝜋 2 + 𝛾1 = 0 𝑝𝑟𝑜 𝑥 = 𝜋 ; 𝛼1 + 𝛽 𝜋 4 + 𝛾1 = 0 𝑝𝑟𝑜 𝑥 = 𝜋 2 0 0 10 2 Dosadíme do matice: 0 𝜋2 1 0 a rešení je 𝛼 = 0 ; 𝛽 = 0 ; 𝛾 = 0 z čehož vyplívá, že funkce jsou LN 𝜋 1 10 4
18. Dokažte větu: vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když existuje jeden, který je lineární kombinací ostatních. Strana 33 Věta 2.21 Necht 𝑛 ≥ 2. Vektory 𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 jsou lineárne závislé práve tehdy, když existuje index 𝑟 ∈ {1, . . . , 𝑛} takový, že vektor 𝑥𝑟 je roven lineární kombinaci ostatních vektoru. Důkaz: Nejprve dokážeme, že z A plyne B a pak dokážeme, že z B plyne A. Dokazujme tedy nejprve, že z lineární závislosti vektoru 𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 plyne existence indexu r . Z definice lineární závislosti víme, že existuje netriviální lineární kombinace rovna nulovému vektoru. 𝛼1 𝑥1 + 𝛼2 𝑥2 + ⋯ + 𝛼𝑛 𝑥𝑛 = 𝑛𝑖=1 𝛼𝑖 𝑥𝑖 = 𝑜 Existuje tedy 𝑟 ∈ {1, . . . , 𝑛} takové, že 𝛼𝑟 ≠ 0. 𝑛 𝑛 𝛼𝑖 𝛼𝑖 𝑥𝑖 = −𝛼𝑟 𝑥𝑟 𝑥 = 𝑥𝑟 −𝛼𝑟 𝑖 𝑖=1 𝑖≠𝑟
𝑖=1 𝑖≠𝑟
V druhé části dukazu predpokládáme existenci koeficientu r takového, že vektor 𝑥𝑟 je roven lineární kombinaci ostatních vektoru. Dokážeme lineární závislost vektoru𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 . Pro nejaké 𝑟 ∈ {1, . . . , 𝑛} tedy platí 𝑛
𝑥𝑟 =
𝑛
𝛽𝑖 𝑥𝑖 0 = 𝑖=1 𝑖≠𝑟
𝛽𝑖 𝑥𝑖 + (−1)𝑥𝑟 𝑖=1 𝑖≠𝑟
což je netriviální lineární kombinace vektoru 𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑛 (její r-tý koeficient je jiste nenulový), která je rovna nulovému vektoru. 19. Předpokládejte konečnou neprázdnou lineárně závislou množinu vektorů M. Zdůvodněte, proč přidáním vektoru k množině M vznikne lineárně závislá množina. Necht 𝑥1 , 𝑥2 , . . . , 𝑥𝑚 jsou vektory z lineárního prostoru 𝑅𝑛 . Ukážeme, že pokud m m>n jsou nutne tyto vektory lineárne závislé. Podle definice lineární závislosti hledejme netriviální lineární kombinaci, pro kterou 𝛼1 𝑥1 + 𝛼2 𝑥2 + ⋯ + 𝛼𝑚 𝑥𝑚 = 𝑜 Rozepsáním tohoto požadavku do složek dostáváme n rovnic o m neznámých. Protože pravé strany rovnic jsou nulové, soustava má urcite aspon triviální rešení. Protože je v soustave více neznámých než rovnic existuje nekonecne mnoho rešení této soustavy. Mezi temito rešeními je jen jediné triviální a všechna ostatní jsou netriviální. Poznamenejme, že príklad ukazuje duležitou vlastnost lineárních prostoru 𝑅𝑛 : všechny lineárne nezávislé skupiny vektoru mají pocet vektoru menší nebo roven n. 20. Předpokládejte konečnou aspoň dvouprvkovou lineárně nezávislou množinu vektorů M. Zdůvodněte, proč odebráním vektoru z množiny M vznikne lineárně nezávislá množina. Strucne: Pokud odebereme jeden vektor z linearne nezavisle skupiny vektoru pak i tato skupina je linearne zavisla Predpokladejme že po odebrani prvku je skupina vektoru LZ => SPOR, s větou (Podle predpokladu existuje netriviální lineární kombinace 𝛼1 𝑥1 + 𝛼2 𝑥2 + ⋯ + 𝛼𝑛 𝑥𝑛 rovna nulovému vektoru. Potom platí 𝛼1 𝑥1 + 𝛼2 𝑥2 + ⋯ + 𝛼𝑛 𝑥𝑛 + 0𝑥𝑛 = 𝑜 což je netriviální lineární kombinace vektoru 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝑥𝑛+1 rovna nulovému vektoru.) protože pokud je tato skupina vektoru LZ pak plati dle vety že přidáním dalšího vektoru je i tato skupina vektoru LZ což je spor se zadanou skupinou vektoru. 21. Vysvětlete z definice lineární závislosti, proč lineární závislost není ovlivněna pořadím vektorů. Protože: Podle axiomů 1-7 víme že, sčítání vektorů je komutativní. 22. Vysvětlete z definice lineární závislosti, proč skupina vektorů, v níž se nějaký vektor opakuje, je lineárně závislá. Když bude platit 𝛼1 𝑥1 + 𝛼2 𝑥2 + ⋯ + 𝛼𝑛 𝑥𝑛 + 𝛼𝑛+1 𝑥1 = 𝑜, pak při dosazení 1 za 𝛼1 a -1 za 𝛼𝑛 + 1 a dosazení 0 za 𝛼2 . . . 𝛼𝑛 dostneme netriviální lineární kombinaci rovnou nule.
23. Definujte lineární obal i pro nekonečné množiny. Zdůvodněte, proč z ∈ M právě tehdy, když existuje konečně mnoho vektorů z M tak, že z je jejich lineární kombinací. Lineární obal vektorů je množina všech jejich lineárních kombinací. Lineární obal nekonečné množiny M je sjednocení lineárních obalů konečných podmnožin množiny M. Poznámka 2.33. Existuje konecná podmnožina 𝐾 ⊆ 𝑀 taková, že 𝑧 ∈ 𝐾 . Necht 𝐾 = 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 . Skutecnost, že 𝑧 ∈ 𝐾 znamená, že existuje nejaká lineární kombinace vektoru 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , která je rovna vektoru 𝑧. Vidíme tedy, že 𝑧 ∈ 𝑀 práve tehdy, když existuje konecne mnoho vektoru 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 𝜖𝑀 a existují reálná císla 𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 taková, že 𝛼1 𝑥1 + 𝛼2 𝑥2 + ⋯ + 𝛼𝑛 𝑥𝑛 = 𝑧 24. Dokažte 𝑴 = 𝑴 . Protože platí veta „Necht 𝐿 je lineární prostor, 𝑀 ⊆ 𝐿, 𝑁 ⊆ 𝐿. Pokud je 𝑀 ⊆ 𝑁, pak platí 𝑀 ⊆ 𝑁 .“ a vzhledem k 𝑀 ⊆ 𝑀 stací ukázat, že 𝑀 ⊆ 𝑀 . Necht 𝑧 ∈ 𝑀 , ukážeme že 𝑧 ∈ 𝑀 . Protože 𝑧 ∈ 𝑀 ,, existují vektory 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ∈ 𝑀 takové, že platí (2.4) Pro každé 𝑖 ∈ 1,2, … , 𝑛 je𝑥𝑖 ∈ 𝑀 , tj. existuje konecne mnoho vektoru 𝑦𝑖,1 , … , 𝑦𝑖,𝑘 𝑖 ∈ 𝑀 takových, že 𝑥𝑖 = 𝛽𝑖,1 𝑦𝑖,1 + ⋯ + 𝛽𝑖,𝑘 𝑖 𝑦𝑖.𝑘 𝑖 Dosazením techto rovnic do (2.4) a roznásobením dostáváme výsledek, že z je lineární kombinací konecne mnoha vektoru 𝑦𝑖.𝑗 ∈ 𝑀 ; 𝑖 ∈ 1, … , 𝑛 ; 𝑗 ∈ 1, … , 𝑘𝑖 . To znamená, že 𝑧 ∈ 𝑀 . Stranka 17 Příklad 2.4 Lineární kombinací vektoru x, y, z muže být treba vektor x+y+z (všechny tri koeficienty jsou rovny jedné), nebo vektor 2𝑥 − 𝑦 + 3,18𝑧 (koeficienty jsou císla 2;−1; 3,18), nebo také vektor 𝛼𝑥 + 𝛽𝑦 + 𝛾𝑧 (koeficienty 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ 𝑅 jsme blíže neurcili). Příklad 2.40 (nebyl jsem si jist která byla myšlena) Necht L je lineární prostor. Množina N⊆L je lineárne nezávislá práve tehdy, když pro všechny vlastní podmnožiny M⊂N, M≠N platí 𝑀 ⊂ 𝑁 , 𝑀 ≠ 𝑁 . 25. Proč je množina vektorů M lineárním podprostorem právě tehdy, když je 𝑴 = 𝑴? Budeme mít prvky x,y ktere leží v M, - tyto prvky by měli splňovat → 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑀, 𝛼 ∗ 𝑥 ∈ 𝑀 tzn. ověřujeme to že lineární kombinace 𝑥 + 𝑦 a 𝛼 ∗ 𝑥 + 0 ∗ 𝑦. Tyto lineární kombinace leží v 𝑀 a proto dle předpokladu 𝑴 = 𝑴 26. Proč je lineární obal jakékoli množiny podprostor? Věta 2.37 Nechť L je lineární prostor. M⊆L množina M je lineárním podprostorem prostoru L právě tehdy, když 𝑴 = 𝑴 27. Zdůvodněte, proč je lineární obal množiny M nejmenším podprostorem, který obsahuje M. Linearni obal mnoziny M je nejmensi linearni kombinaci tohoto prostoru. 28. Předpokládejte N lineárně nezávislou množinu a 𝒛 ∉ 𝑴 . Dokažte, že přidáním vektoru z k N zůstává tato množina lineárně nezávislá. to je věta 2.39: Necht L je lineární prostor, M⊆L je lineárne nezávislá množina a 𝑧 ∉ 𝑀 . Pak též 𝑀 𝑧 je lineárne nezávislá množina. 29. Popište postup, jakým lze (v lineárním prostoru s konečnou dimenzí) doplnit libovolnou lineárně nezávislou množinu N na bázi. 30. Zdůvodněte, proč lze z lineárně závislé množiny M odebrat vektor tak, že lineární obal zmenšené množiny je stejný jako lineární obal původní množiny M. Protože 𝑀 je množina všech lineárních kombinací vektorů a jestliže jsou vektory lineárně závislé, tak jsou zároveň svojí lineární kombinací.
31. Zformulujte (bez důkazu) Steintzovu větu o výměně a vysvětlete její využití v důkaze tvrzení, že každé dvě báze stejného lineárního prostoru mají stejný počet prvků. Je to věta 2.56 Nechť: V je vektorový prostor nad tělesem T, 𝐺 = (𝑣1 , 𝑣2 , … , 𝑣𝑛 ) je systém generátorů vektorového prostoru V, 𝑋 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑘 ) je soubor lineárně nezávislých vektorů z I. Pak: k≤n, některých k vektorů z G lze nahradit vektory𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑘 , tak že dostaneme opět stejný systém generátorů. Formulace, která je podle mě správná: Jestliže M⊆L (lineární prostor) je libovolná množina a 𝑁 ⊆ 𝑀 je LN množina, obsahující k vektorů. Pak lze odebrat z množiny M jejích k vektorů a vytvořit tak množinu M1, pro kterou platí: 𝑀 = 𝑀1 ∪ 𝑁 Z toho vyplívá, že počet prvků množiny N je menší nebo roven pčtu prvků množiny M 32. Proč lineárně nezávislá množina vektorů nesmí mít více prvků, než dimenze lineárního prostoru těchto vektorů? Protože tato množina tvoří zároveň svou bázi. Např. je množina A, A=báze B, která je bází množiny A, protože báze je množina nezávislých vektorů. Jelikož dimenze je definována jako počet prvků v bázi, nemůže se nikdy stát, že by množina M obsahovala více prvků, než její báze, protože to by bylo ve sporu s tvrzením, že A=báze B. 33. V lineárním prostoru L uvažujte množinu M, která má více prvků, než dimL. Proč musí být M lineárně závislá? Protože obsahuje vektor/y , které jsou lineárně závislé. Báze, jejíž počet prvků tvoří dimenzi, obsahuje pouze nezávislé vektory, a proto nemůže obsahovat závislé vektory, a proto má závislá množina M více prvků, než dimL. 34. Dokažte, že pokud má množina M stejně prvků, jako je dimL, pak je lineárně nezávislá právě tehdy, když 𝑴 = 𝑳. dim 𝑅𝑛 = 𝑛 ; 𝑴 = 𝑎1 , 𝑎2 , . . . , 𝑎𝑚 ; 𝑚 = 𝑛 Předpokládáme, že dimenze M je nezávislá právě tehdy pokud 𝑴 = 𝐿 resime sporem: pokud 𝑴 se nerovná L, pak muzeme pridat jakykoliv vektor a tim rozsirena mnozina o tento vektor zustane LN. ale to je ve sporu se zavedenym pojmem (1)"Je-li M linearne nezavisla, pak m≤n laicky receno mnozina M ma najednou m+1 vektoru a to je ve sporu se zadanim m=n 35. Zdůvodněte, proč množina {𝟏, 𝒙, 𝒙𝟐 , 𝒙𝟑 , . . . } tvoří bázi lineárního prostoru všech polynomů. Množina 𝐵 = {1, 𝑥, 𝑥 2 , 𝑥 3 , . . . } tvorí bázi lineárního prostoru P všech polynomu. Podle príkladu 2.28 je lineárne nezávislá. Zbývá tedy overit, že 𝐵 = 𝑃. Zvolme nejaký polynom 𝑝 ∈ 𝑃. Ukážeme, že 𝑝 ∈ 𝐵 . Pro každý polynom 𝑝 ∈ 𝑃 existuje 𝑛 ∈ 𝑁 a reálná císla 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 taková, že hodnota polynomu p v bode x je dána vzorcem 𝑝 𝑥 = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0 Existuje tedy konecná podmnožina K⊆B, 𝐾 = {1, 𝑥, 𝑥 2 , 𝑥 3 , . . . , 𝑥 𝑛 } taková, že p je lineární kombinací prvku z K (koeficienty této lineární kombinace jsou císla 𝑎0 , 𝑎1 , … , 𝑎𝑛 ). Z toho plyne, že 𝑝 ∈ 𝐵 . Protože množina je lineárně nezávislá, z toho vyplívá, že obal množiny, a z definice obalu vyplívá, že je lineární kombinací všech polynomů a tudíž je to i její báze. 36. Podrobně zdůvodněte, proč množina polynomů {x2+1, x, x−1} tvoří bázi lineárního prostoru všech polynomů nejvýše druhého stupně.
Matice 37. Proč matice typu (m, n) tvoří lineární prostor? Jakou má tento prostor dimenzi? Protoze operace v matici jsou ekvivalentni s operacemi v linearnim prostoru => splnuje axioy => muzeme radky mezi sebou scitat i nasobit nejakym koeficientem alpha. Tento prostor ma dimenzi m.n coz je pocet prvku v bazi (tedy v matici). 38. Proč GEM nemění lineární obal řádků? Věta 3.13 Je-li 𝐴~𝐵, pak 𝐴 = 𝐵 . Důkaz: Dokážeme nejdríve pomocné tvrzení: jestliže 𝐴1 je matice, která vznikne z matice A jedním krokem podle Gaussovy eliminacní metody, pak 𝐴1 = 𝐴 . Všechny rádky matice A1 lze zapsat jako lineární kombinaci rádku matice A. Je pritom jedno, zda matice A1 vznikla prohozením rádku, pronásobením jednoho rádku nenulovým reálným císlem, přičtením násobku jednoho rádku k jinému, odebráním nebo pridáním nulového rádku. Platí tedy, že rádky matice A1 leží v 𝐴 . Proto 𝐴1 ⊆ 𝐴 . Podle vety 2.35 je 𝐴 = 𝐴 , takže 𝐴1 ⊆ 𝐴 . Pomocné tvrzení máme dokázáno. Pokud toto tvrzení uplatníme opakovane (matice B vznikla z matice A po konecne mnoha krocích podle Gaussovy eliminacní metody), máme výsledek 𝐵 ⊆ 𝐴 . Tvrzení dokazované vety nyní plyne ze symetrie relace „~“, tj. z vety 3.10. 3.10 Relace „~“ je symetrická, tj. A~B právě tehdy, když A~B. 2.35 Necht L je lineární prostor a M⊆L. Pak platí: 1)𝑀 ⊆ 𝑀 2) 𝑀 = 𝑀 3)Je-li 𝑧 ∈ 𝑀 , pak 𝑀 = 𝑀 ∪ 𝑧 Zkracene: konecny stav matice po GE nam vyeliminuje (ci ne) shodne radky (zavisle linearni kombinace). Upravene matice typu A~B~C Konecny stav je roven hodnosti matici C a ten je roven dimenzi obalu radku matice A. 39. Jak GEM slouží k výpočtu hodnosti matice? Popište metodu a zdůvodněte, proč tato metoda skutečně počítá hodnost matice. V základním stavu není hodnost matice na první pohled vidět, zatímco po úpravě GEM je hodnost jasná. Tato metoda vypočítá max počet lineárně nezávislých řádků matice= hodnost Gaussova eliminacni metoda - pomoci ekvivalentnich uprav docilime konecneho stavu matice. mezi ekvivalentni upravy patri: necht A,B,C jsou matice "a" a "j" jsou skalary. 1) plati komutativnost A+B=B+A 2) asociativnost (A+B)+C=A+(B+C) 3) existence nuloveho prvku A+0=A 4) existence opacneho prvku A+(-1)A=0 5) nasobeni sklarem a jeho asociativnost a(jA)=(aj)A 6) existence jednotkoveho prvku 1A=A 7) distibutivnost a(A+B)=aA+aB, (a+j)A=aA+jA GEM - touto metodou pomoci ekvivalentnich uprav se snazime docilit horniho trojuhelnikoveho tvaru matice. --------------------------------------(Druhý nazor)-----------------------------------------1.Hodnost matice je maximalni pocet LN radku. (Hodnost A = dim
) 2.Pomoci GEM (GEM zachovava ) prevedem matici na horni trojuhelnikovou, ktera ma vsechny radky LN, coz je jednoduche dokazat.
40. Popište metodu ověření lineární závislosti vektorů z Rn eliminací matice, ve které jsou tyto vektory zapsány po řádcích. Jak tato metoda souvisí s definicí lineární závislosti? radek ktery je nulovy ci je linearne zavisly muzeme vyradit (nechat pouze jeden). Po dokonceni GEM muzeme zapsat dle definice linearniho prostoru muzeme vektory prostoru polozit nule a pokud je pouze jedno trivialni reseni "o" pak je dokazana linearni nezavislost. 𝛼1 𝑎1 + 𝛼2 𝑎2 +. . . +𝛼𝑛 𝑎𝑛 = 𝜎 41. Definujte maticové násobení. Proč čtvercová matice A komutuje s A2? 𝑝 Definice: A, B jsou matice (𝐴 ∗ 𝐵)𝑖𝑗 = 𝑘=1(𝐴𝑖 𝑘 ∗ 𝐵𝑘𝑗 ) ||nenšel jsem ji v skryptech snad je to spravně|| nejsem si zcela jist ale kratce bez prikladu ... pokud matice komutuji tak musi splnovat nasobeni 𝐴 ∗ 𝐵 = 𝐵 ∗ 𝐴, kde pocet sloupcu a pocet radku by mel byt stejny. po vypocitani techto matic dostaneme matice typu n2 kde muzeme dojit k zaveru ze budeme volit nektere promene tak ze matice 𝐴 ∗ 𝐵 bude komutovat s matici 𝐵 ∗ 𝐴. 42. Dokažte asociativitu maticového násobení. Máme matice A (n,m) B (m,p) a matici C (k,p). 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶 = (𝐴 ∗ 𝐵) ∗ 𝐶 = 𝐴(𝐵 ∗ 𝐶) ale to neznamena ze mohu nasibut matici A*C matice maji ruzny pocet radku i sloupcu. dukaz se provadi obecnym vyjadrenim matic sumy radku a sloupcu kde ziskame dukaz toho ze soucet radku v jedne matice(AB=AB) se rovna souctu radku i druhe matice (BC=BC) 43. Dokažte asociativitu maticového násobení a maticového násobku. viz 42. maticový násobek - pokud jsem do dobre pochopil tak je to matice nasobena skalarem dukaz je zrejmy z linearni zavislosti radku 44. Zdůvodněte, proč maticové násobení nemusí být komutativní ani pro čtvercové matice. viz to co jsem definoval v otazce cislo 41. 45. Proč má horní trojúhelníková matice linárně nezávislé řádky? protoze jsme ekvivalentnimi upravami viz co jsem zminil nahore dosli k nezavislosti radkum - vypusteni nuloveho radku ci vypusteni stejneho radku. a samozrejme dle definice hodnosti hodnost nam definuje matici v konecnem stavu po GEM (radky jsou nezavisle). Věta 3.22: Horní trojúhelníková matice má vždy lineárne nezávislé rádky. Důkaz: Lineární nezávislost overíme z definice. Necht matice A má rádky 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 a položme 𝛼1 𝑎1 + 𝛼2 𝑎2 +. . . +𝛼𝑛 𝑎𝑛 = 𝜎. Po prevedení této rovnosti do soustavy rovnic odpovídají koeficienty jednotlivých rovnic sloupcum matice A. Pritom tato soustava má vždy pouze triviální rešení. Z první nenulové rovnice totiž okamžite plyne, že 𝛼1 = 0. Dosazením tohoto výsledku do ostatních rovnic dostaneme z některé z následujících rovnic výsledek 𝛼2 = 0. Znovu dosadíme. Tento postup opakujeme tak dlouho, dokud nedostaneme 𝛼𝑖 = 0∀𝑖 ∈ 1, … , 𝑛 46. Zdůvodněte, proč matice komutující s pevně danou maticí tvoří lineární podprostor. Matice A,B komutuji prave tehdy kdyz splnuji pravidla distibutivnosti a komutativnosti matic, nasobku Musime proste dokazat, ze pokud matice B1 a B2 jsou komutujici s A, tak matice C=(B1+B2) a matice D=a*B1 (kde a je skalar) jsou take komutujici s A. Tim dokazeme dve postacujici vlastnosti z definice linearniho podprostoru a jsme hotovi. (dokazuje se prostym dosazenim do rovnice AB=BA)
47. Proč je součin regulárních matic regulární? Mejme matice A,B kde matice A je typu (m,n) a matice B je typu (n,p) tyto matice jsou regularni prave tehdy pokud => m=n a n=p vzhledem k nasobeni techto dvou matic vznikne matice C ktera je typu (m,p), vzhledem k uvedene rovnosti vyse z toho nutne vyplyva ze m=p z definice regularity matice => matice typu C je regularni a ma hodnost m(p)
---------------(jiné řešení)--------------------Regularni matice ma det!=0 , determinant soucinu je soucin determinantu, takze soucin dvou nenulovych cisel da nejake nenulove cislo=>det vysledne matice je ruzny od nuly, takze matice je regularni. 48. Čím je zaručena jednoznačnost inverzní matice? pokud by měla matice A dvě invezrní matice B a C pak 𝐵 = 𝐵 ∗ 𝐸 = 𝐵 ∗ (𝐴 ∗ 𝐶) = (𝐵 ∗ 𝐴) ∗ 𝐶 = 𝐸 ∗ 𝐶 = 𝐶 49. Popište metodu výpočtu inverzní matice eliminací a zdůvodněte, proč tato metoda skutečně dává inverzní matici. mejme matici typu A tuto matici polozime rovno jednotkove matici po uprave matice A na dolni a horni trojuhelnikovy tvar nasledne vydelenim ztiskame jednotkovou matici. - postup. proc dava matice A polozena jednotkove matici inverzni matici? protoze vsechny provedene operace jsou muzeme prevest na typ matic cilize po prvnim kroku je matice A1 pak A2 ... kazda z techto matic(jsou regularni) ma za sebou nejakou elementarni upravu ktera je rovna definovanym operacim vyse. 50. Vynásobíme-li matici A regulární maticí, pak se matice A může změnit, ale nezmění se její hodnost. Proč? Věta 3.60 Necht A je libovolná matice (ne nutne ctvercová) a P, Q jsou regulární matice takové, že je definováno násobení P*A a A*Q. Pak 𝑜𝑑𝐴 = 𝑜𝑑(𝑃 ∗ 𝐴) = 𝑜𝑑(𝐴 ∗ 𝑄). Jinými slovy: násobení regulární maticí nemení hodnost. Důkaz Oznacme 𝐵 = 𝑃 ∗ 𝐴. Sestavíme matici (𝐴|𝐸) a budeme ji eliminovat, abychom vpravo od cáry získali matici P, tj. podle vety 3.55 dostáváme (𝐴|𝐸)~(𝑃 ∗ 𝐴|𝑃 ∗ 𝐸) = (𝐵|𝑃). Protože P je regulární, takovou eliminaci lze urcite provést. Kdo tomu neverí, muže eliminovat „pozpátku“ od matice P k matici E a použít pak vetu 3.10. Provedme nakonec tutéž eliminaci znovu, jen s maticemi vlevo od svislé cáry: 𝐴~ 𝐵. Protože Gaussova eliminace zachovává hodnost (veta 3.17), je 𝑜𝑑𝐴 = 𝑜𝑑𝐵 = 𝑜𝑑(𝑃 ∗ 𝐴). K dukazu 𝑜𝑑𝐴 = 𝑜𝑑(𝐴 ∗ 𝑄) stací podle (5) vety 3.38 prejít k transponovaným maticím a použít predchozí výsledek spolecne s vetou 3.31: 𝑜𝑑(𝐴 ∗ 𝑄) = 𝑜𝑑(𝐴 ∗ 𝑄)𝑇 = 𝑜𝑑(𝑄𝑇 ∗ 𝐴𝑇) = 𝑜𝑑𝐴𝑇 = 𝑜𝑑𝐴. Laicky protoze vysledna matice bude mit m nezavislych radku jako matice typu A a pocet nezavislych radku se rovna hodnosti matce 3.10 Relace „~“ je symetrická, tj. 𝐴~𝐵 práve tehdy, když 𝐵~𝐴. 3.17 Je-li 𝐴~𝐵, pak 𝑜𝑑(𝐴) = 𝑜𝑑(𝐵). Jinými slovy, Gaussova eliminacní metoda nemení hodnost matice. 3.31 Pro každou matici A platí: 𝑜𝑑(𝐴𝑇 ) = 𝑜𝑑(𝐴). 3.38 Necht 𝛼 ∈ 𝑅 a matice A, B, C jsou odpovídajících typu tak, aby níže uvedené souciny byly definovány. Pak platí … (5) (𝐴 ∗ 𝐵)𝑇 = 𝐵𝑇 ∗ 𝐴𝑇 3.55 Necht 𝐴~𝐵 jsou dve matice, pricemž v eliminaci oznacené zde symbolem „~” nebyl použit krok vynechání nebo pridání nulového rádku. Pak existuje regulární ctvercová matice P taková, že 𝐵 = 𝑃 ∗ 𝐴. 51. Co víme o hodnosti součinu matic, když známe hodnosti jednotlivých činitelů? Zdůvodněte. uz to fakt nevykoukam ale dukaz vychazi z 3.61 Věta 3.61 Je-li 𝐴 ∗ 𝐵 definováno, pak hod(𝐴 ∗ 𝐵) ≤ 𝑚𝑖𝑛(𝑜𝑑𝐴, 𝑜𝑑𝐵). Důkaz Je-li 𝑜𝑑𝐴, pak lze provést eliminaci 𝐴~𝐶 takovou, že matice C má prvních h rádku nenulových a zbylé rádky nulové. Podle vety 3.55 existuje regulární P taková, že 𝐴 = 𝑃 ∗ 𝐶. Na levé strane dokazované nerovnosti tedy máme 𝑜𝑑(𝐴 ∗ 𝐵) = 𝑜𝑑(𝑃 ∗ 𝐶 ∗ 𝐵) = 𝑜𝑑(𝐶 ∗ 𝐵). V poslední úprave jsme použili vetu 3.60. Nyní je potreba si uvedomit, že díky nulovým rádkum matice C má matice 𝐶 ∗ 𝐵 pod h-tým rádkem všechny ostatní rádky nulové. Takže 𝑜𝑑(𝐶 ∗ 𝐵) ≤ = 𝑜𝑑𝐴. Dostáváme výsledek 𝑜𝑑(𝐴 ∗ 𝐵) ≤ 𝑜𝑑𝐴. Prejdeme nyní k maticím transponovaným (𝐴 ∗ 𝐵)𝑇 = 𝐵𝑇 ∗ 𝐴𝑇 . Znovu použijeme práve dokázaný výsledek a vetu 3.31: 𝑜𝑑(𝐴 ∗ 𝐵) = 𝑜𝑑(𝐴 ∗ 𝐵)𝑇 = 𝑜𝑑(𝐵𝑇 ∗ 𝐴𝑇 ) ≤ 𝑜𝑑𝐵𝑇 = 𝑜𝑑𝐵.
Protože 𝑜𝑑(𝐴 ∗ 𝐵) je menší nebo rovna 𝑜𝑑𝐴 i 𝑜𝑑𝐵, musí být menší nebo rovna minimu techto hodnot. 3.31 každou matici A platí: 𝑜𝑑(𝐴𝑇 ) = 𝑜𝑑(𝐴). 3.55 Necht 𝐴~𝐵 jsou dve matice, pricemž v eliminaci oznacené zde symbolem „~” nebyl použit krok vynechání nebo pridání nulového rádku. Pak existuje regulární ctvercová matice P taková, že 𝐵 = 𝑃 ∗ 𝐴. 3.60 Necht A je libovolná matice (ne nutne ctvercová) a P, Q jsou regulární matice takové, že je definováno násobení 𝑃 ∗ 𝐴 a 𝐴 ∗ 𝑄. Pak 𝑜𝑑𝐴 = 𝑜𝑑(𝑃 ∗ 𝐴) = 𝑜𝑑(𝐴 ∗ 𝑄). Jinými slovy: násobení regulární maticí nemení hodnost. Determinant 52. Definice determinantu. Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár det A. Definice 4.15 Nechť 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) je čtvercová matice typu (n,n). Číslo 𝜋= 𝑖1 ,…,𝑖𝑛
𝑠𝑛𝑔𝜋 ∗ 𝑎1,𝑖1 ∗ … ∗ 𝑎𝑛 ,𝑖𝑛 nazýváme determinantem matice A a značíme je det A.
53. Zdůvodněte z definice základní vlastnosti determinantu. Věta 4.21 Základní vlastnosti determinantu. (V1) Jestliže se matice B liší od matice A jen prohozením jedné dvojice rádku, pak 𝑑𝑒𝑡𝐵 = −𝑑𝑒𝑡𝐴. (V2) Jestliže matice A má dva stejné rádky, pak 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0. ⋮ V dalších vlastnostech (V3) až (V5) oznacujeme symbolem 𝑎𝑖 matice, které se liší pouze v i-tém ⋮ rádku, zde oznaceném 𝑎𝑖 . V rádcích, které jsou vyznaceny teckami, se jednotlivé matice shodují. ⋮ ⋮ (V3) 𝑑𝑒𝑡 𝛼𝑎𝑖 = 𝛼𝑑𝑒𝑡 𝑎𝑖 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ (V4) 𝑑𝑒𝑡 𝑎𝑖 + 𝑑𝑒𝑡 𝑏𝑖 = 𝑑𝑒𝑡 𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ (V5) 𝑑𝑒𝑡 𝑎𝑖 + 𝛼𝑎𝑗 = 𝑑𝑒𝑡 𝑎𝑖 , kde aj je nejaký jiný rádek téže matice. ⋮ ⋮ 54. Proč přičtení násobku řádku k jinému nezmění hodnotu determiantu? Věta 4.21(V5) viz výše 53.
55. Formulujte (bez důkazu) větu o rozvoji determinatu podle řádku/sloupce. Věta 4.30 O rozvoji deterinantu podle r-tého rádku. Necht 𝐴 = (𝑎𝑟,𝑠 ) je ctvercová matice typu (n, n) a 𝐴𝑖,𝑗 jso u matice typu (n − 1, n − 1), které vzniknou z matice A vynecháním i-tého rádku a j-tého sloupce. Pak pro každé 𝑟 ∈ 1, … , 𝑛 platí 𝑎𝑟,1 −1 𝑟+1 𝑑𝑒𝑡𝐴𝑟,1 + 𝑎𝑟,2 −1 𝑟+2 𝑑𝑒𝑡𝐴𝑟,2 + ⋯ + 𝑎𝑟,𝑛 −1 𝑟+𝑛 𝑑𝑒𝑡𝐴𝑟,𝑛 = 𝑑𝑒𝑡𝐴 Je-li dále 𝑡 ∈ 1, … , 𝑛 , 𝑡 ≠ 𝑟, pak platí 𝑎𝑡,1 −1 𝑡+1 𝑑𝑒𝑡𝐴𝑡,1 + 𝑎𝑡,2 −1 𝑡+2 𝑑𝑒𝑡𝐴𝑡,2 + ⋯ + 𝑎𝑡,𝑛 −1 𝑡+𝑛 𝑑𝑒𝑡𝐴𝑡,𝑛 = 𝑂 Důkaz je dost nechutně dlouhej tak jsem ho sem nedával 56. Z věty o determinantu součinu odvoďte vzorec pro determinant inverzní matice. Necht' B je inverzni matice k matici A. Pak 𝑑𝑒𝑡𝐵 = 1 𝑑𝑒𝑡 𝐴 57. Zformulujte a dokažte větu na výpočet inverzní matice pomocí doplňků. Zformulujte podle - 4.40 dokažde podle Laplaceovi věty (4.35) c čehož již vzorec za pomocí úprav odvodíme. 4.35 Necht A, B jsou ctvercové matice. Pak detA detB = det(A · B).
𝒂 𝒃 Oznacme B matici doplnku k matici A. V tomto prípade 𝒄 𝒅 se doplnky dobre pocítají, protože se jedná o determinanty matic typu (1, 1): 𝟏 𝟏 𝒅 −𝒄 𝒅 −𝒃 𝑩= , 𝑨−𝟏 = 𝑩𝑻 == 𝒅𝒆𝒕𝑨 𝒂𝒅−𝒃𝒄 −𝒄 −𝒃 𝒂 𝒂 4.40
Najdeme inverzní matici k matici 𝑨 =
Soustavy lineárních rovnic 58. Frobeniova věta, přesná formulace, význam, důkaz. Nehomogenní soustava lineárních algebraických rovnic má řešení pouze v případě, že hodnost matice soustavy je rovna hodnosti rozšířené matice soustavy (tj. soustava je vnitřně bezrozporná). Pokud je rovno počtu neznámých, má soustava jedno řešení; pokud je menší než počet neznámých, je řešení nekonečně mnoho (je-li větší než počet neznámých, nemůže být splněna předchozí podmínka a soustava tedy nemá řešení). 59. Definice pojmu řešení soustavy lineárních rovnic. Resenim soustavy 𝐴𝑥 = 𝑏 je takovy vektor „a”, pro ktery plati: dosadime li „a“ za „x“, pak je splnena pozadovana maticova rovnost. Resit soustavu 𝐴𝑥 = 𝑏 znamena nalezt vsechny takove vektory „a“. 60. Proč množina řešení homogenní soustavy lineárních rovnic tvoří lineární podprostor? Za prve ukazeme, ze mnozina reseni homogenni soustavy neni prazdna: to je trivialni, protoze nulovy vektor je vzdycky resenim homogenni soustavy. Pak dokazeme, ze pokud „u“ a „v“ jsou resenim, pak (𝑢 + 𝑣) je resenim a „𝑎 ∗ 𝑣“ je resenim (kde a je skalar). Dokazuje se dosazenim do rovnice 𝐴𝑥 = 𝑜. Podle predpokladu mame 𝐴𝑢 = 𝑜, 𝐴𝑣 = 𝑜. Secteme a dostaneme 𝐴𝑢 + 𝐴𝑣 = 𝑜 + 𝑜. Z toho 𝐴(𝑢 + 𝑣) = 𝑜. Se skalarem postupujeme obdobne. 61. Nechť v je jedno řešení soustavy lineárních rovnic. Proč všechna ostatní řešení této soustavy jsou ve tvaru součtu v + u, kde u je nějaké řešení homogenní soustavy přidružené k dané soustavě? Věta 5.18(1) Dokazuje se dosazenim do rovnice 𝐴𝑥 = 𝑏. z predpokladu vime, ze 𝐴𝑣 = 𝑏, 𝐴𝑢 = 0. Secteme, dostaneme 𝐴𝑣 + 𝐴𝑢 = 0 + 𝑏. Podle distributivity mame 𝐴(𝑣 + 𝑢) = 𝑏. Z toho plyne, ze (𝑣 + 𝑢) je take resenim soustavy 𝐴𝑥 = 𝑏. Důkaz (1) Podle predpokladu platí 𝐴𝑣 𝑇 = 𝑏, 𝐴𝑢𝑇 = 𝑜 Pro soucet v + 𝑢 pak platí 𝑇 𝑇 𝐴 𝑣 + 𝑢 = 𝐴𝑣 𝑇 + 𝐴𝑢𝑇 = 𝑏 + 𝑜 = 𝑏 62. Zformulujte a dokažte Cramerovu větu. Věta 5.29 Necht A je regulární ctvercová matice. Pak pro i-tou složku rešení soustavy 𝐴𝑥 = 𝑏 platí 𝑑𝑒𝑡𝐵𝑖 𝛼𝑖 = 𝑑𝑒𝑡𝐴 kde matice 𝐵𝑖 je shodná s maticí A až na i-tý sloupec, který je zamenen za sloupec pravých stran. Důkaz Víme, že platí 𝑥 = 𝐴−1 𝑏. Podle dukazu vety 4.37 o existenci inverzní matice platí 𝐷 𝐴−1 = 𝑐𝑖,𝑗 = 𝑖,𝑗 𝑑𝑒𝑡𝐴 , kde 𝐷𝑖,𝑗 je matice doplnku k matici 𝐴. Necht bi jsou složky sloupce b. Podle 𝐷 𝑖,𝑗 1 𝑑𝑒𝑡 𝐵𝑖 definice maticového násobení je 𝛼𝑖 = 𝑛𝑗=1 𝑐𝑖,𝑗 𝑏𝑗 = 𝑛𝑗=1 𝑏𝑗 = 𝐷1,𝑖 𝑏1 + 𝐷2,𝑖 𝑏2 + ⋯ + 𝐷𝑘 ,𝑖 𝑏𝑘 = 𝑑𝑒𝑡𝐴
𝑑𝑒𝑡𝐴
𝑑𝑒𝑡𝐴
V poslední rovnosti jsme využili vetu o rozvoji determinantu matice 𝐵𝑖 podle i-tého sloupce, viz oznámku 4.33. 4.37 Ke ctvercové matici A existuje inverzní matice práve tehdy, když A je regulární. 63. Nechť M = v+hu1, . . . ,uki,M′ = v′+hu′ 1, . . . ,u′ ki. Navrhněte a zdůvodněte postup, podle kterého poznáte, že M = M′. Nejdriv overime rovnost linearnich obalu (𝑢1 , 𝑢2 , . . . , 𝑢𝑛 ) a (𝑢′1 , 𝑢′2 , . . . , 𝑢′𝑛 ). Pak dokazeme, ze v-v' patri do linearniho obalu (𝑢′1 , 𝑢′2 , . . . , 𝑢′𝑛 ).
64. Jakou dimenzi má prostor řešení homogenní soustavy lineárních rovnic a proč? Necht' R je prostor reseni homogenni soustavy. Pak 𝑑𝑖𝑚𝑅 = 𝑛 − (𝐴), kde n - pocet sloupcu matice A, h(A) - pocet nezavislych radku matice A. Konečná dimenze 65. Definujte pojem souřadnice vzhledem k uspořádané bázi. Zdůvodněte existenci a jednoznačnost souřadnic. definice 6.10 Necht (𝐵) = (𝑏1 , 𝑏2 , . . . , 𝑏𝑛 ) je usporádaná báze lineárního prostoru L a 𝑥 ∈ 𝐿 je libovolný vektor. Usporádanou n-tici reálných císel (𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 ) nazýváme souradnicemi vektoru x vzhledem k usporádané bázi (B), pokud platí 𝑥 = 𝛼1 𝑏1 + 𝛼2 𝑏2 + ⋯ + 𝛼𝑛 𝑏𝑛 Skutecnost, že (𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 ) jsou souradnice vektoru x vzhledem k usporádané bázi (B) budeme zapisovat takto: 𝑥 = (𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 )𝐵 poznámka 6.11 Necht B je báze lineárního prostoru L. Protože 𝐵 = 𝐿, je každý prvek x lineární kombinací prvku báze a tudíž každý prvek x má nejaké souradnice vzhledem k usporádané bázi (B). Následující veta ukazuje, že jsou tyto souradnice urceny usporádanou bází (B) jednoznacne. věta 6.12. Necht (B) je usporádaná báze lineárního porostoru L. Pak pro každý prvek 𝑥 ∈ 𝐿 jsou souradnice x vzhledem k bázi (B) urceny jednoznacne. Důkaz 6.12 Oznacme (𝐵) = (𝑏1 , 𝑏2 , . . . , 𝑏𝑛 ). Necht x = (𝛼1 , 𝛼2 , . . . , 𝛼𝑛 )𝐵 = (𝛽1 , 𝛽2 , . . . , 𝛽𝑛 )𝐵 . Ukážeme, že pak je 𝛼𝑖 = 𝛽𝑖 , ∀𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑛}. Podle definice 6.10 je 𝑥 = 𝛼1 𝑏1 + 𝛼2 𝑏2 + ⋯ + 𝛼𝑛 𝑏𝑛 ; 𝑥 = 𝛽1 𝑏1 + 𝛽2 𝑏2 + ⋯ + 𝛽𝑛 𝑏𝑛 Odectením techto rovností dostáváme 𝑥 − 𝑥 = 𝑜 = 𝛼1 − 𝛽1 𝑏1 + 𝛼2 − 𝛽2 𝑏2 + ⋯ + 𝛼𝑛 − 𝛽𝑛 𝑏𝑛 Protože vektory báze 𝑏1 , 𝑏2 , . . . , 𝑏𝑛 jsou lineárne nezávislé, pouze triviální lineární kombinace muže být rovna nulovému vektoru. Všechny závorky v uvedené lineární kombinaci musejí tedy být rovny nule. Tím dostáváme 𝛼𝑖 = 𝛽𝑖 , ∀𝑖 ∈ {1, . . . , 𝑛}. 66. Proč jsou souřadnice polynomu vzhledem ke standardní bázi lin. prostoru polynomů nejvýše n-tého stupně rovny koeficientům tohoto polynomu? Odpověď vyplívá z definice 6.10. definice 6.10 Necht (𝐵) = (𝑏1 , 𝑏2 , . . . , 𝑏𝑛 ) je usporádaná báze lineárního prostoru L a 𝑥 ∈ 𝐿 je libovolný vektor. Usporádanou n-tici reálných císel (𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 ) nazýváme souradnicemi vektoru x vzhledem k usporádané bázi (B), pokud platí 𝑥 = 𝛼1 𝑏1 + 𝛼2 𝑏2 + ⋯ + 𝛼𝑛 𝑏𝑛 Skutecnost, že (𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 ) jsou souradnice vektoru x vzhledem k usporádané bázi (B) budeme zapisovat takto: 𝑥 = (𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 )𝐵 67. Proč jsou souřadnice vektoru z Rn vzhledem ke standardní bázi rovny složkám tohoto vektoru? Koukněte se na definici souřadnic vzhledem k uspořádané bázi (6.10) a hned potom na samotnou definici standartní báze v R^n (2.46), jen dosate do sebe a je to. definice 6.10 Necht (𝐵) = (𝑏1 , 𝑏2 , . . . , 𝑏𝑛 ) je usporádaná báze lineárního prostoru L a 𝑥 ∈ 𝐿 je libovolný vektor. Usporádanou n-tici reálných císel (𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 ) nazýváme souradnicemi vektoru x vzhledem k usporádané bázi (B), pokud platí 𝑥 = 𝛼1 𝑏1 + 𝛼2 𝑏2 + ⋯ + 𝛼𝑛 𝑏𝑛 Skutecnost, že (𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 ) jsou souradnice vektoru x vzhledem k usporádané bázi (B) budeme zapisovat takto: 𝑥 = (𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 )𝐵 Příklad 2.46 Množina usporádaných n-tic 𝐵 = {(1, 0, 0, . . . , 0), (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , (0, 0, 0, . . . , 0, 1)} tvorí bázi lineárního prostoru 𝑅𝑛 . Je lineárne nezávislá a platí 𝐵 = 𝑅𝑛 z analogických duvodu, jako v príkladu 2.45. Takovou bázi lineárního prostoru 𝑅𝑛 nazýváme standardní bází. 68. Proč je zobrazení, které vektorům přiřadí uspořádanou n-tici jejich souřadnic vzhledem k pevně zvolené bázi, lineární? Příklad 7.25 Necht (𝐵) = (𝑏1 , 𝑏2 , . . . , 𝑏𝑛 ) je usporádaná báze lineárního prostoru L. Uvažujme zobrazení 𝐴: 𝐿 → 𝑅𝑛 definované takto: Necht 𝑥 = (𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 )𝐵 , pak 𝐴 𝑥 = (𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 ). Ukážeme, že toto zobrazení je lineární a že def 𝐴 = 0, 𝑜𝑑𝐴 = 𝑛.
Necht 𝑥 = (𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 )𝐵 , 𝑦 = (𝛽1 , 𝛽2 , . . . , 𝛽𝑛 )𝐵 . Pro tyto vektory tedy platí 𝑥 = 𝛼1 𝑏1 + 𝛼2 𝑏2 + ⋯ + 𝛼𝑛 𝑏𝑛 ; 𝑦 = 𝛽1 𝑏1 + 𝛽2 𝑏2 + ⋯ + 𝛽𝑛 𝑏𝑛 Po sectení techto rovností a po vynásobení první rovnosti císlem 𝛾 ∈ 𝑅 dostáváme 𝑥 + 𝑦 = 𝛼1 − 𝛽1 𝑏1 + 𝛼2 − 𝛽2 𝑏2 + ⋯ + 𝛼𝑛 − 𝛽𝑛 𝑏𝑛 ; 𝛾𝑥 = 𝛾𝛼1 𝑏1 + 𝛾𝛼2 𝑏2 + ⋯ + 𝛾𝛼𝑛 𝑏𝑛 Protože souradnice vektoru vzhledem k bázi jsou urceny jednoznacne, z uvedených rovností plyne, že 𝐴(𝑥 + 𝑦) = 𝐴(𝑥) + 𝐴(𝑦), 𝐴( 𝛾𝑥) = 𝛾𝐴(𝑥). Zobrazení A je tedy lineární. Hledejme nyní KerA. Z jednoznacnosti souradnic vzhledem k bázi plyne, že existuje jediný vektor 𝑥 = (0, 0, . . . , 0)𝐵 . Protože 𝑜 = 0𝑏1 + 0𝑏2 +· · · +0𝑏𝑛 , je 𝑥 = 𝑜. 𝐾𝑒𝑟𝐴 = {𝑜} a def 𝐴 = 0. Protože ke každému prvku 𝑎 ∈ 𝑅𝑛 , 𝑎 = (𝛼1 , 𝛼2 , … , 𝛼𝑛 ) existuje 𝑥 ∈ 𝐿, pro který 𝐴(𝑥) = 𝑎 (stací volit 𝑥 = 𝛼1 𝑏1 + 𝛼2 𝑏2 + ⋯ + 𝛼𝑛 𝑏𝑛 je 𝐴(𝐿) = 𝑅𝑛 . Zobrazení A je tedy zobrazením z L „na“ 𝑅𝑛 . Je 𝑜𝑑𝐴 = 𝑑𝑖𝑚𝑅𝑛 = 𝑛. A : L ! Rn definované takto69. Definujte spojení dvou podprostorů. Čemu je rovnen součet dimenzí spojení a průniku dvou podprostorů? Lineární zobrazení 70. Charakterizujte lineární zobrazení, vysvětlete princip superpozice. Necht' 𝐴: 𝐿1 → 𝐿2 je zobrazeni z mnoziny L1 do mnoziny L2. Zobrazeni A nazyvame linearnim, pokud pro vsechna x,y z L1 a skalar „a“ plati: (1): A(𝑥 + 𝑦) = 𝐴(𝑥) + 𝐴(𝑦); (2): 𝐴(𝑎 ∗ 𝑥) = 𝑎 ∗ 𝐴(𝑥). Princip superpozice: Necht' x,y jsou vektory z L1, a „a“ a 'b' jsou skalary, pak pro linearni zobrazeni plati: 𝐴(𝑎 ∗ 𝑥 + 𝑏 ∗ 𝑦) = 𝑎 ∗ 𝐴(𝑥) + 𝑏 ∗ 𝐴(𝑦). 71. Definujte jádro, defekt a hodnost lineárního zobrazení. Proč jádro lineárního zobrazení tvoří lineární podprostor? Věta 7.19 Jádro lineárního zobrazení 𝐴: 𝐿1 → 𝐿2 tvorí lineární podprostor lineárního prostoru L1 Důkaz 7.19 Predevším je KerA neprázdná množina, protože podle vety 7.10 obsahuje tato množina nulový vektor. Podle definice 1.17 máme dokázat (1) je-li 𝑥 ∈ 𝐾𝑒𝑟𝐴, 𝑦 ∈ 𝐾𝑒𝑟𝐴, pak též 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝐾𝑒𝑟𝐴 a (2) je-li 𝑥 ∈ 𝐾𝑒𝑟𝐴, 𝛼 ∈ 𝑅, pak je 𝛼𝑥 ∈ 𝐾𝑒𝑟𝐴. Predpoklady podle definice 7.16 ríkají 𝐴(𝑥) = 𝐴(𝑦) = 𝑜0 a máme dokázat, že 𝐴(𝑥 + 𝑦) = 𝑜0 , 𝐴(𝛼𝑥) = 𝑜0 . Podle definice 7.6 lineárního zobrazení platí 𝐴 𝑥 + 𝑦 = 𝐴 𝑥 + 𝐴 𝑦 = 𝑜2 + 𝑜2 = 𝑜2 ; 𝐴 𝛼𝑥 = 𝛼𝐴 𝑥 = 𝛼𝑜2 = 𝑜2 Definice 1.17 Definice 7.6 Necht L1 a L2 jsou lineární prostory, 𝐴 ∶ 𝐿1 → 𝐿2 je zobrazení z L1 do L2. Zobrazení A nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna 𝑥 ∈ 𝐿1 , 𝑦 ∈ 𝐿1 , 𝛼 ∈ 𝑅 platí (1) 𝐴(𝑥 + 𝑦) = 𝐴(𝑥) + 𝐴(𝑦) ; (2) 𝐴(𝛼 · 𝑥) = 𝛼 · 𝐴(𝑥) Věta 7.10 Pro lineární zobrazení 𝐴 ∶ 𝐿1 → 𝐿2 platí 𝐴(𝑜1 ) = 𝑜2 , kde 𝑜1 je nulový vektor lineárního prostoru L1 a 𝑜1 je nulový vektor lineárního prostoru L2. Definice 7.16 Necht L1, L2 jsou lineární prostory, 𝑜2 je nulový vektor v lineárním prostoru L2 a 𝐴 ∶ 𝐿1 → 𝐿2 je lineární zobrazení. Množinu 𝐾𝑒𝑟𝐴 = {𝑥 ∈ 𝐿1; 𝐴(𝑥) = 𝑜2 } 72. Jak dodefinujeme lineární zobrazení na celém prostoru, když jsou známy jeho hodnoty na bázi? Proč je toto rozšíření jednoznačné? Necht' 𝐴: 𝐿1 → 𝐿2 je linearni zobrazeni. Pomoci prvku baze prostoru L1 muzeme vyjadrit jakykoliv vektor z L1 jako linearni kombinace prkvu baze. Podle predpokladu zname hodnoty zobrazenych vektoru baze. Pak pouzijeme vlastnosti linearniho zobrazeni a tim najdeme hodnotu zobrazeni jakehokoliv vektoru z L1. (jednoznacnost se dokazuje ve vete 7.27(2)) Věta 7.27 (2) Necht {𝑏1 , 𝑏2 , . . . , 𝑏𝑛 } je báze lineárního prostoru L1 a necht jsou dány libovolné vektory 𝑦1 , 𝑦2 , . . . , 𝑦𝑛 z lineárního prostoru L2. Pak existuje práve jedno lineární zobrazení 𝐴: 𝐿1 → 𝐿2 , pro které platí
73. Nechť a : L1 → L2 je lineární zobrazení. Jak souvisí defekt a, hodnost a s dimL1 a dimL2? 𝑑𝑒𝑓(𝐴) + 𝑜𝑑(𝐴) = 𝑑𝑖𝑚(𝐿1 ) 74. Isomorfismus lineárních prostorů. Proč jsou dva lineární prostory shodné konečné dimense vzájemně isomorfní? Věta 7.42 Dva lineární prostory konecné dimenze jsou izomorfní práve tehdy, když se rovnají jejich dimenze. Důkaz 7.42 Necht 𝑑𝑖𝑚𝐿1 = 𝑑𝑖𝑚𝐿2 = 𝑛. Oba lineární prostory jsou izomorfní s 𝑅𝑛 podle vety 7.39. Necht 𝐴: 𝐿1 → 𝑅𝑛 a 𝐵: 𝐿2 → 𝑅𝑛 jsou izomorfismy. Pak podle vety 7.36 je též 𝐵 −1 ∶ 𝑅𝑛 → 𝐿2 izomorfismem a podle vety 7.41 je 𝐵 −1 °𝐴 : 𝐿1 → 𝐿2 izomorfismus. Necht nyní 𝑑𝑖𝑚𝐿1 ≠ 𝑑𝑖𝑚𝐿2. Protože izomorfismus prevádí podle vety 7.30 lineárne nezávislé vektory na lineárne nezávislé vektory, prevádí bázi v L1 na bázi v L2. Takové báze pak musejí mít stejný počet prvku, což je spor s predpokladem 𝑑𝑖𝑚𝐿1 ≠ 𝑑𝑖𝑚𝐿2, takže izomorfismus 𝐴: 𝐿1 → 𝐿2 neexistuje. 75. Definice, existence a jednoznanost matice lineárního zobrazení. definice 7.43 Necht L1 a L2 jsou lineární prostory konecné dimenze, A : L1 ! L2 je lineární. Necht 𝐵 = (𝑏1 , 𝑏2 , . . . , 𝑏𝑛 )je usporádaná báze L1 a (𝐶) = (𝑐1 , 𝑐2 , . . . , 𝑐𝑚 ) je usporádaná báze L2. Matici A typu (m, n), která splnuje maticovou rovnost (𝐴(𝑏1 ), 𝐴(𝑏2 ), . . . , 𝐴(𝑏𝑛 )) = (𝑐1 , 𝑐2 , . . . , 𝑐𝑚 ) · 𝐴 nazýváme maticí zobrazení A vzhledem k usporádaným bázím (B) a (C). Na definicní rovnost (7.4) se díváme jako na soucin jednorádkové matice vektoru (𝑐1 , 𝑐2 , . . . , 𝑐𝑚 ) s maticí A reálných císel typu (m, n), který se má rovnat jednorádkové matici vektoru (𝐴(𝑏1 ), 𝐴(𝑏2 ), . . . , 𝐴(𝑏𝑛 )) veta 7.44 Necht platí predpoklady z definice 7.43. Pak matice A zobrazení A vzhledem k bázím (B) a (C) existuje a je urcena jednoznacne. Dukaz 7.44 i-tý sloupec matice A obsahuje souradnice vektoru A(bi) vzhledem k bázi (C). To plyne prímo z definicní rovnosti (7.4) a z definice soucinu matic. Máme tedy metodu, jak sestavit matici zobrazení. Vzhledem k tomu, že jsou souradnice vektoru vzhledem k bázi (C) urceny jednoznacne, je i matice A zobrazení A urcena tímto zobrazením a bázemi (B) a (C) jednoznacne. 76. Vysvětlete, proč platí Ax = y, kde A je matice lineárního zobrazení a : L1 → L2, x jsou souřadnice vektoru u ∈ L1 a y jsou souřadnice vektoru a(u). krasne popsano ve vete 7.49 77. Zdůvodněte, proč hodnost lineárního zobrazení je rovna hodnosti matice tohoto zobrazení. veta 7.48 Vlastní čísla, vlastní vektory 78. Definujte vlastní číslo matice/zobrazení a vlastní vektor matice/zobrazení. Necht' 𝐴: 𝐿1 → 𝐿2 je linearni zobrazeni. Cislo a se nazyva vlastnim cislem zobrazeni A, pokud existuje vektor x (𝑥 ≠ 𝑜) a plati: 𝐴(𝑥) = 𝑎 ∗ 𝑥. Vektor x se pak nazyva vlastnim vektorem zobrazeni A prislusnym vlastnimu cislu a. 79. Proč mají podobné matice stejná vlastní čísla? protoze podle vety 7.78 podobne matice maji stejny charakteristicky polynom. Věta 7.78 Podobné matice mají stejný charakteristický polynom. Důkaz 7.78 Necht P je regulární. Matice 𝑃−1 𝐴𝑃 je podobná matici A. Vypocteme její charakteristický polynom: 𝑑𝑒𝑡(𝑃 −1 𝐴𝑃 − λ𝐸) = 𝑑𝑒𝑡(𝑃−1 𝐴𝑃 − λ𝑃 −1 𝐸𝑃) = 𝑑𝑒𝑡(𝑃−1 𝐴𝑃−1 − 𝑃λ𝐸𝑃) = 𝑑𝑒𝑡(𝑃−1 (𝐴 − λ𝐸)𝑃) = 𝑑𝑒𝑡𝑃−1 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − λ𝐸)𝑑𝑒𝑡𝑃 = 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − λ𝐸), protože 𝑑𝑒𝑡𝑃 −1 𝑑𝑒𝑡𝑃 = 1.
80. Definujte charakteristický polynom matice a zdůvodněte, proč jeho kořeny jsou vlastními čísly matice. Nechť A je čtvercová matice, polynom det (𝐴 – 𝜆𝐸) nazýváme charakteristický polynom matice A a rovnost det (𝐴 – 𝜆𝐸) = 0 charakteristickou rovnicí. Je-li λ k-násobným kořenem charakteristické rovnice, říkáme, že λ je k-násobným vlastním číslem. 81. Vysvětlete, proč matice, která má pouze jednonásobná vlastní čísla, je podobná s diagonální maticí. Nechť matice A (n,n) má pouze jednonásobná vlastní čísla, čili má n různých vlastních čísel. Vlastní vektory příslušející k různým číslům jsou lineárně nezávislé. Matice má také n lineárně nezávislých vlastních vektorů a je tedy podobná diagonální matici. 82. Proč je matice singulární právě tehdy, když má nulu jako vlastní číslo? Je-li 0 vlastni cislo matice A, pak musi byt 𝐴 − 𝜆𝐸 = 𝐴 − 0𝐸 = 𝐴 singularni. (aby splnovalo rovnost (𝐴 − 𝜆𝐸)𝑥 = 𝑜) A naopak: Je-li A singularni, pak 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐸) = 0 𝑝𝑟𝑜 𝜆 = 0, takze nula je vlastni cislo. Lineární prostory se skalárním součinem 83. Vyjmenujte axiomy skalárního součinu a vysvětlete, proč standardní skalární součin na Rn tyto axiomy splňuje. 84. Jak je možné na základě skalárního součinu definovat velikost vektoru (normu vektoru) a úhel mezi dvěma vektory? 85. Proč platí Schwartzova a trojúhelníková nerovnost? 86. Vysvětlete, jak se počítá skalární součin dvou vektorů, známe-li jejich souřadnice vzhledem k ortonormální bázi. Vzorec zdůvodněte. 87. Nechť (B) = (b1, . . . , bn) je ortonormální báze lineárního prostoru L. Proč je i-tá souřadnice vektoru x ∈ L vzhledem k této bázi rovna skalárnímu součinu x · bi? 88. Vysvětlete podstatu a smysl Schmidtova ortogonalizačního procesu. Pro každou konečnou bázi existuje stejná konečná ortogonální báze. První vektor z nové báze je shodný s jedním vektorem z původní báze, každý další, který do této báze přidáváme je LK dosud ortogonalizovaných vektorů a přidávaného vektoru. Kódování 89. Definujte těleso Zn a uveďte jeho základní vlastnosti. definice 10.3 90. Vysvětlete pojmy kód, kódové slovo, Hammingova velikost, lineární kód. 91. Co je a k čemu slouží generující a kontrolní matice lineárního kódu? 92. Navrhněte kontrolní a generující matici Hamingova (7,4) kódu a popište proces kódování, dekódování a opravy chyby.
