1. Proč kořenový činitel dělí polynom beze zbytku. Skripta 11.42 str 170 Věta 11.42 Zbytek po dělení polynomu p polynomem x – α má podle věty 11.31 stupeň menší než 1, tedy jedná se o konstantu (označíme ji c). Pro všechna x ϵ C plati: p(x) = r(x)(x – α) + c. Po dosazení x = α máme p(α) = r(α)(α – α) + c, tedy p(α) = r(α).0 + c = c. Protože α je kořen, je p(α) = 0, takže c = 0. Skutečně tedy polynom x – α dělí polynom p beze zbytku. Věta 11.31 Nechť p, q jsou polynomy, q nenulový. Pak existuje právě jeden polynom r a právě jeden polynom z tak, že p = r.q + z, přičemž stupeň z je menší než stupeň q. [editovat]
2. Proč celočíselný kořen polynomu s celočíselnými koeficienty dělí a0. Zda se mi, ze je to ve vete 11.59, ale nevim jak to pouzit. modifikaci dukazu vety 11.59 dostavam neco jako > a0 + a1 * c + a2 * c^2 + ... + an * c ^ n = 0 - to plati, protoze c je koren (mimochodem celociselny) z toho > c * (a1 + a2 * c + ... + an * c (n - 1)) = -a0 - zavorka je urcite cele cislo, oznacim si ji treba k takze > -a0 = c * k - takze a0 / c = k , coz je CELE cislo, takze c deli a0 bezezbytku Proc je zavorka cele cislo????? podle me je zavorka cele cislo, protoze v ni scitame cela cisla (souciny celociselnych koeficientu s celociselnym korenem), nebo ne? [editovat]
3. Dokažte, že ke každému kořenu polynomu s reálnými koeficienty existuje kořen komplexně sdružený. Veta 11.66? právě když
, protože
Předchozí IMHO nic nedokazuje - nikde není dáno, že polynom má reálné kořeny!
[editovat]
4. Proč ke každým dvěma polynomům p, q (q nenulový) je určen částečný podíl a zbytek jednoznačně? ▪ Viz dukaz vety 11.31 - posledni odstavec ▪ Ke každým 2 polynomům P a Q, kde Q je nenulový, existují dva polynomy Y a Z splňující vztah: P = YQ + Z a stp Z < stp Q. ▪ Předpokládejme: P = YQ + Z, stpZ < stpQ P = Y1Q + Z1, stpZ1 < stpQ ▪ Dosadíme: ▪ Upravíme: Q(Y − Y1) = Z1 − Z ▪ Z čehož platí: stp(Z1 − Z) < stpQ ▪ Pro nenulový polynom (Y - Y1) by muselo platit: ▪ Jenže dva polynomy různého stupně se nemůžou rovnat, a proto (Y - Y1) je nulový polynom, takže: Y = Y1 Z = Z1 ▪ A proto je částečný podíl a zbytek určen jednoznačně. [editovat]
5. Nechť má polynom an = 1 a má jen reálné nebo po dvou komplexně sdružené kořeny. Proč pak má všechny koeficienty reálné? Nevite nekdo? asi 11.72 11.73
// myslim ze je to 11.69 // moze to byt takhle? Má-li polynom (a_n=1) jen reálné nebo po dvou komlexně sdružené koeficienty, pak vynásobením dvou faktorů, jejichž kořeny jsou vzájemně komplexně sdružená čísla, pak součin těchto faktorů dostaneme polynom s reálnými koeficienty. Budu-li takto násobit příslušné dvojice a nakonec je vynásobím faktory, kt. mají reálné kořeny, pak musíme obdržet polynom s reálnými koeficienty. [editovat]
6. Proč polynom lichého stupně s reálnými koeficienty musí mít alespoň jeden reálný kořen? Protože komplexní kořeny jsou seskupeny do komplexně sdružených dvojic (např. (1 − i) a (1 + i) ), takže nereálných kořenů je sudý počet. Celkový počet kořenů je lichý (protože je polynom lichého stupně), takže reálný kořen musí být alespoň 1. [editovat]
7. Proč nemůže mít polynom stupně n více než n vzájmeně různých kořenů? Věta 11.54 Polynom stupně n si napíšem jako rozklad polynomu na kořenové činitele kde k je násobnost kořenu. Součet všech k je roven n, tudíž počet kořenů je také roven n. [editovat]
8. Proč je polynom stupně n určen jednoznačně svými hodnotami v n + 1 různých bodech? Věta 11.56 - Polynom stupně n je jednoznačně určen svými hodnotami v n + 1 bodech. Důkaz: Předpokládáme, že pro polynomy p a q existují vzájemně různá čísla α1, α2,..., αn,αn+1 taková, že p(αi) = q(αi) pro i ϵ {1, 2,..., n, n+1}. Protože polynomy p a q mají stupeň nejvýše n, je podle věty 11.28 rozdíl p - q polynom stupně nejvýše n, který má kořeny α1, α2,..., αn,αn+1. Těch kořenů je více, než je jeho stupeň. To podle věty 11.55 není možné jinak, než že je polynom p - q nulový, tedy p = q. Věta 11.28 Nechť p je polynom stupně m a q je polynom stupně n. Pak p + q je polynom stupně nejvýše max(m,n), α.p je polynom stupně m pro α ≠ 0 a je to polynom stupně -1 pro α = 0. Pro nenulové polynomy p a q je p.q polynom stupně m + n. Je-li p nebo q nulový, pak p.q je polynom stupně -1. Věta 11.55 Nenulový polynom stupně n má nejvýše n různých komplexních kořenů.
[editovat]
Lineární prostor [editovat]
9. Odvoďte z axiomů linearity (v definici lineárního prostoru) vlastnosti: a) x + σ = x, b) α*σ = σ pro x libovolný prvek lineárního prostoru, σ nulový prvek a α ∈ R. SC 1.7 ▪ x+σ=x x+0x = 1x+0x = (1+0)*x = 1x = x
▪ α*σ = σ α*σ = α*(0x) [editovat]
= (α*0)*x = 0x =
σ
10. Ověřte podrobně, že Rn s obvyklým +, · tvoří lineární prostor. viz příklad 1.11 a
si napíšem ve tvaru:
a
Nyní provedeme sčítání: Pro násobení je to obdobné. [editovat]
11. Ukažte, že množina nekonečných posloupností s + a · definovaným „po složkách" tvoří LP. (1.74)
Dejme tomu ze jednotlive posloupnosti znacime L1,L2,..,Ln. Kdyz mame definovane scitani a nasobeni skalarem po slozkach, tak vemu vsechny prvky libovolne posl. L1 {x1, x2,..., xinf} a libovolne posl. L2 {y1, y2, ..., yinf} a sectu je, tim mi vznikne opet nekonecna posl.: {x1 + y1, X2 + y2, ..., xinf + yinf} s nasobenim je to obdobne, coz znamena, ze mnozina nekonecnych posloupnosti je uzavrena na operaci + a · tzn. ze plati: +: L x L -> L a ·: R x L -> L Nezbyva nez dokazat 7 vlastnosti lin. prostoru, coz se dela stejne jako u jakehokoli jineho ukazkoveho prikladu ze skript. [editovat]
12. Proč je množina všech posloupností s limitou=0 lineárním podprostorem LP všech posloupností? jsem blazen ale zase pokracuji dolplnovat :-D jestli to nekomu nepomuze jeho chyba Podmnožina M lineárního prostoru je sama LP, pokud pro u,v z M je u+v z M a pro všechna reálná čísla* c je cu z M. ▪ Součet dvou posloupností, které mají limitu 0 má limitu 0 ▪ Násobek posloupnosti, která má limitu 0 má limitu 0 Zadaná množina splňuje obě podmínky => je LP //je sice LP, ale take je linearnim podrpostorem vsechn posloupnosti, na coz se v otazce ptali.. [editovat]
13. Proč množina M = {(a, b, c, d), |a| = |b|, |c| = |d|} není podprostorem R4? (1.84)
pro (1, -1, 0, 0) ∈ M, (1,1,0,0) ∈ M, ale (1, -1, 0, 0)+(1,1,0,0)=(2,0,0,0) neni ∈ M. Tento příklad ilustruje že M není podprostor R4 [editovat]
14. Zdůvodněte, proč průnik lineárních podprostorů je lineární podprostor a sjednocení lineárních pod prostorů nemusí být lineární podprostor. (1.22) ▪ Dukaz vychazi z definice 1.17, kde vime ze x,y∈M, α∈R x+y∈M, α.y∈M ... Pokud pro prunik dvou mnozin M a N plati ze x,y lezi mnozinach M a N pak z toho vyplyva dle vety 1.17 ze i prunik M a N je linearnim prostorem. ▪ Opet vychazime z vety 1.17 Mejme dve mnoziny M a N ktere maji ruzne prvky jejich sjednoceni nezarucuje ze jejich usporadane dvojice budou nalezet obou dvoum mnozinam najednou. Neboli. Muzeme rict ze muze existovat prave jeden prvek z mnoziny M(N) ktery nenalezi mnozine N(M). Dukaz muzeme provest pocetne (viz veta 1.22) [editovat]
Lineární závislost, obal, báze
[editovat]
15. Zdůvodněte podrobně z axiomů linearity, proč triviální lineární kombinace je rovna nulovému vektoru. (2.6)
Triviální lineární kombinace je lineární kombinace, která má nulové koeficienty. Tedy 0x1 + 0x2 + ... + 0xn = o (Cokoliv násobené nulou je nula) [editovat]
16. Proč přítomnost nulového vektoru ve skupině vektorů zaručuje lineární závislost této skupiny? (2.17 -2)
Nechť a ai je nulový. Potom stačí aby při α0 * a0 + α1 * a1 + ... + αi * ai + ... + αn * an = 0 bylo αi = 1 a zbytek α nulových [editovat]
17. Podrobně zdůvodněte, proč v lineárním prostoru reálných funkcí jsou funkce f, g, h dané vzorci f(x) sin x, g(x) = x2 a h(x) = 1 jsou lineárně nezávislé. (2.14) ▪ položíme jejich LK rovnu nulové funkci αsin(x) + βx2 + γ = 0 ▪ tato rovnost musí platit pro všechna
, my omezíme pouze na
, hodnoty dosadíme do rovnice α0 + β0 + γ1 = 0 pro x = 0 α0 + βπ2 + γ1 = 0 pro x = π
pro
▪ z toho matice
//nemel by posledni radek byt 1
10
//jasne byl to preklep, opraveno ;o) ▪ a tato soustava ma jediné řešení α = 0,β = 0,γ = 0 ▪ z čehož vyplývá, že funkce jsou LN [editovat]
18. Dokažte větu: vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když existuje jeden, který je lineární kombinací ostatních. (2.21)
dle dukazu u vet v 2.17. + poznamka 2.18. //ehm o par radku dal je veta 2.21 a primo dukaz toho, ze vekt. sou lin. zavisle pokud je jeden z nich lin. kombinaci ostatnich [editovat]
19. Předpokládejte konečnou neprázdnou lineárně závislou množinu vektorů M. Zdůvodněte, proč přidáním vektoru k množině M vznikne lineárně závislá množina. (2.17 -4)
Dukaz vychazi 2.20. Strucne: Protoze v soustave rovnic je prave vice neznamych nezli je rovnic. Pokud to nevidite zkuste si vzit priklad 2.12 vypocitejte jej a pak jej k nwemu pridejte libovolny vektor a pocitejte znovu :-) //podle mě je tohle něco jiného, tady nemáš o počtu vektorů a velikosti lineárního prostoru ani zmínku. Jednoduchá odpověď je ve větě 2.17 bod (4). Tzn., že logicky když máte lineárně závislou množinu vektorů (takže existuje taková kombinace vektorů, kde je alespoň jeden koeficient nenulový a výsledkem je nulový vektor (definice: 2.7)), tak ať už k ní přidáte kolik chcete dalších vektorů, vždycky jim prdnete nulový koeficient. Takže výsledkem lineární kombinace bude zase vždy nulový vektor, a "původní" množina závislých vektorů nám zajistila, že už existuje nenulový koeficient - takže zůstává lienářně závislou i po rozšíření. [editovat]
20. Předpokládejte konečnou aspoň dvouprvkovou
lineárně nezávislou množinu vektorů M. Zdůvodněte, proč odebráním vektoru z množiny M vznikne lineárně nezávislá množina. (2.17 -5)
Strucne: Pokud odebereme jeden vektor z linearne nezavisle skupiny vektoru pak i tato skupina je linearne zavisla Predpokladejme ze po odebrani prvku je skupina vektoru LZ => SPOR, s vetou cislo 4 v 2.17 => protoze pokud je tato skupina vektoru LZ pak plati dle vety cislo ctyri ze pridanim dalsiho vektoru je i tato skupina vektoru LZ coz je spor se zadanou skupinou vektoru. [editovat]
21. Vysvětlete z definice lineární závislosti, proč lineární závislost není ovlivněna pořadím vektorů. (2.17 -1)
Protože sčítání vektorů je komutativní. [editovat]
22. Vysvětlete z definice lineární závislosti, proč skupina vektorů, v níž se nějaký vektor opakuje, je lineárně závislá. (2.17 -3)
Když bude platit α1x1 + α2x2 + ... + αnxn + α(n + 1)x1 = o , pak při dosazení 1 za α1 a -1 za α(n + 1)a dosazení 0 za α2...αn dostneme netriviální lineární kombinaci rovnou nule. [editovat]
23. Definujte lineární obal i pro nekonečné množiny. Zdůvodněte, proč z ∈ M právě tehdy, když existuje konečně mnoho vektorů z M tak, že z je jejich lineární kombinací. (2.29)
Lineární obal vektorů je množina všech jejich lineárních kombinací. Lineární obal nekonečné množiny M je sjednocení lineárních obalů konečných podmnožin množiny M. Poznámka 2.33. Zkráceně: předpokládáme že existuje právě nějaká lineární kombinace z konečně mnoha prvků z M. [editovat]
24. Dokažte <<M>> = <M>. věta 2.35
▪ v podstatě jde o to, že lineární kombinace lineárních kombinací je pořád lineární kombinace a na tom se staví celý důkaz ▪ takže budeme dokazovat, že LK z <M> uz nezvětší obal M ▪ tak zapíšeme LK lineárních kombinací: alpha_1(beta_1x_1+beta_2x_2+...beta_kx_k)+aplha_2(beta_k+1x+k_1+....)+. ..
▪ to lze rozepsat jako: (alpha_1beta_1)x_1+(alpha_1beta_2)x_2+....
▪ každá závorka, to je to (alpha_1beta_1) je reálné číslo, vlastně koeficient LK, proto se lin. obal nezvětší a platí <<M>>=<M> [editovat]
25. Proč je množina vektorů M lineárním podprostorem právě tehdy, když je <M> = M? (2.37)
Budeme mit prvky x,y ktere lezi v M, - tyto prvky by meli splnovat -> x+y∈M, α.x∈M tzn. overujeme to ze linearni kombinace 1.x+1.y a α.x+0.y. Tyto linearni kombinace lezi v <M> a proto dle predpokladu M = <M> [editovat]
26. Proč je lineární obal jakékoli množiny podprostor? Věta 2.37 Nechť L je lineární prostor. Mmnožina M je lineárním podprostorem prostoru L právě tehdy, když <M>=M [editovat]
27. Zdůvodněte, proč je lineární obal množiny M nejmenším podprostorem, který obsahuje M. (2.38)
linearni obal mnoziny M je nejmensi linearni kombinaci tohoto prostoru. [editovat]
28. Předpokládejte N lineárně nezávislou množinu a z ∉ <M>. Dokažte, že přidáním vektoru z k N zůstává tato množina lineárně nezávislá. to je věta 2.39
//myslim ze je to dukaz vety 2.40 neni chyba v zadani? nemelo by byt
misto <M>? Zádání je asi opravdu špatně. Pokud k neni z , tak to znamena, že neexistuje lineární kombinace vektorů z N takova, že v1+v2+...+vn = k K neni kombinaci ostatních vektorů, takže ho můžeme do N dát, a N bude stále
lineárně nezávislá. Tak to chápu já :) [editovat]
29. Popište postup, jakým lze (v lineárním prostoru s konečnou dimenzí) doplnit libovolnou lineárně nezávislou množinu N na bázi. (2.51; 2.52) [editovat]
30. Zdůvodněte, proč lze z lineárně závislé množiny M odebrat vektor tak, že lineární obal zmenšené množiny je stejný jako lineární obal původní množiny M. Protože <M> je množina všech lineárních kombinací vektorů a jestliže jsou vektory lineárně závislé, tak jsou zároveň svojí lineární kombinací. [editovat]
31. Zformulujte (bez důkazu) Steintzovu větu o výměně a vysvětlete její využití v důkaze tvrzení, že každé dvě báze stejného lineárního prostoru mají stejný počet prvků. Je to věta 2.56 (2.58; 2.59) Nechť: ▪ V je vektorový prostor nad tělesem T, ▪ G = (v1, v2, …, vn) je systém generátorů vektorového prostoru V, ▪ X = (x1, x2, …, xk) je soubor lineárně nezávislých vektorů z V. Pak: ▪ k ≤ n, ▪ některých k vektorů z G lze nahradit vektory x1, x2, …, xk, tak že dostaneme opět stejný systém generátorů. Sem asi blbec, ale tohle vůbec nechápu a myslím si, že je to úplně něco jiného. Formulace, která je podle mě správná:
Jestliž
(lineární prostor) je libovolná množina a
je LN množina, obsahující k vektorů. Pak lze odebrat z množiny M jejích k vektorů a vytvořit tak množinu M1, pro kterou platí:
Z toho vyplívá, že počet prvků množiny N je menší nebo roven pčtu prvků množiny M // věta 2.56 to je ale tu první definici netuším kde autor vzal 2. už je 100% správná přidala bych ještě důkaz 2.59 ale je to šílený xD [editovat]
32. Proč lineárně nezávislá množina vektorů nesmí mít více prvků, než dimenze lineárního prostoru těchto vektorů? (2.64 -1)
Protože tato množina tvoří zároveň svou bázi. Např. je množina A, A=báze B, která je bází množiny A, protože báze je množina nezávislých vektorů. Jelikož dimenze je definována jako počet prvků v bázi, nemůže se nikdy stát, že by množina M obsahovala více prvků, než její báze, protože to by bylo ve sporu s tvrzením, že A=báze B. [editovat]
33. V lineárním prostoru L uvažujte množinu M, která má více prvků, než dimL. Proč musí být M lineárně závislá? (2.64 -2)
Protože obsahuje vektor/y , které jsou lineárně závislé. Báze, jejíž počet prvků tvoří dimenzi, obsahuje pouze nezávislé vektory, a proto nemůže obsahovat závislé vektory, a proto má závislá množina M více prvků, než dimL. [editovat]
34. Dokažte, že pokud má množina M stejně prvků, jako je dimL, pak je lineárně nezávislá právě tehdy, když <M> = L. (2.64 -3) dim Rn = n;<M> = {(a1, a2, ..., am)};m=n; Předpokládáme, že dimenze M je nezávislá právě tehdy pokud <M> = L resime sporem: pokud <M> se nerovná L, pak muzeme pridat jakykoliv vektor a tim rozsirena mnozina o tento vektor zustane LN. ale to je ve sporu se zavedenym pojmem (1)"Je-li M linearne nezavisla, pak m =< n" laicky receno mnozina M ma najednou m+1 vektoru a to je ve sporu se zadanim m=n [editovat]
35. Zdůvodněte, proč množina {1, x, x2, x3, . . .} tvoří bázi lineárního prostoru všech polynomů. (2.28; 2.47)
neumim vysvetlit ale je to priklad 2.47 nasledne dojdeme k tomu ze dim P je nekocno Protože množina je lineárně nezávislá, z toho vyplívá, že obal množiny, a z definice obalu vyplívá, že je lineární kombinací všech polynomů a tudíž je to i její báze. //v příkladu 2.28 je důkaz, že je LN. Protože má tato množina nekonečně prvků a lin. prostor všech polynomů má dimenzi nekonečno, pak můžeme říct, že daná množina je její bazí. (doufám) [editovat]
36. Podrobně zdůvodněte, proč množina polynomů {x2+1, x, x−1} tvoří bázi lineárního prostoru všech polynomů nejvýše druhého stupně. (2.91; 2.45) Řekl bych, že: ( 1 0
1 )
( 1 0 0 )
A = ( 0 1 0 ) ~ ... ~ ( 0 1 0 ) => dim A = 3 ( 0 1 -1 )
( 0 0 1 )
Víme, že pro polynom nejvýše 2. stupně platí: dim P<=2 = 3. dim A = dim P<=2. (prosím opravit, má to být matice, nemám teďka čas koukat na formátování, musím se učit!) [editovat]
Matice [editovat]
37. Proč matice typu (m, n) tvoří lineární prostor? Jakou má tento prostor dimenzi? (3.3; 3.4; 3.6)
Protoze operace v matici jsou ekvivalentni s operacemi v linearnim prostoru => splnuje axioy => muzeme radky mezi sebou scitat i nasobit nejakym koeficientem alpha. Tento prostor ma dimenzi m.n coz je pocet prvku v bazi (tedy v matici). [editovat]
38. Proč GEM nemění lineární obal řádků?
věta 3.13 a její důkaz //edit Zkracene: konecny stav matice po GE nam vyeliminuje (ci ne) shodne radky (zavisle linearni kombinace). Upravene matice typu A~B~C Konecny stav je roven hodnosti matici C a ten je roven dimenzi obalu radku matice A. [editovat]
39. Jak GEM slouží k výpočtu hodnosti matice? Popište metodu a zdůvodněte, proč tato metoda skutečně počítá hodnost matice. (3.9; 3.10; 3.15; 3.17)
V základním stavu není hodnost matice na první pohled vidět, zatímco po úpravě GEM je hodnost jasná. Tato metoda vypočítá max počet lineárně nezávislých řádků matice= hodnost Gaussova eliminacni metoda - pomoci ekvivalentnich uprav docilime konecneho stavu matice. mezi ekvivalentni upravy patri: necht A,B,C jsou matice "a" a "j" jsou skalary. ▪ 1) plati komutativnost A+B=B+A ▪ 2) asociativnost (A+B)+C=A+(B+C) ▪ 3) existence nuloveho prvku A+0=A ▪ 4) existence opacneho prvku A+(-1)A=0 ▪ 5) nasobeni sklarem a jeho asociativnost a(jA)=(aj)A ▪ 6) existence jednotkoveho prvku 1A=A ▪ 7) distibutivnost a(A+B)=aA+aB, (a+j)A=aA+jA //tyto pravidla akorat podle me dokazuji ze matice s operacemi + a . je LP, ale jim de asi spis o to vypsat upravy ktere jsou v GEM povoleny prohozeni radku, vynasobeni radku skalarem a odecitani radku GEM - touto metodou pomoci ekvivalentnich uprav se snazime docilit horniho trojuhelnikoveho tvaru matice. Otazka je trochu nestastne formulovana, ale to co se tu chce je popis metody pocitani hodnosti matice a ne popis GEM (ta sama o sobe hodnost nepocita, protoze nic jako "konecny stav" matice neexistuje, muzeme udelat jeden krok nebo jich udelat nekonecno). Takze podle me by to melo byt spise takhle: 1.Hodnost matice je maximalni pocet LN radku. (Hodnost A = dim) 2.Pomoci GEM (GEM zachovava ) prevedem matici na horni trojuhelnikovou, ktera ma vsechny radky LN, coz je jednoduche dokazat (ten dukaz bych tam napsal, neni slozity a mate jistotu, ze vam tam
zkousejici nenapise zadnou otazku typu "proc?" :) ). Prvni vetu je treba tam napsat jako oduvodneni proc se vubec snazime matici prevest na horni trojuhelnikovou, GEM je uz pak jen prostredek jak ji dosahnout. Das ist alles [editovat]
40. Popište metodu ověření lineární závislosti vektorů z R^n eliminací matice, ve které jsou tyto vektory zapsány po řádcích. Jak tato metoda souvisí s definicí lineární závislosti? (3.71; 3.22)
radek ktery je nulovy ci je linearne zavisly muzeme vyradit (nechat pouze jeden). Po dokonceni GEM muzeme zapsat dle definice linearniho prostoru muzeme vektory prostoru polozit nule a pokud je pouze jedno trivialni reseni "o" pak je dokazana linearni nezavislost. α1a1 + α2a_2 + ... + αna_n = σ [editovat]
41. Definujte maticové násobení. Proč čtvercová matice A komutuje s A^2? (3.34; 3.40)
Definice: A, B jsou matice (A.B)ij = suma p od k=1 (Aik*Bkj) nejsem si zcela jist ale kratce bez prikladu ... pokud matice komutuji tak musi splnovat nasobeni A.B = B.A, kde pocet sloupcu a pocet radku by mel byt stejny. po vypocitani techto matic dostaneme matice typu n2 kde muzeme dojit k zaveru ze budeme volit nektere promene tak ze matice A.B bude komutovat s matici B.A. Matice A komutuje s maticí A^2: A * A^2 = A * (A * A) = A * A * A = (A * A) * A = A^2 * A
[editovat]
42. Dokažte asociativitu maticového násobení. (3.38 -1)
mejme matice A typu n,m B m,p a matici C p,k A.B.C=(AB).C=A(BC) ale to neznamena ze mohu nasibut matici A.C matice maji ruzny pocet radku i sloupcu. dukaz se provadi obecnym vyjadrenim matic sumy radku a sloupcu kde ziskame dukaz toho ze soucet radku v jedne matice(A.B=AB) se rovna souctu radku i druhe matice (B.C=BC)
[editovat]
43. Dokažte asociativitu maticového násobení a maticového násobku. (3.38 -1,3)
viz 42. maticový násobek - pokud jsem do dobre pochopil tak je to matice nasobena skalarem dukaz je zrejmy z linearni zavislosti radku myslim ze jde o dukaz asociativity maticoveho nasobku, tj. veta 3.38 (4) alfa*(A*B)=A*(alfa*B)....důkaz je hned pod větou ve skriptech [editovat]
44. Zdůvodněte, proč maticové násobení nemusí být komutativní ani pro čtvercové matice. (3.37)
viz to co jsem definoval v otazce cislo 41. [editovat]
45. Proč má horní trojúhelníková matice linárně nezávislé řádky? (3.22)
protoze jsme ekvivalentnimi upravami viz co jsem zminil nahore dosli k nezavislosti radkum - vypusteni nuloveho radku ci vypusteni stejneho radku. a samozrejme dle definice hodnosti hodnost nam definuje matici v konecnem stavu po GEM (radky jsou nezavisle). Dodatecek pro více zvídavé - věta 3.22, je tam důkaz [editovat]
46. Zdůvodněte, proč matice komutující s pevně danou maticí tvoří lineární podprostor. (3.40)
Matice A,B komutuji prave tehdy kdyz splnuji pravidla distibutivnosti a komutativnosti matic, nasobku // musime proste dokazat, ze pokud matice B1 a B2 jsou komutujici s A, tak matice C=(B1+B2) a matice D=a*B1 (kde a je skalar) jsou take komutujici s A. Tim dokazeme dve postacujici vlastnosti z definice linearniho podprostoru a jsme hotovi. (dokazuje se prostym dosazenim do rovnice AB=BA) Nechť B, C jsou matice komutující s maticí A (čili platí AB=BA a AC=CA), α je reálný koeficient Dokážu pravidla podprostoru - sčítání dvou matic a násobení matice skalárem: 1) A * (B+C) = A*B + A*C = B*A + C*A = (B+C) * A 2) A * α*B = α * (A*B) = α * (B*A) = α*B * A
[editovat]
47. Proč je součin regulárních matic regulární? (3.52)
Mejme matice A,B kde matice A je typu (m,n) a matice B je typu (n,p) tyto matice jsou regularni prave tehdy pokud => m=n a n=p vzhledem k nasobeni techto dvou matic vznikne matice C ktera je typu (m,p), vzhledem k uvedene rovnosti vyse z toho nutne vyplyva ze m=p z definice regularity matice => matice typu C je regularni a ma hodnost m(p) //tohle je podle mě zcela nedostačující, taková matice by mohla bejt klidně i singulární. My musíme dokázat, že pokud k A,B existuje inverzni A,B, tak musi existovat i A^-1*B^-1. Potom je teprve výsledná matice také regulární. // tohle je spravna odpoved, viz. veta 3.52 a jeji dukaz //a neslo by to dokazat pres determinant..?regularni matice ma det!=0 , determinant soucinu je soucin determinantu, takze soucin dvou nenulovych cisel da nejake nenulove cislo=>det vysledne matice je ruzny od nuly, takze matice je regularni.. [editovat]
48. Čím je zaručena jednoznačnost inverzní matice? (3.49)
pokud by měla matice A dvě invezrní matice B a C pak B = B.E = B.(A.C) = (B.A).C = E.C=C [editovat]
49. Popište metodu výpočtu inverzní matice eliminací a zdůvodněte, proč tato metoda skutečně dává inverzní matici. (3.55; 3.56)
mejme matici typu A tuto matici polozime rovno jednotkove matici po uprave matice A na dolni a horni trojuhelnikovy tvar nasledne vydelenim ztiskame jednotkovou matici. - postup. proc dava matice A polozena jednotkove matici inverzni matici? protoze vsechny provedene operace jsou muzeme prevest na typ matic cilize po prvnim kroku je matice A1 pak A2 ... kazda z techto matic(jsou regularni) ma za sebou nejakou elementarni upravu ktera je rovna definovanym operacim vyse. [editovat]
50. Vynásobíme-li matici A regulární maticí, pak se matice A může změnit, ale nezmění se její hodnost. Proč? viz. 3.60 laicky: protoze vysledna matice bude mit m nezavislych radku jako matice
typu A a pocet nezavislych radku se rovna hodnosti matce [editovat]
51. Co víme o hodnosti součinu matic, když známe hodnosti jednotlivých činitelů? Zdůvodněte. dukaz vychazi z 3.61 [editovat]
Determinant [editovat]
52. Definice determinantu. (4.15)
Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár det A. Ze skript 4.15: Nechť A = (ai,j) je čtvercová matice typu (n,n). Číslo
nazýváme determinantem matice A a značíme je det A. [editovat]
53. Zdůvodněte z definice základní vlastnosti determinantu. viz 4.21(V1-V5) [editovat]
54. Proč přičtení násobku řádku k jinému nezmění hodnotu determiantu? viz 4.21(V5) [editovat]
55. Formulujte (bez důkazu) větu o rozvoji determinatu podle řádku/sloupce. viz 4.30 [editovat]
56. Z věty o determinantu součinu odvoďte vzorec pro determinant inverzní matice. (4.38)
Necht' B je inverzni matice k matici A. Pak det B = 1/(det A)
to podle mě nestačí, chtějí to odvodit ze součinu determinantů, zkusil jsem to takto
detA*detB=det(A*B)=detE=\frac{detB}{detA}=1 => detB=\frac{1}{detA} [editovat]
57. Zformulujte a dokažte větu na výpočet inverzní matice pomocí doplňků. (4.37) //4.40; 4.32
zformulujte beru - 4.40 ale dokazte :-O to uz neberu, nejakej napad nekdo? Jelikož
tak podle Laplaceovi věty (4.35) c čehož již vzorec za pomocí úprav
odvodíme. dělal bych to dle 4.37 pro regulární matici... //inverzní matici mají jen regulární matice [editovat]
Soustavy lineárních rovnic [editovat]
58. Frobeniova věta, přesná formulace, význam, důkaz. (5.4)
Nehomogenní soustava lineárních algebraických rovnic má řešení pouze v případě, že hodnost matice soustavy rozšířené matice soustavy Pokud je
je rovna hodnosti
(tj. soustava je vnitřně bezrozporná).
rovno počtu neznámých, má soustava jedno řešení;
pokud je menší než počet neznámých, je řešení nekonečně mnoho (je-li větší než počet neznámých, nemůže být splněna předchozí podmínka a soustava tedy nemá řešení). [editovat]
59. Definice pojmu řešení soustavy lineárních rovnic. (5.2)
Resenim soustavy Ax=b je takovy vektor 'a', pro ktery plati: dosadime li 'a' za 'x', pak je splnena pozadovana maticova rovnost. Resit soustavu Ax=b znamena nalezt vsechny takove vektory 'a'. [editovat]
60. Proč množina řešení homogenní soustavy
lineárních rovnic tvoří lineární podprostor? (5.10)
Za prve ukazeme, ze mnozina reseni homogenni soustavy neni prazdna: to je trivialni, protoze nulovy vektor je vzdycky resenim homogenni soustavy. Pak dokazeme, ze pokud 'u' a 'v' jsou resenim, pak (u+v) je resenim a 'a*v' je resenim (kde a je skalar). Dokazuje se dosazenim do rovnice Ax=o. Podle predpokladu mame Au=o, Av=o. Secteme a dostaneme Au+Av = o+o. Z toho A(u+v)=o. Se skalarem postupujeme obdobne. [editovat]
61. Nechť v je jedno řešení soustavy lineárních rovnic. Proč všechna ostatní řešení této soustavy jsou ve tvaru součtu v + u, kde u je nějaké řešení homogenní soustavy přidružené k dané soustavě? viz 5.18(1). Dokazuje se dosazenim do rovnice Ax=b. z predpokladu vime, ze Av=b, Au=0. Secteme, dostaneme Av+Au = 0+b. Podle distributivity mame A(v+u)=b. Z toho plyne, ze (v+u) je take resenim soustavy Ax=b. [editovat]
62. Zformulujte a dokažte Cramerovu větu. viz 5.29 [editovat]
63. Nechť M = v+hu1, . . . ,uki,M′ = v′+hu′ 1, . . . ,u′ ki. Navrhněte a zdůvodněte postup, podle kterého poznáte, že M = M′. (5.26)
Nejdriv overime rovnost linearnich obalu (u1,u2,...,un) a (u'1,u'2,...,u'n). Pak dokazeme, ze v-v' patri do linearniho obalu (u'1, u'2,...,u'n). [editovat]
64. Jakou dimenzi má prostor řešení homogenní soustavy lineárních rovnic a proč? (5.13; 5.14)
Necht' R je prostor reseni homogenni soustavy. Pak dim R = n - h(A), kde n - pocet sloupcu matice A, h(A) - pocet nezavislych radku matice A. [editovat]
Konečná dimenze
[editovat]
65. Definujte pojem souřadnice vzhledem k uspořádané bázi. Zdůvodněte existenci a jednoznačnost souřadnic. definice 6.10, poznamka 6.11 a veta 6.12. Nechť B = {b1, b2, prostoru L. Uspořádanou n-tici vektoru x vzhledem x = α1b1 + α2b2 +
... bn} je uspořádaná báze a 'x' je libovolný vektor reálných čísel (α1, α2,... αn) nazýváme souřadnicemi k uspořádané bázi (B), pokud platí: ... + αnb
[editovat]
66. Proč jsou souřadnice polynomu vzhledem ke standardní bázi lin. prostoru polynomů nejvýše ntého stupně rovny koeficientům tohoto polynomu? (6.16)
podle mne je to blba otazka, jinak odpoved' plyne primo z definice 6.10 [editovat]
67. Proč jsou souřadnice vektoru z Rn vzhledem ke standardní bázi rovny složkám tohoto vektoru? koukněte se na definici souřadnic vzhledem k uspořádané bázi (6.10) a hned potom na samotnou definici standartní báze v R^n (2.46), jen dosate do sebe a je to. [editovat]
68. Proč je zobrazení, které vektorům přiřadí uspořádanou n-tici jejich souřadnic vzhledem k pevně zvolené bázi, lineární? popsano v priklade 7.25. [editovat]
69. Definujte spojení dvou podprostorů. Čemu je rovnen součet dimenzí spojení a průniku dvou podprostorů? (6.3; 6.6) [editovat]
Lineární zobrazení
[editovat]
70. Charakterizujte lineární zobrazení, vysvětlete princip superpozice. (7.6; 7.8)
Necht' A: L1 ->L2 je zobrazeni z mnoziny L1 do mnoziny L2. Zobrazeni A nazyvame linearnim, pokud pro vsechna x,y z L1 a skalar 'a' plati: (1): A(x+y) = A(x) + A(y); (2): A(a*x) = a*A(x). Princip superpozice: Necht' x,y jsou vektory z L1, a 'a' a 'b' jsou skalary, pak pro linearni zobrazeni plati: A(a*x+b*y) = a*A(x) + b*A(y). [editovat]
71. Definujte jádro, defekt a hodnost lineárního zobrazení. Proč jádro lineárního zobrazení tvoří lineární podprostor? definice 7.16 a 7.21. Fakt, ze jadro tvori linearni prostor, se dokazuje nejdriv tim, ze jadro nikdy neni prazdne (vzdycky obsahuje nulovy vektor) a pak se dokazujou dve vlastnosti z definice linearniho podprostoru. (jinak je to podrobne popsano ve vete 7.19) [editovat]
72. Jak dodefinujeme lineární zobrazení na celém prostoru, když jsou známy jeho hodnoty na bázi? Proč je toto rozšíření jednoznačné? Necht' A: L1 -> L2 je linearni zobrazeni. Pomoci prvku baze prostoru L1 muzeme vyjadrit jakykoliv vektor z L1 jako linearni kombinace prkvu baze. Podle predpokladu zname hodnoty zobrazenych vektoru baze. Pak pouzijeme vlastnosti linearniho zobrazeni a tim najdeme hodnotu zobrazeni jakehokoliv vektoru z L1. (jednoznacnost se dokazuje ve vete 7.27(2)) [editovat]
73. Nechť a : L1 → L2 je lineární zobrazení. Jak souvisí defekt a, hodnost a s dimL1 a dimL2? (7.53)
def(A) + hod(A) = dim(L1) [editovat]
74. Isomorfismus lineárních prostorů. Proč jsou dva lineární prostory shodné konečné dimense vzájemně isomorfní?
veta 7.39 (spíš věta 7.42) [editovat]
75. Definice, existence a jednoznanost matice lineárního zobrazení. definice 7.43 pak veta 7.44 [editovat]
76. Vysvětlete, proč platí Ax = y, kde A je matice lineárního zobrazení a : L1 → L2, x jsou souřadnice vektoru u ∈ L1 a y jsou souřadnice vektoru a(u). krasne popsano ve vete 7.49 [editovat]
77. Zdůvodněte, proč hodnost lineárního zobrazení je rovna hodnosti matice tohoto zobrazení. veta 7.48 [editovat]
Vlastní čísla, vlastní vektory [editovat]
78. Definujte vlastní číslo matice/zobrazení a vlastní vektor matice/zobrazení. (7.66; 7.70) Necht' A: L1 -> L2 je linearni zobrazeni. Cislo a se nazyva vlastnim cislem zobrazeni A, pokud existuje vektor x (x neroven o) a plati: A(x) = a*x. Vektor x se pak nazyva vlastnim vektorem zobrazeni A prislusnym vlastnimu cislu a. [editovat]
79. Proč mají podobné matice stejná vlastní čísla? (7.75; 7.78)
protoze podle vety 7.78 podobne matice maji stejny charakteristicky polynom. [editovat]
80. Definujte charakteristický polynom matice a zdůvodněte, proč jeho kořeny jsou vlastními čísly matice.
(7.75; 7.74)
Nechť A je čtvercová matice, polynom det (A – λE) nazýváme charakteristický polynom matice A a rovnost det (A – λE) = 0 charakteristickou rovnicí. Je-li λ k-násobným kořenem charakteristické rovnice, říkáme, že λ je k-násobným vlastním číslem. [editovat]
81. Vysvětlete, proč matice, která má pouze jednonásobná vlastní čísla, je podobná s diagonální maticí. (7.83)
Nechť matice A (n,n) má pouze jednonásobná vlastní čísla, čili má n různých vlastních čísel. Vlastní vektory příslušející k různým číslům jsou lineárně nezávislé. Matice má také n lineárně nezávislých vlastních vektorů a je tedy podobná diagonální matici. [editovat]
82. Proč je matice singulární právě tehdy, když má nulu jako vlastní číslo? Je-li 0 vlastni cislo matice A, pak musi byt A -λE = A -0E = A singularni. (aby splnovalo rovnost (A-λE)x=o) A naopak: Je-li A singularni, pak det(A λE) = 0 pro λ = 0, takze nula je vlastni cislo. [editovat]
Lineární prostory se skalárním součinem [editovat]
83. Vyjmenujte axiomy skalárního součinu a vysvětlete, proč standardní skalární součin na Rn tyto axiomy splňuje. Axiomy skalárního součinu 121) 8.2 Standardní skalární součin a důkaz, že tyto axiomy splňuje 122) 8.7 [editovat]
84. Jak je možné na základě skalárního součinu definovat velikost vektoru (normu vektoru) a úhel mezi dvěma vektory? Velikost vektoru: 123) 8.17 Úhel mezi dvěma vektory: 123) 8.20
[editovat]
85. Proč platí Schwartzova a trojúhelníková nerovnost? Věta 8.22 (vysvětleno v důkazu) a 8.24 + důkaz [editovat]
86. Vysvětlete, jak se počítá skalární součin dvou vektorů, známe-li jejich souřadnice vzhledem k ortonormální bázi. Vzorec zdůvodněte. Věta 8.33 + důkaz [editovat]
87. Nechť (B) = (b1, . . . , bn) je ortonormální báze lineárního prostoru L. Proč je i-tá souřadnice vektoru x ∈ L vzhledem k této bázi rovna skalárnímu součinu x · bi? Věta 126) 8.36 + důkaz [editovat]
88. Vysvětlete podstatu a smysl Schmidtova ortogonalizačního procesu. (8.41)
Pro každou konečnou bázi existuje stejná konečná ortogonální báze. První vektor z nové báze je shodný s jedním vektorem z původní báze, každý další, který do této báze přidáváme je LK dosud ortogonalizovaných vektorů a přidávaného vektoru. [editovat]
Kódování [editovat]
89. Definujte těleso Z2^n a uveďte jeho základní vlastnosti. definice 10.3 [editovat]
90. Vysvětlete pojmy kód, kódové slovo, Hammingova velikost, lineární kód.
Kód, kodové slovo: 151) 10.13 aneb: "Kódování v obecném smyslu zahrnuje (1) algoritmus, kterým informace převádíme do posloupnosti slov (tzv. kodér) a (2) algoritmus, kterým zpětně z těchto slov získáváme původní informaci (dekodér). Slova, která vytváří kodér, se nazývají kódová slova. Množina všech kódových slov se nazývá kód. Je-li kód množinou slov stejné délky (každé kódové slovo má stejnýž počet znaků abecedy), mluvíme o tzv. blokovém kódu. Blokový kód délky n značí, že všechna kódová slova mají n znaků abecedy."
Hammingova velikost: 152) 10.18 aneb: "Hammingova velikost slova u je počet jedniček v tomto slově a zanačíme ji ||u||"
Lineární kód: 153) 10.25 aneb: "Binární blokový kód K délky n je lineární, pokud K tvoří lineární podprostor lineárního prostoru Z2. Jestli že dimenzi tohoto podprostoru označíme k, pak mluvíme o lineárním (n,k) kódu." [editovat]
91. Co je a k čemu slouží generující a kontrolní matice lineárního kódu? 154) 10.32; 10.33 [editovat]
92. Navrhněte kontrolní a generující matici Hamingova (7,4) kódu a popište proces kódování, dekódování a opravy chyby. 158) 10.57
